平面向量教学建议 (一)

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平面向量教学建议 (一). 福建省厦门双十中学 张瑞炳. 建议一 : 把握好章引言及章头图. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 平面向量教学建议 (一)
Page 2: 平面向量教学建议 (一)

平面向量教学建议(一)

福建省厦门双十中学 张瑞炳

Page 3: 平面向量教学建议 (一)

建议一 : 把握好章引言及章头图

几何是研究图形的性质的 . 图形是由点构成的 . 只要知道了图形的每一点(或者一些关键点)的位置,就知道了图形的形状和位置 . 怎样描述每个点的位置?首先要取一个已知点作为基准点,也就是我们通常所说的原点。只要说清楚了从原点到每一个点的方向、距离,就说清楚了这个点的位置 . 原点到这个点的方向和距离可以用一个向量来表示,这个向量也就表示了这个点的位置 . 将每个关键点的位置都用向量来表示,就将这个图形描述清楚了 . 将这些向量进行适当的运算,就好像我们对于实数进行加、减、乘运算,或者对代数式进行展开和合并一样,可以算出几何图形的性质 .

Page 4: 平面向量教学建议 (一)

建议一 : 把握好章引言及章头图

从而,在章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的联系,体现了向量有丰富的实际背景,图中直角坐标系及有向线段表现了向量方法研究几何内容.章引言说明了向量的研究对象及研究方法,揭示了向量与几何、代数之间的关系,运用向量可将几何性质的研究转化为向量的运算,使几何问题通过向量运算得到解决,从而拓展了几何的研究空间,它就像图中的高速公路一样,是一条解决几何问题的高速路 .

Page 5: 平面向量教学建议 (一)

建议二:上好章导入片段教学

案例 1 :从南辕北辙的故事可以知道,要描述一个运动物体位置的变化,除了指明所走的距离,还必须指明运动的方向 .

比如一艘船从某码头出发,行驶了 200千米,你能确定它的位置吗?不能 .为了确定它的位置,需要知道它朝什么方向行驶了 200千米 .

由此可见,要表示位置的变化,仅仅知道运动的距离是不够的,还必须考虑运动的方向 . 既考虑距离、也考虑方向的量叫作向量 .位置的变化要用向量来描述 .

Page 6: 平面向量教学建议 (一)

猫能捉住老鼠吗 ?

速度是既有大小又有方向的量

• 老鼠由 A 向东北方向以每秒 6 米的速度逃窜 , 而猫由 A 向东南方向每秒 10 米的速度追 .

• 问猫能否抓到老鼠 ?

Page 7: 平面向量教学建议 (一)

建议三:把握核心概念:向量(一)向量的定义

既有大小又有方向的量叫向量。 内涵:大小、方向 .

如:直角坐标平面上的 x 轴、 y 轴是不是向量?为什么?

外延:那些量是向量?位移、力、速度、加速度等。那些量是数量?时间、功、路程、年龄、质量、面积等。

又如:温度有零上和零下之分 ,温度是不是向量 ?为什么 ?

Page 8: 平面向量教学建议 (一)

2. 几何法 : 用有向线段表示

1. 代数法 : 用字母表示

A B

(二)向量的表示(二)向量的表示

AB��������������或

a书写用 ,

印刷用粗体a

有向线段 : 规定了起点、方向、长度的 线段

有向线段与向量是两个不同的概念

a

A B

Page 9: 平面向量教学建议 (一)

说明 1: 我们所说的向量,与起点无关,用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量 .

如图:他们都表示同一个向量。

a

a

Page 10: 平面向量教学建议 (一)

有向线段与向量的区别:有向线段:有固定起点、大小、方向向量:大小、方向。

A

B

C

D

A

B

C

D

有向线段 AB 、 CD 是不同的。

向量 AB 、 CD 是

同一个向量。

Page 11: 平面向量教学建议 (一)

向量与有向线段的区别:向量与有向线段的区别:

(( 11 )向量是自由向量,只有大小和方向两)向量是自由向量,只有大小和方向两个个要素;只要大小和方向相同,则这两个向量要素;只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;就是相同的向量;(( 22 )有向线段有起点、大小和方向三个要)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段。 不同的有向线段。

Page 12: 平面向量教学建议 (一)

(三) 向量的有关概念

AB

|| AB

1. 向量的长度 ( 模 ): 向量 的大小 ( 长度 )

表示: 向量是不能比较大小的 , 但向量的模是可以进行大小比较的 . 有意义

没有意义ba

|||| ba

a

b

Page 13: 平面向量教学建议 (一)

2.2. 两个基本向量:两个基本向量:

0|0|

,0零向量 : 长度为零的向量 ( 方向任意 ).

