آموخت فكرت كه آن نام بهمكانيك

نوشته كوانتوميبالنتين

5فصل

اندازه حركت وكاربردهاي آن

اميني نسيمحاجيان شيرين

راهنما استادجاللي دكتر

مي فصل اين در آنچه خوانيم :

تكانه- 1 نمايش

يك- 2 در تكانه توزيعاتم

بلوخ- 3 قضيه

پراش- 4 تئوري

پراش- 5 آزمايش

ميدان- 6 در حركتنيرو يكنواخت

pp pp )3,2,1(

AxxA )(

عملگر ازاين مولفه سه عنوان به يكه بردارهاي انتخاب با تكانهشود مي تعريف

به پيوستارند فرم به كه مقادري براي را هنجاري راست شرايطپذيريم مي زير شكل

pppp

. است بينهايت هنجار با بردار ويژه يك كه

داخلي ضرب بررسي به ومكان تكانه بردارهاي ويژه كردن پيدا برايپردازيم مي آنها

iP

(4-1)

(4-3)

هاي رابطه بردن كار به بازير:

و kp

تكانه نمايش

kxkkpxkxi

xikekckx .)(

xdkxxkkkkk 3)(

زير صورت به آن جواب كهاست

)()2)(()(*}).(exp{)()(* 33 kkkckcxdxkkikckc

كه : اين 2نتيجه3)2()( kc

در جايگذاري داريم : * با

*

xikekx .23

2

از تابع يك مكان فضاي در است xنمايش

)(xx

داريم : بهنجارش شرط از

)()()2( 233.2

33 kxdxexdxxkk xik

xdxek xik 3.23

)()2()(

اين به تكانه فضاي در نمايش ترتيب همين بهاست صورت

فوريه تبديلاست

)(k)(x

فضای در بنابراین است قطری خود فضای در عملگر هر. است قطری

صورت اين به اثرعملگرمكان است:

k

kxdxxeQk xik

)(

)()2( 233.2

3

)(kP

)()( kKkP

p

ik

iQ

xk

اين به تكانه فضاي در مكان عملگر بنابرايناست شكل

فضاي به متعلق بنابراين نابهنجارند تكانه بردارهاي ويژهنيستند مي هيلبرت فرض اما كند نمي ايجاد مشكلي موضوع اين كه اين وجود با

از بزرگي ابعاد با مكعبي ما فضاي از . Lكنيم صورت اين به استاي دوره مرزي شرايط و كنيم مي جلوگيري نرم شدن نهايت بي

. كنيم مي اعمال باشد را اي دوره صورت به در عملگرتكانه اگربخواهيمبه از مقاديرمجاز صحيحي مضرب مرزي شرايط ازاي

بود L. خواهد

2

مجاز مقدار يك فضاي kبنابراين در هر وجود kبرايدارد.

3)2(L

را ها آن زير صورت به مكعب اين بردارهاي ويژه دادن نشان باكنيم مي جدا قبل قسمت از

Lk

kkLLkk ,

xik

LeLkx .2

3

شرايط از پس كرديم بهنجار را ها بردار ويژه صورت اين بهكنند مي ارضا را هنجاري راست

مرزمطابقت بدون فضاي با بايد روش اين نتيجه حد در . شود . نمي تبديل به حد اين در رابطه كه صورتي در كند

L85 45

چون پذیری مشاهده داشتی چشم مقدار دارد اهمیت ما برای چه آنحالت روی

است

)( pf

. بنابراین است حرکت اندازه فضای در احتمال چگالیاست صورت این به اول روش نتیجه

pdppff 32)(

2p

pdppfpppf 3)(

2k

L

2)()( kpfpf

) اندازه ) فضای در احتمال ای جعبه روش دومین در( . است در گسسته مقادیر ازای به در kحرکت مجاز مقادیر

) مرزی شرایط

مجاز مقادیر برای . kمجموع برای است شبکه هر ) Lدر در بزرگدر مجاز ( kفضای حجم شود kمقادیر می متراکم

