【朗道理论物理教程】卷一力学

i

力学

L. D. 朗道 E. M. 栗弗席兹著

i

目录

第一章运动方程 1 §1 广义坐标 1 §2 最小作用量原理 1 §3 伽利略相对性原理 4 §4 自由质点的拉格朗日函数 5 §5 质点系的拉格朗日函数 7

第二章守恒定律 17 §6 能量 17 §7 动量 19 §8 质心 21 §9 动量矩 23 §10 力学相似性 28

第三章运动方程的积分 32 §11 一维运动 32 §12 根据振动周期确定势能 37 §13 折合质量 39 §14 有心力场内的运动 41 §15 开普勒问题 52

第四章质点碰撞 63 §16 质点分裂 63 §17 质点弹性碰撞 70 §18 质点散射 75 §19 卢瑟福公式 85 §20 小角度散射 90

第五章微振动 95

§21 一维自由振动 95

§22 强迫振动 103

§23 多自由度系统振动 112

§24 分子振动 123

§25 阻尼振动 135

§26 有摩擦的强迫振动 138

§27 参数共振 143

§28 非简谐振动 152

§29 非线性振动中的共振 156

§30 快速交变场中的运动 164

惯性张

§33 刚体动量矩 186

§34 刚体运动方程 187

ii

§35 欧拉角 190

§36 欧拉方程 200

§37 非对称陀螺 202

§38 刚体接触 214

§39 非惯性参考系中的运动 223

第七章正则方程 231

§40 哈密顿方程 231

§41 罗斯函数 233

§42 泊松括号 235

§43 作为坐标函数的作用量 243

§44 莫培督原理 246

§45 正则变换 250

§46 刘维尔定理 253

§47 哈密顿-雅可比方程 254

§48 分离变量 256

§49 绝热不变量 273

§50 正则变量 276

§51 绝热不变量守恒精确性 279

§52. 条件周期运动 285

第六章刚体的运动 170

§31 角速度 170

§32 惯性张量 172

§33 刚体动量矩 186

§34 刚体运动方程 187

第一章运动方程

1


§1 广义坐标

质点是力学的基本概念之一，是指那些忽略尺寸而不会影响其运动描述的物体.当然，

可否忽略尺寸因不同问题的具体条件而异。例如，研究行星绕太阳的运动时，可以认为行星

是质点，但是在研究行星自转时就不能当做质点。质点在空间的位置由其径矢r确定，其分量用笛卡尔坐标 , ,x y z表示，径矢r对时间的导数

ddt

=rv

称为质点的速度，其二阶导数 2 2r/d dt 称为质点的加速度.今后，对时间的导数经常用符号上

面的点表示，如 =v r& . 为了确定由 N 个质点组成的系统在空间的位置，需要给定 N 个径矢，即给定 3N 个坐

标。通常，唯一地确定系统位置所需独立变量的数目称为系统的自由度，N个质点组成系统的自由度为 3N。这些独立变量不一定是质点的笛卡尔坐标，根据问题的条件，有时选取其它坐标更加方便。任意 s个可以完全刻画系统（s个自由度）位置的变量 q1,q2,…,qs，称为该系统的广义坐

标，其导数 q&，则称为广义速度。

然而，给定广义坐标的数值并不能确定系统在给定时刻的“力学状态”，因为还不足以预测下一时刻的位置。对于给定的广义坐标值，系统可以具有任意的速度，因此下一时刻（即

经过无穷小的时间间隔dt）系统的位置可能不同。实验表明，同时给定系统的所有广义坐标和速度就可以确定系统的状态，并且原则上也

可以预测以后的运动。从数学观点看，在某时刻给定所有广义坐标 q和速度q& 就唯一地确定

了该时刻的加速度q&&①。

加速度与坐标、速度的关系式称为运动方程。对于函数 q(t)来说，这个关系式是二阶微分方程，原则上，将其积分可以求出函数 q(t),即确定系统的运动轨迹。

§2 最小作用量原理

力学系统运动规律的最一般表述由最小作用量原理(或者哈密顿原理)给出。根据这个原理，描述每一个力学系统都可以用一个相应的函数 ①为了书写简便,我们常常用 q表示所有广义坐标 q1,q2,…,qs, 用q& 表示所有广义速度.


2

1 2 1 2( , , , , , , , , )s sL q q q q q q t& & &L L

或者简记为 ( , , )L q q t& ，并且系统的运动还要满足下面的条件。

假设在时刻 1t t= 和 2t t= 系统的位置由两个坐标 q(1)和 q(2)确定，那么，系统在这两个位

置之间的运动使得积分

2

1

( , , )t

tL q q t dtS = ∫ & (2.1)

取最小值②。函数 L称为给定系统的拉格朗日函数，积分（2.1）称为作用量。

拉格朗日函数中只包含 q和 q&，而不包含更高阶导数q&& , q&&& ,…，这反映了前面提到的物

理事实，即力学状态完全由坐标和速度确定。下面我们通过求积分（2.1）的最小值来推导运动微分方程. 为了书写简便，我们先假定系统有一个自由度，只需有一个函数 q(t)来确定。设 q=q(t)是使 S取最小值的函数，就是说用任意函数

( ) ( )q t q tδ+ (2.2)

代替 ( )q t 都会使 S 增大，其中函数 ( )q tδ （也称为函数 ( )q t 的变分）在从 t1到 t2的整个时

间间隔内都是小量。由于比较函数（2.2）在时刻 t=t1和 t=t2也应该分别取值 q(1)和 q(2)，于是

有:

1 2( ) ( ) 0q t q tδ δ= = . (2.3)

用 ( ) ( )q t q tδ+ 代替 ( )q t 使 S产生的增量为

2 2

1 1

( , , ) ( , , ) ,t t

t tL q q q q t dt L q q t dtδ δ+ + −∫ ∫& & &

这个差按 qδ 和 qδ &的指数展开式（在积分号下的表达式中）是从一阶项开始的。S取最小值

③的必要条件是这些项之和等于零。这个和称为积分的一阶变分（或者简称为变分）。于是，

最小作用量原理可以写成 2

1( , , ) 0,

tS L q t tq dtδ δ= =∫ (2.4)

或者变分后的形式： 2

1

0t

t

L Lq q dtq q

δ δ ∂ ∂

+ = ∂ ∂ ∫ &

&

注意到dq qdt

δ δ=& ，将第二项分部积分得： ② 然而, 应该指出的是, 这个最小作用量原理的表述并不是对系统的整个运动轨迹成立,而是在足够小的区段上成立.对于整个轨迹来说,积分(2.1)只能取驻值而不一定是最小值.当然,这对于推导运动方程没有什么影响,因为我们只需要用到驻值条件. ③ 一般来说是驻值.


3

22

11

0t

t

tt

L L d LS q qdtq q dt q

δ δ δ ∂ ∂ ∂

= + − = ∂ ∂ ∂ ∫& &

（2.5）根据（2.3）上式中第一项等于零。剩下的积分在 δq任意取值时都应该等于零。这只有在被积函数恒等于零的情况下才有可能。于是我们得到方程

0d L Ldt q q

∂ ∂− = ∂ ∂ &

对于 s个自由度的系统，在最小作用量原理中有 s个不同的函数 ( )iq t 应该独立的变分。

显然我们可以得到 s个方程：

0. ( 1,2, )i i

d L L i sdt q q

∂ ∂− = = ∂ ∂

L&

（2.6）

这就是我们要推导的运动微分方程，在力学中称为拉格朗日方程④。如果给定力学系统的拉

格朗日函数已知,则方程（2.6）建立了加速度、速度和坐标之间的联系是系统的运动方程。

从数学的观点看，方程（2.6）包含 s个未知函数 ( )iq t 的 s个二阶微分方程。这个方程

组的通解包含 2s 个任意常数。为了确定这些常数，从而完全确定力学系统的运动，必须知道描述系统在给定时刻状态的初始条件，例如坐标和速度的初值。

设力学系统由A和 B两部分组成，每个部分都是封闭的，拉格朗日函数分别是 AL 和 BL 。

在两个部分相距足够远以至他们的相互作用可以忽略的极限情况下，系统的拉格朗日函数趋

向于极限： lim A BL L L= + (2.7)

拉格朗日函数的这种可加性反映了一个事实：每一个独立部分的运动方程不可能包含另一个

部分的物理量。显然，将力学系统的拉格朗日函数乘以一个任意常数，不会改变运动微分方程，这似乎导致一种不确定性:各个孤立力学系统的拉格朗日函数可以乘以不同的任意常数. 可加性消除了这个不确定性，只允许所有力学系统都乘以同一个任意常数，而这归结为选择这个物理

量度量单位的任意性，我们还将在第 4章继续讨论这个问题。

我们还需要进行以下的一般性讨论。考虑两个拉格朗日函数 ( , , )L q q t′ & 和 ( , , )L q q t& ，它们

相差某个坐标和时间的函数 f（q，t）对时间的全导数：

( , , ) ( , , ) ( , )dL q q t L q q t f q tdt

′ = +& & （2.8）

计算这两个拉格朗日函数对应的积分（2.1）可得关系式：

2 2 2

1 1 1

(2) (1)

2 1

( , , ) ( , , ) ( , )

( , ) ( , )

t t t

t t t

dS L q q t dt L q q t dt f q t dtdt

S f q t f q t

′ ′= = +

= + −

∫ ∫ ∫& &

即 S和 S ′相差一个附加项，该附加项在变分时将消失， 0Sδ ′ = 和 0Sδ = 完全相同，因而

④ 在求积分(2.1)驻值的变分计算中,这些方程称为欧拉方程.


4

运动微分方程也相同⑤。

可见, 拉格朗日函数可以附加任意一个关于时间和坐标的函数的全导数。

§3 伽利略相对性原理

为了研究力学现象必须选择参考系。一般来说运动规律在不同的参考系下具有不同的形

式。假如任意选择参考系，则可能使非常简单的现象看起来十分复杂。这自然会产生一个问

题，即如何选择参考系使得力学规律最简单。相对于任意参考系，空间是非均匀的各向异性的。这就是说，如果某个物体与其它物体之间没有相互作用，但是它在空间中的不同位置和不同指向在力学意义上是不等价的。同样，

一般情况下时间也是非均匀的，即不同时刻也是不等价的。显然，时间和空间的这些性质使

得力学现象的描述变得复杂。例如，自由物体（即不受任何外力作用）不可能静止：如果在

某个时刻其速度等于零，但在下一个时刻它开始向某个方向运动。然而，似乎总是存在某种参考系，空间相对它是均匀的各向同性的，时间相对它是均匀的。这样的参考系称为惯性参考系。在惯性参考系中，在某个时刻静止的自由物体将永远保

持静止。对于在惯性参考系中自由运动的质点，我们立即可以得到其拉格朗日函数形式的一些结论。时间和空间的均匀性意味着这个函数不显含质点的径矢 r和时间 t，即 L只是速度 v的函数。由于空间各向同性，拉格朗日函数不依赖于矢量 v的方向，只能是速度大小的函数，

也就是说 L是 2v = 2v 的函数：

2( )L L v= (3.1).

由拉格朗日函数不显含质点的径矢 r可知∂ L/ ∂ r=0，拉格朗日方程可写成

⑤ 也可以直接计算(2.8)联系的两个拉格朗日函数有相同的运动微分方程,这只要注意到下列结论即可.

因为 ( )f q t, 对时间的全微商可写为

1

( , ) ( , )( , ) ,sd f q t f q tf q t q

dt q tββ β=

∂ ∂= +

∂ ∂∑ &

则有

2 2

1

2 2

1

( , )( ) ,

( ) ( )( )

( ) ( )( )

s

s

d f q tf q tdt qq

d d f q t f q tf q t qdt dt q q t qq

d f q t f q tf q t qq dt q q q t

αα

ββ β α αα

ββα α β α

=

=

∂ ∂ , = ∂ ∂

∂ ∂ , ∂ , , = + , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , ∂ , , = + , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∑

∑

&

&&

&

所以,

( ) ( ) 0d d df q t f q tdt dt q dtq αα

∂ ∂ , − , = , ∂ ∂ &

即全微商项对动力学方程的贡献为零.


5

0Lt

∂ ∂=

∂ ∂v

由此可得 /L∂ ∂ =v const。而 /L∂ ∂v只是速度的函数，故 v=const. (3.2)

可见，在惯性参考系中任何自由运动的速度的大小和方向都不改变。这个结论包含了惯

性定律的内容。如果在我们已有的这个惯性参考系以外，再引进另一个惯性参考系，它相对第一个惯

性参考系作匀速直线运动，则相对这两个参考系的自由运动规律完全相同：自由运动仍是匀

速直线运动。实验证明，不仅自由运动规律对这两个参考系完全相同，所有力学关系式相对这两个

参考系都是等价的。因此存在不只是一个，而是无穷多个惯性参考系，它们相互作匀速直线

运动。在这些参考系中时间和空间都是相同的，力学规律也是相同的。这个结论称为伽利略

相对性原理。这是力学中最重要的原理之一。上面论述充分说明了惯性参考系的特性，应该利用这样的参考系研究力学现象。今后

如果不特别说明，我们只研究惯性参考系。无穷多个这样的参考系的等价性还表明，不存在比其他参考系更好的一个“绝对”惯

性参考系。设有两个不同的参考系 K和K ′ ,其中K ′相对 K以速度 v运动，同一个质点相对这两个

参考系的坐标r和 ′r 满足关系式 t′= +r r V （3.3）

我们认为这两个参考系中的时间是相同的： t t′= （3.4）

绝对时间假设是经典力学的基础⑥。公式（3.3）和（3.4）称为伽利略变换。伽利略相对性原理可以表述为：力学运动方程

在伽利略变换下具有不变性。

§4 自由质点的拉格朗日函数

下面研究拉格朗日函数的形式，首先研究一个最简单的例子——质点相对惯性参考系

的自由运动。我们已经知道，这种情况下拉格朗日函数只能依赖于质点速度的平方。我们利

用伽利略原理来研究这个依赖关系的形式。如果惯性参考系 K 以无穷小速度ε相对惯性参考系 K’运动，则有 ' +=v v ε。拉格朗日函数 L(v2)经过伽利略变换后得到 L’.由于在所有惯性参考系中运动方程的形式都相同，故 L’与 L(v2)只能相差某个关于时间和坐标的函数的全导数（参见第二节）。

于是有

2 2 2' ( ' ) ( 2 )L L v L v ε= = + ⋅ +v ε

将这个公式展开成ε 的幂级数并忽略高阶小量得：

2 22( ' ) ( ) 2 LL v L v

v∂

= + ⋅∂

v ε

只有当等式右边的第二项与速度 v 呈线性依赖关系时，它才能是时间的全导数。因此 2Lv

∂∂

⑥ 这个假设在相对论力学中不成立.


6

不依赖于速度，即拉格朗日函数与速度平方成正比：

212

L mv= （4.1）

其中 m为常数。由拉格朗日函数在速度无穷小变换下满足伽利略相对性原理可知，在参考系 K 以有限

速度 V相对 K’运动情况下，拉格朗日函数也满足该原理。事实上，

2 2 2 21 1' ' ( ) 22 2 2 2 2

m m mL mv m v V= = + = + ⋅ +v V v V

或者

2' 22 2

d m mL L V tdt

= + ⋅ +

r V

第二项是全导数，可以略去。物理量 m称为质点的质量。根据拉格朗日函数的可加性，对于无相互作用的质点组成

的自由质点系，有⑦

212 a aL m v= ∑ （4.2）

必须强调，只有考虑到可加性的时候，给出的质量定义才有实际物理意义。在第二节

曾经指出，总是可以将拉格朗日函数乘以常数而不改变方程。对于函数（4.2），乘以常数就相当于改变了质量的度量，不同质点的质量之间的比例关系却是具有实际物理意义的，不会

发生改变。容易看出，质量不可能是负的。事实上，根据最小作用量原理，质点从空间点 1 到空

间点 2的真实运动，使得积分

22

1 2mvS dt= ∫

取最小值。假如质量是负的，对于快速离开点 1再快速接近点 2的轨迹，作用量可以取绝对值任意大的负值，不可能有最小值⑧。

注意到

2 2

22

( )( )

dl dlvdt dt

= =

（4.3）

因此为了得到拉格朗日函数只需求出在特定坐标系中弧长微元 dl的平方。

例如，在笛卡尔坐标系中2 2 2 2dl dx dy dz= + + ，进而有

2 2 2( )2mL x y z= + +& & & （4.4）

在柱坐标系中 2 2 2 2 2dl dr r d dzϕ= + + ，进而有

⑦ 我们用拉丁字母表中前几个字母 a，b，c,…表示质点的编号,用 i, k ,l,…给坐标编号. ⑧ 在§2的第一个脚注中给出的说明不会影响这个结论.因为 0m < 时积分甚至对轨迹上的任意小区间都

不可能有最小值.


7

2 2 2 2( )2mL r r zϕ= + +&& & (4.5)

在球坐标系中2 2 2 2 2 2 2sindl dr r d r dθ θ ϕ= + + ，进而有

2 2 2 2 2 2( sin )2mL r r rθ θϕ= + +& && （4.6）

§5 质点系的拉格朗日函数

下面研究一种质点系，其质点之间有相互作用，但不受外部任何物体作用，称为封闭

质点系。为了描述质点之间的相互作用，可以在自由质点系的拉格朗日函数中增加坐标的

函数（根据相互作用的性质确定）⑨。将这个函数记为U，则有

2

( , , )2a a

a

m vL U= − ⋅⋅⋅∑ 1 2r r (5.1)

（ ar 是第 a个质点的径矢）。这是封闭质点系拉格朗日函数的一般形式。

函数 U称为质点系的势能，而

2

2a a

a

m vT = ∑

称为质点系的动能，这些名称的含义将在§6中介绍。势能仅依赖于所有质点在相同时刻的分布，这意味着其中一个质点位置的改变立刻影

响到所有其它质点，可以说相互作用瞬间“扩散”。这个相互作用的性质在经典力学中是必

然的，它紧密联系着经典力学的基本前提，即绝对时间假设和伽利略相对性原理。如果相

互作用不是瞬间扩散的，即以一定的速度扩散，而时间的绝对性意味着通常的速度相加法

则适用于所有现象，因此在不同的(相对运动)参考系中扩散速度不相同。于是相互作用的物体的运动规律在不同惯性系中也不相同，这就违背了伽利略相对性原理⑩。

在§3中我们只提到了时间的均匀性。拉格朗日函数的形式(5.1)表明，时间不仅是均匀

⑨ 这个结论限于本书所述的经典（非相对论）力学范畴。

⑩[补充证明：]相互作用在参考系α 中以有限速度 0v 传递，而α 系相对于β 系以速度 1v 运动.

假设 0v ， 1v 同向，则在β 系中，相互作用以速度( 0v + 1v )传递。

令d 为A,B两质点在 0v 方向上的距离. 如果改变B的状态而引起相互作用F ，取时间间隔为 0t ,

则当 0 0 0 1 0( )v t d v v t⋅ < < + ⋅ 时，根据相互作用传递速度的有限性,在α 参考系中，有 0ax =&& ，而

在β 参考系中，则有 aa

xm

=F&& ,即两参考系中运动规律不相同。


8

的，而且是各向同性的，即时间的性质在两个方向上都是相同的。事实上，用 t− 代替 t不会改变拉格朗日函数，进而也不会改变运动方程。换句话说，如果在参考系中某种运动是

可能的，则反运动也是可能的，即可以按照相反的顺序进行运动。在这个意义下，按照经

典力学定律所有运动都是可逆的。

知道拉格朗日函数后就可以建立运动方程：

d L Ldt

∂ ∂=

∂ ∂a av r (5.2)

将(5.1)代入后得：

ad Umdt

∂= −

∂a

a

vr

(5.3)

这种形式的运动方程称为牛顿方程，是自由质点系力学的基础。方程(5.3)右端的矢量

U∂= −

∂aa

Fr

(5.4)

称为作用在第 a个质点上的力。它与U 一样，依赖于所有质点的坐标，但不依赖于速度。因此，方程(5.3)表明，质点的加速度矢量也是坐标的函数。

势能可以增减任意常数而不改变运动方程（这是在§2中讲到的拉格朗日函数不确定性的特殊情况）。选择这个任意常数的最自然和最通用的方法是，当无限增大质点间距离时势

能趋向于零。

如果描述运动不是用笛卡儿坐标，而是用任意的广义坐标 iq ，则为了得到拉格朗日函

数必须引进相应的变换：

1 2( , ,a ax f q q= … , )sq , aa k

k k

fx qq

∂=

∂∑& & ,

将这些表达式代入函数

2 2 21 ( )2 a a a a

aL m x y z U= + + −∑ & & &

可得如下形式的拉格朗日函数：

( ) ( ),

12 ik i k

i kL a q q q U q= −∑ & & (5.5)

其中 ika 是广义坐标的函数。用广义坐标写出的动能是速度的二次函数，但可以依赖于广义

坐标。

到此为止我们只研究了封闭质点系。下面研究非封闭质点系 A，它与运动完全已知的质点系 B相互作用。这种情况下称 A在（由 B）给定的外场中运动。根据最小作用量原理推导运动方程是要对每个广义坐标进行独立变分（即认为其它广义坐标是已知的），因此，


9

可将质点系 A+B的拉格朗日函数 L中广义坐标 Bq 用已知函数代替，由此得到质点系 A的

拉格朗日函数 AL 。

假设质点系 A+B是封闭的，则有

( , ) ( , ) ( , )A A A B B B A BL T q q T q q U q q= + −& &

其中前两项分别是 A和 B的动能，第三项是 A+B的势能。将广义坐标 Bq 用已知的时间函

数代替后， ( , )B B BT q q& 是只依赖于时间的函数（因此也是某个时间函数的全导数），可以从

L中略去。于是

( , ) ( , ( ))A A A A BL T q q U q q t= −&

可见，在外场中运动的质点系的拉格朗日函数具有通常的形式，差别就在于势能可能

显含时间。

对于在外场中运动的质点，拉格朗日函数写成

( )2

,2

mvL U t= − r (5.6)

而运动方程写成 Um ∂

= −∂

vr

& (5.7)

如果质点处在外场中时，所有点都受到相同的力F，则称这样的外场是均匀的。显然在均匀外场中势能可以写成

U = − F rg (5.8) 在结束本节之前，我们还需对拉格朗日方程在具体问题中如何应用做些说明。我们经

常会遇到一种力学系统，其中的物体（质点）之间的相互作用有约束的性质，即限制物体

相互间的位置关系。实际上这种约束是通过杆、线、铰等实现的。这给研究运动带来新问

题，即运动伴有接触处的摩擦。一般来说，这个问题超越了力学范围（参见§25）。然而,很多情况下摩擦是比较弱的，它对运动的影响可以忽略。如果还可以忽略“连接物” 的质量，则其作用仅仅是减少自由度（与 3N 相比）。这样又可以利用拉格朗日函数(5.5)来确定运动，独立的广义坐标数就等于自由度。

习题

试求下面在均匀重力场（重力加速度为 g）中各系统的拉格朗日函数。

习题 1 平面双摆（图 1）。


10

解：取绳 1l 和 2l 分别与竖直方向的夹角 1ϕ 和 2ϕ 为广义坐标。对质点 1m 有

2 21 1 1 1

12

T m l ϕ= & ， 1 1 1cosm glU ϕ= −

为了求出第二个质点的动能，我们用角 1ϕ 和 2ϕ 表示第二个质点的笛卡尔坐标 2x , 2y （坐

标原点取在悬挂点， y轴竖直向下）：

2 1 1 2 2sin sinx l lϕ ϕ= + ， 2 1 1 2 2cos cosy l lϕ ϕ= +

于是有

2 2 2 2 2 222 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 ( ) [ 2 cos( ) ]2 2

mT m x y l l l lϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + = + + −& & & && &

2 2 1 2 2 1 1 2 2( ) ( cos cos )U m g y y m g l lϕ ϕ= − + = − +

最后得

2 2 221 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2

1 ( ) cos( ) ( ) cos cos2 2

mL m m l l m l l m m gl m glϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + + − + + +& & & &

习题 2 质量为 2m 的平面摆，其悬挂点（质量为 1m ）可以沿着水平直线运动（图 2）。

解：设质点 1m 的坐标为 x，绳与竖直方向夹角为ϕ，则有

2 2 21 2 22( 2 cos ) cos

2 2m m mL x l lx m glϕ ϕ ϕ ϕ

+= + + + & && &

习题 3 设有一平面摆，其悬挂点：

1ϕ 1l

1m

2ϕ 2l

2m

x

2m

x

l

1m

ϕ


11

a．沿着竖直圆以定常圆频率γ 运动（图 3），

b．按规律 cosa tγ 水平振动，

c．按规律 cosa tγ 竖直振动。

解：

a. 质点m的坐标为：

cos sinx a t lγ ϕ= + ， sin cosy a t lγ ϕ= − +

拉格朗日函数为

22 2 sin( ) cos

2mlL mla t mglϕ γ ϕ γ ϕ= + − +&

这里略去了仅仅依赖于时间的项，它可以写成 cos( )mla tγ ϕ γ− 对时间的全导数。

b. 质点m的坐标为：

cos sinx a t lγ ϕ= + ， cosy l ϕ=

拉格朗日函数（略去全导数后）为

22 2 cos sin cos

2mlL mla t mglϕ γ γ ϕ ϕ= + +&

c. 类似地，可得：

22 2 cos cos cos


习题 4 在图 4所示的力学系统中，质点 2m 沿着竖直轴运动，整个系统以常角速度Ω

绕该轴转动。

解：设线段a与竖直方向夹角为θ，系统绕竖直轴转动

的角度为ϕ，则ϕ = Ω& ，对于每个质点 1m 的微小位移有

2 2 2 2 2 21 sindl a d a dθ θ ϕ= +

质点 2m 到 A点的距离为2 cosa θ ，因此

2 2 sindl a dθ θ= −

拉格朗日函数为 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2( sin ) 2 sin 2 ( ) cosL m a m a ga m mθ θ θθ θ= + Ω + + +& &

ϕ a

x

y m

ϕ


12

习题的详细推导过程:

习题 1 平面双摆

解：取两个小球及连线为整个系统，系统的自由度为 2。建立如图 1所示的直角坐标系。

取绳 1l 和 2l 分别与竖直方向的夹角 1ϕ 和 2ϕ 为广义坐标。取悬挂点所在水平面为重力势能零

势面. 对质点 1m 有

2 21 1 1 1

12

T m l ϕ= & ， 1 1 1 1cosU m gl ϕ= −

为了求出第二个质点的动能，我们用角 1ϕ 和 2ϕ 表示第二个质点的笛卡尔坐标 2x , 2y （坐

标原点取在悬挂点， y轴竖直向下）：

2 1 1 2 2sin sinx l lϕ ϕ= + ， 2 1 1 2 2cos cosy l lϕ ϕ= +

于是有

2 2 2 2 2 222 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2

1 ( ) [ 2 cos( ) ]2 2

mT m x y l l l lϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + = + + −& & & && &

2 2 1 2 2 1 1 2 2( ) ( cos cos )U m g y y m g l lϕ ϕ= − + = − +

系统的动能

2

2 2 221 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2

1 ( ) 2 cos( )2 2

mT T T m m l l l lϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + = + + + − & & & &

系统的势能

1 2 1 2 1 1 2 2 2( ) cos cosU U U m m gl m glϕ ϕ= + = − + −

由 L T U= − ，最后得系统的拉格朗日函数

2

2 2 221 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2

1 2 1 1 2 2 2

1 ( ) 2 cos( )2 2( ) cos cos

mL m m l l l l

m m gl m gl

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= + + + −

+ + +

& & & &

习题 2 质量为 2m 的平面摆，其悬挂点（质量为 1m ）可以沿着水平直线运动（图 2）。

解：取两个小球及其连线为整个系统，系统自由度为 2，建立如图 2所示坐标系，取 1m

所在水平面为势能零面。

设质点 1m 的坐标为 x，绳与竖直方向夹角为ϕ，将它们取为广义坐标,则有坐标变换关

系

2 sinx x l ϕ= + ， 2 cosy l ϕ=

对于悬挂点 1m ,动能为


13

21

12

T mx= &

势能

1 0U =

对于摆点 2m ,动能为

2 2 2 2 22 2 2 2 2

1 1( ) ( 2 cos )2 2

T m x y m x l lxϕ ϕ ϕ= + = + +& && & & &

势能为

2 2 cosU m gl ϕ= −

系统的动能

2 2 21 2 2 ( 2 cos )2 2

m m mT x l lxϕ ϕ ϕ+

= + +& && &

系统的势能

2 2 2 2 cosU U m gy m gl ϕ= = − = −

由 L T U= − ，可系统的拉格朗日函数为

2 2 21 2 22( 2 cos ) cos

2 2m m mL x l lx m glϕ ϕ ϕ ϕ

+= + + + & && &

习题 3 设有一平面摆，其悬挂点：

a.沿着竖直圆以定常圆频率γ 运动（图 3），

b.按规律 cosa tγ 水平振动，

c.按规律 cosa tγ 竖直振动。

解：系统自由度为 1。取摆线与竖直方向夹角ϕ为广义坐标，建立如图坐标系，取 0y =

平面为重力势能零势面。

a. 质点m的坐标为：

cos sinx a t lγ ϕ= + ， sin cosy a t lγ ϕ= − +

系统的动能

2 22 2 221 1( ) ( ) sin( )2 2

T m m a l mla tyx γ γϕ ϕ γϕ= + = + + − .&&&&

系统的势能

( sin cos )U mgy mg a t lγ ϕ= − = − − +

由 L T U= − ，拉格朗日函数为

2 2 2 21 ( ) sin( ) ( sin cos )2

L m a l mla t mg a t lγ ϕ γ ϕ γ ϕ γ ϕ= + + − + − +& &

这里由拉格朗日函数的不唯一性可以将上述 L 中的某些项略去而不改变系统的动力学微分

方程


14

(i) 2 212

ma γ 是常数，可以略去。

(ii) sinmga tγ− 可视为 cosmga tγγ

对时间的全导数，可以略去。

(iii) sin( ) cos( ) sin( )dt t tdt

ϕ γ ϕ ϕ γ γ ϕ γ− = − − + −& , cos( )d tdt

ϕ γ− − 是关于时间的

全导数，可以略去，所以sin( )tϕ γ ϕ− &可用 sin( )tγ ϕ γ− 代替.

经过上述处理并整理得到系统的拉格朗日函数为

22 2 sin( ) cos

2mlL mla t mglϕ γ ϕ γ ϕ= + − +&

b. 质点m的坐标为：

cos sinx a t lγ ϕ= + ， cosy l ϕ=

系统动能 2 2 2 2 2 21 1( ) ( 2 sin cos )

2 2T m x y m a l la tγ ϕ γϕ γ ϕ= + = + −& && &

系统势能 cosU mgy mgl ϕ= − = −

由 L T U= − ，得 2 2 2 21 ( ) sin cos cos

2L m a l mla t mglγ ϕ γ γ ϕϕ ϕ= + − +& &

这里由拉格朗日函数的不唯一性，可以去掉某些项

(i) 2 21

2ma γ 是常数，可以略去。

(ii) sin cos cos sin sin cosdt t tdt

γ ϕϕ γ ϕ γ γ ϕ= − −& ,而 cos sind tdt

γ ϕ− 是关于时间

的全导数，可以略去，所以sin cos sin cost tγ ϕϕ γ γ ϕ−& : 。

略去对时间的全导数项后,拉格朗日函数为

22 2 cos sin cos


c. 质点坐标

sinx l ϕ= ， cos cosy a t lγ ϕ= +

系统动能

2 2 2 2 2 21 1( ) ( 2 sin sin )2 2

T m x y m a l la tγ ϕ γ γ ϕϕ= + = + +& && &

系统势能

( cos cos )U mgy mg a t lγ ϕ= − = − +

由 L T U= − ，得


15

2 2 2 21 ( ) sin sin (cos cos )2

L m a l mla t mgla t lγ ϕ γ γ ϕϕ γ ϕ= + + + +& &

仍由拉格朗日函数的不确定性

类似于 a.中的处理过程,略去时间的全导数项后,拉格朗日函数为

22 2 cos cos cos


习题 4 在图 4所示的力学系统中，质点 2m 沿着竖直轴运动，整个系统以常角速度Ω

绕该轴转动。

解：取所有质点及连线为一个系统，系统自由度为 1。设线段 a与竖直方向夹角为θ ,

取θ为广义坐标， A点所在水平面为重力势能零势面.以 A为原点建立直角坐标系，以竖直

向上为 y轴正方向。

设系统绕竖直轴转动的角度为ϕ，则ϕ = Ω& ，对于每个质点 1m 的微小位移有

2 2 2 2 2 21 sindl a d a dθ θ ϕ= +

质点 2m 到 A点的距离为2 cosa θ ，因此

2 2 sindl a dθ θ= −

以上是通过几何位形确定动能和广义坐标的关系。下面用常规的坐标变换法解决此问

题：

左边的 1m 坐标为

11 sinx a θ= − ， 11 cosy a θ= −

右边的 1m 坐标为

12 sinx a θ= ， 12 cosy a θ= −

1m 的动能和势能分别为

2 2 2 2 21 1 11 11 12 12 1

2 2 2 21

1 1( ) 2 ( sin )2 2

( sin )

T m x y x y m a

m a

θ

θ θ

= + + + + × Ω

= + Ω

& & & &

&

1 1 1 12 2 cosU m gy m ga θ= = −

下面的 2m 的坐标为

2 0x = ， 2 2 cosy a θ= −


16

动能和势能分别为

2 2 2 22 2 2 2

1 2 sin2

T m y m a θθ= = &&

2 2 2 22 cosU m gy m ga θ= = −

系统的动能

2 2 2 2 2 21 2 1( 2 sin ) sinT m m a m aθ θ θ= + + Ω&

系统的势能

1 22( ) cosU m m ga θ= − +

由 L T U= − ，拉格朗日函数为 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2( sin ) 2 sin 2 ( ) cosL m a m a ga m mθ θ θθ θ= + Ω + + +& &

第二章守恒定律

17


§6 能量

在力学系统运动过程中，描述其状态的 2s 个变量： iq 和 iq& （i=1，2，…，s）会随时

间而变化，但是存在关于这些变量的某些函数，在运动过程中保持常值，只依赖于初始条件，

这样的函数被称为运动积分。

对于具有 s 个自由度的力学封闭系统，独立的运动积分数为 s－1，这很容易理解。运

动方程的通解包含 2s个任意常数（参见第三页）。由于封闭系统的运动方程不显含时间，所

以系统初始时刻的选取是完全任意的，而且总可以将运动方程解中的任意常数之一选作时间

的可加常数 0t ，然后从 2s个函数：

( )( )

0 1 2 2 1

0 1 2 2 1

, , , ,

, , , ,i i s

i i s

q q t t c c c

q q t t c c c−

−

= +

= +

L& & L

( 1, 2,3, , )i s= L

中消去 0t t+ ，再将 2s-1个任意常数 1, 2 , 2 1, sc c c −L 表示成 ,i iq q& 的函数形式，得到的

这些函数就是运动积分。

然而，并不是所有的运动积分在力学中有相同的重要性，其中一些运动积分的恒定不变

性源自时间和空间的基本性质，即均匀性和各向同性。这些所谓的守恒量具有可加性。对于

由几个相互独立部分组成的系统，守恒量的值等于各个部分相应值之和。

可加性使相应的物理量具有重要的力学意义。举一个例子来说吧，假设两个物体在某时

间段内发生相互作用。由于作用发生前后，整个系统的每个可加运动积分值都等于两物体相

应值之和，如果已知作用发生前各个物体的运动状态，那么通过守恒定律也许就能迅速得到

关于作用发生后各物体运动状态的结论。

我们首先介绍时间均匀性导出的守恒定律。

由于时间具有均匀性，封闭系统的拉格朗日函数不显含时间，因此拉格朗日函数对于时

间的全导数可以写成

i ii ii i

dL L Lq qdt q q

∂ ∂= +

∂ ∂∑ ∑& &&&

(如果L显含时间,右端还应该有 /L t∂ ∂ )。利用拉格朗日方程将 / iL q∂ ∂ 替换为i

d Ldt q

∂∂ &，得

i i ii i ii i i

dL d L L d Lq q qdt dt q q dt q

∂ ∂ ∂= + = ∂ ∂ ∂

∑ ∑ ∑& && && & &

或者


18

0i ii i

d Lq q Ldt q

∂− = ∂

∑ & &&

由此可知

i ii i

LE q q Lq

∂= −

∂∑ & &&

(6.1)

在封闭系统运动中保持不变，是运动积分，称为系统的能量。根据（6.1），能量与拉格朗日

的函数的关系是线性的，由拉格朗日函数的可加性可以直接得出能量的可加性。

在上述推导中仅仅利用了拉格朗日函数不显含时间的性质，所以能量守恒定律不仅对于

封闭系统成立，对于定常外场（即不显含时间）中的系统也成立。能量守恒的力学系统也称

为保守系统。

在§5我们已经知道，封闭（或者位于定常外场中的）系统的拉格朗日函数可写成

( , ) ( )L T q q U q= −&，

其中 T是速度的二次函数①。利用著名的欧拉齐次函数定理

②可得

①[补充推导过程]设变换式不显含时间 ( )i i q=r r 即 0i

t∂

=∂r

则

1

si

i qq α

α α=

∂=

∂∑ rr& & ,于是

1 1 1 1 1 1 1

1 1 12 2 2

n n s s n s si i i

i i ii i i

T m m q q m q qq q q qα β α β

α α α βα β α β= = = = = = =

∂ ∂ ∂ ∂= = ⋅ = ⋅

∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ii i

r r r rr r& & & & & &

可以看出 T是广义速度的二次齐次多项式。

此外，所谓 m 次齐次多项式是指该多项式的各项中各变量的幂次之和是相等的,均为 m。对于变量

1x , 2x ,..., nx 的 m次齐次多项式 1, 2, ,( ... )nf x x x ,它具有这样的性质:

1, 2, , 1, 2, ,( ... ) ( ... )mn nf x x x f x x xλ λ λ λ= ,

这里λ为任意常数。

②[补充证明] 对于 m次齐次函数 f, 有欧拉定理为:1

n

ii i

f x mfx=

∂=

∂∑ .

证明：利用齐次函数的性质，即： 1, 2, , 1, 2, ,( ... ) ( ... )mn nf x x x f x x xλ λ λ λ= ,两边关于λ 求导,有:

1

1

( )( )

ni

i i

xf m fx

λλ

λ λ−

=

∂∂=

∂ ∂∑

上式中令λ =1，得:

1

ni

i i

xf mfx λ=

∂∂=

∂ ∂∑

即齐次函数的欧拉定理得证。


19

2i ii ii i

L Tq q Tq q

∂ ∂= =

∂ ∂∑ ∑& && &

③

将此式代入（6.1）得

( , ) ( )E T q q U q= +&， (6.2)

用笛卡尔坐标写成

2

1 2( , ,...)2a a

a

mE U r rν= +∑

(6.3)

可见，能量包含本质不同的两项：依赖于速度的动能和仅仅依赖的势能。

§7 动量

另一个守恒定律与空间的均匀性相关。根据空间均匀性，封闭力学系统在空间中整体平移时，其性质保持不变。因此我们研

究一个无穷小平移ε ，并要求拉格朗日函数保持不变。

平移就是将系统中的所有质点移动相同的位移 ε的变换，即径矢 a a→ +r r ε 。在速度

不变的情况下，无穷小的坐标变换使拉格朗日函数产生的变化量为

aa aa a

L LLδ δ∂ ∂

= ⋅ = ⋅∂ ∂∑ ∑rr r

ε ，

其中求和是对所有质点进行的。对任意ε 要求 Lδ =0等价于

a a

L∂∂∑ r

=0. (7.1)

根据拉格朗日方程（5.2）得 ③因为势能 ( )U U q= 与广义速度无关,即 0

i

Uq

∂=

∂ &

( )

i i i i i

L T U T U Tq q q q q

∂ ∂ − ∂ ∂ ∂∴ = = − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂& & & & &

再根据欧拉齐次函数定理可得结果.

也可以不用欧拉定理而直接验证。验证方法如下：

1 1 1 1 1 1

1 12 2

n s n s n si i i i i i

i i ii i i

r r r r r rT m q m q m qq q q q q q qα β α

α β αγ γ α γ β γ α= = = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂= ⋅ + ⋅ = ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑∑ ∑∑ ∑∑& & &&

于是

1 1 1 1

2s n s s

ii

T q m q q Tq q qγ α γ

γ α γγ α γ= = = =

∂ ∂∂= ⋅ =

∂ ∂ ∂∑ ∑∑∑& & &&

i ir r


20

0a aa a

d L d Ldt dt

∂ ∂= =

∂ ∂∑ ∑v v

于是我们得出结论：封闭力学系统的矢量

a a

L∂=

∂∑Pv

(7.2)

在运动中保持不变。矢量 P 称为系统的动量。对拉格朗日函数（5.1）求导可得用质点速度表示的动量：

a aa

m= ∑P v (7.3)

动量的可加性是显然的。与能量不同之处在于，无论质点之间的相互作用是否可以忽略，

动量都等于各个质点的动量 a a am=p v 之和。

只有在没有外场的情况下，动量矢量的三个分量的守恒都成立。然而，在有外场的情况下，如果势能不显含某个笛卡尔坐标，则相应的动量分量守恒。显然，沿着该坐标轴平移不

会改变力学系统的性质，动量在该轴上投影守恒。例如，在方向沿着 z轴的均匀场中，沿着x和 y轴的动量守恒。

等式（7.1）的物理含义非常简单。 / /a aL U∂ ∂ = −∂ ∂r r 是作用在第a个质点上的力 aF 。

等式（7.1）表明，作用在封闭系统的所有质点上的力之和等于零：

aa

=∑F 0 (7.4)

特别地，当系统只由两个质点组成时， 1 2+ =F F 0 ,相互作用在两个质点上的力大小相等、

方向相反。这就是著名的作用与反作用互等定律。

如果用广义坐标 iq 描述，则拉格朗日函数对广义速度的导数

ii

Lpq

∂=

∂ & （7.5）

称为广义动量，而

ii

LFq

∂=

∂ （7.6）

称为广义力。拉格朗日方程可以写成

i ip F=& （7.7）

用笛卡尔坐标表示的广义动量就是 Pa的分量。一般情况下 ip 是广义速度的线性齐次函

数，不能化为质量与速度的积。

习题

习题质量为 m的质点以速度 1v 从一个势能为常数 1U 的半空间运动到另一个势能为常


21

数 2U 的半空间。求质点运动方向的改变。

解：势能不依赖于平行两个半空间分界面的轴的坐标，因此质点动量在该界面上的投

影守恒④。用 1 2,θ θ 表示质点穿越分界面前后速度 1 2,v v 与分界面法线的夹角，于是有：

1 1 2 2sin sinv vθ θ= . 1v 和 2v 之间的关系由能量守恒定律给出⑤,最后可求得

11 22

2 1

sin 21 ( )sin

U Umv

θθ

= + −

§8 质心

封闭系统的动量对于不同的惯性参考系有不同的值。如果参考系K ′相对参考系 K以速

度 V运动，则质点相对这两个参考系的速度 a′v 和 av 满足关系式 av = a′v +V. 因此在这两个参

考系中动量值P和 'P 满足关系式

a a a a aa a a

m m m′= = +∑ ∑ ∑P Vv v ，

或者

'

aa

m= + ∑P P V . （8.1）

特别地，一定存在使得动量等于零的参考系K ′ . 令（8.1）中 0′ =P ，求得参考系K ′的速度为

a a

a a

mm m

= = ∑∑ ∑

PVv

（8.2）

如果力学系统的动量等于零，则称系统相对该参考系静止。这是单个质点静止概念的自

然推广。公式（8.2）给出的速度 V,具有动量不为零的力学系统“整体运动”速度的含义。由此可见，动量守恒定律自然地给出了系统整体静止和速度的概念。

公式（8.2）还表明，动量 P和系统整体运动速度 V的关系，就如同一个质点动量和速

度的关系，该质点的质量等于系统中所有质点的质量之和 amµ = Σ ，这正说明了质量的可

加性。公式（8.2）右端可以看作是下面表达式对时间的导数

④ 根据力与势函数的关系 U= −∇F 可知,质点仅在穿越分界面时才受到垂直于分界面方向的作用力,因

为在该方向上有势函数的变化,而在平行于分界面方向上不受力.于是根据动量定理,质点在穿越分界面前

后,其平行于分界面方向的动量分量是守恒的,即有 1 1 2 2sin sinv vθ θ= . ⑤根据机械能守恒定律，有

2 21 1 2 2

1 12 2

mv U mv U+ = +

这给出 1v 和 2v 之间的关系.


22

a a

a

mm

Σ=

ΣrR

（8.3）

可以说，系统整体运动速度就是径矢为（8.3）的空间点的运动速度，这个点称为系统的质心。

封闭系统动量守恒定律可以表述为：系统的质心作匀速直线运动，这是§3给出的自由质点惯性定律的推广，质点的质心就是质点本身。

在研究封闭系统的力学性质时，当然利用质心静止的惯性参考系，这就可以不必研究系

统整体的匀速直线运动。

整体静止的力学系统的能量通常称为内能 vnE ，它包括系统内质点的相对运动动能和相

互作用势能。以速度 V作整体运动的系统的能量可以写成⑥

2

2 vnVE Eµ

= + （8.4）

尽管这个公式非常显然，但我们还是给出以下推导。力学系统相对参考系 K和K ′的能量 E和 E′的关系为

2 2

22

1 1 ( )2 2

12 2

a a a aa a

a a a aa a

E m v U m U

V m m Uµ

′= + = + +

′ ′= + ⋅ + +

∑ ∑

∑ ∑

v V

V v v

或者

2

2VE E µ′ ′= + ⋅ +V P （8.5）

这个公式给出了相对两个不同惯性参考系的能量关系，类似于公式（8.1）给出的动量关系。

如果在参考系K ′中系统质心静止，则 'P =0， ' vnE E= ，这时就得到公式（8.4）。

习题

习题求相对两个不同惯性参考系的作用量之间的关系。

解：拉格朗日函数等于动能和势能之差,显然,类似公式（8.5），有

2

'2VL L µ

= + ⋅V P' +

将该式对时间积分可得

2

' '2VS S tµ

µ= + ⋅ +V R

⑥ 这可以看成通常教材中所说柯尼希定理的推广形式. 柯尼希定理表示系统的动能等于质心的动能(即系统整体运动的动能)与相对于质心运动的动能之和. 质心的动能这里为 2 / 2Vµ . 如果认为系统势能与参考系无关, 则柯尼希定理中第二部分动能(即相对于质心的动能)与势能之和就是这里所说的内能. 注意,这里的内能概念与热力学中的内能概念是有所不同的,在力学中通常不涉及与热能有关的能量,而

在热力学中热能等是内能的一部分.


23

其中 'R 是在参考系K ′中系统的质心的径矢。

习题详细推导过程:

因为拉格朗日函数等于动能和势能之差

L T V= − （1）

根据公式（8.4），系统的能量为

vnE T E= + （2）

而相对不同的惯性参考系，系统的内能不变，将上式代入公式（8.5），可得

2

'2VT T µ

= + ⋅V P' + （3）

再考虑系统势能通常也不随参考系而变，则有

2

'2VL L µ

= + ⋅V P' + （4）

考虑哈密顿作用量 S的定义2

1

t

tS Ldt= ∫ 以及（4）式中 ' 'µ⋅ = ⋅V P V V ,则将（4）式两边对

时间积分可得

2

' '2VS S tµ

µ= + ⋅ +V R （5）

其中 'R 是在参考系K ′中系统的质心的径矢。

§9 动量矩

下面研究由空间各向同性得到的守恒定律。各向同性意味着封闭系统整体在空间中任意转动时，力学性质

保持不变。因此，我们研究系统整体的无穷小转动并要求拉格朗日

函数保持不变。

我们引入无穷小转动矢量δφ，其大小等于转角的绝对值δϕ，

方向沿着转动轴（转动方向对于δφ的方向符合右手螺旋法则）。

我们首先研究，在系统转动时，从坐标原点（位于转动轴上）

指向系统中任意质点的径矢的位移。径矢端点的线位移与转角的关

系为（如图 5所示）

sin .δ θ δϕ=r r g (9.1)

位移矢量的方向垂直过r和 δφ的平面。显然有

δ δ= ×r φ r (9.2)


24

在系统转动时不仅径矢的方向改变，而且所有质点的速度也改变，并且所有矢量的变化规律

相同。所以速度相对固定坐标系的增量为

δ δ= ×v φ v

将这些表达式代入拉格朗日函数的不变条件

0a aa a a

L LLδ δ δ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ ∑ r v

r v

并做代换 / a aL∂ ∂ =v p ， / a aL∂ ∂ =r p& ，得

( ) ( ) 0a a a aa

δ δ⋅ × + ⋅ × = ∑ p φ r p φ v&

或者，

( ) 0a a a a a aa a

ddt

δ δ⋅ × + × = ⋅ × =∑ ∑φ r p v p φ r p&

由δφ的任意性可得

0a aa

ddt

× =∑r p

即在封闭力学系统运动过程中矢量

M= a aa

×∑r p (9.3)

保持不变，这个物理量称为动量矩。这个物理量不依赖于质点之间是否有相互作用，它的可

加性是显然的。可加的运动积分就这些。就是说，任何封闭系统都有总共 7个这样的运动积分：能量、

动量的三个分量和动量矩的三个分量。既然在动量矩的定义中出现了径矢，它的取值就与坐标原点的选取有关。假定两个坐标

原点相差矢量 a，同一个点对这两个坐标原点的径矢分别为 ar 和 ar ′，满足关系式a a= +r r a′ 。因此有

= = + a a a a aa a a∑ ∑ ∑M r p r p a p× ′ × ×

或者 = +M M a P′ × .

由此可知，只有在系统整体静止（即 =P 0）时，其动量矩不依赖于坐标原点的选择。动量矩值的这种不确定性不会影响到动量矩守恒定律，因为封闭系统的动量也守恒。

我们来推导相对不同参考系 K和 K′ 的动量矩之间的关系。设参考系 K′ 相对 K的速度为 V，它们的坐标原点在某给定时刻重合。那么质点相对两个参考系的径矢相同，速度满足

关系式： aa = +v v V′ 。于是有

a a a a a a a aa a a

m m m= = +∑ ∑ ∑M r v r v r V× × ′ ×

右端第一项是相对参考系 K′ 的动量矩M′, 在第二项中利用质心径矢公式（8.3），可得


25

µ= +M M R V′ × (9.5)

这个公式给出了相对不同参考系的动量矩之间的关系，与能量关系式（8.1）和动量关系式（8.5）类似。

如果系统整体相对参考系 K′ 静止，则 V是系统质心的速度，而 µV是系统的动量，进而有

= +M M R P′ × (9.6) 就是说，系统的动量矩由相对参考系的“固有动量矩”和整体运动的动量矩R P× 构成。虽然只有封闭系统的动量矩（对任意坐标原点）三个分量都守恒，但是在一定限制下，

这个守恒定律对于在外场中运动的系统也成立。从上面推导可以看出，动量矩在外场的对称

轴上投影总是守恒的，绕该轴转动的系统力学性质不变，当然，这时动量矩计算是相对位于

该轴上的任意点（坐标原点）的。更重要的情况是中心对称外场，即势能仅仅依赖于到空间中某个特定点（中心）的距离。

显然，在这种场内运动时，系统动量矩在任意过中心的轴上投影都守恒。就是说，系统相对

场中心的动量矩守恒。

另一个例子是，在沿着 z 轴的均匀场中动量矩投影 zM 守恒，并且坐标原点可以任意

选取。应该指出，动量矩在任意轴（我们就取为 z轴）上的投影，都可以利用拉格朗日函数的

微分运算求得：

za a

LMφ

∂=

∂∑ & （9.7）

其中ϕ 是绕 z轴的转角。根据前面给出的动量矩守恒的性质，这个结论是显然的，也可以直

接计算来验证。利用柱坐标 r，ϕ ，z有（代入 cosa a ax r φ= ， sina a ay r φ= ）：

2( )az a a a a a a aa a

M m x y y x m r φ= − =∑ ∑ && & （9.8）

另一方面，拉格朗日函数写成

2 2 2 21 ( )2 a a a a a

aL m r r z Uφ= + + −∑ && &

将它代入（9.7）即可得（9.8）。

习题习题 1 用柱坐标 r，ϕ， z表示质点动量矩的笛卡尔坐标分量以及动量矩的大小。答案：

2

2 2 2 2 2 2 2 2

sin ( ) coscos ( ) sin

( ) ( )

x

y

z

M m rz zr mrzM m zr rz mrz

M mrM m r r z m rz zr

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

= − −= − −

=

= + + −

&&&&& &

&& &&

习题 2 用球坐标 , ,r θ ϕ表示质点动量矩的笛卡尔坐标分量以及动量矩的大小。


26

答案：

2

2

2 2

2 2 4 2 2 2

( sin sin cos cos )

( cos sin cos sin )

sin

( sin )

x

y

z

M mr

M mr

M mrM m r

θ ϕ ϕ θ θ ϕ

θ ϕ ϕ θ θ ϕ

ϕ θ

θ ϕ θ

= − +

= −

=

= +

& && &

&& &

习题 3：在下列场中运动时动量P和动量矩M的那些分量守恒？

a. 无限大均匀平面场

答案:

xP , yP , zM (无限大平面为 x y平面)

b. 无限长均匀圆柱场

答案:

zP , zM (圆柱轴为 z轴)

c. 无限长均匀棱柱场.

答案:

zP (棱边平行于 z轴)

d. 两个点场

答案:

zM (两个点位于 z轴上)

e. 无限大均匀半平面场

答案:

yP (无限大半平面是 x y平面上以 y轴为界的)

f. 均匀圆锥场

答案:

zM (圆锥轴为 z轴)

g. 均匀圆环场

答案:

zM (圆环轴为 z轴)

h. 无限长均匀圆柱形螺旋线场

解: 绕螺旋轴( z轴)旋转δϕ同时再沿着该轴平移2h

δϕπ

（ h为螺距），其拉格朗日函

数不改变. 所以有

02z z

L L hL z P Mz

δ δ δϕ δϕϕ π

∂ ∂ = + = + = ∂ ∂ & &


27

由此可得

const.2z zhP Mπ

+ =

习题详细推导过程

习题 1 令质点的笛卡尔坐标为( ), ,x y z ，则其速度为( ), ,x y z& & & 。所以

( ( ), ( ), ( ))m m yz zy m zx xz m xy yx= × = × = − − −M r p r v & & & && &

因为笛卡尔坐标与柱坐标之间有关系： cossin

x ry rz z

ϕϕ

===

所以

[ ]( ) sin ( sin cos )sin ( ) cos

xM m yz zy m zr z r rm rz rz mrz

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

= − = − +

= − −

&& && &&&&

同理：

[ ]( ) ( cos sin ) cos

cos ( ) sinyM m zx xz m z r r zr

m zr rz mrzϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

= − = − −

= − −

&& && &&& &

[ ]2

( ) cos ( sin cos ) sin ( cos sin )zM m xy yx m r r r r r r

mr

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ

ϕ

= − = + − −

=

& && & & &

&

所以

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )x y zM M M m r r z rz zrϕ= + + = + + −M & &&

习题 2 因为笛卡尔坐标与球坐标之间有关系：

sin cossin sincos

x ry rz r

θ ϕθ ϕθ

===

类似于习题 1，可得

( ) [ sin sin ( cos sin )

cos ( sin sin sin cos cos sin )]xM m yz zy m r r r

r r r r

θ ϕ θ θθ

θ θ ϕ θ ϕϕ θ ϕθ

= − = ⋅ −

− + +

&& &&&&&

即

2 (cos sin cos sin )xM mr θ θ ϕϕ ϕθ= − + &&

同理：

2( ) ( cos sin cos sin )yM m zx xz mr θ ϕ ϕ θ θ ϕ= − = −& && &

2 2( ) sinzM m xy yx mr ϕ θ= − = && &


28

所以

2 2 2 2 2 2 2sinx y zM M M mr θ ϕ θ= + + = +M & &

习题 3：

有外场时,角动量在且仅在外场的对称轴上投影是守恒的。在 a,b,f,g等情况下外场有

对称轴(设为 z轴),所以有 zM 守恒,而M的其余各个分量均不守恒。在 d中,如果设两个点

位于 z轴上,则此时 z 轴为外场的对称轴,则有 zM 守恒. 如果两个点场是完全相同的.则该

外场具有关于通过两点之间连线中垂线的形状对称性,关于该轴的角动量分量也是守恒的.

因为当且仅当质点在某一方向不受力或所受外力的和为零时，动量的这一分量才会守

恒。或者沿某一方向平移时,系统具有平移不变性,相应的动量分量是守恒的.由此,

a: 在 xy平面的 x和 y方向具有平移不变性, xP , yP 守恒。

b: 沿圆柱体的对称轴(z轴)方向具有平移不变性, zP 守恒。

c: 设棱边平行于 z轴,则沿 z轴方向具有平移不变性, zP 守恒。

e: 设无限大半平面是 x y平面上以 y轴为界, 则沿 y轴方向具有平移不变性, yP 守恒。

对于 h中的外场,使质点沿螺旋线场的对称轴( z轴)转过δϕ，再沿 z轴平移2h

δϕπ

（h

为螺距）后，质点的状态不变.相应地,系统的拉格朗日函数不变，即：

2d 0d 2

z z

z z

L L hL z p Mz

hp Mt

δ δ δϕ δϕϕ π

δϕπ

∂ ∂ = + = + ∂ ∂ = + =

&&

其中最后一个等号是不变性的要求.由于δϕ是任意的,所以

const.2z zhP Mπ

+ =

§10 力学相似性

拉格朗日函数乘以任意常数不会改变任意运动方程（参见§2）。在一些情况下，利用这一点，无需求解运动方程就可以得到有关运动性质的重要结论。

我们考虑势能是坐标的齐次函数的情况，即势能满足条件

1 2 1, 2( , ,..., ) ( ,..., )kn nU r r r U r r rα α α α= ， (10.1)

其中α 是任意常数，k是函数的次数。


29

我们引入变换，使坐标都变为α 倍，时间变为β倍：

,a ar r t tα β→ → ，

这时所有速度 /a av dr dt= 变为 /α β 倍，动能变为 2 2/α β 倍，势能变为 kα 倍，如果α 和β

满足条件

2

2kα

αβ

= ，

即

β = 1 /2kα − ，

则变换的结果是拉格朗日函数乘以常数 kα ，运动方程保持不变。

所有质点的坐标改变相同的倍数，意味着变换前后的运动轨迹几何上相似，仅仅是尺寸

不同。于是我们可以得出结论，如果势能是坐标（笛卡尔坐标）的 k次齐次函数，则运动方程可以有几何相似的不同轨迹，并且（不同轨迹上的相应点的）运动时间满足关系式

1 /2' ' kt l

t l

− =

， (10.2)

其中 '/l l是两个轨迹尺寸之比。除了时间以外，在相应时刻不同运动轨迹上相应点的任何力学量之间的关系，都可以用 '/l l表示，对于速度、能量和动量矩有⑦

/ 2' ' kv lv l

=

， ' ' kE l

E l =

， 1 /2' ' kM l

M l

+ =

， (10.3)

下面举几个例子。我们在后面章节中将会讲到，在微振动情况下势能是坐标的二次函数（k=2）。由（10.2）

可知振动周期与振幅无关。在均匀力场中势能是坐标的线性函数（参见（5.8）），即 k=1.由（10.2）得

' 't lt l

= 。

由此可知，对于重力场中的自由落体，下落时间的平方之比等于下落高度之比。对于两个质点之间的牛顿引力或者两个电荷之间的库仑力，势能都是与两点之间的距离

成反比，即 1k = − .这时 3/2' 't l

t l =

，

⑦ 计算过程如下:

v’/v=(l’/l)/(t’/t)= (l’/l)1/2k；

E’/E=(v’/v)2=(l’/l)k；

M’/M=(v’/v)*(l’/l)= (l’/l)1+1/2 k


30

并由此得出结论：轨道运动周期的平方与轨道尺寸的立方成正比（这个结论称为开普勒第三

定律）。如果力学系统在有限空间中运动，势能是坐标的齐次函数，则动能和势能的时间平均值

存在非常简单的关系，这个关系式称为位力定理。因为动能是速度的二次函数，根据欧拉齐次函数定理有

2aa a

T T∂⋅ =

∂∑ vv

，

或者利用 / a aT∂ ∂ =v p 写成

2 a a a a a aa a a

dTdt

= ⋅ = ⋅ − ⋅∑ ∑ ∑p v p r p r& . (10.4)

我们将下面这个等式对时间平均。函数 f(t)对时间平均是指

0

1lim ( )df f t tτ

τ τ→∞= ∫

容易看出，如果函数 f(t)是某个有限函数（即不会取值为无穷）F(t)对时间的全导数，则 f(t)对时间平均等于零。事实上，

0

1 d ( ) (0)lim d lim 0dF F Ff tt

τ

τ τ

ττ τ→∞ →∞

−= ∫ = = 。

假设系统在有限空间中以有限速度运动，则 a aa

p r∑ g 是有限的，等式（10.4）右端第一

项对时间平均等于零。根据牛顿方程，将等式（10.4）右端第二项中 ap 替换为 / aU r−∂ ，

可得⑧

2 /T Ur rα αα

= ⋅∂ ∂∑ 。 (10.5)

如果势能是所有径矢 ar 的 k次齐次函数，则根据欧拉定理，等式（10.5）变为

2T kU= 。 (10.6)

由于T U E E+ = = ，可以将等式（10.6）等价地写成

2 / ( 2)U E k= + ， / ( 2)T kE k= + ， (10.7)

这两个公式将U 和T 用能量表示出来。

对于 2k = 的特殊情况有

T =U ，

⑧ 等式(10.5)右端表达式有时也称为系统的位力.


31

即动能和势能对时间平均相等。对于牛顿引力（k=-1）有

2T U= − 。

这时E T= − 表明，只有在能量为负值的情况下，在这种引力作用下的运动才能在有限的空

间区域内（参见§15）。

习题习题 1 质量不同势能相同的质点沿着相同轨迹运动,它们的运动时间满足什么关系? 答案：

't mt m′

=

习题 2 势能乘以一个常数后,沿着相同轨迹运动的时间有什么变化?

答案：

tt '

UU

′=

习题详细推导过程: 习题 1

做变换 ,m m t tα β→ → ,则有： 2T Tαβ

→ ,同时U U→ .为使运动方程保持不变，则：

L Lλ→ ,

其中λ是常数,所以

2 1αλ

β= = ,

因此

''/ mt tm

β α= = =.

