平面向量教学建议 (一)
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平面向量教学建议 (一). 福建省厦门双十中学 张瑞炳. 建议一 : 把握好章引言及章头图. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
平面向量教学建议(一)
福建省厦门双十中学 张瑞炳
建议一 : 把握好章引言及章头图
几何是研究图形的性质的 . 图形是由点构成的 . 只要知道了图形的每一点(或者一些关键点)的位置,就知道了图形的形状和位置 . 怎样描述每个点的位置?首先要取一个已知点作为基准点,也就是我们通常所说的原点。只要说清楚了从原点到每一个点的方向、距离,就说清楚了这个点的位置 . 原点到这个点的方向和距离可以用一个向量来表示,这个向量也就表示了这个点的位置 . 将每个关键点的位置都用向量来表示,就将这个图形描述清楚了 . 将这些向量进行适当的运算,就好像我们对于实数进行加、减、乘运算,或者对代数式进行展开和合并一样,可以算出几何图形的性质 .
建议一 : 把握好章引言及章头图
从而,在章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的联系,体现了向量有丰富的实际背景,图中直角坐标系及有向线段表现了向量方法研究几何内容.章引言说明了向量的研究对象及研究方法,揭示了向量与几何、代数之间的关系,运用向量可将几何性质的研究转化为向量的运算,使几何问题通过向量运算得到解决,从而拓展了几何的研究空间,它就像图中的高速公路一样,是一条解决几何问题的高速路 .
建议二:上好章导入片段教学
案例 1 :从南辕北辙的故事可以知道,要描述一个运动物体位置的变化,除了指明所走的距离,还必须指明运动的方向 .
比如一艘船从某码头出发,行驶了 200千米,你能确定它的位置吗?不能 .为了确定它的位置,需要知道它朝什么方向行驶了 200千米 .
由此可见,要表示位置的变化,仅仅知道运动的距离是不够的,还必须考虑运动的方向 . 既考虑距离、也考虑方向的量叫作向量 .位置的变化要用向量来描述 .
猫能捉住老鼠吗 ?
速度是既有大小又有方向的量
• 老鼠由 A 向东北方向以每秒 6 米的速度逃窜 , 而猫由 A 向东南方向每秒 10 米的速度追 .
• 问猫能否抓到老鼠 ?
建议三:把握核心概念:向量(一)向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量。 内涵:大小、方向 .
如:直角坐标平面上的 x 轴、 y 轴是不是向量?为什么?
外延:那些量是向量?位移、力、速度、加速度等。那些量是数量?时间、功、路程、年龄、质量、面积等。
又如:温度有零上和零下之分 ,温度是不是向量 ?为什么 ?
2. 几何法 : 用有向线段表示
1. 代数法 : 用字母表示
A B
(二)向量的表示(二)向量的表示
AB��������������或
a书写用 ,
印刷用粗体a
有向线段 : 规定了起点、方向、长度的 线段
有向线段与向量是两个不同的概念
a
A B
说明 1: 我们所说的向量,与起点无关,用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量 .
如图:他们都表示同一个向量。
a
a
有向线段与向量的区别:有向线段:有固定起点、大小、方向向量:大小、方向。
A
B
C
D
A
B
C
D
有向线段 AB 、 CD 是不同的。
向量 AB 、 CD 是
同一个向量。
向量与有向线段的区别:向量与有向线段的区别:
(( 11 )向量是自由向量,只有大小和方向两)向量是自由向量,只有大小和方向两个个要素;只要大小和方向相同,则这两个向量要素;只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;就是相同的向量;(( 22 )有向线段有起点、大小和方向三个要)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段。 不同的有向线段。
(三) 向量的有关概念
AB
|| AB
1. 向量的长度 ( 模 ): 向量 的大小 ( 长度 )
表示: 向量是不能比较大小的 , 但向量的模是可以进行大小比较的 . 有意义
没有意义ba
|||| ba
a
b
2.2. 两个基本向量:两个基本向量:
0|0|
,0零向量 : 长度为零的向量 ( 方向任意 ).
表示:
单位向量 : 长度为 1 个单位长度的向量 .
仅对向量的大小明确规定,而没有对向量的方向明确规定
平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(平行向量(也叫共线向量) .. 如图:如图: aa 、、 bb 、、 cc 就是一组平行向量就是一组平行向量 .. 记作:记作: a b c.∥ ∥a b c.∥ ∥ 规定:零向量规定:零向量 00 与任一向量平行与任一向量平行 . .