رابطه Lدر مقايسه بزرگ که :4-5با 8-5 هاي دهد می نشان

یک در تفاوت با است روش اولین پاسخ مشابه روش دومین نتیجه پسضریب

pdL

kdL

3

33

3

22

k

232)

2( kL

kL

32

L

اتم یک در تکانه توزیع

تئوری حالت ,طبق برای حرکت اندازه احتمال به توزیعاست زیر شکل

حالت ترین ویک ,ساده الکترون یک با هیدروژن اتماست پروتون

می انجام باال انرژی با الکترون از ای باریکه با هیدروژن اتم یونشگیرد

23.32

)()2( xdxep xik

0ep

که : کند می ایجاب تکانه پایستگی معادله

تکانه هستندو برخورد از قبل پروتون و الکترون تکانه واز پس هسته . نهایی است یونیزاسیون

می اتفاق سرعت به اتمی الکترون و انرژی پر الکترون برخوردمی زده پس هسته بر تاثیر بدون الکترون که بطوری افتد

بنابراین . : شود

و طول که شوند می تنظیم صورتی به آشکارسازهافرودی تکانه به نسبت یکسانی زاویه هردو و شود مساوی . بردار سه چون باشند داشته

. نیستند صفحه هم لزوما و وو صفحه و و صفحه میان زاویه شکل طبق بنابراین

است مساوي

NbaNe PPPPPP 0

ePNPNP

NN pp

aPbP0p0p

aPbP

0pbP0paP

2

21 eeetotal pppP

آید : می دست به زیر شکل به اتمی الکترون تکانه اندازه

تغییر مختلف مقادیر ازای به ثابت زاویه برای آزمایش این در . معادله در ترم اگر کند و می و بردار سه نداشت وجود

مقدار اکنون ولی گرفتند می قرار صفحه یک با درون متناسباست.

پراکندگی مقطع سطح با پراکندگی پدیده چنین رخداد احتمالالکترون ) ( –الکترون برخورد برای اتمی الکترون و فرودی

دارای اتمی الکترون اینکه احتمال در نهایت ودر است متناسب. گردد می ضرب باشد حرکت اندازه

از است عبارت رویدادی چنین برای شده مشاهده آشکارسازی آهنگ

و ها الکترون انرژی از تابعی الکترون برای پراکندگی برخورد مقطعپراکندگی بنابراین . زاویه می است اختصاص خود به ثابتی مقدار

دهد.

21

22

0 )2

sin(sin2cos2

aae pppp

aPbP0p

ep

ep

eeep

ee

ba PP

اتمی الکترون تکانه توزیع با متناسب مقداری تنها آشکارسازی آهنگرا وتجربه تئوری میان صریح مقایسه یک امکان این که دارد

. این به آزمایش این مورد در شده ارائه نکات سایر سازد می ممکناست . صورت

اینکه اولو . : شده پراکنده الکترون تفکیک امکان پس یکسانند ها الکترون تمامی

زده پس انتخاب الکترون با که است ممکن توجیه , غیراست آسان مسئله این

دوم گرفت .اینکه : نظر در صورت دو به توان می را اتم با الکترون برخورد

الکترون برخورد شامل نقش –یکی که پروتون یک بهمراه الکترونکند می بازی ناظررا

الکترون برخورد دیگری کم –و انرژی ناظربا الکترون درآن که پروتوندارد شدن زده پس به میل

2eP

ba

ba PP . نا برخوردهای عمل این با شد معین انتخاب دلیل اکنون. ) - ایم ) کرده حذف پروتون برخوردالکترون را خواسته

) جرم ) به ذره شرودینگربرای معادله مانا ساکن حالت Mپاسخکروی متقارن پتانسیل است : در زیر صورت به

(C و بهنجارش ( ضریب

رابطه مربع 5- 10برطبق با متناسب حرکت اندازه احتمال توزیع. است فوریه تبدیل

هیدروژن اتم پایه حالت انرژی از بایستی فرودی الکترون انرژیباشد ( ) نزند بیشتر لطمه احتمال مقدار به که آنجا تا اما

زیرا:

2

2

0 Mea

r

erW

2

)(

0)( a

r

cer

4220

2)1( KaCpe

6/13

422)( Kpe

خواهیم تجربه و تئوری سازگاری به یت نها دررسید.