习题 2

做变换 ,t t U Uα β→ → ；则有 21T T

α→ ,所以有

2

1β

α=

于是

1'/'

Ut tU

αβ

= = =

第三章运动方程的积分

32


§11 一维运动

一个自由度系统的运动称为一维运动。若系统处于定常外部条件下，拉格朗日函数一般

形式为

21 ( ) ( )2

L a q q U q= −& (11.1)

其中 ( )a q 是广义坐标 q的函数。如果 q是笛卡儿坐标（我们就取为 x）则，

21 ( )2

L mx U x= −& (11.2)

相应于这个拉格朗日函数的运动方程可以积分成一般形式。这时甚至没有必要给出运动

方程本身，可以直接由第一积分——能量守恒定律给出。于是，对于拉格朗日函数（11.2）

有

2

( )2

mx U x E+ =&

这是一阶微分方程，可以通过分离变量法积分出来：

2 [ ( )]dx E U xdt m

= −

进而得到

2 [ ( )]m dxt

E U x=

−∫ +const (11.3)

这里能量 E和 const是积分常数。

因为动能实际上是正值，运动中能量总是大于势能，即运动只能发生在 ( )U x E< 的空

间区域。

假定，函数 ( )U x 的形式如图 6所示，

在图上画出相应于给定总能量的水平直线，

立即可以得到可能的运动区域，即图 6中 AB

之间和 C右侧的区域，

势能等于总能量的点确定了运动边界：

( )U x E= (11.4)

由于在这些点速度为零，故称之为停滞点。如果运动区域由两个停滞点限定，则运动发生在

有限的空间区域内，称为有限运动。如果运动区域不受限制或者只有单面限制，则运动是无


33

限的，质点可以运动到无穷远处，称为无限运动。一维的有限运动是振动，质点在两

个边界之间往复运动（在图 6的点 1x 和 2x 间的势能阱中）。根据时间的可逆性（参见第 8页），

从 1x 到 2x 的运动时间等于从 2x 和 1x 的时间。所以，振动周期（从 1x 运动到 2x 并返回的时

间）等于从 1x 到 2x 运动时间的两倍，根据（11.3）有

2

1

( )

( )

( ) 2[ ( )]

x E

x E

dxT E mE U x

=−∫ （11.5）

积分上下限是给定 E的方程（11.4）的两个根。这个公式给出了振动周期对能量的依赖关系。

习题

习题 1 试求平面单摆（质量为 m，摆长为 l，在重力场中运动）的振动周期对振幅的依

赖关系。

解：单摆的能量为

2 20

1 cos cos2

E ml mgl mglϕ ϕ ϕ= − = − ，

其中ϕ为绳与竖直方向的夹角， 0ϕ 是最大摆角。周期等于ϕ从零到 0ϕ 运动时间的 4倍：

0 0

2 20 000

4 22 (cos cos ) 1 1sin sin

2 2

l d l dTg g

ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

= =− −

∫ ∫

令 0sin / 2 sin sinϕ ϕ ξ=（）（ /2），上面积分写成

04 sin2

lT Kg

ϕ =

，

其中

( )/2

2 20 1 sindK kk

π ξ

ξ=

−∫

称为第一类椭圆积分。当 0 0sin( / 2) / 2 1ϕ ϕ≈ = （微振动）时，展开函数 K(k)可得

20

14 116

lTg

ϕ = + +

L


34

这个展开式的第一项就是大家都知道的基本公式。

习题 2 试求质量为 m的质点振动周期对能量的依赖关系，其中质点所处力场的势能为：

a. | |nU A x= .

解：

1/ 1/ 1/2( / ) 1

1/0 0

2 22 21

n nE A

nn n

dx mE dyT mAE Ax y

−

= =− −

∫ ∫ .

令 ny u= ,这个积分式化为用Γ函数表示的 B-欧拉积分，

1/ 1/21/

2 2 (1/ )(1/ 1/ 2)

nn

m nT EnA n

π −Γ=

Γ +

T对 E的依赖关系符合力学相似律（10.2）和（10.3）.

b. 2

0 0/ cosh , 0U U x U Eα= − − < <

答案：

2| |

mTE

πα

=

c. 2

0 tanU U xα= .

答案：

0

2mTE U

πα

=+


习题 1 取ϕ为广义坐标.质点沿切向运动, 则有 v lϕ= &，于是动能为

2 2 21 12 2

T mv ml ϕ= = & .

取悬挂点所在水平面为重力势能零势面,则

cosU mgl ϕ= − .

因为动能和势能的表示式均不显含时间,于是有能量积分,即机械能守恒

2 21 cos2

E ml mglϕ ϕ= −&

当ϕ达到最大值 0ϕ 时， 0 0,ϕ =& 则有

0cosE mgl ϕ= −

由周期公式


35

1

( )

( )

( ) 2( )

x E

x E

dxT E mE U x

=−∫

2

这里 x换为ϕ ,得到

0 0

2 20 000

4 22 (cos cos ) 1 1sin sin

2 2

l d l dTg g

ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

= =− −

∫ ∫

习题 2

a. 转折点由方程 ( ) | |nU x A x E= = 确定,由此可解得

1/( / ) nx E A= ± ,

故：

[ ]

1/n

1/n1

( ) ( /A)

n( ) ( /A)

( ) 2 2( ) A | |

x E E

x E E

dx dxT E m mE U x E x−

= =− −

∫ ∫2

由于函数1( )

| |nf x

E A x=

−是 x的偶函数，所以

1/n( /A)

n0

( ) 2 2A | |

E dxT E mE x

=−

∫ .

令 y=

1/ nA xE

，上式可改写为

1/ 1/2 1

1/ 0

2 21

n

n n

mE dyTA y

−

=−

∫

下面的计算见前文.

b. 令 20( ) / cosh ,U x U x Eα= − = 可以解得转折点为

0arccosh

x

U

E

α

− = ± ，

则有周期为

2 1 arccosh /E0

1arccosh /E0

1

( )

2( ) 0

2 2( ) / cosh

U

U

x E

x E

dx dxT m mE U x E U ax

α

α

−

− −= =

− +∫ ∫

因为被积函数是 x的偶函数,则


36

0

0

arccosh( / )

200

arccosh( / )

200

2 2/ cosh

2 2 cosh cosh

U E

U E

m dyTE U y

m y dyE y U

α

α

−

−

=+

=+

∫

∫

令sinh y ξ= ，则得

0 0arccosh( / ) arcsin h( / 1)

2 20 00 0

2 2 cosh d 2 2(1 sinh )

U E U Em y y m dE y U E E U

ξα α ξ

− − −=

+ + + +∫ ∫

考虑到 0 0U E− < < ,上述积分中的被积函数形式为2 2

arcsindx xdaa x

=−

，即

0

0

arcsin h( / 1)arcsin h( / 1)

2000 0

1 arcsin| | ( | |)/ | |

2 | |

U EU E d

E U E EE E U

E

ξ ξ

ξ

π

− −− −

=−+ +

=

∫

将此结果代回前面的表示式,可得

(2 / | |)T m Eπα

= .

c.

令2

0( ) tanU x U x Eα= = , 可以解得转折点为

0

arctan EU

xα

= ± ，

所以

0

0

0

1 arctan1 arctan

2 201 0 0arctan

T= 2 2 2U tan U tan

EU E

U

EU

dx dxm mE x E x

α

α

α

α α−

=− −

∫ ∫

令 siny xα= ,则有 cosdy x dxα α= ,且

2 2 2 20 0 0

20 00

sintan cos tan (1 )

1 d arcsin/ ( )( )

dx d x dyE U x x E U x E y U y

dy yE U E E UE E U y

α

α α α α α

αα

= =− − − −

= =+ +− +

于是,有


37

0

1 arctan

0 0 0

0 0

1 sin x2 2 arcsin/ ( )

1 22 22

EU

T mE U E E U

mmE U E U

ααα

π πα α

=+ +

= =+ +

§12 根据振动周期确定势能

现在我们研究如何根据周期 T对能量 E的依赖关系来确定势能的形式 U(x).从数学的观

点看，这是求解积分方程（11.5）,其中 U（x）是未知函数，而 T（E）是已知函数。

我们先不考虑积分方程解存在的可能性问题，假设所求函数 ( )U x 在所研究的空间区域

内只有一个极小值。为了方便起见，我们假设势能极小值等于零，并将坐标原点选在势能极

小值处（图 7）。

对于积分（11.5）做变换，将坐标 x当做U 的函数。而函数 ( )x U 是双值的：即每个U

对应 x两个不同的值。用 dx dUdU

代替dx，积分（11.5）变为两个积分之和：从 1x x= 到 0x =

的积分，从 0x = 到 2x x= 的积分。我们在这两个区域写出 x对U 的依赖关系 x = 1( )x U 和

x = 2 ( )x U 。

显然，对U 积分的上下限分别为E与0，于是有：

( ) ( ) ( )02 1

0

2 2E

E

dx U dx UdU dUT E m mdU dUE U E U

= +− −∫ ∫

( ) ( )2 1

0

2E dx U dx U dUm

dU dU E U

= − −

∫

将等式两边同时除以 Eα − ，其中α 是参数，然后再同时对E从0到α 积分：

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1

0 0 0

2ET E dE dx U dx U dUdEm

dU dUE E E U

α α

α α

= −

− − − ∫ ∫ ∫

或者改变积分顺序，写成：


38

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1

0 0

2U

T E dE dx U dx U dEm dUdU dUE E E U

α α α

α α

= −

− − − ∫ ∫ ∫

对 E的积分是很基本的：等于π①，然后对U 积分可得：

( ) ( ) ( )2 10

2T E dE

m x xE

α

π α αα

= − −∫

（计算中已考虑到 ( ) ( )1 20 0 0x x= = ）.将α 替换为U ，最终得：

( ) ( ) ( )( )2 1

0

12

U T E dEx U x U

m U Eπ− =

−∫

因此,由函数 ( )T E 可以确定 2 1( ) ( )x U x U− ,但函数 2 ( )x U 和 1( )x U 本身却无法确定。这

意味着，相应于给定的周期对能量的依赖关系，存在无穷多条曲线 ( )U U x= ，这些曲线之

间的差别不改变同一个U 对应的两个 x之差。

如果要求曲线 ( )U U x= 关于纵坐标对称，即

2 1( ) ( ) ( )x U x U x U= − =

则不存在解的多值性问题。这时公式（12.1）给出 ( )x U 的单值表达式②：

0

1 ( )( )2 2

U T E dEx Um U Eπ

=−∫

① [补充证明] 求( ) ( )U

dEE E U

α

α − −∫ 的积分

作代换,令 ( )( ) ( )E E U t E Uα − − = − ，这里 0t > ，则有

2

21UtEt

α +=

+， 2 2

2 ( )(1 )t UdE dt

tα−

=+

，

0

U

dE dtα

+∞

=∫ ∫ .

于是,有

( ) ( )[ ]

0

22 2 arctan(0) arctan( )

1U

dE dttE E U

α

πα +∞

−= = − − +∞ =

+− −∫ ∫

②当曲线 ( )U U x= 关于 U轴对称时,有

( ) ( ) ( )2 112

x U x U x U= −

上式代入（12.1）就得 x(U)的单值表示式


39

§13 折合质量

由两个相互作用的质点组成系统的运动，是非常重要的问题（二体问题），存在一般形式的通解。作为求解问题的第一步，我们将证明, 如果系统的运动分解为系统质心的运动和质点相

对于质心的运动, 则问题会大大简化。相互作用的两个质点的势能仅依赖于它们之间的距离，即依赖于它们矢径差的绝对值。

所以拉格朗日函数为

( )2 2

1 1 2 21 22 2

m mL U= + − −r r r r& &

(13.1)

引入两质点相对位置矢量

1 2= −r r r ,

并将坐标原点置于质心处，即

1 1 2 2 0m m+ =r r

从这两个等式可以求出

21

1 2

mm m

=+

r r， 12

1 2

mm m

= −+

r r (13.2)

将这些表达式代入（13.1）可得

( )2

,2

mL U r= −r&

(13.3)

其中

1 2

1 2

m mmm m

=+

(13.4)

称为折合质量。函数（13.3）形式上等同于一个质点的拉格朗日函数，该质点的质量为m，

在势能为 ( )U r 的关于坐标原点对称的场中运动。

因此，二体问题归结为一个质量为m的质点在给定外场 ( )U r 中的运动。利用公式

（11.2），质点 1m 和 2m 的轨迹 1 1( )t=r r 和 2 2 ( )t=r r 可以由 ( )t=r r 求出来。

习题

习题质点系由一个质量为 M的质点和 n个质量为 m的质点组成。试消去质心运动并将

该质点系的运动化为 n体问题。

解：设R是质点 M的径矢， ( )1,2, ,a a n=R K 分别是质量为 m的各个质点的径矢。引


40

入质点 M到质点 m的径矢

a a= −r R R ,

并将坐标原点置于质心处，即

0.aa

M m= =∑R R

从这两个等式可以求出

aa

mµ

= − ∑R r ， a a= +R R r ，

其中 M nmµ = + .将这些表达式代入拉格朗日函数

( )2

2 ,2 2 a

a

M mL U= + −∑R R r& &

可得

( )22

2 ,2 2a a

a a

m mL Uµ

= + −

∑ ∑v v r

其中 a a=v r& ，

势能仅依赖于质点之间的距离，可以看做是 ar 的函数。


由 ,a a aa

mµ

= − = +∑R r R r R 对时间求导,可得

,a a aa

mµ

= − = +∑R r R r R& & && &

于是动能的表示式可以改写为

( )22 2 22

2

22

2

2 2222

2

22 2

2

2 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2

12 2 2 2

a a aa a a

a a aa a a

a a a aa a a a

a a aa a a

M m M m mT

M m m m mn

M m m nm m m

m M nm m

µ

µ

µµ µ µ

µ

= + = + +

= +

= + + − − −

+ = − = −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

2 2

R R r r R

r r + R + r R

r r r r

r r r

& & && &

& && & &g g

& & & &

& & &2

aaµ

∑r&


41

代入拉格朗日函数2

2 ,2 2 a

a

M mL U= + −∑R R& & 可得

22 1

2 2a aa a

mL T U Uµ

= − = − −

∑ ∑v v

其中 a a=v r& .

§14 有心力场内的运动

二体问题可以归结为一个质点的运动，我们仅需要研究质点在外场中的运动，这个外场

的势能仅依赖于到给定点的距离，称为有心力场。作用在质点上的力

( )U r dUdr r

∂= − = −

∂rF

r，

的大小仅依赖于 r，方向沿着质点的径矢。在§9 已经证明，在有心力场内的运动对场中心的动量矩守恒③。对于一个质点，这个

动量矩就是

③[补充证明]用矢量力学的方法证明动量矩守恒. 在有心力场中,力的方向沿径向,即 ( )f r ρ= −F e ,这里

/ rρ =e r 是径向的单位矢量。于是有对力心的力矩为 r ( )r 0f r ρ× = − × =F e ,根据动量矩定理有,

0ddt

=M

, 故有M =常矢量.

因为有心力场中,质点位于垂直于M的固定平面内运动, 在该平面内选取平面极坐标系,极点位于力心,则有下列表示式

( ) ( )2

; ;

2 ;

r r r

r r r rρ ρ ϕ

ρ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

= = +

= − + +

r e r e e

r e e

& &&

&& & & &&&& &

=mF a的径向和横向分量式分别为

( )( )

2( )

0 2

f r m r r

m r r

ϕ

ϕ ϕ

− = −

= +

&&&

& &&&

动量矩的分量式为

( ) 2zm r m r r mrρ ρ ϕϕ ϕ= × = × = × + =M r p r r e e e e& & &&

于是有

( ) ( )2

2 0z z

d rd m mr r rdt dt

ϕϕ ϕ= = + =

M e e&

& &&&

其中最后一个等号利用了前面的动力学方程的横向分量式.可见也有动量矩守恒的结果.


42

.= ×M r p

由于M和r相互垂直，M不变就意味着在运动过程中质点的径矢总是位于一个平面内，该平面垂直于M。因此质点在有心力场内运动的整条轨迹都位于一个平面内. 引入极坐标 ,r ϕ，写出拉格

朗日函数（参见（4.6））④

( )2 2 2( ) ,2mL r r U rϕ= + −&& （14.1）

这个函数不显含坐标ϕ . 拉格朗日函数不显含的广义坐标称为循环坐标。根据拉格朗日方程，对于循环坐标有

0,i i

d L Ldt q q

∂ ∂= =

∂ ∂&

即相应的广义动量 ii

Lpq

∂=

∂是运动积分。这将在存在循环坐标情况下大大简化运动方程的

积分广义动量⑤

2p mrϕ ϕ= &

就是动量矩 zM M= （参见（9.8）），因此我们又回到了熟知的动量矩守恒定律

2 .M mr constϕ= =& （14.2）

可以给出质点在有心力场内平面运动的几何解释。无限接近的两个径矢和轨道弧长微元围成

④[补充说明] 在平面极坐标系中,有

rr r r r

ρ

ρ ρ ρ ϕϕ

=

= = + = +

r er v e e e e& & && &

则动能的表示式为

2 2 2 2 21 1 1( ) ( )2 2 2

T m m r r m r rρ ϕϕ ϕ= = + = +v e e& && &

于是,拉格朗日函数为

( )2 2 2( )2mL T U r r U rϕ= − = + −&&

⑤[补充说明] 由拉格朗日函数

( )2 2 2( ) ,2mL r r U rϕ= + −&&

可得相应于广义坐标ϕ 的广义动量为

( )2 2 2 2( )2

L mp r r U r mrϕ ϕ ϕϕ ϕ

∂ ∂ = = + − = ∂ ∂ & &&

而ϕ 为可遗坐标.所以 pϕ 是运动积分.


43

的扇形面积（图 8）等于1/ 2r rdϕg ，将它表示为df 。质点的动量矩可以写成

2M mf= &，（14.3）

其中 f&称为扇形速度。所以动量矩守恒意味着扇形速度为常数，即在相同时间内质点径矢

扫过的相同的面积（开普勒第二定律）⑥.

从能量和动量矩守恒出发，无需写成运动方程就可以很容易地完全解决质点在有心力

场中的运动问题. 利用（14.2）用 M表示φ&，代入能量

).(21

21)()(

21

2

22222 rU

mrMrmrUrrmE ++=++= &&& φ

（14.4）

由此可得，

2

2 2

2 [ ( )]dr Mr E U rdt m m r

≡ = − −& （14.5）

分离变量并积分得到，

+

−−

= ∫2

2

)]([2r

MrUEm

drt const. （14.6）

将(14.2)写成

2Md dt

mrϕ =

从（14.5）求出 dt代入上式并积分，得

2

2 2

( / )2m[ ( )] /

M r drE U r M r

ϕ =− −

∫ +const. (14.7)

⑥ 在有心力场内运动质点动量矩守恒定律有时也被称为面积积分.


44

公式（14.6）和（14.7）给出了问题的一般形式的通解. 公式（14.7）给出了 r和φ之

间的关系，即轨迹方程，而公式（14.6）给出了质点到中心距离 r随时间变化的隐函数. 由

公式（14.2）可知φ&的符号不会改变，因此φ总是随时间单调地变化.

公式（14.4）表明，径向运动可以看作是在某个场中的一维运动，该场的“等效”势能

为

.

2)( 2

2

mrMrUU eff += （14.8）

其中 2

2

2mrM

称为离心势能. 从

EmrMrU =+ 2

2

2)( （14.9）

中求出的 r 给出了运动区域的边界到中心的距离. 等式（14.9）成立时径向速度 r&等于零.

但这并不能说明质点（在真实一维运动中）静止，这是因为角速度φ&不为零. 等式 0r =& 表

示轨迹的“转折点”，函数 ( )tr 在这个点从增加变为减小或者相反.

如果 r的变化区域只受 minrr ≥ 的限制，则运动是无限的，轨迹可以延伸到无穷远处.

如果 r的变化区域有两个边界 minr 和 maxr ，则运动是有限的，整条轨迹位于 minrr = 和

maxrr = 确定的环形区域内. 然而，这不能说明轨迹是封闭曲线. 根据（14.7），随着时间

的变化， r从 maxr 到 minr 然后再到 maxr ，径矢转过的角度 φ∆ 等于

max

min

2

2

2

( / )2 .2 ( )

r

r

M r drMm E Ur

ϕ∆ =

− −∫ （14.10）

轨迹封闭的条件是这个转角等于 π2 的有理数倍，即2 m

nπϕ∆ = ，其中m和 n是整数.

那么质点径矢经过n个这样的运动周期，转过m圈后，回到初始位置，即轨道封闭.

然而这是很特殊的情况，对于任意形式 ( )rU ，角度 ϕ∆ 不等于 π2 有理数倍. 因此一

般情况下运动轨迹不是封闭的. 轨道无穷多次达到最大和最小的距离，最终将两个边界之间

的圆环充满（图 9）.


45

只有在两种类型有心力场中的运动是封闭的，这两种场的势能与r1或者

2r 成正比. 第

一种将在下一节中讨论，第二种相应于空间振子（参见§23习题 3）.

公式（14.5）（以及（14.6）和（14.7））中的平方根在转折点改变符号. 如果角ϕ从指向转折点的径矢方向算起，则在连接该点的两端轨迹上，相同的 r对应的ϕ 只是符号不同.

就是说，轨迹相对于转折点径矢方向是对称的. 比如，我们从某个 maxrr = 点开始，走一段

轨迹到达 minrr = 点，然后走一段对称的轨迹到达下一个 maxrr = 点，以此类推，即整个轨

迹可以通过往复重复相同的轨迹段得到. 对于由两个从 minr r= 到无穷远的对称分支组成的

无限轨迹亦是如此.

当 0→r 时，离心势能（对 0≠M 的运动）像 2

1r一样趋向无穷大，因此质点通常不

可能通过场的中心，即使场本身具有吸引特性也是如此. 只有当 0→r 时势能足够快速地

趋向−∞，质点才可能“落”到场的中心. 由不等式

,02

)(21

2

22 >−−=

mrMrUErm&

或者

22

22

2)( Er

mrMrUr <+

可知 r可能趋于零的条件是

,2

)]([2

02

mMrUr r −<→ （14.11）


46

即 ( )rU 应该趋向 ∞− ，或者像 2rα

− （m

M2

2

>α ），或者正比于 nr1

− （ 2>n ）.

习题

习题 1 试积分球面摆的运动方程. 球面摆是指质量为m的质点沿着半径为 l的球面在重力场中运动.

解：设球坐标系原点位于球心，极轴竖直向下，则质点的拉格朗日函数为

θθϕθ cos)sin(21 2222 mglml ++ &&

显然ϕ是循环坐标，所以广义动量 pϕ 守恒：

2 2sin zml Mϕ θ = =& constant （1）

能量

θθ

θθθϕθ cossin22

1cos)sin(21

22

2222222 mgl

mlM

mlmglmlE z −+=−+= &&& （2）

由此求出θ&并分离变量，得

22 ( ( ))eff

dtE U

ml

θ

θ=

−∫ (3)

其中等效势能为

θθ

θ cossin2

)( 22

2

mglml

MU z

eff −=

利用（1）求出

22 sin ( ( ))z

eff

M dl m E U

θϕ

θ θ=

−∫ （4）

积分（3）和（4）分别是第一类和第三类椭圆积分.

角θ的运动区域由条件 effUE > 确定，而其边界由方程 effUE = 确定. 这是 θcos 的三

次方程，在-1和+1之间有两个根，它们对应于球面上的两个平行圆，整条轨迹都位于这两

个圆之间.

习题 2 在重力场中沿着圆锥运动，圆锥顶角为2α ，竖直放置，顶点向下，试积分该质点的运动方程.

解：设球坐标原点位于圆锥顶点，极轴竖直向上，则拉格朗日函数为

ααϕ cos)sin(2

2222 mgrrrmL −+= &&


47

显然ϕ是循环坐标，所以广义动量

αϕ 22 sin&mrM z =

守恒. 能量为

αα

cossin22

122

22 mg

mrMrmE z ++= &

利用与习题 1同样的方法求出

∫−

=

))((2 rUEm

drt

eff

2 22 sin ( )z

eff

M drm r E U r

ϕα

=−∫

α

αcos

sin2)( 22

2

mgrmr

MrU zeff −=

条件 ( )effE U r= 是 r的三次方程（当 0zM ≠ ），有两个正根，它们确定锥面上的两个水平

圆，整条轨迹都位于这两个圆之间.

习题 3 试积分平面摆的运动方程，摆的悬挂点质量为 1m ，可以沿着水平方向运动（见

图 2）.

解：在§5习题 2中已求出拉格朗日函数. x 是循环坐标，所以广义动量 xP 守恒，即

系统水平动量守恒：

constlmxmmPx =++= ϕϕ cos)( 221 && （1）

可以认为系统整体静止，即 const=0，积分方程（1）可得

constlmxmm =++ ϕsin)( 221 （2）

这表示系统质心在水平方向静止. 利用（1），能量可以写成

2 2 222 2

1 2

1 1 cos cos2

mE m l m glm m

ϕ ϕ ϕ

= − − + & (3)

由此可得

∫ ++

+= ϕ

ϕϕ d

glmEmm

mmmlt

cossin

)(2 2

221

21

2


48

利用（2）将 2m 的坐标 ϕsin2 lxx += ， ϕcos2 ly = 用ϕ表示出来，可以求出质点的

轨迹，这是水平轴为)( 21

1

mmlm+

竖直轴为 l的椭圆的一部分. 当 ∞→1m 时，就变为通常的

沿着一段圆弧运动的单摆.


习题 1

解：采用球坐标作为广义坐标，则有坐标变换关系：

θϕθϕθ

cossinsincossin

lzlylx

===

θθ

ϕθϕϕθθ

ϕθϕϕθθ

sin

cossinsincossinsincoscos

&&

&&&&&&

lzllyllx

−=

+=

−=

系统动能

)sin(21)(

21 2222222 θϕθ &&&&& +=++= mlzyxmT

系统势能

θcosmglmgzV −=−=

于是摆的拉格朗日函数为

θθϕθ cos)sin(21 2222 mglmlVTL ++=−= &&

ϕ 是循环坐标，因此广义动量 ϕp ，也就是角动量的ϕ分量 φp 守恒：

2 2sin zml Mϕ θ = =& constant （1）

又拉格朗日函数不显含时间 t，有广义能量积分,即能量守恒：

2 2 2 2

22 2

2 2

1 ( sin ) cos2

1 cos2 2 sin

z

E T V ml mgl

Mml mglml

θ ϕ θ θ

θ θθ

= + = + −

= + −

& &

& （2）

其中利用了(1)消去ϕ& .方程(2)可以视为等效的一维问题的能量方程,于是可引入有效势能

θθ

θ cossin2

)( 22

2

mglml

MU z

eff −=

由此,(2)改写为

2 21 ( )

2 effE ml Uθ θ= +&


49

解出θ&,有

))((22 θθ effUE

ml−=&

即

dtUEml

d eff ))((22 θθ −=

故时间的表示式为

22 ( ( ))eff

dtE U

ml

θ

θ=

−∫ （3）

利用（1），得到

θϕ 22 sinml

M z=&

再分离变量得

dtml

Md z

θϕ 22 sin

=

于是角度ϕ的表示式为

22 sin ( ( ))

z

eff

M dl m E U

θϕ

θ θ=

−∫ （4）

积分（3）和（4）分别是第一类和第三类椭圆积分.

effE U= 时,有

2

2 2 cos2 sin

zME mglml

θθ

= −

即

2 3 3 2 2 2 3 2 22 cos 2 cos 2 cos 2 0zm l g ml E m l g M ml Eθ θ θ+ − + − =

这是 θcos 的三次方程.

习题 2

解：设球坐标原点位于圆锥顶点，极轴竖直向上，坐标变换关系：


50

αϕαϕα

cossinsincossin

rzryrx

===

αϕαϕϕαϕαϕϕα

coscossinsinsinsinsincossin

rzrryrrx

&&&&&&&&

=+=−=

系统的动能为

)sin(2

)(21 2222222 αϕ&&&&& rrmzyxmT +=++=

系统的势能为

cosV mgz mgr α= =

拉格朗日函数是：

ααϕ cos)sin(2

2222 mgrrrmVTL −+=−= &&

坐标ϕ是循环的，故相应于ϕ的广义动量,也即对 z轴的动量矩分量

2 2sinzLp M mrϕ ϕ αϕ

∂= = =

∂&

&

是守恒的.

拉格朗日函数不显含时间 t，故能量守恒.

αα

cossin22

122

22 mg

mrM

rmVTE z ++=+= &

类似于习题 1,可以引入有效势能

αα

cossin2

)( 22

2

mgrmr

MrU z

eff −=

则由能量守恒关系,有

))((2 rUEm

r eff−=& ， dtrUEm

dr eff ))((2−=

由此,我们得到

∫−

=

))((2 rUEm

drt

eff

同样,动量矩守恒给出关系

αϕ 22 sinmr

M z=&

即


51

))((2sinsin 2222

rUEm

drmr

Mdt

mrM

d

eff

zz

−

==αα

ϕ

其中第二个等号代入了前面由能量守恒得到的关系,于是

∫ −=

))((2sin 22 rUErdr

mM

eff

z

αϕ

当 0≠zM 时,条件 ( )effE U r= 是关于 r的三次方程，它有两个正根.这两个根确定了

锥面上的两个水平圆，于是质点运动的轨迹处于这两个圆之间.

习题 3

解：设悬挂点水平坐标为 x。摆的坐标的变换关系为

ϕϕ

cossin

2

2

lylxx

=+=

ϕϕ

ϕϕsin

cos

2

2

&&&&&

lylxx

−=+=

系统动能：

( ) ( ) ( )ϕϕϕ cos221

21

21

21 22

22

2122

222

21 &&&&&& xllmxmmyxmxmT +++=++=

系统势能：

2 2 2 cosV m gy m gl ϕ= = −

系统拉格朗日函数

( ) ( )ϕϕϕϕ cos221cos

21 22

222

21 &&&& xllmglmxmmVTL ++++=−=

可见 0=∂∂

xL

,即 x 是循环坐标。因此，广义动量 xP ,也就是系统的总动量的水平分量守恒：

constlmxmmPx =++= ϕϕ cos)( 221 && (1)

设初始时, 0x φ= =&& ,即将体系整体看作静止的，则有 const=0. 对(1)再积分一次给出关

系式

constlmxmm =++ ϕsin)( 221 (2)

这表示系统的质心在水平方向上是静止的.

利用（1）可得

21

2 cosmm

lmx

+−=

ϕϕ&&

拉格朗日函数不显含时间 t,有广义能量积分,即系统的能量是守恒的. 利用上式,能量可以

表示为


52

( )2

2 21 2

1 2

2 2 22 2

1 2

2 2 222 2

1 2

22 2 1 2

2 21 2

cos12

cos1 2 cos cos2

1 1 cos cos2

sin1 cos2

m lE T V m mm m

m lm l l m glm m

mm l m glm m

m mm l m glm m

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

= + = + − +

+ + − − +

= − − +

+= −

+

&

&& &

&

&

由此

ϕϕ

ϕ 221

2

2

21

sincos)(21

mmglmE

mmm

l +++

=&

于是,有

∫ ++

+= ϕ

ϕϕ d

glmEmm

mmmlt

cossin

)(2 2

221

21

2

利用（2）,用ϕ表示 2m 的坐标, ϕsin2 lxx += ， ϕcos2 ly = ，有

2 12

1 2 1 2

2

sin sinsin sin ,

cos

c m l c m lx x l lm m m m

y l

ϕ ϕφ φ

φ

− += + = + =

+ +

=

其中 c就是(2)中的 const.上两式消去ϕ ,有

[ ][ ]

2 22 1 2 2

2 21 1 2

/ ( )1

/ ( )

x c m m ylm l m m

− ++ =

+

此即质点的轨迹方程，这是水平半轴为)( 21

1

mmlm+

,竖直半轴为 l的椭圆的一部分,椭圆中心

位于 1 2( / ( ),0)c m m+ . 当 ∞→1m 时，有

2 2 22 2x y l+ =

即质点 2m 的轨迹是圆弧的一部分.这是我们熟知的单摆运动.

§15 开普勒问题

势能与 r 成反比是有心力场的最重要情况，相应的力与 2r 成反比。牛顿引力场和库


53

仑电场都属于这种情况，第一种是引力场，第二种可以是引力场也可以是斥力场。我们首先研究引力场，设

Urα

= − (15.1)

其中α是正数。“等效”势能

2

22effMU

r mrα

= − + (15.2)

的曲线如图 10 所示，当 0r → 时趋于+∞，当 r → +∞时从负

方向趋向于零。当2 /r M mα= 时取极小值：⑦

( )2

2min 2effmUMα

= − (15.3)

由曲线显而易见，当 0E > 时质点运动是无限的， 0E < 时运动是有限的。

根据公式（14.7）可得轨迹形状。代入Urα

= − 并积分可得⑧

1

2 2 2

/ /cos2 /M r m M constmE m M

αϕ

α− −

= ++

⑦ [过程补充] 对 effU 求导数得 ( ) ( )

2

2 3'eff effd MU Udr r mr

α= = − .令 ( )'

0effU = ，得到它的极值点位

于2Mr

mα= 处. 当

2Mrmα

= 时， effU 的值为2

22mMα

− .而在此处

( )2 2

2 2 3 4

2 3 4 6

2 30eff

M Mr rm m

d M mUdr r mr M

α α

α α

= =

−= + = >

即有极小值 ( )2

2min 2effmUMα

= −

⑧ [过程补充] 将势函数代入(14.7),有

( )

2 2

2 2

2 2

2

22 2 2

2 2 2

( / ) ( / )

2 ( ) 2

( / )

/ /2 / 1

2 /

M r dr M r drconst constM Mm E U m Er r r

M r dr constM r m M

mE m MmE m M

ϕα

αα

α

= + = + − − + −

= +−

+ −+

∫ ∫

∫

令2 2 2

/ /2 /M r m MxmE m M

α

α

−=

+,则有

2

2 2 2

( / )2 /

M r drdxmE m Mα

= −+

.将 dx和 x代入上式中可得:

1 1

2 2 2 2

/ /cos cos1 2 /dx M r m Mconst x const const

x mE m Mα

φα

− − −= − + = + = +

− +∫


54

选择ϕ的起始位置使得 0const = ，并记

2Mp

mα= ,

2

2

21 EMemα

= + (15.4)

轨道方程可以重新写成

1 cosp er

φ= + (15.5)

这是焦点位于坐标原点的圆锥曲线方程，p和 e分别称为轨道的参数和离心率。由（15.5）可以看出，这样选择ϕ的起始位置，就是使ϕ =0的点离中心最近（称该点为轨道近心点）。在等价的二体问题中，两个质点按（15.1）相互作用，每个质点的轨道都是圆锥曲线，

其焦点位于系统的公共质心处。由（15.4）可知，当 E<0 时 e<1，即轨道为椭圆（图 11），运动是有限的，。根据已知

的解析几何公式，椭圆的半长轴和半短轴分别为：⑨

21 2 | |pae E

α= =

−，

2 2 | |1p Mb

m Ee= =

− (15.6)

能量的最小值对应于式（15.3），这时 e=0，即椭圆变成圆。需要指出，半长轴仅仅依赖于质点的能量（而与动量距无关），到场的中心（椭圆焦点）的最小

和最大距离分别为

min (1 )1

pr a ee

= = −+

，

max (1 )1

pr a ee

= = +−

(15.7)

当然这两个表达式（a由（15.6）确定， e由（15.4）

⑨[过程补充] 轨道方程为

1 cospr

e ϕ=

+

对于轨道的近心点和远心点分别有cos 1ϕ = 和 cos 1ϕ = − , 即有

min 1pr

e=

+， max 1

pre

=−

则对椭圆轨道,有半长轴为

min max22 1 2 | |

r r pae E

α+= = =

−

其中第二个等号利用了参数的定义以及 E<0的特点. 又据半长轴和半短轴之间的关系,有

212 | |

Mb a em E

= − =

a, b的上述关系是将几何参数与初始条件建立了联系,因为 E和 M的值由初始条件确定.


55

确定）可以直接从方程 ( )effU r E= 求根得到。

根据“面积积分”形式（14.3）的动量矩守恒，可得质点沿着椭圆运动时间，即运动周

期 T。对时间从 0到 T积分这个等式，可得

2TM mf=

其中 f是轨道面积。对椭圆 f abπ= , 根据(15.6) 得⑩

32

322

m mT aE

π παα

= = (15.8)

在§10中已经指出，周期平方正比于轨道尺寸立方。还需

指出，周期仅仅依赖于质点的能量。

当 E≥0时运动是无限的。如果 E＞0则偏心率 e＞1，

轨道是绕过场中心(焦点)的双曲线，如图 12 所示。近心

点到中心的距离

min ( 1)1

p a eer = = −

+ (15.9)

其中

2 1 2pa

e Eα

= =−

，

是双曲线的“半轴”。

在 E=0 的情况下偏心率 e=1,即质点沿着近心点距离为 min / 2r p= 的抛物线运动。如果

质点自无穷远处从静止开始运动,就会出现这种情况。

质点沿着轨道运动时，坐标对时间的依赖关系可以利用(14.6)得到，它可以用下面方式

表示成参数形式。

首先研究椭圆轨道。根据（15.4）和（15.6）引入 a和 e，公式（14.6）可以写成

2 2 2 222 ( )

2

m rdr ma rdrtE a M a e r ar

E m Eα

= =− −

− + −∫ ∫

利用变换

cosr a ae ξ− = − ，

这个积分写成

⑩ [过程补充] 由(15.6),有2

aE

α= ,

2Mbm E

= ,则有32 2

Mf abm E

απ π= = , 将此式代入

2TM mf= 可得

33

222

mf m mTM Em E

απ πα= = =

r


56

3 3

(1 cos ) ( sin )ma mat e d eξ ξ ξ ξα α

= − = − +∫ const.

选择时间起点使得 const=0，最终可得 r依赖于 t的参数方程：

3

(1 cos ), ( sin )mar a e t eξ ξ ξα

= − = − （15.10）

（在 t=0 时刻质点位于近心点）。用参数ξ 还可以表示出质点的笛卡尔坐标 cos ,x r ϕ=

siny r ϕ= （x轴和 y轴分别沿着半长轴和半短轴）。由（15.5）和（15.10）有

2(1 ) (1 cos ) (cos );ex p r a e a e ae eξ ξ= − = − − − = −

再利用2 2y r x= − 求出 y. 最终可得：

2(cos ), (1 ) sin .x a e y a eξ ξ= − = − （15.11）

沿着轨道运动一整圈对应着参数ξ从零到 2π 。

对于双曲线，完全类似地计算可得⑪

3

2

( cosh 1), / ( sinh ),

( cosh ), ( 1) sinh ,

r a e t ma e

x a e y a e

ξ α ξ ξ

ξ ξ

= − = −

= − = −

（15.12）

⑪ [过程补充] 对双曲线轨道 0E > ，

2 2,

1 21p p Ma b

e mEe= = =

− −,代入(14.6)有

2 2 2 2 22 (2 / ) ( / 2 ) ( )

m rdr ma rdrtE r E r M mE r a a eαα

= =+ − + −

∫ ∫

作变量代换 ( cosh 1)r a e ξ= − ,则有

sinh ,dr ae dξ ξ= 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) (cosh 1) sinhr a a e a e a eξ ξ+ − = − =

于是

3 3

( cosh 1) ( sinh )ma mat e d e constξ ξ ξ ξα α

= − = − +∫

选取时间起点使 const=0。又 cos , sinx r y rϕ ϕ= = ，利用轨迹方程 / 1 cosp r e ϕ= + ,以及各

参数之间的关系,有

2( 1) ( cosh 1) ( cosh )ex p r a e a e ae eξ ξ= − = − − − = −

2 2 2 2 2 2 2( cosh 1) ( cosh ) ( 1) sinhy r x a e a e a eξ ξ ξ= − = − − − = −

综合上述结果,有双曲线参数方程为(15.12).


57

其中参数ξ取值范围从−∞到+∞ .

下面研究相斥场中的运动，势能为

Urα

= （15.13）

( 0)α > .这种情况下，当 r从零到∞时，等效势能

2

22effMU

r mrα

= +

从+∞单调减少到零。质点能量只能是正的，运动总是无限的。完全像上面一样计算可知，轨迹是双曲线

1 cosp er

φ= − + （15.14）

(p和 e由公式（15.4）确定)，如图 13所示。近心点距离为

min ( 1).1

pr a ee

= = +−

（15.15）

轨迹参数方程为：⑫

⑫[过程补充]对相斥场, /U rα= ,由(14.6)有

2 2 2 22 2/ r / 2 ( / ) ( / 2 )m dr m rdrt

EE M mr r E r M mEα α= =

− − − −∫ ∫

又由参数之间的关系 2 ,1 2 2

p Ma be E mE

α= = =

−, 2 1b a e= − ,有

2 2 2( )

ma rdrtr a a eα

=− −

∫

作变量代换 ( cosh 1)r a e ξ= + ,有

sinh ,dr ae dξ ξ= 2 2 2 2 2 2( ) sinhr a a e a e ξ− − =

于是 3 3

( cosh 1) ( sinh )ma mat e d e constξ ξ ξ ξα α

= + = + +∫

选取时间起点使 const=0. 又 cos , sinx r y rϕ ϕ= = ，利用轨迹方程 / 1 cosp r e ϕ= − + 得：

2( 1) ( cosh 1) (cosh )ex p r a e a e ae eξ ξ= + = − + + = +

2 2 2 1sinhy r x a e ξ= − = −

综合上述结果,可得相斥场下的轨迹的参数方程为(15.16).


58

3

2

( cosh 1), ( / ) ( sinh ),

(cosh ), ( 1) sinh .

r a e t ma e

x a e y a e

ξ α ξ ξ

ξ ξ

= + = +

= + = −

（15.16）

在本节的最后我们来证明,在有心力场U rα= / （α 的符号任意）内的运动有其特有的运动积分.很容易直接计算验证

.constr

α× + =

rv M （15.17）

事实上,上式对时间的全导数等于

3( ) .

r rα α ⋅

× + −& v r v rv M

将 m= ×M r v代入后得：

3( )( ) ( ) .m m

r rα α ⋅

⋅ − ⋅ + −v r v rr v v v r v

g g

再根据运动方程 3/m rα=&v r 可知上面的表达式等于零.守恒矢量（15.17）的方向沿着半长

轴从焦点指向近心点,其大小等于 eα .这很容易通过计算该矢量在近心点的值来验证.

需要着重指出，运动积分(15.17)像积分M和 E一样，是质点状态（位置与速度）的单

值函数.在§50我们将发现,这个附加的单值积分的出现与运动退化有关.

习题

习题 1 质点在场U rα= − / 内运动，能量 0E = （沿着抛物线运动），试求质点坐标对

时间的依赖关系.

解：对积分

2

22

rdrtr

m mα

=

−∫ J

做变换

22 2(1 ) (1 )

2 2M prm

η ηα

= + = + ，

可得如下参数方程：

3 22 2(1 ), (1 ), (1 ), .

2 2 3 2p mp pr t x y pη η

η η ηα

= + = + = − =

参数η取值范围为−∞ + ∞到 .

习题 2 质点在有心力场2U rα= − / ，（ 0α > ）内运动，试积分运动方程.

解：按照公式(14.6)和(14.7)，对ϕ和t的计算起点做适当选择可得：


59

a)当2

E>0,2M

mα> 时,

2 2

1 2 2cos 1 ,2

mE mr M m M

αϕ

α

= − −

b)当2

E>0,2M

mα< 时,

2 21 2 2sinh 1 ,

2mE m

r m M Mα

ϕα

= − −

c)当2

E<0,2M

mα< 时,

2 22 | | 2cosh 1 .

2m E m

r m M Mα

ϕα

= − −

1

这三种情况下都有：

2

21 .2 2m Mt Er

E mα= − +

在情况 b)和 c)，当ϕ → ∞时，质点沿着趋向坐标原点的轨迹“落向”中心.从给定的距离r

开始的降落时间等于：

2 221 M M .

2 2 2m Er

E m mα α

− + − −

习题 3 在势能U rα= − / 上增加一个小量 Uδ ，有限运动的轨迹变为封闭的，并且每运

动一圈轨道的近心点都有很小的改变量δϕ .在下面的情况下求δϕ：a) Uδ = 2/ rβ ,b)

Uδ =3/ rγ .

解：当从 minr 到 maxr 再重新回到 minr 时，角变化量δϕ由公式（14.10）给出.为了避免

虚假发散，将公式（14.10）改写成

max

min

2

22 2 ( )r

r

Mm E U drM r

ϕ∂

∆ = − − −∂ ∫

代入 /U r Uα δ= − + 并将被积式按 Uδ 分解，零阶项为2π ，一阶项就是所求的δϕ：批注 [x152]: 按 Uδ 的幂次

展开, 其中


60

max

min

22 0

2

,2 2

2 ( )

r

r

m Udr m r UdM M MMm E r r

πδδϕ δ ϕα

∂ ∂= =∂ ∂

+ −∫ ∫

（1）

其中，对 r的积分变为沿着“无扰”运动轨迹对ϕ的积分.

对于情况 a)，公式（1）中的积分是很寻常的，得：

2

2 2mM pπβ πβ

δϕα

= − = −

（p是无扰椭圆（15.4）的参数）.在情况 b)中 2 /r U rδ γ= ,由（15.5）求出1/ r代入（1）

后可得

2

4 26 6 .m

M pπαγ πγ

δϕα

= − = −

习题过程详细推导

习题 1 由(14.6)考虑到 0E = ,有

2

22

rdrtMr

m mα

=

−∫ .

作代换2

21 (1 ),2

Mr p pm

ηα

= + = ,有 dr p dη η= , 于是

3 3

2 21 1 1(1 ) 12 2 3

mp mpt dη η η ηα α

= + = + ∫

其实,也可以直接利用积分公式2 2

3xdx b x ax b

a aax b = + − − ∫ 进行求解。这样就可

以直接求出

2 2

2

23m M Mt r r

m m mα

α α

= + −

作前述的变量变换可得同样的结果.

习题 2 由(14.6),有


61

22

2 22

22

=22

22

1=2 E 2

dr m drtMM EE U

r mrm mr

m MErm

α

α

= + −− −

+ −

∫ ∫

由(14.7),在合适选取ϕ的起始线,使得其中的 const=0,则有

2

2 22

2

M r/r M=M M2 + ) 2 + ur 2 r 2

d du

m E m Em m

ϕα

α

−=

− −

∫ ∫ （1）

a)当2

E>0, = 02M

mα β− > 时, 则

2

arccos2 2 /M du M um E m Eu

ϕβ β β

β

= − =−

∫

即

2 2

21 2 2cos cos 1 .2

mE mE mur M M m M

β αϕ ϕ

β α

= = = − −

b)当2

E>0, 02M

mα β− = > 时, 则

2

arcsinh2 2 /M du M um E m Eu

ϕβ β β

β

−= − =

+∫

即

2 2

21 2 2sinh sinh 1 ,2

mE mE mr M m M M

β αϕ ϕ

β α

= = − −

c)当2

E<0, 02M

mα β− = − < 时, 则

2

arccosh2 | | 2 | | /M du M um E m Eu

ϕβ β β

β

−= − =

−∫

即有


62

2 22 | | 2cosh 1 .

2m E m

r m M Mα

ϕα

= − −

1

习题 3

在 max

min

202

2

2 2

2

rr

m Udr m r UdM M MMm E

r r

πδδϕ δ ϕ

α

∂ ∂ = =∫ ∫ ∂ ∂ + −

中，第二个等号运用

了未受扰动时 r与ϕ 之间的关系(参见(14.7))

2 22 2

2 22 22 2M Mr m E U r m Emr r mr

dr d dM M

α

ϕ ϕ

− − − −

= =

a) 当 Uδ = 2/ rβ ,则

2

0 0r Ud d

π πδ ϕ β ϕ πβ= =∫ ∫

有

22 2 2m m

M M M pπβ

δϕ πβ πβα

∂ = = − = − ∂

b) 当 Uδ =3/ rγ .则

2

0 0 0

2

1 (1 cos )r Ud d e dr p

mp M

π π πγδ ϕ γ ϕ ϕ ϕ

γ γπ απ

= = +

= =

∫ ∫ ∫

其中利用了(15.4)和(15.5)两式.所以

2 2

3 4 22 6 6m m

M M M pα αγπ γπ

δϕ πγα

∂= = − = − ∂

第四章质点碰撞

63


§16 质点分裂

利用动量守恒和能量守恒定律可以得到一系列关于各种力学过程特性的结论。特别重要

的是，这些性质完全不依赖于质点间具体的相互作用形式。

首先，我们来考虑一个质点“自动”（没有外力作用）分裂成两个“组成部分”的问题。

换句话说，分裂后两个质点独立运动。

在质点(分裂前)静止的参考系中观察这个过程是最简单的。根据动量守恒定律，分裂后

两个质点的动量矢量和仍为零，即两个质点的动量大小相等方向相反。所以动量大小（ 0p ）

可以由能量守恒定律①

2 20 0

1 21 22 2vn vn vn

p pE E Em m

= + + +

确定，其中 1m 和 2m 是两个质点的质量， 1 2,vn vnE E 是它们的内能，而 vnE 是分裂前质点的初

始内能。用ε表示“分裂能”，即

1 2vn vn vnE E Eε = − − （16.1）

(显然,这个量应该是正的,这样分裂才可能发生）.这时有

2 20 0

1 2

1 12 2p p

m m mε

= + =

（16.2）

由此确定 0p (m 是两个质点的折合质量 )，两个质点的速度分别为 10 0 1/v p m= 和

① 对质点,动能和动量的关系为

22 01

2 2kpE mvm

= =

由于在质心系中研究质点分裂情况，而分裂前粒子动能为零.设 vnE 为分裂前粒子的内能, 1vnE 、 2vnE 分

别为分裂后两个粒子的内能,则根据能量守恒定律有

1 1 2 2vn vn k vn kE E E E E= + + +

有上面两个关系即可得

2 20 0

1 21 22 2vn vn vn

p pE E Em m

= + + + .


64

20 0 2/v p m= 。

下面我们换一个参考系，分裂前质点以速度V相对该参考系运动.通常称这个参考系为

实验室参考系，它不同于总动量等于零的质心参考系，。设 v 和 0v 是分裂后一个质点相

对实验室参考系和质心参考系的速度。利用等式 0= +v V v ，或者 0=−v V v 可得

2 2 2

02 cosv V vV vθ+ − = （16.3）

其中θ是质点相对V方向飞出的角度。这个方程给出了质点在 L 系中分裂质点速度对飞出

方向的依赖关系。图 14 借助图解法给出了这个关系。点 A 距圆心的距离为V ,速度 v矢量

从 A点指向半径为 0v 的圆周上一点②。图 14(a)和(b)分别相应于 0V v< 和 0V v> 的情况。第

一种情况下质点可以任意角度θ飞出，第二种情况下质点只能向前飞出，飞出角度θ不超过

下式给出的 maxθ ,

0m a xs in v

Vθ = （16.4）

（从 A作圆的切线的方向）。

在实验室参考系和质心参考系中飞出角度θ和 0θ 的关系显然也可以由图解法给出：

0 0

0 0

sintancosv

v Vθ

θθ

=+

(16.5)

② 确切地说是半径为 0v 的球,图 14上画的是该球的直径截面.

图 14


65

求解这个方程可得③

2

2 20 2

0 0

cos sin cos 1 sinV Vv v

θ θ θ θ= − ± − (16.6)

由图 14(a)可以看出，当 0v V> 时θ和 0θ 之间的关系是单值的。这时在式（16.6）中根号

前面取“+”号（使得 0θ = 时 0 0θ = ）④。如果 0v V< ，θ和 0θ 之间的关系不是单值的：每

个θ对应两个 0θ（图 14(b)），它们相应于从圆心指向 B或者 C的矢量 0vuuv，也相应于式（16.6）

中根号前两个符号⑤。

在物理应用中经常遇到的分裂质点不是一个，而是多个，这就产生了分裂的质点按方向、

能量等分布的问题。这时我们假设，原来质点在空间中运动方向是混沌的，即在平均意义下

是各向同性的。

在质心参考系中这个问题是很简单的：所有（相同类型的）分裂质点具有相同的能量，

并且它们运动方向的分布是各向同性的，这与质点的运动方向的混沌假设相关。就是说，进

入立体角微元 0dO 的质点所占的比例正比于该微元的大小，等于 0dO / 4π 。代入

0 0 0d 2 sin dO π θ θ= 后可得按角 0θ 的比例分布：

0 01 sin d2

θ θ （16.7）

③ [过程补充] (16.5)式可改写为

0 0 0 0( cos ) tan sinv V vθ θ θ+ =

上式两边同时平方并将2

0sin θ 换为2

01 cos θ− ，整理可得

2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0cos 2 in cos sin cos 0v v Vs V vθ θ θ θ θ+ + − =

由此 0cosθ 的一元二次方程可解得

22 2

0 20 0

cos sin cos 1 sinV Vv v

θ θ θ θ= − ± −

(16.3)式与(16.5)式建立了实验室系中与质心系中速度之间的关系. 已知任一参考系中的速度大小和方向后，便可由此方程组解出另一参考系中速度大小和方向（两个未知量，两个方程，恰好可以求解）。由（16.5）式解出（16.6）式则表明θ 与 0θ 之间的关系可能不是一一对应的,与V 和 0v 之间的相对大小有关。 ④ 也可由条件“θ π= 时 0θ π= ”确定出根号前面应取加号，这两个条件均可由图 14(a)看出.在图 14(a)

中，当 0v 与V方向相同时， v也必然沿此方向；当 0v 与V方向相反时， v也必然与V方向相反。

⑤ 此时 0θ = 对应着 0 0θ = 或 0θ π= ，即在 0v 与V方向相同或相反的特殊情况下， v均与V方向相

同，这也可由图 14(b)可看出。


66

在实验室参考系中的分布可以通过变换得到。例如，让我们来确定在实验室参考系中的

动能分布。将等式 = +0v v V平方得

2 2 20 0 02 cosv v V v V θ= + +

由此有

( )2

00

dd cos

2v

v Vθ =

引入动能 212

T mv= （其中m是 1m 或者 2m ，取决于我们研究哪类分裂质点）并代入（16.7）

即可得：

0

d2

Tmv V

（16.8）

动能的取值范围从最小值 ( )2min 0( / 2)T m v V= − 到最大值 ( )2

max 0( / 2)T m v V= + 。在这个

区段内质点按照（16.8）均匀分布.

当质点分裂成多于两个部分时，动量守恒和能量守恒仍然成立。当然，分裂质点的速度

和方向可以有更大的任意性。特别是分裂质点在质心参考系中的能量不再有确定的值。但是

每个分裂质点的动能存在上限。

为了确定这个上限，除了一个给定质点（质量为 1m ），我们将所有其它质点看做一个系

统，其内能用 vnE′ 表示。根据（16.1）和（16.2），质点 1m 的动能等于

( )20 1

10 112 vn vn vn

p M mT E E Em M

− ′= = − −

（M 是原来质点的质量）。显然，当 iE ′最小时， 10T 取最大值。为此，除 1m 外的其它分裂

质点必须以相同的速度运动,那么 vnE′ 就是它们的内能之和，而 1vn vn vnE E E′− − 就是分裂能

ε 。于是有

( ) 110 max

M mTM

ε−

= （16.9）

习题

习题 1 试求质点分裂后两个质点飞出角θ1和θ2之间的关系（在实验室参考系中）

解：在质心参考系中两个飞出角满足关系 10 20θ π θ= − .将 10θ 简记为 0θ ，对于每一个分

裂质点利用公式（16.5）可得批注 [x32]: 分裂后的


67

10 0 10 0 1cos sin cotV v vθ θ θ+ =

20 0 20 0 2cos sin cotV v vθ θ θ− =

应该从这两个等式中消去 0θ .为此 ,首先从中求出 0sinθ 和 0cosθ ，然后代入

2 20 0sin cos 1θ θ+ = . 再考虑到 1 0 2 0 2 1/ /v v m m= ，利用公式（16.2）可得：

2 2 22 12 1 1 2 1 2 1 22

1 2 1 2

2sin sin 2sin sin cos( + )= sin ( )m mm m m m

θ θ θ θ θ θ θ θε

+ − ++（）V

。

习题 2 试求实验室参考系中分裂质点的飞出方向分布

解：当 0v V> 时将（16.6）代入（16.7），其中根号前面取正号，可得：

2 20

2 2 20 0

1 ( / ) cos 2sin 2 cos2 1 ( / )sin

V vd Vv V v

θθ θθ

θ

+ + −

(0 )θ π≤ ≤

当 0v V< 时，应该考虑θ和 0θ 的两种可能关系.当θ增大时，与之对应的两个 0θ 中有一

个也增大，另一个则减小，因此应该取（16.6）中根号前两个符号对应表达式之差（而不是

和），来计算 0cosd θ . 最后得

2 20

2 2 20

1 ( / ) cos 2sin1 ( / ) sin

V vdV v

θθ θ

θ

+

− max(0 )θ θ≤ ≤ .

习题 3 试求在实验室参考系中两个分裂质点飞出方向之间的夹角θ的取值范围

解：角θ是 1θ 与 2θ 之和(参见习题 1)，角 1θ 和角 2θ 由公式（16.5）确定. tanθ的计算

非常简单.研究所得表达式的极值可以给出θ的可能取值范围，这依赖于 10 20, ,V v v 的相对值

（为了确定性，我们假设 20 10v v> ）：

如果 10 20v V v< < ,则 0 θ π< < ,

如果 10V v< ，则 mπ θ θ π− < < ，

如果 20V v> ，则 0 mθ θ< < ，其中 mθ 满足

10 202

10 20

( )sin mV v vV v v

θ+

=+

.



68

习题1 由下列两式

10 0 10 0 1cos sin cotV v vθ θ θ+ =

20 0 20 0 2cos sin cotV v vθ θ θ− =

分别消去 0cosθ 和 0sinθ 可得

10 20 10 1 20

10 20 1 2 10 20 1 2

( ) sin sinVsin 1(cot cot ) sin( )

V v v vv v v v

θ θθ

θ θ θ θ +

= = + + +

10 1011 2 2 1

20 2 200

10 10 1 2110 20

2

cot 1 cos sin cos sincotV Vcos

sin( )cot1+cot

v vv v

v vv v

θθ θ θ θ

θθ

θ θθθ

− −= =

+

则有

2 22 2 2 210 10

0 0 2 1 1 2 1 2210 1 2 20 20

V 11= cos sin sin sin 2 sin sin cos( )sin ( )

v vv v v

θ θ θ θ θ θ θ θθ θ

+ = + − + +

即

222 2 210 2 2

1 2 2 1 1 2 1 21 1

sin ( ) sin sin 2 sin sin cos( )Vv m m

m mθ θ θ θ θ θ θ θ

+ = + − +

(1)

注意到 0 1 10p m v= ,代入(16.2),有

( )2

1 10 21 2 110

2

( )2 2

m v m m m vm m

ε+

= =

由此,

2 2

101 2 1

2( )

mvm m m

ε=

+ (2)

将(2)代入前面的式(1)中并作整理即可得所要求的结果.

习题3

因为

10 01

10 0

sintancos

vv V

θθ

θ=

+, 20 0

220 0

sintancos

vV v

θθ

θ=

−

则有


69

10 20 01 21 2 2

1 2 10 20 0 10 20

( ) sintan tantan tan( )1 tan tan ( )cos

v v VV v v v v

θθ θθ θ θ

θ θ θ++

= + = =− + − −

上式两边对 0θ 求导数并令结果等于零,有

210 2010 20 0 10 2022

0 10 20 0 10 20

( )tan ( )cos ( ) 0( )cos

v v Vd V v v v v Vd V v v V v v

θ θθ θ

+ = − + − = + − −

即在 tanθ 取极值时, 相应的 0θ 满足条件

10 200 2

10 20

( )cos v v VV v v

θ−

= −−

.

(i)当 20V v> 时, 0cos 0θ > ,即 0θ 可在 0到 / 2π 之间取值,于是

2 2 2 210 202

0 210 20

( )( )sin 1 cos

V v V vV v v

θ θ− −

= − =−

相应地,此时有

10 202 2 2 2

10 20

( )tan 0( )( )

v v VV v V v

θ+

= >− −

即θ 取值应在 [0, / 2]π 范围内.因为 0 0θ = 时, 0θ = ,则上式确定了θ 取值的上限 mθ ,即

10 202 2 2 2

10 20

( )tan( )( )

mv v V

V v V vθ

+=

− −.简单的计算表明, mθ 满足的关系也可以改写为

10 202

10 20

( )sin mV v vV v v

θ+

=+

.

(ii)当 10V v< 时, 0cos 0θ < ,即 0θ 可在 / 2π 到π之间取值,于是

2 2 2 210 202

0 210 20

( )( )sin 1 cos

v V v Vv v V

θ θ− −

= − =−

该情况下,有

10 202 2 2 2

10 20

( )tan 0( )( )

v v Vv V v V

θ+

= − <− −

即θ取值应在[ / 2, ]π π 范围内.因为 0θ π= 时, θ π= ,则上式确定了θ取值的下限 mπ θ− ,

即 10 20m 2 2 2 2

10 20

( )tan( )( )( )

v v Vv V v V

π θ+

− = −− −

, mθ 满足前面相同的关系.


70

图 15

(iii)如果 10 20v V v< < ,则 0cosθ 可正可负,即该情况下 0θ 可在 0到π 之间取值.而当

0 0θ = 时, 0θ = ,当 0θ π= 时, θ π= .故有0 θ π< < .

§17 质点弹性碰撞

如果两个质点碰撞不改变它们的内部状态，则称为弹性碰撞．对于这样的碰撞应用能量

守恒定律时不必考虑内能．

在质心参考系中研究碰撞最简单．像上节一样，我们用下标 0表示物理量在这个参考系

中的值．碰撞前两个质点在质心参考系中的速度与实验室参考系中 1v 和 2v 的关系为

2 110 20

1 2 1 2

, ,m mm m m m

−+ +

v = v v = v

其中 −1 2v = v v (参见(13.2))

根据动量守恒定律，碰撞后两个质点动量的大小相等方向相反，又根据能量守恒定律，

它们的绝对值也不变．于是，碰撞的结果是使两个质点在质心参考系中的速度方向相反大小

不变．如果用单位矢量 0n 表示碰撞后质点 1m 速度方向,则两个质点碰撞后速度(用撇号表示)

为

2 110 0 20 0

1 2 1 2

, .m mv vm m m m

′ ′ −+ +

v = n v = n (17.1)

为了变换到实验室参考系，需要在这些表达式中增加质心速度V．于是，两个质点在实验室参考系中的碰撞后速度为

2 1 1 2 2 1 1 1 2 210 0 20 0

1 2 1 2 1 2 1 2

, .m m m m m mv vm m m m m m m m

+ +′ ′+ − ++ + + +

v v v vv = n v = n (17.2)

利用动量和能量守恒定律只能得到这些关于碰撞的结论．矢量 0n 的方向与质点之间相

互作用规律以及碰撞时的相互位置有关．

对于上述结果可以给出几何解释，为此将速度变为动量会更加方便．将等式(17.2)分别

乘以 1m 和 2m 可得

1 210 0 1 2 20 0 1 2

1 2 1 2

( ), ( ).m mmv mvm m m m

′ ′+ + − + ++ +

p = n p p p = n p p (17.3)

( 1 2

1 2

m mmm m

=+

是折合质量)．如图 15 所示，作半径为mv的

圆．如果单位矢量 0n 沿着OCuuur，则矢量 AC

uuur和CB

uuur分别给出动


71

量 1′p 和 2′p ．在给定 1′p 和 2′p 时，圆的半径不变，A和 B点的位置也不变，而 C点可以位于圆

周上任何位置.

1 1 2

1 2

2 1 2

1 2

( )

( )

OC mmAO

m mmOB

m m

=+

=++

=+

vp p

p p

uuur

uuur

uuur

1

1 2/ /ABAO OB m m

==

puuur

我们研究碰撞前有一个质点(设为 2m )静止的情况。这种情况下 2 1

2 1

m pOBm m

=+

的长度与

半径相等⑥，即 B 点在圆周上。矢量 ABuuur等于碰撞前第一个质点的动量 1p 。点 A 位于圆内

（当 1 2m m< 时）或者圆外(当 1 2m m> 时). 相应的情况如图 16（a）和 16（b）所示. 图中

的 1θ 和 2θ 是碰撞后质点偏离撞击方向（ 1p 方向）的角度。图中圆心角 χ （给定 0n 的方向）

是第一个质点在质心参考系中的偏转角。由图中可见，角 1θ 和 2θ 可以用 χ 表示出来⑦

21

1 2

sintancos

mm m

χθ

χ=

+ 2 2

π χθ

−= . (17.4)

⑥ [过程补充] 因为 2v =0，则有 1 2 1= − =v v v v ,于是

2 1 2 1 1 1 2

2 1 1 2 1 2

m p m m v m mOB v mvm m m m m m

= = = =+ + +

⑦ [过程补充]由图可以得到关系

1sin sin ,AC OCθ χ= (1)

1cos cosAC OC AOθ χ− = , (2)

将(2)改写为

1cos cosAC OC AOθ χ= + . (3)

考虑到 2 0=p , 则有 1 1

1 2

m pAOm m

=+

, 2 1

1 2

m pOC OBm m

= =+

.用(1)式除以(3)式并利用前述关系即可得

21

1 2

sintancos

mm m

χθ

χ=

+


72

我们还可以用 χ写出碰撞后两个质点的速度的绝对值⑧：

2 21 2 1 2'

11 2

2 cosm m m mv

m mχ+ +

=+

, ' 12

1 2

2 sin2

m vvm m

χ=

+； (17.5)

1θ + 2θ 是碰撞后质点飞出方向之间的夹角.显然,当 1 2m m< 时 1θ + 2θ >2π

,当 1 2m m>

时 1θ + 2θ <2π ⑨.

