조홍기 한국과학기술원 토목공학과 석사과정 오주원 한남대학교...

조홍기 한국과학기술원 토목공학과 석사과정조홍기 한국과학기술원 토목공학과 석사과정

오주원 한남대학교 토목공학과 교수오주원 한남대학교 토목공학과 교수

이인원 한국과학기술원 토목공학과 교수 이인원 한국과학기술원 토목공학과 교수

한국강구조학회 2000 학술발표회

감쇠 시스템의 고유진동수와 모드의 민감도

Structural Dynamics & Vibration Control Lab.Structural Dynamics & Vibration Control Lab. 22

발표순서

1. 연구배경

2. 기존연구

3. 개선된 방법

4. 수치예제

5. 결론


연구 배경연구 배경

고유쌍의 미분값들은 동적응답의 민감도를 결정

최적화 설계나 CMS 방법등에서 필요

설계 경향 연구나 , 시스템 거동에 대한 직관

기존 방법 보다 좀더 효율적인 방법 추구


기존 연구기존 연구1 이론적 배경 및 기존연구

jjj MK

1jTj M

일반화된 고유문제

정규화 조건

(1)

jjjjjj MMKMK )()(

(2)

(3)

(4)jjTjj )( MK 고유치의 미분 :

고유벡터의 미분은 ? 많은 학자들이 연구

식 (1) 을 설계변수에 대해 미분하면

식 (3) 의 양변에 를 곱하면Tj


모드 방법 (Modal method)(1968~)

- 고유모드의 미분을 여러 개의 고유모드 합으로 나타내는 방법

n

iiij

1

반복적 방법 (Iteration method)(1974~)

- 고유모드의 미분을 수치적으로 구하는 방법으로 근사해를 구함

Rudisill & Chu’s method (1975)

jjj

j

jj

Tj

MKMMK

00

-알고리즘이 간단하나 계수행렬이 비대칭이어서 저장공간이 많이 필요하고 계산시간도 길다 .


Nelson’s method

(1976)

- 특이해와 비특이해의 합으로 고유모드 미분을 구하는 방법- 특이해를 구하는 알고리즘이 복잡하고 , 중복근의 경우 적용이 어렵다 .

jj c

Lee & Jung’s method

(1997)

jTj

jj

j

jTj

jj

M

MK

M

MMK

5.0

)(

0

- 알고리즘이 간단하다 .

- 계수행렬이 대칭이어서 저장공간이나 계산시간이 절약된다 .

- 중복근으로의 적용이 쉽다 .


(5)

2 감쇠시스템의 경우 Lee & Jung’s method (1999)

0)( 2 KCM 감쇠시스템의 고유문제

jjjj

jjj

jj ppppp

KCM

CMKCM 22 )2()(

jjjTj

j

pppp

KCM2고유치의 미분

(6)

(7)

식 (5) 를 설계변수에 대해 미분하면

식 (6) 의 양변에 를 곱하면Tj


(8)

(9)

고유벡터의 미분

미분

고유벡터의 미분은 ?

jjjT

jj

jTj pppp

CM

MCM 22

1)2(

jjjT

j

jjjj

jj

j

jTj

jjjj

ppp

pppp

p

CMM

KCMCM

CM

CMKCM

22

1

)2(

00)2(

)2(

2

2

(10)

00

0

M

MC

M

K 상태공간방정식 도입

1)2(0

jjTj

jj

j

T

jj

j

CMM

MC 정규화 조건

식 (10) 와 식 (6) 을 대수방정식 형태로 정리하면

(11)


jjjT

j

jjjj

jj

j

jTj

jjjj

ppp

pppp

p

CMM

KCMCM

CM

CMKCM

22

1

)2(

00)2(

)2(

2

2

jjjTj

j

pppp

KCM2 고유치의 미분

고유벡터의 미분

(13)

(12)


개선된 방법개선된 방법1 알고리즘

(14)

(16)

(17)

0)( 2 KCM

1)2( jjTj CM

감쇠시스템의 고유문제

정규화 조건

jjjj

jjj

jj ppppp

KCM

CMKCM 22 )2()(

jjTj

jj

Tj

jj

Tj

pppp

CMMCM 22

1)2(

(15)

미분

미분


(18)

jjTj

jjj

j

j

jTjj

Tj

jjjj

pp

ppp

p

p

CM

KCM

MCM

CMKCM

22

1

)2(

)2(

2

2

식 (15) 과 식 (17) 을 선형대수방정식 형태로 정리하면

고유치와 고유모드의 미분이 동시에 구해짐


(19)

(20)

2 수치적 안정성 증명

0)det()det()det()det( YAYYAY *T*T

nnwhere jn :]....[ 1321

jTjj

Tj

jjT

jjT

jTjj

Tj

jjjj

T

MCM

CMKCM

MCM

CMKCMYAY *T

)2(

)2()(

1)2(

)2(

1

2

2


rnonsingulannjjT )1()1(:

~,

0

~)( 2

A

0

0AKCM

1~

)2(1

~

)2(TbCM

bCM

jTjjj

T and

1:~ nwhere b

MT1

~10

~~

T

*T

b

0

b0A

YAY

(22)

(21)

(23)


(24))det(detdet 1BCADADC

BA

0

~~~1

10det)A

~(det

~~~

1

10det)A

~(detY)A(Ydet

1

1*T

bAbM

bAbM

T

T

T

T

0)det(A*

(25)

(26)


Number of nodes : 28

Number of element : 36

Number of DOF : 72

Young Modulus :

Mass density :

Poison’s ratio : 0.3

Thickness : 0.01 m

25 /105.10 mNE 33 /1088.5 mkg

수치 예제수치 예제


Table 1. The lowest twenty eigenvalue and their derivatives

EigenvalueEigenvalue derivative(Lee&Jung’s method)

Eigenvalue derivative(Proposed method)

-1.537E-02j5.453E+00 -2.973E+00j5.453E+02 -2.973E+00j5.453E+02

-2.367E-01j2.173E+01 -4.724E+01j2.173E+03 -4.724E+01j2.173E+03

-5.480E-01j3.309E+01 -1.095E+02j3.308E+03 -1.095E+02j3.308E+03

-2.345E+00j6.844E+01 -4.689E+02j6.836E+03 -4.689E+02j6.836E+03

-1.569E+01j1.764E+02 -3.138E+03j1.750E+04 -3.138E+03j1.750E+04

ModeNumber

1,2

3,4

5,6

7,8

17,18

19,20 -2.196E+01j2.084E+02 -4.392E+03j2.061E+04 -4.392E+03j2.061E+04

Table 2. Some components of the first eigenvector and its derivatives

EigenvectorEigenvector derivative(Lee&Jung’s method)

Eigenvector derivative(Proposed method)

-7.380E-01-j7.380E-01 7.380E+01+j7.380E+01 7.380E+01+j7.380E+01

-1.498E+00-j1.498E+00 1.498E+02+j1.498E+02 1.498E+02+j1.498E+02

2.736E-01+j2.736E-01 -2.736E+01-j2.736E+01 -2.736E+01-j2.736E+01

-4.472E+00-j4.472E+00 4.472E+02+j4.472E+02 4.472E+02+j4.472E+02

Eqn.number

1

2

3

71

72 -1.223E-01-j1.223E-01 1.223E+01+j1.223E+01 1.223E+01+j1.223E+01


jjjTj

j

pppp

KCM2

0)2(

)2(*

2

CM

CMKCMA

jTj

jjjj

jjjT

j

jjjj

jj

j

ppp

pppp

CMM

KCMCM

f

22

1

)2( 2

j

j

p fA 1*][0

j

Tjj

Tj

jjjj

MCM

CMKCMA

)2(

)2(2#

jjTj

jjj

j

pp

ppp

CM

KCM

f

22

1

2

jj

j

p

pfA 1# ][

Total

Lee & Jung’smethod

Proposedmethod

Method Operations CPU time(sec)

0.95

1.71

1.32

2.28

6.26

1.73

1.31

2.28

5.32

Total

Table 3. CPU time spent on the calculation of the first twenty eigenpair derivatives


0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40

Number of eigenvalues

CPU

tim

e (

sec)

Lee & Jung's method

Proposed method 10.8 초

12.8초


결론결론

제안 방법은 기존의 고유치와 고유모드의 민감도 해석방법 중

가장 효율적인 Lee & Jung’s method 를 개선한 방법이다 .

감쇠시스템의 경우 Lee & Jung’s method 는 고유치와

고유모드의 미분을 따로 구했으나 , 본 방법에서는 이를 동시에

구할 수 있는 식을 제안함으로 알고리즘을 좀더 간략화 하였다 .

제안방법을 통해 Lee & Jung’s method 보다 계산 시간을

현저하게 줄일 수 있다 .


중복근의 경우중복근의 경우

M

MK

M

MMKTT 5.0

)(

0

Φ

D

근접 모드

**

]Φ)(Φ[ MKDwhere T


중복근의 경우 중복근의 경우 (( 제안방법제안방법 ))

D

근접 모드

**

p

C

p

M

p

K

p

C

p

M

MCM

CMKCM

jT

TT

22

1

)2(

)2(

2

2

]Φ)(Φ[ 2 KCMDwhere T

Φ


중복근의 경우 중복근의 경우 (Lee & Jung’ method)(Lee & Jung’ method)

D

근접 모드

**

ppp

pppp

T

T

CMM

KCMCM

CM

CMKCM

22

1

)2(

00)2(

)2(

2

2

Φ

]Φ)(Φ[ 2 KCMDwhere T

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