بلوخ قضيه

تناوبي هاي سيستم براي ساكن هاي حالت بررسي به قضيه اينپردازد مي جامد حالت فيزيك در ها كريستال مانند

صورت اين به كريستال يك براي انتقال بردار: شود مي تعريف

332211 anananRn

نيز هاميلتوني خواهيم مي ماند مي ثابت انتقال اين تحت شبكهبه را يكاني عملگر همخواني اين براي كند حفظ را خود ناوردايي

: كنيم مي تعريف زير صورت

HRHURU nn )()( 1

nRU

EH

).exp()( nn RikRc

)()( nn RcRU نتيجه حقيقي kدراست.

بايد بنابراين است يكاني عملگر: باشيم داشته

1nRC

اي دوره پتانسيل با سيستمي هر براي نتايج ايناست صادق

با همچنين و يكديگر با يكاني هاي عملگر مي Hاين جابجا: داريم. پس شوند

به كند مي صدق دوم مقداري ويژه معادله در آنچه: است زير شكل

شكل به مكان فضاي در ذره يك تابع ويژه: است زير

xx

nn RxxRUx : كنيم مي تعريف

مشترك توابع به Hويژه زير شكل به و: آيند مي دست

nRU

)().exp()( xRikRx nn K است بلوخ .بردار

بسط تخت امواج سري يك صورت به را بلوخ موج تابع: دهيم مي

k

xkiekax .)()(

معادله هاي پاسخ كه كرد اثبات را مهم قضيه اين بلوخاي خاص شكل به بايد اي دوره پتانسيل يك براي شرودينگر

باشد rikkk erUr .

1.exp nRkki

شبكه دوره تخت موجبلور=

مشترك توابع ويژه در بسط جايگزيني باداريم:

k

xkiRikxki

k

Rki ekaeeeka nn .... )()(

شرط در كه دارد سازگاري صورتي در رابطه ايننمايد . صدق

بردار هايي كه اين شرط را ارضا مي كنند عبارتند mGkkاز:

وارون شبكه برداراست.

mG

يك گرفت نظر در براي توان مي كه اي شبكه ترين سادهضلع به مربعي آن ياخته كه است ساده . aشبكه شبكه است

. است ضلع به مربعي شبكه يك نيز آن وارون

nR

a

2

بازنويسي زير شكل به را بسط در جايگزين رابطهكنيم : مي

xGki

Gm

m

m

eGkax ).()()(

تكانه توابع ويژه روي بسط تخت امواج روي بسط كه آنجا ازاست . گسسته باال رابطه براي تكانه توزيع است

پراش پراكندگي تئوري

در كوانتوم كاربردهاي و پراش تئوري بررسي قسمت اين در ما هدف. است قسمت اين

دوره آرايه وسيله به پراش پراكندگي اي:

دنبال متفاوت روش دو از را مسئله اينكنيم : مي

چگالي چگونگياحتمال

احتمال توزيعتكانه

a -چگالي چگونگي احتمال

شرايط گرفتن نظر در با شرودينگر معادله حل روش اوليناست فرودي باريكه براي مرزي

xExxWxM

)()()(2

22

در تعيين هدفآشكارسازهاست. 2x

. بنابراين گردد مي آسان نور فيزيك هاي باروش تنها معادله حلرياضي هاي روش كاربرد به فيزيكي تعابير گرفتن نظر در بدون

. پردازيم مي باال در اپتيكي

معادله شرودينگر

. است ذرات فرودي باريكه تكانه

2

kp

آشكارساز تا منبع از پرتو در براي شده طي راه اختالف اگرايجاد باشد شده پراكنده فرودي موج طول از صحيحي مضرب

