ทฤษฏีกราฟเบื้องต้น...

ผลการเรยนรทคาดหวง 1 .เขยนกราฟเมอกำาหนดจดยอด(vertex)และเสนเชอม(edge)ใหและระบไดวากราฟทกำาหนดใหเปนกราฟออยเลอรหรอไม 2. นำาความรเรองกราฟไปใชแกปญหาบางประการได

• กราฟเบองตน

• ดกรของจดยอด• แนวเดน แนวเดน

• กราฟออยเลอร

• การประยกตของกราฟ

ปญหาชวนฉงน (puzzle) ปญหาสะพานเมองเคอนกสเบอรก(Konigsburg)

สะพานทงเจดแหงเมองเคอนกสแบรก (Seven Bridges of Königsberg)

ตวอยาง 1กำาหนดสถานการณวาจงหวดหนงม 6 อำาเภอ

คอ A , B , C , D , E และ Fโดยทอำาเภอ A , B และ F มถนนเชอมตดตอกน

อำาเภอ C มถนนเชอมไปยงอำาเภอ B , E และ D อำาเภอ A และ E มถนนเชอมตดตอกน และอำาเภอ D และ F มถนนเชอมตดตอกนเขยนแผนภาพโดยใหจดแทนอำาเภอ

และเสน เชอมโยงระหวางจดสองจดแทนถนน

AB

C

DFE

AB

CDFE

ลองทำากราฟแบบอนๆตามเงอนไขนลงในเอกสารประกอบการเรยนนะจะ

กราฟ G ประกอบดวยเซตจำากด 2 เซต 1. เซตทไมเปนเซตวางของจดยอด

(Vertex) แทนดวยสญลกษณ V(G)

2. เซตของเสนเชอม (edge) ทเชอมระหวางจดยอด แทนดวยสญลกษณ E(G)

ตวอยางของกราฟ

พจารณากราฟทกำาหนด

AB

C

D

จากกราฟ G ทกำาหนดให จะไดวา

V(G) = {A , B , C , D}

E(G) =

ขอสงเกต• V(G) ไดหรอไม

•E(G) ไดหรอไม

ไมได เพราะถาไมมจดยอดเลย กไมมอะไรใหพจารณาเปนกราฟไดเลย

ได

กำาหนดกราฟ Gดงรป

จากกราฟ G ทกำาหนดให จะไดวา V(G) = {A , B , C , D} E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4 } หรอ E(G) = {AB , AC , BC , BD}

กำาหนด V(G) = {a , b , c} และ E(G) = {ab , ac , bc} สามารถเขยนกราฟไดดงน

a

b c

ab

c

a b

c

• เสนเชอม เปนสวนของเสนตรง,เสนโคง หรอ เสนคดกได

กราฟนถอเปนกราฟเดยวกน

• เสนเชอมสองเสนอาจตดกนได โดยจดตดไมถอเปนจดยอด

ลองทำา 1( )

ตวอยาง จงพจารณาเสนในกราฟ G ตอไปนวาเสนใดเปนวงวน และเสนใดเปนเสนเชอมขนาน

เสน e1 หรอ ab



เสน e5 หรอ cc

ลกษณะของเสนเชอม

• เสนเชอมขนานเสนเชอมขนาน (parallel edges)

• วงวนวงวน (loop)

HR

สงเกตกนหนอย

G

ตวอยาง จงพจารณาวากราฟทกำาหนดตอไปนเปน กราฟเชงเดยว(กราฟอยางงาย ) และ กราฟใดเปนกราฟหลายเชง

1G เปนกราฟเชงเดยว เนองจากกราฟ 1ไมมเสนเชอมขนานและไมมวงวน

G2 เปนกราฟหลายเชง เนองจาก G2 มวงวน 3G เปนกราฟหลายเชง เนองจาก 3 มเสนเชอมขนาน

4G เปนกราฟหลายเชง เนองจาก 4 มวงวน และเสนเชอมขนาน

กราฟใดเปนกราฟเชงเดยว และกราฟใดเปนกราฟหลายเชง

4G 5G 6G

กราฟเชงเดยว ไดแก กราฟ G1 G2 กราฟหลายเชงไดแก กราฟ G3

G 4G5

บรษท เสยงใสจรงๆ มตำาแหนงวาง 4ตำาแหนงนกรอง 1

ตำาแหนงนกแสดง 1ตำาแหนง

นกพากษ 1ตำาแหนงนกจดรายการ 1ตำาแหนงมผมาสมคร 4 คนซงมความสามารถ

แตกตางกนดงนแดน มความสามารถดานนกรองบม มความสามารถดานนกรองนกแสดง และจดรายการกอลฟ มความสามารถดานนกพากษ และจดรายการไมค มความสามารถดานนกรอง นกแสดง ตองการใหแตละคนไดงานตามความ

