1

للفهم ىر خا باالضافة الى امثلة نیتقیر طب سوف نحل المثال الثانى :اوال المقدمة التالیة الیك حل القبل

Probability in Discrete Spaceالمتقطع الفضاء في االحتمال

االحتمـــــاالت تعیـــــین إلــــي اختزالـــــه یمكــــن المتقطـــــع الفضــــاء حالـــــة فــــي االحتمـــــال تعیــــین إن حادثـــة لكـــل أن بفـــرض. كبیـــرا البســـیطة األحـــداث عـــدد كـــان إذا وخصوصـــا ، البســـیطة لألحـــداث

}a{ بسیطة i حقیقـي عـدد نعـین فإننـا ip ، أن بحیـث ii p})a({P الضـروري مـن یكـون و : أن

i0pi لكل )١(

)٢( 1 pi

i

S كانـت إذا عـادى مجمـوع یكـون )٢( فـي المجمـوع فـإن S فـي نتیجـة یقابـل )٢( فـي حـد كـل وألن یمكـن مركبـة حادثـة ألي االحتمـال. للعـد قابلـة نهائیـة ال S كانت إذا مسلسلة یمثل بینما ، منتهیة الحادثـة احتمـال أن أي. S العینـة فضـاء فـي بسـیطة ألحـداث كاتحـاد الحادثـة بتمثیـل وذلـك تقدیره

A هو : })a({P)A(P i

Aia

Sampling Random Sampleالبسیطة العشوائیة المعاینة مــن یتكــون قــد المجتمــع. u1 , u2 ,…,uN المفــردات مــن N مــن یتكــون مجتمــع أن بفــرض

n الحجـم مـن عشـوائیة عینـة اختیـار عنـد. نباتـات أو حیوانـات أو یـةكهربائ صمامات أو أشخاص عینــة وكــل n الحجــم مــن عینــات نتائجهــا عشــوائیة تجربــة نجــري فإننــا N الحجــم مــن مجتمــع مــن

فــي الموضـوعة الوحـدات مــن صـف اعتبارهـا یمكــن العینـة أن أي. معـین باحتمــال تختـار) نتیجـة( . معین ترتیب تكـون قـد N الحجـم مـن مجتمـع مـن مختـارة n = 5 الحجـم مـن خاصـة عینـة المثـال سـبیل علـى

{u1 , u4 , u3 , u7 , u5} العینة عن تختلف سوف العینة وهذه {u5 , u1 , u4 , u7 , u3} وذلـك یختلـف األولـي العینـة فـي الوحدات ترتیب فإن الوحدات نفس على یحتویان العینتین أي من بالرغم

. الثانیة العینة في الوحدات ترتیب عن

2

ــــاك بإرجــــاع البســــیطة العشــــوائیة المعاینــــة یســــمى العشــــوائیة المعاینــــة مــــن نــــوع هنsimple random sampling with replacement بفضـاء عشـوائیة تجربـة یكـافئ وهـذا

مـن آخـر نـوع. االختیـار في االحتمال نفس لها عینة وكل المرتبة العینات كل من یتكون S عینة simple random اإلرجـــاع بـــدون البســـیطة العشـــوائیة المعاینـــة یســـمى العشـــوائیة المعاینـــة

sampling without replacement احتمـال بنمـوذج توصـف عشـوائیة تجربـة یكـافئ وهـذا مـــرة مـــن أكثــر یظهـــر عنصــر أي علـــى تحتــوي والتـــي المرتبـــة العینــات لكـــل صــفر احتمـــال یعطــي . المرتبة األخرى العینات للك متساوي احتمال ویعطي

الطریقة االولى ب ىناثلا لاثملا

السحب بدون الرجاع

مـن كـرتین سـحب شـخص أن وبفرض )G(خضراء كرات 5 و (R) حمراء كرات3 به وعاء االحتمــاالت. الوعــاء مــن ســحبها بعــد الكــره إرجــاع وبــدون الوعــاء مــن األخــرى تلــو واحــدة الوعــاء

البسیطة لألحداث ia ,i 1,2,3,4 التالي الجدول في معطاة : {GR} {RG } {R R} {GG} }a{ i

1556

1556

656

2056

P({ai})