碰撞后两个质点沿着一条直线运动的情况（正碰撞）相应于 χ π= ，即 C 点或者位于

直径上并且在 A点左边（图 16（a）,这时 1′p 和 2′p 相互反向）,或者位于 A和 O之间(图 16

⑧[过程补充]由图 16可知,在三角形 AOC中,根据余弦定理,有

2 2 2 21 | C| | | | C | | || C | cos( ),p A AO O AO O π χ′ = = + − −

但是考虑到 2 0=p ,则有 1 1

1 2

| | m pAOm m

=+

, 1 2

1 2

| OC | m mmv vm m

= =+

,而 1 1p mv′ ′= , 1 1p mv= 以及

1 2 1= − =v v v v .将它们代入上式,经整理即得

2 21 2 1 2'

11 2

2 cosm m m mv v

m mχ+ +

=+

.

类似地, 在三角形 BOC中有关系: 2 2 2 2

2 | | | | | | 2 | || | cosp BC OB OC OB OC χ′ = = + −

但是 2 1

1 2

| | | OC|m pOBm m

= =+

, 2 2 2p m v′ ′= ,代入上式并注意到 2cos 1 2sin2χ

χ = − ,则可得

12

1 2

2 sin2

m vvm m

χ′ =+

.

⑨ [过程补充]由(17.4),有 1 2 1 2

1 21 2 1 2

tan tantan( ) cot1 tan tan 2

m mm m

θ θ χθ θ

θ θ+ +

+ = =− −

但是0 χ π≤ ≤ ,则cot( / 2) 0χ ≥ .当 1 2m m< 时,1 2tan( ) 0θ θ+ < ,考虑到 1θ + 2θ 的取值范围,则

1θ + 2θ >2π ;当 1 2m m> 时, 1 2tan( ) 0θ θ+ > ,则有 1θ + 2θ <

2π .

图 16


73

（b）,这时 1′p 和 2′p 的方向相同）.

这种情况下碰撞后质点速度等于

' 1 21

1 2

m mv vm m

−=

+；

' 12

1 2

2mv vm m

=+

； (17.6)

这时 2′v 取最大可能值，原来静止的质点碰撞后获得最大能量等于

( )2 1 2

2max 2 2max 121 2

412

m mE m v Em m

′ ′= =+

（17.7）

其中2

1 11 2

m vE = 是原来运动质点的初始能量。

当 1 2m m< 时，碰撞后第一个质点的速度可以沿这任意方向。如果 1 2m m> ，则偏角不

能超过某个最大值，这个最大值相应于使 AC 与圆相切的C 点（图 16（b））。显然，

1maxsin /OC OAθ = ，或者

21max

1

sin mm

θ = （17.8）

两个质量相同的质点（一个初始静止）的碰撞特别简单。

这种情况下 A点和 B点都位于圆周上（图 17）。这时有：

112

θ χ= ， 2 2π χθ −= ，（17.9）

1 cos2

v v χ′ = ， 2 sin2

v v χ′ = . （17.10）

可见，碰撞后两个质点飞出方向相互垂直。

习题

习题运动质点 1m 和静止质点 2m 发生碰撞，试用实验室参考系中的偏角表示两个质点

碰撞后速度。

解:由图 16有 2 22 cosp OB θ′ = 或者 2 22

2 cosmv vm

θ′ = 。对于动量 1p AC′ = 有方程

2 2 21 1 12 cosOC AO p AO p θ′ ′= + − ⋅

或者

21 1 1 2

12 1 2

2 cos 0v v m mmv m v m m

θ′ ′ − − + = +

由此得


74

2 2 21 11 2 1 1

1 2 1 2

1cos sinvv m m m

m m m mθ θ

′= ± −

+ +

（当 1 2m m> 时根号可以取两个值，当 1 2m m> 时根号只能取正号）

习题详细推导过程由图 16,在三角形 AOC中,据余弦定理,有

2 2 21 12 cosOC AO p AO p θ′ ′= + − ⋅

因为 2 0=v ，则有 1 2 1= − =v v v v ,即 1v v= .另外,前面的讨论表明

1 2

1 2

m mOC mv vm m

= =+

, 1 1 1p m v′ ′=

( )1 11 2 1 1

1 2 2 2

m mmmAOm m m m

= + = =+

p p p vuuur

.

将这些关系代入前面的方程,有

( )

2 2 22 2 2 2 2 21 2

1 1 1 1 1 12 22 21 2

2 cosm m m mv m v m v m vvm mm m

θ′ ′= + −+

,

即

2 21 2

1 1 12 1 2

2 cos 0m mmv vv vm m m

θ−′ ′− + =+

,

也即

21 1 1 2

12 1 2

2 cos 0v v m mmv m v m m

θ′ ′ − − + = +

.

解此方程得

( )21 221

1 122 2 1 2

41 2 4cos cos2

m mv m mv m m m m

θ θ −′ = ± − +

即

2 2 21 11 2 1 1

1 2 1 2

1cos sinv m m mv m m m m

θ θ′

= ± −+ +

当 1 2m m> 时,由图16(b)可见同一 1θ 可以有两个 1v′与其对应,即上式中根号前的两个

符号均可 . 该情况下的特例是 1 0θ = 时 , 有 0χ = ( 即 1v v′ = ) 或 χ π= ( 即

1 1 2 1 2( ) / ( )v m m v m m′ = − + ).


75

当 2 1m m> 时, 由图16(a)可见, 1θ 与 1v′之间有一一对应关系,上式中根号前只能取正

号. 当 1 0θ = 时,有 0χ = ,即 1v v′ = .取正号与特例的结果是自洽的.

§18 质点散射

上一节已经指出，要完全确定两个质点的碰撞结果，必须求解记及质点相互作用具体规

律的运动方程。首先，我们按照一般法则来研究一个等效的问题。这是一个质量为 m 的质点在固定中

心（位于质心）的力场 U（r）中偏转问题。在§14已经指出，质点在有心力场中的轨迹，相对过近心点的直线（图 18上的 OA）对

称。所以，轨迹的两条渐近线与该直线的夹角相同。如果记该角为 0ϕ ，则由图可见，质点

飞过中心附近产生的偏转角 χ 等于

0| 2 |χ π ϕ= − (18.1)

图 18

根据（14.7），确定 0ϕ 的积分是从轨迹近心点到无穷远:

min

2

0 2 2

( / )2 [ ( )] /r

M r drm E U r M r

ϕ∞

=− −

∫ （18.2）

需要注意， minr 是上式根号内表达式的根。

在所讨论的无限运动情况下，引入质点在无穷远处速度 v∞和瞄准距离ρ来代替常数 E

和 M. 瞄准距离是指中心到v∞的垂直距离，即不存在力场情况下质点飞过中心时的距离（图

18）。能量和动量矩可表示为

2

2mvE ∞= ，M m vρ ∞= ，（18.3）

而公式（18.2）变为


76

min

2

0 2 2 2

( / )1 / 2 /r

r drr U mv

ρϕ

ρ

∞

∞

=− −

∫ ，（18.4）

由方程（18.1）和（18.4）可以求出χ对 ρ的依赖关系。

在物理应用中经常遇到的不是一个质点的偏转问题，而是以相同速度 v∞飞过散射中心

的质点束的散射。不同的质点有不同的瞄准距离，因此以不同的角度 χ 散射，我们用 dN表

示单位时间内偏转角在 χ 和 χ +d χ之间的散射质点数。因为这个数依赖于（正比于）质点束的密度，它对于刻画散射过程并不方便，所以我们引入

/d dN nσ = ，（18.5）

其中 n是单位时间内通过质点束横截面单位面积的质点数（当然，我们假设质点束在横截面

上是均匀的）。这个量的单位是面积单位，称为散射等效截面。它完全由散射场的形式决定，

是描述散射过程的重要物理量。

如果散射角是瞄准距离的单调递减函数，则 χ和 ρ是一一对应的。这种情况下，在χ和χ +d χ 之间的散射质点，其瞄准距离在确定的 ρ和 ρ +d ρ之间。这样的质点数等于 n乘以

内外径为ρ和 ρ +d ρ圆环的面积，即d 2 dN nπρ ρ= ⋅ .由此可得等效截面

d 2 dσ πρ ρ= . （18.6）

为了求得等效截面对散射角的依赖关系，将上式改写成

( )2 ( ) dd d

dρ χ

σ πρ χ χχ

= , (18.7)

这里我们加上绝对值符号是因为d / dρ χ 可能取负值⑩。通常 dσ 不是对应平面角微元 dχ，

而是空间角微元do .在 χ和 χ +d χ之间的角微元为d 2 sin do π χ χ= .由（18.7）有

( )

sindd dod

ρ χ ρσ

χ χ= . (18.8)

我们回到实际物理问题，质点束散射不是发生在不动有心力场中，而是发生在其它初始

静止的质点附近。公式（18.7）给出了质心参考系中等效截面对散射角的依赖关系。为了得

到实验室参考系中等效截面对散射角的依赖关系，需要用公式（17.4），将 χ用θ表示出来。

这样可以得到质点束散射截面的表达式（用 1θ 表示χ）和初始静止质点的表达式(用 2θ 表示

χ ).

习题习题 1 试求质点在半径为 a的刚性球上散射的等效截面（即作用规律是当 r a< 时

U = ∞，当 r a> 时 0U = ）。

解：质点在球外自由运动，又不可能进入球内，因此质点的轨迹由两条直线组成，这两

条直线相对过其交点的半径对称（图 19）。由图可见， ⑩ 如果函数 ( )ρ χ 是多值的,则显然需要对该函数的各个分支求如(18.7)那样的表达式的和.


77

2cos

2sinsin 0

χχπϕρ aaa =

−==

代入公式（18.7）或（18.8）可得

2 2

sin2 4a ad d doπ

σ χ χ= = （1）

即在质心参考系中散射各项同性。积分可得，全截面 2aσ π= 就是球面的截面面积，这相应

于瞄准面积，即必须击中这个面积才能发生散射。

为了转换到实验室参考系中，要根据（17.4）用 1θ 表示χ。计算完全与 16 节习题 2

类似（因为（17.4）与（16.5）在形式上是相同的）。当 1 2m m< 时（ 1m 是质点的质量， 2m

是球的质量），可得

( )( )

2 221 2 11

1 1 12 2 22 1 2 1

1 / cos22 cos

4 1 / sin

m mmad dom m m

θσ θ

θ

+ = + −

( 1 1 12 sindo dπ θ θ= )。如果 2 1m m< ，则

( )( )

2 221 2 1

1 12 2 21 2 1

1 / cos 22 1 / sin

m mad dom m

θσ

θ

+=

−

当 1 2m m= 时,有

21 1 1| cos |d a doσ θ=

这也可以直接将 12χ θ= 代入（1）得到（根据（17.9））。

对于初始静止的球总是有 22χ π θ= − ，代入（1）可得

22 2 2| cos |d a doσ θ=

习题 2 在同样的情况下，试将等效截面表示为散射质点损失能量ε 的函数。

解： 1m 损失的能量等于 2m 获得的能量。根据（17.5）和（17.7）有


78

22 2 21 2

2 max21 2

2 sin sin( ) 2 2

m mE vm m

χ χε ε∞′= = =

+

由此可得

max1 sin2

d dε ε χ χ= ,

再代入习题 1的（1）可得

2

max

dd a εσ π

ε=

在ε 从零到 maxε 区间内散射质点分布是均匀的。

习题 3 在场 nU r −: 内散射的等效截面对速度 v∞依赖关系是什么？

解：根据（10.3）如果势能是 k n= − 阶齐次函数，则对于类似的轨迹，2/nvρ −: 或者

2/ ( )nv fρ χ−

∞=

（对于类似的轨迹，偏转角 χ 都相同）。代入（18.6）得

4/nd v doσ −

∞: .

习题 4 试求“落”向场 2/U rα= − 中心质点的等效截面。

解：满足条件2 22 m vα ρ ∞> 的质点才能“落”向中心（参见（14.11）），即瞄准距离不

大于2

max 2 / mvρ α ∞= 。所以有

2 2

max 2

2mv

πασ πρ

∞

= =

习题 5 同上题，但 / nU rα= − ( 2, 0n α> > ).

解：等效势能

2 2

22eff nm vU

r rρ α∞= −

依赖于 r的关系如图 20所示，其最大值为

( )2 2 2

0max

( 2)2

nn

effm vnU U

nρα

α

−∞ −

= =

落向场中心的质点满足 0U E< 。由 0U E= 求出 maxρ 后，可得


79

2/2

2( 2)nn

nn nmv

ασ π

−

∞

= −

.

习题 6 质点（质量为 1m ）落向球体（质量为 2m ，半径为 R）表面，它们之间的引

力符合牛顿定律，试求等效截面。

解：落到球面上的条件是 minr R< ，其中 minr 是质点轨迹上离球心最近的点。ρ的最大

可能值由条件 minr R= 确定，这归结为求解方程 ( )effU R E= 或者

2 2 2

1 max 122 2

m v m vR Rρ α∞ ∞− = ,

并且 1 2m mα γ= （ γ 是引力常数），我们认为 2 1m m? ，假设 1m m≈ 。从上面方程中求得

2maxρ ，进而可得

2 22

21 mRRvγ

σ π∞

= +

当 v∞ → ∞时，自然地，等效截面就趋向于球的几何截面。

习题7 根据给定的等效截面对给定能量E的散射角的依赖关系,试求散射场的形式U(r).

假设 U(r)是 r的单调减少函数(吸引场),并且 U(0)>E,U(∞ )=0. (O.B.飞尔萨夫,1953).

解: 对散射角 χ 积分

2πρχχσπ

χ=∫ d

dd

(1)

给出瞄准距离的平方,因此,函数 ( )ρ χ (以及 ( )χ ρ )也可以看作是已知的.

引入记号

r

s 1= , 2

1ρ

=x , 1 UwE

= − . (2)

这时把公式(18,1), (18,2) 写成

0

2 20

( )2

sx dsxw s

π χ−=

−∫ (3)

其中 0s 是方程 2 20 0( ) 0xw s s− = 的根.

方程(3)是函数 )(sω 的积分方程,可以应用类似于第 12 章中的方法来解.将方程(3)两

边都除以 x−α ,然后对 x从零到α积分,得


80

0 ( )

2 20 0 0

( )2 ( )( )

s xx dx dsdxx xw s x

α απ χα α

−=

− − −∫ ∫ ∫

0 0

0

( ) ( )

2 20 ( ) 0( )( )

s s

x s

dxds dswxw s x

α α απ

α= =

− −∫ ∫ ∫

或者,将等式左边分部积分,上式变为

0 ( )

0 0( )

sd dsx dxdx w

α αχπ α α π− − =∫ ∫

将得到的关系式对α 求导,再将 )(0 αs 简写为 s,并相应地将α 替换为2

2

sw ,可得

2 22

2 20

2

1 ( )2

s ws s x dxd d dsw w ws x

w

χ ππ

′ − = −

∫

或者

2 2

20

2

( )lnss x dxd w d

w s xw

ω χπ

′ − =

−∫

这个方程可直接积分,并且应该改变右边对 x和对 sw积分的顺序. 考虑到当 s=0(即 r → ∞ )

时应当有 1=ω (即 U=0),并换回原始变量 r和ρ ,则得到(两个等效形式的)最终的结果:

2 2 2

1 1 ( )exp arccosh expr rw

d dw drw d r wω

ρ χ χ ρ ρρ

π ρ π ρ

∞ ∞ = ⋅ = − −

∫ ∫

(4)

对一切 minrr > ,即具有给定能量 E 的质点发生散射的可能区域内,这一公式确定了隐函数

( )w r [进而确定 U(r)].

习题详细推导过程习题 4 有效势能为

2 2

2 22 2 2

1 ( 2 )2 2eff

m vU m vr r r

ρ αα ρ∞

∞= − = − +

由前面§14 的讨论可知,仅当 0r → , effU → −∞时质点才有可能坠落至场的中心,这就要

求2 22 0m vα ρ ∞− + < ,即

2 22 m vα ρ ∞> .于是存在 ρ的极大值 maxρ 为


81

max 22

mvα

ρ∞

=

有效截面为

2max 2

2mv

πασ πρ

∞

= = .

习题 5 有效势能为

2 2

22eff n

m vUr r

ρ α∞= −

则有

2 2

3 1eff

eff n

dU m v nUdr r r

ρ α∞+

′ = = − +

令 0,effU ′ = 即 effU 取极值时,可得：

12

2 2

nnrm v

αρ

−

∞

=

（1）

将（1）代入到有效势能的表示式中可得到

( )2 2 2

0max

( 2)2

nn

effm vnU U

nρα

α

−∞ −

= =

由 0U E= 确定 maxρ 为，

22

max 2

2( 2)

nnn E

mv nα

ρα

−

∞

= −

但是 212

E mv∞= ,则有

2/22max 2( 2)

nnnn n

mvα

σ πρ π−

∞

= = −

.

习题 6

设质点以瞄准距离 maxρ 和速度 v∞向球运动.质点能达到球的条件是 minr R= .设此时速

度为v .据动量矩守恒,有

1 max 1m v m vRρ∞ = (1)

又由机械能守恒

2 21 1

1 12 2

m v m vRα

∞− = （2）


82

由（1）、（2）可知

2 2 21 max 12

1 12 2

m v m vR R

αρ∞ ∞− = .

由此可解得

2

2 2 2 2max 1 2 2

1

21 2 12

mRm v RR m v Rv

γαρ ∞

∞ ∞

= + = +

其中 1 2m mα γ= ,γ 为万有引力常数.有效截面为

2 2 2max 2

21 mRRvγ

σ πρ π∞

= = +

习题 7

设质点以瞄准距离ρ和速度 v∞进入力场中. 根据公式

2πρχχσπ

χ=∫ d

dd

(1)

对散射角 χ (相应于此时的瞄准距离为 ρ )求 dσ 的积分给出瞄准距离的平方.公式(1)表示,

在入射方向上半径为ρ的圆环内的质点均将散射到散射角大于χ的空间区域中.

考虑到 ( ) 0U ∞ = ,有质点的角动量和能量分别为

22

2

1,2 2

MM mv E mvm

ρρ∞ ∞= = =

于是,有

2 2

2 1mE xM ρ

= = .

将方程(3)两边都除以 xα − 并对 x从零到α 积分,有

0 ( )

2 20 0 0

( )2 ( )( )

s xx dx dsdxx xw s x

α απ χα α

−=

− − −∫ ∫ ∫

先计算上式的右边.交换积分次序,有


83

( ) ( )( )

( ) ( )

0

0

0

0

0

0

( )

2 20 ( )

( )

0 ( ) 2 22 2 2 2 2 2 2

( )

20 ( ) 2 2 2 2 2 2

( )( )

/ / 2 / / 4 /

/ 1 2 ( / ) / 2 / ( / )2

s

x s

s

x s

s

x s

dxdsxw s x

dxds

w x s w s w s w

dxdsw s w x s w s w

α α

α α

α α

α

α α α

α α α

− −

= − − + − + +

= − − − + −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

由积分公式1

2 2

1 sin xdx Caa x

−= +−

∫ 得到最终结果:

0 0

0

0

( ) ( ) 2 22 22 20 0 0

( )

( )

0

2 1arcsin ( / )( / ) 2( )( )

s x s

x s

s

dsdx ds x s ww s wxw s x

dsw

αα α

α

ααα

π

= − + − − −

=

∫ ∫ ∫

∫

再对左边分部积分,有

( ) ( )

[ ]

0 0

0 0

0

( ) 2 ( )2

( )( )

x d x x d x

d xx x x dxdx

dx dxdx

α α

αα

α

π χα π χ α

χα π χ α

χπ α α

−− − = − − −

= − − − − −

= − −

∫ ∫

∫

∫

综合起来,有

0 ( )

0 0( )

sd dsx dxdx w

α αχπ α α π− − =∫ ∫

将上式对α求微分,有

00

( )1 12 2x

dsd dd x d dx d ddx dx w dx

α

α

απ χ χα α α α π α

αα α=

− − − = − ∫

即

0

12 2

d dsd dx ddx wx

απ χα α π

α α − = − ∫

其中已将 0 ( )s α 简写为 s.再作变量代换,将α 换成 2 2/s w ,则有

2 22

2 2 20

1 ( )2 /

ss s x dxd d dsw w ws w x

ω χ ππ

′ − = −

∫

即

2 2

2 20

1 ( )/

ss x dxdw dw w s w x

ω χπ

′ − = −∫


84

或

2 2

2 20

( )(ln )/

s ws x dxd w dw s w x

χπ

′ − = −

∫

考虑到当 s=0(即 r → ∞ )时应当有 1ω = (因为此时 U=0),对上式两边再积分,有

2 2/

2 21 0 0

(ln ) ( )/

w s w s wd w s x dxdw ddw w s w x

χπ

′ − = −∫ ∫ ∫

在右边应当改变对dx和对 sdw

积分的顺序,有

2 2

2 2

2 2

/

2 20

/'

20 1

'

0

1ln ( )/

( )

1

( ) arccosh

s w s w

x

s w s w

s w

sw x dx dws w x

sdxwx dx

sxw

sx dxxw

π χ

χ

χ

′− = −

=

−

=

∫ ∫

∫ ∫

∫

将变量换回 r和ρ ,可得:

ln arccoshwr dw d

rw dρ χ

π ρρ∞

− = ∫

即

2 2 2

2 2 2

1exp arccosh

1 1 ( )exp ( ) arccosh

1 ( )exp

wr

rwwr

rw

dw dwr d

dwr r w

dr w

ρ

ρ

ρ χρ

π ρ

ρ χ ρ ρχ ρ

π π ρ

χ ρ ρπ ρ

∞

=∞∞

=

∞

= = − − = − −

∫

∫

∫

其中注意到 ρ → ∞时, ( ) 0χ ρ → ,则第二个等号中分部积分出的部分等于零.

由 1 UE

ω = − 可得2(1 )U Eω= − .将上面求出的w代入,可以得到 U(r)的表示式为

2 2 2

2 ( )1 expr

dU Er wω

χ ρ ρπ ρ

∞ = − −

− ∫

该题讨论的是所谓逆碰撞问题求解方法,是 Firsov 于 1953 年提出的,见文献 O. B.


85

Firsov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. (Sov. Phys. JETP) 24, 279 (1953).

§19 卢瑟福公式

前面所得公式的一个重要应用就是带电粒子在库仑场中的散射

在公式(18.4)中令Urα

= 并积分得

2

0 2

2

arccos

1

m

m

αυ ρ

ϕαυ ρ

∞

∞

=

+

由此得

2

2 202 4 tan

mα

ρ ϕυ∞

=

或者，根据(18.1)，引入 0 ( ) / 2ϕ π χ= − ，得

2

2 22 4 cot

2mα χ

ρυ∞

= （19.1）

将该等式对 χ求导并代入(18.7)或者(18.8)，得

2

23

cos2

sin2

d dm

χα

σ π χχυ∞

=

(19.2）

或者 2

242 sin

2

ddmα ο

σχυ∞

=

（19.3）

这就是卢瑟福公式．需要指出的是，等效截面不依赖于α 的符号，所得的结果对于库仑引力和斥力场都是一样的．公式(19.3)给出碰撞质点的质心参考系中的等效截面. 利用公式(17.4)可以变换到实验

室参考系中．对于初始静止的质点，将 22χ π θ= − 代入公式 (19.2)，可得

2 2

2 22 22 3 2 3

2 2

sin22 cos cos

dd dm m

θ οα ασ π θ

υ θ υ θ∞ ∞

= =

（19.4）

对于入射质点，这个变换在一般情况下非常复杂．我们只给出两种特殊情况．

如果散射质点的质量 2m 远大于被散射质点的质量 1m ，则 1χ θ≈ ， 1m m≈ ,故


86

2

11 4

1 14 sin ( / 2)dd

Eοα

σθ

=

（19.5）

其中2

1 1 / 2E mυ∞= 是入射质点的能量．

如果两个质点的质量相等（ 1 2m m= ， 1

2mm = ），则根据（17.9）， 12χ θ= ，代入

（19.2）得 2 2

1 11 1 13 4

1 1 1 1

cos cos2sin sin

d d dE E

θ θα ασ π θ ο

θ θ

= =

（19.6）

如果两个质点不仅质量相等,而且是完全相同的质点，则散射后区分原来运动质点和原

来静止质点就没有意义了．将 1dσ 和 2dσ 相加，并将 1θ 和 2θ 统一写成θ ，可得对所有质点

都相同的等效截面： 2

4 41

1 1 cossin cos

d dEα

σ θ οθ θ

= +

(19.7)

我们重新回到一般公式(19.2)，并利用它确定散射质点按其损失能量的分布．对于任意

散射质点质量( 2m )和被散射质点质量( 1m )，散射质点所获得的速度在质心参考系中用散射

角表示为

' 12

1 2

2 sin2

mm m

χυ υ∞=

+

(参见(17.5))．相应地，这个质点获得的能量就是质点 1m 损失的能量，等于

2 2

2 22 2

2

2 sin2 2

m mm

υ χε υ∞

′= =

由此将sin2χ用ε 表示并代入(19.2)，得

2

2 22

2 ddmα ε

σ πυ ε∞

= (19.8)

这个公式确定了等效截面对损失能量 ε 的依赖关系，损失能量的取值范围从零到2 2

max 22 /m mε υ∞= 。

习题

习题 1 试求在场 2/ ( 0)U rα α= > 中散射等效截面.

解: 偏转角


87

2 2

111 2 / ( )m v

χ πα ρ ∞

= − +

等效截面

( )

2

22 2

2sin2

dodmvπ α π χ

σχχ π χ∞

−=

−

习题 2 试求被半径为 a深度为 0U 的球形势能阱(即当 r a> 时 0U = ，当 r a< 时

0U U= − )散射的等效截面．

解：质点进入和离开势能阱时，其直线轨迹被“折射”．根据§7 习题，入射角α 和折

射角β (图 21)的关系为

n=βα

sinsin

, 202

1∞

+=mvU

n

偏转角 2( )χ α β= − ．所以有

sin( / 2) 1cos cot sin

sin 2 2 nα χ χ χ

αα

−= − =

从该方程中消去α ，由图显然有

ρα =sina

可得 ρ 和 χ 的关系如下：

2 2

2 2

2

sin2

1 2 cos2

na

n n

χ

ρχ

=

+ −

最后，对这个等式求微分可得等效截面批注 [x133]: 有效


88

2 2

22

cos 1 cos2 2

24cos 1 cos2 2

n na nd do

nn

χ χ

σχ χ

− − = + −

角 χ取值范围从零(当 0ρ = 时)到下式确定的 maxχ (当 aρ = 时)

max 1cos2 n

χ =

在锥 maxχ χ< 内全部角度对σ 积分可得全等效截面,显然,就等于几何截面 2aπ .

习题详细推导过程:

习题 1

将 U= 2rα代入(18.4),有

min

2

0 2

2 2 2

/21r

dr r

r mv r

ρϕ

ρ α

∞

∞

=

− −∫

令 u=r1，则有

max

02

0 max2 22u 2 2

2 22 2

2arcsin221

du um v

u m vm v

ρ ρ αϕ ρ

ραα ρρ ρρ∞

∞∞

= − = + +− +

∫

注意到 maxu 是 2 22 2

21 0um v

αρ

ρ ∞

− + =

的最大根,即

2max 2 2

21/ ,um v

αρ

ρ ∞

= +

代入前面的表示式,可得

0 2 22 1 2 / ( )m vπ

ϕα ρ ∞

=+

又已知 02ϕπχ −= ,所以

2 2

111 2 / ( )m v

χ πα ρ ∞

= − +

解得


89

( )( )

22

2

22mv

α π χρ

χ π χ∞

−=

−

上式两边对 χ求导数后代入卢瑟福公式 ( )d dosin

dd

ρ ρσ χ

χ χ= ,可求出散射截面为

( )

2

22 2

2sin2

dodmvπ α π χ

σχχ π χ∞

−=

−

习题 2:

由于在 r a> 的区域内有

0dF Udr

= − =

在 r a< 的区域内,

0 0d dF U Udr dr

= − = − =

只有在穿越 r a= 处时势能有变化,

0( 0) 0d dF U Udr dr

= − = − − ≠

因此在 r a> 和 0<r a< 区域内散射质点将做匀速直线运动，在 r a= 处,质点受到沿势能梯

度方向的有心力，即力 F的方向指向球心。

根据在有心力场中运动的质点,其对力心的角动量守恒,机械能也守恒,即

dvv =∞ρ

2 20

1 12 2

mv mv U E∞ = − =

其中 d是势阱内质点与力心的距离.于是可得

20

0 02

2

1 2 2sin 2 11sin2

mv UE U Uvnd v E mvmv

α ρβ

∞

∞ ∞∞

++= = = = = = +

由图 21,通过几何关系可知：

2( )χ α β= −

即

χαβ21

−=

代入前面的表示式,有

sinsin

βα α

χα

sin

)21sin( −

=α

αχαχ

sin

cos21sinsin

21cos −

=


90

αχχ cot21sin

21cos −= 1

n=

得到

1 1cos2cot 1sin

2

nχ

αχ

−=

22

2

1sin1 1 2sin1 cot 1 21 1 1 1 cos1 cos / sin 22 2 n nn

χα

α χχ χ

= = =+ + −+ −

由几何关系, sina α ρ= ,则利用上式,有：

2 2 2sinaρ α=

2 2

2 2 2

22

1 1sin sin2 2

1 21 cos 1 2n cos2 2

a n an

n n

χ χ

χ χ= =

+ − + −

两边取微分

2 2

22

sin cos cos 12 2 2

21 2 cos

2

n nn ad d

n n

χ χ χ

ρ ρ χχ

− − = + −

代入卢瑟福散射截面公式

( )d dosin

dd

ρ ρσ χ

χ χ=

可得

2 2

22

cos cos 12 2d d

4cos 1 2 cos2 2

n nn a o

n n

χ χ

σχ χ

− − =

+ −

.

当 aρ = 时,散射角χ 达到最大值 maxχ .通过几何关系或者前面 ρ与χ的关系可求得

max 1cos2 n

χ =

§20 小角度散射

如果所研究散射的瞄准距离很大，场 U 很弱使得偏转角很小，则等效截面的计算非常批注 [x136]: 因而

批注 [x137]: 有效


91

简单。这时可以直接在实验室参考系中计算，不必引入质心参考系⑪。

我们取 x轴沿着散射质点（质量为 1m ）初始动量的方向，而 xy平面为散射平面。用 1p′

表示散射后质点的动量，显然有

11

1

sin ypp

θ′

=′

对于小偏角转角，可以近似地用 θ1代替 sinθ1，在分母中将 1p′代以初始动量 1 1p m v∞= ：

1 1 1/ ( )yp m vθ ∞′≈ (20.1)

由于 y yp F=& ，故 y轴方向动量增量为

1y yp F dt∞

−∞′ = ∫ (20.2)

这时，力⑫

yU dU r dU yFy dr y dr r

∂ ∂= − = − = −

∂ ∂

因为积分（20.2）已经包含小量 U，所以计算中可以近似地认为，质点没有偏离初始路

径，即质点等速（速度为v∞）直线（沿着直线 y ρ= ）运动。相应地，在（20.2）中假设

ydUFdr r

ρ= − ，

dxdtv∞

=

可得

1ydU dxp

v dr rρ ∞

−∞∞

′ = − ∫

我们将对 x的积分变换为对 r的积分。由于对直线轨迹有 2 2 2r x y= + ,故当 x从-∞变

到+∞时，r从∞变到 ρ再变回到∞。所以对 x的积分变为两倍的对 r从ρ到∞的积分，并且 dx变为：

2 2

rdrdxr ρ

=−

.

最后得散射角（20.1）的表达式如下⑬：

⑪ [补充说明] 因为场U很弱，则散射和被散射质点的运动状态变化很小，质心运动速度很小,因此可以直接

在实验室参考系中计算. ⑫[过程补充]因为近似认为散射质点(即靶)是不动的，则 r是以散射质点为坐标原点时被散射质点距原点的

距离,即 2 2r x y= + ,则有

2 2

r y yy rx y

∂= =

∂ +.


92

1 2 2 201

2 dU rdrm v dr r

ρθ

ρ

∞

∞

= −−

∫ （20.3）

此式给定小偏转角情况下 θ1对ρ的依赖关系。散射等效截面（在实验室参考系中）的公式

类似于（18.8）（用 1θ 代替χ）, 并且将 1sinθ 代以 1θ ：

11

1 1

( ) odd dd

ρ θρσ

θ θ= （20.4）

习题

习题 1 试从公式（18.4）推导公式（20.3）。解：为了避免下面推导中出现伪发散积分，将公式（18.4）写成下面形式：

min

2

0 2 2

21R

r

U drr mv

ϕ∞

∂ ρ= − − −

∂ρ ∫

这里我们将很大的有限量R作为积分上限，是想以后令R → ∞。由于U 很小，我们将根号

按照U 的幂次展开,用 ρ近似代替 minr :

0 2 2 2 2 2 2

( )1 / 1 /

R dr U r drr r mv r

ϕ∞

ρρ ∞

ρ ∂= +

∂ρ− ρ − ρ∫ ∫

取极限R → ∞后，第一项积分等于12

π .对第二个积分进行变换，可得表达式：

2 2

0 2 2 2 2

22 r dU dU drdrmv dr mv dr r

π ϕ∞ ∞

∞ ∞ρ ρ

− ρ∂ ρχ = − 2 = = −

∂ρ − ρ∫ ∫

习题 2 求在 ( 0)nU nrα

= > 场内小角度散射的等效截面。

解：根据（20.3）有:

1 2 1 2 21

2n

n drm v r r

θ∞

+∞ ρ

ρα=

− ρ∫

令2 2/ r uρ = ,代入积分后得 B—欧拉积分，可由Γ函数表示为：

⑬ 如果在质心参考系中推导,则我们会得到对于χ 的同样表达式,但要将 1m 代以m .这是因为,根据(17.4),小

角度 1θ 和 χ 应满足关系:

21

1 2

mm m

χθ =

+


93

1 21

12 2.

12

n

n

m v n

πθ

∞

+ Γ α =ρ Γ

由此用 1θ 表示ρ并代入（20.4）得

2/

2(1+1/ )1 12

1

121 2 . o

12

n

n

n

d dn m vn

πθ −

∞

+ Γ α σ = Γ

习题详细推导过程习题 1

因为U 很小，我们将根号2

2 2

21 Ur mv∞

ρ− − 按照U 的幂展开,有

2 2

2 2 2 2 2 22 ( )1 1 1

(1 / )U U r

r mv r mv r∞ ∞

ρ ρ− − = − − + … − ρ

则有

min

2

2 2 2 20( )1 1

(1 / )R

rdrU r

r mv rϕ

∞

ρ− − +

∂= − … − ρ ∂ρ ∫

用ρ近似代替 minr 并仅保留到 U的一阶项,有

0 2 2 2 2 2 2

( )1 / 1 /

R dr U r drr r mv r

ϕ∞

ρρ ∞

ρ ∂≈ +

∂ρ− ρ − ρ∫ ∫

取极限R → ∞后，在上式的第一项作代换rρ

ξ = ,则有

0 0

12 2 2 21arcsin

21 / 1dr d

r rρ

ξ πξ

ξ

∞ ρ= − = − =

− ρ −∫ ∫

对第二个积分分部积分，有

2 2

2 22 22 2 2

( ) ( ) ( )1 /

rU r dr U r dU rr drmv mv drmv r ρ

∞∞ ∞

∞ ∞ρ ρ∞

− ρ= − ρ −

− ρ∫ ∫

考虑到 ( ) 0U ∞ = ,则上式第一项等于零. 综合上面的处理过程,可得关于散射角的下列表

达式：

2 2

0 2 2 2 2

22 r dU dU drdrmv dr mv dr r

π ϕ∞ ∞

∞ ∞ρ ρ

− ρ∂ ρχ = − 2 = = −

∂ρ − ρ∫ ∫


94

习题 2 解：将势能表示式代入（20.3）,有:

1 2 1 2 21

2n

n drm v r r

θ∞

+∞ ρ

ρα=

− ρ∫

作代换2 2/ r uρ = ,则有

1( 1)/2 1/2

1 21 0

(1 )nn

n u u dum v

θ − −

∞

α= −

ρ ∫

由 B函数的定义式

1 1 1

0( , ) (1 ) ( 0, 0)m nB m n x x dx m n− −= − > >∫

则有

1 21

(( 1) / 2,1/ 2)n

n B nm v

θ∞

α= +

ρ

再利用 B函数与Γ函数的关系( ) ( )( , )( )m nB m nm n

Γ Γ=

Γ +,其中Γ函数定义为

1

0( ) xx e dxαα

∞ − −Γ = ∫ ,

且 (1/ 2) πΓ = , ( / 2 1) ( / 2) ( / 2)n n nΓ + = Γ ,则有

( )( )1 2

1

( 1) / 22 ./ 2n

nm v n

πθ

∞

Γ +α=

ρ Γ

由此用 1θ 表示ρ即：

( )( )

1/

21 1

( 1) / 22 ./ 2

nn

m v nπθ∞

Γ +αρ = Γ

再代入公式（20.4），我们求得：

( )( )

2/

2(1+1/ )1 12

1

2 ( 1) / 21 . o/ 2

n

nnd d

n n m vπ

θ −

∞

Γ + ασ =

Γ

第五章微振动

95

第五章微振动

§21 一维自由振动

在稳定平衡位置附近运动是力学系统的一种非常普遍的运动类型，称为微振动。我们从

最简单的情况开始研究这种运动，即系统只有一个自由度。

稳定平衡位置是指势能取最小值的位置，偏离该位置会导致产生力 /dU dq− ，从而使

系统返回平衡位置。我们用 0q 表示其相应的广义坐标值。在偏离平衡位置很小的情况下，

在 0( ) ( )U q U q− 按 0q q− 展开的表达式中保留非零项就足够了，一般情况下这是二阶项

20 0( ) ( ) ( ) ,

2kU q U q q q− ≅ −

其中 k是正数（是二阶导数 ( )U q″ 在 0q q= 处的值）。今后我们从势能的最小值开始计算势

能（即假设 0( ) 0U q = ），并引入记号

0x q q= − （21.1）

表示偏离平衡位置的坐标。于是有

2

( )2

kxU x = . （21.2）

单自由度系统的动能一般可以写成

2 21 1( ) ( )2 2

a q q a q x=& & .

在同样的近似下函数 ( )a q 可以用它在 0q q= 处的值代替。引入记号①

0( )a q m= ，

最后得到一维振动系统②的拉格朗日函数表达式如下：

2 2

2 2mx kxL = −

&. （21.3）

相应的运动方程为

0,mx kx+ =&& （21.4）

或者

①需要强调的是，只有当 x是笛卡尔坐标时m才是质量。 ②这样的系统常称为一维振子。

第五章微振动

96

2 0,x xω+ =&& （21.5）

这里引入记号

km

ω = （21.6）

线性微分方程（21.5）的两个线性无关的解为： cos tω 和sin tω，因此方程的通解为

1 2cos sinx c t c tω ω= + （21.7）

这个表达式可以写成

cos( )x a tω= + α （21.8）

因为cos( ) cos cos sin sint t tω ω ω+ α = α − α，比较（21.7）可以得到任意常数 a和α与常

数 1c 和 2c 有下列关系：

2 2 21 2

1

tan ca c cc

= + α = −， . （21.9）

于是，系统在稳定平衡位置附近的运动是简谐振动。（21.8）中周期因子前面的系数a称为振幅，而余弦复角称为振动的相位，α是相位的初始值，显然依赖于初始时间的选择。物

理量ω称为振动的循环频率，或者简称频率，今后我们就用这个简称.

频率是振动的基本特征量，不依赖于运动初始条件。根据公式（21.6），它完全由力学

系统本身的性质决定。但是应该指出，这个特点与小振幅振动假设相关，对于大幅振动不成

立。从数学角度看，它与势能是坐标的二次函数有关③。微振动系统的能量为

2 22 2 2( )

2 2 2mx kx mE x xω= + = +

& & ，

或者，将（21.8）代入此式

2 212

E m aω= . （21.10）

这与振幅平方成正比。振动系统坐标对时间的依赖关系经常写成复数表达式的实部形式：

Re i tx Ae ω= ，（21.11）

其中 A是复常数，写成下面形式：

iA ae α= ，（21.12）

则我们又回到式(21,8)了。常数 A称为复振幅，它的模就是通常的振幅，而辐角就是初始相

③因此，如果函数U（x）在 x=0处取数量级更高的极小值，即 , 2nU x n∝ > (参见§11节的习题 2a)，则没有这个性质。

第五章微振动

97

位。

在数学上，指数函数运算比三角函数运算简单，因为指数函数微分并不改变形式。当我

们进行线性运算时（相加、数乘、微分和积分），一般可以不写出取实部的记号，只需对最

后的计算结果取实部。

习题

习题 1 试用坐标和速度的初始值 0x 和 0v 表示振幅和初始相位。

答:

2

2 0 00 2

0

, tanv va xx

αω ω

= + = −

习题 2 试求由不同同位素原子组成的双原子分子的振动频率ω ω′和之间的关系，假设

原子的质量分别等于 1, 2m m 和 1 2,m m′ ′。

解：因为同位素原子的相互作用形式相同，故 k k′= .在分子动能中起系数m作用的是折合质量.根据(21.6)有

1 2 1 2

1 2 1 2

( )( )

m m m mm m m m

ωω

′ ′′ +=

′ ′ +

习题 3 设质量为m的质点沿着直线运动,弹簧一端连在质点上,

另一端固定于 A点(图 22). A点到直线的距离为 l ,弹簧长度为 l时受力为F ,试求振动的频率. 解：弹簧势能等于力 F 乘以弹簧伸长量 lδ (精确到更高级小

量)。当 x l<< 时，有

22 2

2xl l x ll

δ = + − ≈ ，

因此, 2 / (2 )U Fx l= .因为动能为 2 / 2mx& ，故

Fml

ω =

习题 4 同上题，质点为m的质点沿着半径为 r的圆周运动(图

23)。

解：在这种情况下,弹簧伸长量为(在 1ϕ = 时)

2 2 2( )( ) 2 ( ) cos .2

r r ll l r r r l r ll

δ ϕ ϕ+

= + + − + − ≈

动能为2 21 .

2T mr ϕ= & 由此得频率

第五章微振动

98

( )F r lrlm

ω+

=

习题 5 试求图 2的单摆的频率，悬挂点（质量为 1m ）可沿着水平方向运动。

解：当 1ϕ = 时,由§14所得公式有

221 2

1 22( )m m lTm m

ϕ=+

& ,2

212

U m glϕ=

由此得

1 2

1

( )g m mm l

ω+

=

习题 6 设质点沿着某曲线（在重力场中）振动的频率不依赖于振幅，试求该曲线的现状。

解：如果质点沿着曲线的势能为21 ,

2U ks= 其中 s为从平衡位置算起的弧长,则该曲线

能满足要求。这时动能 212

T ms= & (m为质点的质量)，振动频率为km

ω = ，不依赖 s的初

始值。

在重力场中，U mgy= ，其中 y是纵坐标。所以有 212

ks mgy= 或者

2

2

2y s

gω

=

另一方面， 2 2 2ds dx dy= + ,由此得

2

21 12

ds gx dy dydy yω

= − = −

∫ ∫

做代换

(1 cos )24gy ξω

= −

后,很容易积分得

( sin )24gx ξ ξω

= +

这两个等式给出了所求曲线的参数方程,这是一条螺旋线.


习题 1 解：对于简谐振动,其运动方程为

cos( )x a tω α= + ，

第五章微振动

99

对其求时间的导数,可得

sin( )v x a tω ω α= = − +&

代入初始条件 0t = 时 0 0,x x x v= =& ,有

0 cosx a α= 和 0 sinv aω α= −

由此可解得

22 0

0 2

0

0

tan

va x

vx

ω

αω

= +

= −

习题 2 解：设两个分子中的原子之间以相同的方式相互作用,即势能函数U 具有相同的形式,

于是势能函数对坐标的二阶导数相等，即 k k′= 。这样在经典力学的处理中, 对于同位素原

子组成的分子,原子之间的相互作用可等效为弹性力,即将双原子分子视为用弹性系数为 k

的轻弹簧联结两个原子构成的系统.

双原子分子是一个两体系统,这里感兴趣的是它们之间的相对运动. 在上述条件下,现

在相对运动是微振动，其振动为频率为

km

ω = ,

其中m是系统的约化质量，即 1 2

1 2

m mmm m

=+

,故有

1 2

1 2

( )k m mm m

ω+

=

该表示式对两个分子均适用,只要用各自原子的质量代入即可.由此可得

1 2 1 2

1 2 1 2

( )( )

m m m mm m m m

ωω

′ ′′ +=

′ ′ +

习题 3 解：当弹簧长度等于 l时质点受到力F 的作用,表明当 0x = 时,即质点处于平衡位置时,

弹簧有伸长或压缩.但是考虑到在讨论微振动时要求平衡位置是稳定的,则 0x = 的位置处

弹簧是伸长的.注意,如果在 0x = 处弹簧是压缩的,则存在另外的稳定平衡点 0x ,这里不作

讨论.

设在 0x = 处弹簧的伸长为 0ξ ,即有

0F kξ= .

当质点位于 x时,弹簧的长度为2 2l x+ ,伸长则为

第五章微振动

100

2 20( )l l x lδ ξ= + − − .

弹簧的弹性势能为

( )22 2 2

01 1 ( )2 2

U k l k l x lδ ξ = = + − −

当 x l<< 时，精确到最低阶小量,有

2

2 20 0( )

2xl l x ll

δ ξ ξ= + − − ≈ +

222 2 2

0 0 0

22

0

1 1 1( )2 2 212 2

xU k l x l k kl

Fxkl

ξ ξ ξ

ξ

= + − − ≈ +

= +

其中的2

012

kξ 是常数,即平衡位置的势能,可以不予考虑.

注意,如果 0 0ξ = ,即在 0x = 处弹簧没有伸长和压缩,则 0F = .此时,按照上面相同的

方法处理可知,势能函数第一个不为零的项是正比于4x 的项,相应的微振动将不是简谐振

动.

又质点的动能为动能为

2 / 2T mx= & .

故在微振动近似下,系统的拉格朗日函数为

2

2 / 22

FxL T U mxl

= − = −&

由此可得微振动的频率为

Fml

ω =

习题 4

解：与上题相同的分析,设在 0ϕ = 处弹簧的伸长为伸长为 0ξ ,即有

0F kξ= .

当质点在圆上相对于平衡位置转过的角度为ϕ，则弹簧的伸长量为

2 20

20

20

( ) 2 ( )cos ( )

2 ( )1 ( )

( ) .2

l l r r r l r l

r l rl ll

r r ll

δ ϕ ξ

ϕ ξ

ϕ ξ

= + + − + − −

+≈ + − −

+≈ +

.

第五章微振动

101

弹簧的弹性势能为

( )2 2 20 0

2 20

1 1 1 ( )2 2 21 ( )2 2

r r lU k l k kl

Fr r lkl

δ ξ ξ ϕ

ξ ϕ

+= ≈ +

+= +

其中的2

012

kξ 是平衡位置的势能,为常数,可以忽略.质点的动能为

2 21 .2

T mr ϕ= &

系统的拉格朗日函数为

2 2 21 ( )2 2

Fr r lL T U mrl

ϕ ϕ+

= − = −&

由此可得微振动的频率为

( )F r lrlm

ω+

=

习题 5

解：设质点 1m 的坐标为 x，绳与竖直方向夹角为ϕ ，则系统的动能为

2 2 2 2 2 21 2 1 2

1 1 1 1( 2 cos ) ( )2 2 2 2

T m x m x l xl m x m x lϕ ϕ ϕ ϕ= + + + ≈ + +& & && & & & &

系统势能为

22 2

1(1 cos )2

U m gl m glϕ ϕ= − ≈

拉格朗日函数为 L T U= − ,代入拉格朗日方程可得

1 2 2( ) 0

0

m m x m lx l g

ϕ

ϕ ϕ

+ + =

+ + =

&&&&&&&&

消去 x , 得

1 2

1

( ) 0m m gm l

ϕ ϕ+

+ =&&

这是微振动的方程,故小振动频率为

第五章微振动

102

1 2

1

( )g m mm l

ω+

=

习题 6 解：以从平衡位置算起的弧长 s为广义坐标, 则质点的动能为

212

T ms= &

其中m为质点的质量.如果质点沿着曲线运动时,势能具有形式21 ,

2U ks= 这里k是常数,不

与振幅有关,则在该情况下,前面的讨论表明相应的运动是振动频率为 /k mω = 的简谐振

动，该频率与振动的振幅无关,也不会与 s的初值有关。这样的曲线就能满足题中的要求。

但是,在重力场中，势函数具有形式

U mgy= ，

其中 y是纵坐标,同时假定 0y = 所在水平面是零势能面。联立上面势能的两个表示式,有

212

mgy ks=

亦即

2

2

2y s

gω

=

因为2 2ds dx dy= + ,则有

2

21 12

ds gx dy dydy yω

= − = −

∫ ∫

对上式作代换

22

(1 cos ) sin2 24 2g gy ξξω ω

= − = ,

则有

( )22 2 21 cos d 1+ cos d

2 2 2 4g g gx dy

yξ

ξ ξ ξω ω ω

= − = = ∫ ∫ ∫

积分后可得

( sin )24gx ξ ξω

= +

其中略去了无关紧要的积分常数.综合起来,所要求的曲线的参数方程为

( sin )24(1 cos )24

gx

gy

ξ ξω

ξω

= +

= −

该参数方程表示摆线.

第五章微振动

103

§22 强迫振动

现在我们研究可变外力场作用下系统的振动，这种振动称为强迫振动，以区别于前一节

研究的自由振动．因为前面假设振动很小，当然也要假设外力场足够弱，否则它会引起过大

的位移 x．

这种情况下，除了固有势能 2(1/ 2)kx 以外，还有与外力场作用相关的势能 ( , )eU x t ．将

这个附加势能按小量 x展开，得

0

( , ) (0, ) ee e

x

UU x t U t xx =

∂≈ +

∂.

第一项只是时间的函数，可以从拉格朗日函数中略去(作为另一个函数对时间的全导数)．第

二项中 /eU x−∂ ∂ 是外力，作用于处在平衡位置的系统上，是时间的给定函数，用 ( )F t 表

示．于是势能中出现了 ( )xF t− 项，所以系统的拉格朗日函数为

2 2

( ).2 2

mx kxL xF t= − +&

(22.1)


( ),mx kx F t+ =&&

或者

2 1 ( ),x x F tm

ω+ =&& (22.2)

这里我们再次引入了自由振动频率ω．

众所周知，非齐次常系数线性微分方程的通解为两项之和： 0 1x x x= + ，其中 0x 是齐

次方程的通解， 1x 是非齐次方程的特解．在这种情况下， 0x 就是前一节研究的自由振动．

我们来看一种特别有意义的情况，强迫力是简单的频率为γ的时间周期函数，即

( ) cos( )F t f tγ β= + (22.3)

方程(22.2)的特解形式为 1 cos( )x b tγ β= + ，它具有与强迫力同样的周期．代入方程可得：

2 2/ [ ( )]b f m ω γ= − ，加上齐次方程的解，有通解

2 2cos( ) cos( ).( )

fx a t tm

ω α γ βω γ

= + + +−

(22.4)

任意积分常数 a和α由初始条件确定．于是，在周期性强迫力作用下，系统的运动是两项振动之和, 两个振动的频率分别为ω和γ．

第五章微振动

104

解(22.4)不适用于所谓的共振情况，即强迫力频率与固有频率重合．为了求这种情况下方程的通解，将(22.4)写成如下形式，其中常数表示的含义有所改变：

2 2cos( ) [cos( ) cos( )],( )

fx a t t tm

ω α γ β ω βω γ

= + + + − +−

当γ ω→ 时，第二项变为 0/0的不确定形式．按照洛必达法则可得

cos( ) sin( ).2

fx a t t tm

ω α ω βω

= + + + (22.5)

于是，在共振情况下，振幅随时间线性增大(直到不再是小量，上述所有理论都不适用为止)．我们再来研究共振附近的微振动，即γ ω ε= + ，其中 ε是小量．我们将通解写成复数形式

( ) ( ) .i t i t i t i tx Ae Be A Be eω ω ε ε ω+= + = + (22.6)

因为 i tA Be ε+ 在乘子 i te ω 的周期 2 /π ω内变化很小，所以共振附近的运动可以看作是微振

动，但振幅是变化的④．用 C表示振幅，有

| | .i tC A Be ε= +

将 A和 B表示为 iae α和

ibe β，可得⑤

2 2 2 2 cos( ).C a b ab tε β α= + + + − (22.7)

于是，振幅以频率 ε周期变化，其变化范围是

| | .a b C a b− ≤ ≤ +

这种现象称为拍.

对任意强迫力 ( )F t ，方程(22.2)可积．这很容易做到，只要将方程预先写成

1( ) ( ) ( )d x i x i x i x F tdt m

ω ω ω+ − + =& &

或者

1 ( ),d i F t

dt mξ

ωξ− = (22.8)

这里引入了复变量 ④ 振动相位中的“常数”项也要变化. ⑤ [过程补充]

[ ]

2 2

2 2

2 2

[ cos cos( )] [ sin sin( )]

[ cos cos( )] [ sin sin( )]

2 cos cos( ) sin sin( )

2 cos( ).

i t i i i tC A Be ae be e

a b t i a b t

a b t a b t

a b ab t t

a b ab t

ε α β ε

α ε β α ε β

α ε β α ε β

α ε β α ε β

ε β α

= + = +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + −

批注 [x36]: 强迫力的频率γ与固有频率ω相等的情况

批注 [x37]: 删去

批注 [x38]: 其中常数a现在有不同的值. 当

批注 [x39]: 振动的振幅

批注 [x40]: 微振动

批注 [x41]: 的性质,

批注 [x42]: 因子

批注 [x43]: 分别表示

批注 [x44]: 可以在一般形式

下对方程(22.2)积分求解

批注 [x45]: 重写为

第五章微振动

105

.x i xξ ω= +& (22.9)

方程(22.8)不是二阶，而是一阶．如果没有右边部分，它的解是 i tAe ωξ = ，其中 A是常数．我

们寻找非齐次方程形式为 ( ) i tA t e ωξ = 的解，对于函数 A(t)可得方程

1( ) ( ) .i tA t F t em

ω−=&

积分后，可得方程(22.8)的解

00

1 ( ) ,ti t i te F t e dtm

ω ωξ ξ− − = + ∫ (22.10)

其中选择积分常数 0ξ 使得 0t = 时ξ的值为零．这就是需要寻找的通解，函数 ( )x t 由(22.10)

的虚部给出(除以ω)．⑥ 强迫振动系统的能量显然是不守恒的，系统靠外力获得能量．假设初始能量为零，我们

来求在外力作用时间内(从 −∞到+∞ )系统获得的能量．根据公式(22.10)(积分下限用−∞代

替零，并且 ( ) 0ξ −∞ = )，在 t → ∞情况下有

22

2

1| ( ) | ( ) .i tF t e dtm

ωξ+∞ −

−∞∞ = ∫

另一方面，系统的能量表达式为

2 2 2( ) | | .2 2m mE x xω ξ= + =& (22.11〕

将2| ( ) |ξ ∞ 代入此式,可得所要求的能量

21 ( ) .

2mi tE F t e dtω+∞ −

−∞= ∫ (22.12〕

这取决于力 ( )F t 的傅里叶分量模的平方，该力的频率等于系统特征频率．

特别地，如果外力作用时间很短(与1/ ω 相比很小)，则可以令 1i te ω− ≈ .于是有

( )21 ( ) .2m

E F t dt+∞

−∞= ∫

这个结果是显然的，它表明短时间的力给系统提供冲量 Fdt∫ ，但来不及使系统产生显著的

位移. 习题

⑥ 当然，这时力 ( )F t 应该写成实数形式.

批注 [x46]: 一阶微分方程

批注 [x47]: 如同前面一样,我

批注 [x48]: 等号右边的第一

个因子应为: i te ω

批注 [x49]: 积分常数 0ξ 是

0t = 时ξ的值

注:在(22.10)中令 0t = ,ξ

的值是不为零的.

批注 [x50]: 虚部除以ω给出

批注 [x51]: 系统做强迫振动

时能量显然是不守恒的,因为

批注 [x52]: 第一个等号右边

的第一项有误

2 2 2 2( ) | | .2 2m mE x xω ξ= + =&

批注 [x53]: 其值由力 ( )F t

的傅里叶分量模的平方所决

定

批注 [x54]: 的固有频率

批注 [x55]: 的时间与1/ ω相比很短

第五章微振动

106

习题 1 如果初始时刻 0t = 系统静止在平衡位置( 0x x= =& )，试求系统在外力 ( )F t 作

用下的强迫振动．

a) 0const .F F= =

答： 02 (1 cos )Fx t

mω

ω= − ,常力作用结果是使振动系统平衡位置产生位移.

b) F at= ．

答： 3 ( sin ).ax t tm

ω ωω

= −

c) 0 .tF F α−=

答： 02 2 cos sin .

( )tFx e t t

mα α

ω ωω α ω

− = − + +

d) 0 cos .tF F e tα β−=

答：

2 2 202 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( )cos[( ) 4 ]

( )sin [( )cos 2 sin ].t

Fx tm

t e t tα

ω α β ωω α β α β

αω α β ω ω α β β αβ β

ω−

= − + −+ − +

+ + + + + − −

(在求解过程中将力写成复数形式( )

0t i tF F e α β− += 比较方便)．

习题 2 设 0t = 时系统静止在平衡位置，力 F 的变化规律为：当 0t < 时 0F = ，当

0 t T< < 时 0 /F F t T= ，当 t T> 时 0F F= (图 24)．试求在该力作用后系统振动的最后振

幅.

解: 在时间间隔0 t T< < 内满足初始条件的振动为

03 ( sin ).Fx t t

mTω ω

ω= −

当 t T> 时我们求下面形式的解：

01 2 2cos[ ( )] sin[ ( )] .Fx c t T c t T

mω ω

ω= − + − +

由 x和 x&在 t T= 处连续的条件，可求出

0 01 23 3sin , (1 cos ).F Fc T c T

mT mTω ω

ω ω= − = −

这样得振幅

2 2 01 2 3 sin .

2F Ta c c

mTω

ω= + =

可见，力 0F 加入越晚(即T越大)，这个振幅越小．

习题 3 同上题，力 0F 是常数，只在有限时间间隔 T内作用(图 25)．

图 24

批注 [x56]: 0 .tF F e α−=

批注 [x57]:

03

2 sin .2

F TmT

ωω

=

批注 [x58]: 施加力 0F 越缓慢

批注 [x59]: 习题 2

第五章微振动

107

图 25

图 26

解：可以像习题 2 那样求解，但利用公式(22.10)更简单．当 t T> 时系统在平衡位置

0x = 处自由振动，有

0 00

(1 ) .Ti t i t i t i tF Fe e dt e e

m i mω ω ω ωξ

ω− −= = −∫

根据公式2 2 2| | aξ ω= ,由ξ模的平方给出振幅．于是求

得

02

2 sin .2

F Tam

ωω

=

习题 4 同上题，但力在从零到 T 时间间隔内按规律

0 /F F t T= 作用(图 26)

解：用同样方法可求得

2 203 2 sin 2(1 cos ).Fa T T T T

Tmω ω ω ω

ω= − + −

习题 5 同上题，但力在从零到 2 /T π ω= 时间间隔内按规律 0 sinF F tω= 作用(图

27)．

解：将

00( ) sin ( )

2i t i tFF t F t e e

iω ωω −= = −

代入公式(22.10)并从零到 T积分，可得

02 .Fa

mπ

ω=

习题详细推导过程: 习题 1 由公式（22.1），系统的拉格朗日函数为

2 2

( )2 2

mx kxL xF t= − +&

则相应的运动方程

2 1 ( )x x F tm

ω+ =&&

a）当 0F F= 时,上述方程的非齐次项是常数,特解也为常数,即特解为

02

Fxmω

=

于是方程的通解为

02cos( ) Fx a t

mω α

ω= + + ,

其中 ,a α为积分常数.由初始条件 0x x= =& 可得

图 27

批注 [x60]: 关系

批注 [x61]: ξ 的模的

批注 [x62]: 习题 2

批注 [x63]: 习题 2

第五章微振动

108

020 cos , 0 sinFa a

mα ω α

ω= + = −

因为a为振幅,必为正数,则由上两式可解得

02 ,Fa

mα π

ω= =

代入到前面的表示式中,可得

02 (1 cos )Fx t

mω

ω= − .

这是围绕平衡位置 02

Fxmω

= 的振动.相对于 0 0F = 时的平衡位置,常力作用的结果使平衡位

置产生了位移。实际上,如果令 02

Fxm

ξω

= − ,则有运动方程变为

2 0ξ ω ξ+ =&&

这也可以看出平衡位置为 0,ξ = 即 02

Fxmω

= .

b）当F at= 时, 非齐次项是变量的线性函数,故特解具有形式

x At=

代入方程中,有

2aA

mω=

所以方程的通解为

2cos( ) ax b t tm

ω αω

= + + ,

其中 ,b α 为积分常数.由初始条件 0x x= =& 可得

20 cos , 0 sin ab bm

α ω αω

= = − +

考虑b为振幅,则由上两式可解得

3 ,2

abm

πα

ω= =

代入到前面的表示式中,可得

3 ( sin )ax t tm

ω ωω

= − 。

c）当 0tF F e α−= 时,非齐次项是变量 t的指数函数.根据指数函数对变量求导的性质,特

解应具有形式

tx Ae α−=

代入方程中,有

2 2 0FA Am

α ω+ =

即

第五章微振动

109

02 2( )FA

m α ω=

+

于是,方程的通解为

02 2cos sin

( )tFx B t C t e

mαω ω

α ω−= + +

+,

其中 ,B C为积分常数.由初始条件 0x x= =& 可得

0 02 2 2 20 , 0 C

( ) ( )F FB

m mα

ωα ω α ω

= + = −+ +

由上两式可解得

0 02 2 2 2, C=

( ) ( )F FB

m mα

α ω ω α ω= −

+ +

故有

02 2 cos sin

( )tFx e t t

mα α

ω ωω α ω

− = − + + 。

d）当 0 costF F e tα β−= 时,为方便计算,将其写为指数形式

( i )0

tF F e α β− +=

这样得到结果后取其中的实部即可.在上述力作用下,方程的特解具有形式

( i )tAex α β− +=

代入方程中,有

2 2 0( i ) FA Am

α β ω− + + =

即

2 2 20 0

2 2 2 2 2 2 2 2

( 2 )( ) ( ) 4

F F iAm i m

α β ω αβα β ω α β ω α β

− + += =

− + + − + +

于是,特解为

2 2 20

2 2 2 2 2 2

2 2 202 2 2 2 2 2

2

( i )

2 2i

( 2 )( ) 4

( ) cos 2 sin( ) 4

( )sin 2 cos

t

t

F ixm

F t tm

e

e

t t

α β

α

α β ω αβα β ω α β

α β ω β αβ βα β ω α β

α β ω β αβ β

− +

−

− + +=

− + +

− + − − + +

=

− ++ +

取其中的实部,则有方程的通解为

第五章微振动

110

2 2 202 2 2 2 2 2

cos sin

( )cos 2 sin( ) 4

t

x B t C

e

tF t t

mα

ω ω

α β ω β αβ βα β ω α β

−

= +

+ − + − − + +

,

其中 ,B C为积分常数.由初始条件 0x x= =& 可得

2 2 2

02 2 2 2 2 2

( )0( ) 4

FBm

α β ωα β ω α β

− += +

− + + ,

2 2 2

02 2 2 2 2 2

( )0( ) 4

FCm

α α β ωω

α β ω α β+ +

= − − + +

由上两式可解得

2 2 2 2 2 20 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ), C=( ) 4 ( ) 4

F FBm m

α β ω α α β ωα β ω α β ω α β ω α β

− + + += −

− + + − + +

故有

2 2 202 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( )cos[( ) 4 ]

( )sin ( )cos 2 sint

Fx tm

t e t tα

ω α β ωω α β α β

αω α β ω ω α β β αβ β

ω−

= − + −+ − +

+ + + + + − −

习题 2

在时间间隔0 t T< < 内,力的形式与习题 1b)相同,只要作代换 0FaT

= .于是满足初始条

件 0x x= =& 的振动为

01 3 ( sin )Fx t t

mTω ω

ω= − 。

当 t T> 时,力具有习题 1a)的形式,则有下面形式的解：

02 1 2 2cos[ ( )] sin[ ( )] Fx c t T c t T

mω ω

ω= − + − +

由 x和 x&在 t T= 处连续的条件,

1 2 1 2,t T t T t T t T

x x x x= = = =

= =& &

即

0 013 2

022

( sin ) ,

(1 cos )

F FT T cmT m

F T cmT

ω ωω ω

ω ωω

− = +

− =

可解得

01 3 sinFc T

mTω

ω= − ， 0

2 3 (1 cos )Fc TmT

ωω

= − 。

注意到 ,对于形式为 1 2cos sinx c t c tω ω= + 的运动 ,它是简谐振动 .如果令

第五章微振动

111

1 2cos , sinc a c aα α= = − ,则有 cos( )x a tω α= + ,即 a为振幅, α 为初位相,且

2 2 21 2

1

, arctan ca c cc

α

= + = −

于是,对于现在的问题,在 T以后的振动振幅为

2 2 01 2 3

2 sin2

F Ta c cmT

ωω

= + = .