สามารถในตำาแหนงทวางเพยงคนละ 1 ตำาแหนงเทานน

แดน

จำาลองปญหาสถานการณนดวยกราฟ G โดยทV(G) = {แดน , บม , กอลฟ , ไมค , นกรอง , นกแสดง , นกพากษ , นกจดรายการ} E(G) ={แดนนกรอง , บมนกรอง , บมนกแสดง ,บมนกจดรายการ , กอลฟนกพากษ ,กอลฟนกจดรายการ ,ไมคนกรอง , ไมค นกแสดง}บม

กอลฟไมค

นกรองนกแสดง

นกพากษนกจดรายการ

สรปวาแดน เปน นกรองบม เปน นกจดรายการกอลฟ เปน นกพากษไมค เปน นกแสดง

ในการจดตารางสอบของวชา 6 วชา คอ วชาคณตศาสตร วชาภาษาองกฤษ วชาภาษาไทย วชาวทยาศาสตร วชาสงคมศกษา วชาสขศกษา โดยททราบวา

มนกเรยนบางคนเรยนวชาคณตศาสตร และวชาภาษาองกฤษ

มนกเรยนบางคนเรยนวชาคณตศาสตร และวชาภาษาไทย

มนกเรยนบางคนเรยนวชาคณตศาสตร และวชาสขศกษา

มนกเรยนบางคนเรยนวชาสงคมศกษา และวชาสขศกษา

มนกเรยนบางคนเรยนวชาสงคมศกษา และวชาวทยาศาสตร

มนกเรยนบางคนเรยนวชาภาษาไทย และวชาวทยาศาสตร

มนกเรยนบางคนเรยนวชาภาษาไทย และวชาภาษาองกฤษจะสามารถจดตารางสอบทง 6 วชาใชเวลาสอบ

3 คาบไดอยางไรนกเรยนจงสามารถจงจะสอบไดครบทง 6 วชา

คณต ,ไทย องกฤษ สอบพรอมกนไดหรอไม ไมได

วชาทสอบพรอมกนได มวชาใดบาง

คณต และสงคมคณต กบ

วทย

คาบท 1คาบท 2คาบท 3

คณต วทย

สขศกษา องกฤษสงคม ไทย

1. ทจอดรถแหงหนงมรถทจอดประจำา 6คน ในชวงเวลาตางๆ ดงน

คนท 1 จอดเฉพาะชวงเวลา 7นาฬกา ถง 15 นาฬกา





คนท 6 จอดเฉพาะชวงเวลา 22นาฬกา ถง 8 นาฬกาของวนถดไป

11. จงจำาลองปญหานดวยกราฟ โดยใหจดยอดแทนรถแตละคน และจดยอดสองจดมเสนเชอมกตอเมอรถทแทนดวยจดทงสอง มชวงเวลาจอดรถซอนกนจำาลองปญหาดวยกราฟ G

ใหจดยอด 1 2 3 4 5, , , , , 6 แทนรถคนท 1 ถง รถคนท 6จะได V(G) = { 1, 2, 3 ,4 , 5, 6}

E(G) = {12 , 13 , 15 , 16 , 23 ,24 , 25 ,35 45 ,46}

1

23

456

ตองเตรยมพนทจอดรถไวอยางนอย 4 คน

จดยอด u และจดยอด v ของกราฟ เปนจดยอดประชด (adjacent vertices) กตอเมอมเสนเชอมระหวางจดทงสอง