5 4 20P(GG) ( )( )8 7 563 2 6P(RR) ( )( )8 7 563 5 15P(RG) ( )( )8 7 565 3 15P(GR) ( )( )8 7 56

: ذلك وعلى A = { RG , GR } فإنء واحدة حمراء واالخرى خضرا أن الحادثة A كان إذا15 15 15 30P(A) P({RG}) P({GR}) 2( ) .56 56 56 56

3

السحب بارجاع

مـن كـرتین سـحب شـخص أن وبفـرض )G(خضراء كرات 5و (R) حمراء كرات3 به وعاء االحتمــــاالت. الوعـــاء مــــن ســـحبها بعــــد الكـــره إرجــــاعب و الوعـــاء مــــن األخـــرى تلــــو واحـــدة الوعـــاء

: التالي الجدول في معطاة ةیلاتلا لألحداث{GR} {RG } {RR} {GG} ثدحالا

1564

1564

964

2564

لامتحالا

5 5 25P(GG) ( )( )8 8 643 3 9P(RR) ( )( )8 8 643 5 15P(RG) ( )( )8 8 645 3 15P(GR) ( )( )8 8 64

: ذلك وعلى A = { RG, GR } فإنواحدة حمراء واالخرى خضراء أن الحادثة A كان إذا15 15 15 30P(A) P({RG}) P({GR}) 2( ) .64 64 64 64

الطریقة الثانیة

السحب بدون الرجاع

بـــدون واحـــدة مـــرة كـــرتین اختیـــرت ، حمـــراء اتكـــر 3 و خضـــراء كـــرات 5 علـــى یحتـــوي وعـــاء ؟ كرة خضراء وكرة حمراء على الحصول احتمال هو ما. إرجاع

: لـالح

A بالخطوات التالیة تحسب " كرة خضراء وكرة حمراء" الحادثة :

4

5 32 0 20P(GG) .

8 562

8 یوجــد حیـث2

5 یوجـد أیضــا ).عینـات( S العینــة فضــاء فـي ممكنــة نتیجـة 2

الختیــار طریقــة

3 یوجـــد الضـــرب قاعـــدة باســـتخدام. خضـــراء كـــرات 5 مـــن اخضـــر نهمـــالو كــرتین0

52

نقطـــة

:بنفس الطریقة . GG في عینة5 30 2 6P(RR) .

8 562

5 31 1 30P({GR,GR}) .

8 562

:االحتمال المطلوب هو

30P(A) P({RG,GR}) .56

رجاع باالسحب مـن كـرتین سـحب شـخص أن وبفـرض )G(خضراء كرات 5و (R) مراءح كرات3 به وعاء

االحتمــــاالت. الوعـــاء مــــن ســـحبها بعــــد الكـــره إرجــــاعب و الوعـــاء مــــن األخـــرى تلــــو واحـــدة الوعـــاء : التالي الجدول في معطاة ةیلاتلا لألحداث

{RG,G R} {R R} {GG} ثدحلا 3064

964

2564

لامتحالا

5

22 0

2

20 2

0

21 1

1

5 3 25P(GG) ( )( ) ( )8 8 645 3 9P(RR) ( )( ) ( )8 8 64

5 3 30P(A) P(GR,RG} ( )( ) ( ) .8 8 64

. A = { RG, GR } فإنواحدة حمراء واالخرى خضراء أن الحادثة A حیث

اخرى لزیادة الفهم لةمثا

مثال

بـــدون عشـــوائیا الوعـــاء مـــن كـــرات ثثـــال ســـحبت. تـــالفین 4 مـــنهم وحـــدة 12 علـــى یحتـــوى وعـــاء

؟ سلیمة المختارة الوحدات كل أن احتمال هو ما. إرجاع : لـالح

إلـي نحتـاج فإننـا ذلـك وعلـى " سـلیمة i رقـم الوحـدة" الحادثـة تمثـل iA أن بفـرض إیجـاد )AAA(P , A1 األحـداث أن نتـذكر أن یجـب. الضـرب نظریـة باسـتخدام 321

A2 ,A3 اآلن. 2 الوحــدة قبــل تختــار 1 الوحــدة أن أي ، وقــوعهم حســب ترتــب 128)A(P 1

یتبقــى ســلیمة األولـي الوحـدة أن أي ، وقعــت A1 أن علـم إذا. تـالفین غیــر وحـدة 12 مـن 8 ألن

ذلــك وعلــى ءالوعــا فــي وحــدة 11 مــن ســلیمة وحــدات 7 الوعــاء فــي117)AA(P 12 وبــنفس