3.3. 向量的关系:向量的关系:
a b
cd
注:平行向量仅对向量的方向明确规定,而没有对向量的大小明确规定 .
a a
a
与 长度相等,方向相反的向量 向量,
记为
相反叫a
aaa )(比如作用力与反作用力
长 两个: 度相等,方向相同的相等向量 向量。
baba
对向量的大小和方向都明确规定
注意:注意: 1°1° 零向量与零向量相等。零向量与零向量相等。 2°2° 任意两个相等的非零向量,都可以任意两个相等的非零向量,都可以用一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点用一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。 如下图: 无关。 如下图:
cOCbOBaOA
,,
案例 2 :不相等的两个平行向量有几种可能 ?答: (1) 两个向量中有一个是零向量,而另一个是非零向量;
( 2 )两个向量都是非零向量且方向相同,但模不相等;
( 3 )两个向量都为非零向量且方向相反,模相等;
( 4 )两个向量都为非零向量且方向相反,模不相等 .
(2008海南卷 8)平面向量 a、b共线的充要条件是( )
A. a、b方向相同 B. a、b两向量中至少有一个为零向量
C. R ,b = λa D.存在不全为零的实数 1 , 2 ,λ1a+λ2b= 0
解:由平面向量共线的概念可知,平面向量 , a b
共线的充要条件
是存在不全为零的实数 1 2, ,使得 1 2 0a b
,故选 D.
案例 3 :
案例 4 、判定下列命题是否正确 .( 1 )相等向量是平行向量 ;( 2 )平行向量是相等向量 ;( 3 )单位向量都相等;(4)向量 a与b不共线,则 a与b都是非零向量
(5) a与b共线,b与 c共线,则 a与 c也共线
(6)若 AB=DC,则四边形 ABCD是平行四边形
(7)若四边形 ABCD是平行四边形,则 AB=DC
(8)用有向线段表示共线的向量,若起点不同,
则终点一定不同
(9)若 BCAB ,则 B是线段 AC的中点;
(10)有向线段就是向量,向量就是有向线段
(11)向量 AB的长度与向量 BA的长度相等
(12)若|a |>|b | ,则 a> b
11 个
案例 5 .如图设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,写出图中 与向量 OA 相等的向量。
OA = DO = CB
变式一:与向量 OA模相等的向量 有多少个?
变式二:是否存在与向量 OA长度相等,方向 相反的向量?
存在,为 FE
CB 、 DO 、 FE
变式四:以图中 A、 B、 C、 D、 E、 F、 O七点任一点为起点、与该点不同的另一点为终点的所有向量中,与向量 OA平行的向量有多少个?模相等的向量有多少个?
9 个;23 个
变式三:与向量 OA长度相等的共线向量有哪些?
建议四:把握向量的运算:法则、运算律 有了运算,向量的力量无限 . 如果不能进行运算,向量只是示意方向的路标 .
1 )加法:①两个法则 ②坐标表示
减法 : ① 法则 ②坐标表示
运算律
?,)2(
?,)1(
,:
则四边形是什么图形
则四边形是什么图形
注
baba
ba
bADaAB
1. 向量的加法运算
A B
C
AB+BC=
三角形法则
O A
B C
OA+OB=
平行四边形法则
坐标运算 :
则 a + b =
重要结论: AB+BC+CA= 0
设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
( x1 + x2 , y1 + y2 )
AC OC
案例6: (山东高考题)设向量a=(1, -2), b=(-2, 4),
c=(-1, -2),若表示向量4a, 4b-2c, 2(a- c), d
的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量
d为( )
A(2, 6), B(-2, 6), C(2, -6), D(-2, -12)
解析:由向量加法的几何意义可知:
4a+(4b-2c)+2(a- c)+d=0,
即: d=-6a-4b+4c=(-2, -12),故选D
2. 向量的减法运算1 )减法法则:
O A
B
OA - OB =
2 )坐标运算 :
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )
则 a - b=
3. 加法减法运算律a+b=b+a
( a+b)+c=a+(b+c)1 )交换律:
2 )结合律:
BA
(x1 - x2 , y1 - y2)
案例 7 : 2011 福州三月质检
3 1= + = 3
2 2
已知向量a、b都是单位向量,则a ( , )是a b ( , 1)
A. 充分而不必要条件
C. 充要条件
B. 必要而充分不条件
D. 既不充分也不必要条件
设 a、b、c为三个非零向量,若 p=| |
a
a+| |
b
b+| |
c
c,
则| p |的取值范围是 ( )
A. [0,2] B. {0,1,2,3}
C. [0,3] D. {0,3}
三个向量首尾相接形成环路
三个向量首尾相接且同方向
分析:
故选 C.