เสนเชอม e ของกราฟเกดกบ(incident) จดยอด vถาจดยอด v เปนจดปลายจดหนงของเสนเชอม e

a

e1 e2

b

e

c

d

e3

e4 e5

e6ไดแก จด b ประชดกบ จด a และ จด eจด e ประชดกบ จด b จด

c และ จด d จด c ประชดกบ จด e และ จด d

จดทไมเปนจดประชด เชน จด b และ c

a

e1 e2

b

e

c

d

e3

e4 e5

e6

เนองจากไมมเสนเชอมระหวางจดแตละคน

จด aและ e เปนตน

a

e1 e2

b

e

c

d

e3

e4 e5

e6

เสนเชอมทเกดกบจดยอด a คอ e1 และ e2e1

c

เสนเชอมทเกดกบจดยอด b คอ e1 และ e3เสนเชอมทเกดกบจดยอด c คอ e4 และ e5

เสนเชอมทเกดกบจดยอด d คอ e5 และ e6เสนเชอมทเกดกบจดยอด e คอ e3 และ e4

พจารณากราฟตอไปนจด

ยอดจำานวนครงทงหมดท

เสนเชอมเกดกบจดยอด2

442

abcd

บทบทนยามนยาม• ดกรดกร (degree ) ของจดยอด v ในกราฟ

คอ จำานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v

•ใชสญลกษณ deg vdeg v แทน ดกรของ v

ดกรของจดยอด

พจารณากราฟทกำาหนด แลวเตมคำาตอบลงในตาราง

ab ac

2

2

จดยอด a มเสนเชอมทเกดกบจดยอด a คอ ab และ ac

เสนเชอม bb เปนวงวนทเกดกบจดยอด b ใหนบเสนเชอมทเปนวงวน 1 วงวนเปน 2

bb bbba bc

4

4

cacbcd cd

4

4

dc dc

2

2 12

deg A =deg B =deg C =deg D =deg E =

23230

พจารณากราฟตอไปน

deg A =deg B =deg C =deg D =deg E =

23230

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด = 2+3+2+3+0

10v

GVv

deg

หาจำานวนเสนเชอม และผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟแตละกราฟตอไปน

( )

degv V G

v =

( )

degv V G

v =

8

10

จำานวนเสนเชอม =

จำานวนเสนเชอม =

4

5

( )

degv V G

v =12

จำานวนเสนเชอม =6

ผลรวมของดกร กบ จำานวนเสนเชอมของกราฟมความสมพนธกนอยางไร

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบ

สองเทาของจำานวนเสนเชอมในกราฟ

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ เทากบสองเทาของจำานวนเสนเชอมในกราฟเทากบสองเทาของจำานวนเสนเชอมในกราฟ

หรอจำานวนเสนเชอมในกราฟ เปนครงจำานวนเสนเชอมในกราฟ เปนครง

หนงของหนงของผลรวมของดกรของจดยอดทกจดผลรวมของดกรของจดยอดทกจด

ในกราฟในกราฟ

ทฤษฎบททสำาคญ

ผลรวมของดกรของจดยอดทกผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ จดในกราฟ

เทากบสองเทาของจำานวนเสนเทากบสองเทาของจำานวนเสนเชอมในกราฟเชอมในกราฟ

พสจน เนองจากเสนเชอมแตละเสนในกราฟเกดกบจดยอดเปนจำานวน 2 ครงดงนนเสนเชอมแตละเสนจะถกนบ 2 ครงในผลรวมของดกรของจดยอดทกจด

นนคอ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ เทากบ สองเทาของจำานวนเสนเชอมในกราฟ

1. จงหาจำานวนเสนเชอมของกราฟทมผลรวมของดกรของ จดยอดทกจดในกราฟเทากบ 22

วธทำา สมมตวากราฟมเสนเชอม n เสน

จากทฤษฎบทท 1“ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ เทากบ สองเทาของจำานวนเสนเชอมในกราฟ” ดงนน 22

2= n 11n=

กราฟมเสนเชอม 11 เสน

วธทำา สมมตวามกราฟทมจดยอด 4 จด ดกรของจดยอดเทากบ 1 1 2, , และ 3

2 จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมวาจะมกราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอด คอ , , 112และ 3 ตามลำาดบ

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด คอ , , , ,11237 เปนจำานวนค

ขดแยงกบทฤษฎบทท1

ดงนน เปนไปไมไดทจะมกราฟดงกลาว

จดยอดทมดกรเปนจำานวนค เรยกวา จดยอดคจดยอดคจดยอดทมดกรเปนจำานวนค เรยกวา จดยอดคจดยอดค

จดยอดค :

จดยอดค :