21 وقـــوع ، الشــكل AA فـــي ویتبقـــى الوعـــاء مـــن فعـــال اختیارهمـــا تـــم ســـلیمة وحـــدتان أن تعنـــى ذلــــك وعلــــى الوعــــاء فــــي وحــــدات 10 مــــن ســــلیمة وحــــدات 6 الوعــــاء

106)AAA(P 123

: وأخیراً

.5514

106

117

128)AAA(P 321

6

مثال

بــدون واحــدة مــرة كــرات 5 اختیــرت ، بیضــاء كــرة 20 و ســوداء كــرات 10 علــى یحتــوي وعــاء ؟ اسود لونهما كرتین على الحصول احتمال هو ما. إرجاع

: لـالح

" الحادثـة A كـان إذا ذلـك وعلـى الحالـة هذه في ضروري غیر العینة داخل العناصر ترتیب : فإن" أسود لونهما كرتین

10 202 3

P(A) .360.305

یوجــــد حیــــث

5

یوجــــد أیضــــا ).عینــــات( S العینــــة فضــــاء فــــي ممكنــــة نتیجــــة 30

2

طریقــــة 10

یوجــد الطــرق هــذه مــن طریقــة ولكــل ســوداء كــرات 10 مــن أســود لونهمــا كــرتین الختیــار

3

20

یوجــد الضــرب قاعــدة باســتخدام. ءبیضــا كـرة 20 مــن بیضــاء كــرات ثــالث الختیــار طریقـة

3

20

2

الخمســة الكــرات اختیــرت ســواء واحــدة P(A) أن نتــذكر أن ویجــب . A فــي عینــة نقطــة 10

ـــو الواحـــدة الكـــرات بســـحب اهتمامنـــا عنـــد فمـــثال ، معـــا الكـــرات اختیـــرت أو األخـــرى تلـــو واحـــدة تل : فإن األخرى

!5.5

30

!5.3

202

10

)A(P

. (0.36 ) معا الخمسة الكرات سحب حالة في كما النتیجة نفس تعطي والتي .للمثال السابق فیكون الحل كالتالى الشرطي االحتمال أسلوب اما عند استخدام

مــن اختیــرت فــإذا. W أبــیض لــونهم كــرة 20 و B أســود لــونهم كــرات 10 علــى وعــاء یحتــوي . أسود لونهما كرتین على الحصول احتمال أوجد عإرجا بدون كرات 5 الوعاء

7

: لـالح : المثال سبیل على WWWBB خاص لترتیب االحتمال نحسب أوال

269

2710

2818

2919

3020)WWWBB(P .

: هو WBBWW آخر لترتیب االحتمال الشكل وبنفس

2618

2719

289

2910

3020)WBBWW(P .

" A الحادثـــة احتمـــال ذلـــك وعلـــى. االحتمـــال نفـــس لهمـــا الســـابقین التـــرتیبین أن یالحـــظ. وهكـــذا : هو) بالترتیب نهتم ال أننا أي" ( أسود لونهما بالضبط كرتین

.360.269

2710

2818

2919

3020.

25

)A(P

10 یوجــد ألنــه وذلــك25

أســـود لونهمــا تــانكر تعطــي والتــي المختلفــة الخاصــة الترتیبــات مــن

باســتخدام ولكــن الســابق مثــالال فــي علیهــا حصــلنا التــي النتیجــة نفــس وهــي. أبــیض لــونهم وثالثــة . الشرطي االحتمال أسلوب استخدمنا فقد هنا أما ، التبادیل أسلوب

مثال

عدد یمثل X كان إذا. تالفة 3 منھا وحده 12 على یحتوى وعاء من 3 الحجم من عشوائیة عینة اختیرت . x = 0, 1, 2,3 ذلك وعلى. العینة في التالفة الوحدات

3 90 3 84f (0) P(X 0) ,12 2203

3 91 2 108f (1) P(X 1) ,12 2203

3 92 1 27f (2) P(X 2) ,12 2203

8

3 93 0 1f (3) P(X 3)12 2203

:كالتالي جدول في السابقة النتائج وضع ویمكن

3 2 1 0 x

2201

22027

220108

22084

f(x)

مثال

n مــن عینــة اختیــرت إذا بطاریــات 10 تجــاري مركــز فــي یعــرض 2 و عشــوائیاً البطاریــات مــن وبفـرض تالفـة بطاریـات العشـر من 3 كان ذاإ. الرادیو جهاز تشغیل في الستخدامها إرجاع بدون