表示:

单位向量 : 长度为 1 个单位长度的向量 .

仅对向量的大小明确规定,而没有对向量的方向明确规定

Page 14: 平面向量教学建议 (一)

平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(平行向量(也叫共线向量) .. 如图:如图: aa 、、 bb 、、 cc 就是一组平行向量就是一组平行向量 .. 记作:记作: a b c.∥ ∥a b c.∥ ∥ 规定:零向量规定:零向量 00 与任一向量平行与任一向量平行 . .

3.3. 向量的关系:向量的关系:

Page 15: 平面向量教学建议 (一)

a b

cd

注:平行向量仅对向量的方向明确规定,而没有对向量的大小明确规定 .

Page 16: 平面向量教学建议 (一)

a a

a

与 长度相等,方向相反的向量 向量,

记为

相反叫a

aaa )(比如作用力与反作用力

长 两个: 度相等,方向相同的相等向量 向量。

baba

对向量的大小和方向都明确规定

Page 17: 平面向量教学建议 (一)

注意:注意: 1°1° 零向量与零向量相等。零向量与零向量相等。 2°2° 任意两个相等的非零向量,都可以任意两个相等的非零向量,都可以用一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点用一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。 如下图: 无关。 如下图:

cOCbOBaOA

,,

Page 18: 平面向量教学建议 (一)

案例 2 :不相等的两个平行向量有几种可能 ?答: (1) 两个向量中有一个是零向量,而另一个是非零向量;

( 2 )两个向量都是非零向量且方向相同,但模不相等;

( 3 )两个向量都为非零向量且方向相反,模相等;

( 4 )两个向量都为非零向量且方向相反,模不相等 .

Page 19: 平面向量教学建议 (一)

(2008海南卷 8)平面向量 a、b共线的充要条件是( )

A. a、b方向相同 B. a、b两向量中至少有一个为零向量

C. R ,b = λa D.存在不全为零的实数 1 , 2 ,λ1a+λ2b= 0

解:由平面向量共线的概念可知,平面向量 , a b

共线的充要条件

是存在不全为零的实数 1 2, ,使得 1 2 0a b

,故选 D.

案例 3 :

Page 20: 平面向量教学建议 (一)

案例 4 、判定下列命题是否正确 .( 1 )相等向量是平行向量 ;( 2 )平行向量是相等向量 ;( 3 )单位向量都相等;(4)向量 a与b不共线,则 a与b都是非零向量

(5) a与b共线,b与 c共线,则 a与 c也共线

(6)若 AB=DC,则四边形 ABCD是平行四边形

(7)若四边形 ABCD是平行四边形,则 AB=DC

Page 21: 平面向量教学建议 (一)

(8)用有向线段表示共线的向量,若起点不同,

则终点一定不同

(9)若 BCAB ,则 B是线段 AC的中点;

(10)有向线段就是向量,向量就是有向线段

(11)向量 AB的长度与向量 BA的长度相等

(12)若|a |>|b | ,则 a> b

Page 22: 平面向量教学建议 (一)

11 个

案例 5 .如图设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,写出图中 与向量 OA 相等的向量。

OA = DO = CB

变式一:与向量 OA模相等的向量 有多少个?

变式二:是否存在与向量 OA长度相等,方向 相反的向量?

存在,为 FE

CB 、 DO 、 FE

变式四:以图中 A、 B、 C、 D、 E、 F、 O七点任一点为起点、与该点不同的另一点为终点的所有向量中,与向量 OA平行的向量有多少个?模相等的向量有多少个?

9 个;23 个

变式三:与向量 OA长度相等的共线向量有哪些?