A และ D

B และ C

G1

G2

G3

G4a a b

a dc

eba

b

c d

ef

กราฟ

จำานวนเสน

เชอม

ผลบวกของดกรของจดยอดทกจดของกราฟ

จำานวนจด

ยอดค

จำานวนจดยอดค

G1G2G3G4

ทฤษฎบทท ทฤษฎบทท 22ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจำานวนค

ตอไป สมมตวา กราฟ G มจดยอดค k จด คอ v1 , v2 , v3 , . . . ,vk และ มจดยอดค n จด คอ u1 , u2 , 3u , . . . ,un จากทฤษฎบทท 1 จะไดวา (degv1 + deg v2 + deg v3 + . . .+ deg vk ) + (deg

u1 + deg u2 + degu3 + . . . + deguk) = 2 q เมอ q คอจำานวนเสนเชอมของ G

พสจน ให G เปนกราฟ ถา G ไมมจดยอดค นนคอ G มจำานวนจดยอดคเปนศนย

จะไดวา G มจำานวนจดยอดคเปนจำานวนค

ดงนน (degv1 + deg v2 + deg v3 + . . deg vk ) = 2 q – (degu1 +deg u2 +degu3 +. . . degun )เนองจาก degu1 , deg u 2 , degu3 , . . . , deguk ตางกเปนจำานวนค

แตเนองจาก degv1 , deg v2 , deg v3 , . . . , deg vk เปนจำานวนค

เพราะฉะนน k จะตองเปนจำานวนค จงจะทำาให degv1 + deg v2 + deg v3 + . .

.+ degvk เปนจำานวนคสรปไดวา กราฟ G มจดยอดคเปนจำานวนค

ดงนน 2q – (degu1 +deg u2 +degu 3 +. . .degun ) เปนจำานวนค นนคอ degv 1 + deg v2 + deg v3 + . . .+ deg vk เปนจำานวนค

1) จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมวาจะมกราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอด คอ

, , 112 และ 3 ตามลำาดบวธทำา สมมตวามกราฟทมจดยอด 4 จด

ดกรของจดยอด คอ 1 1 2, ,และ 3 ตามลำาดบ จะไดวากราฟมจดยอดคเปนจำานวน 3 จด

ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจำานวนค

ซงขดแยงกบทฤษฎบทท 2 สรปวา ไมมกราฟทมสมบตดงกลาว

2 )ในหองประชมแหงหนงมผเขารวมประชมทงหมด 23 คน เปนไปไดหรอไมวาผเขารวมประชมแตละคนจบมอทกทายผเขารวมประชมคนอนเพยง 7คนเทานน

แนวคดใหจดยอดแทนผเขารวมประชม และเสนเชอมแทนการจบมอทกทาย

จะได กราฟมจดยอด 23 จด แตละจดมดกร 7นนคอ กราฟมจดยอดคเปนจำานวน 23 จด

23 เปนจำานวนค ขดแยงกบทฤษฎบทท 2

3) จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมทจงหวดหนง ซงม 5อำาเภอ คอ อำาเภอเมอง และ อำาเภออนๆอก 4 เมอง ม 3อำาเภอ ทแตละอำาเภอมถนนเชอมกบอำาเภออนอำาเภอ ละ 3สาย ม 1 อำาเภอ มถนนเชอมกบอำาเภออน 2สาย ม 1 อำาเภอ มถนนเชอมกบ อำาเภออนทกอำาเภอ 1 สายอำาเภอเมอง อำาเภอ ข อำาเภอ ค อำาเภอ ง อำาเภอ จ

ถนน3สาย

ถนน3สาย

ถนน3สาย

ถนน2สาย

ถนน4สาย

จดยอดค เปนจำานวนค

4. ผลการสำารวจขอมลการใชโทรศพทมอถอของพนกงานในบรษทแหงหนงซงม พนกงาน 20คน ในเดอนทผานมา พบวา มพนกงาน 15 คน แตละคนคย โทรศพทมอถอกบเพอนในบรษท 5 ครง มพนกงาน 5 คนแตละคนคยโทรศพทมอถอ กบเพอนในบรษท 3ครง จงหาจำานวนการใชโทรศพทมอถอของพนกงานบรษทนวธทำา ใหจดยอด แทนพนกงาน เสนเชอมแทนการคยโทรศพทมอถอของพนกงาน จะไดวา กราฟมจดยอดทมดกร 5 จำานวน 15 จด จดยอดทมดกร 3มจำานวน 5 จด จำานวนการใชโทรศพทมอถอของพนกงานในบรษท คอจำานวนเสนเชอมทงหมดของกราฟใหกราฟมเสนเชอม n เสน