. كنند مي تداخلدر از توجهي قابل مقادير وجود آن نتيجه

آشكارسازهاست . na )sin(sin 12

- اي ذره موجي دوگانه خاصيت توسط آمده دست به نتيجه. شود مي تفسير

b- احتمال توريعتكانه:

باشد داشته را حركت اندازه ذره يك اينكه احتمالكند حركت راستاي در ذره كه اين با است kمعادل

kp

قضيه ياد به تكانه فضاي يك بهمراه اي دوره آرايش نوعي باافتيم مي بعدي دو حالت در بلوخ

جهات در اي دوره معادله y و xسيستم حل است. دهد مي را بلوخ موج تابع بعدي دو شرودينگرشكل

),()( ).( zqbexn

nxgqi

qn

باال معادله از خطي تركيب شرودينگر معادله كلي پاسخ اماشده توليد آن در مرزي شرايط در صدق منظور به كه است

است.براي – 1 فرودي موج با z>0تابع تخت امواج شامل

. است

xike .0zk

xykq 2 . است– با بلوخ تابع شكل به موج تابع

كريستال– 3 باالي آزاد فضاي و w=0براي استداريم :

kk M

kE

2

22

k

xkixik ekrex )()( .

(z>0) 0zk

k برابر شود پراكنده جهت در ذره يك اينكه احتمالبا است

2kr

ikxiqxgqi eeeg n 0

xgqixki neeg 0

: داريم بنابراين

nxy gkk )(

معين انرژي پايستگي شرط و مقدار توسط مولفه. گردد مي

zkxyk

k بنابراين گردند مي گسسته اي مجموعه به منحصر مقاديردهد مي رخ گسسته جهات از اي مجموعه در تنها پراكندگي

زيرا: nxy gkk

در zمولفه شبكه زيرا نيست كوانتيدگي شرايط تابع تكانه.zجهت است نبوده اي دوره

روش با مقايسه براياول:

بعد در ها اتم از اي دوره هاي مي yآرايه نظر دربنابراين گيريم

a

ngn

2

a

nkk yy

2

قرار اول روش نتيجه در اگردهيم:

na

k

2

)sin(sin 12

و بودن اي دوره وابستگي براي متعارف مثال سه گسستگي :

تناوب- 1 دوره با فضايي aتناوبa

npp

2

تناوب- 2 دوره با زماني TwnتناوبT

nEE

2

دوره- 3 با گردشي تناوبتناوب

2

n

nJJ

2

2

عكس با كوانتوم تناسب اند مشترك ها مثال تمامي در آنچهتناوب Xاست Xدوره

2

شكافي دو پراش

شكاف دو كه اي پرده از مشابه ذرات از گروهي عبوردارد.

يكنواختي فضايي توزيع باشد باز ها شكاف از يكي فقط اگر. دارد بستگي شكاف عرض به آن پهناي كه داشت خواهيم

ايجادخواهد تداخلي الگوي يك ذرات فضايي توزيع بازباشند اگردوشكاف اماكرد.

گيري اندازه قابل ها مينيمم و ماكزيمم وضعيت كهاست.

متوالي ازنقاط شده ساخته تداخلي الگوي بتوان كه كنيد فرضرسيده هاي . الكترون هاي الكترون نسبت ديد لحظه همان در را

بين الكترون يك فقط لحظه هر در كه طوري به است كم ورودي. باشد داشته وجود وآشكارساز چشمه

- الكترون كنش هم بر حسب بر توان مي را پراش طرح. كرد توصيف الكترون

داد نشان موج بسته يك با توان نمي را اينكه الكترون دليل بهتداخلي فرانژهاي پهناي از تر ظريف خيلي الكترون يك مكان