Page 23: 平面向量教学建议 (一)

建议四:把握向量的运算:法则、运算律 有了运算,向量的力量无限 . 如果不能进行运算,向量只是示意方向的路标 .

1 )加法:①两个法则 ②坐标表示

减法 : ① 法则 ②坐标表示

运算律

?,)2(

?,)1(

,:

则四边形是什么图形

则四边形是什么图形

baba

ba

bADaAB

Page 24: 平面向量教学建议 (一)

1. 向量的加法运算

A B

C

AB+BC=

三角形法则

O A

B C

OA+OB=

平行四边形法则

坐标运算 :

则 a + b =

重要结论: AB+BC+CA= 0

设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)

( x1 + x2 , y1 + y2 )

AC OC

Page 25: 平面向量教学建议 (一)

案例6: (山东高考题)设向量a=(1, -2), b=(-2, 4),

c=(-1, -2),若表示向量4a, 4b-2c, 2(a- c), d

的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量

d为( )

A(2, 6), B(-2, 6), C(2, -6), D(-2, -12)

解析:由向量加法的几何意义可知:

4a+(4b-2c)+2(a- c)+d=0,

即: d=-6a-4b+4c=(-2, -12),故选D

Page 26: 平面向量教学建议 (一)

2. 向量的减法运算1 )减法法则:

O A

B

OA - OB =

2 )坐标运算 :

若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )

则 a - b=

3. 加法减法运算律a+b=b+a

( a+b)+c=a+(b+c)1 )交换律:

2 )结合律:

BA

(x1 - x2 , y1 - y2)

Page 27: 平面向量教学建议 (一)

案例 7 : 2011 福州三月质检

3 1= + = 3

2 2

已知向量a、b都是单位向量,则a ( , )是a b ( , 1)

A. 充分而不必要条件

C. 充要条件

B. 必要而充分不条件

D. 既不充分也不必要条件

Page 28: 平面向量教学建议 (一)

设 a、b、c为三个非零向量,若 p=| |

a

a+| |

b

b+| |

c

c,

则| p |的取值范围是 ( )

A. [0,2] B. {0,1,2,3}

C. [0,3] D. {0,3}

三个向量首尾相接形成环路

三个向量首尾相接且同方向

分析:

故选 C.

案例 8 :

Page 29: 平面向量教学建议 (一)

2 )实数 λλ 与向量 a a 的积定义:

坐标运算:

λλaa 是一个是一个 向量向量 ..

它的它的长度 长度 ||λλaa| =| = ||λλ| || |aa|| ;;

它的它的方向方向 (1) (1) 当当 λ>0λ>0 时时 ,,λλa a 的方向的方向 与与 aa 方向方向相同相同;;(2) (2) 当当 λλ << 00 时时 ,,λλa a 的方向的方向与与 aa 方向方向相反相反 ..

若 aa = (x , y), 则 λλa a

==

λλ(x , y)

= (λλx , λλy)

(3) (3) 当当 λ=0λ=0 时时 ,,λλa =0a =0

Page 30: 平面向量教学建议 (一)

数乘向量的运算律:

(+μ )a= a+μa

(μa)= (μ)a

(a+b)= a+b

向量的加法、减法与数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算。

Page 31: 平面向量教学建议 (一)

已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA= a , OB= b ,则∠ AOB=θ ( 0°≤θ ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角。

O

B

当 θ = 0° 时, a 与 b 同向;O A B

当 θ = 180° 时, a 与 b 反向; OA BB

当 θ = 90° 时,称 a 与 b 垂直,

记为 a⊥b. O Aab

3 )平面向量的数量积

Page 32: 平面向量教学建议 (一)

3 )两个非零向量的数量积:

规定:零向量与任一向量的数量积为 0

a · b = |a| |b| cosθ

几何意义:数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ 的乘积 .