在上面的表示式中, sin2Tω是振荡因子,变化不大,而对振幅有大的影响的是振荡因子前面

的系数.可见，T 越大振幅越小.但是T 越大,表示力从零变到 0F 的时间越长,也即非常缓慢

地加大力的作用。

习题 3 方法一：在时间间隔0 t T< < 内,力的形式与习题 1a)相同,则满足初始条件 0x x= =&

的振动为

01 2 (1 cos )Fx t

mω

ω= − 。

当 t T> 时,是自由振动,有下面形式的解：

2 1 2cos[ ( )] sin[ ( )]x c t T c t Tω ω= − + −

由 x和 x&在 t T= 处连续的条件,

1 2 1 2,t T t T t T t T

x x x x= = = =

= =& &

即

0 01 22 (1 cos ) , sinF FT c T c

m mω ω ω

ω ω− = =

可解得

01 2 (1 cos )Fc T

mω

ω= − , 0

2 2 sinFc Tm

ωω

= 。

由此 T以后的振动振幅为

2 2 01 2 2

2 sin2

F Ta c cm

ωω

= + = 。

方法二：利用公式（22.10）。因为力仅在0 T→ 范围内作用,则有

0 00

(1 )Ti t i t i T i tF Fe e dt e e

m i mω ω ω ωξ

ω− −= = −∫ 。

根据(22.9)知,上式的虚部为所要求的解与ω的积,于是有关系2 2 2aξ ω= ，这里 a就是振

动的振幅.故有

2 20 02 2

21 (1 cos ) (sin ) sin2

F F Ta T Tm m

ωξ ω ω

ω ω ω= = − + =

习题 4 采用与习题 3方法二相同的方法。因为力仅在0 T→ 范围内作用,则利用公式（22.10）

有

第五章微振动

112

( )( )

[ ]

0 00 0

T0 02

02

1

1 1 (i 1) 1i

( sin cos 1) ( cos sin )

T Ti t i t i t i T i t

i t i T i i t i T

i t

F Fe te dt e Te e dtTm Tm i

F Fe Te e e T ei Tm TmF e T T T i T T TTm

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

ω

ξω

ωω ω ω

ω ω ω ω ω ωω

− − −

− − −

= = − − = − + − = + −

= + − + −

∫ ∫

根据关系2 2 2aξ ω= ，故有振幅为

2 20

3 2 sin 2(1 cos )Fa T T T TTm

ξω ω ω ω

ω ω= = − + −

习题 5

采用与习题 3 方法二相同的方法。将 00( ) sin ( )

2i t i tFF t F t e e

iω ωω −= = − 代入公式

（22.10）并积分，有

( )

00

20 0

( )2

1 12 2

Ti t i t i t i t

i t i T i t

F e e e e dtimF Fe T e eim i i m

ω ω ω ω

ω ω ω

ξ

πω ω

− −

−

= −

= + − =

∫

其中最后一个等号代入了 2 /T π ω= .于是,振幅为

02

Fam

πω

=

§23 多自由度系统振动

多自由度（s）系统振动理论类似于§21的一维振动。

设系统的势能 U是广义坐标 ( 1,2,3 , )iq i s= L 的函数，在 0i iq q= 处取极小值。引入小位

移：

0i i ix q q= − ， (23.1)

并按它展开 U，精确到二阶，可得势能为正定二次型：⑦

⑦ 对于(23.2)形式的势,对系统有下列要求：(i)主动力全是保守力，所以系统的势能仅与位置有关，即

( )iU U= r ; (ii)约束是定常的，坐标变换关系中可以不显含时间, 所以势能中仅含有广义坐标，没有广义速

度和时间, 即 1 2 3( , ,... , )U U q q q= .将势能 U对广义坐标 iq 在平衡位置附近进行 Taylor展开：

0 0

22

0 0 0,

1( ) ( ) ...2i i

i i ki i kq q

U UU U q q q qq q q

∂ ∂= + − + − + ∂ ∂ ∂

∑ ∑

其中，第二项0

( / ) 0i qU q∂ ∂ = ,因为平衡位置是势函数的极值点. 再取平衡点为势能零点，即 0 0U = .

批注 [x64]: 偏离平衡位置的

小位移

批注 [x65]: 把U展开为 ix 的

级数，并保留到二阶项，可得

二次正定形式的势能：

第五章微振动

113

,

12 ik i k

i kU k x x= ∑ ， (23.2)

这里势能以其极小值为计算起点，由于 ikk ， kik 都是 i kx x 的系数，故可以认为它们对下标是

对称的:

ik kik k=

动能的一般形式为(参见(5.5))

,

1 ( )2 ik i k

i ka q q q∑ & & ，

假设 0i iq q= ，用 ikm 表示 0( )ika q ，可得动能为正定二次型

,

12 ik i k

i km x x∑ & & ， (23.3)

可以认为 ikm 对下标是对称的：

ik kim m=

于是，自由微振动系统的拉格朗日函数为

,

1 ( )2 ik i k ik i k

i kL m x x k x x= −∑ & & (23.4)

下面建立运动方程.为了确定包含方程中的微分，我们写出拉格朗日函数的全微分:

,

1 ( )2 ik i k ik k i ik i k ik k i

i kdL m x dx m x dx k x dx k x dx= + − −∑ & & & &

既然上面和之值不依赖于求和指标的名称，我们可以将括号中第一和第三项的 i和 k相互交

换，考虑到系数 ikm 和 kim 的对称性，得

在保留到 ix 的二次项时,则有：

,

12 ik i k

i kU k x x= ∑ ，

0

2

iki k q

Ukq q

∂= ∂ ∂

对于连续可导的势函数,偏微分可以交换次序,则有

0 0

2 2

ik kii k k iq q

U Uk kq q q q

∂ ∂= = = ∂ ∂ ∂ ∂

,

即系数关于脚标是对称的. 平衡点是稳定的,要求(i)系数构成的矩阵是正定的矩阵;(ii)系数是实数的;而同时

(iii)系数矩阵也是对称的，即 =TK K .

批注 [x66]: 这里我们又取势

能的极小值为零.因为(23.2)

中 ikk ， kik 都是相同量 i kx x

的系数，那么它们总是可以被

认为相等的

批注 [x67]: 在系数 ika 中令

0i iq q= ,并用

批注 [x68]: 二次正定形式的

动能

批注 [x69]: 为了确定方程中

包含的微分

第五章微振动

114

,( )ik k i ik k i

i kdL m x dx k x dx= −∑ & &

由此可见，

ik kki

L m xx

∂=

∂ ∑ &&

， ik kki

L m xx

∂= −

∂ ∑

所以拉格朗日方程为：

0ik k ik kk k

m x k x+ =∑ ∑&& 。 (23.5)

这是 ( 1,2,3 , )s i s= L 个常系数线性微分方程.

按照这些方程解的一般规律，我们寻找下面形式的 s个未知函数:

i tk kx A e ω= (23.6)

其中 kA 是待定常数.将(23.6)代入方程组(23.5)，约去 i te ω ，可得常数 kA 满足的齐次线性代数

方程组

2( ) 0ik ik kk

m k Aω− + =∑ (23.7)

为使该方程组有非零解,其行列式等于零:

2 0ik ikk mω− = (23.8)

方程(23.8)称为特征方程，是 2ω 的 s阶方程。在一般情况下，该方程有 s个不同的正实根 2αω ，

1, 2, sα = L (在特殊情况下，这些根中有些重合）。这样求出的 αω 称为系统的特征频率。

从物理上早就可以看出，方程(23.8)的根为正实数.事实上，ω有虚部就意味着，坐标 kx

对时间的依赖关系(23.6)(以及速度 x& )中包含指数减小或指数增长的因子。但这是不可能的，

否则会导致能量随时间变化，违背能量守恒定律.

也可以用数学方法证明上述结论。将(23.7)乘以 *iA 并对下标 i求和，得

2 *

,( ) 0ik ik i k

i km k A Aω− + =∑

由此得

*

2*

ik i k

ik i k

k A Am A A

ω = ∑∑

.

由于系数 ikm 和 ikk 都是对称的，上式分子和分母中的二次型都是实数。事实上，

* * * * *

, , , ,( )ik i k ik i k ki i k ik k i

i k i k i k i kk A A k A A k A A k A A= = =∑ ∑ ∑ ∑ 。

批注 [x70]: 线性齐次常系数

微分方程组

批注 [h71]: 通常

批注 [x72]: 函数 ( )kx t

批注 [h73]: 如果

批注 [h74]: 则其系数

批注 [x75]: 重根

批注 [x76]: 频率或本征频率

批注 [x77]: 的观点来看,显然

批注 [h78]: 系统总能量

E=U+T

批注 [h79]: 对称的实数

第五章微振动

115

它们是正的⑧，因而2ω 也是正的。

求得频率 αω 并代入(23.7)中每个方程, 就可以求出相应的系数 kA .如果特征方程所有的

根 αω 各不相同，则系数 kA 正比于(23 .8)的子行列式 kα∆ ,其中ω用 αω 代替。微分方程(23 .5)

的特解有下面形式:

i tk kx C e αω

α α= ∆ 。

其中Cα是任意常数(复数〕.

所有这 s个特解求和，可给出通解。其实数部分写成

1

Res

i tk k kx C e αω

α α α αα α=

= ∆ ≡ ∆ Θ

∑ ∑ ， (23.9)

这里我们引入了记号

Re i tC e αωα αΘ = (23.10)

于是，系统每个坐标随时间的变化都 s 个简单振动 1 2, , , sΘ Θ ΘL 合成，这此简单振动

的振幅和相位都是任意的，但频率完全确定. 这自然会产生一个问题，可否选择广义坐标使得每个坐标都进行简单振动？通解(23.9)的形式给出了解决这个问题的途径.

事实上，将(23.9)的 s个关系式看作是 s个未知量 1Θ ， 2Θ ，…， sΘ 的方程，求解后可

以用 1 2, ,..., sx x x 表示 1Θ ， 2Θ ，…， sΘ ，.因此 1Θ ， 2Θ ，…， sΘ 可以看作新的广义坐标，

这些坐标称为简正坐标(或者主坐标)，相应的简单周期振动是系统的简正振动. 从简正坐标的定义可以看出，它满足方程：

2 0.α α αωΘ + Θ =&& （23.11）

这就是说，用简正坐标表示的方程组由 s个相互独立的方程构成。每个简正坐标的加速度仅依赖于该坐标，只需已知坐标和相应速度的初值，就可以完全确定坐标对时间的依赖关系。

换句话说，系统的简正振动是完全独立的。由上述可知，用简正坐标表示的拉格朗日函数可以分解为多项之和，每一项都对应于频

⑧ 系数为 ikk 的二次型是正定的，从（23.3）中对实变量的定义看，这是显然的。但如果将复数 kA 写成

k ka ib+ ，则可得（注意到 kα的对称性）：

, , ,* ( )( ) ,ik i k ik i i k k ik i k ik i k

i k i k i k ikk A A k a ib a ib k a a k b b= − + = +∑ ∑ ∑ ∑

即两个正定二次型的和。

批注 [x80]: 也是

批注 [x81]: 行列式(23.8)的代

数余子式

批注 [x82]: 因此有

批注 [x83]: 周期振动

1 2, , , sΘ Θ ΘL 的叠加

批注 [x84]: 仅进行

批注 [i85]: 它们

批注 [i86]: 采用简正坐标,动

力学方程组变为 s个相互独

立的方程

第五章微振动

116

率为 αω 的一维振动，即⑨

2 2 2( )2

mL αα α α

α

ω= Θ − Θ∑ & （23.12）

其中mα是正常数.从数学观点看，这意味着变换（23.9）将两个二次型（动能（23.3）和势

能（23.2））同时变为对角形。通常可以选择简正坐标，使得在拉格朗日函数中速度平方的系数等于 1/2。为此，用下

面等式确定简正坐标（我们用Qα 表示）：

Q mα α α= Θ （23.13）

⑨设广义坐标与简正坐标的关系 k ksq A xα

α

= ∑ ，其中 kq 为广义坐标， xα为简正坐标，则系统的动能为

, ,

, , ,

1 12 2

1 12 2

ks k s ks k kk s k s

T Tks k k

k s

T m q q m A x A x

m A A x x A MA x x

α α β βα β

α β α β α β α βα β α β

= =

= =

∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑

& & & &

& & & &

其中

11 1

1

n

n nn

m mM

m m=

LM M

L为T 的系数矩阵, Aα 为本征矢量. 但是 TA MA mα β α αβδ= ，代入上式便得

到：

2

,

1 12 2

T m x x m xα α β α αα β α

= =∑ ∑& & &

系统的势能为

2

2

1,, , ,

, , ,

1 1 1( , )2 2 21 1( )2 2

n k s ks k s ks k kk s k s k sk s

Tks k k

k s

VV q q q q q v q q v A x A xq q

v A A x x A V A x x

α α β βα β

α βα α α β α βα β α β

∂= = = ∂ ∂

= =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

K

因为VA MAβ β βλ= ，代入上式可得：

2 2 2 2

, ,

1 1 12 2 2

TV A MA x x m x x m xβ α β α β β α αβ α β α α αα β α β α

ω ω δ ω= = =∑ ∑ ∑

于是,系统的拉格朗日函数为

2 2 2 2 2 21 1 1 ( )2 2 2

L T V m x m x m x xα α α α α α α α αα α α

ω ω= − = − = −∑ ∑ ∑& & .

当用广义坐标Θ表示时，由上式立即可得(23.12).

批注 [x87]: 式定义新的简正

坐标Qα

第五章微振动

117

那么

2 2 21 ( ).2

L Q Qα α αα

ω= −∑ &

当特征方程有重根时，上面叙述没有多少变化，运动方程的积分的一般形式(23.9)和

(23.10)也是一样的〔也同为 s项)，差别仅仅在于相应于重叠频率的系数 kα∆ 已不再是子行列

式了，这种情况下这些子行列式等于零.⑩ 一个重叠（或称退化）频率相应于几个简正坐标，这个频率就有几重，但是这些简正坐

标的选择不是唯一的。既然同一个变换将动能和势能化为2Qα∑ & 和

2Qα∑ ，对变换所得的

简正坐标(对应同一个 αω )，可以进行任意线性变换，只要保证其平方和不变即可。

对于在常外力场中一个质点的三维振动，求简正坐标非常简单。取笛卡儿坐标系的原点

为势能 ( , , )U x y z 的极小值处，可得 , ,x y z的平方形式的势能，而动能

2 2 2( )2mT x y z= + +& & &

(m 为质点的质量)不依赖于坐标轴的选择. 因此，适当旋转坐标系可将势能化为对角形。于是

2 2 2 2 2 21 2 3

1( ) ( ),2 2mL x y z k x k y k z= + + − + +& & & (23.14)

且沿着轴的振动是主振动，其频率分别为

1 1 / ,k mω = 2 2 / ,k mω = 3 3 / ,k mω =

在有心力对称场( 1 2 3 ,k k k k= = ≡ 2 / 2U kr= )的特殊情况下，这三个频率重合(见习题 3)。

利用简正坐标可以将多自由度强迫振动问题转化为单自由度强迫振动。考虑到作用在系

统上的时变外力，拉格朗日函数为

0 ( )k kk

L L F t x= + ∑ ， (23.15)

其中 0L 是自由振动的拉格朗日函数。用简正坐标代替 kx 可得⑪

2 21 ( ) ( ) ,2

L Q Q f t Qα α α α αα α

ω= − +∑ ∑& (23.16)

其中引入了记号：

⑩ 由与证明频率是实数相同的观点可以看出,在通解中不可能出现包含时间的指数和幂次的项,否则将违背能量守恒定律. ⑪ 由(23.9)以及(23.13),有 /k k kx Q mα α α α α

α α

= ∆ Θ = ∆∑ ∑ ，所以

( ) ( ) ( ) / ( ) .k k k k k kk k k

F t x F t F t Q m f t Qα α α α α α αα α α

= ∆ Θ = ∆ =∑ ∑∑ ∑∑ ∑

再利用(23.12),就得到(23.16).

批注 [x88]: 的讨论几乎不需

要改变

批注 [x89]: 重根

批注 [i90]: 不再是行列式的

代数余子式

批注 [x91]: 余子式

批注 [x92]: 多重(或称简并)

频率相应的简正坐标的个数

等于这个频率的重数

批注 [x93]: 对于相同 αω 的

那些简正坐标，以同样方式变

换的动能和势能化为和的形

式2Qα∑ & 和

2Qα∑ . 只

要保证这些平方和不变,可以

对这些简正坐标进行任意线

性变换.

批注 [x94]: 位于

批注 [x95]: 取向

批注 [x96]: 的形式

批注 [x97]: x,y,z方向的振动

是简正振动

批注 [x98]: 对称力场

批注 [x99]: 相等

批注 [x100]: 一系列单自由度

强迫振动的问题

第五章微振动

118

( ) ( ) .kk

kf t F t

mα

αα

∆= ∑

相应的运动方程

2 ( )Q Q f tα α α αω+ =&& (23.17)

只包含一个未知函数 ( ).Q tα

习题

习题 1 设两个自由度系统的拉格朗日函数为

22 2 2 201 ( ) ( )

2 2L x y x y xyω

α= + − + +& &

（两个同样的固有频率为 0ω 的一维系统以作用 xyα− 相互联系起来），试求系统的振动。

解：运动方程为

20x x yω α+ =&& ，

20y y xω α+ =&& 。

将（23.6）代入可得

2 20( )x yA Aω ω α− = ，

2 20( )y xA Aω ω α− = (1)

特征方程为

2 2 2 20( )ω ω α− = ，

由此得

2 21 0ω ω α= − ，

2 22 0ω ω α= +

当 1ω ω= 时方程（1）给出 x yA A= .当 2ω ω= 时方程（1）给出 x yA A= − ，所以

1 21 ( )2

x Q Q= + ， 1 21 ( )2

y Q Q= −

（1/ 2相应于正文中所讲的简正坐标的归一化系数）

当2

0α ω= 时（两个系统相互联系很弱），有

1 0 0/ (2 )ω ω α ω≈ − ， 2 0 0/ (2 )ω ω α ω≈ +

在这种情况下 x 和 y 的变化还是两个频率接近的振动合成的，即具有频率为

2 1 0/ω ω α ω− = 的拍的性质（参见§22），当坐标 x的振幅达到最大值时，坐标 y的振幅达

到最小值，反之亦然。

批注 [x101]: 全同的

批注 [x102]: 以相互作用xyα− 耦合起来

批注 [x103]: 系数1/ 2来

自于方程(23.13)对简正坐标

的归一化.

批注 [x104]: 弱耦合

批注 [x105]: 是两个频率几乎

相等的振动的叠加

批注 [x106]: 删去

第五章微振动

119

习题 2 试求平面双摆的微振动（见图 1）。

解：对于微振动（ 1 1ϕ = ， 2 1ϕ = ），在§5的习题 1中得到的拉格朗日函数写

成

2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 21 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 .

2 2 2 2m m m m m mL l l m l l gl glϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ += + + − −& & & &

运动方程为

1 2 1 1 2 2 2 1 2 1( ) ( ) 0,m m l m l m m gϕ ϕ ϕ+ + + + =&& &&

1 1 2 2 2 0l l gϕ ϕ ϕ+ + =&& &&

将（23.6）代入后可得

2 21 1 2 1 2 2 2( )( ) 0,A m m g l A m lω ω+ − − =

2 21 1 2 2( ) 0.Al A g lω ω− + − =

特征方程的根为

2 21,2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2

1 1 2

( ) ( ) ( )[( )( ) 4 ] .2

g m m l l m m m m l l m l lm l l

ω = + + ± + + + −

当 1m → ∞时，频率趋于极限值 1/g l 和 2/g l ，相应于两个单摆独立振动。

习题 3 试求质点在有心力场 2 / 2U kr= 中的运动轨迹（称为空间振子）.

解：像所有有心力场一样，运动发生在一个平面内，我们取这个平面为 xy。每个坐标

的变化是频率为 /k mω = 的简单振动：

cos( ), cos( )x a t y b tω α ω β= + = +

或者

cos , cos( ) cos cos sin sin ,x a y b b bϕ ϕ δ δ ϕ δ ϕ= = + = −

其中引入了记号 , .tϕ ω α δ β α= + = − 由此求出 sinϕ 和 cosϕ并求它们的平方和，可得轨

迹方程

2 2

22 2

2 cos sinx y xya b ab

δ δ+ − =

这是中心在坐标原点的椭圆。当 0δ = 或者δ π= 时轨迹退化为直线段。

习题详细推导过程: 习题 1 设解的形式为

,i t i tx yx A e y A eω ω= = ，

⑫ 在§14已经指出,在有心力场 2 / 2U kr= 中质点沿着封闭曲线运动.

批注 [x107]: §5图 1

批注 [x108]: 轨迹位于

批注 [x109]: 由它们的平方和

等于 1

第五章微振动

120

代入运动方程

2 20 0,x x y y y xω α ω α+ = + =&& && ，

即得

2 20

2 20

i t i t iwtx x y

iwt iwt i ty y x

A e A e A e

A e A e A e

ω ω

ω

ω ω α

ω ω α

− + =

− + =

化简为：

2 20

2 20

( )

( )x y

y x

A A

A A

ω ω α

ω ω α

− =

− =

上式用矩阵形式表示为：

2 20

2 20

00

x

y

AA

ω ω αα ω ω

− = −

所以特征值方程为：

2 20

2 20

0ω ω α

α ω ω−

=−

即：

2 2 2 20( )ω ω α− =

由此可得

2 21 0ω ω α= − ，

2 22 0ω ω α= +

即

21 0 0 2

0

1 αω ω α ω

ω= − = − ， 2

2 0 0 20

1 αω ω α ω

ω= + = +

当2

0α ω= 时,即 20

αω是小量，则对上面的两个表示式进行泰勒展开，并仅保留到小量

的一阶项,得

1 0 02 20 0 0

1 ( )2 2

α α αω ω δ ω

ω ω ω

= − + ≈ −

2 0 02 20 0 0

1 ( )2 2

α α αω ω δ ω

ω ω ω

= + + ≈ +

习题 2

系统选取 1m 和 2m ，系统有两个自由度，选取广义坐标 1ϕ 和 2ϕ .由§5图 1,有质点 1m

和 2m 的坐标分别为 1 1 1 1( sin , cos )l lϕ ϕ ， 1 1 2 2 1 1 2 2( sin sin , cos cos )l l l lϕ ϕ ϕ ϕ+ +

第五章微振动

121

1m 的动能为

2 21 1 1 1

12

T m l ϕ= &

2m 的动能为

2 22 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

1 [( cos cos ) ( sin sin ) ]2

T m l l l lϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + +& & & &

2 2 2 2

2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 21 [ 2 cos( )]2

m l l l lϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + −& & & &

由于假定 1ϕ 和 2ϕ 均为小量, 1 1ϕ = ， 2 1ϕ = ， 1 2cos( ) 1ϕ ϕ− ≈ ，代入上式,有

2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 ( 2 )2

T m l l l lϕ ϕ ϕ ϕ= + +& & & &

系统的动能为

2 2 2 21 2 21 2 1 1 2 2 2 1 2 1 22 2

m m mT T T l l m l lϕ ϕ ϕ ϕ+

= + = + +& & & &

T 的惯性系数矩阵M 为，

2

1 2 1 2 1 22

2 1 2 2 2

( )m m l m l lM

m l l m l+

=

系统的势能：

1 1 1 2 1 1 2 2cos ( cos cos )V m gl m g l lϕ ϕ ϕ= − − + ,

同样因为 1ϕ 和 2ϕ 均为小量，作近似2

11cos 1

2ϕ

ϕ ≈ − ，2

22cos 1

2ϕ

ϕ ≈ − ，代入上式可以并经

化简,有

2 2 21 1 2

1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2( ) ( )2 2 2

V m gl m gl m gl m gl m gl m glϕ ϕ ϕ= + + − + +

V 的刚性系数矩阵V 为

1 2 1

2 2

( ) 00

m m glV

m gl+

=

拉格朗日函数为

2 2 2 2 21 2 2 1 21 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1

222 2 1 1 2 1 2 2

2 2 2

( ).2

m m m m mL l l m l l gl

m gl m gl m gl m gl

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

+ += + + −

− + + +

& & & &

将 L代入拉格朗日方程

第五章微振动

122

1 1

2 2

( ) 0

( ) 0

d L Ldtd L Ldt

ϕ ϕ

ϕ ϕ

∂ ∂− =

∂ ∂∂ ∂

− =∂ ∂

&

&

得系统的运动微分方程为

21 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1

22 2 2 2 1 2 1 2 2 2

[( ) ] ( ) 0

( ) 0

m m l m l l m m glm l m l l m gl

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

+ + + + =

+ + =

&& &&&& &&

即

1 2 1 1 2 2 2 1 2 1

1 1 2 2 2

( ) ( ) 0,0

m m l m l m m gl l g

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

+ + + + =+ + =

&& &&&& &&

设方程的解为

1 1 2 2,i t i tA e A eω ωϕ ϕ= = ，2 2

1 1 2 2,i t i tA e A eω ωϕ ω ϕ ω= =&& &&

代入上面式子可以得到：

2 21 2 1 1 2 2 2 1 2 12 2

1 1 2 2 2

( ) ( ) 0,

0

i t i t i t

i t i t i t

m m l A e m l A e m m gA el A e l A e gA e

ω ω ω

ω ω ω

ω ω

ω ω

− + − + + =

− − + =

化简后：

2 21 1 2 1 2 2 2

2 21 1 2 2

( )( ) 0,

( ) 0

A m m g l A m lAl A g l

ω ω

ω ω

+ − − =

− + − =

特征方程为上述方程组的系数行列式等于零,或者det( ) 0V Mλ− = ，即

21 2 1 1 2 1 2 1 2

22 1 2 2 2 2 2

( ) ( )0

m m gl m m l m l lm l l m gl m l

λ λλ λ

+ − + −=

− −，

由此可解得频率

2 21,2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2

1 1 2

( ) ( ) ( )[( )( ) 4 ] .2

g m m l l m m m m l l m l lm l l

ω = + + ± + + + −

习题 3 根据势函数,可得相应的有心力为

,dUF krdr

= − = −

则相应的运动微分方程为

,mx kx my ky= − = −&& &&

或者,对于平面运动,取 x,y为广义坐标,则系统的动能为

2 21 ( )2

T m x y= +& &

系统的拉格朗日函数为

第五章微振动

123

2 2 2 21 1( ) ( )2 2

L T U m x y k x y= − = + − +& &

代入相应的拉格朗日方程,也得运动微分方程为

,mx kx my ky= − = −&& &&

运动方程的通解为

cos( ), cos( )x a t y b tω α ω β= + = +

其中 , , ,a b α β均为积分常数, /k mω = . 将上两式改写为

cos , cos( ) cos cos sin sinx a y b b bϕ ϕ δ δ ϕ δ ϕ= = + = −

其中 , ,tϕ ω α δ β α= + = − ,由此可解得

cos xa

ϕ = , 1 cos 1sin

sinx y

a bδ

ϕδ

= −

于是,有

222 2

2 2

2 2

2 2 2

1 cos 11 cos sinsin

1 2 cossin

x x ya a b

x y xya b ab

δϕ ϕ

δ

δδ

= + = + −

= + −

即

2 22

2 22 cos sinx y xy

a b abδ ϕ+ − = .

§24 分子振动

如果我们讨论相互作用质点组成的系统，不是处于外场中，则不是所有的自由度都具有

振动特性。分子就是一个典型的例子。除了原子在分子内在平衡位置附近振动以外，分子整

体还作平动和转动。

平动有 3个自由度，一般情况下，转动也有同样的自由度，所以由 n个原子组成的分子

的 3n个自由度中，有3 6n − 个相应于振动。所有原子沿着直线排列属于特殊情况。既然绕

这个直线的转动没有意义，这种情况下转动有 2个自由度，因此振动有3 5n − 个自由度。

在求解分子振动的力学问题时，最好先不考虑平动和转动自由度。

为了消除平动，可以认为分子的动量等于零。由于这个条件意味着分子的质心不运动，

可以选择它的 3 个坐标为常数。设 0a a a= +r r u （其中 0ar 是第 a个原子静止平衡位置的径

矢，而 au 是其偏离平衡位置的矢量），我们可将条件

0consta a a am m= ≡∑ ∑r r

批注 [x110]: 它们的

批注 [x111]: 删去

第五章微振动

124

表示为

0a am =∑ u （24.1）

为了消除转动，应该令分子的动量矩等于零。因为动量矩不是坐标的任何函数对时间的

全导数，所以，一般来讲，消除转动的条件不可能是哪个函数等于零的形式。然而，微振动

恰好属于特例。事实上，再设 0a a a= +r r u ，略去 au 的二阶小量，分子的动量矩为⑬

0 0a a a a a a a a adm m mdt

= × ≈ × = ×∑ ∑ ∑M r v r u r u&

在这样的近似下，消除分子转动条件可以写成

0 0a a am × =∑ r u （24.2）

（这时坐标原点可以任意选择）。

分子简正振动可以根据原子运动特征分类，分类是基于（在平衡位置上的）原子在分子

内对称分布的思想。为了实现这个目的，有基于群论的一般方法，这将在本教程的另一卷中

讲述⑭。这里我们讨论几个简单的例子。

如果分子的所有 n 个原子位于一个平面内，则可以区分原子的面内简正振动和面外简

正振动，很容易确定两种振动的自由度。因为平面运动总共有 2n个自由度，从中去掉两个

平动和一个转动，原子面内振动自由度为 2n-3，其余的(3n-6)-(2n-3)=n-3自由度对应于面

外振动。

在线性分子情况下，可以区分纵向振动和横向振动。因为 n 个质点沿着直线运动有 n

个自由度，从中去掉平动，则纵向振动自由度为 n-1。既然线性分子振动有 3n-5个自由度，

则有 2n-4个横向振动自由度。然而，这些振动有 n-2个不同的频率，这是因为每个振动都

可以独立发生在相互垂直的两个（通过分子轴的）平面内，由对称性可知每一对简正振动都

有相同的频率。

习题

习题 1 求线性 3原子对称分子 ABA（图 28）的振动频率。假设分子的势能依赖于距离

A-B,B-A,以及角 ABA。

解：根据（24.1），原子纵向位移 1 2 3, ,x x x 满足关系

1 3 2( ) 0.A Bm x x m x+ + =

⑬ [过程补充]因为 0 0( ) ( )a a a a a av× = + × +r r u r u& & ,而 0 0a =r& ,则有

0a a a a a× = × + ×ar v r u u u& &

略去 au 的二阶小量,有 ( )0 0a a a a a advdt

× ≈ × = ×r r u r u& & .故

( )0a a a a a adm mdt

= × ≈ ×∑ ∑M r v r u

可见在这种近似下,动量矩可以表示为某一函数 0a a am ×∑ r u 对时间的全微分. ⑭ 见第三卷,《量子力学(非相对论理论)》, §100, 严肃译,喀兴林校,北京:高等教育出版社,2008; Quantum Mechanics(Non-relativistic Theory), 3rd ed.,Pergamon Press, Oxford 1976.

批注 [x112]: 的条件

批注 [x113]: 在分子中原子的

平衡位置的对称性

批注 [x114]: 仅考虑几个初等

批注 [x115]: 简正振动

批注 [x116]: 一个平动

批注 [x117]: 2n-4个振动仅有

批注 [x118]: （通过分子轴

的）相互垂直的两个平面内

第五章微振动

125

利用此式，从分子纵向运动的拉格朗日函数

2 2 2 2 211 3 2 1 2 3 2( ) [( ) ( ) ]

2 2 2A Bm m kL x x x x x x x= + + − − + −& & &

中消去 2x ，然后引入新坐标

1 3 1 3, sQ x x Q x xα = + = −

于是可得

22 2 2 21 1

24 4 4 4A A

a s a sB B

m m k kL Q Q Q Qm m

µ µ= + − −& &

（ 2 A Bm mµ = + 是分子的质量）。由此可见， aQ 和 sQ 是简正坐标（精确到相差归一化系数）。

坐标 aQ 对应着相对分子中心的反对称振动（ 1 3x x= ，图 28a），其频率为

1a

A B

km m

µω =

坐标 sQ 对应着对称振动（ 1 3x x= − ，图 28b），频率为

11s

A

km

ω =

根据（24.1）和（24.2），原子横向位移 1 2 3, ,y y y

满足关系

1 3 2( ) 0A Bm y y m y+ + =， 1 3y y=

（对称弯曲振动，图 28b）分子弯曲势能写成

2 22 / 2k l δ ，其中δ 是角 ABA偏离π的大小，可以用

位移表示为

1 2 3 21[( ) ( )]y y y yl

δ = − + −

将所有位移 1 2 3, ,y y y 用δ 表示，可得分子横向振动的拉格朗日函数

2 22 2 2 2 2 2 22 21 3 2( )

2 2 2 4 2A B A Bm m k l m m k lL y y y lδ δ δ

µ= + + − = −&& & &

由此得频率

22

2s

A B

km m

µω =

批注 [x119]: 其中

2 A Bm mµ = + 是分子的质

量.

批注 [x120]: 图 28c

第五章微振动

126

习题 2 同上题，但分子 ABA的形状为三角形（图 29）

解：根据（24.1）和（24.2），原子位移u在 X和 Y方向的分量满足关系

31 2

1 23

1 31 3

( ) 0

( ) 0

( )sin ( ) cos 0

A B

A B

m x x m x

y yym m

y y x xα α

+ + =

+ + =

− − + =

利用矢量 −1 2u u 和 3 − 2u u 在直线 AB和 BA方向上投影，可得距离 A-B和 B- A的变化量 1lδ

和 2lδ 如下

1 1 2 1 2

2 3 2 3 2

( ) sin ( )cos( )sin ( ) cos

l x x y yl x x y y

δ α αδ α α

= − + −= − − + −

将这两个矢量向垂直于直线 AB和 BA方向上投影，可得角 ABA的改变量

1 2 3 21 2 3 2

1 1( )cos ( ) sin ( )cos ( ) sinl ly y y yx x x xδ α α α α = − − − + − − − −

分子的拉格朗日函数为

21 22 2 2 2 2 2

1 3 2 1 2( ) ( )2 2 2 2

A Bm m k k lL l lδ δ δ= + + − + −& & &u u u

引入新坐标

1 3x xQa = + ， 1 1 3sq x x= − ， 2 1 3sq y y= +

将矢量u的分量用这些新坐标表示

1 11 ( )2 a sx Q q= +

3 1 2

1, ( ),2

Aa s a

B

mx Q q x Qm

= − = −

1 21 ( cot ),2 s ay q Q α= +

3 2 2 2

1 ( cot ),2

As a s

B

my q Q y qm

α= − = −

第五章微振动

127

计算后可得拉格朗日函数

2 2 2 2 211 22 2

2 2 21 1( ) ( )(1 sin )4 sin 4 4 4 sin

A A A A A Aa s s a

B B B B

m m m m k m mL Q q q Qm m m m

µα

α α= + + + − + + −& & &

2 22 2 2 2 21

1 2 2 1 22

1 2 2 1

( sin 2 cos ) ( cos 2 sin )4 4

(2 )sin cos2

ss

B

s sB

q k k q k km

q q k km

µα α α α

µα α

+ − +

+ −

由此可见，坐标 Qa对应于频率为

2 21 2(1 sin )Aa

A B

k mm m

ω α= +

的相对于 Y轴的反对称振动（ 1 3 1 3,x x y y= = − ，图 29a）。

坐标 1sq ， 2sq 对应于两个振动（相对 Y轴对称： 1 3 1 3,x x y y= − = ，图 29a和 29b），其

频率 1sω ， 2sω 是二次（2ω ）特征方程

4 2 2 21 2 1 22

2 2 2 2[ (1 cos ) (1 sin )] 0A A

A B A B B A

k m k m k km m m m m m

µω ω α α− + + + + =

的根。当 2α=π时，所有这些频率与习题 1相同。

习题 3 同上题，但分子 ABC非对称（图 30）。

解：原子纵向位移（x）和横向位移（y）之间的关系为

1 2 3

1 2 3

1 1 2 3

00

A B C

A B C

A C

m x m x m xm y m y m ym l y m l y

+ + =+ + =

=

拉伸和弯曲势能为

22 2 21 1 2

1 2( ) ( )2 2 2k k k ll lδ δ δ

′+ +

1 2(2 )l l l= + . 类似习题 1，计算可得横向振动频率

2 2 2 22 2 1 2

2 21 2

4t

c A B

k l l l ll l m m m

ω

= + +

两个纵向振动频率 11ω ， 12ω 满足二次（ 2ω ）特征方程

批注 [e121]: 图 29b和 29c

批注 [x122]: 其中 1 22l l l= + .

第五章微振动

128

'4 2 ' 1 1

1 11 1 1 1[ ( ) ( )] 0

A B B c A B C

k kk km m m m m m m

µω ω− + + + + =


习题 1

解：分别考虑原子的纵向运动以及横向运动,即认为两种运动是相互独立的.

设原子纵向位移分别为 1 2 3, ,x x x ,有

1 1 2 2 3 3( , 0), ( ,0), ( , 0)x x x= = =u u u

根据（24.1），为消去平动, 即在质心系中研究运动,纵向位移满足关系

1 3 2( ) 0.A Bm x x m x+ + =

利用上式，从分子纵向运动的拉格朗日函数

2 2 2 2 211 3 2 1 2 3 2( ) [( ) ( ) ]

2 2 2A Bm m kL x x x x x x x= + + − − + −& & &

中消去 2x ，有

[ ] [ ]

22 2 2A1 3 1 3

2 21B 1 3 1 B 32 2

( ) ( )2 2

1 1( ) ( )2

A

B

A A A AB B

m mL x x x xm

k m m x m x m x m m xm m

= + + +

− + + + + +

& & & &

引入新坐标

1 3 1 3, sQ x x Q x xα = + = −

即，

1 3 2, ,2 2

s s A

B

Q Q Q Q m Qx x xm

α α α+ − −= = =

代入前面的拉格朗日函数中可得

22 2 2 21 1

24 4 4 4A A

a s a sB B

m m k kL Q Q Q Qm m

µ µ= + − −& &

其中 2 A Bm mµ = + 是分子的质量。L关于新坐标是完全对角化的,如果不考虑所谓归一化的

问题,则 aQ 和 sQ 就是简正坐标。


( ) 0d L Ldt Q Qα α

∂ ∂− =

∂ ∂&

可得运动方程为

第五章微振动

129

1 0A B

kQ Qm mα α

µ+ =

+&&

这表示振动频率为

1

A B

km mα

µω =

+

的简谐振动.坐标 aQ 对应着相对分子中心的反对称振动（ 1 3x x= ）,即两个 A原子相对于 B

同时向相同的方向运动.


( ) 0s s

d L Ldt Q Q

∂ ∂− =

∂ ∂&

可得方程为

1 0s sA

kQ Qm

+ =&&

这是振动频率为

11s

A

km

ω =

的简谐振动.坐标 sQ 对应着对称振动（ 1 3x x= − ，图 28b）,即两个 A 原子相对于 B 分别向

相反的方向运动.

对于原子的横向运动, 设原子横向位移分别为 1 2 3, ,y y y ,则有

1 1 2 2 3 3(0, ), (0, ), (0, )y y y= = =u u u

又以 B原子的平衡为坐标原点,则有

10 20 30( , 0), (0,0), ( ,0)l l= = = −r r r

根据（24.1）,消去平动的条件为

1 3 2( ) 0A Bm y y m y+ + =

根据（24.2），消去转动的条件为

1 3 0A Am ly m ly− = , 即 1 3y y=

该条件表示两个 A原子沿横向在相同的方向上运动(弯曲),这种振动关于过 B原子的纵向是

对称的（图 28c）.分子弯曲势能写成2 2

2 / 2k l δ ，其中δ 是角 ABA偏离π的大小. 设 AB和

BA偏离纵向的角度分别为 1δ ， 3δ , 则有

第五章微振动

130

3 21 21 1 3 3tan , tan y yy y

l lδ δ δ δ

−−≈ = ≈ =

于是,δ 可以用位移表示为

( ) ( )1 3 1 2 3 21 y y y yl

δ δ δ= + ≈ − + −

将所有位移 1 2 3, ,y y y 用δ 表示，有变换关系

1 3 2,2

B Am my y l y lδ δµ µ

−= = =

将这些关系代入分子横向振动的拉格朗日函数，

2

2 2 2 221 3 2( )

2 2 2A Bm m k lL y y y δ= + + −& & &

可得

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

2 24 2 2 4 2A B A B A Bm m m m k m m kL l l l l lδ δ δ δ δµ µ µ

= + − = −& & &


( ) 0d L Ldt δ δ

∂ ∂− =

∂ ∂&，

得方程

22 0A B

km m

µδ δ+ =&&

这是振动频率为

22

2s

A B

km m

µω =

的简谐振动.

习题 2

解：设原子位移分别为 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )x y x y x y ,即有

1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), ( , ), ( , )x y x y x y= = =u u u


10 20 30( cos , sin ), (0,0), ( cos , sin )l l l lα α α α= = = −r r r

根据（24.1）和（24.2），原子位移u在 X和 Y方向的分量满足关系

31 2

1 23

( ) 0

( ) 0A B

A B

m x x m x

y yym m

+ + =

+ + =

第五章微振动

131

1 31 3( ) sin ( ) cos 0y y x xα α− − + =

利用矢量 −1 2u u 和 3 − 2u u 在直线 AB和 BA方向上投影，可得距离 A-B和 B- A的变化量 1lδ

和 2lδ 如下

1 1 2 1 2

2 3 2 3 2

( ) sin ( )cos( )sin ( ) cos

l x x y yl x x y y

δ α αδ α α

= − + −= − − + −

将这两个矢量向垂直于直线 AB和 BA方向上投影，可得角 ABA的改变量

1 2 3 21 2 3 2

1 1( )cos ( ) sin ( )cos ( ) sinl ly y y yx x x xδ α α α α = − − − + − − − −

分子的拉格朗日函数为

21 22 2 2 2 2 2

1 3 2 1 2( ) ( )2 2 2 2

A Bm m k k lL l lδ δ δ= + + − + −& & &u u u

其中势能部分有沿两原子连线方向的振动势能(拉伸势能)和垂直于该方向的振动势能(即习

题 1中的弯曲势能)两部分,分别为上式中的第三项和第四项.引入新坐标

1 3x xQa = + ， 1 1 3sq x x= − ， 2 1 3sq y y= +

将矢量u的分量用这些新坐标表示出来,有

1 1 3 1 21 1( ), ( ),2 2

Aa s a s a

B

mx Q q x Q q x Qm

= + = − = −

1 2 3 2 2 21 1( cot ), ( cot ),2 2

As a s a s

B

my q Q y q Q y qm

α α= + = − = −

计算后可得系统的拉格朗日函数为

2 2 2 2 211 22 2

2 22 2 2 2 21

1 2 2 1 22

1 2 2 1

2 2 21 1( ) ( )(1 sin )4 sin 4 4 4 sin

( sin 2 cos ) ( cos 2 sin )4 4

(2 )sin cos2

A A A A A Aa s s a

B B B B

ss

B

s sB

m m m m k m mL Q q q Qm m m m

q k k q k km

q q k km

µα

α α

µα α α α

µα α

= + + + − + +

− + − +

+ −

& & &

可见 aQ 与 1sq , 2sq 之间是没有耦合的. 与 aQ 相关的部分是对角化的,即它是简正坐标.

由拉格朗日方程

( ) 0Q aa

d L Ldt Q

∂ ∂− =

∂ ∂&

得运动方程为

221 sin 0Aaa

A B

k m QQm m

α + + =

&&

第五章微振动

132

由此可见，坐标 aQ 对应于频率为

2 21 2(1 sin )Aa

A B

k mm m

ω α= +

的相对于 Y轴的反对称振动（ 1 3 1 3,x x y y= = − ，图 29a）。

将 L分别代入与 1sq 、 2sq 相应的拉格朗日方程，有

2 21 1 1 2 2 2 1

2 22 2 1 2 1 2 1

( sin 2 cos ) (2 )sin cos 0

( cos 2 sin ) (2 )sin cos 0

A s s sB

A s s sB

m q q k k q k km

m q q k k q k km

µα α α α

µα α α α

+ + − − =

+ + − − =

&&

&&

令 ( 1,2)i tsk kq A e kω= = 代入上式,可得

2 2 21 2 1 2 2 1( sin 2 cos ) (2 )sin cos 0A

B

m k k A A k kmµ

ω α α α α − + + − =

2 2 21 2 1 2 1 2(2 )sin cos ( cos 2 sin ) 0A

B

A k k A m k kmµ

α α ω α α

− + − + =

于是特征方程为

2 2 21 2 2 1

2 2 22 1 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 2

2 2 22 1

( sin 2 cos ) (2 )sin cos

(2 )sin cos ( cos 2 sin )

( sin 2 cos ) ( cos 2 sin )

(2 ) sin cos 0

AB

AB

A AB

B

m k k k km

k k m k km

m k k m k km

k km

µω α α α α

µα α ω α α

µω α α ω α α

µα α

− + −

− − +

= − + − +

− − =

即

4 2 2 21 2 1 2

2

2 2 2 21 cos 1 sin 0A A

A B A B B A

k m k m k km m m m m m

µω ω α α

− + + + + =

坐标 1sq ， 2sq 对应于两个振动（相对 Y轴对称： 1 3 1 3,x x y y= − = ，图 29b和 29c），相应的

振动频率 1sω ， 2sω 是上述特征方程的根。当 2α π= 时，这些频率与习题 1中的相同。

习题 3

解：设原子位移分别为 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )x y x y x y ,即有

第五章微振动

133

1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), ( , ), ( , )x y x y x y= = =u u u


10 1 20 30 2( ,0), (0,0), ( , 0)l l= = = −r r r

根据（24.1）和（24.2），原子纵向位移（x）和横向位移（y）之间的关系为

1 2 3

1 2 3

1 1 2 3

00

A B c

A B c

A c

m x m x m xm y m y m ym l y m l y

+ + =+ + =

=

拉伸和弯曲的总势能为

22 2 21 1 2

1 2( ) ( )2 2 2k k k ll lδ δ δ

′+ +

其中 1 22l l l= + . 对于纵向运动,

1 1 2 2 3 2,l x x l x xδ δ= − = − ,

而弯曲引起的角 ABA偏离π的大小δ 为

( ) ( )1 3 1 2 3 21 2

1 1y y y yl l

δ δ δ= + ≈ − + −

于是,类似习题 1，分子的拉格朗日函数为

( ) ( )

21 22 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3

222 21 1 2

1 2 3 2 1 2 3 21 2

( )2 2 2 2 2

) ) )( ( (2 2 2

1 1( ) ( )2 2 2

CA B

CA B

mm m k k lL l l

mm mx y x y x y

k k k lx x x x y y y yl l

δ δ δ= + + − + −

= + + + + +

′− − − − − − + −

& & &

& & & & & &

u u u

这里仍然假定横向运动和纵向运动之间没有耦合.

用δ 表示位移 1 2 3, ,y y y ，有

11 3 2 1 2

2 2

, , ( )A A

C B

m l my y y l lm l m l

ξδ ξδ ξδ−

= = = +

其中

1 12 2 2 2 21 1 2 1 2 2 12 2

1 2 1 2

( )1 4A A

C B A A C B

m l m l l l l l l ll m l m l l m m m m

ξ− −

+= + + = + +

将拉格朗日函数中的横向部分用δ 表示出来,有

第五章微振动

134

( ) ( )22

2 2 2 21 2 3 21 2 3

1 2

22 2 2 2 2 22 222 2 2 222 1 2 1

2 2 42 1 2

1 12 2 2 2

4 42 2

CA Bt

A A

A C B A C B

mm m k lL y y y yy y yl l

m l l m l ll lk ll m m m l l m m m

ξ δ ξ δ

= + + − − + −

= + + − + +

& & &

&

代入相应的拉格朗日方程,有

2 0tδ ω δ+ =&&

其中横向振动频率 tω 为

2 2 2 22 2 1 2

2 21 2

4t

c A B

k l l l ll l m m m

ω

= + +

纵向运动的拉格朗日函数为

2 21 12 2 21 2 3 1 2 3 2

2 22 21 31 3

222 21 12 2

1 1 1 32 2

11 3

( ) ( )2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 12 2

1 1 1 1 1 12 2

1

CA Bl

A CA C

A B B C B

A CA B B C B B

A

mm m k kL x x x xx x x

m mm x x mx xm m m m m

k km mk x k xm m m m m m

x x k m

′= + + − − − −

= + + + +

′ − + + − + +′

−

& & &

& && &

11 1 1 A C

B C B B

m mkm m m m

+ + +′

代入相应的拉格朗日方程,可得

22 21

11 3 12

1 13

1 1 1 1

1 1 1 1 0,

A CA A

A B B A B B

A C

A B C B B

m m km x x m xkm m m m m m

m mx k km m m m m

′ + + + + +

+ + + + =′

&& &&

22 21

11 3 32

1 11

1 1 1 1

1 1 1 1 0

A CC C

B C B C B B

A C

A B C B B

m m kx m x m xkm m m m m m

m mx k km m m m m

+ + + + +′

+ + + + =′

&& &&

设解为 1 1 3 3,i t i tx A e x A eω ω= = ,代入上列方程可得特征方程为

'

4 2 ' 1 11 1

1 1 1 1 0A B B C A B C

k kk km m m m m m m

µω ω

− + + + + =

第五章微振动

135

于是两个纵向振动的频率 11ω ， 12ω 是满足上述特征方程的根.

§25 阻尼振动

到现在为止，我们都是假设物体的运动发生在真空中或者介质对物质的影响可以忽略。

实际上，物体在介质中运动时，介质会产生阻力使运动减慢。这时运动物体的能量最终转化

为热量，或者说终将耗散。在这种情况下运动过程已不再是纯力学过程，研究需要考虑介质的运动，以及物体和介

质的内部热状态。特别是，一般情况下不能认为，运动物体的加速度仅仅是给定时刻的坐标

和速度的函数，即不存在这种力学意义上的运动方程了。因此，在介质中的运动问题已经不

是运动问题。

然而，存在一些情况，在介质中的运动可以近似地用力学方程描述，这需要在方程中

引入补充项。如果振动频率小于在介质内耗散过程的频率，则属于这种情况。在这种情况下，

（对于均匀介质）可以认为在物体上作用了仅依赖于速度的摩擦力。

如果速度足够小，可以将摩擦力按速度的幂次展开。因为在静止物体上没有任何摩擦力

作用，所以零次项为零。未消失的第一项与速度成正比。于是，作用在广义坐标为 x的一维

振动系统上的摩擦力 tpf 可以写成

tpf xα= − & ,

其中α 为正的系数，负号表示力的方向与速度相反。将这个力补充到运动方程的右端，可得

mx kx xα= − −&& & (25.1) 除以m并引入记号

20/ , / 2 ;k m mω α λ= = (25.2)

20ω 是没有摩擦力时系统自由振动的频率。λ称为阻尼系数⑮

。

于是，我们有方程

202 0x x xλ ω+ + =&& & (25.3)

根据求解常系数线性微分方程的一般方法，假设 exp( )x rt= , 可得关于 r 的特征方程

2 202 0r rλ ω+ + = .

方程（25.3）的通解为：

1 21 2 ,r t r tx c e c e= +

2 2

1,2 0r λ λ ω= − ± −

下面分两种情况讨论。

如果 0λ ω< ，则 r有两个共轭复值。运动方程的通解可写成

⑮ 无量纲乘积 Tλ (其中是 2 /T π ω= 周期)称为对数阻尼衰减率.

批注 [u123]: 周围介质的运动

批注 [u124]: 使运动有减慢的

趋势

批注 [x125]: 不断转化为热能

而最终耗散完

批注 [u126]: 删去

批注 [a127]: 热力学状态

批注 [x128]: 物体的

批注 [x129]: 力学

批注 [x130]: 某些附加项

批注 [u131]: 当满足这样的条

件时

批注 [a132]: 对于给定的均匀

介质

批注 [u133]: 不为零

批注 [u134]: 小振动系统的广

义

批注 [u135]: 速度方向

批注 [u136]: 加到

批注 [u137]: 得(参见(21.4))

批注 [u138]: 0ω

批注 [u139]: ,或阻尼衰减率

第五章微振动

136

2 20Re exp( )x A t itλ ω λ= − + − ,

其中 A是任意复常数。也可以写成

cos( )tx ae tλ ω α−= + ，2 20ω ω λ= − （25.4）

其中a和α 是实常数。这些公式表示的运动称为阻尼振动。可以看做是振幅按指数规律衰减的简谐振动。振幅衰减速度由指数 λ决定，振动“频率”ω小于无阻尼时自由振动的频

率。当 0λ ω= 时，ω和 0ω 之间的差别是二阶小量⑯。由于摩擦总是阻碍运动，故有阻尼时

频率减小是显然的。

如果 0λ ω= ，则在一个周期2 /π ω之内阻尼振动的振幅几乎不变。这时研究坐标和速

度的平均值（一个周期内）很有意义，取平均值时忽略乘子 te λ− 的变化,。所以系统的平均

能量衰减规律为⑰

20

tE E e λ−= ，（25.5）

其中 0E 是能量的初值。

⑯ [过程补充] 当 0λ ω= 时，有

2 22 2

0 0 0 0 0 20 0

1 112 2

λ λω ω ω ω λ ω ω

ω ω

− = − − ≈ − − =

，

0ω 与ω之间差别是二阶小量。 ⑰[过程补充]由(25.4),有

cos( ) sin( )t tx a e t a e tλ λλ ω α ω ω α− −= − + − +&

则有平均值为

2 2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2

0

1 1 cos ( )

1 1cos ( )2

T T t

Tt t

x x dt a e t dtT T

a e t dt a eT

λ

λ λ

ω α

ω α

−

− −

= = +

≈ + =

∫ ∫

∫

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

2

2 2 2 2 2 2 2 20

1 1 sin ( ) cos ( )

2 sin( ) cos( ) dt

1 1=2 2

T T t

t t

x x dt e a t a tT Ta t t

e a a a e

λ

λ λ

ω ω α λ ω α

λω ω α ω α

ω λ ω

−

− −

= = + + +

+ + +

+ =

∫ ∫& &

于是,振动能量的平均值为

2 2 2 2 2 2 20 0

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 4 412

t

t t

E mx k x e ma m a

ma e E e

λ

λ λ

ω ω

ω

−

− −

= + ≈ +

= =

&

其中2 2

0k m mω ω= ≈ ,2 2

0 012

E m aω= 是自由振动的能量,也是运动的初始能量.

批注 [u140]: 坐标平方与速度

平方的(一个周期内)的平均

值

批注 [u141]: 这两个平均值显

然与2 te λ−成正比

第五章微振动

137

现在假设 0λ ω> ，那么 r的两个值都是实数，并且两个都是负数。通解可写成

2 2 2 21 0 2 0exp [ ( )] exp [ ( )] x c t c tλ λ ω λ λ ω= − − − + − + − （25.6）

可见，在这种阻尼足够大的情况下，运动 x 单调递减，即趋近于平衡位置（当 t → ∞时）。

这种类型的运动称为非周期衰减。

最后在 0λ ω= 的特殊情况下，特征方程总有一个根（重根）为 r λ= − 。这时运动方程

的通解为

1 2( ) .tx c c t e λ−= + （25.7）

这是非周期衰减的特殊情况，仍具有振动性质。

对于多自由度系统，相应于广义坐标 ix 的广义摩擦力是速度的线性函数

.itp ik kk

f xα= −∑ & （25.8）

从纯粹的力学角度考虑，无法得出系数 ikα 对下标的对称性结论。用统计物理的方法可以证

明，⑱

ik kiα α= （25.9）

故公式（25.8）可写成导数形式

itpi

Ffx

∂= −

∂& （25.10）

其中二次型

,

1 ,2 ik i k

i kF x xα= ∑ & & （25.11）

称为耗散函数。

在拉格朗日方程的右端加入力（25.10），得

i i i

d L L Fdt x x x

∂ ∂ ∂= − ∂ ∂ ∂ & &

（25.12）

耗散函数有重要的物理意义，它决定了系统中能量耗散的强度。这很容易证明，只要计

算机械能对于时间的导数即可。我们有

.i i ii i ii i i i

dE d L d L L Fx L x xdt dt x dt x x x

∂ ∂ ∂ ∂= − = − = − ∂ ∂ ∂ ∂

∑ ∑ ∑& & && & &

由于 F是速度的二次函数，根据欧拉齐次函数定理，上式右端的和等于 2F。于是

2dE Fdt

= − ，（25.13）

⑱ 参见第五卷.《统计物理学 I》,§121.

批注 [u142]: （当 t → ∞时）趋近于平衡位置

批注 [u143]: 有一个二重根

批注 [u144]: 删去

批注 [u145]: i和 k的

批注 [u146]: ,在所有情况下

批注 [u147]: F是二次型

批注 [a148]: 能量耗散的速率

批注 [a149]: 系统机械能

第五章微振动

138

即系统能量变化速度等于 2 倍耗散函数。因为耗散过程会导致能量减小，总是有F >0，即

二次型（25.11）是正定的。

将力（25.8）加入方程（23.5）的右端，可得存在阻尼时微振动方程

.ik k ik k ik kk k k

m x k x xα+ = −∑ ∑ ∑&& & （25.14）

在这些方程中令

rtk kx A e= ，

约去 rte 后可得常数 kA 满足的线性代数方程组

2( ) 0.ik ik ik kk

m r r k Aα+ + =∑ （25.15）

令行列式等于零可得特征方程

2 0.ik ik ikm r r kα+ + = （25.16）

可求得 r . 这是关于 r的 2s阶方程。因为所有系数都是实数，方程的根或者是常数，或者是成对

复共轭，这时实根一定是负数，复根的实部一定是负的,否则坐标和速度以及系统的能量都

会随着时间指数增加，但摩擦力应该使能量减小。

§26 有摩擦的强迫振动

研究有摩擦时的强迫振动类似于§22 研究无摩擦振动。我们详细研究非常有意义的周期强迫力的情况.

在方程(25.1)的右端加入外力 tf γcos 并除以m ,可以得到运动方程:

202 cos .fx x x t

mλ ω γ+ + =&& & (26.1)

求解这个方程用复数形式更方便,为此在右端用 te γi 代替 tγcos :

2 i02 .tfx x x e

mγλ ω+ + =&& &

我们求 tBex γi= 形式的特解,对于 B有

.)i2( 22

0 λγγω +−=

mfB (26.2)

将 B写成 δibe 的形式,对于b和δ 有⑲:

⑲ [过程补充和说明]

批注 [u150]: 率

批注 [a151]: 能量损失

批注 [u152]: 可能的 r 值

批注 [u153]: 复共轭对.

批注 [a154]: 耗散力

第五章微振动

139

22222

0 4)( γλγω +−=

m

fb , .2tan 20

2 ωγλγ

δ−

= (26.3)

最后,将表达式 i i( )t tBe beγ γ δ+= 的实部分离出来,可得方程(26.2)的特解,再加上其相应的齐次

方程的通解(我们给出 0ω λ> 的情况),最终得

cos( ) cos( )tx ae t b tλ ω α γ δ−= + + + (26.4)

第一项随时间指数衰减,经过足够长时间后只剩下第二项:

).cos( δγ += tbx (26.5)

强迫振动的振幅b的表达式(26.3)在 γ 接近 0ω 时也增大,但是不会像无阻尼共振那样趋

).sini(cos

4)(

2i4)(4)(

)i2(

i

222220

222220

220

222220

220

δδ

γλγω

λγ

γλγω

γω

γλγω

λγγω

δ +==

+−

−+

+−

−⋅

+−=

+−=

bbe

m

f

mfB

考虑到 0=γ 时, 020

bm

fb ≡=ω

, 则有位移振幅的频率响应关系, 即0b

b 与0ω

γ之间的关系

20

2 2 2 2 2 22 2 20 0 0 0

1( ) 4 1 ( / ) 4( / )

bb

ω

ω γ λ γ γ ω λγ ω= =

− + − +

从下左图可见,随着阻尼系数λ的减小,共振频率比0ω

γ接近于 1, 且共振振幅不断增大, 极限情形是无阻

尼的强迫共振, 共振振幅趋向无穷,即当 00, / 1λ γ ω→ → 时,有 0/b b → ∞ .下右图给出了在不同的阻

尼系数λ下, 相位差δ 与频率比0ω

γ之间的关系.

批注 [u155]: 取

第五章微振动

140

向无穷. 对于给定的力幅值 f ,在 220 2λωγ −= 时振幅最大⑳.当 0ωλ << 时, 这个值与

0ω 之差是二阶小量.

我们研究接近共振的区域. 设 εωγ += 0 , 其中ε 是小量, 我们又假设 0ωλ << , 那么

在(26.2)中可以做近似替换:

εωωγωγωγ 0002

02 2))(( ≈−+=− , 0i2i2 λωλγ ≈ ,

因此

0)i(2 ωλε −

−=m

fB (26.6)

或者

22

02 λεω +=

mfb ,

ελ

δ =tan . (26.7)

我们研究当强迫力频率改变时, 振动与强迫力的相位差δ 的变化特点. 这个差总是负的,

即振动“落后”于外力.远离共振时,如果 0ωγ < , 则δ 趋向于零.如果 0ωγ > , 则δ 趋向于

π− .在接近 0ω 的狭窄区域(宽度为λ )内, δ 从零变化为 π− .当 0ωγ = 时,相位差为 / 2π− .

我们发现,无摩擦时强迫振动相位在 0ωγ = 时产生幅度为π 的突变((22.4)的第二项改变符

号),阻尼”抹平”了这个突变.21

⑳ [过程补充]由(26.3)可见,对于给定的 f ,要求振幅b最大,则要求其分母达到最小.令

222220 4)()( γλγωγ +−=g , 则有

222220

220

2

4)(

)(24)(

dd

γλγω

γγωγλγ

γ +−

−−=g ,

令 0)(dd

=γγ

g , 得 220 2λωγ −= ,于是振幅b在该γ 值时达到最大值:

2 2m 0/ (2 ) .axb f m λ ω λ = −

21由(26.3), 令 20

2

2,ωγ

λγδ

−≡≡ xy 则 arctany x= ,它是多值函数. 因为 0<δ , x符号不同时对

应着函数的不同分支. 下图中画出了 arctany x= 的两个分支.

(i)如果 0ωγ < , 则 0<x ,对应图中红色曲线部分, 可见随着γ 从小于 0ω 的一侧趋近于 0ω ，有δ 趋

向于零.(ii)如果 0ωγ > , 则 0>x , 对应图中黑色曲线部分, 可见δ 趋向于 π− . 在 0ω 附近的狭窄区域

批注 [u156]: 振动的振幅

批注 [u157]: 之间的

批注 [u158]: 的量级)

第五章微振动

141

当系统的强迫振动处于平稳运动（26.5）时，系统的能量保持不变.这时系统不断（从外

力源）吸收能量，又因摩擦而耗散掉。我们用外力频率的函数 ( )I γ 表示单位时间内平均吸

收的能量。根据（25.13）有

( ) 2I Fγ = ，

其中F 是耗散函数（对振动周期）的平均值。对于一维运动，耗散函数的表达式（25.11）

写成2 2F x mxα λ= =& & 。将（26.5 2 2F x mxα λ= =& & ）代入得

2 2 2sin ( )F mb tλ γ γ δ= + 。

正弦的平方对时间的平均值为 1/2，所以

2 2( )I mbγ λ γ= . (26.8)

在共振附近，代入振幅（26.7）得

2

2 2( )4fIm

λε

ε λ=

+ （26.9）

能量吸收对频率的这种依赖关系称为色散。在某个ε 值时 ( )I ε 等于 0ε = 时的一半，则 ε 称

为共振曲线（图 31）的半宽度。由公式（26.9）可知，这个宽度等于阻尼系数λ。曲线最大值的高度

2

(0)4

fImλ

=

与λ成反比。因此，阻尼系数越小，共振曲线越高，即最大值更尖。但这时共振曲线下

面的面积不变.这个面积由积分

内, δ 从零变化为 π− .（iii）当 0ωγ = 时, x → ∞ , 2π

δ −→ , 即图中虚线处.