X العشـوائي للمتغیـر االحتمـال كثافـة دالـة أوجـد. العینـة فـي التالفـة البطاریـات عدد یمثل X أن ؟

: الحــلx : فإن ذلك وعلى العینة في التالفة البطاریات عدد یمثل X كان إذا 0,1,2

3 70 2 21f (0) P(X 0)10 452

3 71 1 21f (1) P(X 1)

10 452

3 72 0 3f (2) P(X 2)10 452

: كالتالي X للمتغیر االحتمال كثافة لدالة صیغة وضع یمكن بالتالي و

9

3 7x 2 x

f (x) P(X x) , x = 0,1,2.102

مثال

3 و ریاضــي إحصـاء تخصــص 3 مـنهم أســاتذة سـتة بالجامعـة األكادیمیــة األقسـام أحــد فـي یعمـل إذا. عشـــوائیة بطریقـــة األكـــادیمي لألشـــراف اســـتاذین اختبـــار یـــراد. تطبیقـــي إحصـــاء تخصـــص

كثافــة دالــة أوجــد. اختیــارهم تــم الــذین ریاضــي إحصــاء تخصــص األســاتذة عــدد تمثــل X كانــت ؟ X العشوائي للمتغیر االحتمال

: الحــل

6 هـــو أســـاتذة 6 جملـــة مـــن اســتاذین اختیـــار بهـــا یـــتم التـــي الطـــرق عــدد 15

2

فـــراغ و

العینـة فـراغ أن القـول فـیمكن عشوائیة بطریقة تم االختبار ألن و. نقطة 15 على یحتوي العینةS أن أي. . متساویة احتماالت ذو :

i1P(E ) , i 1,2, ,15.

15

ذلــك علــى و. ریاضـي إحصــاء تخصـص األســاتذة عـدد یمثــل X العشـوائي المتغیــر أن بفـرض و : هي المقابلة االحتماالت و، 0,1,2 هي X للمتغیر الممكنة القیم تكون

3 30 2 1P(X 0)

6 52

3 31 1 3P(X 1)

6 52

3 32 0 1P(X 2)

6 52

: كالتالي بجدول االحتمالي التوزیع عن التعبیر كنیم و

10

2 1 0 x 15

35

15

f (x)

مثال

األجهـــزة مـــن 5 وجـــدی. للتشـــغیل معـــروض آلـــي حاســـب جهـــاز 15 المعلومـــات مركـــز فـــي یوجـــد بطریقــة أجهــزة 3 بفحــص المركــز علــى المشــرف قــام. المركــز إدارة علــم بــدون) معیبــة( عاطلــة

ـــة أوجـــد. عشـــوائیة األجهـــزة عـــدد یمثـــل X كـــان إذا X العشـــوائي للمتغیـــر االحتمـــال كثافـــة دال ؟ عطل بها التي أو المعیبة

: الحــل

نقــاط عــدد إیجــاد یمكــن وبــذلك عشــوائیة بطریقــة أجهــزة 3 فحــص هــي التجربــة أن نالحــظ أجهـزة 3 فحـص بهـا یـتم التـي الممكنـة الطـرق عـدد أن نالحـظ و. العملیـة التجربـة هذه في العینة

: هي جهاز 15 من15 15! 15 14 13 12! 455. 3 3!12! 3! 12!

x هـــي الممكنـــة والقـــیم معیبـــة أو عطـــل بهـــا التـــي األجهـــزة عـــدد یمثـــل X أن بمـــا 0,1,2,3 : هي القیم لهذة المقابلة واالحتماالت

: هو معیب جهاز یوجد ال أنه احتمال

5 100 3 120P(X 0)

455 455

: هو معیب جهاز یوجد أنه احتمال5 101 2 225P(X 1)

455 455

: هو معیبان جهازان یوجد أنه احتمال5 102 1 100P(X 2)455 455

11

: هو معیبة المفحوصة األجهزة أن احتمال5 103 0 10P(X 3) .