Aa

b

θ

B

B1

O

B

A

θ

b

B1aO

θ

B

b

(B1) Aa

O

Page 33: 平面向量教学建议 (一)

平面向量数量积的性质:平面向量数量积的性质:

( 1 ) e · a=a · e=| a | cos

( 2 ) a⊥b a · b=0 ( 判断两向量垂直的依据 )

( 3 )当 a 与 b 同向时, a · b =| a | · | b | ,当 a 与 b 反向时, a · b = -| a | · | b | . 特别地

2 2a a a a a 或

4 cosa b

a b

( a // b a · b=±|a| · |b| )

(5) a b a b

Page 34: 平面向量教学建议 (一)

数量积的运算律:⑴交换律: abba

⑵ 对数乘的结合律: )()()( bababa

⑶分配律: cbcacba )(

注意:

数量积不满足结合律 )()(: cbacba 即

数量积不满足消去律 cbcaba 推不出即:

000 abba 或也推不出

Page 35: 平面向量教学建议 (一)

: (a b c

即 )=0

a b a c

: (a b c

即 )

b

b - c

a

c

,

,

_______ .

ABC OA OB

OB OC OC OA ABC

����������������������������

��������������������������������������������������������案例9:已知在 中

则O是的 心

Page 36: 平面向量教学建议 (一)

( ) 0, 0

, , ,

.

OA OB OB OC

OB OA OC OB CA

OB CA OC AB OA BC

O ABC

��������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������解:由 得:

即同理

故 是 的垂心

Page 37: 平面向量教学建议 (一)

1, ,

, ( )

, , , ( ),

, ( ), , ( ) ( ),

t R

a te a e

A a e B a a e

C e a e D a e a e

案例10:已知向量a e, e 对任意

恒有 则

2 2

2 2

2

2

2

2

: , ,

( ) ( ) , 1,

2 2 1 0 ,

( 2 ) 4(2 1) 0

( 1) 0, 1,

( ) 0. .

a te a e a te a e

a te a e

t a et a e t R

a e a e

a e a e

e a e a e e C

解一

e

对 恒成立

故选

Page 38: 平面向量教学建议 (一)

1, ,

, ( )

, , , ( ),

, ( ), , ( ) ( ),

t R

a te a e

A a e B a a e

C e a e D a e a e

案例10:已知向量a e, e 对任意

恒有 则

a - ea

et e

解二:

解三:当然本题也可用建立坐标系求解

Page 39: 平面向量教学建议 (一)

( 1 )重点

对平面向量基本定理的探究

( 2 )难点

对平面向量基本定理的理解及其应用

建议五:关于平面向量的基本定理的教学

Page 40: 平面向量教学建议 (一)

如图,设 e1 、 e2 是同一平面内两个不共线的向

量,试用 e1 、 e2 表示向量 , , ,��������������������������������������������������������AB CD EF GH

e 2

e 1

G

H

F

E

D

C

B

A

Page 41: 平面向量教学建议 (一)

1 22 3e e ��������������AB 1 24CD

��������������e e

1 24 4EF -��������������

e e 1 22 5GH ��������������

e e

设 e1 、 e2 是同一平面内两个不共线的向量,

可以作出该平面内给定的向量 a 在 e1 、 e2 两

个方向上分解得到的向量,

Page 42: 平面向量教学建议 (一)

设 、 是同一平面内的两个不共线的向量, 是这一平面内的向量,我们研究 与 、 之间的关系?

a

b

c

c

ab

首先,请大家在用平行四边形法则作出 、 、

a b

2a b

2a b

a

b c

a+2b

b

a

b

C

D'A

B

D

a2a+b

a

b

CB'

A

B

D

a+ba

b

C

A

B

D

Page 43: 平面向量教学建议 (一)

G

1F

2F

sinv

cosv

v

( 1 )力的分解 ( 2 )速度的分解

Page 44: 平面向量教学建议 (一)

b

B

a

O

A

M

N

c

C

我们一起来作图(平行四边形法则:起点相同)㈠在平面内任取一点 O,作 , ,OA a OB b OC c

������������������������������������������������������������������������������������

㈡过点 C作平行于直线 OB的直线,与直线 OA相交于 M;

过点 C作平行于直线 OA的直线,与直线 OB相交于 N;你们得到了什么? OM ON OC

������������������������������������������

现在要找 与 , 与 的关系,它们有什么样的关系呢?