批注 [u159]: 稳定

批注 [u160]: 2 212

F x mxα λ= =& &

批注 [u161]: 峰值更大

批注 [x162]: 注:不另列一段

第五章微振动

142

00( ) ( )I d I d

ωγ γ ε ε

∞ ∞

−=∫ ∫

给出。因为 ( )I ε 在 ε 增大时迅速减小，很大 ε 的区域无关紧要，可以在积分时将 ( )I ε 写

成（26.9）的形式，积分下限换为−∞ . 那么

2 2

2 2( )4 4f d fI d

m mλ ε π

ε εε λ

∞ ∞

−∞ −∞= =

+∫ ∫ . (26.10)

习题

习题试求外力 0 cos( )atf f e tγ= 作用下有摩擦的强迫振动。

解：我们求解复数形式的运动方程

2 t+i002 ,tfx x x e

mα γλ ω+ + =&& & ，

然后分离解的实部,结果可得强迫振动

cos( ),tx be tα γ δ= +

其中

02 2 2 2 2 20( 2 ) 4 ( )

fbm ω α γ αλ γ α λ

=+ − + + +

， 2 2 20

2 ( )tan2

γ α λδ

ω α γ αλ+

= −+ − +

.

习题详细推导过程习题

解：设方程 2 t+i002 tfx x x e

mα γλ ω+ + =&& & 的特解具有形式

tBex γα it+= ,

则有

t i( i ) tx Beα γα γ += +& , 2 t i( ) tx i Beα γα γ += +&&

将它们代入方程,得到:

,])i(2)[( it0it20

2 tt emfeiB γαγαωγαλγα ++ =++++

于是,有:

.])(22[ 222

0

0

imf

Bλαγγαλαω ++−++

=

可将B写成 δibe 的形式,

批注 [u163]: ε 很大

批注 [u164]: 取为

批注 [u165]: 取

第五章微振动

143

2 2 2 2 2 20

2 2 20

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0

i

( 2 ) 4 ( )

2 2( )i( 2 ) 4 ( ) ( 2 ) 4 ( )

(cos i sin ).

fBm

be bδ

ω α αλ γ γ α λ

ω α αλ γ α λ γ

ω α αλ γ γ α λ ω α αλ γ γ α λ

δ δ

= ⋅+ + − + +

+ + − − + + + + − + + + + − + + = = +

其中

02 2 2 2 2 20( 2 ) 4 ( )

fbm ω α γ αλ γ α λ

=+ − + + +

， 2 2 20

2 ( )tan2

γ α λδ

ω α γ αλ+

= −+ − +

.

则有：

[ ]t i i( ) cos( ) i sin( )t t t tx Be be e be t tα γ α γ δ α γ δ γ δ+ += = = + + +

取实部,可得解为

cos( )tx be tα γ δ= +

§27 参数共振

存在一种非封闭振动系统，外力的作用可以归结为其参数随时间的变化22。拉格朗日函数（21.3）中的m和 k就是一维系统的参数，如果它们依赖于时间，则运动

方程为

( ) 0.d mx kxdt

+ =& （27.1）

用新变量τ代替t , ( )m tdτ=dt ,则方程变为

2

2 0.d x mkxd

+ =τ

因此，不失一般性，研究下面形式的方程就足够了

22

2 ( ) 0.d x t xdt

+ =ω （27.2）

这个方程可以由（27.1）中令 constm = 得到。

函数ω(t)的形式由问题的条件决定。假设这个函数是周期的，频率为γ（周期为

T=2πγ）。这就是说，

ω(t+T)=ω(t),

因而方程（27.2）在变换 →t t+T下保持不变。由此可知，如果 ( )x t 是方程的解，则函数 22 一个简单的例子是单摆，其悬挂点在竖直方向上按给定周期规律运动（见习题 3）.

批注 [u166]: 一维系统的拉格

朗日函数(21.3)中的参数是

m和 k

批注 [u167]: 新的独立变量

批注 [u168]: 是频率为γ,周

期为T=2πγ的周期函数,

第五章微振动

144

( )x t T+ 也是解。换句话说，如果 1( )x t 和 2 ( )x t 是方程（27.2）的两个独立的解，则变量替

换 →t t+T后这两个函数可以用原函数线性表示。这种情况下可以选择 1x 和 2x 使得变量替

换 →t t+T导致乘以常数23,24

23 这种选择等价于将 1( )x t 和 2 ( )x t 的线性变换矩阵对角化,这需要求解相应的二次特征方程.我们假设这个方程没有重根.

24[过程补充] (27.2)是一个二阶齐次方程,故若 1( )x t 与 2 ( )x t 是相互独立的两个解，则其它所有解可用这

两个解线性表示出来。解 1( )x t 与 2 ( )x t 是线性独立的,指它们满足朗斯基(H. J. M. Wronski)行列式 ( )t∆

不为零的条件

1 1

2 2

( ) ( )( ) 0.

( ) ( )x t x t

tx t x t

∆ = ≠&&

设 1 '( )x t 与 2 '( )x t 为两个相互独立的解，且

1 11 1 12 2' ( ) ' ) ' )x t T x t x t+ = +μ （ μ （

2 21 1 22 2' ( ) ' ) ' )x t T x t x t+ = +μ （ μ （

则 11 12

21 22

μ μμ=μ μ

是变换系数矩阵,其特征方程为 0λ =E-μ ,即

11 1211 12 11 22 21 12

21 22

( ) ( ) 0

= − + + − =

2λ-μ -μ

λ μ μ λ μμ μμ-μ λ-μ

特征方程没有重根在该情况下等价于

2 21 11 12 11 22 21 12 11 12 21 12( ) 4( ) ( ) 4 0= + − − = + ≠Δ μ μ μμ μμ μ -μ μμ .

特征根为

22 11 11 ( )2±

= ± λ μ +μ Δ .

再求特征值相应的特征矢量,它们可以将前面的线性变换变为具有所要求的性质的解,下面我们按照另一种

方法处理.

现在令

1 1 2( ) ' ) ' )x t x t x t= +1 2λ （ λ （ 2 1 2( ) ' ' ) ' ' )x t x t x t= +1 2λ （ λ （

且要求它们具有性质

1 1 1( ) )x t T x t+ =μ（ 2 2 2( ) )x t T x t+ =μ （

由此可确定系数之间的关系.这表明可以找到具有特定性质的方程的解.

因为

批注 [u169]: 必定变换为它们

自身的线性叠加

批注 [u170]: 的结果仅是原函

数

第五章微振动

145

1 1 1 2 2 2( ) ), ( ) )x t T x t x t T x t+ = + =μ（ μ （

具有这种性质的函数一般形式为

1 1 2 2( ) ), ( ) )t T t Tx t t x t t= =1 2μ Π（ μ Π（ . （27.3）

其中 1 )tΠ（和 2 )tΠ（是时间的周期函数（周期为T）

这些函数中的常数 1μ和 2μ应该满足确定的关系。事实上，将方程

1 1 2 11 21 1 12 22 2

1 1 1 1 1 2

( ) ' ) ' ) ( ) ' ) ( ) ' )) ' ) ' )

x t T x t T x t T x t x tx t x t x t

+ = + + + = + + += = +

1 2 1 2 1 2

1 2

λ （ λ （ λμ λμ （ λμ λμ （

μ（ μλ （ μλ （

由此,有

11 21 12 221

+ += =1 2 1 2

1 2

λμ λμ λμ λμμ

λ λ

即

( )2

21 11 22 12 0

+ − − =

2 2

1 1

λ λμ μ μ μλ λ

同理

2 1 2 11 21 1 12 22 2

2 1 2 1 2 2

( ) ' ' ) ' ' ) ( ' ' ) ' ) ( ' ' ) ' )) ' ' ( ) ' ' ( )

x t T x t T x t T x t x tx t x t x t

+ = + + + = + + += = +

1 2 1 2 1 2

1 2

λ （ λ （ λμ λμ （ λμ λμ （

μ（ μλ μλ

故有

11 21 12 222

' ' ' '' '

+ += =1 2 1 2

1 2

λμ λ μ λμ λ μμ

λ λ

即

( )2

21 11 22 12' ' 0' '

+ − − =

2 2

1 1

λ λμ μ μ μλ λ

综合上面的讨论可见,

/2 1λ λ 与 ' / '2 1λ λ 是方程 ( )221 11 22 12 0x x+ − − =μ μ μ μ 的两个解.由于

该方程的判别式 2

2 11 22 21 12 1( ) 4 0= + ≠Δ μ -μ μμ =Δ (它等同于前面线性变换系数矩阵没有重根的条

件 ), 所以 /2 1λ λ 与 ' / '2 1λ λ 不同，即存在线性无关的两个解 1( )x t 与 2 ( )x t 使得

1 1 1( ) )x t T x t+ =μ（ , 2 2 2( ) )x t T x t+ =μ （ .不妨设

22 11 2

21

( )2

+=2

1

μ -μ Δλ

λ μ, 22 11 2

21

( )'' 2

−=2

1

μ -μ Δλ

λ μ

这在后面讨论 1μ和 2μ 的性质时用到.

批注 [u171]: 仅仅是时间

第五章微振动

146

1 1 2 2( ) 0, ( ) 0x t x x t x+ = + =&& &&2 2ω ω

分别乘以 2x 和 1x ，相减后可得

1 2 2 1 1 2 2 1( ) 0dx x x x x x x xdt

= =&& && & &- -

或者

1 2 2 1x x x x const=& &- . （27.4）

然而对任何形如（27.6）的函数 1( )x t 和 2 ( )x t , 在t变为t+T时，上面表达式左端乘以 1 2μμ。

所以，为了使等式（27.4）在任何条件下，必须有

1=1 2μμ . （27.5）

从方程（27.2）的系数为实数出发，可以进一步给出关于常数 1μ , 2μ 的结论。如果 ( )x t

是方程（27.2）的某个解，则复共轭函数 x∗(t)也满足该方程。由此可知，常数 1μ， 2μ应

该与另一对常数∗1μ，

∗2μ重合，即

∗1 2μ=μ或者 ,1 2μμ都是实数。在第一种情况下，考虑到

（27.5），有∗

1 1μ=1μ，即2 2

1= =1 2μ μ 。常数 1μ和 2μ的模都等于 1.

在第二种情况下，方程（27.2）的两个独立的解的形式为25

25[过程补充]若 2 0<Δ ,则 /2 1λ λ 与 ' / '2 1λ λ 为复数,

222 11

21 21

( )2 2

i=2

1

Δλ μ -μ+

λ μ μ, 222 11

21 21

' ( )' 2 2

i= −2

1

Δλ μ -μ

λ μ μ

1 11 21

= +

2

1

λμ μ μ

λ 2 11 21

''

= +

2

1

λμ μ μ

λ

又因为 11μ 和 21μ 均为实数,则 ( )*/ /′ ′=2 1 2 1λ λ λ λ ,所以有

1∗= 2μ μ , 2

∗= 1μ μ

但因 1=1 2μμ ,则有2 2

1 2μ =μ =1 .

若 2 0>Δ ,则 /2 1λ λ与 ' / '2 1λ λ 均为实数,

22 11 2 221 111 11 21

21

( )2 2 2

+ += + +

μ -μ Δ Δμ μμ μ μ =

μ

批注 [u172]: (27.3)

批注 [u173]: (27.4)左边的表

达式

批注 [u174]: 成立,

批注 [u175]: 信息

批注 [u176]: 其复共轭

批注 [u177]: 相同

第五章微振动

147

1 1( ) )Tx t t= tμ Π（， 2 2( ) )Tx t t= tμ Π（ , （27.6）

并且μ是不为 1的正实数或者负实数。这些函数之一（当 1>μ 和 1<μ 时为第一个或者第

二个函数）随时间指数增长。这就是说，系统的静止状态（在平衡位置 0x = ）不稳定：偏

离这个状态任意小量，都会使出现的位移 x随时间快速增长。这种现象称为参数共振。

应该注意的是，当 x和 x&的初值严格等于零时，它们以后也等于零，这不同于通常的共振（§22）。在通常共振情况下，从零初始条件出发位移也会随时间增长（正比于 t）。

下面我们研究一种重要的参数共振情况，函数ω(t)与常数 0ω 相差很小，并且是周期

函数

(1 cos )h+2 20ω(t)=ω γt . （27.7）

其中常数 1h = （可以认为 h是正数，这是因为总可以通过选择时间起点来实现）。下面将

会看到，如果函数ω(t)接近 0ω 的两倍，则参数共振更强烈。所以假设

+0γ=2ω ε

其中 = 0ε ω

求解运动方程26

[1 cos ] 0x h x+ + =&& 20ω γt （27.8）

时,我们假设解的形式为

( ) cos ( )sinx a t t b t t = + + +

0 0

ε εω ω

2 2 （27.9）

其中 ( )a t 和 ( )b t 是随时间变化很慢（与 cos和 sin相比）的函数.解的这个形式自然不是精

确的.事实上,函数x(t)也包括频率与 2+0ω ε 相差为2 +0ω ε的整数倍的项.然而.这些项是

h的高阶小量，在一阶近似中可以忽略（参见习题 1）.

将（27.9）代入（27.8）,保留ε的一阶项,这时假设 a aε∼& , b bε∼& ,(这个假设在共

振情况下的正确性由结果保证).将三角函数的乘积展开为三角函数之和,如

22 11 2 221 112 11 21

21

( )2 2 2

− += + = −

μ -μ Δ Δμ μμ μ μ

μ

故 1μ， 2μ 都是实数.令 1 =μ μ,则有 2 = -1μ μ ,此时

1 1( ) )Tx t t= tμ Π（ , 2 2( ) )Tx t t= -tμ Π（

26 这种方程(γ和 h是任意的)在数学物理中称为马丢(Mathieu)方程.

批注 [u178]: 2 2( ) )Tx t t−= tμ Π（

批注 [u179]: 模μ不为

批注 [u180]: 视 1>μ 或

1<μ 而为函数 1( )x t 或

2 ( )x t

批注 [u181]: 在平衡位置

0x = 的静止状态

批注 [u182]: 即使从

批注 [u183]: 确定一种重要的

情况中发生参数共振的条件,

批注 [u184]: 简单周期

批注 [u185]: 假定

批注 [u186]: 适当地选择

批注 [u187]: ω(t)的频率

γ接近两倍的 0ω ，则参数共

振最强烈

批注 [u188]: 包括与

2+0ω ε 相差为2 +0ω ε

的整数倍这样的频率项

批注 [u189]: 这个假设在共振

条件下的正确性由结果得到

确证

第五章微振动

148

1 1cos cos(2 ) cos 3 cos2 2

t t t t + + = + + +

g0 0 0 0

ε 3ε εω ω ε ω ω

2 2 2

等等,我们略去频率为3 +

0

εω

2的项,结果可得

2 sin(2 ) 2 cos 02 2

h ha b b t b a b t − + + + + − + + =

&& 0 0

0 0 0 0

ω ω εε ω ω ε ε ω ω

2

这个等式成立要求 sin和 cos的系数都等于零.由此可得函数 ( )a t 和 ( )b t 的两个线性微分方

程.我们来求这两个方程的正比于ste 的解.于是有

1 0,2 2

1 0,2 2

hsa b

h a sb

+ + =

− − =

0

0

ωε

ωε

这两个代数方程协调条件为27

27 [过程补充]当解的形式为(27.9),即

( ) cos ( )sinx a t t b t t = + + +

0 0

ε εω ω

2 2

时,有

0 0 0 0 0 0cos sin sin cos2 2 2 2 2 2

x a t a t b t b tε ε ε ε ε εω ω ω ω ω ω = + − + + + + + + +

&& &

2

0 0 0 0 0

2

0 0 0 0 0

cos 2 sin cos2 2 2 2 2

sin 2 cos sin2 2 2 2 2

x a t a t a t

b t b t b t

ε ε ε ε εω ω ω ω ω

ε ε ε ε εω ω ω ω ω

= + − + + − + +

+ + + + + − + +

&& && &

&& &

因为假定 ( ), ( )a t b t 变化非常缓慢,在保留到 ε 的一阶项的近似下,可假定 ( ) , ( )a t a b t bε ε∼ ∼&& ,而

,a b&&&& 是ε 的二阶小量,含有它们的项以及含 ,a bε ε&& 的项均可忽略,于是有,

( )

( )

20 0 0 0 0

20 0 0 0 0

2 sin cos2 2

2 cos sin2 2

x a t a t

b t b t

ε εω ω ω εω ω

ε εω ω ω εω ω

≈ − + − + +

+ + − + +

&& &

&

因为

批注 [u190]: ,按照上面所述,

批注 [u191]: 通常,我们

批注 [u192]: 相容

第五章微振动

149

2 14 2

hs = −2 20ω[( ) ε]. （27.10）

发生参数共振的条件是 s为实数(即 2 0s > )28.可见,参数共振发生在 02ω 附近的区间29

1 1cos(2 ) cos cos 3 cos2 2

t t t t + + = + + +

0 0 0 0

ε 3ε εω ε ω ω ω

2 2 2

1 1cos(2 ) sin sin 3 sin2 2

t t t t + + = + − +

0 0 0 0

ε 3ε εω ε ω ω ω

2 2 2

利用(27.7),忽略频率为3 +

0

εω

2的项,有

2 2 20 0 0 0

20 0 0

20 0 0

2 2 2 20 0 0 0 0 0

( ) ( ) cos sin2 2

cos(2 ) cos2

cos(2 ) sin2

1 1cos sin2 2 2 2

t x t a t b t

a h t t

b h t t

a a h t b b h t

ε εω ω ω ω ω

εω ω ε ω

εω ω ε ω

ε εω ω ω ω ω ω

= + + +

+ + + + + +

≈ + + + − +

2

0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( )1 12 sin 2 cos 02 2 2 2

x t t x t

a b b h t b a a h t

ω

ε εε ω ω ω ε ω ω ω

+

≈ − + + + + − + + =

&&

&&

由此,应有

0 01 12 0,2 02 2

a b b h b a a hε ω ε ω+ + = − + =&&

令 1 2,st sta k e b k e= = ,代入上式,有

0

0

1 1 02 21 1 02 2

sa h b

sb h a

ε ω

ε ω

+ + =

− − =

有不全为零解 ,a b的条件为上述方程组的系数行列式等于零,即

2 2 21 [( ) ]4 2

hs s= −0ω

28 在(27.6)中的常数µ 和 s的关系是 0/se π ωµ = − (当 t替换为 02 / 2t π ω+ 时,在(27.9)中的sin和cos改变符号). 29如果仅对共振的区间感兴趣,而对区间内 s的值不感兴趣,则计算可以简化.只要注意到在区间的边界上

0s = ,即(27.9)中的系数a和b为常数,这立即给出(27.11)中的边界 012

hε ω= ± .

批注 [u193]: ,即 2 0s >

批注 [u194]: 频率 02ω 两侧

第五章微振动

150

2 2h h

− 0 0ω ω<ε< （27.11）

这个区间的宽度与h成正比,振动增强指数 s在该区间有同量的量级.

在系统变化频率γ接近 02ω n ( n为任意整数)情况下,也会发生参数共振.但共振区间

(不稳定区间)的宽度随n以 nh 的规律迅速减小（见习题 2）.振动增强指数也同样减小.

在系统存在微弱摩擦时,也存在参数共振现象，但不稳定区间变小.在§25 中我们已经

看到,摩擦使振幅按 e−λt的规律减小.所以参数共振时振动增强规律为

(se −λ)t（正数 s是无

摩擦情况的解）,不稳定区间由等式 s −λ=0确定.于是,利用（27.10）中 s ,我们可得代替（27.11）的共振区间

2 4 2 4h h− −2 2 2 20 0- ( ω ) λ <ε< ( ω ) λ （27.12）

注意到，这时不是对任意小的 h都能发生共振，而是必须大于一个确定的“阈值” kh ,

在（27.12）情况下为

4kh =

0

λ

ω.

可以证明,对于接近频率 02ω n的共振,阈值 kh 正比于 n1λ ,即随着n增加.

习题

习题 1 试求在 02γ ω= 附近共振的不稳定区间边界,精确到 2h 量级.

解:设方程(27.8)的解形式为

0 0 0 0

1 0 1 0

cos( / 2) sin( / 2)cos3( / 2) sin 3( / 2)

x a t b ta t b t

ω ε ω ε

ω ε ω ε

= + + +

+ + + +

这里考虑了 h的更高阶项(与(27.9)比较).我们只对不稳定区间的边界感兴趣,假设系数

0 0 1 1, , ,a b a b 是常数(相应于在第 83页的脚注里提到的),在代入方程(27.8)时,将三角函数之

积化为三角函数之和,略去频率为 05( / 2)ω ε+ 的项,这些项在更高阶近似中才需要.于是我

们有

2 220 0

0 0 0 1 0

2 220 0

0 0 0 1 0

2 22 20 0

0 0 1 0 0 0 1 0

cos4 2 2 2

sin4 2 2 2

8 cos3 8 sin 3 02 2 2 2

h ha a a t

h hb b b t

h ha a t b b t

ω ωε εω ε ω

ω ωε εω ε ω

ω ωε εω ω ω ω

− + + + +

+ − + − + +

+ − + + − + =

批注 [u195]: 的值也是 h量级

的

批注 [u196]: 系统参量变化,

批注 [u197]: 2的脚注

批注 [u198]: 代替（27.11）我

们可得

批注 [u199]: 振幅h

批注 [u200]: 当(27.12)成立

时,

批注 [u201]: 上一个

第五章微振动

151

在频率为 0 / 2ω ε+ 的项中保留一阶和二阶小量,在频率为 03( / 2)ω ε+ 的项中保留一阶小

量.每个方括号内的表达式都应该分别等于零.由后面两个方括号可得

1 0 1 0,16 16h ha a b b= =

然后再由前面两个方括号可得

2 2 22

0 00 0

2 4 32h hω ωε

ω ε ± + − =

求解这个方程, 精确到2h 量级,我们可得不稳定区间边界的ε值:

2

0 0

2 32h hω ω

ε = ± −

习题 2 试求在 0γ ω= 附近共振的不稳定区间边界.

解: 令 0γ ω ε= + ,可得运动方程

2

0 0[1 cos( ) ] 0x h t xω ω ε+ + + =&&

注意到所求边界值2hε : ,我们求如下形式的解:

0 0 0 0 1 0 1 0 1cos( ) sin( ) cos 2( ) sin 2( )x a t b t a t b t cω ε ω ε ω ε ω ε= + + + + + + + +

在此式中同时考虑了两个一阶项.为了求不稳定区域边界,我们假定系数都是常数,得

2 220 0

0 0 1 0 1 0 0 0 1 0

2 22 20 0

0 1 0 0 0 1 0 0

22 0

0 1 0

2 cos( ) 2 sin( )2 2

3 cos 2( ) 3 sin 2( )2 2

02

h ha a h c t b b t

h ha a t b b t

hc a

ω ωω ε ω ω ε ω ε ω ε

ω ωω ω ε ω ω ε

ωω

− + + + + − + +

+ − + + + − + +

+ + =

由此可得

1 0 1 0 1 0, ,6 6 2h h ha a b b c a= = = −

于是可得不稳定边界30

2 2

0 05 1, .

24 24h hε ω ε ω= − =

习题 3 设平面摆的悬挂点在竖直平面内振动,试求此平面摆微振动的参数共振条件.

30 一般地,在频率 02 / nω 附近共振的不稳定区间的宽度 ε∆ 由下式给出

2 3 3( 1) 20 / 2 [( 1)!] ,n n nn h nε ω− −∆ = −

该结果是贝尔得到的(M.Bell,Proceedings of the Glasgow Mathematical Application 3,132,1957 )—英译本注

批注 [u202]: 竖直方向上

第五章微振动

152

解:根据§5的习题 3求得的拉格朗日函数,微振动( 1ϕ = )的运动方程为

( )20 01 4 cos 2 0a t

lϕ ω ω ε ϕ + + + = &&

其中20 /g lω = .由此可见, 4 /a l起着正文中小参数 h的作用.条件(27.11)写成如下形式:

3/2

2a gl

ε < .

§28 非简谐振动

此前的微振动理论建立在系统势能和动能分别展开到坐标和速度的二阶项基础上，这时

运动方程是线性的，在这种近似下研究线性振动。在振幅足够小的条件下这种近似是合理的，

然而，考虑更高阶的近似（称为非简谐振动或者非线性振动）会发现某些运动，尽管这些运

动是微弱的，但在本质上却具有新的特性。

我们将拉格朗日函数展开至 3 阶。这时势能中出现坐标 ix 的 3 阶项，在动能中出现速

度和坐标的乘积，如 ix& k lx x& 与表达式（23.3）不同的是，在函数 ( )ika q 的展开式中保留了 x

的一阶项。于是，拉格朗日函数的形式为

, , , , ,

1 1 1( )2 2 3ik i k ik i k ikl i k l ikl i k l

i k i k l i k lL m x x k x x n x x x l x x x= − + −∑ ∑ ∑& & & & ，（28.1）

其中 ,ikl ikln l 是新的常系数。

如果从任意坐标 ix 变换到简正坐标Qα（线性近似），则由于变换是线性的，（28.1）的

第 3和第 4个和变为类似的和，其中坐标 ix 和速度 ix& 将被Qα 和Qα& 代替。我们将这些和的

系数用 αβγλ 和 αβγµ 表示，拉格朗日函数可写成

2 2

, , , ,

1 1 1( ) .2 2 3

L Q Q Q Q Q Q Q Qα α α αβγ α β γ αβγ α β γα β γ α β γ

ω λ µ= − + −∑ ∑ ∑& & & (28.2)

我们不想完整地写出这个拉格朗日函数导出的运动方程。这个方程的形式为

2 2 ( , , ),Q Q f Q Q Qα α α αω+ =&& & && (28.3)

其中 af 是坐标Q及其对时间导数的二次齐次函数。

利用逐阶近似的方法，我们求方程的如下形式的解：

(1) (2)Q Q Qα α α= + ，（28.4）

批注 [u203]: 出现运动的某些

次要的，但定性来看完全不同

的性质

批注 [u204]: 阶项

批注 [u205]: 超级项

批注 [u206]: .与表达式(23.3)

的这种差别是由于

批注 [u207]: 线性近似下的简

正坐标Qα

批注 [u208]: 由这个

批注 [u209]: 这些方程的重要

特点是它们具有形式

第五章微振动

153

其中(2)Qα << (1)Qα ，函数

(1)Qα 满足“无扰”方程

(1) 2 (1) 0Q Qα α αω+ =&& ，

即为通常的简谐振动

(1) cos( )Q a tα α α αω α= + . （28.5）

在高一阶近似中，在（28.3）右端只保留到二阶小量，可得(2)Qα 的方程

(2) 2 (2) (1) (1) (1)( , , ),Q Q f Q Q Qα α α αω+ =&& & && （28.6）

其中右端应该代入（28.5）.结果我们得到线性非齐次微分方程，其右端可以变换为简单周

期函数之和，例如

(1) (1) cos( )cos( )Q Q a a t tα β α β α α β βω α ω α= + +

1 cos ( ) cos ( )2

a a t tα β α β α β α β α βω ω α α ω ω α α = + + + + − + − .

于是方程（28.6）右端各项相应于频率为系统固有频率之和、之差的振动。方程的解应

该包含同样周期的因子，因此在二阶近似中，在频率为 αω 的简谐振动上附加了频率为

α βω ω± (28.7)

的振动（也包括倍频和零频，零频相应于常数位移）。这些称为组合频率。组合振动的振幅

正比于简谐振动的振幅之积a aα β（或者2aα ）。

在拉格朗日函数的展开式中考虑更高阶小量的近似中，出现的组合共振的频率是更多频

率的和与差，此外还会出现一个新现象。这就是，在 3阶近似的组合频率中出现与原频率 αω

一致的 α β βω ω ω+ − 。在应用上述方法时，运动方程右端将有共振项，导致方程的解中出

现随时间增长的振幅。但是，从物理意义显然可知，没有外部能量来源的封闭系统不可能自

己增大振动强度。

事实上，在高阶近似中基频 αω 与出现在势能二次表达式中“无扰”值0

αω 相比发生了

变化。在解中出现随时间增长项，是因为下面类型的展开式31

(0) (0) (0)cos( ) cos( ) sin( )t t t tα α α α αω ω ω ω ω+ ∆ ≈ − ∆

在 t足够大时，显然不合理。

因此，在研究下一阶近似时，逐阶近似方法的形式需要改变，要使出现在解中的周期因

子，从开始就包含准确的而不是近似的频率。由运动方程的解无共振项条件可以确定频率的

改变。 31 [过程补充]因为 (0) (0) (0)cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )t t t t tα α α α α αω ω ω ω ω ω+∆ = ∆ − ∆ ,而 αω∆ 为小量,则在一级近

似下有cos( ) 1,tαω∆ ≈ sin( ) ,t tα αω ω∆ ≈ ∆ 代入前式即得所要求的关系.

批注 [i210]: 周期性

批注 [i211]: 简正

批注 [u212]: 倍频2 αω

批注 [u213]: 简正

批注 [u214]: 删去

批注 [u215]: 相同的频率

αω ( α β βω ω ω= + − )

批注 [u216]: 振幅随时间增长

的项

批注 [u217]: 角度

批注 [u218]: 的“无扰”值

(0)αω

批注 [i219]: 周期性

批注 [u220]: 中不出现共振项

的

第五章微振动

154

我们用单自由度非简谐振动介绍这种方法，将拉格朗日函数写成

222 3 40

2 2 3 4mmx m mL x x xω α β

= − − −&

(28.8)


2 2 30x x x xω α β+ = − −&& (28.9)

我们将寻求级数形式的逐阶近似解

(1) (2) (3) ,x x x x= + +

并且

(1) cosx a tω= (28.10)

中精确的ω将在后面以级数形式 (1) (2)0ω ω ω ω= + + +…求解出来（适当选择初始时刻，总

可以使初始相位角等于零）。但是这时方程(28.9)不是很方便，这是因为代入(28.10)后，方

程的右端不是严格等于零。所以我们预先将该方程形成等价形式

2 22 2 30 002 21x x x x xω ω

ω α βω ω

+ = − − − −

&& && (28.11)

此处假设 (1) (2)x x x= + ，(2)

0ω ω ω= + ，略去二阶以上的小量，可得 (2)x 的方程32

( 2) 2 (2) 2 2 (1)0 0

2 2(1)

0

cos 2 cos

cos(2 ) 2 cos .2 2

x x a t a ta a t a t

ω α ω ω ω ω

α αω ω ω ω

+ = − +

= − − +

&&

等式右端无共振项的条件容易给出 (1) 0ω = ，这与本节开始所讲的二阶近似方法一致。此后，

求解非齐次线性方程可得

2 2(2)

2 20 0

cos(2 ).2 6

a ax tα αω

ω ω= − + (28.12)

32[过程补充]将设定的解 (1) (2 )x x x= + 代入(28.11),则左边为

2(1) 2 (1) (2) 2 (2)0

2 ( )x x x xωω ω

ω+ + +&& &&

2(2) 2 (2)0

2 ( )x xωω

ω= +&&

将右边最后一项中与(2)x 有关的部分移项到左边,由此可得：

2(2) 2 (2) 2 3 (1)0

21x x x x xωω α β

ω

+ = − − − −

&& &&

再利用 (1) 2 (1)x xω= −&& ,同时略去二阶以上的小量,有 (2) 2 (2) (1)2 (1) (1)

0 02x x x xω α ω ω+ = − +&&

将 (1 ) co sx a tω= 代入即得结果.

批注 [u221]: 以一个自由度的

非简谐振动为例

批注 [i222]: 左端

批注 [u223]: 写成

批注 [i224]: (1)0ω ω ω= +

第五章微振动

155

进一步，在(28.11)中假设 (1) (2) (3)x x x x= + + ，(2)

0ω ω ω= + ，可得 (3)x 的方程

(3) 2 (3) (1) (2) (1)3 (2) (1)0 02 2x x x x x xω α β ω ω+ = − − +&&

或者将该方程右端代入(28.10)和(28.12)，经过简单的变换得33

2 2 2(3) 2 (3) 3 (2) 2

0 02 20 0

5 3cos(3 ) 2 cos .4 6 6 4

ax x a t a a tβ α αω ω ω ω β ω

ω ω

+ = − + + + −

&&

令共振因子 cos tω 的系数等于零，可得对基频的修正量

2(2) 2

30 0

3 5 ,8 12

aβ αω

ω ω

= −

(28.13)

它正比于振幅的平方。于是，3阶组合振动为34

33[过程补充]在(28.11)中代入

(1) (2) (3)x x x x= + + ，(2)

0ω ω ω= + ，得到

2(2) (3) 2 (2) (3) 2 3 (1)0

0 2( ) 1x x x x x x xωω α β

ω

+ + + = − − − −

&& && &&

等号右端保留到 3阶小量项，得：

( )(2) (3) 2 (2) (3) (1)2 (1) (2) (1)3 (2) (1)0 0( ) 2 2x x x x x x x x xω α β ω ω+ + + = − + − +&& &&

再将 (2) 2 (2) (1)20x x xω α+ = − （其中

(1) 0ω = ）代入，即得：

(3) 2 (3) (1) (2) (1)3 (2) (1)0 02 2x x x x x xω α β ω ω+ = − − +&&

再将(28.10)和(28.12)代入上式,得：

2 2( 3) 2 (3 ) 3 3 ( 2 )

0 02 20 0

2 3 2 3( 2 ) 3

02 20 0

2 3 2 3( 2 )

02 20 0

2 cos cos(2 ) cos 2 cos2 6

12 cos cos cos(2 ) (cos(3 ) 3 cos )3 4

2 cos cos(3 ) cos6

a ax x a t t a t a t

a aa t t t a t t

a aa t t

α αω α ω ω β ω ω ω ω

ω ω

α αω ω ω ω ω β ω ω

ω ω

α αω ω ω ωω ω

+ = − − + − +

= + − − +

= + − +

&&

( ) 3

2 2 2 23 ( 2 )

02 20 0

1 (cos(3 ) 3 cos )4

5 3cos(3 ) 2 cos6 4 6 4

t a t t

a aa t a t

ω β ω ω

α β α βω ω ω ω

ω ω

− +

= − + + + −

其中用了 3倍角公式 3cos3 4 cos 3cosθ θ θ= − . 34[过程补充]对方程

2(3) 2 (3) 3

0 20

[ ]cos(3 )4 6

x x a tβ αω ω

ω+ = − +&& 设试探解为 (3) cos(3 )x A tω= 并代入可得

22 2 3

0 20

(9 )4 6

A a β αω ω

ω

− = +

考虑到 0ω ω≈ ，则得

3 2

2 20 016 3 2

aA α βω ω

= +

由此即得(28.14).

第五章微振动

156

3 2(3)

2 20 0

( ) cos(3 ).16 3 2

ax tα βω

ω ω= + (28.14)

§29 非线性振动中的共振

在强迫振动中计入非简谐项，在共振现象中会出现本质的新特征。

在方程（28.9）右端加入周期（频率为γ ）外力，得

2 2 302 cosfx x x t x x

mλ ω γ α β+ + = − −&& & （29.1）

其中考虑了阻尼系数为λ（下面假设为小量）的摩擦力。严格地讲，在自由振动方程中考虑非线性项的同时，也应该考虑强迫力幅值中的高阶项，这些高阶项对应于强迫力对位移 x可能的依赖关系。我们不计入这些项仅仅是为了简化公式，它们不改变现象的本质。

设

0γ ω ε= +

（ε是小量），即接近于通常的共振。利用下面的方法，我们不研究方程（29.1）就可以探讨所产生运动的特性。

在线性近似中，在共振附近，强迫振动的振幅 b对外力的幅值 f 和频率γ 的依赖关系

由（26.7）给出，该公式可以写成

.4

)( 20

2

2222

ωλε

mfb =+ （29.2）

振动的非线性导致固有频率对振幅的依赖，将固有频率写成

20 bχω + （29.3）

其中常数χ可以用非简谐系数表示（参见（28.13））。相应地，在公式（29.2）中（确切地

说是在很小的差 0ωγ − 中）用2

0 bχω + 代替 0ω 。仍采用记号 0ωγε −= ，结果可得方程

20

2

22222

4])[(

ωλχε

mfbb =+− （29.4）

或者

22

0

2 )2

( λω

χε −±=bm

fb

批注 [x225]: （比如当外力的

幅值依赖于位移 x时会产生

高阶项）

批注 [x226]: 影响定性的结果

批注 [x227]: γ 接近于通常的共振值

批注 [x228]: 是非简谐系数的

确定的函数

第五章微振动

157

方程（29.4）是 2b 的三次方程，它的实根确定强迫振动的振幅。在给定外力幅值 f 时，

我们研究这个振幅对外力频率的依赖关系。

当 f 足够小时，振幅b也很小，可以在（29.4）中忽略b的二阶以上项，我们就得到函

数关系 )(εb （参见（29.2）），用极大值点为 0=ε 的对称曲线表示（图 32a）。随着 f 的增大，

曲线发生变形，开始还保持其特性，即有一个极大值（图 32b），但极大值移到正ε一边（当

0>χ 时）。这时方程（29.4）的 3个根中只有一个是实数。

然而，从某个特定值 kff = （我们下面再确定）开始，曲线的性质发生改变。对于每

个 kff > 都存在方程（29.4）有 3个实根的区域，相应于图 32c中的 BCDE。

在D点和 C点的条件 /db dε = ∞确定这个区域的边界。将方程（29.4）对ε 求导得

3

2 2 2 2 44 3db b bd b b

ε χε ε λ χε χ

− +=

+ − +

所以确定 D点和 C点位置的方程为（29.4）和

2 2 2 4 24 3 0b bε χε χ λ− + + = （29.5）

ε 的两个值都是正的，在 / 0db dε = 的点，振幅达到最大

值。这时 2bε χ= ，由（29.4）得

max02

fbmω λ

= （29.6）

这个值与（29.2）给出的最大值相同。

可以证明（我们不在这里给出）35，方程（29.4）的 3个实根中的中间根（即图 32c上的虚线段 CD），相应于不稳定振动：任意小的微弱作用都会使系统转到相应于较大根或者较小根的振动（即 BC段或 DE段）。因此，只有 ABC和DEF两个分支对应着系统的实际振动，这时存在允许两个不同振幅的频率区域是非常重要的特性。所以，在外力频率逐渐增大时，强迫振动的振幅沿着曲线 ABC增大，在 C点振幅发生间断，跃落到 E点，然后（在继续增大频率的情况下）沿着曲线 EF变化. 如果现在减小频率，强迫振动振幅将沿着 FD变化，在 D点突跳到 B点，然后沿着 BA减小。

为了计算 kf ，我们注意到，这是（2b 的）二次方程（29.5）有重根时对应的 f 。当 kf f=

35 证明可以在下面书中找到: N.N. Bogoliubov and Y.A. Mitropolsky, Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations, Hindustan Publishing Corporation, Delhi, 1961. (中译本, H.H.包戈留包夫, Ю.А. 米特

罗波尔斯基.非线性振动理论中的渐近方法. 金福临等译.上海:上海科学技术出版社,1963)

批注 [x229]: 回到（29.2）给

出的函数关系 )(εb , 可用在

0=ε 点有极大值的

批注 [x230]: 有一个极大值的

特性

批注 [x231]: 频率区间，相应

于图 32c中的 BCDE部分

批注 [x232]: 区间

批注 [x233]: ,

批注 [x234]: CD表示的根），

相应于系统的不稳定振动：任

意小的微弱作用都会使处于

这种态的系统

批注 [x235]: 非常重要的特性

是,存在允许两个不同振幅的

频率区间

批注 [x236]: 例如,

批注 [x237]: 不连续的跃变,

突然减小到 E点对应的值

第五章微振动

158

时，整个曲线段 CD变为一个拐点。令二次方程（29.5）的判别式等于零，得 2 23ε λ= ，相

应的根为 2 23b εχ = 。代入方程（29.4）可得

2 2 32 032

3 3kmf ω λ

χ= （29.7）

当 0γ ω≈ 时，振动的非线性除了使共振的性质改变，还导致出现新型的共振，即频率

远离 0ω 的外力可以激起频率接近 0ω 的振动。

设外力频率为 0 2γ ω≈ ，即

0 2γ ω ε= +

在一阶线性近似中,外力激起同频率的振动，振幅与外力幅值成正比，即

(1) 020

4 cos3 2

fx tm

ωε

ω = +

(根据公式（22.4）). 考虑非线性后，在二阶近似中，在方程（29.1）右端出现频率为 02γ ω=

的项。就是说，将(1)x 代入方程

(2) (2) 2 (2) (2)2 (2)3 (1)202x x x x x xλ ω α β α+ + + + = −&& &

引用倍角的余弦并在方程的右端仅保留共振项，得36

2(2) (2) 2 (2) (2)2 (2)3

0 02 40

82 cos( 2 )9

fx x x x x tmα

λ ω α β ω εω

+ + + + = − +&& & （29.8）

这个方程与（29.1）的不同之处仅在于，表达式中力的幅值 f换成 f2，这就是说，这个共振

与前述γ≈ω0共振性质相同，但强度较小。在方程（29.4）中用-8αf2/(9m2ω04)代替 f（以

及用 2ε代替ε），可得函数关系 ( )b ε :

2 42 2 2 2 2

4 100

16[(2 ) ]81

fb bmα

ε χ λω

− + = (29.9)

下面设外力频率为

0γ 2ω ε= +

36 [补充说明]由 (1)x 的表达式,有 [ ]

2 2(1)2 0

02 2 40 0

4 8cos cos( 2 ) 13 2 9

f fx t tm m

ω αα α ε ω ε

ω ω − = − + = − + +

,在只保

留共振项,即右边第一项时,有2

02 40

8 cos( 2 )9

f tmα

ω εω

− + .

批注 [x238]: 二重根

批注 [x239]: 激发

批注 [x240]: 激发

批注 [x241]: 见

批注 [x242]: 02γ ω≈

批注 [x243]: 运用

批注 [x244]: 力的幅值 f换成

正比于2f 的表达式

批注 [x245]: 类型

批注 [x246]: 2 408 / (9 )f mα ω−

代替 f以及用 2ε代替ε

第五章微振动

159

在一阶近似中有

tm

fx )2cos(3 02

0

)1( εωω

+−=

将 (1) (2)x x x= + 代入方程（29.1），我们得不到像前一种情况下的具有共振外力性质的项。

但由于正比于 (1) (2)x x 的 3 阶项而产生参数共振。如果在所有的非线性项中仅保留这一项，

则得(2)x 的方程：

)2()1()2(20

)2()2( 22 xxxxx αωλ −=++ &&&

或者

(2) (2) 2 (2)0 04

0

22 1 cos(2 ) 03

fx x t xmα

λ ω ω εω

+ + − + =

&& & （29.10）

这是（27.8）类型的方程（考虑摩擦），在一定的频率区间内振动不稳定。但是，为了确定合成振幅，这个方程还不够。最终振幅的确定与非线性效应相关，为此在运动方程中应该保留 x(2)

的非线性项：

(2) (2) 2 (2) (2)2 (2)3 (2)0 02

0

22 cos(2 )3

fx x x x x x tmα

λ ω α β ω εω

+ + + + = +

&& &

（29.11）

注意到下面的情况，研究这个问题可以大大简化。在方程（29.11）右端，令

(2)0cos

2x b tε

ω δ = + +

(其中 b 是待求的共振振幅，常数δ是相位平移，它对后面研究不重要)，同时将两个周期因子之积写成两个余弦之和，可得

02

0

cos3 2

fb tmα ε

ω δω

+ −

这是具有通常共振性质的项（对于固有频率ω0），所以问题转化为本节开始段落研究的通常

的非线性系统共振，区别仅在于20/ (3 )fb mα ω 起到外力幅值的作用（用ε/2替换了ε）。在

方程（29.4）中做这样的替换，得

2 2 2 22 2 2

2 602 36

f bb bm

ε αχ λ

ω

− + =

求解该方程得可能的振幅值：

0=b （29.12）

批注 [x247]: 中出现的表示共

振外力的项.然而,

批注 [x248]: 如我们已看到的,

在一定的频率范围内

批注 [x249]: 这个方程还不足

以确定振动的合成振幅

批注 [x250]: 有限振幅

批注 [x251]: 事实,

批注 [g252]: 相位差

批注 [x253]: 将两个余弦函数

之积写成和的形式，可得(相

对于系统的固有频率ω0而言

的)通常类型的共振项为

批注 [x254]: 由此,

批注 [x255]: 约化为本节开始

所

批注 [x256]: 这里外力幅值为

20/ (3 )fb mα ω ,ε/2代替ε

第五章微振动

160

22 2

30

12 6

fbm

ε αλ

χ ω

= + − （29.13）

22 2

30

12 6

fbm

ε αλ

χ ω

= − − （29.14）

图 33画出了所得的 b对ε的依赖关系（对于 0χ > ，当 0χ < 时曲线方向相反）。B点

和 C点相应于37 2

230

43

fmα

ε λω

= ± −

在 B点左边只可能有 0b = ，即没有共振，也不可能激发频率为 0ω 的振动.在 B和 C之间有

两个根： 0b = （图 33上线段 BC）和表达式（29.13）（分支 BE）.C点右边存在 3个根（29.12）—（29.14）.但是，不是所有这些值都对应稳定的振动.在 BC段38上 0b = 不稳定，并且可以

证明，相应于根（29.14）（位于另外两个根之间）的振动总是不稳定的.在图 33上不稳定的b值用虚线表示.

我们研究外力频率逐渐减小的情况下，初始“静止”39系统的行为.在到达C 点之前0b = ，然后跳跃到分支 EB上.继续减小ε ，振幅在B点减小到零.反之，增大频率使振幅沿

着 BE增大40. 我们所研究的共振是产生在非线性振动系统中的主要情况.在更高阶近似中会出现其它

37 [补充说明]在(29.13)和 (29.14)中令 0b = 即得相应的频率ε . 38 这一段恰好相应于参数共振区间（27.12），比较（29.10）和（27.8）有 4

02 / (3 )h f mα ω= .所研究

现象可能存在的条件

40

2 43

fmα

λω

>

相应于不等式 kh h> . 39 注意，我们这里研究的只是共振，没有共振并不意味着系统静止，系统存在频率为γ 的微弱强迫振动. 40 注意，所有给出的公式只有在振幅b（以及ε ）足够小情况下成立.事实上，曲线 BE和CF 相交于一点，达到这点时振动停止因而 0b = .

批注 [x257]: 画出了 0χ > 时

b对ε的依赖关系.当 0χ <时曲线由图示曲线对 b轴的

反射得到

批注 [g258]: 接近 0ω 的振动

批注 [x259]: 例如,我们

批注 [g260]: 在 C点，系统的

状态

批注 [g261]: 当频率又增大

时，振幅沿着BE增大

批注 [x262]: 上面所研究的共

振是在非线性振动系统中可

能出现的

第五章微振动

161

频率的共振.严格地讲，共振应该发生在满足关系式 0 0n mγ ω ω+ = （m， n是整数）的任

意频率γ 上，也就是说，在任意的 0 /p qγ ω= （ p， q为整数）的情况下，都应该发生共

振.但是，随着近似阶数的增加，共振现象的强度（以及发生共振的频率区间）迅速减小，

实际上可以观察到的共振只能是 0 /p qγ ω≈ 并且 p， q的值都不大的情况.

习题

习题试求在频率 03γ ω≈ 上共振的函数关系 ( )b ε .

解：在一阶近似中

(1)

020

cos[(3 ) ]8

fx tm

ω εω

= − +

对二阶近似 (2)x ，由（29.1）可得方程

(2) (2) 2 (2) (2)2 (2)3 (1) (2)2

02 3x x x x x x xλ ω α β β+ + + + = −&& &

其中等式右端只写出了导致所研究共振的项.在该方程中假设 (2)0cos

3x b tε

ω δ = + +

并从 3个余弦的乘积中分出共振项，可得方程右端表达式为

2

020

3 cos 232 3

b f tm

β εω δ

ω + −

由此可见，b对ε 的依赖关系，可以在方程（29.4）中用2 2

03 / (32 )b f mβ ω 代替 f ，用 / 3ε

代替ε 求得：

2 2 22 2 2 4 4

12 2 60

9]3 2

fb b b Abm

ε βχ λ

ω

− + = ≡

.

这个方程的根为

0b = ，2

2 22 2

13 2 3 4

A A Ab ε ελ

χ χ χ χ χ= + ± + − .

在图 34 上画出了 b对 ε 的依赖关系的特征曲线

( 0)χ > . 0b = （横轴）和分支 AB 对应于稳定的振

动. A点相应的值为

2 2 23(4 )4k

AA

χ λε

χ−

= ，2 2 2

22

44k

AbA

χ λχ

+= .

只有在 kε ε> 和 kb b> 情况下存在振动.由于状态 0b = 总是稳定的，因此为了激起振动，初

批注 [x263]: 每一个频率γ

批注 [x264]: 对每一个

批注 [x265]: 删去

批注 [x266]: 删去

批注 [x267]: 区间大小

批注 [g268]: 以致实际上可以

观察到的共振只能是频率

0 /p qγ ω≈

批注 [x269]: 激发

第五章微振动

162

始的“推动”是必须的.

所得的公式只有在 ε足够小时才成立.如果力的幅值满足条件2

0 0/ /Aλ ω χ ω= = ，

则λ是小量可以保证ε 为小量.

习题详细推导过程习题解：在一阶近似中,不用考虑非线性项,在外力的频率附近的共振由公式（22.4）的第

二项,即

2 2 cos( )( )

f tm

γ βω γ

+−

描述.于是在上式中代入 03γ ω ε= + ，并略去二阶小量项和非共振项,得到

(1)02

0

cos[(3 ) ]8

fx tm

ω εω

= − +

现在考虑二阶近似 (2)x .由（29.1）先做一阶近似 )1(xx = ，这里保留非线性项,得到

(1) (1) 2 (1) (1)2 (1)3

02 cosfx x x t x xm

λ ω γ α β+ + = − −&& & (a)

再做二阶近似(1) (2)x x x= + ，代入(29.1)得到

(1) (2) (1) (2) 2 (1) (2) (1) (2) 2 (1) (2) 302 ( ) ( ) cos ( ) ( )fx x x x x x t x x x x

mλ ω γ α β+ + + + + = − + − +&& && & & (b)

(b)-(a)得：

(2) (2) 2 (2) (2)2 (1) (2) (2)3 (1)2 (2) (1) (2)2

02 ( 2 ) ( 3 3 )x x x x x x x x x x xλ ω α β+ + = − + − + +&& &

等式右端仅保留所要考虑的共振项,得到：

( 2) (2) 2 ( 2) ( 2)2 (2)3 (1) ( 2)2

02 3x x x x x x xλ ω α β β+ + + + = −&& & (c)

在上面的方程中假设

(2)0cos

3x b tε

ω δ = + +

则方程(c)的右边变为：

22

0 020

3 cos[(3 ) ]cos8 3

b f t tmβ ε

ω ε ω δω

+ + +

利用倍角公式，有

02

020

1 cos 2 233 cos[(3 ) ]

8 2

tb f t

m

εω δ

βω ε

ω

+ + + +

第五章微振动

163

再利用积化和差公式1cos cos [cos( ) cos( )]2

α β α β α β= − + + ,并从中分出常规类型的共

振项(即在系统的固有频率 0ω 附近的共振)，方程(c)的右端变为

2

020

3 cos 232 3

b f tm

β εω δ

ω + −

与(29.1)相比较,这相当于外力幅值为2 2

03 / (32 )b f mβ ω ,且用 / 3ε 代替ε 时的受迫振动.

于是在方程（29.4）中用2 2

03 / (32 )b f mβ ω 代替 f ，用 / 3ε 代替 ε可得b对 ε的函数关系

为

2 2 22 2 2 4 4

12 2 60

93 2

fb b b Abm

ε βχ λ

ω

− + = ≡

. (d)

由式(d)可解得下列根:

(i). 0b = 为单根;

(ii). 0b ≠ ，则将(d)两边消去 2b ,可得关于变量 2b 的一元二次方程

22 4 2 22 0

3 9b A b ε

χ εχ λ − + + + = ，

由此利用求根公式可得

22 2

2 2

13 2 3 4

A A Ab ε ελ

χ χ χ χ χ= + ± + − (e)

对(e)式两边同时对ε 求导，得到：

2

22 2

2

13

63 4

db Ad A Aε χ ε

χ λχ χ

= ±

+ −

当2db

dε= ∞时，对应图 34中的 A点，此时有

22

2 03 4

A Aελ

χ χ+ − =

故 A点相应的ε值(记为 kε )为

2 2 23(4 )4k

AA

χ λε

χ−

= ，

将此值代入(e)可得相应的外力幅值为

第五章微振动

164

2 2 22

24

4kAb

Aχ λ

χ+

= .

只有在 kε ε> 和 kb b> 情况下存在振动.

§30 快速交变场中的运动

我们研究同时受到定常场U 和随时间变化的高频力

1 2cos sinf f t f tω ω= + ( )30.1

作用的质点的运动，其中 1f , 2f 是坐标的函数. 高频是指频率满足条件ω1T

? ，其中T 与

与质点在定常场 U中运动周期同量级。从数量上讲,力 f 不比场 U的作用力弱. 但是我们将

假设这个力引起的振动位移很小（以下用ξ表示）。

为了简化计算，我们首先研究在仅依赖于一个空间坐标 x的力场中的一维运动。那么质点运动方程为41

dUmx fdx

= − +&& 。 (30.2)

由作用在质点上力场的性质可知，质点的运动是沿着某个平稳的轨迹移动，同时在轨

迹附近做一维小幅振动(频率为ω )。因此我们假设函数 ( )x t 的形式为

( ) ( ) ( )x t X t tξ= + ， ( )30.3

其中 ( )tξ 是微振动。

函数 ( )tξ 在其周期 2 /π ω之内的平均值等于零，但函数 ( )X t 在这段时间内变化很小。

若用字母上面加横线表示平均值，则有 ( )x X t= ，即函数 ( )X t 描述按快速振动平均化以

后得到的“平稳”运动。我们将推导确定这个函数的方程42。

将 ( )30.3 代入( )30.2 并按ξ展开,精确到一阶项,得43

41 坐标 x不一定是笛卡尔坐标系，系数m因而不一定就是粒子的质量，也不一定是（30.2）中所假设的常数，这一假设并不影响最终的结果（见本节最后一个脚注）。 42 下述方法是基于卡皮采（1951，P.L.Kapitza）的思想。P.L. Kapitza, J. Exp. Theor. Phys. 21 (1951), 588.

43[过程补充] 由(30.4),将相关函数对ξ作 Taylor展开,并保留到ξ 的一阶项,

( ) ( ) ( ) ( )dU XU x U X U X

dXξ ξ= + ≈ +

( ) ( ) ( )2

2

dU x dU X d U Xdx dX dX

ξ≈ + ⋅ (a)

批注 [x270]: 势场

批注 [x271]: 仅是

批注 [x272]: 仅在定常场U中

运动的周期有相同的数量级

批注 [x273]: 大小

批注 [x274]: 相应的力弱

批注 [x275]: 位移（下文用ξ

表示）很小

批注 [x276]: 删去

批注 [s277]: 平滑

批注 [x278]: 频率为ω的一维微振动

批注 [x279]: 的幂展开

第五章微振动

165

( )2

2 ,dU U fmX m f X tdX X X

ξ ξ ξ∂ ∂

+ = − − + +∂ ∂

&&&& (30.4)

在这个方程中出现了不同性质的项,即振动项和平稳项. 显然,应该在这两组的每一组中分别相消。对于振动项,只需写出

( ),m f X tξ =&& (30.5)

其它项包含小量ξ，比我们写出的项小很多（导数ξ&&正比于 2ω ，不是小量）。将 ( )30.1 代

入 ( )30.5 , 积分（这时将 X 看作常数）得44

2f

mξ

ω= − (30.6)

现在,我们将方程（30.4）对时间平均（按上面所指的意思）。因为一阶的 f 和ξ的平均值为

零，可得方程

1 ,2dU f dU fmX fdX X dX Xm

ξω

∂ ∂= − + = − −

∂ ∂&&

该方程只含函数 ( )X t .最后重新写成

effdUmX

dX= −&& (30.7)

其中“等效势能”为45

2 2 21 22 2

1 1 ( ).2 4effU U f U f f

m mω ω= + = + +

(30.8)

比较此式和（30.6）可见，附加的项（与场U相比）不是别的，正是振动动能的平均值46

( ) ( ) ( ), , , ff x t f X t f X tX

ξ ξ∂

= + ≈ +∂

(b)

将这些表示式代入(30.2)即可得(30.4) 44 [补充说明]将 X 看作常数时,在(30.1)代入(30.5)后, 1f 和 2f 为常数,于是对(30.5)的积分就是对三角函数的积分.这里积分常数均取为零. 45 在m依赖于 x的情况下，经过较长的计算可以证明，公式（30.7），（30.8）还是成立的. [过程补充]因为

2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2

( cos sin ) cos sin 2 cos sin1 1( ) ( )cos 2 2 cos sin2 2

f f t f t f t f t f f t t

f f f f t f f t t

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω

= + = + +

= + + − +

则有

2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 20 0 0 0

2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 20 0

1 1 1 1( ) ( ) cos 2 2 cos sin2 2

1 1 1 1 1( ) ( ) sin 2 2 sin ( )2 2 2 2 2

T T T T

TT

f f dt f f dt f f t dt f f t tdtT T T T

f f f f t f f t f fT T

ω ω ω

ω ωω ω

= = + + − +

= + + − + = +

∫ ∫ ∫ ∫

46 [过程补充]由(30.6),可得

批注 [x280]: 显然,方程两边

它们应该分别对应相等。

批注 [s281]: 因此是高阶小量

批注 [x282]: 但是导数

批注 [x283]: f 和ξ 的一次

幂

批注 [s284]:

2

1 ,

dU fmXdX X

dU ffdX m X

ξ

ω

∂= − +

∂∂

= − −∂

&&

批注 [x285]: 方程可以重新写

为

批注 [x286]: “有效势能”定

义为

批注 [x287]: 到场U 中的项

第五章微振动

166

2 .2effmU U ξ= + &

(30.9)

可见, 质点的运动对振动平均后，就像在定常场U之外还有一个附加的定常场，该附加场依赖于变场幅值的平方。

所得的结果很容易推广到用广义坐标 iq 描述的任意自由度系统，等效势能表达式（代

替（30.8））为

12

,,

1 ,2 2

ikeff ik i k i k

i ki k

aU U a f f U ξ ξω

−= + = + ∑∑ & &

(30.10)

其中1

ika−（一般来说为坐标的函数）是动能系数 ika （参见（5.5））构成的矩阵之逆矩阵的

元素。

习题

习题 1 试求摆的稳定平衡位置,假设悬挂点以高频 ( / )g lγ γ ? 在竖直方向振动.

解:由§5的习题 3情况 c所得的拉格朗日函数可知,在这种情况下,变力为

2 cos sinf mla tγ γ ϕ= −

(用角ϕ代替 x).所以等效势能为

2 2

2cos sin4effaU mgl

glγ

ϕ ϕ

= − +

稳定平衡位置相应于这个函数取极小值.摆竖直向下( 0ϕ = )总是稳定的.在满足条件

2 2 2a glγ >

的情况下,摆竖直向上(ϕ π= )也是稳定的.

习题 2 同上题,但悬挂点水平振动.

1 21 ( sin cos )f t f t

mξ ω ω

ω= −& ,

则有

2 21 22 2

2 2 2 21 2 1 2 1 22 2

1 ( sin cos )

1 ( ) ( ) cos2 2 sin cos2

f t f tm

f f f f t f f t tm

ξ ω ωω

ω ω ωω

= −

= + + − + −

&

以及

2 2 21 22 2

1 ( )2

f fm

ξω

= +&

于是

2 2 21 22

1 1 ( )2 4

m f fm

ξω

= +&

与(30.8)右边的第二项相同.

批注 [x288]: 对振动平均后的

质点的运动，与在定常势场

U 加上正比于变场幅值平方的定常场中的运动相同。

批注 [x289]: 有效

批注 [x290]: 不是(30.8),而是

批注 [x291]: 系统的动能

（5.5）的系数 ika

批注 [x292]: 有效

第五章微振动

167

解: 由§5的习题 3情况 b所得的拉格朗日函数可知, 2 cos cosf mla tγ γ ϕ= ,然后可得

2 22cos cos

4effaU mgl

glγ

ϕ ϕ

= − +

如果2 2 2a glγ < ,则平衡位置 0ϕ = 稳定. 如果

2 2 2a glγ > ,则稳定平衡位置相应于

2 2

2cos gla

ϕγ

= .


习题 1：由§5的习题 3情况 c知,系统的拉格朗日函数为

22 2 cos cos cos


这里2,mlϕ 分别对应于(30.2)中的 x和 m,定常势场为

cosU mgl ϕ= −

(30.2)右边对应于所谓的拉格朗日力,即

2 cos sin sinLQ mla t mglγ γ ϕ ϕ

ϕ∂

= = − −∂

上式中第二项为重力所产生的回复力矩,即(30.2)右边的 /dU dϕ− , 第一项为驱动力(实

际上是力矩),2 cos sinf mla tγ γ ϕ= − .与(30.1)比较,有

21 sinf mlaγ ϕ= − , 2 0f = .于是

据(30.8),有效势能为

( )22 2 21 22 2 2 2

2 22

1 1( ) cos sin4 4

cos sin4

effU U f f mgl mlam l m l

amglgl

ϕ γ ϕγ γ

γϕ ϕ

= + + = − +

= − +

在稳定平衡点处应该满足条件

2

20, 0eff effU Uϕ ϕ

∂ ∂= >

∂ ∂ ,即

2 2

22 2

1sin cos 0,222cos cos 1 0

mgl ma

gla

ϕ γ ϕ

ϕ ϕγ

+ = + − >

由上式中的第一式可得

第五章微振动

168

sin 0,ϕ = 或 2 2

2cos gla

ϕγ

= − ,

即

0,ϕ π= 或在 2 22 1gla γ

< 时, 2 22arccos gla

ϕ πγ

= − .

在要求满足第二式的条件下,有

(i) 0ϕ = ,即竖直向下的位置是稳定平衡位置;

(ii)如果 2 2

2 1gla γ

< ,则ϕ π= 也是稳定平衡位置

而平衡位置 2 22arccos gla

ϕ πγ

= − 总是不稳定的.

习题 2：由§5的习题 3情况 b知,系统的拉格朗日函数为

22 2 cos sin cos


类似于习题 1 可得 2 cos cosf mla tγ γ ϕ= .与(30.1)比较,有2

1 cosf mlaγ ϕ= , 2 0f = .据

(30.8),有效势能为

2 2

2 2 21 22 2

1 ( ) cos cos4 4eff

aU U f f mglm l gl

γϕ ϕ

γ

= + + = − +

稳定平衡时应该满足条件

2

20, 0eff effU Uϕ ϕ

∂ ∂= >

∂ ∂ ,即

2 2

22 2

1sin cos 0,222 cos cos 1 0

mgl ma

gla

ϕ γ ϕ

ϕ ϕγ

− = − − <

由此可解得：

sin 0,ϕ = 或 2 22cos gla

ϕγ

=

即

0,ϕ π= 或在 2 2

2 1gla γ

< 时, 2 2

2arccos gla

ϕγ

= .