است.مي پراشيده ذرات از آماري توزيع يك فقط تداخل الگوي

باشد.را كوانتوم نظريه روي كالسيكي ازاحتماالت نقض يك موضوع اين البته

. است كرده ايجادشكاف فقط درمكان 1اگر ذره يك آشكارسازي احتمال باشد به xباز

ترتيب همين به و است شكاف صورت فقط باشد 2اگر بازدر سازي آشكار . xاحتمال شكاف دو هر اگر است صورت به

در آشكارسازي احتمال باشند . به xباز است صورت

xp1

xp2

xp12

شكاف از يا است مجبور شكاف 1 الكترون از يا كند .2عبور

: داريم احتماالت جمع قانون از بنابراين

xx pp21

xp12

وهيچ شدند گيري اندازه همگي احتمال سه حاصل اما تساويبنابراين. قانون نشد كه گيريم مي احتمال نتيجه تئوري جمع

. شود نمي رعايت كوانتومي درمكانيك

شكاف) - موج شكاف 1تابع و 2باز بسته( =

1C

به است مربوط اول شكل كرد استفاده جاي به از نبايدتغيير آزمايش آخر تا و باشد معلوم ابتدا از وضيعت كه حالتي

. است . تغيير حال در وضعيت اينجا كه حالي در نكند

xp cxp

مي نظر در را مجزا شرايط سهگيريم

شكاف) - موج شكاف 2تابع و 1بازشكاف) - بسته( = موج شكاف 1تابع و 2بازباز( =

2C

3Cمي مشاهده آزمايش در

كه : كنيم)()()( 321 CXPCXPCXP

آزمايش : و پراش پراكندگي

هاي ) شبكه معموال اي دوره ازساختارهاي پراش پراكندگيذرات براي كريستالي( از است بسياري شده مشاهده

گوناگون ذرات براي پراش پراكندگي گوناگون كشف ذرات براي پراش پراكندگي كشف

اشعه هاي اشعه فوتون هاي xx 1912 1912M.von laueM.von laueفوتون

ها ها الكترون 192192C.Davisson and C.Davisson and 77 الكترونL.H.GermerL.H.Germer

هيدروژن هاي هيدروژن اتم هاي 19301930 اتمO .SernO .Sern

هيدروژن هاي هيدروژن مولكول هاي 19301930O.SernO.Sern مولكول

ها ها نوترون D.P.Mitchell and D.P.Mitchell and 19361936نوترون

P.N.PowersP.N.Powers

از تجربي صورت به شد مرتبط ذره يك به موثر موج به 25-5طولبا دست آيد است pمي مرتبط ذره

دوبروي فرمول وسيله است به پالنك ثابت p كه

h

به را جهاني ثابت گيري اندازه راه يك پراش آزمايشات بنابراينآورد مي وجود

زير رابطه با فوتونها براي شود را مي مشخص

تابش فركانس سطح ,پرتو دو بين انتقال يك طول در . است انرژي

h12 EEh

كميت مستقيم گيري اندازه با پارامتر گيري اندازه ممكن هرچند هامي ,است مستقيم غير گيري اندازه يك تركيب از تر صحيح مقادير اما

. آيد دست به تواند

h

و نسبت اختالف كه است شده داده نشان جا اين ازكسري واحد است ازمقدار مرتبه .از

hhn

h

hn

810

است سازگار هيدروژن مولكولهاي و هليم اتم براي كه نتايج زيرانيست . ساده ذرات مخصوص پراش پديده

( سرعت با درمقايسه كند مي حركت سرعت با جرم به ذره يك ) دهد مي نشان است كوچك پراش نور آزمايش يك در موج طول

. است

iMiV

iii VM

h

طول اين با باشد انتشار حال در فضا در حقيقي فيزيكي موج يك اگركه داريم با انتظار كه ذره چند از تركيب در يك موج طول چندين

موجها ) ( طول همه و است پراش , ارتباط الگوي در. . افتد نمي اتفاق اين اما شوند مي ii ظاهر

i VM

h

)(

iiVM

h يك در كل حركت اندازه با مرتبط موج طول يك فقطشده مشاهده مركب .است سيستم

كوانتيزه تكانه انتقال است قرار پراش پراكندگي درباشد.