ดงนน 5 15 3 5 2( ) + ( ) = n 7 5 + 1 5 = 2 n

, ,4 5ดงนน จำานวนการใชโทรศพทมอถอของพนกงาน

บรษทแหงน คอ 45 ครง

จากทฤษฎบทท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ เทากบสองเทาของจำานวนเสนเชอมในกราฟ

5 .การแขงขนฟตบอลมทมสมครแขงขน 10 ทม ในการจดแขงขนครงนจะจดการแขงขนเปนแบบ พบ

กนหมด จงหาจำานวนครงทจดการแขงขนวธทำา แปลงปญหาเปนกราฟ โดยใหจดยอด แทนทมฟตบอล

เสนเชอมแทนการแขงขนทมฟตบอล 10 ทม จดแขงขนแบบพบกนหมด แสดงวาแตละทมตองแขงขนกบทม อนๆอก 9 ทมนนคอแตละจดยอดของกราฟมดกร 9

จำานวนครงทจดการแขงขน คอ จำานวนเสนเชอมในกราฟ

ใหกราฟมเสนเชอม , เสน ดงนน 9 10 2( ) = n

90 =2n

, ,45 ดงนนตองจดการแขงขนฟตบอล

45 ครง หรอ 45 ค

1 ในงานเลยงแหงหนง ผทมาถงงานคนแรกไดจบมอทกทายกบเจาภาพ ( มคนเดยว) และคนทมาถงงานเปนคนทสอง ไดจบมอทกทายกบเจาภาพ และผมาถงงานคนแรก ผมาถงงานคนทสามไดจบมอทกทายกบเจาภาพและผมาถงงานคนแรก และคนทสองในทำานองเดยวกนผทมาถงคน ตอๆมากจะไดจบมอทกทายกบเจาภาพ และกบผทมาถงในงาน กอนเขาทงหมด ถาในงานเลยงนมผมารวมงาน 8 คน

11. จงแปลงปญหาขางตนเปนกราฟ

12. จงหาจำานวนครงทงหมดทมการจบมอกน

2. กำาหนดใหกราฟมดกรของจดยอดตางๆ ดงน 1 1 4 4, , , และ 6 จงหาจำานวนเสนเชอมของกราฟน

3 . จงพจารณาวากราฟนมจดยอด 7 จด และดกร 5 4 2 2 2 1, , , , , และ 1 หรอไม

4. จงเขยนแผนภาพของกราฟ G ทมจดยอด 5 จด คอ v1 , v2 , v3 , v4 , v5 และ deg v1 = 3 , v2 เปนจดยอดค deg v3 , 2 และ v 4 และ v5 เปนจดยอดประชด

5. จงหาจำานวนจดยอดของกราฟทมากทสดทเปนไปไดของกราฟทมเสนเชอม 35 เสน และจดยอดทกจดมดกรอยางนอย 3

6. จงพจารณาวาจะมกราฟทมจดยอด 13 จด และเสนเชอม 31 เสน โดยทมจดยอด 3 จด มดกร 1 และ จดยอด 7 จด มดกร 4 พรอมใหเหตผลประกอบ

เราสามารถเดนจากจด C ไปยงจด Dไดหลายทางเชน C→B→D เขยนเปนลำาดบไดวา

C, e7 ,B, e6,D

หรอ C→A→D เขยนเปนลำาดบไดวา C, e1 , A, e3 ,D หรออน ๆ

หรอ C→B→A→D เขยนเปนลำาดบไดวา C, e7 ,B, e5 , A, e3 ,D

เรยกลำาดบ (ทประกอบดวยจดสลบกบเสน ) ดงเชน

C , e7 ,B, e6,DC , e1 , A, e3,DC , e7 ,B, e5 , A, e3,D

วา แนวเดน แนวเดน CC––DD

นยาม

นยาม

กราฟ G เรยกวา กราฟเชอมโยงกราฟเชอมโยง (connected graph )กตอเมอสำาหรบจดยอด u และ v ทเปนจดยอดตางกนในกราฟ G จะมแนวเดน u-v

หรอพดงายๆไดวา ทกๆจดยอดมแนวทกๆจดยอดมแนวเดนถงกนเดนถงกน

GH

G เปนกราฟเชอมโยง

H ไมเปนกราฟเชอโยง

เปนไปไดไหมทจะเรมตนจากจดหนงบนแผนดน

แลวเดนขามสะพานใหครบทกสะพาน และกลบ

มายงจดเรมตนโดยไมซำาสะพานเดมเลย

ใหแผนดนและเกาะเปนจดยอดและใหสะพานเปนเสนเชอม

ลกษณะของปญหาเหมอนกบ “การลากเสนวาดรปโดยไมยกดนสอ”