因为

第五章微振动

169

2 2

22 2 2 2

2

2 2 2 2

21 , ( 0)

2 22cos cos 1 1 , ( )

2 21,( arccos )

gla

gl gla a

gl gla a

ϕγ

ϕ ϕ ϕ πγ γ

ϕγ γ

− =− − = + = − =

则有

(i)若 2 2

2 1gla γ

> , 0ϕ = 是稳定平衡位置;

(ii)若 2 2

2 1gla γ

< ,则 2 2

2arccos gla

ϕγ

= 是稳定平衡位置;

而平衡位置ϕ π= 总是不稳定的.

第六章刚体的运动

170


§31 角速度

在力学中刚体是指质点间距离保持不变的质点组成的系统.当然,自然界中的实际系统满

足这个条件只能是近似的.通常情况下,大部分固体的形状和尺寸变化很小,在研究它作为一

个整体的运动规律时,完全可以不考虑这些变化.

为了推导方便，我们下面将刚体当作离散质点的集合。然而，这与力学中将刚体当作连

续体而不考虑内部结构并不矛盾。将当作离散质点系得到的公式转换为当作连续体的公式，

只需将质点的质量换成体积微元 dV包含的质量 ρdV（其中 ρ是刚体的密度）并对这个刚体

积分。

为了描述刚体的运动，我们将引入两个坐

标系：“固定”坐标系，即惯性坐标系 XYZ,以

及与刚体固连并参与刚体全部运动的动坐标系

x1=x , x2=y , x3=z.取刚体质心为动坐标系原点

比较方便。

刚体相对固定坐标系的位置完全由动坐标

系的位置确定。设径矢 R表示动坐标系原点的

位置（图 35）。动坐标系的坐标轴相对固定坐

标系的指向由 3个独立的角确定，连同径矢 R的分量共有 6个坐标。因此，刚体有 6个自

由度。

我们研究刚体的无穷小位移，可以将其表示为两个位移之和。其中一个是无穷小的平移，

使质心从初位置变为末位置，但不改变动坐标轴的指向。第二个是绕质心的无穷小转动，使

刚体达到最终位置。

我们将刚体上任意点 P 在动坐标系中的径矢用 r 表示，而在固定坐标系中的径矢用 τ

表示，那么 P 点的无穷小位移 dτ 等于质心位移 dR 与绕质心转动无穷小角度dϕ产生的位

移 d ×φ r之和（参见（9.1））：

= +d d d ×τ R φ r

将等式除以位移发生的时间 dt，并引入速度①

① 为避免误解,应该注意到这种表示角速度的方式有点任意:仅对无限小转动有矢量δφ ,而对有限运动,没有

这个矢量.

批注 [DJ1]: 可以定义为

批注 [x2]: 以及将求和换为

批注 [DJ3]: 因此刚体是一个

有六个自由度的力学系统.

批注 [DJ4]: 刚体的无穷小平

移

批注 [x5]: 运动到

批注 [DJ6]: 这样刚体的其余

部分移动到最终位置

批注 [x7]: 该点在

批注 [DJ8]: 令


171

, , , d d ddt dt dt

= = =τ R φv V Ω

(31.1)

可得

= + , ×v V Ω r (31.2)

矢量V是刚体质心的速度，称为刚体平动速度，矢量Ω是刚体转动角速度，其方向（也

是 dφ的方向）与转动轴一致。于是，刚体上任意点的速度（相对固定坐标系），可以用刚

体平动速度和转动角速度表示。

需要着重指出，在推导公式（31.2）时没有使用坐标原点与质心重合的特点，在后面计

算运动动能时，我们再解释这样选择坐标原点的好处②。

下面设与刚体固连的坐标系的原点不在质心O，而在距离O点为 a的O′ .坐标原点O′的

平移速度为 ′V ，转动角速度为 ′Ω 。

我们重新研究刚体上任意点 P，用 ′r 表示其相对O′点的径矢。因此有 ′= +r r a，代入（31.2）得

= + ′× + ×v V Ω a Ω r

另一方面，根据 ′V 和 ′Ω 的定义，应该有 = ′ ′ ′+ ×v V Ω r ,所以我们可得如下的结论：

= + , = . ′ ′×V V Ω a Ω Ω (31.3)

第二个等式非常重要.我们可以看出,与刚体固连的坐标系在任意时刻的转动角速度与这

个坐标系无关.所有这样的坐标系在同一时刻绕互相平行的轴以大小相同的角速度 Ω 转动,

这使我们有理由将Ω称为刚体的角速度.而平动速度没有这样”绝对的”性质.

由(31.3)的第一个公式可知,如果在坐标系原点O的某种选择下V和Ω(在给定时刻)相互

垂直,则对于任意选择的原点O′ ,它们( ′V 和 ′Ω )也是互相垂直③.由(31.2)可知,这种情况下所

有点的速度都位于一个平面内,即垂直于 Ω 的平面内.这时总可以选择坐标原点O′ ④使速度

0′ =V ,刚体运动(在给定时刻)就是绕过O′的轴转动.这个轴称为刚体瞬时转动轴⑤。

② [补充说明]动能等于质心的平动动能加上相对于质心的转动动能，此即通常所说的柯尼希(Konig)定理.将其它点选为原点均不具有这样的性质(见§32). ③ 因为 = +( ) + ( )⋅ ⋅ × ⋅ = ⋅ ⋅ × = ⋅′V Ω V Ω Ω a Ω V Ω a Ω Ω V Ω ,可见如果 0⋅ =V Ω ,即 ⊥V Ω ,则

有 0⋅ =′V Ω ,即 ′ ⊥V Ω .这种情况下,刚体作平面平行运动. ④ 当然,它可以选在刚体之外. ⑤ 在V与Ω不垂直的一般情况下,可以选择坐标原点使V与Ω平行,即运动(在给定时刻)是绕某个轴的转动与沿轴的平动之和.

[补充说明] 如果V与Ω不垂直,设V沿平行和垂直于Ω方向的分量分别为VP和 ⊥V ,即 = + ⊥V V VP .

此时,对O′点有

( ).= + + +⊥× = ×′V V Ω a V V Ω aP

可以选取O′点,使得

+ 0⊥ × =V Ω a ,

这总是可以做到的. 对上式两边叉乘Ω ,有

批注 [x9]: 可得关系

批注 [x10]: 也是刚体的

批注 [x11]: 称为

批注 [x12]: 并没有利用坐标

原点位于质心这个事实

批注 [DJ13]: 这个新坐标系

的角速度为 ′Ω

批注 [DJ14]: 某点

批注 [DJ15]: 与这个所的特

定坐标系

批注 [DJ16]: 均以角速度Ω

旋转,它们大小相等,方向相互

平行



批注 [x19]: v都垂直于 Ω

批注 [DJ20]: 刚体在那个特

定瞬时的运动就是绕过O’的

轴的纯转动


172

今后我们总是假设动坐标系原点选在刚体质心,因此瞬时转动轴也通过质心.一般来说,

当刚体运动时, Ω的大小和转动轴的方向也都会改变.

§32 惯性张量

为了计算刚体的动能，我们将刚体当做离散质点系，因此有

2

2mvT = ∑

这里对刚体的所有质点求和。为了书写公式简便，此处我们省略了下标。将公式（31.2）代入得

( )2 2 2( ) ( )2 2 2m m mT V m= = + +∑ ∑ ∑ ∑V +Ω×r V Ω×r Ω×rg

对刚体的所有质点 V和Ω都相同。所以在第一项中2

2V 可以移到求和号之外， m∑ 是刚

体的质量，我们用µ表示。第二项写成

( )m m m⋅ × = ⋅ × = × ⋅∑ ∑ ∑V (Ω r) r V Ω V Ω r

由此可见，如果坐标原点选在刚体质心，则由于 0m =∑ r ，故这一项等于零。最后我们展

开第三项中矢量积的平方，结果得

( )22 2 21 12 2

T V m rµ = + Ω − ⋅ ∑ Ω r （32.1）

于是，刚体动能可以写成两个部分之和。（32.1）的第一项是平动的动能,其形式如同整个刚体的质量集中在质心。第二项是刚体以角速度Ω绕质心转动的动能。需要强调指出，正是由于坐标原点选在质心上，才有动能分解为两部分的可能性。

我们将转动动能写成张量形式,用r ,Ω的分量 ix , iΩ 表示为⑥

( )

2 2 2

2

1 12 212

bp i l i i k k i k ik l i k i k

i k l ik i k

T m x x x m x x x

m x x x

δ

δ

= Ω − Ω Ω = Ω Ω − Ω Ω

= Ω Ω −

∑ ∑

∑

这里用到了恒等式 i ik kδΩ = Ω ,其中 ikδ 是单位张量(其分量在 i k= 时等于 1,在 i k≠ 时等于

( ) ( )+ + ( ) 0⊥ ⊥ −× × × = × ⋅ ⋅ =Ω V Ω Ω a Ω V Ω Ω a a Ω Ω .

如果使a垂直于Ω ,即 0,⋅ =Ω a 这就是O和O′位于垂直于Ω的平面内,则上式将给出关系

( )2

1⊥=

Ω×a Ω V

由此可确定O′点的位置.以这样的O′点为坐标原点,有 =′V VP ,它的方向平行于Ω . ⑥在本章字母 i,j,k 表示张量的下标，可取值 1，2，3.这时采用已知的求和规则，按此规则省略求和号，两

次重复出现的下标（也称“哑”下标）就意味这对 1，2，3求和，例如 i iA B = ⋅A B ,2 2

l l lA A A= = A等等，显然“哑”下标的表示任意改变（只要它不与该式子中使用的其它下标一样）

批注 [DJ21]: 转动轴


批注 [u23]: 惯量张量

批注 [x24]: 此处以及下文中

我们省略了标记质点的下标

批注 [x25]: 通过质心的轴

批注 [x26]: 固定在刚体上的

坐标系的坐标


173

零).引入张量

( )2ik l ik i kI m x x xδ= −∑ (32.2)

最终可得刚体动能表达式为

21 12 2 ik i kT V Iµ= + Ω Ω (32.3)

将(32.3)减去势能可得刚体的拉格朗日函数

21 1 .2 2 ik i kL V I Uµ= + Ω Ω − (32.4)

一般情况下势能是确定刚体位置的 6 个变量的函数,例如质心的 3 个坐标 X,Y,Z 和确定动坐标轴相对固定坐标轴方向的 3个角.

张量 ikI 称为刚体惯性矩张量,或者简称刚体惯性张量.由定义(32.2)可知其对称性,即

.ik kiI I= (32.5)

为了清楚起见,我们将惯性张量的分量写成显式 2 2

2 2

2 2

( )( ) .

( )ik

m y z mxy mxzI myx m x z myz

mzx mzy m x y

+ − − = − + − − − +

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

(32.6)

分量 , ,xx yy zzI I I 有时称为对相应坐标轴的转动惯量.

显然,惯性张量可以相加,即刚体转动惯量等于其各部分转动惯量之和. 如果将刚体当作连续体，则在定义（32.2）中的求和改为刚体积分：

2( )ik l ik i kI x x x dVρ δ= −∫ （32.7）

像任何二阶对称张量一样，惯性张量可以通过选择坐标轴 1x , 2x , 3x 的方向对角化。这

些方向称为惯性主轴，而惯性张量相应的分量称为主转动惯量，用 1I , 2I , 3I 表示⑦。在这样

⑦从矩阵的角度确定惯量主轴和主转动惯量,就是求惯量张量的本征问题,即求方程 Ix xλ= 的特征值λ 和

特征矢量1

2

3

xx x

x

=

.特征值由特征方程

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det( ) 0I I I

I E I I II I I

λλ λ

λ

− − −− = − − − =

− − −

确定,其中 E 为单位矩阵。特征方程是关于λ的三次方程,由此可解出 3 个根,它们就是 3 个主转动惯量

1 2 3, , .I I I 将它们再代入 Ix xλ= 可求出相应于各 iλ 的1

2

3

i

i

i

xx x

x

=

,它们确定惯量主轴的方向.

批注 [u27]: 惯量矩张量





批注 [x32]: 对刚体体积的


批注 [x34]: 适当选择

批注 [x35]: 约化为对角的形

式

批注 [u36]: 惯量主轴


批注 [x38]: 对角分量


174

选择坐标轴 1x , 2x , 3x 时，转动动能表达式特别简单：

2 2 21 1 2 2 3 3

1 ( )2bpT I I I= Ω + Ω + Ω （32.8）

我们发现，3个主转动惯量的每一个都不会大于另外两个之和。例如：

2 2 2 2 21 2 1 2 3 1 2 3( 2 ) ( )I I m x x x m x x I+ = ∑ + + ≥ ∑ + = . （32.9）

3 个主转动惯量各不相等的刚体称为非对称陀螺。如果两个主转动惯量相等，

1 2 3I I I= ≠ ，则刚体称为对称陀螺。在这种情况下，在平面 1x , 2x 内主轴方向的选择是任意

的。如果 3个主转动惯量都相等，则刚体称为球形陀螺。在这种情况下 3个主轴方向的选择都是任意的，可以任意选择 3个相互垂直的轴作为主轴。如果刚体具有某种对称性，确定惯性主轴就容易得多。显然，质心位置和惯性主轴的方

向应该具有相同的对称性。例如，如果刚体有对称面，则质心应该在该平面内。两个惯性主

轴应该位于该平面内，第 3个主轴垂直该平面。对于这种情况，最明显的例子是平面质点系。

这种情况下 3 个主转动惯量之间存在简单的关系。如果以系统所在平面为 1 2x x 平面，则由

于对所有质点 3 0x = ，故

2 2 2 2

1 2 2 1 3 1 2, , ( ),I mx I mx I m x x= ∑ = ∑ = ∑ +

因此

3 1 2I I I= + （32.10）

如果刚体有某阶的对称轴,则质心应该位于该轴上⑧。一个惯性主轴与之重合，另外两个

垂直此轴。这时如果对称轴的阶数大于 2，则刚体为对称陀螺。事实上，每个主轴（垂直对

称轴）可以旋转一个不等于180°的角度，即这个轴的选择不是唯一的，而这只能是对称陀螺。

位于一条直线上的质点系是一个特殊情况。如果选择这个直线为 3x 轴，则对于所有质

点 1 2 0x x= = ，因此两个主转动惯量相等，第 3个为零：

21 2 3 3, 0.I I mx I= = ∑ = （32.11）

这种系统称为转子。区别于任意刚体的一般情况，转子的特点是只有两个（不是 3个）转动

自由度，相应于绕 1x 和 2x 的转动，直线绕自身的转动是没有意义的。

最后，再做一个关于惯性张量的说明。虽然我们是在原点为质心的坐标系中定义这个张

量的（只有在这个定义下基本公式(32.3)才成立），但是为了计算这个张量方便，有时可以

先计算相似张量

2( )ik l ik i kI m x x xδ′ ′ ′ ′= ∑ − , （32.12）

这个张量是相对另一个坐标原点 'O 定义的。如果距离 'OO 由矢量 a 给出，则

⑧ [补充说明]如果刚体绕对称轴转动角度2 / nπ 后能与自身重合,则该对称轴是 n阶的.

批注 [G39]: 有一个主轴方向

可任意选取

批注 [x40]: 可以任意选为任

何 3个相互垂直的轴。


批注 [u42]: 惯量

批注 [G43]: 应该具有与刚体

相同的对称性


批注 [x45]: 也应该

批注 [x46]: 而第

批注 [x47]: 惯量主轴之一与

此轴重合，另外两个则与之垂

直

批注 [x48]: 垂直于对称轴的

任一主轴可以绕该对称轴旋

转一个不等于180°的角度，即这组垂直轴的选取不是唯

一的，而这只有当刚体是对称

陀螺时才能如此。

批注 [x49]: 其它刚体的特性

是，转子仅有

批注 [x50]: 显然,直线

批注 [u51]: 惯量张量计算的

批注 [x52]: 相对另一个坐标

原点 'O 定义的类似张量

批注 [x53]: .


批注 [x55]: 表示


175

'' , i i ix x a= + = +r r a ，考虑到按照O点的定义， 0m∑ =r ，我们得

2( ).ik ik ik i kI I a a aµ δ′ = + −

按这个公式，知道 ikI ′ 就很容易计算出 ikI 。

习题

习题 1 将分子看作质点之间距离不变的系统，在下列情况下，试求分子的主转动惯量。 a)分子由位于一条直线上的原子构成。

答案：

21 2 3

1 , 0a b aba b

I I m m l Iµ ≠

= = =∑

其中 am 是原子的质量， abl 是原子 a和 b之间的距离，求

和是对分子中的所有原子进行的（并且每一对值 a和 b在

求和中只出现一次）。

对于两原子的分子，只有一项，我们早就可以给出结

果，即两个原子的折合质量乘以距离的平方：

21 2

1 21 2

.m mI I lm m

= =+

b)形状为等腰三角形的 3原子分子。（图 36）

答案：质心位于三角形的高上，距底边为 2 2 /X m h µ= .转动惯量为

2 21 2 1

1 2 3 1 22 , , .

2m m mI h I a I I Iµ

= = = +

c)4原子的分子，原子位于正三棱锥的顶点。（图 37）

答案：质心位于三棱锥的高上，距底边为 3 2 /X m h µ= .转动惯量为：

2 2 21 2 1

1 2 3 13 , .

2m m mI I h a I m aµ

= = + =

当 1 2m m= 时， 2 / 3h a= ，这是四面体分子，转动惯量为

2

1 2 3 1 .I I I m a= = =

习题 2 试求均匀连续体的主转动惯量。

a)长为 L的细长杆。

答案：2

1 2 3/12, 0I I l Iµ= = = (杆的粗细忽略不计)

b)半径为 R的球体。

批注 [x56]: 是第 a个

批注 [x57]: 原子对进行的,每

个原子对在求和中相应仅有

一项.

批注 [x58]: 对于双原子分子,

求和中只有一项,结果是显然

的

批注 [x59]: 乘以它们之间的

批注 [x60]: 对称轴

注:本问题中仅有一条对称轴,

但是高可以有三个.

批注 [x61]: ,h是三角形的高.


批注 [x63]: 对称轴

批注 [x64]: 面

批注 [x65]: ,h是正三棱锥的

批注 [x66]: 当 1 2m m= ，

2 / 3h a= 时，这是正四

面体分子


176

答案： 21 2 3

25

I I I Rµ= = = （计算可得 21 2 3 2I I I r dVρ+ + = ∫ ）

c)半径为 R高为 h的圆柱体。

答案：2

21 2 ( )

4 3hI I Rµ

= = + ， 23 2

I Rµ= (圆柱轴为 3x )

d)棱边为 a，b，c的长方体。

答案：2 2

1 ( )12

I b cµ= + ，

2 22 ( )

12I c aµ

= + ，2 2

3 ( )12

I a bµ= +

( x1, x2, x3轴分别平行于棱边 a, b, c)

e)高为 h底面半径为 R的圆锥体。

解：首先以圆锥顶点为坐标轴原点（图 38），计算 ikI ′，用柱坐

标很容易计算得：

2

21 2

35 4

RI I hµ ′ ′= = +

2

33

10I Rµ′ =

经过简单的计算可知，质心位于圆锥轴上，距离顶点 3 / 4a h= .

根据公式（32.12）可得：

22 2

1 2 1320 4

hI I I a Rµ µ ′= = − = +

23 3

310

I I Rµ′= =

f)主轴为 a，b，c的三轴椭球体。

解：质心与椭球中心重合，惯性主轴与椭球主轴重合。坐标变换 x aξ= ，y bη= ，z cζ=

将椭球方程

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + =

变为单位球方程

2 2 2 1ξ η ζ+ + =

通过这个坐标变换可将对椭球体的积分转化为对圆球体的积分。例如，对 x轴的转动惯量为：

2 2 2 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( )

2abcI y z dxdydz abc b c d d d I b cρ ρ η ζ ξ η ζ ′= + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ，

其中 I ′是单位球的转动惯量。

考虑到椭球体积等于4 / 3abcπ ，最后可得转动惯量：

2 21 ( )

5I b cµ

= + ， 2 22 ( )

5I c aµ

= + ， 2 23 ( )

5I a bµ

= +

习题 3 试求物理摆（在重力场中绕着水平轴摆动的刚体）的微振动频率。

解：设 l为刚体质心到转动轴的距离，而 , ,α β γ 是惯性主轴与转动轴之间的夹角，从质

批注 [x67]: 通过计算

21 2 3 2I I I r dVρ+ + = ∫求出

批注 [x68]: 3x 轴

批注 [x69]: 半轴

批注 [u70]: 惯量主轴

批注 [x71]: 用坐标

批注 [x72]: 固定的水平轴


177

心作垂线到转动轴，它与竖直方向夹角ϕ作为坐标变量。质心速度为V lϕ= &，而角速度在

主轴上投影为 cosϕ α& ， cosϕ β& ， cosϕ γ& 。假设ϕ很小，求得势能

21(1 cos )2

U gl glµ ϕ µ ϕ= − ≈

所以拉格朗日函数为

22 2 2 2 2 2

1 2 31 ( cos cos cos )

2 2 2l glL I I Iµ µ

ϕ α β γ ϕ ϕ= + + + −& &

由此，对振动频率有

22 2 2 2

1 2 3cos cos cosgl

l I I Iµ

ωµ α β γ

=+ + +

习题 4 试求图 39所示系统的动能，其中 OA和 AB是长为l的匀质细杆, 铰接于 A点.

杆 OA绕 O点(在图示平面内)转动, 杆 AB的端点 B沿着 Ox轴运动.

解: 杆 OA质心(位于杆中心)的速度为12

lϕ& , 其中ϕ 为角 AOB. 所以杆 OA的动能为

22 2

1 8 2l IT µ

ϕ ϕ= +& &

(µ 是一根杆的质量).

杆 AB 的笛卡尔坐标为: 3 cos2lX ϕ= , sin

2lY ϕ= . 因为这根杆的转动角速度也是

ϕ& , 故其动能为

22 2 2 2 2 2

2 ( ) (1 8sin )2 2 8 2

I l IT X Yµ µϕ ϕ ϕ ϕ= + + = + +& & & & & .

系统的总动能等于

图 39

批注 [A.S73]: 可得振动频率

批注 [x74]: 滑动

批注 [x75]: 的质心的


178

22 2(1 3sin )

3lT µ

ϕ ϕ= + &

(根据习题 2的 a), 代入了 2112

I lµ= ).

习题 5 试求在平面上滚动的圆柱(半径为 R)的动能. 圆柱的质量分布使得其惯性主轴

之一平行于圆柱轴, 相距为 a, 圆柱对该惯性主轴的转动惯量为 I .

解: 从质心作圆柱轴的垂线, 该垂线与垂直方

向夹角为ϕ (图 40). 在每一时刻圆柱的运动可以看

作绕瞬时转动轴的转动, 瞬时转动轴就是圆柱与平

面的交线, 这个转动的角速度为ϕ& (绕所有平行轴

的转动角速度都相同). 质心距离瞬时转动轴为

2 2 2 cosa R aR ϕ+ − , 所以质心速度为

2 2 2 cosV a R aRϕ ϕ= + −& . 动能为

2 2 2 2( 2 cos )2 2

IT a R aRµ ϕ ϕ ϕ= + − +& & .

习题 6 半径为 a 的匀质圆柱在半径为 R 的圆柱形曲面内滚动, 试求圆柱的动能(图

41).

解: 设ϕ 是两个圆柱中心连线与竖直方向的

夹角. 圆柱质心在轴上, 其速度为 ( )V R aϕ= −& .

瞬时转动轴是两个圆柱的交线, 圆柱的角速度为

V R aa a

ϕ −Ω = = & .

如果 3I 是圆柱对其轴的转动惯量, 则

22 2 2 2 23

2( ) 3( ) ( )

2 2 4I R aT R a R a

aµ

ϕ ϕ µ ϕ−

= − + = −& & & (32.13)

( 3I 已由习题 2的 c)求得).

习题 7 试求在平面上滚动的圆锥的动能.

解: 设圆锥与平面交线为 OA, 用θ表示 OA与平面上某固定方向的夹角(图 42). 质心位

于圆锥轴上, 其速度为 cosV aθ α= & , 这里 2α 是圆锥顶角, a为质心到顶点的距离. 我

批注 [x76]: 且与其相距

批注 [x77]: 竖直

批注 [x78]: 滚动的圆柱

批注 [x79]: 由关于该瞬时转

轴的纯滚动可以求出圆柱

批注 [x80]: 其中


批注 [x82]: 的匀质


179

们计算转动角速度, 即绕瞬时转动轴 OA的角速度:

cotsinV

aθ α

αΩ = = & .

惯性主轴之一( 3x 轴)与圆锥轴重合, 选择另一个轴( 2x 轴)垂直于圆锥轴和直线 OA.

角速度矢量Ω(平行于 OA)在惯性主轴上的投影为 cosαΩ , 0, sinαΩ . 最后可得动能

2 4 22 2 2 2 2 2 231

2cos 3cos cos (1 5cos )

2 2 2 sin 40IIa hT µ α µ

θ α θ α θ θ αα

= + + = +& & & &

( h是圆锥的高度, 1I , 3I , a由习题 2的 e)给出).

习题 8 试求圆锥的动能.圆锥的底面在平面上滚动，而顶点与平面的距离始终等于圆

锥底面半径（因而圆锥轴平行于平面）.

解:设θ表示平面上给定方向与圆锥轴投影的夹角(图 43).质心速度为V aθ= (符号同

习题 7).瞬时转动轴是圆锥母线 OA,其中 A 是圆锥与平面的切点.质心到该轴的距离为

sina α ,所以

sin sinV

aθ

α αΩ = =

&

矢量 Ω在惯性主轴上的投影为(选择 2x 轴垂直于圆锥轴和 OA): sinα θΩ = & ，0，

cos cotα θ αΩ = & .所以动能为

2 21 32 2 2 2 2

2

3 1cot ( 5)2 2 2 40 cosa I I hT µ µ

θ θ θ α θα

= + + = +& & & & .

习题 9 均匀二轴椭球绕自己的一个轴（AB，图 44）旋转，并且这个轴本身又绕着过椭

球中心的垂直线 CD转动.试求椭球的动能.


批注 [x84]: sinαΩ

批注 [x85]: cosαΩ

批注 [x86]: 其中


批注 [x88]: 匀质圆锥

批注 [x89]: 在平面上的投影

之间

批注 [u90]: V aθ= &


批注 [x92]: 与其垂直的


180

解：用θ表示绕 CD的转角，而用ϕ 绕 AB的转角（CD与垂直 AB的惯性主轴 1x 的夹角）.

那么Ω在惯性主轴上投影为

cosθ ϕ& ， sinθ ϕ& ，ϕ&

(并且 3x 与 AB轴重合).由于质心与椭球质心重合,所以动能为

2 2 2 21 2 3

1 1( cos sin )2 2

T I I Iϕ ϕ θ ϕ= + +& &

习题 10 同上题，假定 AB是倾斜的（图 45），椭球相对这个轴对称.

解:矢量Ω在 AB轴和另外两个轴(可以任意选择)上投影为

cos cosθ α ϕ& ， cos sinθ α ϕ& ， sinϕ θ α+ &&

动能为

1 32 2 2cos ( sin )2 2I IT θ α ϕ θ α= + +& &&

习题详细推导过程说明:a).下面习题中所有主转动惯量均是对通过质心的惯量主轴而言的.

b).求动能的习题均使用(32.1),即通常所说的柯尼希定理. 习题 1

a) 设各原子所在直线为 3x 轴,与之相互垂直并通过系统质心的两个轴分别为 1x , 2x ,

则显然有 1 2 3, 0I I I= = .又设各原子在 3x 轴上的坐标为 3 ( 1,2,....)ax a = ,则系统的质心坐标

批注 [x93]: 即 CD


批注 [x95]: 如果 3x 轴与 AB

轴重合,那么



批注 [x98]: 系统的质心，即椭

球中心是静止的

批注 [x99]: 但轴 AB与 CD不

垂直

批注 [x100]: 垂直于 AB的另

外任意两条轴上的


181

为

3 3a a a a

a ac

aa

m x m xX

m µ= =

∑ ∑∑

于是,各原子相对于质心的坐标为

3

3 31a a

ab c b b a a

a

m xx X x x m xµ

µ µ

− = − = −

∑∑

相对于 1x , 2x 各轴的转动惯量为

22

1 2 3 3 32

22 2

3 3 3 32

22

3 3 3 3

22

3 3

2 2 23 3

1( )

1 2

2 1

1

1

b b c b b a ab b a

b b b a a a ab a a

b b b b a a a ab b a a

b b a ab a

b b a b bb a

I I m x X m x m x

m x x m x m x

m x m x m x m x

m x m x

m x m m x

µµ

µ µµ

µ µ

µ

µ ≠

= = − = −

= − +

= − +

= −

= +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ 2 23 3 3

23 3 3

1

a a a b a bb a a b

a b b a b a ba b a b

m x m m x x

m m x m m x xµ

≠

≠ ≠

− +

= −

∑ ∑ ∑

∑ ∑

将最后一个等号中的求和分为 a b> 和 a b< 两部分,同时对 a b< 的求和交换指标 a和b ,

则有

2 21 2 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

223 3

1 1

1 1( ) ( )

1 1( ) ,

a b b a b a b a b b a b a ba b a b a b a b

a b b b a a b a a ba b a b

a b b a a b aba b a b

I I m m x m m x x m m x m m x x

m m x x x m m x x x

m m x x m m l

µ µ

µ µ

µ µ

> > < <

> >

> >

= = − + −

= − + −

= − =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

这里 3 3ab b al x x= − 即为原子 a和 b之间的距离,其中的a b> 可保证求和对任意原子对的贡

献仅计算一次.

对于双原子分子，在上式中令 1, 2a b= = 以及 12l l= ,则有

21 21 2

1 2

.m mI I lm m

= =+


182

x3

O

x2

x1

b) 在三角形平面内取 1x 轴沿它的对称轴, 2x 轴通过三角形的质心并平行于底边. 3x

轴通过质心垂直于三角形平面.设三角形在对称轴方向的高为 h ,底边长为a ,则根据转动惯

量的定义,有

22

2 1 112

2 2aI m m a = × =

据质心定义,质心在对称轴上距底边的距离为 2 2 /X m h µ= ,这里 1 22m mµ = + .由此,

有

2 22 2 2 2

1 1 2 2 2 1 2

21 2

2 ( ) 2

2

m h m hI m X m h X m m h

m m h

µ µ

µ

= + − = + −

=

关于 3x 轴的转动惯量可利用(32.10)得到

2 21 2 1

3 1 22 .

2m m mI I I h aµ

= + = +

c) 将三棱锥的对称轴取为 3x 轴，则质心位于该轴上. 设正三棱锥

的高为 h,则质心其距该锥底面的距离为 3 2 /X m h µ= ,这里

1 23m mµ = + .又设地面等边三角形的边长为a ,其中心与各顶点的距

离为 / 3a .于是,分子对 3x 轴的转动惯量为：

22

3 1 13 .3

aI m m a = =

又取 1 2,x x 轴通过质心,其方向使得它们在底面内的投影分别与同一边垂直和平行(见附图).

底面三个原子与 1x 轴的距离分别为22 2

2 232 2

m ha aXµ

+ = +

,

222

2m haµ

+

和 3 2 /X m h µ= ,而 2m 到 1 2,x x 轴的距离均为 13

3mh X hµ

− = .于是有


183

22 2 22

2 2 11 1 1 2

2 21 2 1

322

32

m h m h maI m m m h

m m mh a

µ µ µ

µ

= + + +

= +

又底面三个原子与 2x 轴的距离分别为

22 22 2

32 3 2 3m ha aXµ

+ = +

,

222

2 3m haµ

+

和

22 22 2

33 3m ha aXµ

+ = +

则有

2 22 2 22 2

2 2 12 1 1 2

2 21 2 1

322 3 3

32

m h m h ma aI m m m h

m m mh a

µ µ µ

µ

= + + + +

= +

当 1 2m m= ， 2 / 3h a= 时，这是正四面体分子.此时, 14mµ = .将相关参量代入前面

的表示式,有转动惯量为

2

1 2 3 1 .I I I m a= = =

习题 2 a)(略)

b) 过球心的任意三根相互垂直的轴均是惯量主轴.根据定义,有

2 2 2 21

2 2 2 22

2 2 2 23

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( )

I y z dm y z dV

I z x dm z x dV

I x y dm x y dV

ρ

ρ

ρ

= + = +

= + = +

= + = +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

则有 2 2 2 2

1 2 3

2 4 5

0 0 0

2 3 2 2

I + I + I 2 ( ) 2

82 sin5

6 4 6 65 3 5 5

R

x y z dV r dV

d d r dr R

R R R V R

π π

ρ ρ

πρ ϕ θ θ ρ

ρ π ρ µ

= + + =

= =

= = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

但是 1 2 3I I I= = ,于是有


184

21 2 3

25

I I I Rµ= = =

c) 将圆柱体的对称轴取为 3x 轴,与其垂直并通过质心的两任意相互垂直的轴为 1 2,x x 轴,

则有 1 2I I= .

先计算 3I .取围绕 3x 轴半径为 r r dr→ + 的圆筒,其质量为 2dm dV hrdrρ ρ π= = ,它

相对于 3x 轴的转动惯量为 2 33 2dI r dm hr drρ π= = ,于是有

3 4 2 23 0

1 1 12 24 2 2

RI hr dr hR R V Rρ π ρ π ρ µ= = = =∫

在 3x 轴方向上距 1 2x x 平面 z 处取厚度为 dz 的薄圆片,其质量为 2dm R dzρπ= ,相对于

1x 轴的转动惯量为

2 2 2 2 2

11 1 4 4

dI R dm z dm R z R dzρπ = + = +

于是有

/2 2 2 2 4 2 31 2 /2

2 2 2 2

1 1 1I I4 4 12

1 1 1 14 12 4 3

h

hR z R dz R h R h

R h R h

ρπ ρπ ρπ

µ µ µ

−

= = + = +

= + = +

∫

d)(略)

e) 首先以圆锥顶点为坐标轴原点（图 38），计算 ikI ′ .将圆锥体的对称轴取为 3x 轴,与其

垂直并通过坐标轴原点的两任意相互垂直的轴为 1 2,x x′ ′轴,则有 1 2 I I′ ′= .

先计算 3I .在 3x 轴方向上距 1 2x x′ ′平面z处取厚度为dz的薄圆片.采用柱坐标系,则圆片

的质量为 2dm r dzρπ= ,它相对于 3x 轴的转动惯量为 2 43

1 12 2

dI r dm r dzρπ= = .但是,有

关系R rh z

= ,即rz hR

= ,于是有

4 4 43 0 0

2 2

1 1 12 2 10

3 310 10

R RI r dz hr dr hR

R

R V R

ρπ ρπ ρπ

ρ µ

= = =

= =

∫ ∫

上述薄圆片对于 1x′或 2x′轴的转动惯量为


185

22 2 2 2 2 4

1 2 21 1 14 4 4

h hdI dI r dm z dm r z r dz r drR R

ρπ ρπ ′ ′= = + = + = +

于是有

2 24 4 2 2

1 2 2 20

1 1 1 3 14 5 4 5 4

R h h hI I r dr h R R hR R R

ρπ ρπ µ ′ ′= = + = + = +

∫

根据圆锥体对于 3x 轴的旋转对称性可知，质心位于圆锥轴上.在上述以圆锥顶点为坐标

轴原点的坐标系中,质心的 3x 坐标为

2 2 22 3

3 20 0

1 1 34 4

h R

c

zdm h h Rx zr dz r dr hm m mR m

ρπρπ ρπ= = = = =∫ ∫ ∫

即质心距离顶点34

a h= . 根据公式（32.12）可得：

22 2

1 2 13

20 4hI I I a Rµ

′= = − = +

f)(略)

习题 3 (略)

习题 4 杆 OA绕 O点作定轴转动,转动角速度为ϕ& ,其中ϕ 为角 AOB.杆 OA的质心位于杆

中心,故其速度为12

lϕ& ,这里 l为杆OA长度. 根据(32.1),即所谓的柯尼希定理,杆OA的动能

为质心的动能加上相对于质心的转动动能,即

22 2 2 2 2 2

11 1 1 1 .2 2 2 8 2 6

I IT l l lµ ϕ ϕ µ ϕ ϕ µ ϕ = + = + = & & & & &

其中µ 是一根杆的质量, I 为杆 OA绕过质心且垂直于杆的轴的转动惯量,21

12I lµ= .

实际上,也可直接按定轴转动求杆 OA的动能

2 2 21 0

1 1 ,2 6

T I lϕ µ ϕ= =& &

其中 0I 为杆 OA 绕过 O 点并垂直于杆的轴的转动惯量 . 按照 (32.12), 有

22 2

01 1 1 .

12 2 3I l l lµ µ µ = + =

杆 AB的质心的笛卡尔坐标为:

3 cos2lX ϕ= , sin

2lY ϕ=

则有


186

3 sin2lX ϕ ϕ= −& & , cos

2lY ϕ ϕ=& &

同样,这根杆的转动角速度也是ϕ& .根据(32.1),杆 AB的动能为

2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 ( ) (1 8sin ) (1 6sin )2 2 8 2 6

I l I lT X Yµ µ µϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + = + + = +& & & & & & .

系统的总动能等于

22 2

1 2 (1 3sin )3lT T T µ

ϕ ϕ= + = + &

习题 5 注意,圆柱的滚动是无滑的或者说是纯滚动.

以下习题 6等各题的求解过程均比较详细,故略.

§33 刚体动量矩

我们知道，系统的动量矩取决于它相对哪个点定义。在刚体力学中最合理的选择是动坐标系的原点，即刚体的质心。以后我们认为M就是这样定义的。

根据公式（9.6），当选择刚体质心为坐标原点时，M就是“固有”动量矩，仅与刚体

的点相对质心的运动有关。换句话说，在定义 m= ×∑M r v中应该用 ×Ω r代替 v：

2= = [ ( )]m m r× × −∑ ∑M r Ω r Ω r Ω×r（），

或者用张量表示为 2 2M ( ) ( )i l i i k k k l ik i km x x x m x x xδ= Ω − Ω = Ω −∑ ∑

最后，考虑到惯性张量定义（32.2）得

M Ii ik k= Ω （33.1）

如果坐标轴 x1,x2,x3的方向沿着刚体惯性主轴，则这个公式给出

1 1 1M I= Ω , 2 2 2M I= Ω , 3 3 3M I= Ω （33.2）

对于球型陀螺的特殊情况，3个主转动惯量都相等，有 I=M Ω （33.3）

即动量矩矢量平行于角速度矢量并且有相同的指向。在任意刚体的一般情况下，矢量M一般不与矢量Ω重合，只有在刚体绕某个惯性主轴

转动时，M和Ω才方向相同。我们研究不受任何外力作用的自由刚体的运动。我们不考虑等速平动，只研究自由转

动。像所有封闭系统一样，自由转动刚体的动量矩是常量。对于球型陀螺，M =const 导致

Ω=const。这就是说，球形陀螺在一般情况下是绕着定常轴等速转动。转子的情况更简单，这时也有 I=M Ω，并且Ω垂直于转子轴。所以，转子的自由转动

批注 [x101]: 最合适选取的点

批注 [x102]: 将这样定义的动

量矩记为M

批注 [x103]: 内禀

批注 [x104]: 删去

批注 [u105]: 惯量

批注 [u106]: 惯量

批注 [x107]: 公式(33.1)

批注 [Justin108]: 动量矩矢

量正比于角速度矢量, 且有

相同的指向

批注 [x109]: 然而,对任意刚

体,矢量M一般不与矢量Ω方向相同，只有在刚体绕某个

惯量主轴转动时,两者方向才

相同。

批注 [x110]: 匀速

批注 [x111]: 的最一般自由运

动是绕空间固定轴的匀速转

动.

批注 [x112]: 同样


187

是在一个平面内绕着垂直于该平面的轴等速转动。利用动量矩守恒定律可以确定更复杂的对称陀螺的自由转动。利用主轴 x1,x2方向（垂

直于陀螺对称轴 x3）选择的任意性，我们选 x2 垂直于矢量M和 x3 轴确定的平面。那么

2 0M = ，由公式（33.2）可知， 2 0Ω = 。这就是说，在每个时刻M，Ω和陀螺对称轴位

于同一个平面（图 46）。由此可得，在陀螺对称轴上所有点的速度 = ×v Ω r，在每个时刻都垂直于这个平面，换言之，陀螺轴等速（见下面）绕M的方向转动，画出一个圆锥（就是所谓的陀螺规则进动）。同时，陀螺绕自己的轴等速转动。

这两个转动的角速度可以用给定的动量矩M以及陀螺轴与M方向的夹角θ表示，陀螺绕自己的轴转动角速度就是矢量Ω在该轴上的投影Ω3：

33

3 3

M M= cosI I

θΩ = （33.4）

为了求进动角速度 prΩ ，应该利用平行四边形法则将矢量Ω沿着 x3和M方向分解。第

一个分量不会使陀螺轴产生任何位移，第二个分量给出进动角速度。由图 46 可知，

1sinpr θΩ = Ω ，由于 1 1 1 1M I = Msin IθΩ = ，所以得

1M IprΩ = （33.5）

§34 刚体运动方程

由于一般情况下刚体有 6个自由度，因此一般情况下运动方程组应该包含 6个独立的方程，这些方程可以写成动量和动量矩这两个矢量对时间的导数形式。

得到第一个矢量方程只需将每个质点的方程 =p f& 求和，其中p是质点的动量， f 是作

用在质点上的力。引入刚体的动量：

μ= =∑P p V

和作用在刚体上总的力 =∑ f F，可得

ddt

=P F （34.1）

尽管我们定义 F为作用在每个质点上的所有力 f之和，包括刚体的质点之间的相互作用力，但事实上包含在 F中的只有外力。刚体内部所有质点之间的作用力相互抵消，事实上，当没有外力时刚体的动量应该守恒，就像所有封闭系统一样，即应该有 F=0。如果 U为刚体在外场中的势能，则力 F可以用势能对刚体质心坐标的导数确定：

U∂= −

∂F

R （34.2）

事实上，当刚体平移δ R时，刚体的每个质点的径矢 τ也产生同样的变化，所以势能变化为

U UU dδ δ δ δ∂ ∂

= ⋅ = ⋅ = − ⋅ = − ⋅∂ ∂∑ ∑ ∑τ R R f F Rτ τ

批注 [x113]: 匀速

批注 [x114]: 轴的瞬时位置

批注 [x115]: Ω的方向

批注 [x116]: 绕M的方向匀

速（见下面）

批注 [x117]: , 这称为陀螺的

规则进动

批注 [x118]: 自身的轴匀速

批注 [x119]: 自身轴的

批注 [x120]: 因而给出

批注 [x121]: 总计应该有

批注 [x122]: 刚体的动量

批注 [x123]: 将刚体中

批注 [LU124]: dτ应改为δ τ


188

由此可以发现，方程（34.1）也可作为对质心坐标的拉格朗日方程得到： d L Ldt

∂ ∂=∂ ∂V R

其中拉格朗日函数为（32.4），对此有 L L Uμ∂ ∂ ∂= = = − =

∂ ∂ ∂V P F

V R R，

下面推导动量矩M对时间导数确定的第二个运动方程，为了推导方便，我们选择固定（惯性）参考系，使得在给定时刻刚体质心静止。我们有

ddt

= × = × + ×∑ ∑ ∑M r p r p r p& & &

对于我们所选的参考系（ 0=V ），在给定时刻r&与速度 =v τ& 相等。由于矢量 v和 m=p v方

向相同，故 0× =r p& .将p&替换为 f ，最后可得

ddt

=M K （34.3）

其中

= ×∑K r f （34.4）

由于动量矩M是相对质心定义的（参见§33），在从一个参考系变换到另一个参考系时

保持不变，由公式（9.5）和 R=0这是显然的。由此可知，根据伽利略相对性原理，这里在特定参考系选择得到的公式（34.4），对所有惯性参考系都成立。矢量 ×r f 称为 f的力矩，因此K是作用在刚体上所有的力矩之和。正如 F一样，在（34.4）

中实际上只计入外力，根据动量矩守恒定律，封闭系统的所有内力的力矩之和等于零。力矩像动量矩一样，一般依赖于坐标原点的选择。在（34.3）和（34.4）中力矩和动量

矩是相对刚体质心定义的。当坐标原点平移 a时，刚体质点的新径矢 ′r 与老径矢 r的关系为 ′= +r r a，所以

′= × = × + ×∑ ∑ ∑K r f r f a f

或者 ′= + ×K K a F （34.5）

由此可见，如果 F=0 (这时称力偶作用在刚体上)，则力矩不依赖于坐标原点的选择。方程（34.3）可以看作对于“转动坐标”的拉格朗日方程

d L Ldt

∂ ∂=

∂ ∂Ω φ

事实上，将拉格朗日函数（32.4）对矢量的分量求导可得

ik k ii

L I M∂= Ω =

∂Ω

当刚体转动无穷小角度δϕ时，势能改变量为

δU δ (δ ) δ δ= − ⋅ = − ⋅ × = − ⋅ × = − ⋅∑ ∑ ∑f τ f φ r φ r f K φ

批注 [x125]: 注意到

批注 [C126]: 由

批注 [x127]: 删去

批注 [x128]: 得到,其中

批注 [x129]: 简化推导

批注 [x130]: 所考虑的瞬间,

刚体质心相对于该参考系静

止

批注 [C131]: 惯性参考系

批注 [C132]: 惯性参考系

批注 [x133]: 由 R=0从公式

（9.5）来看

批注 [x134]: 下

批注 [x135]: (34.3)

批注 [C136]: 总力矩，即作用

在刚体上的所有的力产生的

力矩的和

批注 [C137]: 外力的力矩

批注 [C138]: 刚体中每一个

质点


189

由此可得

U∂= −

∂K

φ （34.6）

因此有

L U∂ ∂= − =

∂ ∂K

φ φ

假设矢量 F与 K相互垂直。这种情况下总可以找到矢量 a，使得公式（34.5）中 ′K 等

于零⑨，进而 = ×K a F （34.7）

这时 a的选择不是唯一的，给它加上任何平行于 F的矢量，都不会改变等式（34.7），因此条件 0′ =K 不是给出动坐标系中的一个点，而是一条直线。于是，在K⊥F情况下，所有力的作用可以归结为沿着给定直线作用的一个力 F。均匀力场就属于这种情况，作用在质点上的力为 f=eE，其中 E是刻画力场的常矢量，e

刻画质点相对给定力场性质⑩，在这种情况下有

e e= = ×∑ ∑F E K r E，

假设 e 0≠∑ ，引入径矢

0

ee

= ∑∑

rr （34.8）

我们可得下面的简单表达式⑪:

0= ×K r F （34.9）

于是，当刚体在均匀力场中运动时，力场的影响归结为作用在径矢为（34.8）的点上一个力F。这个点的位置完全由刚体的性质决定，例如，在重力场中该点与刚体质心重合。

⑨ [过程补充]当 F与 K相互垂直时, 0⋅ =F K ,但 0× ≠F K . 用 F左叉乘(34.7),有

( ) ( ) ( )× = × × = ⋅ − ⋅F K F a F a F F F a F

如果选取a ,使得 0⋅ =a F ,则上式给出a的表示式

2F× ×

= =⋅

F K F KaF F

将这样选取的a代入(34.5)可以证明有 0′ =K ,

( ) ( ) ( )

2

2 2

1 1 0

F

F F

′ = − × = − ×

+ ⋅ ⋅ = − ⋅ =

×

= −

F K

F F K

K K a F K F

K K F F K K F F

⑩ 例如,在均匀电场中, E是电场强度,而 e是电荷.在均匀重力场中, E是重力加速度g , 而 e是质点的质量. ⑪[补充说明]由于 E是常矢量,则它可以移到求和号之外,有

( ) 0ee ee

∑= ∑ × = ∑ × = ∑ × = × ∑ = ×

∑rK r f r eE r E E r F

批注 [x139]: 作用力的效果

批注 [x140]: F的效果

批注 [x141]: 于给定力场的

批注 [C142]: 总的力矩可以

简单表示为

批注 [x143]: 自身的

批注 [x144]: 就是刚体的质心


190

§35 欧拉角

我们已经知道，描述刚体运动可以用 3个质心坐标和 3个确定动坐标轴 1 2 3, ,x x x 相对固

定坐标轴 X、Y、Z指向的角度，所谓的欧拉角作为这 3个角就很方便.

因为我们现在只对坐标轴之间的夹角感兴趣，可以选择同一个点为两个坐标系的原点

（图 47）.动坐标系的平面 1 2x x 与固定平面 XY 相交于某一直线(在图 47 上的 ON), 该直线

称为节线. 节线垂直于 Z轴和 3x 轴, 我们选择其正方向使它相应于矢量积 3z x× 的方向（其

中 3,z x 分别是坐标轴 Z, 3x 方向的单位矢量）.

我们用下面 3 个角确定动坐标轴 1 2 3, ,x x x

相对固定轴 X, Y, Z的位置: Z轴和 3x 轴之

间的夹角θ, X轴和 N轴之间的夹角ϕ , N轴和

3x 之间的夹角ψ . 按螺旋法则相应于绕 Z和 3x

来计算角ϕ和ψ . 角θ取值范围是从零到π,

而角ϕ和ψ 的取值范围是从零到 2π⑫.

下面我们用欧拉角及其导数表示角速度矢

量Ω在 1 2 3, ,x x x 上的分量. 为此需要将角速度 , ,θ ϕ ψ& & & 向这些轴投影. 角速度θ&的方向沿着

节线 ON, 它沿着 1 2 3, ,x x x 的分量等于

1 2 3cos , sin , 0θ θ ψ θ θ ψ θ= = − =& & & & & .

角速度ϕ&的方向沿着 Z轴，它沿着 3x 的分量等于 3 cosϕ ϕ θ=& & ，而在平面 1 2x x 上的投影等

于 sinϕ θ& . 将后者再分解到 1x 和 2x ,可得

1 2sin sin , sin sin .ϕ ϕ θ ϕ ϕ ϕ θ ψ= =& & & &

最后,角速度ϕ&的方向沿着 3x 轴.

⑫ 角 θ 和φ－π/2是 3x 轴相对 X, Y, Z轴的极角和方向角. 同时角 θ和φ－π/2是 Z轴相对 1 2 3, ,x x x 轴的

极角和方向角.

批注 [csh145]: 质心的 3个坐

标

批注 [csh146]: 描述

批注 [x147]: 取向

批注 [csh148]: 这些角常常可

以方便地取为所谓的欧拉角。

批注 [x149]: 显然垂直

批注 [csh150]: 我们选择矢量

积 3z x× 的方向为节线正方

向

批注 [x151]: ON

批注 [x152]: ON

批注 [x153]: 确定的方向分别

绕 Z和 3x 轴转动

批注 [x154]: 在动坐标轴

批注 [x155]: 2x 轴,

批注 [x156]: ψ&


191

汇集这些沿着每个轴的分量,最终得

1

2

3

sin sin cos ,

sin cos sin ,cos .

ϕ θ ψ θ ψ

ϕ θ ψ θ ψϕ θ ψ

Ω = +

Ω = −Ω = +

&&&&

& & （35.1）

如果选择刚体的惯性主轴为坐标轴 1 2 3, ,x x x ，则将（35.1）代入（32.8），得用欧拉角

表示的转动动能．

对于对称陀螺， 1 2 3 ,I I I= ≠ 经过简单推导可得⑬

2 2 2 231 ( sin ) ( cos ) .2 2bp

IIT ϕ θ θ ϕ θ ψ= + + +&& & & （35.2）

应该指出,利用对称陀螺惯性主轴 1 2,x x 方向的任意性,可以更简单地得到这些表达式. 如

果认为 1x 轴沿着节线 ON, 即 0ψ = , 可得角速度的简单表达式

1 2 3, sin , cos .θ ϕ θ ϕ θ ψΩ = Ω = Ω = +& & & & (35.3)

作为应用欧拉角的一个简单的例子, 我们研究对称陀螺的自由运动.

我们取固定坐标系的 Z 轴沿着陀螺的定常动量矩M的方向,取动坐标系的 3x 轴沿着陀

螺对称轴, 而 1x 轴在给定时刻与节线重合. 利用公式(35.3)可得矢量M的分量

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3, sin , ( cos ).M I I M I I M I Iθ ϕ θ ϕ θ ψ= Ω = = Ω = = Ω = +& & & &

另一方面,因为 1x 轴(节线)垂直于 Z轴,我们有

1 2 30, sin , cos .M M M M Mθ θ= = =

比较这些等式可得下面的方程:

1 30, , ( cos ) cos .I M I Mθ ϕ ϕ θ ψ θ= = + =& & & & (35.4)

第一个方程给出 constθ = , 即陀螺轴与M方向的夹角为常数. 第二个方程确定进动角速度

⑬ [过程补充] 利用(35.1)以及(32.8),当 1 2I I= 时,有

2 2 21 1 2 2 3 3

2 2 2 2 21

2 2 2 2 2 231

1 ( )2

( sin sin cos 2 sin sin cos )2

( sin cos sin 2 sin sin cos ) ( cos )2 2

bpT I I I

I

II

ϕ θ ψ θ ψ ϕ θ ψθ ψ

ϕ θ ψ θ ψ ϕ θ ψθ ψ ϕ θ ψ

= Ω + Ω + Ω

= + +

+ + − + +

& && &

& && & & &

2 2 2 231 ( sin ) ( cos ) .2 2

IIϕ θ θ ϕ θ ψ= + + +&& & &

批注 [x157]: 这在§33已经

求出.


192

（根据（ 33.5）） 1/M Iϕ =& . 最后 , 第三个方程确定陀螺绕自身轴转动的角速度

3 3cos / .M IθΩ =

习题

习题 1 试求解下端点固定的对称重陀螺问题（图 48）

解：取动坐标系和固定坐标系的原点都在陀螺的固定点 O，而 Z轴沿着竖直方向（图 48）。

重力场中陀螺的拉格朗日函数为

22 2 2 231 ( sin ) ( cos ) cos

2 2II lL glµ

θ ϕ θ ψ ϕ θ µ θ+

= + + + −& & & &

（µ 为陀螺的质量， l是质心到最低点的距离）.

ψ 和ϕ是循环坐标，所以有两个运动积分：

3 3( cos)Lp I const Mψ ψ ϕψ

∂= = + = ≡

∂& &

&, (1)

2 21 3 3( sin cos ) cos z

Lp I I I const Mϕ θ θ ϕ ψ θϕ

∂ ′= = + + = ≡∂

& &&

, (2)

其中引入了记号2

1 1I I lµ′ = + （ pψ和 pϕ是相对 O 点定义的转动动量矩在 3x 轴和 Z 轴上的

分量）.此外还有能量守恒:

2 2 2 231 ( sin ) ( cos ) cos2 2

IIE glθ ϕ θ ψ ϕ θ µ θ′

= + + + +& & & & . (3)

由方程(1)和(2)求得

32

1

cossin

zM MI

θϕ

θ

−=

′& , (4)

3 32

3 1

coscossin

zM M MI I

θψ θ

θ

−= −

′& (5)

利用这些等式从能量(3)中消去ψ&和ϕ& ,得

21 ( )2 effIE Uθ θ′

′ = +&

其中引入记号

批注 [x158]: 与(33.5)一致

批注 [x159]: 试将下端点固定

的对称重陀螺的运动问题约

化为积分问题

批注 [l160]: 取动坐标系和固

定坐标系的共同原点位于陀

螺的固定点 O

批注 [x161]: 其中µ 为陀螺的质量，l是质心到固定点的距离

批注 [x162]: ,

批注 [x163]: 分别在

批注 [x164]: 删去

批注 [l165]: 利用方程(4)和(5)

从能量方程


193

23

32ME E gl

Iµ′ = − − ,

23

21

( cos )( ) (1 cos )2 sin

zeff

M MU glI

θθ µ θ

θ−

= − −′

. (6)

由此求出θ&并分离变量得:

1

2[ ( )]eff

dtE U

I

θθ

=′ −

′

∫ (7)

(该积分是椭圆积分).然后,利用方程(4)和(5)将ψ 和ϕ写成θ的函数形式.

在运动过程中,角θ 的变化范围由条件 ( )effE U θ′ ≥ 确定.当 0θ = 和θ π= 时,函数

( )effU θ (当 3 ZM M≠ )趋于 +∞ ,而当处于 0, π 之间时函数经过极小值.所以方程

( )effE U θ′ = 的两个根确定陀螺轴偏离竖直方向的两个极限值 1θ 和 2θ .

角θ从 1θ 变化到 2θ ,ϕ&的符号是否改变取决于 3 cosZM M θ− 的符号是否改变.在第一

种情况下,陀螺轴绕竖直方向单调进动,同时上下振动(称为章动)(图 49a ,曲线是陀螺轴在

以固定点为球心的球面上所画的轨迹).在第二种情况下,在两个极限圆之间进动方向相反,

因此陀螺轴绕竖直方向转动时画出环扣(图 49b ).最后,如果 1θ 和 2θ 之中有一个与

3 cosZM M θ− 的零点重合,则在相应的极限圆上ϕ&和θ&同时等于零,陀螺轴画出图 49c类

型的轨迹.

习题 2 试求陀螺轴绕竖直方向转动稳定的条件.

解: 当 0θ = 时Z和 3x 重合,因此 3 ZM M= , 0E′ = . 如果 0θ = 相应于 ( )effU θ 的极小

值,则陀螺转动稳定. 当θ很小时有

批注 [x166]: 删去

批注 [x167]: 删去

批注 [x168]: θ趋于 0或π

批注 [x169]: 如果

批注 [x170]: 有一个

批注 [x171]: 有两个根,它们

批注 [l172]: 当角

批注 [x173]: 在θ 角的变化范围内是

批注 [l174]: 如果它不改变符

号

批注 [l175]: 见图

批注 [l176]: 如果ϕ&改变符号

批注 [x177]: 环路


194

2

23

1

( )8 2effM glU

Iµ

θ θ

≈ − ′

由此可得稳定条件为2

3 14M I glµ′> 或者

2 13 2

3

4I glIµ′

Ω > .

习题 3 试求自转动能远大于重力势能情况下陀螺的运动(称为快陀螺).

解: 如果忽略重力场,在一阶近似下,陀螺轴绕着M自由进动(在这种情况下对应于陀

螺章动),根据(33.5),角速度为

1nut I

=′

MΩ (1)

在高阶近似中会出现M绕竖直方向的慢速进动(图 50). 为了求进动角速度, 我们

将精确运动方程(34.3)

ddt

=M K

按章动周期平均。作用在陀螺上的重力矩等于 lµ= ×3K n g，其中 3n 是陀螺轴方向的单位

矢量。由对称性， K 按“章动锥”平均归结为将矢量 3n 替换为其在M 方向的投影

cos / MαM （α 是M与陀螺轴之间的夹角）。于是得方程

cosd ldt M

µα= − ×

M g M

这就是说，矢量M以角速度

cospt

lM

µ α= −Ω g （2）

（比 nutΩ 小）绕g（竖直方向）进动。

批注 [x178]: 在一阶近似下,

即忽略重力场时,

批注 [x179]: 绕着角动量M的方向

批注 [l180]: .这种情况对应于

陀螺的章动.

批注 [l181]: 进动角速度

批注 [l182]: 在下一级近似

批注 [x183]: 这种进动的

批注 [l184]: 精确的

批注 [l185]: 很显然,由对称性

批注 [x186]: 平均的结果是

批注 [l187]: 这表明

批注 [x188]: 以比 nutΩ 小得

多的平均角速度

批注 [l189]: 删去


195

在我们所研究的近似中，公式(1)和(2)中的M和 cosα都是常数(严格地说,不是运动

积分). 它们与严格的守恒量 E和M之间的关系为

3 cosM M α= , 2 2 2

3 1

cos sin( )2

MEI I

α α≈ +

′ .


习题 1

解：在惯量主轴坐标系中，定点转动的动能表达式是(参见(32.8)):

2 2 21 1 2 2 3 3

1 ( )2

T I I I= Ω + Ω + Ω

利用欧拉运动方程(35.1),则有

2 2 2 2 21 2 2 3

1 [( )( cos sin sin ) ( sin ) ( cos ) ]2

T I I I Iθ ψ ϕ θ ψ θ ϕ θ ψ ϕ θ= − + + + + +& && & & &

如果 1 2I I= ,即对于对称刚体,有

2 2 2 21 3

1 [ ( sin ) ( cos ) ]2

T I Iθ ϕ θ ψ ϕ θ= + + +& & & &

对于现在讨论的对称重陀螺,如果设它对通过其质心的惯量主轴的主转动惯量分别为

1 2 3, ,I I I ,则据(32.12),上式中的 1 2 3, ,I I I 应该作代换

21 2 1 3 3,I I I l I Iµ= → + →

其中µ为陀螺的质量， l是质心到固定点的距离.由此,重陀螺定点运动的动能为

22 2 2 231 ( sin ) ( cos )

2 2II lT µ

θ ϕ θ ψ ϕ θ+

= + + +& & & &

重力场中陀螺的拉格朗日函数为

22 2 2 231 ( sin ) ( cos ) cos

2 2II lL glµ

θ ϕ θ ψ ϕ θ µ θ+

= + + + −& & & &

显然 L中不显含ϕ和ψ ，所以广义坐标ϕ和ψ 是循环坐标, 相应的广义动量守恒,即有

两个运动积分

3 3( cos )Lp I const Mψ ψ ϕ θψ

∂= = + = ≡

∂& &

&, (1)

批注 [x190]: 进行

批注 [l191]: , 尽管严格地说，

它们不是精确的运动积分

批注 [x192]: 3M


196

2 21 3 3

21 3

( sin cos ) cos

sin M cos z

Lp I I I

I const M

ϕ θ θ ϕ ψ θϕ

θϕ θ

∂ ′= = + +∂

′= + = ≡

& &&

&, （2）

其中引入了记号2

1 1I I lµ′ = + .因为广义坐标ϕ和ψ 都是角度, 相应的广义动量实际上是

角动量.具体而言, pϕ和 pψ分别是刚体相对于固定坐标系中 Z 轴的角动量 zL 和刚体对称轴

(即运动坐标系的 3x 轴)的角动量 3L ,也即 3L 和 zL 分别是角动量L在 3x 轴和 z轴上的投影.

当然,因为重力对固定点的力矩沿 ZO 轴和 3x 轴的投影均为零, 故由角动量定理可知,角动

量在这些轴上的投影守恒.

另外,由于 L不显含时间 t,则有广义能量积分,这里就是陀螺的机械能 E守恒,

2 2 2 231 ( sin ) ( cos ) cos2 2

IIE T V glθ ϕ θ ψ ϕ θ µ θ′

= + = + + + +& & & & . (3)

由方程(1)和(2)可求得

32

1

cossin

zM MI

θϕ

θ

−=

′& , (4)

3 32

3 1

coscossin

zM M MI I

θψ θ

θ

−= −

′& (5)

利用等式(4)和(5)从能量方程(3)中消去ψ&和ϕ& ,得

222 2 3 3 31 1

21 3

2 22 3 31

21 3

cossin cos2 2 sin 2

( cos ) cos2 2 sin 2

z

z

M M I MI IE glI I

M M MI glI I

θθ θ µ θ

θ

θθ µ θ

θ

′ ′ −= + + + ′

′ −= + + +

′

&

&

所以我们有：

2 223 31

23 1

( cos ) (1 cos )2 2 2 sin

zM M MIE gl glI I

θµ θ µ θ

θ′ −

− − = + − −′

&

定义

23

32ME E gl

Iµ′ = − − ,

23

21

( cos )( ) (1 cos )2 sin

zeff

M MU glI

θθ µ θ

θ−

= − −′

. (6)


197

这里E′于是常数.于是,有

21 ( )2 effIE Uθ θ′

′ = +& ,

将上式改写为

1

2[ ( )]effE UI

θθ

′ −=

′&

由此,

12[ ( )] /eff

dt d dt dt dd E U I

θ θθ

θ θ θ= = = =

′ ′−∫ ∫ ∫ ∫& (7)

该积分是椭圆积分.原则上由上式可以求出然后θ 与时间的关系,再利用方程(4)和(5)将ψ

和ϕ写成θ的函数形式.由此也就可求出ψ 和ϕ与时间的关系,即运动情况可以完全求出.

通常可以利用有效势能的性质确定对称重陀螺运动的几何图像.在运动过程中,角θ 允

许的变化范围由条件 ( )effE U θ′ ≥ 确定.当 0,θ π→ 时, cos 1, sin 0θ θ→ ± → ,有

23

20,1

( )( ) lim (1 1)2 sin

zeff

M MU glIθ π

θ µθ→

→ −′m m

如果 3zM M≠ ，则 ( )effU θ → +∞ .而 3zM M≠ − ，所以不必考虑此情况。当θ在 0, π之

间变化时,有效势能有一个极小值.所以方程 ( )effE U θ′ = 在该区间中有两个根,它们确定陀

螺轴偏离竖直方向的两个极限值 1θ 和 2θ .