OM��������������

OA��������������

OB��������������

ON��������������

原来 与 共线; 与 共线。OM

��������������OA��������������

OB��������������

ON��������������

思考:我们能否用 , 把 表示出来呢?ab

c

所以有且只有一个实数 , 使得:

1

1OM OA����������������������������

2ON OB���������������������������� 有且只有一个实数 ,

使得:2

即 1 2OC OA OB ������������������������������������������

1 2c a b

Page 45: 平面向量教学建议 (一)

思考 2:是否这一平面内的任一向量都可以用 , 来表示呢?ab

1 2a b

(2) 对你给的这两个向量有什么要求?

思考 3: (1) 这一平面内所有向量的基底是否唯一呢?大 家作图验证是否可以由其它两个向量来表示 ?c

我们得到: (1) 基底不唯一;

(2) 要求这两个向量不共线;

(3) 如果基底选定,则 , 唯一确定 ,可以为零 .1 2

(3) 如果基底选定, , 能唯一确定吗?能为零吗 ?1 2

我们得到:这一平面内的任一向量 都可以表示成:c

我们把不共线的向量 , 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .

a

b

Page 46: 平面向量教学建议 (一)

既然这两个向量这么特别,我们一般用 , 表示 .1e

��������������2e

��������������

通过我们的努力,得到了:平面向量基本定理 如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , ,使

1e��������������

2e��������������

a

1 2

1 1 2 2a e e �������������������������� ��

我们把不共线的向量 , 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .

1e��������������

2e��������������

特别的:

时 ,1 2 0 0a 时 , , 与 共线 .1 20, 0 1 1a e������������� �

a

1e��������������

时 , , 与 共线 . 1 20 , 0 2 2a e������������� �

a

2e��������������

Page 47: 平面向量教学建议 (一)

例 1 已知向量 、 ,求作向量 .

1e��������������

2e��������������

1 22.5 3e e ����������������������������

1e��������������

2e��������������

作法 :(1) 任取一点 O,作

(2) 作平行四边形 OACB

B

OA

C

12.5OA e����������������������������

23OB e����������������������������

于是 就是 . OC��������������

1 22.5 3e e ����������������������������

b

a

M C

A B

D例 2 如右图示,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 , 用 , 表示 、 、 和 .

AB a����������������������������

AD b����������������������������

ab

MA��������������

MB��������������

MC��������������

MD��������������

分析 :因为 ABCD 为平行四边形可知 M为AC 与 BD 的中点 .所以

MB MD����������������������������

MC MA����������������������������

1

2MC AC���������������������������� 1

2MB DB����������������������������

AC AB AD a b ����������������������������������������������������������������������

DB AB AD a b ����������������������������������������������������������������������

Page 48: 平面向量教学建议 (一)

解 :在平行四边形 ABCD 中AC AB AD a b ����������������������������������������������������������������������

DB AB AD a b ����������������������������������������������������������������������

1

21

( )2

MC AC

a b

����������������������������

1

21

( )2

MB DB

a b

����������������������������

MA MC����������������������������

MD MB����������������������������

1( )

2MA a b ������������������������������������������ 1

( )2

MD a b ������������������������������������������

说明 :我们在做有关向量的题型时 ,要先找清楚未知向量和已知向量间的关系 ,认真分析未知与已知之间的相关联系 ,从而使问题简化 .

b

a

M C

A B

D

Page 49: 平面向量教学建议 (一)

例 3 如右图 , 、 不共线,

, 用 、 表示 .

OA��������������

OB��������������

( )AP t AB t R ����������������������������

OA��������������

OB��������������

OP��������������

OA

P

B

分析:求 ,由图可知 OP��������������

OP OA AP ������������������������������������������

AP t AB����������������������������

OA t AB ����������������������������

AB OB OA ������������������������������������������

解: AP t AB����������������������������

OP OA AP ������������������������������������������

(1 )t OA tOB ����������������������������

说明:同上题一样,我们要找到与未知相关连的量,来解决问题,避免做无用功!

OA tAB ����������������������������

( )OA t OB OA ������������������������������������������

Page 50: 平面向量教学建议 (一)

如图设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,写出图中 与向量 OA 相等的向量。

变式:与向量 OA模相等的向量 有多少个?

思考:这种提法是否合适?

Page 51: 平面向量教学建议 (一)

谢谢 !