455 455

: كالتالي X العشوائي المتغیر كثافة دالة بةكتا یمكن اآلن و

120 , x 0455225 , x 1455P(X x)100 , x 245510 , x 3455

: یلي كما جدول في المعلومات هذه تمثیل یمكن كما3 2 1 0 x

10455

100455

225455

120455

f (x)

: التالیة الصیغة من العشوائي المتغیر لقیم المختلفة االحتماالت حساب ویمكن

5 10x 3 x

P(X x) , x 0,1,2,3.455

مثال

رت ة اختی ب ثالث وائیا كت ن عش وي رف م ى یحت ب 5 عل ي كت اریخ ف ب 3و الت ي كت وم ف العل :حتمالا ھو ما وقاموس المختار؟ ھو القاموس) أ( المختارتان؟ ھما التاریخ في واحد و العلوم في كتابین) ب(

: الحــل :كتب 9كتب من 3عدد طرق اختیار : فضاء العینة

12

984

3

: أذن) تاریخ 2قاموس و(مكونة من A) أ(

3 1 50 1 2 10 5P(A)

9 84 423

B أذن) علوم 2قاموس و(كونة من م: 5 1 30 1 2 3 1P(B)

9 84 283

C أذن) قاموس وتاریخ وعلوم(مكونة من : 1 5 31 1 1 15 5P(C)

9 84 283

:كتب واحد منھم قاموس 3احتمال اختیار -10 3 15 28P(A B C) P(A) P(B) P(C)84 84 84 84

:كتابین في العلوم وواحد في التاریخ أذن D) ب(1 5 30 1 2 15 5P(D)

9 84 283

مثال

ن عشرین على یحتوي اختبار أنبوبة في مستحضر وب م اح حب ن وخمسة الصنوبر لق اح م لق : أن احتمال ھو ما ، لقاح حبوب أربعة على تحتوي عشوائیة عینة اختیرت البلوط،

. الصنوبر من حبوب أربع على العینة تحتوي ) أ( . البلوط من بحبو ثالث على العینة تحتوي) ب( . الصنوبر لقاح حبوب ثالث على األقل على العینة تحتوي) ج(

:الحــل :احتمال تحتوي العینة على أربع حبوب من الصنوبر ھو ) أ(

13

20 54 0 969P(A)

25 25304

.حادثة الحصول على أربع حبوب من الصنوبر Aحیث :العینة على ثالث حبوب من البلوط احتمال أن تحتوي) ب(

20 51 3 40P(B)

25 25304

.حادثة الحصول على ثالث حبوب من البلوط Bحیث :تحتوي العینة على األقل على ثالث حبوب لقاح الصنوبر) ج(

20 54 0 969P(A)

25 25304

و

20 53 1 1140P(C)

25 25304

1140 969 2109P(C A) P(C) P(A)2530 2530 2530

.الصنوبر وحبة واحدة من البلوط من حادثة الحصول على ثالث حبوب Cحیث

مثال

من أشخاص 3 من علمیة لمھمة اختیارھم یتم الذین الرجال لعدد التوزیع االحتمالى أوجد ) .إرجاع بدون السحب( وسیدتین رجال 5 بین

: الحــلx: ھي X العشوائي المتغیر قیم 1,2,3 . اختیارھم یتم الذین الرجال عدد تمثل والتي

n من عینة في علمیة لمھمة 3 . :الصیغة العامة االحتمالیة ھي

5 2x 3 x

P(X x) , x 1,2,373

14

5 21 2 5P(X 1) ,

35 35

, 3520

3512

25

)2X(P

. 3510

3502

35

)3X(P

:ھو X العشوائي المتغیر االحتمالي التوزیع إذن

3 2 1 x

3510

3520

355 )xX(P

االول مثالال: ثانیا

ان Hواذا كان الناتج T,Hحیث نواتج التجربة ة تزنة تكون من القاء عملة متجرب ا اذا ك ة ام ى التجرب ننھ :1,2,3,4,5,6فنلقى نرد متزن حیث نواتج النرد ھى Tالناتج

:كالتالى الذى سوف یكون المطلوب فضاء العینة و

S={H,( T,1) ,( T,2) ( T,3) ,( T,4) ( T,5) ,( T,6)} البسیطة لألحداث االحتماالت ia ,i 2,3 للحادثةA حیث:

A {{T,1},{T,2}}

: التالي الجدول في معطاة

{T,2 } {T,1} }a{ i 1

12 1

12

P({ai})

15

1P(H)2

1 1 1P(T,1) ( )( )2 6 121 1 1P(T,2) ( )( )2 6 12

: ذلك وعلى A ={( T,1) ,( T,2) } الحادثة بما ان 1 1 1 1 2P(A) P({T,1}) P({T,2}) ( )( ) ( )( ) .2 6 2 6 12