นยาม

วงจรวงจร คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน โดยมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกนวงจรวงจร คอ แนวเดนซงเรมและจบทจดยอดเดยวกน โดยไมใชเสนเชอมซำากนเลย

หรอ

แนวเดน A-A (ลำาดบ A, e2, C, e7, B, e6, D, e4 ,A) เปนวงจร

สงเกตวา วงจรนไมผานเสนเชอม e1 และ e3

นยามวงจรทผานจดยอดทกจด และผานเสนเชอมทกเสนของกราฟ เรยกวา วงจรออยเลอรวงจรออยเลอร

กราฟทมวงจรออยเลอร เรยกวา กราฟออยเลอรกราฟออยเลอร

ปญหาสะพานน ถกแกโดยนก

คณตศาสตรชอ เลออนฮารด ออยเลอ

ร ในป ค.ศ .1736

การแกปญหากเพยงพจารณาวากราฟทางขวา “เปนกราฟออยเลอรหรอไม”

ตวอยาง 1 กราฟ G เปนกราฟออยเลอรหรอไม

มวงจรออยเลอรเปนกราฟออยเลอร

GA A

B B

C

D

E

F

C

D

E

F

G1

G2

G3

จะทราบไดอยางไรวากราฟใดเปนกราฟออยเลอร

ทฤษฎบทท ทฤษฎบทท 33 กำาหนดให G เปนกราฟเชอมโยง G จะเปนกราฟออยเลอร กตอเมอ จดยอดทกจดของ G เปนจดยอดค

กราฟใดเปนกราฟออยเลอร

G1

G2

G3

กราฟใดเปนกราฟออยเลอร

321 GGG

G1เปนกราฟออยเลอร เพราะทกจดยอดเปนจดยอดคG2 ไมเปนกราฟออยเลอร มจดยอดค

G3 ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะไมเปนกราฟเชอมโยง

การประยกตของกราฟ

วถทสนวถทสนทสดทสด

กราฟนเปนกราฟถวงนำาหนก ซงจำาลองจากแผนทเมอง โดยใหจดยอดแทนเมอง และเสนเชอมแทนถนน และคานำาหนกเสนเชอมแทนระยะทางระหวางเมองสองเมอง

วถทสนวถทสนทสดทสด

ภารกจ: ตองการหาระยะทางทสนทสดจาก เมอง A ไปยงเมอง E (เขยนรปลงกระดาษ)

หาเสนทาง (แนวเดน ) ทงหมดจาก A ไป E (ทไมผานเมองซำากน) 1 : A, B, D, E , , 213 =6 กม.2 : A, B, D, F, E 2 1+

2 2+ + = 7 กม. 3 : A, B, D, C, F, E 2 1+

3 6 2+ + + = 14 กม.4 : A, C, F, E 5 + 6 +

2 = 13 กม.5 : A, C, F, D, E 5 6+

2 3+ + = 16 กม.6 : A, C, D, E 5 3+ +

3 = 11 กม .7 : A, C, D, F, E 5 3+ + 2 2+ = 12 กม.

นยาม

วถวถ คอ แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน

วถทสนทสดวถทสนทสด จากจดยอด A ถง Z ในกราฟถวงนำาหนกคอวถ A-Z ทผลรวมของคานำาหนกในวถ A-Z นอยทสด

นยาม

วฏจกร คอ วงจรทไมมจดยอดซำากน ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

ตนไม คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร

ตวอยาง ตนไม

C ไมเปนตนไมเพราะ

D ไมเปนตนไมเพราะไมใชกราฟเชอมโยง

มวฎจกร

ความสมพนธระหวางตนไม จดยอด และ เสนเชอม

1 0

2 1

จำานวนจดยอด

จำานวนเสนเชอม

ตนไม



ตนไม

3 24 35 4

6 5



ตนไม

7 6

8 7

9 8

ขอขอสงเกตสงเกต 1. ตนไมไมมเสนเชอม

ขนาน และ ไมมวงวน 2 . ตนไมทม n จด จะม n

– 1 เสนเสมอ

กราฟยอยกราฟยอย

นยาม

กราฟยอยกราฟยอย ของกราฟ G คอกราฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน Gกลาวคอ กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ Gถา V(H ) V(G ) และ E(H) E(G)