习题 2

解: 当 0θ = 时 Z 和 3x 重合,因此 3 ZM M= , 0E′ = .为确定稳定性,考虑在 0θ = 附近

有效势能的行为,此时可以认为习题 1中表示式(6)中的θ为小量,关于θ作 Taylor展开,并

仅保留到它的二阶小量,有

23

21

223 3

21 1

22 23 3

1 1

( cos )( ) (1 cos )2 sin

(1 cos ) (1 cos ) tan (1 cos )2 sin 2 2

1 12 2 2 8 2

zeff

M MU glI

M Mgl glI I

M Mgl glI I

θθ µ θ

θ

θ θµ θ µ θ

θ

θµ θ µ θ

−= − −

′

−≈ − − = − −

′ ′

≈ − = − ′ ′


198

如果 0θ = 是 ( )effU θ 的极小值所在位置,则陀螺转动稳定. 由上述 ( )effU θ 的表示式可得

2 23 3

1 1

( ) , ( )4 4eff effM MU gl U gl

I Iθ µ θ θ µ

′ ′′= − = − ′ ′

当 ( ) 0effU θ′′ > 时， ( )effU θ 有极小值，于是可得稳定条件为 23 14M I glµ′> ，即

2 13 2

3

4I glIµ′

Ω >

该条件对陀螺的几何特征附加限制.比如质量µ 和 l不能太大,否则上述条件难以满足.

习题 3.

解: 在忽略重力场的一阶近似下, 陀螺相对于固定点无外力矩,因此它的动量矩M是

守恒量(当然,如果考虑重力场, 动量矩M不是守恒量,对陀螺运动的相应影响在二级近似

中就会体现出来).此时由前面§33 的讨论可知,陀螺对称轴绕着角动量M的方向自由进动.

根据(33.5), 进动角速度为

1nut I

=′

MΩ (1)

这里的 1I ′与习题 1有相同的含义. 需要注意的是,作一阶近似时,我们并没有认为M是沿着

竖直方向的.实际上,即使初始时M沿着竖直方向,在重力作用下,它的方向也会改变,因此

不失一般性, M的方向与竖直方向有一定的夹角.这样陀螺轴绕M进动的过程中,轴的方

向有上下方向的运动,这就是章动.

在下一阶近似中,考虑到重力对固定点有重力矩,该力矩会使得M有绕竖直方向的慢

速进动(图 50).为了求进动角速度, 我们对精确的运动方程(34.3)

ddt

=M K

按章动周期(即(1)对应的周期)取平均。作用在陀螺上的重力矩等于 lµ= ×3K n g，其中 3n

是沿陀螺对称轴方向的单位矢量。很明显,由于对称性，K按“章动锥”(即 3n 围绕M描

出的圆锥)的平均等效为将矢量 3n 用其在M方向的投影cos / MαM （α是M与陀螺轴之

间的夹角）代替。于是得方程

cosd ldt M

µα= − ×

M g M


199

这表明,矢量M以比 nutΩ 小得多的平均角速度

cospt

l gM

µ αΩ = − （2）

绕g（竖直方向）进动。因为对快陀螺,其转动动能非常大,因而M的大小也会很大.但由(1)

和(2)可见,前者正比于 M,而后者反比于 M,所以 nut ptΩ Ω? . 注意,这里采用的方法在思想

上类似于§33 中的方法, M绕竖直方向的慢速进动相应于那里的平稳运动,而章动则对应

于微振动.上述平均是对微振动这样的快运动进行的,这与题目中的条件有关.

在我们所进行的近似中，公式(1)和(2)中的M和cosα都是常数,但严格地说，它们不

是运动积分. 它们与严格的守恒量 E和 3M (即习题 1中的(3)和(1)表示的运动积分)之间的

关系分别按如下方式求出.对M ,将其投影到陀螺的对称轴上,有

3 cosM M α= .

对于能量,在重力势能远小于转动动能时,有E T≈ ，这里的T为转动动能.根据（32.8）以

及(33.2),有

2 2 21 2 3

1 2 3

2 2 22 2 2

1 2 31 3 3 1

1 1 12 2 2

1 1 cos sin( )2 2 2

E T M M MI I I

MM M MI I I I

α α

≈ = + +′ ′

= + + = + ′ ′

其中利用了M与 1 2 3, ,M M M 的关系, M在垂直于陀螺的对称轴方向的投影的大小即为

2 21 2M M+ .

也可以从有效势能的角度进行讨论. 当重力势能远小于转动动能时,由习题 1 的(6)可

知,此时有效势能可以表示为

23

21

( cos )( )2 sin

zeff

M MUI

θθ

θ−

≈′

这个非负函数在满足 3 0cos 0zM M θ− = 的位置 0θ 有极小值 0.该 0θ 对应于陀螺的稳定平衡

位置.如果角θ对 0θ 有小的偏离，则θ 将在 0θ 附近作微振动(即章动)．将有效势能在 0θ 附

近作 Taylor展开,并仅保留到 0θ θ ξ− = 的二阶小量.因为

( ) ( )3 3 0 3 0 0 3 0cos cos cos sin sinz z zM M M M M M Mθ θ ξ θ ξ θ ξ θ− = − + ≈ − − =

则分母中 2sin θ只要保留到零阶项,即可用2

0sin θ 代替 2sin θ ,于是有


200

( )22 2

3 0 23 32 2

1 1 0 1

sin( cos )( )2 sin 2 sin 2

zeff

MM M MUI I I

ξ θθθ ξ

θ θ−

≈ ≈ =′ ′ ′

代入习题 1的(6),有

2

2 231

12 2MIE

Iξ ξ

′′ = +

′&

对上式求时间的微分,可得

2

31

1

=0MII

ξ ξ′ +′

&&

这是振动频率为 3 1/M Iω ′= 的小振动,即章动的频率,与前面(1)有一点小的差别.

§36 欧拉方程

在§33 中的运动方程是相对固定坐标系的：在方程（34.1）和（34.3）中的导数 /d dtP和 /d dtM 是矢量P和Μ相对这个坐标系的改变量。但是，刚体动量矩Μ的分量和角速度分量之间的关系，在与惯性主轴重合的动坐标系中更简单。为了利用这个关系，必须先将运

动方程变换到动坐标系。设 =Ad dt 是任意矢量Α相对固定坐标系的变化速度。如果矢量Α相对旋转坐标系不变化，则它相对固定坐标系的变化只有转动，于是

ddt

= ×Α

Ω Α

（参见§9，其中证明了公式（9.1）和（9.2）等对任意矢量都成立）。一般情况下，这个等式右端应该加入矢量Α相对动坐标系的变化速度，我们记这个速度为 ' /d dtA ，可得

'd ddt dt

= + ×Α Α Ω Α (36.1)

利用这个一般公式，我们可以将方程（34.1）和（34.3）写成 ' 'd d

dt dt+ × + ×Ρ MΩ Ρ F Ω M K , = = (36.2)

因为是在动坐标系中对时间的求导，我们可以将这些方程直接向动坐标轴投影：

1 1

1 1

' 'd dMd ddt dt dt dt

Ρ = =

Ρ M，…，，…，

其中下标 1，2，3表示对应坐标轴 x1，x2，x3的分量。在第一个方程中用 Vμ 代替Ρ ，得⑭

⑭[补充说明]设Ρ 相对于动坐标系各轴的分量形式为( 1 2 3, ,V V Vµ µ µ )，则有

31 21 2 3

' ( , , ) , , dVdV dVd d V V Vdt dt dt dt dt

µ µ µ µ µ µ′ = =

Ρ

又设Ω,F相对于动坐标系各轴的分量形式分别为( 1 2 3, ,Ω Ω Ω )和 1 2 3( , , )F F F ,有

批注 [u193]: §34

批注 [WU194]: 变化率

批注 [u195]: 转动动量矩

批注 [u196]: 以惯量主轴为坐

标轴

批注 [u197]: 相对动坐标系表

示的形式


批注 [u199]: 动

批注 [u200]: 率只是由转动引

起的

批注 [u201]: 删去

批注 [u202]: 删去


批注 [u204]: 变化率

批注 [WU205]: 我们可以将

方程(36.2)写成沿动坐标系各

坐标轴的分量形式,并记

批注 [u206]: 沿


201

12 3 3 2 1

23 1 1 3 2

31 2 2 1 3

,

,

.

dV V V Fdt

dV V V Fdt

dV V V Fdt

µ

µ

µ

+ Ω − Ω = + Ω − Ω =

+ Ω − Ω =

(36.3)

假设惯性主轴沿 x1，x2，x3，则（36.2）的第二个方程中 1 1 1M I Ω= ，等等.

11 3 2 2 3 1

22 1 3 3 1 2

33 2 1 1 2 3

( ) ,

( ) ,

( ) .

d Kdt

d Kdt

d Kdt

Ω Ι + Ι − Ι Ω Ω =

Ω Ι + Ι − Ι Ω Ω =

Ω Ι + Ι − Ι Ω Ω =

(36.4)

方程（36.4）称为欧拉方程。当自由转动时 K=0，欧拉方程为

3 212 3

1

1 323 1

2

3 2 11 2

3

( ) 0,

( ) 0,

( ) 0.

ddt

ddt

ddt

Ι − ΙΩ+ Ω Ω = Ι

Ι − ΙΩ+ Ω Ω = Ι

Ω Ι − Ι+ Ω Ω =

Ι

(36.5)

作为例子，我们应用这些方程研究对称陀螺的自由转动。设 1 2I I= ，由第 3个方程可

知， 3 0Ω =& ，即 3 constΩ = 。此后第 1和第 2个方程写成

1 2 2 1, .ω ωΩ = − Ω Ω = Ω& &

其中引入了常量

3 13

1

( )I II

ω−

= Ω (36.6)

将第 2个方程乘以 i加上第 1个方程，得

1 2 1 2( ) ( )d i i idt

ωΩ + Ω = Ω + Ω

由此得

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2( , , )V V V V V V× = Ω − Ω Ω − Ω Ω − ΩΩ P

将它们代入(36.2)的第一式即得(36.3). 可见(36.3)是相对于固定参考系的动力学方程在动坐标系中的分量形

式.也就是说运动的描述是相对于惯性参考系的, 但是用相对动坐标系的分量形式来表示各个量.

类似地, 由(36.2)的第二式可以写出其相对动坐标系的分量形式,即(36.4).

批注 [WU207]: 如果 x1，x2，

x3是三个惯量主轴

批注 [u208]: ,有

批注 [u209]: 变为

批注 [WU210]: 我们将这些

方程应用于已经讨论过的对

称陀螺的自由运动

批注 [u211]: 第 1和第 2个方

程于是可写成


202

1 2 ,i ti Ae ωΩ + Ω =

其中 A为常数，可以认为是实数（只要适当选择时间起始点）⑮，那么

1

2

cos ,sin .

tt

Ω ωΩ ω

==

A

A (36.7)

这个结果表明，角速度在垂直陀螺的平面上投影为常量 ( )2 21 1Ω Ω Α+ = ，并且在该

平面内以角速度ω旋转。由于在陀螺轴上的投影 3Ω 也是常量，故矢量Ω 的大小不变，并以

角速度ω绕陀螺轴等速旋转。由于Μ 和Ω 的分量关系为

1 1 1

2 2 2

3 3 3

,,.

M IM IM I

= Ω

= Ω= Ω

显然Μ 也作这样的运动（相对陀螺）。这里所得的结果是§33和§35中相对固定坐标系研究结果的另一种表示。特别地，矢

量Μ（图 48上的 Z轴）绕 3x 转动的角速度等于欧拉角表示的角速度 ψ− & 。利用方程（35.4）

有

3 3 1

cos 1 1cos cosI I

Μ θψ ψ θ Μ θ

Ι

= − = −

& &

或者根据（36.6）有

3 23

1

.I II

ψ−

− = Ω&

§37 非对称陀螺

我们利用欧拉方程研究更复杂的问题，即研究 3个主转动惯量各不相等的非对称陀螺的转动。假设

3 2 1I I I> > (37.1)

我们早就知道欧拉方程的两个积分，分别由能量守恒定律和动量矩守恒定律给出 2 2 2

1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3

2I I I EI I I M

Ω + Ω + Ω =

Ω + Ω + Ω = (37.2)

其中能量E和动量矩的大小M 是给定常数，这两个等式可以用Μ 的分量表示为，

⑮ [补充说明]如果令 iA ae α= ,其中 a为实数,则有 ( )

1 2i ti ae ω αΩ Ω ++ = . 如果取时间起始点为 0 /t α ω= − ,

则α 将不出现在相关的表示式中,这等同于将 A取为实数.

批注 [u212]: 只要选取适当的

时间起始点，就可以使 A为实

数

批注 [u213]: 对称轴的平面上

的分量的大小为常量

( )2 21 1Ω Ω Α+ = ，并且该分

量

批注 [u214]: 匀速

批注 [u215]: 之间的

批注 [WU216]: 显然,动量矩

矢量Μ相对于陀螺的对称

轴也作类似的运动

批注 [WU217]: 本质上是

批注 [u218]: 动量矩矢量Μ（沿§35图 48中的 Z轴方

向）绕 3x 轴转动的角速度用

欧拉角表示时等于角速度

ψ− &

批注 [WU219]:

3

3 1

cos cos

1 1cosI I

Μ θψ ϕ θ

Ι

Μ θ

= −

= −

& &

批注 [u220]: 删去

批注 [u221]: 这与(36.6)一致.

批注 [u222]: 自由转动


203

22 231 2

1 2 3

2MM M EI I I

+ + = (37.3)

2 2 2 21 2 3M M M M+ + = (37.4)

由此可以得出一些陀螺运动的特性。我们注意到，在以 1M ， 2M ， 3M 为轴的坐标系

中，方程（37.3）和（37.4）分别是半轴为 1 2 32 , 2 , 2EI EI EI 的椭球面方程和半径为M

的球面方程。当Μ （相对陀螺的惯性轴）移动时，其端点沿着这两个曲面的交线运动（在图 51 上

画出了椭球与不同半径球面的一系列交线）。交线存在的条件是

21 32 2 ,EI M EI< < (37.5)

其几何解释为球（37.4）的半径介于椭球(37.3)的长半轴和短半轴之间。

我们研究M的变化（给定能量 E）引起矢量M的端点⑯的轨迹性质的变化。当2M 略

大于 12EI 时，球和椭球交于两条很小的封闭曲线，它们在椭球两个极点附近围绕 1x 轴（当

212M EI→ 时，两条曲线分别收缩到极点）。随着

2M 继续增大，曲线扩大，当2

22M EI=

时，曲线变成两条平面曲线（椭圆），并相交于椭球在 2x 轴上的极点。 2M 再继续增大，重

新出现两条分别围绕 3x 轴上极点的封闭曲线，当 232M EI→ 时，这两条曲线收缩为两个点。

首先应该指出，轨迹的封闭性意味着矢量Μ 相对陀螺的运动是周期性的，在一个周期内矢量Μ 画出某条圆锥曲线并回到原来位置。

我们进一步发现，在椭球不同极点附近的轨迹有不同的性质。在 1x 轴和 3x 轴附近，轨

⑯ 矢量 Ω 端点画出的相应曲线称为本体极迹

批注 [u223]: 由这些方程可以

得出陀螺运动的一些特性

批注 [u224]: 矢量Μ 相对陀

螺的惯量轴

批注 [u225]: .图 51中

批注 [u226]: 删去

批注 [u227]: 由显然成立的不

等式给出

批注 [u228]: 它表示

批注 [x229]: （给定能量E时）M的变化

批注 [x230]: 球和椭球相交于

椭球极点附近围绕 x1轴的两

条很小的封闭曲线.

批注 [x231]: 删去

批注 [x232]: 删去

批注 [x233]: 两条分离的封闭曲线重现，但这次是围绕 x3

轴上的极点.

批注 [x234]: 到两个极点

批注 [x235]: 其次,应该注意

到


204

迹完全分布在极点周围，而在 2x 轴附近，轨迹将远离极点。这种不同相应于陀螺绕 3 个轴

转动有不同的稳定性。绕 1x 轴和 3x 轴（相应于陀螺 3 个转动惯量中的最大值和最小值）的

转动稳定，即偏离这些状态很小时，陀螺将继续在初始状态附近运动。绕 2x 的转动不稳定，

即任意小的偏离都可能产生远离陀螺初始闻之的运动。为了确定 Ω 的分量（或者平行于它们的Μ 的分量）对时间的依赖关系，我们利用欧

拉方程（36.5）. 利用（37.2）将 1Ω和 3Ω 用 2Ω 表示：

2 2 21 3 2 3 2 2

1 3 1

2 2 23 1 2 2 1 2

3 3 1

1 [(2 ) ( ) ],( )

1 [( 2 ) ( ) ],( )

EI M I I II I I

M EI I I II I I

Ω Ω

Ω Ω

= − − −−

= − − −−

(37.6)

并代入（36.5）的第二个方程，得

23 121 3 3

2 2 1 3

12 2 2 22 3 2 2 1 2 2 1 2

1 [(2 )

( ) ][( 2 ) ( ) ] .

I Id EI Mdt I I I I

I I I M EI I I I

ΩΩ Ω

Ω Ω

−= = − −

− − − −

(37.7)

将这个方程分离变量并积分，得椭圆函数形式的函数 2( )t Ω 。在化为标准形式时，我们假设

222M EI>

（反之，在下面的所有公式中对调下标 1和 3）。我们利用新变量替换 t和 2Ω ：

23 2 1 2 3 2

2 21 2 3 3

( )( 2 ) ( ), ,2

I I M EI I I It sI I I EI M

τ Ω− − −

= =−

(37.8)

并引进正参数2 1k < 如下

22 2 1 3

23 2 1

( )(2 ) .( )( 2 )I I EI MkI I M EI

− −=

− − (37.9)

于是有⑰ ⑰ [过程补充] 由(37.7),考虑到条件(37.1),(37.5)以及 2

22M EI> ,经整理,有

2 3 222 2

3 3 2 1

21 2 32 22 3 2 3 2 3 22 1

2 22 2 23 3 2 1 3

( )(2 ) ( )( 2 )

( ) (2 ) ( )( )1 1(2 ) ( ) ( 2 ) (2 )

I I IdEI M I I M EIdt

I I II I I EI M I I II IEI M I I M EI EI M

Ω

Ω Ω

−− − −

= − − −−

− − − − − −

在作变量代换(37.8),(37.9)后,有

2 2 2d / (1 )(1 )ds s k sτ = − −

批注 [x236]: 位于相应的

批注 [x237]: 但是,通过 2x 轴

上的极点附近的轨迹将远离

这些极点

批注 [x238]: 差别

批注 [x239]: 惯量主轴

批注 [x240]: 最小值和最大值

批注 [x241]: 是稳定的

批注 [x242]: 然而.绕 2x 轴的

转动是不稳定的

批注 [x243]: 得到用椭圆积分

表示的

批注 [x244]: 如果不等式反

向,

批注 [x245]: 删去


205

2 2 20 (1 )(1 )

s dss k s

τ =− −

∫

(选择时间起始点为 2 0Ω = 时刻）.反解这个积分可得雅可比椭圆函数

sn ,s τ=

由此函数给出 2Ω 对时间的依赖关系。根据等式（37.6），函数 1( )tΩ 和 3 ( )tΩ 可由 2 ( )tΩ 的代

数表达式给出。考虑到另外两个椭圆函数的定义

2 2 2cn 1 sn , dn 1 sn ,kτ τ τ τ= − = −

最后可得下面公式 2

31

1 3 1

23

22 3 2

21

33 3 1

2 cn ,( )

2 sn ,( )

2 dn .( )

EI MI I I

EI MI I I

M EII I I

Ω τ

Ω τ

Ω τ

−=

−

−=

−

−=

−

(37.10)

函数（37.10）是周期的，并且对τ 的周期为4K ，其中K是第一类全椭圆积分：

1 2

2 2 2 2 20 0.

(1 )(1 ) 1 sinds duK

s k s k u

π= =

− − −∫ ∫ (37.11)

对时间的周期为

1 2 32

3 2 1

4 .( )( 2 )

I I IT KI I M EI

=− −

(37.12)

经过这段时间后，矢量Ω 回到相对陀螺的原位置（这时陀螺自己不会回到相对固定坐标系的原位置，见下面）。

当 1 2I I= 时，公式（37.10）退化为前一节得到的对称陀螺的公式。事实上，当 1 2I I→

时，参数 2 0k → ，椭圆函数退化为

sn sin , cn cos , dn 1,τ τ τ τ τ→ → →

于是就退化到公式（36.7）。

当2

32M EI= 时有： 1 2 30, constΩ Ω Ω= = = ，即矢量Ω 方向总是沿着对称轴 3x ，这

令s 0= ,即 2 0Ω = 时, 0t = ,则对上式积分有

2 2 20 (1 )(1 )

s dss k s

τ =− −

∫

批注 [x246]: 函数

批注 [x247]: 对变量τ

批注 [x248]: 完全

批注 [x249]: 因而对时间 t

批注 [x250]: 经过这段时间

T 之后，相对于陀螺的轴而言,矢量Ω 回到原位置.然而相对固定坐标系,陀螺自身并

不会回到原位置，见下文。

注:不另起一段

批注 [x251]: 当然退化为§36

批注 [x252]: 为三角函数

批注 [x253]: 公式（37.10）就

变回到


206

相应于陀螺绕 3x 等速转动。类似地，当 212M EI= 时（这时 0τ ≡ ），陀螺绕 1x 轴等速转动。

下面我们研究陀螺在空间中的绝对运动（相对固定坐标系）。为此我们引入陀螺轴 1x ，

2x 和 3x 和坐标轴 X ，Y，Z 之间的欧拉角ψ ，ϕ，θ，选择固定轴Z沿着常矢量Μ 的方

向。由于方向Z 相对 1x ， 2x ， 3x 轴的极角和方位角分别等于θ和 2π ψ− （参见第 112页

的脚注）, 则矢量Μ 向 1x ， 2x ， 3x 轴投影得

1 1 1

2 2 2

3 3 3

sin sin ,sin cos ,cos .

M M IM M IM M I

θ ψ Ωθ ψ Ω

θ Ω

= = = = = =

(37.13)

由此得

3 3 1 1

2 2

cos , tan ,I IM IΩ Ω

θ ψΩ

= = (37.14)

利用公式（37.10）得

23 1

23 1

1 3 2

2 3 1

( 2 )cos dn ,( )

( ) cn tan ,( ) sn

I M EIM I I

I I II I I

θ τ

τψ

τ

−=

−

−=

−

(37.15)

由此获得角θ和ψ 对时间的依赖关系，与矢量Ω 的分量一样，它们是时间的周期为（37.12）

的周期函数。在公式(37.13)中没有角ϕ ，为了计算这个角，需要利用公式（35.1），该公式用欧拉角

对时间的导数表示Ω 的分量. 从等式

1

2

sin sin cos ,

sin cos sin ,

Ω ϕ θ ψ θ ψ

Ω ϕ θ ψ θ ψ

= +

= −

&&&&

消去θ&，可得

1 2sin cos ,sin

Ω ψ Ω ϕϕ

θ+

=&

然后利用公式（37.13），可得⑱

⑱ [过程补充] 由（37.13）可得

2 22 3 31 1 2 2

2sin , cos , cossin sin

II IM M M

ΩΩ Ωψ ψ θ

θ θ= = =

则有

批注 [x254]: 匀速

批注 [x255]: 匀速

批注 [x256]: , 即相对于固定

坐标系 X ，Y ，Z 的运动

批注 [x257]: 利用

批注 [x258]: 并选取固定的

Z 轴

批注 [x259]: §35中

批注 [x260]: 取矢量Μ 沿

1x ， 2x ， 3x 轴的分量可

批注 [WU261]:

1 2sin cossin

Ω ψ Ω ψϕ

θ+

=&


207

2 21 1 2 22 2 2 21 1 2 2

I Id Mdt I I

Ω ΩϕΩ Ω

+=

+ (37.16)

由此可通过积分来确定函数 ( )tϕ ，但被积表达式很复杂，包括椭圆函数. 经过一系列复杂的

变换，可以将这个积分表示为Θ −函数，我们这里不进行具体计算仅给出最后结果。⑲

函数 ( )tϕ 可以写成下面两项之和（精确到可加常数）

1 2( ) ( ) ( ),t t tϕ ϕ ϕ= + (36.17)

1( )tϕ 由下式给出

12 ( ) 01

01

(2 / ) ,(2 / )

i t t T iet T i

ϕ ϑ αϑ α

−=

+ (37.18)

其中 01ϑ 是Θ −函数，α是实常数，α由下式确定：

23 1

21 3

( 2 )sn( 2 )(2 )

I M EIi K iI EI M

α−

⋅ =−

(37.19)

（K和T由公式（37.11）和（37.12）给出）。（37.18）右端是周期为 2T 的周期函数，因

此 1( )tϕ 在时间T内变化2π 。（37.17）的 2 ( )tϕ 由下面公式给出：

012

1 1

( )1( ) 2 , .2 ( )

it M itT T I t i

ϑ αϕ π

π π ϑ α′

= = −′ ′

(37.20)

这个函数在时间 'T 内变化量为2π 。

可见， ϕ是两个周期函数之和，并且一个的周期（T ）与角ψ 和θ的周期相同，另一

个的周期（T ′）与前一个是不可约的。后一种使得陀螺永远不可能回到自己的初始位置。

习题

习题1 试求陀螺绕惯性主轴 3x (或 1x )附近轴的自由转动．

解：设 3x 轴靠近M的方向．那么分量 1M 和 2M 是小量，而 3M M≈ （精确到一阶小

量）．在这样的精度下，欧拉方程（36.5）的前两个写成

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3

sin cossin sin (1 cos ) (1 / )

I I I I I I I IMM M M I M M I

ψ ψϕ

θ θ θΩ + Ω Ω + Ω Ω + Ω Ω + Ω Ω + Ω

= = = = =− − Ω − Ω

&

再利用 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3M I I IΩ Ω Ω= + + 即得到(37.16).

⑲ 参见：Е. Т. Уиттекер. А налитическая динамика.－М.： ОНТИ, 1937．E.T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, 4th ed., Chapter VI. Dover, New York, 1944.

批注 [x262]: 以复杂的方式涉

及椭圆函数

批注 [x263]: (除了任意的可

加常数外)可以写成下面两项

之和

批注 [x264]: 并由

批注 [x265]: 中的

批注 [x266]:

01

1 01

( )1 .2 ( )

iM iT I t i

ϑ απ π ϑ α

′= −

′

注:第二式中一个角标有误

批注 [x267]: 增加

批注 [x268]: 无公度的。这种

无公度性导致陀螺永远不可

能精确地回到它的初始位置

批注 [x269]: 惯量

批注 [x270]: 相同的

批注 [x271]: 可写为


208

1 21

3

1

30 2 0

2

1 , 1I IdM dMM Mdt I dt I

= − Ω = − Ω

这里我们引入了记号 0 3/M IΩ = ．我们来求 1M , 2M 的正比于 i te ω 的解，对于频率ω可得

3

1 2

30 1 1I I

I Iω

− −

Ω

= ． (1)

对于 1M , 2M ，我们有

21 2

3

1

3 1 cos , 1sin ,I IMa t Ma tI

M MI

ω ω= − = − (2)

其中a是任意的小常数．矢量M相对陀螺的运动由这些公式确定，在图51中矢量M的端点

（以频率ω）绕着 2x 轴上的极点画出小椭圆．

为了确定陀螺在空间中的绝对运动，我们来求其欧拉角．在给定情况下， 3x 和Z（M的

方向）的夹角θ是小量，根据公式(37.14)有

2 22 31 1 2

22

tan , 2(1 cos ) 2 1 ,MM M MM M M

ψ θ θ+ = ≈ − = − ≈

将(2)代入，得

2 2 21 3 2 3 3

2 3 1 2 1

( )tan cot 1 cos 1 sin ( )

I I I I It a t tI I I I I

ψ ω θ ω ω −

= − − −

２，＝ + ． (3)

为了计算角ϕ，我们注意到，根据(35.1)中的第３个方程，当 1θ = 时

0 3 .ψ ϕΩ ≈ Ω ≈ +& &

所以

0tϕ ψ= Ω −

（略去了任意积分常数）．

如果直接观察陀螺３个惯性主轴的变化（沿着这些轴的单位矢量为 3,n n n1 2, ），可以

获得陀螺运动的直观概念．矢量n1和n2在平面XY 内以频率Ω0等速转动，同时以频率ω沿

着横向振动，这些振动由这两个单位矢量的Z 方向分量确定，对这些分量有

12

22

2

cos ,

sin .

Z

Z

M In a tM I

M In a tM I

ω

ω

≈ = −

≈ −

1 3

3

１

＝１

批注 [x272]: 3x

批注 [x273]: 在现在的情况下,

3x 轴和 Z轴（沿M的方向）

之间

批注 [x274]: 方向的

批注 [x275]: 性质的更清晰的

理解

批注 [x276]: 匀速


209

在同样精度下，对于矢量 3n 有

3 3 3sin , cos , 1X Y Zn n nθ ϕ θ ϕ≈ ≈ − ≈

（ 3n 的方向相对X ，Y ，Z 轴的极角和方位角等于θ和 / 2ϕ π− ，参见第112页脚注）．进

而有（利用公式（37.13））：

0

10 0

3 30 0

0 0

1

2

2

sin( ) sin cos cos sin

sin cos

sin sin cos cos

Xn t t tM Mt tM M

I Ia t t a t tI I

θ ψ θ ψ θ ψ

ω ω

= Ω − Ω − Ω

= Ω − Ω

= − Ω − − Ω

３＝

１１ ,

或者最后得

[ ]

[ ]

30

1 2

0

33

3 3

1 2

1 cos ( )2

cos ( )2

XI Ian tI I

I Ia tI I

ω

ω

= − − − Ω + +

− − − Ω −

1 +

1 1 .

类似地，

[ ]

[ ]

3 33 0

1 2

03

1 2

3

sin ( )2

sin ( )2

YI Ian tI I

I Ia tI I

ω

ω

= − − − Ω + +

− − − Ω −

1 + 1

1 1 ．

由此可知，矢量 3n 的运动是以频率 0( )ωΩ ± 绕Z轴的两个转动合成的．

习题2 试求 22 2M EI= 情况下陀螺的自由转动．

解：在图51上，这种情况相应于矢量M的端点沿着过 2x 轴极点的曲线运动．

方程（37.7）有如下形式：

2 2 1 3 2 20

1 3 0

( - )( - )1 , ,I I I Ids s t sd I I

ττ

Ω= − = Ω =

Ω ，

其中引入了记号 0 2/ 2 /M I E MΩ = = ．积分这个方程，然后利用公式（37.6），可得

批注 [x277]: §35的

批注 [x278]: 的叠加

批注 [x279]: 轴上

批注 [x280]: 和(37.8)变为


210

2 1

2 3 21 0

1 3 1

2 0

2

33 0

3 1

( ) ( ) cosh

tanh ,

( ) ( ) cosh

I I II I I

I I II I I

τ

τ

τ

−Ω = Ω

−

Ω = Ω

−Ω = Ω

−

１，

１

为了确定陀螺的绝对运动，我们引入欧拉角，定义θ为Z轴（M的方向）与陀螺惯性主

轴 2x （不是正文中的 3x ）之间的夹角．在给出矢量Ω的分量与欧拉角关系的公式（37.14）

和（37.16）中，将下标循环替换123 → 312 ．然后将（１）式代入可得

3 2 10

1 3 2

( )cos tanh , const tan .( )

I I ItI I I

θ τ ϕ ψ−

= = Ω + =−

，

由所得公式可知，矢量Ω按渐近线（当 t → ∞时）趋近于 2x 轴，同时 2x 轴按渐近线趋

近于固定轴Z．


习题1

解：设 3x 轴靠近M的方向,那么分量 1M 和 2M 是小量，在精确到一阶小量的情况下,

有 3M M≈ ．在相同的精度下，欧拉方程（36.5）的前两个可写为

1 21

3

1

30 2 0

2

1 , 1I IdM dMM Mdt I dt I

= − Ω = − Ω

(a)

这里我们引入了记号 0 3/M IΩ = ．我们来求 1M , 2M 的正比于i te ω的解，设

1 1 2 2, ,i t i tM A e M A eω ω= = (b)

代入前面的两式,有

1

31 0 2

2

30 1 2

1 0,

1 0.

Ii A AI

I A i AI

ω

ω

− − Ω =

− Ω − =

(c)

要求有不全为零的 1A和 2A ,则上述方程的系数行列式等于零,即

30

2 2 23 30

230

1

1

11 1 0,

1

IiI I I

I II iI

ω

ω

ω

− − Ω

= + − − Ω = − Ω −

批注 [x281]: (1)

注:公式编号,下文用到

批注 [x282]: 惯量

批注 [x283]: 当 t → ∞时,

矢量Ω渐近地趋于 2x 轴,同

时 2x 轴渐近地趋于固定轴 Z．


211

由此可得频率ω为

3

1 2

30 1 1I I

I Iω

− −

Ω

= ． (1)

将(1)代回(c)可得

( )

3 32

22 1 1

3 2 0 1

1 / 1I II

iIA A iAI I I

ω − −

= − =

− Ω −

不失一般性,可设 1A 是实数,再令 31

2

1IA MaI

−= ,并取(b)中的实部作为 1M 和 2M 的解，

则有

21 2

3

1

3 1 cos , 1sin ,I IMa t Ma tI

M MI

ω ω= − = − (2)

其中a是任意的小常数,这是因为 1M 和 2M 均是小量．上式表明,在垂直于 3x 轴的平面上,

矢量M的端点以频率ω相对于陀螺的运动描出半长轴和半短轴分别为 3 1/ 1M I Ia − 和

3 2/ 1M I Ia − 的小椭圆．

实际上,也可以对(a)中的第一式求时间的导数,则有

23 2

01

22

1 ,Id M dMdt I dt

= − Ω

这里在前面所说的近似下,认为 0Ω 是常数.再将(a)中的第二式代入上式,有

223 3

0 121

12

1 1 ,I Id M Mdt I I

= − − Ω

即

2

212

1 0,d M Mdt

ω+ =

其中的ω由(1)给出,由此可得 1 1 cosAM tω= .再代回(a)可求出 2M 的表示式.

为了确定陀螺在空间中的绝对运动，我们来求其欧拉角．在现在的情况下, 3x 轴和Z轴

（沿M的方向）之间的夹角θ是小量，根据公式(37.14)有

2 231 2

22 1

2

tan , 2(1 cos ) 2 1 ,MM M MM M M

ψ θ θ+ = ≈ − = − ≈

这里注意到 3M M≈ ,则 31 M xM

− = 是小量,于是可作近似,


212

2(1 ) 1 2x x− ≈ −

即

2 2 2 2 22 3 1

23 2

2

232 1 (1 ) 1 1 1 1M M M M M Mx x

M M M M − + ≈ − − ≈ − − − = − = =

将(2)代入，得

3 1

( )tan cot cos 1 sin ( )

I I I I It a t tI I I I I

ψ ω θ ω ω −

= − −

2 2 2 ２1 3 2 3 3

2 1 2

，＝ -1 ＋． (3)

为了计算角ϕ，我们注意到，根据（35.1）中的第３个方程，当 1θ = 时

3 .ψ ϕΩ ≈ Ω ≈ +& &0

所以

= tϕ ψΩ −0

这里略去了任意积分常数．

如果直接观察陀螺３个惯性主轴方向的变化（设沿着这些轴的单位矢量为 3,n n n1 2, ），

可以获得陀螺运动性质的更清晰的理解．根据图47可得矢量 3,n n n1 2, 在XYZ坐标轴上的分量

形式分别为

1

2

3

cos cos sin sin cos ,cos sin sin cos cos ,sin sin )sin cos cos sin cos , sin sin cos cos cos , cos sin )

(sin sin , sin cos , cos )

((

ψ ϕ ψ ϕ θ ψ ϕ ψ ϕ θ ψ θ

ψ ϕ ψ ϕ θ ψ ϕ ψ ϕ θ ψ θθ ϕ θ ϕ θ

− +

−

=

= − − += −

nn

n

n1和n2在平面XY内的分量大小分别为

( ) ( )

( ) ( )

1/22 22 21 1

2 2 1/2

1/22 22 22 2

2 2 1/2

cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos

cos (1+ tan cos )

sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos

cos (tan + cos )

X Y

X Y

n n

n n

ψ

ψ ϕ ψ ϕ θ ψ ϕ ψ ϕ θ

ψ

ψ ϕ ψ ϕ θ ψ ϕ ψ ϕ θ

ψψ

θ

θ

= − + +

=

= − − + − +

=

+

+

矢量n1和n2在平面XY内以频率Ω0匀速转动，同时以频率ω沿着横向振动，这些振动由这

两个单位矢量的Z 方向分量确定，对这些分量有

12

22

2

sin sin

cos

cos ,

sin .sin

Z

Z

M In a tM I

M In a tM I

ψ

ωθ

ωθ

ψ

= ≈ = −

= ≈ −

1 3

3

１

＝１


213

对于矢量 3n ,因为其方向相对X ，Y ，Z 轴的极角和方位角等于θ和 / 2ϕ π− (参见§

35的脚注), 在保留到θ的一阶近似下(即与前面有相同的精度)，则有

( )( )

3

3

3

sin cos sin ,

sin

/ 2

/ 2sin cos ,cos 1

X

Y

Z

n

nn

π

π

θ ϕ θ ϕ

θ ϕ θ ϕ

θ

= − ≈

= − ≈

= ≈

−

再利用公式（37.13）,有

10 0

3 30 0

1

0 0 0

2

2

sin( ) = sin cos cos sin

sin cos

sin sin cos cos

Xn t t tM Mt tM M

I Ia t t a t tI I

θ ψ θ ψ θ ψ

ω ω

= Ω − Ω − Ω

= Ω − Ω

= − Ω − − Ω

３

１１ ,

即

[ ] [ ]30 0

1 2 1 2

3 3 33 1 cos ( ) cos ( )

2 2XI I I Ia an t tI I I I

ω ω

= − − − Ω + + − − − Ω −

1 + 1 1 .

类似地，

[ ] [ ]

10 0

3 30 0

1

0 01

3 0 0 0

2

2

3

2

3 3

1 2

3

cos( ) = cos cos sin sin

cos sin

cos sin sin cos ,

1 1 sin ( ) 1 1 sin ( )2 2

Yn t t tM Mt tM M

I Ia t t a t tI I

I I I Ia at tI I I I

θ ψ θ ψ θ ψ

ω ω

ω ω

= − Ω − − Ω − Ω

= − Ω − Ω

= − − Ω − − Ω

= − − + − Ω + + − − − Ω −

１１

．

由此可知，矢量 3n 的运动是以频率 0( )ωΩ ± 绕Z 轴的两个转动的叠加．

习题2

解：在图51上，这种情况相应于矢量M的端点沿着过 2x 轴极点的曲线运动．此时,方

程（37.7）和(37.8)可以写为如下形式：

2 2 1 3 2 20

1 3 0

( )( )1 , ,I I I Ids s t sd I I

ττ

− − Ω= − = Ω =

Ω ，

其中引入了记号 0 2/ 2 /M I E MΩ = = ．对上式中第一式积分,同时考虑到取 0s = (即

2 0Ω = )时 0τ = ,则有

20

1 1ln1 2 1

s ds ss s

τ+

= =− −∫

即


214

tanhs τ=

于是,有

2 0 0 tanhs τΩ = Ω = Ω

由该结果,再利用公式（37.6），可得

( )

2 2 21 3 2 3 2 2

1 3 1

2 232 3 2 2

1 3 1

2 2 22 3 2 2 3 20 2 0

1 3 1 1 3 1

2

2

1 [(2 ) ( ) ]( )

1 1 ( )( )

( ) ( ) sech( ) ( )

EI M I I II I I

IM I I II I I I

I I I I I II I I I I I

Ω Ω

Ω

Ω − Ω Ω τ

= − − −−

= − − − −

− −= =

− −

( )

2 2 23 1 2 2 1 2

3 3 1

2 212 2 1 2

3 3 1

2 2 22 2 1 2 2 10 2 0

3 3 1 3 3 1

2

2

1 [( 2 ) ( ) ]( )

1 1 ( )( )

( ) ( ) sech( ) ( )

M EI I I II I I

IM I I II I I I

I I I I I II I I I I I

Ω Ω

Ω

Ω − Ω Ω τ

= − − −−

= − − − −

− −= =

− −

总结起来,有

2 3 21 0

1 3 1

2 0

23

30

3 1

2 1

( ) ( ) cosh

tanh ,

( ) ( ) cosh

I I II I I

I I II I I

τ

τ

τ

−Ω = Ω −

Ω = Ω

− Ω = Ω−

１，

１

(1)

为了确定陀螺的绝对运动，我们引入欧拉角，定义θ为Z 轴（M的方向）与陀螺惯性

主轴 2x（不是正文中的 3x ）之间的夹角．在给出矢量Ω的分量与欧拉角关系的公式（37.14）

和（37.16）中，将下标循环替换123 → 312 ．然后将（１）式代入可得

3 2 10

1 3 2

( )cos tanh , const tan .( )

I I ItI I I

θ τ ϕ ψ−

= = Ω + =−

，

由所得公式可知，当 t → ∞时,矢量Ω渐近地趋于 2x 轴，同时 2x 轴渐近地趋于固定轴

Z．

§38 刚体接触

由运动方程（34.1）和（34.3）可知，刚体平衡条件是作用在刚体上的力之和等于零，

批注 [x284]: 刚体的接触


215

力矩之和也等于零：

0, 0= ∑ = = ∑ × =F f K r f （38.1）

这里的求和是对作用在刚体上的所有外力，而 r为力的作用点的径矢。这时定义力矩的点（坐

标原点）可以任意选择：当 F=0时，K不依赖于这个点的选择（参见（34.5））。

如果我们研究两个相互接触的刚体，则平衡条件（38.1）应该对每个刚体成立。这时外

力应该包括作用在给定刚体上的其它与之接触的刚体的作用力。这些作用在刚体接触点上的

力称为反力。显然，两个刚体相互作用的反力大小相等方向相反。

一般情况下，确定反力的大小和方向，需要对所有刚体联合求解平衡方程组（38.1）。

在某些情况下，反力的方向可以由问题的条件直接给出。例如，如果两个刚体可以沿着接触

面相互自由滑动，则反力的方向沿着接触面的法线。

如果两个接触刚体相对运动，则除了反力，还有耗散性质的力，即摩擦力。

接触的刚体有两种可能的相对运动：滑动和滚动。在滑动时反力垂直于接触面，而摩擦

力沿着接触面的切线。纯滚动的特点是刚体在接触点没有相对运动，换句话说，在每个时刻

就像滚动刚体的接触点被固定一样。这时反力的方向是任意的，即不一定垂直接触面。滚动

摩阻以附加力矩的形式阻碍滚动。

如果滑动时摩擦力足够小，可以忽略，则称刚体接触面绝对光滑。反之，如果接触面的

性质决定刚体只能作无滑动的纯滚动，而滚动摩阻可以忽略，则称接触面绝对粗糙。

在这两种情况下，摩擦力不出现在刚体运动问题中，因此问题是纯力学的。如果摩擦的

具体性质对运动来说是非常重要的，则运动不是纯力学过程（参见§25）

刚体的接触使它们的自由度比自由运动时有所减少. 到目前为止，我们在研究问题时，

都要引入与实际自由度相应的坐标。但是，对于刚体的滚动，这样选择坐标可能是行不通的。

刚体滚动的条件是两个刚体上接触点速度相等（例如，刚体沿着静止表面滚动时，接触

点速度应该等于零）．一般情况下，这个条件表示成约束方程的形式⑳

0i ii

c qα =∑ & (38.2)

其中 icα 只是坐标的函数（下标α是约束方程的编号）．如果左端不是某个关于坐标函数对

时间的全导数，则这些方程是不可积的．换句话说，这些方程不能转化为仅仅是一些坐标之

间的关系式，利用这些关系式，可以用与实际自由度相应的较少坐标来描述刚体的位置．这

样的约束称为非完整约束（与只是给出坐标之间关系的完整约束相反）．

例如，我们研究球沿着平面的滚动．我们用V表示平动速度（球心速度），用Ω表示球转动角速度．如果在一般公式 = + ×v V Ω r中令 a= −r n（ a为球的半径，n为平面在接触点的法向单位矢量），则可得球与平面接触点的速度．我们要求的约束是在接触点没有

滑动的条件，由下面方程给出

⑳ [补充说明]这里讨论的实际是线性非完整约束.

批注 [x285]: 因为当

批注 [x286]: 反作用力

批注 [x287]: 任意两个刚体的

相互反作用力

批注 [x288]: 反作用力的大小

和方向，需要联立求解所有刚

体的

批注 [x289]: 然而, 在某些情

况下，反作用力


批注 [x291]: 反作用力外, 还

会出现摩擦力这样的耗散力


批注 [x293]: 则与接触面相切

批注 [x294]: 瞬间, 滚动刚体

的接触点就如同


批注 [x296]: 滚动摩擦力

批注 [x297]: 滑动摩擦力

批注 [x298]: 摩擦力

批注 [x299]: 不明显地出现

批注 [x300]: 摩擦力的性质在

确定运动时起着非常重要的

作用，则该运动

批注 [x301]: 两个刚体

批注 [x302]: 在讨论这样的问

题时,我们通过使用直接对应

于实际自由度数的坐标考虑

批注 [x303]: .

批注 [x304]: 沿固定

批注 [x305]: 删去

批注 [x306]: 可表示为下列形

批注 [x307]: 这些方程的左边

批注 [x308]: ,与仅在坐标之

批注 [x309]: 即球心的

批注 [x310]: 即由下面方程给

... [3]

... [7]

... [2]

... [4]

... [5]

... [6]

... [8]

... [10]

... [9]

... [1]

... [11]


216

( ) 0a− × =V Ω n (38.3)

这个方程不可积：虽然速度V是球心径矢对时间的全导数，但角速度一般情况下不是某个坐标对时间的全导数．因此，(38.3)是非完整约束

21．

由于非完整约束的方程不能用来减少坐标数，所以存在这样的约束就必须使用非全部独

立的坐标．为了建立拉格朗日方程，我们重新回到最小作用量原理．

形式为（38.2）的约束限制坐标变分的可能取值．就是说，在该方程两边乘以 tδ ，我

们可以发现变分 iqδ 不是独立的，它们满足关系式

0i ii

c qα δ =∑ （38.4）

在对作用量变分时必须考虑这个关系式.根据求条件极值的拉格朗日方法，应该给作用量变分

ii i i

L d LS q dtq dt q

δ δ ∂ ∂

= − ∂ ∂ ∑∫ &

的被积表达式加上乘以不定乘子(坐标的函数) αλ 后的方程(38.4)，然后令积分等于零.这时

可以认为所有变分 iqδ 是独立的,可得方程22

ii i

d L L cdt q q α α

α

λ∂ ∂

− =∂ ∂ ∑&

, （38.5）

该方程与约束方程（38.2）一起构成了对于 qi， αλ 的封闭方程组.

在上述方法中不出现反力，刚体的接触完全反映在约束方程中. 然而，另有一种建立接

触刚体运动方程的方法，反力包含在方程中.这种方法（构成了达朗贝尔原理的内容）的实质是对每个刚体写出方程

21 应该指出，对于圆柱的滚动，这样的约束是完整的．这时滚动中转动轴的方向在空间保持不变，所以

/d dtϕΩ＝是圆柱绕自身轴的转角ϕ 对时间的全导数．这时关系式(38.3) 可积，给出质心坐标与ϕ 之间的关系．

[补充说明] 半径为R的圆柱在固定表面上作无滑滚动(即圆柱体与固定表面的接触点的速度为零)时，如

果设质心坐标为 0x ，ϕ 表示圆柱体转动的角度(它可以表示圆柱体沿整体运动方向的横截面上某一特定半

径与竖直向下方向之间的夹角,即设初始时特定半径与竖直向下方向重合)，则(38.3)在该情况下可以表示

为 0 0x Rϕ− =&& ,它可以积分为 0 0x R Cϕ− + = ,其中C是积分常数.

22 [补充说明]按照拉格朗日方法,有

0i i i ii i i i

L d LS c q dt q c dtq dt qα α α α

α α

δ λ δ δ λ ∂ ∂

+ = − + = ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ &

这样,如果将所有变分 iqδ 视为独立的,则上式右端被积函数应该分别等于零,此即(38.5).

批注 [x311]: 导出相应的

批注 [x312]: 被积函数加上方

程（38.4）的左边与不定乘子

αλ (坐标的函数）相乘以后

的表示式

批注 [x313]: 未知量 iq ， αλ

的完备方程组


批注 [x315]: 反作用力明显地

出现

批注 [x316]: 这种方法（有时

也称达朗贝尔原理）的实质

批注 [x317]: 接触刚体中的每

一个


217

图 52

,d ddt dt

= = ×∑ ∑P Mf r f , （38.6）

并且在作用力 f 中包括反力，这些反力是预先未知的，在求解运动方程时与运动一起确定.这种方法对完整约束和非完整约束同样适用.

习题

习题 1 均质球在力F和力矩K作用下，沿着平面滚动，试利用达朗贝尔原理求运动方程.

解：在正文中已经写出约束方程（38.3）.引入平面作用在球上的反力（用R表示），写出方程（38.6）：

/d dtµ = +V F R （1）

/Id dt a= − ×Ω K n R （2）

（这里考虑了 µ=P V以及对于球形陀螺 I=M Ω）.将约束方程（38.3）对时间求导，得

( )a= ×V Ω n&&

代入方程（1）并与方程（2）联立消去Ω& ，可得方程

( ) ( )I a aaµ

+ = × − + ⋅F R K n R n n R

将这个方程写成分量形式并代入 225

I aµ= （参见§32习题 2的 b），得

5 27 7x y xR K F

a= − ,

5 27 7y x yR K F

a= − − , z zR F= −

（以滚动平面为 xy平面）.最后，将这些表达式代入方程（1），可得仅包含给定外力和力矩

的运动方程

57

yxx

KdV Fdt aµ

= +

，

57

y xy

dV KFdt aµ

= −

利用约束方程（38.3），可以将分量 xΩ ， yΩ 用 xV ， yV 表示，而对于 zΩ 有

225 z za d dt Kµ Ω =

（方程（2）的 z方向分量）.

习题 2 重为P长为 l的均质杆BD靠在墙上，如图 52所

示，其下端 A用绳 AB固定.试求支撑点反力和绳的张力.

解：杆的重量体现为作用在杆中点的竖直向下的力P .反

力 BR ， CR 的方向分别竖直向上和垂直杆，绳张力T 的方向

是从B指向 A .解平衡方程可得

批注 [x318]: 其中


批注 [x320]: 反作用力起初是

批注 [x321]: 与刚体的运动一

起被确定.

批注 [x322]: 在平面和球的接

触点的反作用力用R表示,

则方程（38.6）具有形式

批注 [x323]: 这个方程建立了

R,F和K 之间的关系.将

批注 [x324]: 这里将滚动平面

取为 xy平面

批注 [x325]: 将角速度的

批注 [x326]: 这是方程（2）的

z方向分量.

批注 [x327]: B

批注 [x328]: 的反作用力

批注 [x329]: 可以用作用在杆

中点的竖直向下的力P表示


批注 [x331]: 于杆


218

图 54

sin 24CPlRh

α= , sinB CR P R α= − , cosCT R α= .

习题3. 重为P的杆AB以两个端点靠在水平面和竖直面上，并用两条水平绳AD和BC拉着，

绳BC与杆AB位于同一个竖直面内（图53）．试求支撑点反力和绳的张力．

解：张力 AT ， BT 的方向分别从A到D和从B到C．反力 AR ， BR 分别垂直相应的平面．解

平衡方程得

cot,

sin2

c

,

, os

B B

A B A B

R P T

T T

P

R T

α

β β

= =

= =

习题4. 两根长为 l的杆上面以铰链相连，下面用绳连接（图54）．在一根杆的中点作

用一个力F（忽略杆的重量）．试求反力．

解：作用在 A点的张力从 A指向 B，而作用在 B点的

张力从 B点指向 A。在 A点和 B点的反力 AT 和 BT 垂直支

撑平面。用 CR 表示铰链作用在 AC杆上的反力，则铰链作

用在 BC 杆上的反力为 CR− 。根据平衡条件，作用在 BC

杆上的力 BR , T , CR− 的力矩之和等于零，由此可知矢量

CR 的方向沿着 BC。再利用其它平衡条件（对两根杆的每

一根），可得

3 ,4 4

,

,

1 cot4 4sin

A B

C

FR F R

FR FT αα

= =

= =

图 53

批注 [x332]: 分别靠

批注 [x333]: 固定在适当的位

置上,

批注 [x334]: 的反作用力


批注 [x336]: 重量可以忽略的

批注 [x337]: 杆立于一平面上,

在

批注 [x338]: 删去



批注 [x341]: 于支



批注 [x344]: 分别列出

批注 [x345]: 其中α 是角CAB∠ .


219


习题 1

设平面作用于球上的反作用力为R，球的质心的平动速度为V ,则其动量为 µ=P V .

又对于球形陀螺, 通过质心的任意三根相互垂直的轴均是惯量主轴,则有 I=M Ω.将它们

代入(38.6),有

d dt d dtµ= = +P V F R （1）

d dt Id dt a= = − ×M Ω K n R （2）

其中n为球与平面接触点处平面的法线方向的单位矢量.将约束方程 ( ) 0a− × =V Ω n 对时

间求导，得

a= ×V Ω n&&

代入方程（1）,有

( )1aµ

× = +Ω n F R&

上式与方程（2）联立消去Ω& ，可得方程

( ) ( )1aI aµ

− × × = +K n R n F R

即

( ) ( )I a aaµ

+ = × − + ⋅F R K n R n n R

这里利用了矢量运算的关系 ( ) ( ) ( ) ( )× × = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ +n R n n n R R n n n n R R .以滚动平面

为 xy平面, 代入转动惯量 225

I aµ= ,注意到现在n沿 z方向,将上述方程写成分量形式

2 ( )5 x x y xa F R K aR+ = − （3）

2 ( )5 y y x ya F R K aR+ = − （4）

2 ( ) 05 z z z za F R aR aR+ = − + = （5）

由方程（3）和方程（4）联立得

5 27 7x y xR K F

a= − (6)

5 27 7y x yR K F

a= − − , (7)

z zR F= − (8)


220

方程(8)表示在球在 z方向上没有运动,于是反作用力与外力F在该方向的分量数值上相等.

最后，将这些表达式代入方程（1），可得仅包含给定外力和力矩的运动方程

( ) 57

yx x xx

KdV F R Fdt aµ µ

+= = +

( ) 57

y y y xy

dV F R KFdt aµ µ

+ = = −

利用约束方程 ( ) 0a− × =V Ω n ，可得

,x y y xV a V a= Ω = − Ω

代入前面的表示式可以将分量 xΩ ， yΩ 用 xV ， yV 表示为

57

yxx

Kd Fdt a aµ

Ω= +

,

57

y xy

d KFdt a aµ

Ω = − −

对于 zΩ ,直接从(2)式的 z分量可得

225

zz

da Kdt

µΩ

=

即

2

52

z zd Kdt aµΩ

=

当已知F和K的表示式后,可以通过上述相关的微分方程求出各量与时间的关系,即运动学

方程. 习题 2 以水平方向为 x轴,竖直方向为 y轴.杆受到竖直向下方向的重力P ,竖直向上的反作用

力 BR ,垂直于杆方向的反作用力 CR ,以及绳的张力T 等四个力的作用.张力T 的方向是从

B指向 A .将力平衡条件 0=∑F 写成分量形式，得

cos 0x cF R Tα= − =∑ (1)

sin 0y c BF R R Pα= + − =∑ (2)

其中 ACBα = ∠ .BC长为 cosh α . 再利用力矩平衡方程,因为原点可以任意选取,如以 B点

为参考点,则有

sin 0

cos 2ch PlR α

α− =

即


221

sin cos sin 22 4c

Pl PlRh h

α α α= = (3)

由(1)(2)(3)可解得

2sin 2 sinsin 1 sin cos4 2B c

lR P R P Pl Ph h

α αα α α = − = − = −

2cos sin cos2cPlT Rh

α α α= = .

习题 3

杆受到重力P,张力绳的张力 AT ， BT 以及反作用力 AR ， BR 的作用,其中 AT ， BT 的方向

分别从A指向D和从B指向C,而 AR ， BR 分别垂直相应的平面．以竖直向上为z轴方向,以平行

于两平面交线的为x轴方向,y轴方向沿垂直于竖直面,则力平衡条件沿各坐标轴的分量形式

为

0,cos 0,

sin 0.

B

A B

A B

R PT T

TRβ

β

− =

− =− =

(1)

再利用力矩平衡条件.以 A为原点，作用其上的 , , , , BA B AP R R T T 等各力对 A点的力矩之矢

量和为零,即

A B B A B B 0p × × × × ×+ + + =A Ar P r T r T r R r R+

在以 A为原点的上述坐标系下,各矢量的分量式分别为

B

A

B

( sin ),2( sin )

0, = ,(c

cos cos cos sin

cos cos cos sin

ns i ,)soB B B

pl

lP

T R

α β α β

α β α α

β

β

β

α= −

=

+ −

+ −

−

−

= −= =

i j

i j

r k

r kr P kT i j R k

则代入前面的式子,可得

cos cos sin 02 B BlP R l T lα α α− + − = (2)

将(1)中的第一式代入上式,可得

cot .2BT P

α= (3)

将(3)再代入(1)的后两式,可得

cotT cos cos ,2

cosin si2

n .t

A B

A B

P

PR

T

T

α

α

β β

β β

= =

= =

如果以 B 为原点，则作用于其上的 , , , , BA B AP R R T T 等各力对 B 点的力矩之矢量和为


222

零, 即

A B B A B B 0p × × × × ×+ + + =A Ar P r T r T r R r R+

在以 B为坐标原点的坐标系下,各量的分量式分别为

B

A

( sin ),2( sin )

0, = ,T

cos cos cos sin +

cos cos cos sin +

,

p

A A

l

lP

R

α β α β

α

α

β β αα

−

−

=

=

= −= − =A A

r ki j

r kr P k

i j

i jT R

则有

sin cos sin 0,2

cos cos sin 0,2sin cos 0

A

A

A A

lP R l

lP T l

T R

β α α

α β α

β β

− =

− + =

− + =

由上式中前两式,直接可得

sin , cos .cot cot2 2A APR T P

β βα α= =

与前面所得结果相同.

习题 4

AC杆受到力 , , ,A CTR F R 的作用,而 BC杆受到力 , ,B CR T R− 的作用. 根据力矩平衡条

件，作用在 BC杆上的力 BR , T , CR− 的力矩之和等于零，如果以 B点为原点,显然可以看

出矢量 CR 的方向必定沿着 BC。对杆 AC,将力平衡条件写为沿水平方向和竖直方向的分量形

式,有

cos 0,sin 0A C

CT RR F R

α

α

− =

− + = (1)

根据平衡条件，以 C为原点，作用在 BC上各力的力矩之和等于零,

sin cos 0.BTl R lα α− = (2)

以 A为支点，作用在 AC上各力的力矩之和为零,

( )cos sin 2 02 ClF R lα π α− − = (3)

有四个未知量,上述(1)(2)(3)就可以求出它们.由(3)可解得

( )

cos2sin 2 4sinC

FR F απ α α

= =−

上式代入(1),有


223

coscos4sin 4

s

cot ,

i43 .n

C

A C

F

R

FT R

F FR

αα

α

α

α= =

== −

=

由(2)可得

tan4

.BFR T α= =

实际上,将两杆以及细绳作为系统,仅有的外力则为 , ,A BR F R ,于是平衡时有

0A BR R F+ − = .

如再以 A点为原点,则力矩平衡条件为

2 cos cos 02BlR l Fα α− = .

上式立即给出结果4BFR = ,再代入前一表示式可得

34AFR = .

§39 非惯性参考系中的运动

到目前为止，我们研究任何系统的运动都是相对惯性参考系的。例如，对于在外场中

运动的质点，在惯性参考系中才有拉格朗日函数

20

0 2mL U= −

v，（39.1）

和相应的运动方程

0d Umdt

∂= −∂

vr

（我们在本节用下标 0表示在惯性参考系中的物理量）。

现在我们研究在非惯性参考系中质点运动方程的形式。我们仍以最小作用量原理为出发

点,它的应用范围不受参考系选择的限制,同时，拉格朗日方程

L Ldt

∂ ∂=∂ ∂

dv r （39.2）

也同样有效。但拉格朗日函数已经不是（39.1）的形式，为了求得它，需要引入函数 L0的

变换。

我们分两步进行这个变换。我们首先研究以速度 V（t）相对惯性参考系 0K 运动的参考

系K ′。质点相对参考系 0K 和K ′的速度 0v 和 ′v 之间的关系为

0 ' ( )t= +v v V （39.3）

将这个等式代入（39.1）,可得在参考系K ′中的拉格朗日函数

批注 [x346]: 总是相对惯性参

考系研究力学系统的运动

批注 [x347]: 的单个

批注 [x348]: 适用性

批注 [x349]: 对函数 0L 进行

必要的变换

批注 [chaos350]: 平动速度


224

22' '

2 2mv mL m U= + ⋅ + −v V V

但 2V t（）是时间的给定函数,可以当作某个函数对时间的全导数，所以上式中第 3 项可以略

去。此外， /d dt′ ′=v r ，其中 ′r 是质点在参考系K ′中的径矢，所以有

( )( ) ' d d dm t m m mdt dt dt

⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅r' VV v V V r' r'

代入拉格朗日函数并略去对时间的全导数，可得

2'' ( )2

mvL m t U= − ⋅ −W r' （39.4）

其中 d / dt=W V 是参考系K ′的平动加速度

利用（39.4）可得拉格朗日方程

( )''

d Um m tdt

∂= − −∂

Wr

v （39.5）

可见，加速平动参考系对质点运动方程的影响，等价于一个均匀力场，质点在该场内受力等

于质量乘以加速度W，且方向与加速度相反。

下面我们研究另一个参考系K ,与K ′有公共的原点，但是以角速度 ( )tΩ 转动，相对惯

性参考系 0K ，参考系K既平动又转动。

质点相对参考系 K ′的速度 ′v 等于相对参考系K的速度 v 加上与参考系K转动的速度Ω×r

' = + ×v v rΩ

（质点在参考系K和K ′中的径矢 r和 ′r 重合）.将这个表达式代入拉格朗日函数（39.4），

可得

( ) ( )2

2

2 2mv mL m m U= + ⋅ × + × − ⋅ −Wv r r rΩ Ω （39.6）

这是在任意非惯性参考系中拉格朗日函数的一般形式.我们注意到，参考系转动导致出现一

个特别的项，它对于质点速度是线性的。

为了计算拉格朗日方程中的导数，我们写出全微分

( ) ( ) ( ) ( )dL m d md m d m d= ⋅ + ⋅ × + ⋅ × + ⋅ × ⋅ × −v v v r v r r rΩ Ω Ω Ω

( )Um d d m d md∂⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ × +

∂W r r v v + v r

rΩ

( ) ( )[ ] Umd m d m d d∂⋅ × + × × ⋅ − ⋅ − ⋅∂

r v r r W r rr

Ω Ω Ω

合并包含dv和 dr的项，可得

( ) ( ) ( ), [ ]L L U= m m = m m m∂ ∂ ∂+ × × + × × − −∂ ∂ ∂

v r v r Wv r r

Ω Ω Ω Ω ，

批注 [x351]: 2

2

' '2

2

mvL m

m U

′= + ⋅

+ −

v V

V

批注 [x352]: 其次

批注 [x353]: 全导数项

批注 [chaos354]: 参考系的加

速平动

批注 [x355]: 施加一个

批注 [x356]: 受到的力等于质

点的质量

批注 [x357]: 再引进另外一个

参考系K ,它

批注 [x358]: 共同

批注 [x359]: 相对于K ′转动,

于是

批注 [x360]: 随同

批注 [x361]: 因为质点

批注 [x362]: 相同

批注 [x363]: 任意参考系（未

必是惯性系）中质点的

批注 [x364]: 拉格朗日函数中

出现

批注 [x365]: 注:不另起一段


225

将这些表达式代入（39.2），可得运动方程

( ) ( ) ( )2 [ ]d Um = m m m mdt

∂− − × + × + × ×

∂&v W + r v r

rΩ Ω Ω Ω （39.7）

我们发现，因参考系转动产生的“惯性力”由三部分组成。力 ( )m × &r Ω 与非等速转

动有关，而其它两个部分在等速转动时也存在。 ( )2m ×v Ω 称为科里奥利力,与以前研究的

所有（非耗散）力不同，它依赖于质点的速度。 ( )[ ]m × ×rΩ Ω 称为离心力。它位于过 r和

Ω的平面上,垂直于转动轴（即Ω方向），方向背离转动轴。离心力大小等于 2mρΩ ，其中

ρ是质点到转动轴的距离。

我们研究参考系没有平动加速度且等速转动的特殊情况。在（39.6）和（39.7）中令

Ω=const，W=0，可得拉格朗日函数

( ) ( )2

2

2 2mv mL m U= + ⋅ × + × −v r rΩ Ω

（39.8）

以及拉格朗日方程

( ) ( )2 [ ]d Um m mdt

∂= − + × + × ×∂

v v rr

Ω Ω Ω （39.9）

我们计算这时质点的能量，将

( )L m∂ = ×∂

p = v + m rr

Ω （39.10）

代入E = ⋅p v - L，可得

( )2

2

2 2mv mE U= − × +rΩ （39.11）

应该注意，能量中没有速度的线性项。参考系的转动导致能量中出现仅依赖于坐标且正比于

速度平方的附加项。这个附加势能 ( )2

2m

− × rΩ 称为离心势能。

质点相对等速转动参考系的速度 v与相对惯性参考系的速度 0v 的关系为

0 .= + ×v v rΩ （39.12）

所以质点在参考系 K 中的动量 p（参见（39.10））等于质点在惯性参考系 0K 中的动量

m=p0 0v 。同时相应的动量矩 = ×M r p和 0 = ×M r p0也相等。但质点在参考系 K和 K0

中的能量不同。由（39.12）求出 v代入（39.11），可得

( ) ( )2 20 0

0 02 2mv mvE m U U m= − ⋅ × + = + − × ⋅Ω Ωv r r v

批注 [x366]: 所要求的

批注 [x367]: 匀速

批注 [x368]: 匀速

批注 [x369]: 现在考虑

批注 [x370]: 匀速

批注 [x371]: 运动方程

批注 [x372]: 我们计算这种情

况下质点的能量

注:不另起一段

批注 [x373]:

( )L m∂= ×

∂p = v + m r

vΩ

注:第一个等号后表示式有误

批注 [x374]: 质点坐标

批注 [x375]: 匀速

批注 [x376]: 0K 的



226

前两项是质点在惯性参考系 K0中的能量 E0.在最后一项中代入动量矩，可得

0E E= − ⋅M Ω （39.13）

这个公式确定了转换到等速转动参考系时的能量变化规律。虽然推导是对一个质点的情况进

行的,但是可以直接推广到任意质点系,同样导出公式（39.13）.