案例 8 :
2 )实数 λλ 与向量 a a 的积定义:
坐标运算:
λλaa 是一个是一个 向量向量 ..
它的它的长度 长度 ||λλaa| =| = ||λλ| || |aa|| ;;
它的它的方向方向 (1) (1) 当当 λ>0λ>0 时时 ,,λλa a 的方向的方向 与与 aa 方向方向相同相同;;(2) (2) 当当 λλ << 00 时时 ,,λλa a 的方向的方向与与 aa 方向方向相反相反 ..
若 aa = (x , y), 则 λλa a
==
λλ(x , y)
= (λλx , λλy)
(3) (3) 当当 λ=0λ=0 时时 ,,λλa =0a =0
数乘向量的运算律:
(+μ )a= a+μa
(μa)= (μ)a
(a+b)= a+b
向量的加法、减法与数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算。
已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA= a , OB= b ,则∠ AOB=θ ( 0°≤θ ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角。
O
B
Aθ
当 θ = 0° 时, a 与 b 同向;O A B
当 θ = 180° 时, a 与 b 反向; OA BB
当 θ = 90° 时,称 a 与 b 垂直,
记为 a⊥b. O Aab
3 )平面向量的数量积
3 )两个非零向量的数量积:
规定:零向量与任一向量的数量积为 0
a · b = |a| |b| cosθ
几何意义:数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ 的乘积 .
Aa
b
θ
B
B1
O
B
A
θ
b
B1aO
θ
B
b
(B1) Aa
O
平面向量数量积的性质:平面向量数量积的性质:
( 1 ) e · a=a · e=| a | cos
( 2 ) a⊥b a · b=0 ( 判断两向量垂直的依据 )
( 3 )当 a 与 b 同向时, a · b =| a | · | b | ,当 a 与 b 反向时, a · b = -| a | · | b | . 特别地
2 2a a a a a 或
4 cosa b
a b
( a // b a · b=±|a| · |b| )
(5) a b a b
数量积的运算律:⑴交换律: abba
⑵ 对数乘的结合律: )()()( bababa
⑶分配律: cbcacba )(
注意:
数量积不满足结合律 )()(: cbacba 即
数量积不满足消去律 cbcaba 推不出即:
000 abba 或也推不出
: (a b c
即 )=0
a b a c
但
: (a b c
即 )
b
b - c
a
c
,
,
_______ .
ABC OA OB
OB OC OC OA ABC
����������������������������
��������������������������������������������������������案例9:已知在 中
则O是的 心
( ) 0, 0
, , ,
.
OA OB OB OC
OB OA OC OB CA
OB CA OC AB OA BC
O ABC
��������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������解:由 得:
即同理
故 是 的垂心
1, ,
, ( )
, , , ( ),
, ( ), , ( ) ( ),
t R
a te a e
A a e B a a e
C e a e D a e a e
案例10:已知向量a e, e 对任意
恒有 则
2 2
2 2
2
2
2
2
: , ,
( ) ( ) , 1,
2 2 1 0 ,
( 2 ) 4(2 1) 0
( 1) 0, 1,
( ) 0. .
a te a e a te a e
a te a e
t a et a e t R
a e a e
a e a e
e a e a e e C
解一
e
对 恒成立
故选
1, ,
, ( )
, , , ( ),
, ( ), , ( ) ( ),
t R
a te a e
A a e B a a e
C e a e D a e a e
案例10:已知向量a e, e 对任意
恒有 则
a - ea
et e
解二:
解三:当然本题也可用建立坐标系求解
( 1 )重点
对平面向量基本定理的探究
( 2 )难点
对平面向量基本定理的理解及其应用
建议五:关于平面向量的基本定理的教学
如图,设 e1 、 e2 是同一平面内两个不共线的向
量,试用 e1 、 e2 表示向量 , , ,��������������������������������������������������������AB CD EF GH
e 2
e 1
G
H
F
E
D
C
B
A
1 22 3e e ��������������AB 1 24CD
��������������e e
1 24 4EF -��������������
e e 1 22 5GH ��������������
e e
设 e1 、 e2 是同一平面内两个不共线的向量,
可以作出该平面内给定的向量 a 在 e1 、 e2 两
个方向上分解得到的向量,
设 、 是同一平面内的两个不共线的向量, 是这一平面内的向量,我们研究 与 、 之间的关系?
a
b
c
c
ab
首先,请大家在用平行四边形法则作出 、 、
a b
2a b
2a b
a
b c
a+2b
b
a
b
C
D'A
B
D
a2a+b
a
b
CB'
A
B
D
a+ba
b
C
A
B
D
G
1F
2F
sinv
cosv
v
( 1 )力的分解 ( 2 )速度的分解
b
B
a
O
A
M
N
c
C
我们一起来作图(平行四边形法则:起点相同)㈠在平面内任取一点 O,作 , ,OA a OB b OC c
������������������������������������������������������������������������������������
㈡过点 C作平行于直线 OB的直线,与直线 OA相交于 M;
过点 C作平行于直线 OA的直线,与直线 OB相交于 N;你们得到了什么? OM ON OC
������������������������������������������
现在要找 与 , 与 的关系,它们有什么样的关系呢?