V(G) = { A, B, C, D } V(H) = { A, B, C, D } E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} E(H) = {AB, BC, DA, BD} จะไดวา กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G

กราฟใดเปนกราฟยอยของ G

กราฟ H1, H2 , H3 , H4 และ H5 กราฟใดเปน กราฟยอยของกราฟ G ทบรรจทกจดของกราฟ G ทเปนตนไม

G:

เขยนลงกระดาษไว

H1:

H4:

H2:

H3:

H5:

G:

ตนไมแผทวตนไมแผทว คอตนไมซงเปนกราฟยอยของกราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอดทกจดยอด

นยาม

พจารณาตนไมแผทวของกราฟตอไปน

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

da

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

da

b

c

d

a

b

c

d

นยาม

ตนไมแผทวทนอยทสดตนไมแผทวทนอยทสด คอ ตนไมแผทวทมผลรวมของคานำาหนกของแตละเสนเชอมนอยทสด

1

2

2

473 5

6

2

จงหาตนไมแผทวทนอยทสด

1

1

2 1

หาตนไมแผทวทงหมด (มไมกแบบ)

1 2 1 1+2+1 = 4

1

2 11+2+1 = 4

H1

H2

1

1

1 1+1+1 = 3H3

ดงนน H3 เปนตนไมแผทวทนอยทสด

ตวอยาง ปญหาการวางสายโทรศพท

• บรษทรบเหมาตดตงโทรศพทแหงหนง ตองการวางสายโทรศพทเชอมระหวางหมบาน A, B, C, D, E และ F โดยจะวางสายไปตามถนน ถาคาใชจายในการวางสายโทรศพทขนอยกบความยาวของสาย โทรศพท บรษทนจะวางสายโทรศพทอยางไรใหเสยคาใชจายนอยทสด เมอกำาหนดตารางแสดงระยะทาง (กโลเมตร )ของถนนทเชอมระหวางหมบานดงน

หมบาน

A B C D E F

A - 30 - - - 40B 30 - 10 - 50 20C - 10 - 20 30 -D - - 20 - 10 20E - 50 30 10 - 60F 40 20 - 20 60 -

แปลงปญหาเปนกราฟถวงนำาหนก

3040

20

50 6

0

10 2

03020

10

A

B CD

EF

ขนท 1• จดลำาดบเสนเชอม • เรยงคานำาหนกของเสนเชอมจากนอย

ไปมาก• 10, 10, 20, 20, 20, 30, 30, 40, 50, 60

ขนท

3040

20

50 6

0

10 2

03020

10

A

B CD

EF

2 3 4 2

ขนท 3• เลอกเสนเชอมทเหลอทมคานำาหนกตำาสด• ในทนเหลอ BF ซงมคานำาหนก 20• แตเลอกไมได เพราะถาเลอกแลวจะเกดวฏจกร• จงตองเลอกคานำาหนกเสนเชอมเปน 30 แทน• มสองทางคอ AB และ CE • แตถาเลอก CE แลวจะเกดวฏจกร จงเลอก AB

3040

20

50 6

0

10 2

03020

10

A

B CD

EF

และเลอกตอไปไมไดแลว

ไดตนไมแผทวนอยทสดทมผลรวมของคานำาหนกเสนเชอม

10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90

ดงนนบรษทรบเหมาแหงนตองวางสายโทรศพทตามถนน ซงมระยะทาง 90 กโลเมตร

30

10 2

020

10

A

B CD

EF

ขอสงเกต

30 2

0

10

20

10A

B C D

EF

30 2

0

10 2

010A

B CD

EF

ตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟอาจจะ

มไดมากกวา 1 แบบ

กราฟชนดอน ๆ ทนาสนใจศกษา

• Complete graph กราฟบรบรณ• Planar graph กราฟเชงระนาบ• Bipartile graph กราฟ

สองสวน• Perfect graph กราฟสมบรณ• Line graph กราฟเสน• Cograph โคกราฟ• ขอบพระคณคณะผจดทำาทกทาน

ขอบคณคะ

จดเกบโตะและพรมใหเขาท

กอนออกจากหองดวยคะ

ทฤษฏีกราฟเบื้องต้น...

Documents