. نتايج بنابراين است وابسته شبكه دوره به كوانتوم سايزبراي شده . مشاهده است پذيرش قابل ذرات از اي مجموعه

كالسيكي پراكندگي ,مثال يك كه است توري وسيله به نور پراشاست ماده از اي پديده . دوره اين وسيله ,وارون به ماده پراش

است شده داده نشان ديراك اثر با كه است .نور

ميدان ايستاده تخت موج يك وسيله به خنثي سديم هاي اتمالكتريكي . قطبش خاطر به ها اتم است شده منحرف ليزر . مربع با كنش برهم انرژي دارند كنش برهم ميدان با شان

. رو اين از است متناسب الكتريكي وجود تناوبميدان فضاييمربع )كه دارد شود( شدت مي ليزر موج طول نصف .دامنه

پيشرفت و رشد حال در رشته يك اتمي سنج تداخل اكنون همهاست. الكترون تداخل اتمي معادل كه آزمايشاتي اخيرا است

. است گرفته انجام

در فرودي عبوري Aباريكه باريكه پراشيده ACبه باريكه ABو . شود مي تقسيم

پذير امكان كريستالي تك سنج تداخل با نوترونها تداخل آزمايشاتحدود. در سيليكان كريستال زيرازيك شكل با كريستال اين است

10. است شده مترساخته سانتي

و در آشكارساز دو با باريكه دو هاي دامنه تداخل. شود مي مشاهده

1D2D

عبوري هاي بخش درمجموع هاي CDدامنه بخش اضافه به است BDپراشيده

رئوس از يك هر در عبور و بازتاب ضرائب كه كنيم مي و AفرضBوC و D . هستند يكسان

بحث مورد متمايز انتشار راستاي دو فقطاست.

دهد مي شرح را كلي پراش قله زيريك شكل

مي مشخص خطي واحد عملگرهاي با وانتشار تحولشود.

اين به ورودي و خروجي موج هاي دامنه بين ارتباطاست : شكل

2

1

2

1

a

aU

a

a

us

rtU عبور ضرائب uو tعناصر

عناصر ضرائب sو rو بازتابند

هاي درايه بين رابطه واحد Uچند دليل به كه دارد وجود. است آن بودن

122 rt 1

22 us

1 rstu مطلق قدر داراي بايد واحد ماتريس باشد. 1 دترمينان

داريم : رابطه 1از UU

**

**1

ur

st

ts

ru

rstu

: به رسيم مي آخر دورابطه tuاز

rs

ازنامساوي استفاده بامثلثي:

1 rstu

ABiAB re در Bفراواني

ACiAC te در cفراواني

ها دامنه مجموع آيد مي پيش آشكارساز سوي به كه اي دامنهمسيرهاي از

است و

1ABDD

1ACDD

)()(1

ACDABDCDACBDAB iiA

iiiiAD tuerseruretersere

آيد مي پيش سوي به كه اي دامنه ترتيب همين به

)()(2

ACDABDCDACBDAB iiA

iiiAD eetrssretetsere

قبلي روابط بنابرداريم:

1 rstu

كه است سازگار نامساوي با صورتي در موضوع فاز rs-و tuاينباشند داشته يكساني مختلط

tu

rs و حقيقيمنفي

BDABABD

CDACACD

روبه روابط از آن در كهكرديم استفاده رو

مسيردارد دو با مرتبط فازهاي روي نابرابر اثر يك كه اختاللي هر . بود خواهد موثر آشكارسازها به رسيده هاي باريكه شدت روي

است منفي فاز جمله ,چون دو بين تداخل اثر كه فهميم مي.36-5در برعكس و است ويرانگر

گرانشي : كوانتومي تداخل

مي چرخانده فرودي پرتو با موازي افقي محور حول سنج تداخلمسيرهاي در گرانشي درپتانسيل تفاوت باعث و BDو ACشود