OM��������������
OA��������������
OB��������������
ON��������������
原来 与 共线; 与 共线。OM
��������������OA��������������
OB��������������
ON��������������
思考:我们能否用 , 把 表示出来呢?ab
c
所以有且只有一个实数 , 使得:
1
1OM OA����������������������������
2ON OB���������������������������� 有且只有一个实数 ,
使得:2
即 1 2OC OA OB ������������������������������������������
1 2c a b
思考 2:是否这一平面内的任一向量都可以用 , 来表示呢?ab
1 2a b
(2) 对你给的这两个向量有什么要求?
思考 3: (1) 这一平面内所有向量的基底是否唯一呢?大 家作图验证是否可以由其它两个向量来表示 ?c
我们得到: (1) 基底不唯一;
(2) 要求这两个向量不共线;
(3) 如果基底选定,则 , 唯一确定 ,可以为零 .1 2
(3) 如果基底选定, , 能唯一确定吗?能为零吗 ?1 2
我们得到:这一平面内的任一向量 都可以表示成:c
我们把不共线的向量 , 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .
a
b
既然这两个向量这么特别,我们一般用 , 表示 .1e
��������������2e
��������������
通过我们的努力,得到了:平面向量基本定理 如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , ,使
1e��������������
2e��������������
a
1 2
1 1 2 2a e e �������������������������� ��
我们把不共线的向量 , 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .
1e��������������
2e��������������
特别的:
时 ,1 2 0 0a 时 , , 与 共线 .1 20, 0 1 1a e������������� �
a
1e��������������
时 , , 与 共线 . 1 20 , 0 2 2a e������������� �
a
2e��������������
例 1 已知向量 、 ,求作向量 .
1e��������������
2e��������������
1 22.5 3e e ����������������������������
1e��������������
2e��������������
作法 :(1) 任取一点 O,作
(2) 作平行四边形 OACB
B
OA
C
12.5OA e����������������������������
23OB e����������������������������
于是 就是 . OC��������������
1 22.5 3e e ����������������������������
b
a
M C
A B
D例 2 如右图示,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 , 用 , 表示 、 、 和 .
AB a����������������������������
AD b����������������������������
ab
MA��������������
MB��������������
MC��������������
MD��������������
分析 :因为 ABCD 为平行四边形可知 M为AC 与 BD 的中点 .所以
MB MD����������������������������
MC MA����������������������������
1
2MC AC���������������������������� 1
2MB DB����������������������������
AC AB AD a b ����������������������������������������������������������������������
DB AB AD a b ����������������������������������������������������������������������
解 :在平行四边形 ABCD 中AC AB AD a b ����������������������������������������������������������������������
DB AB AD a b ����������������������������������������������������������������������
1
21
( )2
MC AC
a b
����������������������������
1
21
( )2
MB DB
a b
����������������������������
MA MC����������������������������
MD MB����������������������������
又
1( )
2MA a b ������������������������������������������ 1
( )2
MD a b ������������������������������������������
说明 :我们在做有关向量的题型时 ,要先找清楚未知向量和已知向量间的关系 ,认真分析未知与已知之间的相关联系 ,从而使问题简化 .
b
a
M C
A B
D
例 3 如右图 , 、 不共线,
, 用 、 表示 .
OA��������������
OB��������������
( )AP t AB t R ����������������������������
OA��������������
OB��������������
OP��������������
OA
P
B
分析:求 ,由图可知 OP��������������
OP OA AP ������������������������������������������
AP t AB����������������������������
OA t AB ����������������������������
AB OB OA ������������������������������������������
而
解: AP t AB����������������������������
OP OA AP ������������������������������������������
(1 )t OA tOB ����������������������������
说明:同上题一样,我们要找到与未知相关连的量,来解决问题,避免做无用功!
OA tAB ����������������������������
( )OA t OB OA ������������������������������������������
如图设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,写出图中 与向量 OA 相等的向量。
变式:与向量 OA模相等的向量 有多少个?
思考:这种提法是否合适?
谢谢 !