. شود مي ايجاد تداخل الگوي در فاز تغيير رو اين از و شود مي

و جنبشي انرژي مجموع بودن ثابت از مسير دو بين فاز تغيير. شود مي محاسبه گرانشي پتانسيل انرژي

EMgzM

k

2

22

داده نشان فرمول با و كند مي تغيير راه طول در فاز . شود مي

kds

ME

gzMMEk

2

2 2

كوچك كل انرژي با مقايسه در پتانسيل انرژي كه آنجا از: كه داريم است

تغييرات كه است مسير دو بين فاز اختالفبه است zمربوط

kdsACDABD

zds

: كرديم استفاده زير رابطه از تساوي دومين در

ME2

2

تصوير فقط بسته مسير يك حول انتگرال اكنون . است مسير با شده محصور مساحت از عمودي

2

sin

2

sin 22 gAM

ME

gAMACDABD

نيرو يكنواخت ميدان در حركت

آن بررسي باشد ناوردا فضا تبديل تحت فيزيكي سيستم اگريك. است حركت اندازه فضاي از آسانتر تكانه فضاي در

بعد : مثال يك در را آزاد ذره حركت

جزئي ديفرانسيلي معادله يك حل نيازمند مسئله اين مكان فضاي در. است دوم مرتبه

معادله بعدي يك شرح بردارحالت حركت اندازه 5-5درفضاي است.

),()0( 2/1 tkk

t

tkitk

M

k

),(

),(2

22

: شرودينگر معادله

)0,(),( 22

ketk Mkit

صورت اين به آن جواب

است:

dkoketx Mkitikx ),()2(),( )2/(2/1 2

. رود مي مكان فضاي به فوريه تبديل يك وبا

2مثال :

2

44/12 )2()0,( a

x

eax

رو روبه صورت به آن فوريه تبديل كه است:

22412

)2()0,( kaea

k

از حالت تابع زماني وابستگي به *وآيد مي دست

*

dkkM

tiaikx

atx

224

1

3

2

2exp)

2(),(

2

2

421

241

212,

x

eMa

tiatx

نما در متغير تغيير داريم: با

222

21

Ma

tia

همگن نيروي ميدان در ذره يك بررسي به اكنونپردازيم مي

خواهد ثابت نيرو بر عمود راستاي در حركت اندازه هاي مولفهمسئله. بنابراين و داريم را نيرو راستاي در كردن حركت فقط بود

است بعدي يك طوراساسي .بهاست : رو روبه صورت به - =Wپتانسيل

Fx

EEE EFxM

PH

2

2

هاميلتوني اما است ناوردا تبديل تحت نيرو چه اگرنيست ناوردا

axx

ناوردا تبديل دو مجموع تحت شرودينگر معادلهaxxاست: FaEE

انرژي تابع ويژه يك كردن حساب به فقطداريم نياز kE

k

kiFk

M

k

2

22

در صورتي در است اول درجه ديفرانسيلي ي معادله يك ايندرجه ي معادله يك كه مكان آيد 2نمايش مي دست به

MFk

F

EkiAk

6exp

23 است زير صورت به آن حل

dkkMF

kF

ExixE

3

2

6exp

فوريه تبديل يك با وداريم:

چون است حقيقي xE kk

داده شرح زير رابطه با متفاوت هاي انرژي براي تابع ويژه بنابراينشود : مي axx EFaE

براي بررسي به است كافي ترتيب E=0بدين بپردازيم

xE

بررسي درحد را آن مجانبي رفتار توان مي اماكرد.

يك و Ariy functionتابع . است ندارد اي ساده حل x0

x

23

241

0

2

3

2exp x

MFxx

x

]}4

2

3

2cos{[2)( 2

32

1

24

1

0

xMF

xx

x

: از تشكر با

دكتر آقاي جنابگرامي جاللي دوستان و