习题

习题 1 试求地球自转（角速度很小）引起自由落体的偏移。

解：在重力场中U m= − ⋅g r，其中 g是重力加速度，在公式（39.9）中忽略包含Ω的

平方的离心力，可得运动方程

2= × +&v v gΩ （1）

用逐阶近似法求解这个方程。为此假设 1 2= +v v v ，其中 1v 是方程 1 = −&v g的解，即

1 0t= +v g v ( 0v 是初始速度)。将 1 2= +v v v 代入（1）并将 1v 留在右端，可得 2v 的方程

2 1 02 2 ( ) 2t= × = × + ×Ω Ω Ω&v v g v

积分可得

2 2

2( ) ( )2 3t tt t= + + + × Ω + × Ω

gr h g0 0v v , (2)

其中h是质点的初始位置矢量。

取 z轴竖直向上，x轴沿着经线指向极点，那么

0x yg g= = , zg g= − , cosx λΩ = Ω , 0yΩ = , sinz λΩ = Ω

其中λ是纬度（假设为北纬）。在（2）中令 0 0=v ，得

2

0, cos3tx y g λ= = − Ω .

代入下落时间 2 /t h g≈ ，最后得

3/21 20, cos3

hx y gg

λ

= = − Ω

,

（y值为负表示向东偏移）.

习题 2 试求以初速度 0v 从地球表面抛出的物体的偏移。

解：设初始速度 0v 位于 xz平面内，初始高度 0h = 。由方程（2）（习题 1）可得

3

20 0( )

3 x x z z xty g t v v= − Ω + Ω − Ω


批注 [x379]: 匀速

批注 [x380]: 的变换

批注 [x381]: 并得到相同的

批注 [x382]: 对竖直方向的

批注 [x383]: 可用

批注 [x384]: 应为 1 =&v g

批注 [x385]: 仅将

批注 [x386]: 为明确起见,假

设

批注 [x387]: 删去

批注 [x388]: 删去

批注 [x389]: 质点的轨迹对平

面的

批注 [x390]: 可得侧向偏移为


227

或者，代入飞行时间 0z2 /t v g≈ 有

20

0 02

4 13

zz x x z

vy v vg

= Ω − Ω

习题 3 试确定地球转动对单摆微振动的影响（傅科摆）

解：忽略摆的竖直方向位移这个二阶小量，可以认为运动在 xy平面内。略去包含2Ω 的

项,写出运动方程为

2 22 , 2z xx x y y y xω ω+ = Ω + = − Ω&& & && & ,

其中ω为不考虑地球转动时摆动频率。将第二个方程乘以 i加上第一个方程，可得 x iyξ = +

的方程

22 0ziξ ξ ω ξ+ Ω + =&& &

当 z ωΩ = 时这个方程的解有如下形式

1 2( )zi t i t i te A e A eω ωξ − Ω −= +

或者

0 0( )zi tx iy e x iy− Ω+ = +

其中函数 0 ( )x t , 0 ( )y t 给出不考虑地球转动时单摆的轨迹。因此，地球转动的影响是使轨迹

绕竖直方向以角速度 zΩ 转动。

习题详细推导过程习题 1

解：将地球转动角速度Ω视为小量,在一级近似下,可以在公式（39.9）中忽略包含Ω的平方的离心力，可得运动方程

2= × +&v v gΩ （1）

可用逐阶近似法求解这个方程,即先求上式的零级近似解,此时忽略上式中右边第一项,在下

面将这样的解记为 1v ;然后再令 1 2= +v v v ,其中的 2v 相应于一级修正,代入(1)可求出一级近

似解.以这样的方式递推下去可以得到高阶解。 1v满足方程

1 =&v g

积分可得解为

1 0t= +v g v

批注 [x391]: 在水平的

批注 [x392]: 时的

批注 [x393]: 可得关于复变量


228

其中 0v 是初始速度。在令 1 2= +v v v 代入（1）,有

1 2 1 22 2+ = × × +& &v v v v gΩ + Ω

将含 1v 的项留在右端，并利用 1 =&v g ,可得 2v 的方程为

2 2 12 2× = ×&v v v− Ω Ω

但如前所说, 2v 是一级修正,则 2 × Ωv 是二级小量,可以忽略,于是有

2 1 02 2 ( ) 2t= × = × + ×Ω Ω Ω&v v g v

这里右边的矢量均是常矢量,于是积分可得

2 0 02

2 ( ) 2t t= + × + ×Ω Ωv v g v

其中 20v 为积分常数,故有

21 2 0 0( ) 2 ( )t t t= + = + + × Ω + ×Ωv v v g v g v

再积分一次,得

2 22( ) ( )

2 3t tt t= + + + × Ω + × Ω

gr h g0 0v v , (2)

其中 h是质点的初始位置矢量。

取 z轴竖直向上，x轴沿着经线指向北极点，y轴沿着纬线指向西,则有

0x yg g= = , zg g= − , cosx λΩ = Ω , 0yΩ = , sinz λΩ = Ω

其中λ是纬度,这里为明确起见,取为北纬(如果为南半球,坐标轴的取法与上面的相同,λ

是南纬度,则 cosx λΩ = Ω , 0yΩ = , sinz λΩ = −Ω )。在（2）中令 0 0=v ，且设 zh h= ,

即初始时位于离坐标原点正上方高度 h处无初速地释放质点,即自由落体.在前述坐标系以及初

始条件下,(2)的分量形式为

2

210, cos ,3 2tx y g z h gtλ= = − Ω = − ,

由上式第三式可得下落时间为 2 /t h g≈ ，最后得

0x = ,

321 2 cos

3hy g

gλ

= − Ω

y中的负号表示向东偏移

习题 2

解：这里讨论的是抛体运动.如果不考虑地球的转动,则抛体运动中质点的轨迹位于竖直

方向与初始速度方向确定的平面内.当考虑地球转动时,质点的轨迹不再位于前面所说的平


229

面内.设初始速度 0v 位于 xz平面内,即速度有分量 00 z,xv v ，这里 x,z轴与习题 1的取法相

同.对平面的偏移就是求 y与时间的关系.初始高度 h＝0. 由习题 1的方程（2）可得 y分量

表示式为

3

20 z 0( )

3 x x z xty g t v v= − Ω + Ω − Ω

习题 1的方程（2）的 z分量表示式为

2

012zz v t gt= −

则有飞行时间约为 0z2 / gt v≈ ,将此代入前面的表示式可得偏移约为

20

0 02

4 13

zz x x z

vy v vg

= Ω − Ω

习题 3

解：对于傅科摆通常认为其摆线很长,则摆在竖直方向位移与此相比为小量.竖直方向的

位移21cos )(1

2z l lθ θ≈= − ,这里 l为摆线的长度,θ为摆线与竖直方向之间的夹角,它是一

个小量.于是可忽略摆的竖直方向位移这个二阶小量，即认为摆锤近似在 xy平面内运动。由

(39.9),即

( ) ( )2 [ ]d Um m mdt

∂= − + × + × ×

∂v v r

rΩ Ω Ω

略去二阶小量项 ( )[ ]m × ×rΩ Ω ，可得

( )1 2d Udt m

∂= − + ×

∂v v

rΩ ，

写成分量形式,有

1 2 zUx yx m

∂= − + Ω∂

&& &， 1 2 z

Uy xy m

∂= − − Ω∂

&& &

由于

2 2

2 22 2 2 2 2

2

1 1cos )2 2

1

(1 sin

( ) ( )1 12 2 2

U mgz mgl l l

xl x xl

mg mg

ymg mg y m yl

θ θ θ

ω

≈ ≈

+

−

=+= +

= =

=

其中 /g lω = 为不考虑地球转动时摆动频率,于是有

2 2,U Um x m yx y

ω ω∂ ∂= =∂ ∂

，

故有运动方程为


230

2

2

2 ,

2 .z

x

x x y

y y x

ω

ω

+ = Ω

+ = − Ω

&& &&& &

将上式中第二个方程乘以 i加上第一个方程，并令 x iyξ = + ,则有

22 0ziξ ξ ω ξ+ Ω + =&& & .

先考虑试探解： btae cξ = + ，代入方程中可得

2 22 ( ) 0bt bt btzab e abe i ae cω+ ⋅ Ω + + =

则有： 2 20, 2 0zc b b i ω= + Ω + = ，解之得

2 2z zb i i ω= − Ω ± Ω + ，

作近似2 2z ω ωΩ + ≈ ，则得到微分方程的解为

1 2( )zi t i t i te A e A eω ωξ − Ω −= +

或者

( )1 2 0 00( ) ( )z z zi t i t i ti t i tx iy e A e A e e x iy e x iyω ω− Ω − Ω − Ω−

Ω=+ = + = + = +

其中函数 0 ( )x t , 0 ( )y t 是不考虑地球转动时单摆的轨迹。因此，考虑地球转动的影响时,轨

迹将绕竖直方向以角速度 zΩ 转动,也即单摆的摆动平面不是固定的,也以角速度 zΩ 绕竖直

方向旋转。

第七章正则方程

231


§40 哈密顿方程①

利用拉格朗日函数（和由它导出的拉格朗日方程）来研究力学规律，需要给定广义坐标和广义速度来描述系统的力学状态。然而，这种描述不是唯一可能的。利用广义坐标和广义

动量来描述系统状态，具有一系列优点，特别是在研究各种力学普遍问题的时候。于是，这

就产生了建立与此相应的运动方程的问题。通过数学上著名的勒让德变换，可以从一组独立变量变换到另一组。在这里给定的情况

下，这个变换可概括如下。拉格朗日函数是坐标和速度的函数，其全微分等于

,i ii ii i

L LdL dq dqq q

∂ ∂= +

∂ ∂∑ ∑ &&

因为按定义 / iL q∂ ∂ & 是广义动量，又根据拉格朗日方程有 / i iL q p∂ ∂ = & , 所以上面这个表达

式可以写成

, (40.1)i i i idL p dq p dq= +∑ ∑& &

现在将（40.1）的第二项写成

( ) ,i i i i i ip dq d p q q dp= −∑ ∑ ∑& & &

将全微分 ( )i id p q∑ & 移到等式左端并改变所有符号，由（40.1）可得

( ) ,i i i i i id p q L p dq q dp− = − +∑ ∑ ∑& & &

微分号下的量是用广义坐标和广义动量表示的系统能量（参见§6），称为系统的哈密顿函数

( , , ) , (40.2)i ii

H p q t p q L= −∑ &

由微分等式

① 读者可能会发现下表是非常有用的,该表列出了本书中所用术语与其它英语文献中常用术语之间的某些差别.

本书其它文献最小作用量原理哈密顿原理

莫培督原理最小作用量原理莫培督原理

作用量哈密顿主函数简约作用量作用量

——英译本注

批注 [x1]: 和由它导出的拉格

朗日方程来表述力学规律，其

先决条件是可以用

批注 [x2]: 方式.

批注 [x3]: 某些

批注 [x4]: 现在这种

批注 [X5]: 作为坐标和速度

的函数的拉格朗日函数


批注 [x7]: 删去

批注 [x8]: 的变量

批注 [x9]: 的能量

批注 [x10]: 由其中独立变量

为坐标和动量的微分等式


232

, (40.3)i i i idH p dq q dp= − +∑ ∑& &

得出方程

, , (40.4)i ii i

H Hq pp q

∂ ∂= = −

∂ ∂& &

这就是用变量 p和 q表示的运动方程，称为哈密顿方程，它们构成 2s个未知函数的 2s个一阶微分方程组，代替拉格朗日方法的 s个二阶方程。由于这些方程的形式简单并且对称，称之为正则方程。哈密顿函数对时间的全导数为

,i ii i

dH H H Hq pdt t q p

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂∑ ∑& &

将方程（40.4）的 ,i iq p& & 代入，上式后两项相互抵消，因此

, (40.5)dH Hdt t

∂=

∂ 特别地，如果哈密顿函数不显含时间，则 dH/dt=0 ，即得到能量守恒定律。

除了动力学变量 ,q q&或者 q，p，拉格朗日函数和哈密顿函数还包含各种参数，这些参

数描述力学系统本身或者外场的性质。设λ是这样的参数，我们将它看作变量，则代替表达

式（40.1），有

,i i ii

LdL p dq p dq dλλ

∂= + +

∂∑ ∑& &

而代替表达式（40.3），有

,i i i i

LdH p dq q dp dλλ

∂= − + −

∂∑ ∑& &

由此可得拉格朗日函数和哈密顿函数对参数λ的偏导数之间的关系

, ,

, (40.6)p q q q

H Lλ λ

∂ ∂ = − ∂ ∂ &

下标表示，在对 H求导时 p，q是不变的，对 L求导时 ,q q&是不变的。

这个结果可以表示为另一种形式。设拉格朗日函数的形式为 L=L0+L’，其中 L’是基本函数 L0很小的附加项。哈密顿函数 H=H0+H’的相应附加项与 L’的关系为

, ,( ) ( ) ,p q q qH L′ ′= − & (40.7)

可以发现，在从（40.1）到（40.3）的变换中，我们没有写带 dt 的项，即没有考虑拉格朗日函数可能显含时间的情况。这是因为在给定情况下时间仅仅是一个参数，

与所做的变换无关。类似于公式（40.6），拉格朗日函数和哈密顿函数对时间的偏导数之间的关系为

, ,

.p q q q

H Lt t

∂ ∂ = − ∂ ∂ &

(40.8)

批注 [x11]: 可以得出

批注 [x12]: 的所要求的

批注 [X13]: 它们是关于 2s个

未知函数 ( )ip t 和 ( )iq t 的

2s个一阶微分方程组

批注 [x14]: 也称之

批注 [x15]: 与力学系统自身

的性质或者作用于其上的外

场有关

批注 [X16]: 而（40.3）变为

批注 [x17]: 导数的下标

批注 [X18]: 对H求λ的偏导时 p，q是不变的，对 L求λ

的偏导时 ,q q&是不变的

批注 [x19]: 对函数 L0很小的

修正

批注 [x20]: 应该注意到

批注 [X21]: 这是因为在那里

时间仅仅是一个参数，不参与

所做的变换


233

习题

习题 1 试用笛卡儿坐标、柱坐标和球坐标表示一个质点的哈密顿函数。答案：用笛卡儿坐标 x，y，z表示为

2 2 21 ( ) ( , , )2 x y zH p p p U x y z

m= + + +

用柱坐标 , ,r zϕ 表示为

22 2

21 ( , , ).

2 r z

pH p p U r z

m rϕ ϕ

= + + +

用球坐标 , ,r θ ϕ 表示为

222

2 2 2

1 ( , , ).2 sinr

ppH p U rm r r

ϕθ θ ϕθ

= + + +

习题 2 试求质点在等速转动参考系中的哈密顿函数。解：由（30.10）和（39.11）有

2

( ) .2pH Um

= − ⋅ × +Ω r p

习题 3 设有一个由质量为 M 的质点和 n 个质量为 m 的质点组成的系统，不考虑系统

质心的运动，试求这个系统的哈密顿函数（参见§13习题）。解：在§13 习题中得到的拉格朗日函数中，改变 U 前面的符号，可得能量 E。广义动

量为

2

.a

L mmµ

∂= = −

∂ ∑a a aa

p v vv

由此得

2

,nm mMmµ µ

= − =∑ ∑ ∑ ∑a a a ap v v v

1 .m M

= + ∑aa a

pv p

代入 E，可得

2 21 1 ( ) .2 2a a

Um m

+ +∑ ∑a aH = p p

§41 罗斯函数

在某些情况下,需要在变化中用新变量代替部分广义动量而非全部,相应的变换类似前一节.

为了书写公式方便,首先假设总共有两个广义坐标,用 q和ξ表示,我们进行从q ,ξ , q& ,ξ&

批注 [x22]: 求在

注:所谓用“坐标”表示哈密

顿函数是不准确的,这里实际

上是以这些坐标为广义坐标,

因为哈密顿函数中还有它们

对应的广义动量.

批注 [x23]: 下

批注 [x24]: 在

批注 [x25]: 下

批注 [x26]: 在

批注 [x27]: 下

批注 [x28]: 在

批注 [x29]: 下

批注 [x30]: 匀

批注 [x31]: 用(39.10)的动量p表示能量(39.11)中的速度

v ,有

批注 [L32]: 变换到新变量时,

仅对部分而不是全部的广义

速度用动量来代替是很方便

的.

批注 [x33]: 完全类似于§40

给出的变换.

批注 [L34]: 为了简化公式

批注 [x35]: 仅


234

到 q ,ξ , p ,ξ&的变换,其中 p为相应于广义坐标q的广义动量.

拉格朗日函数 ),,,( ξξ &&qqL 的微分为

ξξ

ξξ

ξξ

ξξ

&&&&&

&&&

dLdLqpddqpdLdLqdqLdq

qLdL

∂∂

+∂∂

++=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= ,

由此可得

ξξ

ξξ

&&&&& dLdLdpqdqpqpLd

∂∂

+∂∂

+−=− )( .

引入函数(称为罗斯函数)

LqppqR −= &&),,,( ξξ ,

式中的速度q&借助等式 qLp &∂∂= / 用广义动量 p表示.罗斯函数的微分为

ξξ

ξξ

&&&& dLdLdpqdqpdR

∂∂

−∂∂

−+−= .

由此可得②

pRq

∂∂

=& ,qRp

∂∂

−=& ,

ξξ ∂∂

−=∂∂ RL

,ξξ && ∂

∂−=

∂∂ RL

.

将后两个等式代入变量ξ的拉格朗日方程,得

ξξ ∂∂

=∂∂ RR

dtd

& .

可见,罗斯函数对于坐标 q是哈密顿函数(方程(41.3))对于坐标ξ是拉格朗日函数(方程

(41.5)).

根据系统能量的定义

② [过程补充]由罗斯函数 ( , , , )R q p ξ ξ& 与变量的关系,可得

R R R RdR dq dp d dq p

ξ ξξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂&

&

注意,这里的偏导数中均省略了脚标,例如Rq

∂∂实际应为

,,p

Rq ξ ξ

∂ ∂ &

.将上式与(41.2)比较,即可得(41.3)(41.4)

中的各式.

(41.1)

(41.2)

(41.3)

(41.4)

(41.5)

批注 [L36]: 如果定义罗斯函

数为

批注 [x37]: 方程

批注 [x38]: ,则罗斯函数

批注 [x39]: 一般定义,系统的

能量为


235

LLqpLLqLqE −

∂∂

+=−∂∂

+∂∂

=ξ

ξξ

ξ &&&&

&&

& .

将(41.1)和(41.4)代入,能量可以用罗斯函数表示为

ξξ &&

∂∂

−=RRE . (41.6)

显然,我们得到的这些公式可以推广到有多个坐标 q和ξ的情况.

罗斯函数是非常有用的,特别是存在循环坐标的时候.如果 q是循环坐标,则它不显含在

拉格朗日函数中,也不显含于罗斯函数,所以罗斯函数仅是 ξξ &,,p 的函数,而相应于循环坐

标的广义动量 p为常数(也可以从(41.3)的第二个方程得出,从这个意义上讲,这个方程不

能给出任何新的结果).将 p替换为给定常值后,方程(41.5)

ξξξ

ξξξ

∂∂

=∂

∂ ),,(),,( &&

& pRpRdtd

仅包含坐标ξ ,循环坐标完全被消去.如果这些方程可以求解并得到函数 )(tξ ,则代入方程

ppRq∂

∂=

),,( ξξ &&

的右端,可以直接积分求出函数 )(tq .

习题

习题试消去循环坐标ψ (ψ ,ϕ ,θ是欧拉角),求对称陀螺在外力场 ( )θϕ,U 中的罗

斯函数. 解:拉格朗日函数

( ) ( ) ( )22 2 2 31 sin cos ,2 2

IIL Uθ ϕ θ ψ ϕ θ ϕ θ′

= + + + −& & & & .

(参见§35的习题 1).罗斯函数为

( ) ( )2

2 2 21

3

cos sin ,2 2p IR p L p UIψ

ψ ψψ ϕ θ θ ϕ θ φ θ′

= − = − − + +&& & & ,

第一项是常数,可以略去.

§42 泊松括号

设 ),,( tqpf 是坐标、动量和时间的某个函数，它对时间的全微分为；

批注 [x40]: 应用罗斯函数可

能是非常方便的

批注 [x41]: 因而

批注 [x42]: 方程(41.3)

批注 [x43]: 成为仅包含坐标

ξ的方程

批注 [x44]: 则将其

批注 [x45]: 试消去循环坐标

ψ ,求在外力场 ( )θϕ,U 中

对称陀螺的罗斯函数,其中

ψ ,ϕ ,θ是欧拉角.


236

k kk k k

df f f fq pdt t q p

∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂

∑ & &

代入由哈密顿方程（40.4）给出的 kq& ， kp& 的表达式，得

, fHtf

dtdf

+∂∂

= ， (42.1)

其中引入了记号

, k k k k k

H f H fH fp q q p

∂ ∂ ∂ ∂= − ∂ ∂ ∂ ∂

∑ 。 (42.2)

表达式（42.2）称为H和 f 的泊松括号。

我们知道，如果动力学变量的某个函数在系统运动时保持不变，则称之为运动积分。由

（42.1）可知， f 是运动积分 )0/( =dtdf 的条件是

.0, =+∂∂ fH

tf

(42.3)

如果运动积分不显含时间，则

0, =fH ， (42.4)

即 f 和哈密顿函数的泊松括号等于零。

对于任意一对变量 gf , ，泊松括号可以类似地定义为

, k k k k k

f g f gf gp q q p

∂ ∂ ∂ ∂= − ∂ ∂ ∂ ∂

∑ . (42.5)

由定义容易推出泊松括号的如下性质。如果两个函数对调，则泊松括号改变符号；如果一个函数为常数 c，则泊松括号等于零：

,, fggf −= ， (42.6)

0, =cf . (42.7)

其次，还有③

,,, 2121 gfgfgff +=+ , (42.8)

,,, 122121 gffgffgff += . (42.9)

③ [过程补充]按定义,对(42.9)的左边展开

1 2 1 2 2 2 1 11 2 1 2

2 2 1 11 2 1 2 2

( ) ( ) ,

,

k kk k k k k k k k k k k k

k kk k k k k k k k

f f f f f f f fg g g g g gf f g f fp q q p p q q p p q q p

f f f fg g g gf f f f g fp q q p p q q p

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= − + − = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∑ ∑

∑ ∑ 1 , f g

批注 [x46]: 称为量

批注 [x47]: 即运动积分

批注 [x48]: 于(42.2)


237

将(42.5)对时间求偏导数有

, , ,f gf g g ft t t

∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ . (42.10)

如果函数 f 和 g之一是广义坐标或者广义动量，则泊松括号变成简单的偏导数形式：

kk p

fqf∂∂

=, , (42.11)

kk q

fpf∂∂

−=, , (42.12)

例如，公式(42.11)可以在(42.5)中令 kqg = 而得到, 由于

,kkl

l

qq

δ∂

=∂

0k

l

qp

∂=

∂，

这时求和将只剩下一项。特别地，在(42.11)和(42.12)中，令函数 f 等于 iq 和 ip ，可得

0, =ki qq ， 0, =ki pp ， ikki qp δ=, . (42.13)

在 3个函数 f ， g， h组成的泊松括号之间，存在下面关系式

0,,,,,, =++ gfhfhghgf , (42.14)

我们称之为雅可比恒等式.

为了证明这个恒等式，我们来研究下面的情况。根据定义(42.5)，泊松括号 , gf 是 f

和 g的一阶导数的双线性齐次函数。所以，例如， ,, gfh 是 f 和 g的二阶导数的线性

齐次函数。而等式(42.14)的整个左端是所有 3 个函数 f , g ,h的二阶导数的线性齐次函数。

我们将含有 f 的二阶导数的项放在一起。第一个括号不含这样的项，它是 f 的一阶导数项。

我们引入线性微分算子 1D 和 2D

,)(1 ϕϕ gD = ， ,)(2 ϕϕ hD =

将第 2和第 3个括号之和象征性地写出来.于是

,,,,,,,, fghfhggfhfhg −=+

))(())(( 1221 fDDfDD −=

fDDDD )( 1221 −=

批注 [x49]: 偏导数

批注 [x50]: .

批注 [x51]: 三

批注 [x52]: 首先注意到下面

的结果

批注 [x53]: 例如,括号

批注 [LU54]: 因此

批注 [x55]: 因为它只涉及 f

的一阶导数

批注 [x56]: 对第二和第三个

括号之和，利用由

,)(1 ϕϕ gD = , ,)(2 ϕϕ hD = ,

定义的线性微分算符 1D 和

2D 可以将其以符号形式写

为

注: (i)物理类中文书中一般称

为“算符”,而不是“算子”

(ii)这里所谓“符号形式”即

仅用微分算符,而不写出算符

的具体表示形式.原译“象征

性地”难以理解.


238

容易看出，微分算子这样的线性组合不可能包含 f 的二阶导数。事实上，线性微分算子的

一般形式为

∑ ∂∂

=k k

k xD ξ1 ， ∑ ∂

∂=

k kk x

D η2

其中 kξ ， kη 是变量 1x ， 2x ，…的任意函数。于是

∑∑ ∂∂

∂∂

+∂

∂=lk lk

lk

lk lklk xxxx

DD,,

2

21η

ξηξ ，

∑∑ ∂∂

∂∂

+∂

∂=lk lk

lk

lk lklk xxxx

DD,,

2

12ξ

ηξη ，

它们之差

1 2 2 1,

l lk k

k l k k l

D D D Dx x xη ξ

ξ η ∂ ∂ ∂

− = − ∂ ∂ ∂ ∑

是仅包含一阶导数的算子，于是，在(42.14)的左端，所有包含 f 的二阶导数的项相互抵消④,

对于 g和 h也是一样，因此恒等式成立。

泊松括号的重要性在于，如果 f 和 g是两个运动积分，则它们构成的泊松括号也是运动

④ [过程补充]对于现在考虑的问题,有

( 1, 2, , )( 1, 2, , 2 )

kk

k s

q k sx

p k s s s−

== = + +

LL

于是,有

, , , , , l l

k kk l kk k

kk k

kl

f f fg h f h f g A Bx x x q pη ξ

ξ η ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ = − = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ ∑

这里 kA 和 kB 是 g和 h的函数,但不是 f的函数,所以如果令 if p= ,则不会影响 kA 和 kB .再利用(42.12),有

, , , , , , , i i ii i i

h gg h p h p g g h g h Bq q q

∂ ∂ ∂+ = − + = − = ∂ ∂ ∂

同理,令 if q= 并利用(42.11),有

, , , , , , , i i ii i i

h gg h q h q g g h g h Ap p p

∂ ∂ ∂+ = + − = = ∂ ∂ ∂

由此,有

, , , , , ,

, , , , k kk k k

f fg h f h f g g h g hq p p q

g h f f g h

∂ ∂ ∂ ∂+ = − + ∂ ∂ ∂ ∂

= = −

∑

即(42.14)的后两项的和等于第一项的负值,因此(42.14)成立.

批注 [x57]: 这个线性微分算

符的组合

批注 [x58]: 算符

批注 [x59]: 算符

批注 [x60]: 对于 g 和h当然

有相同的结论,于是整个表达

式恒等于零

批注 [x61]: 一个重要性质


239

积分

, constf g = (42.15)

(称为泊松定理).

如果 f 和 g不显含时间，这个定理的证明非常简单. 在雅可比恒等式中令 Hh = ，得

0,,,,,, =++ gfHfHgHgf ，

由此可见，如果有 0, =gH 和 0, =fH ，则 0,, =gfH ，于是结论得证。

如果 f 和 g显含时间，则在(42.1)的基础上可以写出

,,,, gfHgft

gfdtd

+∂∂

= ，

利用公式(42.10)，借助雅可比恒等式将 ,, gfH 用另外两项代替，可得

, , , , , , , d f gf g g f f g H g H fdt t t

∂ ∂ = + − − ∂ ∂

, , , , f gH f g f H gt t

∂ ∂ = + + + ∂ ∂

或者

, , ,d f gf g g fdt t t

∂ ∂ = + ∂ ∂ ， (42.16)

由此显然可以证明一般情况下的泊松定理. 当然，应用泊松定理，我们不是总能得到新的运动积分，因为运动积分的数量是有限的（ 12 −s ，其中 s是自由度）。在某些情况下我们可能得到毫无意义的结果，即泊松括号化

为常数。在另外一些情况下，新得到的运动积分只是原来的运动积分 f 和 g的函数。如果

不是以上两种情况，则泊松括号给出新的运动积分。

习题

习题 1 试求质点的动量 p和动量矩 prM ×= 的笛卡尔坐标分量组成的泊松括号。

解：根据公式(42.12),得

zyzx

yx pzpypyy

MpM −=−∂∂

−=∂

∂−= )(,

和类似的两个公式

0, =xx pM ， yzx ppM =, .

其它的泊松括号可以通过下标 x， y， z的循环替换得到。

批注 [x62]: 这就是


批注 [x64]: 如果运动积分

批注 [x65]: 依据(42.1)

批注 [x66]: 将括号

,, gfH 用另外两个括号

批注 [LU67]:

, , ,d df dgf g g fdt dt dt

= +

批注 [x68]: 仅有 12 −s 个运

动积分(

批注 [x69]: 平凡

批注 [x70]: 泊松括号为

批注 [x71]: 只不过

批注 [x72]: 然而,如果

批注 [x73]: 置换


240

习题 2 试求动量矩M 的分量组成的泊松括号。

解：直接由公式(42.5)计算得

zyx MMM −=, ， xzy MMM −=, ， yxz MMM −=, 。

因为不同质点的坐标和动量是相互独立的变量，所以在习题 1和习题 2中所得的公式对

于任意质点系的动量和动量矩也成立。习题 3 试证

0, =zMϕ

其中ϕ是质点坐标和动量的任意标量函数。

证：标量函数只能以2r ， 2p ， pr ⋅ 的组合形式依赖于矢量 r和 p的分量，所以

prp

rr )()(

2 2 ⋅∂∂

+∂∂

=∂∂ ϕϕϕ

r

对 p∂∂ /ϕ 也类似。利用这些微分规则,按公式(42.5)直接验算即可得到要证的结论。

习题 4 试证

nff ×=, zM

其中 f 是质点坐标和动量的矢量函数，而n是沿着 z方向的单位矢量。

证：任意矢量 )( pr,f 可以写成

321 )( ϕϕϕ prprf ×++=

其中 1ϕ , 2ϕ , 3ϕ 是标量函数。利用公式(42.9)、(42.11)、(42.12)和习题 3给出的公式，直

接验算即可得要证的结论。


习题 1

解：这里考虑的系统是质点.在直角坐标系下,动量矩的分量分别为

, ,xx z y y yz z xM yp zp M zp xp M xp yp= − = − = − .

根据公式(42.12), , /k kf p f q= −∂ ∂ ,则有

zyzx

yx pzpypyy

MpM −=−∂∂

−=∂

∂−= )(,

0, =xx pM ，

, ( )xx z z y y

MM p yp zp pz z

∂ ∂= − = − − =

∂ ∂.

批注 [x74]: 总动量和总动量

矩

批注 [x75]: 函数ϕ

批注 [x76]: 偏微分公式

批注 [x77]: 计算

批注 [x78]: 计算


241

其它的泊松括号可以通过下标 x， y， z的轮换得到,

xzy ppM −=, ， 0, =yy pM ， zxy ppM =, ,

yxz ppM −=, ， 0, =zz pM ， xyz ppM =, .

习题 2 (略)

习题 3

证： r和 p组成的标量函数有三种基本形式 2r = ⋅r r， 2p = ⋅p p， pr ⋅ ,于是标量函

数ϕ只能通过它们依赖于矢量 r和 p的分量，即

22( , ),r pϕ ϕ= ⋅r p

所以

2 2( ) ( ) 2

( ) ( ) ( ) ( )r rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂

= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ⋅

r r p r r pr r p r r p r

对 p∂∂ /ϕ ,有

2 2

( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )p p

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ⋅p p p r p r

p p p r p p r

利用这些偏微分公式,并按公式(42.5) ∑ ∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=k kkkk p

gqf

qg

pfgf )(, ,有

2 2

2 2

,

2 2( ) ( ) ( ) ( )

2 2( ) ( ) ( )

z zz

k k k k k

z zk k k k

k k k

z z z zk k k k

k k kk k k k

M MM

M Mr p

M M M Mr p

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

∂ ∂∂ ∂= − ⋅ − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= − + ⋅ − + ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂

∑

∑

∑ ∑ ∑

r p p r

r p p rp r p p r r

r p p rp r p r p r

但是因为

( ), ( ), , , ,,k k kk k k k k y zxy z p px p= =r p

( )k kx

kz k y kM x p y p= −∑

则有

, , 0,

, , 0,

i i

i i i

z z zy

i i i

z z

x

x y

zi i

z

M M Mp px y z

M M My xp p p

∂ ∂ ∂= = − =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= − = =

∂ ∂ ∂

于是,


242

0y zk k k

k kz z z z

kk x

kM M M Mx y z

p p p∂ ∂ ∂ ∂

⋅ = + + =∂ ∂ ∂ ∂

rp

0k k ky

z z z zk x

k kz

k k

M M M Mp p px y z

∂ ∂ ∂ ∂⋅ = + + =

∂ ∂ ∂ ∂p

r

( ) ( ) 0

k k k

k k k

k i kk

z z z z zk k x y z

k k x y z

z z zk k k

k k

x y k

k

k k y k xy p

M M M M Mp p pp p p

M M Mx y zx y z

p y p x x p

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ − ⋅ = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− +

∂ ∂ ∂− + + ∂ ∂ ∂

= − =− +

p rp r

所以， 0, =zMϕ 。

习题 4

证：任意矢量 )( pr,f 可以写成

321 )( ϕϕϕ prprf ×++=

其中 1ϕ , 2ϕ , 3ϕ 是标量函数. 注意,因为

( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅r r p r r p p r r , ( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅p r p r p p p r p

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )× × × = × ⋅ − ⋅ ×r p r p r r p p p r r p

所以任意矢量 )( pr,f 具有上述一般形式.

由习题 3可知,

2 31 , , , 0z z zM M Mϕ ϕ ϕ= = = ,

则根据(42.9),有

2 3 1 2 3 , ( ( ) ), , , ( ), z z z z zM M M M Mϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + × = + + ×f r p r p r p r p

考虑到 kjir zyx ++= ， kjip zyx ppp ++= ，则有

, z zz

x y

M MM y xx p y p

∂ ∂∂ ∂= − + = − ∂ ∂ ∂ ∂

r rr i j

由习题 1,有

, z y xM p p= −p i j, ( ), , zz xyM M M M−× ==r p M i j

于是

1 2 3 , ( ) ( ) ( )yz y xxM y x p Mp Mϕ ϕ ϕ= − + − + −f i j i i jj


243

但是,因为

( )1 2 3

1 2 3

( ) ( )

( ) ( ) [ ]y y xxy x p p M M

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

× = × + × + × × = − + − + −

f n r k p k r p k

i j i j i j

这与前面的表示式相同,由此待证的结论得证。

§43 作为坐标函数的作用量

在给出最小作用量原理时，我们研究过沿着两个给定位置 1q（）和 q（2）之间轨迹的积分

2

1

,t

tS Ldt= ∫ (43.1)

其中 1q（）和q（2）是在给定时刻 1t 和 2t 系统的位置。在作用量变分时，比较有相同值 1( )q t 和

2( )q t 的临近轨迹上这个积分值。这些轨迹中只有一条对应真实运动，这就是使积分 S取极

小值的轨迹。下面我们从另一个角度研究作用量的概念。我们将 S看作描述沿着真实轨迹运动的特

征量，并比较有相同初始位置(1)

1( )q t q= 但 2t 时刻通过不同位置的轨迹上的值。换句话说，

我们将真实轨迹的作用量积分看作积分上限中坐标值的函数。从一条轨迹到相邻其它轨迹的变换，使作用量产生的改变量由下面表达式给出（当有

一个自由度时）⑤

2

2

11

. .tt

t t

L L d LS q qdtq q dt q

δ δ δ ∂ ∂ ∂ = + − ∂ ∂ ∂

∫&

⑤ [过程补充]对作用量 2

1( , , )tS L t q q dtt= ∫ & 变分,有

2

1

L LtS q q dtt q qδ δ δ

∂ ∂= +∫ ∂ ∂

&&

这里需要注意两点,一是考虑的是等时变分,二是针对完整系统的,这样变分运算和积分运算可交换次序,即对

积分的变分可以直接化为对被积函数进行变分.注意到变分和微分可以交换次序 qdt d qδ δ=& ，将上式中

的第二项分部积分可得

2 22 2

1 11 1

L L d L L d Lt tt tS q qdt p q qdtt tt tq q dt q q dt qδ δ δ δ δ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − = + −∫ ∫ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ & & &

对于多自由度的情况,有

2 2

11

2 2

11

k kk kk k k

k k kk k k k

L L d Lt tS q q dtttq q dt q

L d Lt tp q q dttt q dt q

δ δ δ

δ δ

∂ ∂ ∂= + −∫ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= + −∫ ∂ ∂

∑ ∑

∑ ∑

& &

&

批注 [x79]: 表述

批注 [x80]: 系统占据

批注 [x81]: 在对

批注 [wys82]: 我们比较

批注 [x83]: 的


批注 [x85]: 考虑作用量

批注 [x86]: 表征沿着真实轨

迹运动的量

批注 [x87]: 那些轨迹的 S


批注 [x89]: 变到相邻的其它

轨迹时,


244

因为实际运动轨迹满足拉格朗日方程，故这个式子中积分等于零。在第一项假设在积分下限

( )1 0q tδ = ，而将 ( )2q tδ 简记为 qδ 。将 /L q∂ ∂ &替换为 p，最后可得： S p qδ δ= 或者在

任意自由度情况下写成

.i ii

S p qδ δ= ∑ （43.2）

由此式可知，作用量对坐标的偏导数等于相应的动量

.ii

S pq

∂=

∂ （43.3）

类似地，当我们研究 1t 时刻位置同为1q（）但 2t t= 时刻通过不同位置 q（2）的轨迹时，可

以将作用量看作时间的显函数。在这个意义下偏导数 /S t∂ ∂ 可以通过相应积分的变分求得。但是，借助公式（43.3），用下面的方法会更简单。根据作用量的定义，它沿着轨迹对时间的全导数等于

.dS Ldt

= （43.4）

从另一方面，在上述意义下将 S看作坐标和时间的函数，利用公式（43.3），有

.i i ii ii

dS S S Sq p qdt t q t

∂ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂∑ ∑& &

比较两个表达式，可得

i ii

dS L p qdt

= − ∑ &

或者

.dS Hdt

= − （43.5）

公式（43.3）和（43.5）可以一起写成作用量的全微分的表达式

,i ii

dS p dq Hdt= −∑ （43.6）

其中作用量看作（43.1）积分上限中坐标和时间的函数。下面假设不仅运动的终点而且初始点的坐标和时间都变化。显然，S相应的变化将由表达式（43.6）在两端点的差值给出，即⑥

⑥ [过程补充]如果不附加导出(43.2)的条件 1( ) 0q tδ = ,则有

(2) (1) (2) (2) (1) (1)(2) (1)

L LS q q p q p qq q

δ δ δ δ δ∂ ∂

= − = −∂ ∂& &

在任意自由度的一般情况下，相应有

(2) (2) (1) (1)i i i i

i iS p q p qδ δ δ= −∑ ∑

由此式可知

批注 [wys90]: 在任意自由度

的一般情况下

批注 [x91]: 当我们考虑在给

定时刻 1t 从给定位置1q（）出

发,在不同时刻 2t t= 终结于

同一位置(2)q 的轨迹时,

批注 [wys92]: 适当变分

批注 [x93]:

i ii

S L p qt

∂= −

∂ ∑ &

批注 [x94]: S Ht

∂= −

∂

批注 [x95]: 在轨迹


245

(2) (2) (2) (2) (1) (1) (1) (1) .i i i ii i

dS p dq H dt p dq H dt= − − +∑ ∑ （43.7）

这个关系式表明，在运动过程中无论外部对系统的作用如何，终点运动状态都不可能是

初运动状态的任意函数，只有（43.7）右端表达式是全微分的那些运动才是可能的。于是，与拉格朗日函数具体形式无关的最小作用量原理，给出可能运动集合的一定限制。例如，对

于从空间某个点发出的粒子束，可以建立一系列一般的运动规律（不依赖于现有外场的形

式）。研究这些规律的学科称为几何光学。⑦

应该指出，如果将坐标和动量看作独立变分的变量，并在（43.6）基础上，将作用量写成积分形式

( ) ,i ii

S p dq Hdt= −∑∫ （43.8）

则可以由最小作用量原理推导出哈密顿方程。为了书写简便，我们还是假设只有一个坐标（和

一个动量），写出作用量的变分

.H HS pdq pd q qdt pdtq p

δ δ δ δ δ ∂ ∂

= + − − ∂ ∂ ∫

(2) (1)

(2) (1),i ii i

S Sp pq q∂ ∂

= = −∂ ∂

如果将S 看成坐标和时间的函数,则有

(2) (2) (2)(2) (2) (2) (2)i i i

i ii


∂ ∂ ∂= + = +∑ ∑

∂ ∂ ∂& &

(1) (1) (1)(1) (1) (1) (1)i i i

i ii


∂ ∂ ∂= + = −∑ ∑

∂ ∂ ∂& &

但是

(2) (1)(2) (1),dS dS

L Ldt dt= = −

所以

(2) (2) (2)(2)(2) i i

i

S p q HLt∂

= − = −∑∂

& , (1) (1) (1)(1)(1) i i

i

S p q HLt∂

= =∑ −∂

&

从而有

(2) (2) (2)(2) i i

i

dS H p qdt

= − + ∑ & , (1) (1) (1)i(1) i

i

dS H p qdt

= − ∑ &

又因为

(2) (1)(2) (1)

dS dSdS dt dtdt dt

= +

代入 (2)dS

dt、 (1)

dSdt

的表示式,可得

(2) (2) (2) (2) (1) (1) (1) (1)i i i i

i idS p dq H dt p dq H dt= − − +∑ ∑

⑦ 参见《场论》,第七章.

批注 [x96]: 运动的末态

批注 [x97]: 初态

批注 [x98]: 任何具体

批注 [wys99]: 给可能运动的

范围附加了一定的限制

批注 [x100]: 可以导出许多不

依赖于外场的一般性质. 对

于这些性质的研究是几何光

学学科中的一个组成部分.

批注 [x101]: 依据（43.6）

批注 [wys102]: 从形式上推

导出

批注 [wys103]: 为简单起见


246

变换第二项（分部积分）给出

| .H HS p dq dt p q q dp dtp q

δ δ δ δ ∂ ∂

= − + − + ∂ ∂ ∫ ∫

在积分限上应该令 0qδ = ，这样被积分出来的项就消去了。只有在被积表达式都等于零的

条件下，剩下的表达式才能对任意独立的 qδ 和 pδ 都等于零。于是有

,Hdq dtp

∂=

∂ ,Hdp dt

q∂

= −∂

除以dt后可得哈密顿方程。

§44 莫培督原理

力学系统的运动完全由最小作用量原理确定:通过求解由该原理导出的运动方程,可以

得到轨迹的形式以及在轨迹上位置对时间的依赖关系.

如果我们限制在确定运动轨迹的问题上（暂时不考虑时间的问题）,则可以为此建立更

简单的最小作用量原理.

假设拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间,系统能量守恒：

( ), const.H p q E= =

根据最小作用量原理,对于给定坐标和时间的初值和终值,作用量变分等于零.如果在固定坐

标的初值和终值情况下,允许终止时间 t变分,则有(参见(43.7))

.S H tδ δ= − (44.1)

我们不比较系统全部的虚运动,而只是比较满足能量守恒定律的那些.对于这样的轨迹,我们

可以在(44.1)中将 H代替为常数 E，给出

d 0.S E tδ + = (44.2)

写出(43.8)形式的作用量并将 H代替为常数 E,有

0d ( ).i ii

S p q E t t= − −∑∫ (44.3)

这个式子中的第一项

0 i ii

S p dq= ∑∫ (44.4)

有时也称为缩短作用量.

将(44.3)代入(44.2),得

0 0.Sδ = (44.5)

可见,缩短作用量对于所有满足能量守恒定律且在任意时刻通过终点的轨迹有极小值.为了

利用这个变分原理,必须预先用坐标 q及其微分 dq表示出动量和(44.4)所有被积表达式.为

此需要利用动量的定义式

,ii

dqp L qq dt∂ = ∂ &

(44.6)

批注 [x104]: 对第二项分部积

分

批注 [x105]: 函数分别

批注 [x106]: 与时间的函数关

系

批注 [x107]: 限定仅确定运动

轨迹而不涉及时间的问题

批注 [x108]: 则系统的能量

批注 [x109]: 给定的初态和末

态的坐标和时间(记为 0 ,t t )

批注 [x110]: 然而,如果坐标

的初值和终值保持不变,允许

末态时间 t变分

批注 [x111]: 所有的

批注 [x112]: 那些运动

批注 [x113]: 这给出

批注 [d114]: 0.S E tδ δ+ =

批注 [x115]: 表示式

批注 [d116]: 简约作用量

批注 [x117]: 注:中译本中这

里的段落应该重分

批注 [d118]: 相

批注 [x119]: 简约作用量

批注 [x120]: 函数


247

以及能量守恒方程

, .dqE q Edt

=

(44.7)

利用公式(44.7),用坐标 q及其微分 dq表示 dt并代入公式(44.6),那么我们就用坐标 q及其

微分dq表示出动量,并且以能量E作为参数.这样得到的变分原理可以确定系统的轨迹,这个

原理通常称为莫培督原理(尽管它的精确定义由欧拉和拉格朗日给出).

对于通常形式为动能与势能之差的拉格朗日函数

,

1 ( ) ( )2 ik i k

i kL a q q q U q= −∑ & &

我们推导上述作用量的显式.这时动量为

( )i ik kki

Lp a q qq

∂= =

∂ ∑ &&

而能量为

,

1 ( ) ( ).2 ik i k

i kE a q q q U q= +∑ & &

由上式可得

d d

d ,2( )

ik i ka q qt

E U=

−∑

(44.8)

将这个表达式代入

,

dd dd

ki i ik i

i i k

qp q a qt

=∑ ∑

可得缩短作用量为

0,

2( ) d dik i ki k

S E U a q q= − ∑∫ (44.9)

特别地,对于一个质点,动能为

2d ,2 dm lT

t =

其中 m为质点的质量,而dl是轨迹的微元,确定轨迹形式的变分原理为

2 ( ) 0,m E U dlδ − =∫ (44.10)

这是在空间中两个给定点之间积分.这个形式由雅可比提出.

对于自由运动质点,U=0,(44.10)给出

0 ,dlδ =∫

即对质点沿着最短路径——直线运动.

我们再回到作用量表达式(44.3),这次对参数 E变分:

批注 [x121]: 得用

批注 [x122]: 表示的

批注 [x123]: ,尽管它的精确

表述由欧拉和拉格朗日给出

批注 [d124]: 当拉格朗日函数

为常用形式(5.5),即动能与势

能之差

批注 [x125]: 时,我们可以显

式地进行上述各量的计算


批注 [x127]: 删去

批注 [x128]: 其中的积分是空

间中两个给定点之间的积分

批注 [x129]: 质点的自由运动

批注 [x130]: 给出平凡结果

批注 [x131]: 质点沿着两给定

点之间的最短路径,即直线运

动


248

00E ( ) ,SS t t E E t

Eδ δ δ δ

∂= − − −

∂

将此式代入(44.2),得

00

S t tE

∂= −

∂ (44.11)

对于形式为(44.9)的缩短作用量,这个等式变为

0.d d

2( )ik i ka q q

t tE U

= −−

∑∫ (44.12)

这正是方程(44.8)的积分.它与轨迹方程一起完全确定系统的运动.

习题

习题试由变分原理(44.10)推导出轨迹的微分方程.

解:进行变分有

d2 ( )d d d .d2

Um E U l l E UlE U

δδ δ

∂ − = − ⋅ − − ⋅ ∂ − ∫ ∫r r r

r

在第二项中考虑到 2 2d dl = r ,因此d d d dl lδ δ= r rg .将这一项分部积分然后令被积表达式

中δr的系数等于零,得轨迹的微分方程

d d2 .d d

UE U E Ul l

∂ − − = − ∂ r

r

计算方程左端的导数并引入力 U= − ∂ ∂F r ,可将方程写成

2

2

d ( ) ,d 2( )l E U

−=

−r F F t tg

其中 = d dlt r 是轨迹切向单位矢量,而 ( )−F F t tg 是力在轨迹法线方向的分量 nF .由微分几

何可知, 2 2d d = d dt lr t 等于 / Rn ,其中 R 为轨迹的曲率半径,而n是轨迹主法线方向单

位矢量.将 E-U替换为 2 / 2mv ,得

2

nmvR

=n F

这与曲线运动法向加速度公式相符.


习题

对(44.10)中的积分 2( )dE U l−∫ 进行变分,有



批注 [d134]:

( )dE U lδ − =∫

批注 [d135]: 注:不另起一段

批注 [d136]:

导数2 2d d = d dl lr t

批注 [x137]: 所熟悉的曲线运

动中的


249

2( )d d 2( ) ( d ) 2( ) .E U l l E U l E Uδ δ δ − = − + − ∫ ∫

因为dl是轨迹上的微元,其等于dr ,即 = ddl r ,或者2 2( ) =|d | d ddl ⋅=r r r ,由此可得

d dd d d d , dl l ldl

δδ δ δ= = r rr r gg

又因 E为常量,则 2( )E Uδ − 只对其中的 U求变分,于是

d2( )d d d .d2

UE U l l E UlE U

δδ δ

∂ − = − ⋅ − − ⋅ ∂ − ∫ ∫r r r

r

但是

d d dd dd d d

E U E U d E Ul l l

δ δ δ − ⋅ = − ⋅ − − ⋅ r r rr r r

则分部积分后

d d2( )d d .d d2

UE U l E U l d E Ul lE U

δδ δ δ

∂ − = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ ∂ − ∫ ∫r r rr r

r

已积出的部分是边界项,等于零.令剩余部分的被积函数中δr的系数等于零,可得运动方程

d d2 .d d

UE U E Ul l

∂ − − = − ∂ r

r

计算上式中左边的微分,有

2

2

d d d2d d d

E U E U E Ul l l

− − + − =

r r F

即

2

2

d d d2( )d d d

U E Ul l l

∂ − ⋅ + − = ∂

r r r Fr

也即

2

2

d d d2( ) .d d d

E Ul l l

⋅ + − =

r r rF F

对上式整理可得

2

2

d ( ) ,d 2( )l E U

−=

−r F F t tg

其中 = d dlt r .前面已经说过 = ddl r ,则 t 就是轨迹切线方向的单位矢量 .因为

2 2d d = d d /l l R=r t n ,这里 R 为轨迹的曲率半径, n是轨迹主法线方向的单位矢量.

( )−F F t tg 是力在轨迹主法线方向的分量 nF . 将E U− 换为用 2 / 2mv ,则由上式可得


250

2

nmvR

=n F

这正是曲线运动中动力学方程沿法线方向的分量式.

§45 正则变换

广义坐标 q的选择不受任何条件的限制，它们可以是任何单值确定系统在空间中位置的 s个量。拉格朗日方程（2.6）的形式不依赖于这种选择，在这个意义下，可以说拉格朗

日方程对于从广义坐标 1q ， 2q ，…到另外的独立变量 1Q ， 2Q ，…的变换具有不变性。新坐标Q是老坐标 q的函数，并且可以使它们的关系显含时间，即有形式为

( , )i iQ Q q t= （45.1）

的变换（有时称为点变换）。

除了拉格朗日方程，显然哈密顿方程（40.4）在变换（45.1）下也保持形式不变。然

而，哈密顿方程实际上允许很多类型的变换。自然这是因为在哈密顿方法中动量 p和坐标 q都是平等的独立变量，所以，变换的概念可以推广，包括从 2s个独立变量 p和q到新变量P和Q的变换，即

Q ( , , )i iQ p q t=

，( , , )i iP P p q t=

（45.2）

这样变换种类的推广是力学的哈密顿方法的本质优点之一。

然而不是说，在形式为（45.2）的任意变换下，运动方程都保持自己的正则形式。下

面我们研究变换满足什么条件，才可以使新变量 P ,Q表示的运动方程具有如下形式：

,ii i

iH HQ PP Q

′ ′∂ ∂= = −

∂ ∂& & ，（45.3）

其中 ( , )H P Q′ 是新的哈密顿函数，在这样的变换中特别重要的一类称为正则变换。

可用如下步骤得到正则变换的公式. 在§43 结尾处已经证明，哈密顿方程可由下面形

式的最小作用量原理推得：

( ) 0i ii

p dq Hdtδ − =∑∫ （45.4）

（并且所有坐标和动量都独立变分）。为使新变量 P和Q也满足哈密顿方程，对于新变量，最小作用量原理也应该成立：

( ) 0iii

PdQ H dtδ ′− =∑∫ （45.5）

但（45.4）和（45.5）等效的条件是它们被积表达式仅相差某个关于坐标、动量和时间的

任意函数F 的全微分，这时两个积分之差为在变分时不起作用的常数（ F 在两个积分限上的差）。由此可见，应该有

i i i i

i ip dq Hdt PdQ H dt dF′− = − +∑ ∑

批注 [i138]: 任何另外的独立

变量

批注 [x139]: 假定它们

批注 [i140]: 由于拉格朗日方

程在变换（45.1）下不变，所

以哈密顿方程（40.4）也保持

不变

批注 [x141]: 更广范围

批注 [x142]: 可以推广到

批注 [i143]: 对这种可能变换

的类型的扩大

批注 [i144]: 重要优点

批注 [i145]: 然而,并不是在形

如（45.4）的所有变换下，运

动方程均保持它们的正则形

式

批注 [x146]: 使用

批注 [i147]: 某个

批注 [i148]: 这些

批注 [i149]: 有一类特别重要

的变换,称之为正则变换

批注 [x150]: 其中对所有坐标

和动量独立地进行变分

批注 [i151]: 如果新变量 P和

Q也满足哈密顿方程，则下列

最小作用量原理也必须成立：

批注 [x152]: 如果（45.4）和

（45.5）的被积函数仅相差关

于坐标、动量和时间的某个函

数 F的全微分,则两种形式当

然是等价的

批注 [x153]: 即F

批注 [x154]: 的值之差

批注 [i155]: 因此，我们将取

关系


251

满足这些要求的变换称为正则变换⑧。任何正则变换都由自己的母函数 F 来描述。

将所得关系式重新写成

( )i i i ii i

dF p dq PQ H H dt′= − + −∑ ∑ （45.6）

可以看出，

, ,i ii i

F F Fp P H Hq Q t

∂ ∂ ∂′= = − = +∂ ∂ ∂

（45.7）

这时假设母函数是新、老坐标（和时间）的给定函数： ( , , )F F q Q t= .在给定函数 F 时，

公式（45.7）给出了老变量（p，q）和新变量（P，Q）的关系，同时还给出新的哈密顿函

数.

不用变量 q，Q表示母函数，而是用老坐标 q和新动量 P表示，可能会更方便。为了推

导这种情况下的正则变换公式，需要在关系式（45.6）中进行相应的勒让德变换，就是说，

将关系式重新写成

( ) ( )i i i i ii i

ii

d F PQ p dq Q dP H H dt′+ = + + −∑ ∑ ∑

等式左端微分号后面的表达式用变量 q，P表示，是新的母函数.用 ( , , )q P tΦ 表示这个母函

数，于是有⑨

, ,i ii i

p Q H Hq P t

∂Φ ∂Φ ∂Φ′= = = +∂ ∂ ∂

（45.8）

类似地，可以得到由依赖于变量 p，Q或者 p，P的母函数生成的正则变换公式。

应该指出，新老哈密顿函数之间的关系总可以用同一种方式表示，即母函数对时间的

偏导数给出它们的差H H′ − 。特别地，如果母函数不显含时间，则H H′ = 。换句话说，

这种情况下为了得到新哈密顿函数，只需在 H中用新变量 P，Q表示 p，q。

正则变换的广泛性，在很大程度上使哈密顿方法中广义坐标和广义动量的概念丧失其

原始含义。由于变换（45.2）将变量 P，Q中每一个都同坐标 q和动量 p联系在一起，所以

变量 Q 已经没有纯粹的空间坐标的含义。两组变量的不同仅在于名称，这是很明显的，例

⑧除了正则变换，（45.4）和（45.5）的被积函数相差常数因子的变换也保持运动方程的正则形式。例如下面

形式的变换：', ,i i i iP ap Q q H aH= = = , 其中 a为任意常数。

⑨应该指出，由母函数

( , )i ii

f q t PΦ = ∑

（ if 为任意函数）得到的变换，使新坐标仅由老坐标（不是动量）表示： ( , )i iQ f q t= ，这是点变换，

是正则变换的特殊情况。

批注 [i156]: 这个条件

批注 [i157]: 每一个正则变换

均由称之为变换的母函数这

个特定函数F 来表征

批注 [i158]: 写成

批注 [x159]: 这里

批注 [i160]: 当函数 F已知时

批注 [x161]: 表示母函数

批注 [i162]: 合适

批注 [i163]: 将关系式重写为

批注 [x164]: 是用变量 q，P

表示的

批注 [x165]: 具有相同的形式

批注 [x166]: , 即为得到新的

哈密顿函数,只需要将用新变

量 P、Q表示的 p、q替换H

中的 p、q.

批注 [i167]: 不再是纯粹的空

间坐标

批注 [i168]: Q和 P两者之间

的区别本质上仅在于名称的

不同


252

如，变换 ,i i i iQ p P q= = − ⑩，不改变方程的正则形式，只是将坐标和动量互换。

因此，变量 p 和 q 在哈密顿方法中经常被简称为正则共轭变量。正则共轭性条件可以

用泊松括号表示，为此我们先证明一个关于泊松括号相对正则变换的不变性原理。

设 [ ] ,,

p qf g 是 f和 g的泊松括号，其中微分运算是相对变量 p，q的，而[ ],

P Qf g

，是

f和 g的泊松括号，其中微分运算是相对变量 P，Q的，于是有

[ ] [ ],

,p q P Q

f g f g=，

，（45.9）

这个关系式的正确性可以直接利用正则变换公式验算得到.但是，也可通过下面的讨论而不

必验算来证实。

首先可以看出，在正则变换（45.7）和（45.8）中，时间起到参数的作用.因此，如果

我们证明定理（45.9）对于不显含时间的量成立，则对一般情况也成立。现在我们纯粹在

形式上将 g看作是某个假想系统的哈密顿函数，那么根据（42.1），[ ] ,p q

dff gdt

= −，。但

是dfdt只可能依赖于（假想系统的）运动性质，而与变量选择无关.因此，在从一组正则变

量变换到另一组正则变量时，泊松括号[ ]f g，不会改变。

由公式（42.13）和定理（45.9）可得

[ ] [ ] [ ], , ,, 0, , 0, ,i k i k i k ikp q p q p q

Q Q P P P Q δ= = = （45.10）

这是用泊松括号写出的新变量应该满足的是 , ,p q P Q→ 为正则变换的条件。

值得指出，在运动中变量 p，q的变化也可以看作正则变换。这个结论的含义如下.设 tq ，

tp 是正则变量在 t时刻的值，而 tq τ+ ， tp τ+ 是正则变量在另一个时刻 t τ+ 的值。后者是前

者（以及作为参量的时间间隔τ ）的函数：

( , , , )t t tq q q p tτ τ+ =，

( , , , )t t tp p q p tτ τ+ =

如果将这些公式看作从变量 tq , tp 到变量 tq τ+ , tp τ+ 的变换，则这是正则变换。由表达式

( ) ( )t t t t t tdS p dq p dq H Hτ τ τ τ+ + += − − −∑

（见（43.7））可以看出这是显然的，其中作用量 ( , , )t tS q q tτ+ 是沿着给定时刻 t和 t τ+ 过

点 tq 和 tq τ+ 的真实轨迹的泛函。比较这个公式和（45.6）可知，-S是变换的母函数。

⑩ 这个变换相应的母函数为 i iF q Q= ∑ 。

批注 [i169]: 很明显并不影响

方程

批注 [i170]: 只是简单地

批注 [i171]: 考虑到命名的任

意性

批注 [i172]: 联系这些正则共

轭变量的条件

批注 [i173]: 不变的普遍定理


批注 [x175]: 计算

批注 [x176]: 论证

批注 [x177]: 计算

批注 [x178]: 以参数形式出现

批注 [x179]: 删去

批注 [x180]: 删去

批注 [x181]: 变量的特定

批注 [x182]: 这些是

批注 [x183]: 变换

, ,p q P Q→ 为正则变换时新

变量必须满足

批注 [x184]: 指出的是

批注 [i185]: 本身也可以看作

一系列的正则变换

批注 [x186]: 某种函数

批注 [i187]: 从作用量

( , , )t tS q q tτ+ 的微分表示式

批注 [x188]: ( , , )t tS q qτ τ+

批注 [i189]: 对给定的τ 在时间

批注 [x190]: 所取的


253

§46 刘维尔定理

为了给出力学现象的几何解释，经常用到相空间的概念，相空间是以力学系统的 s个广

义坐标和 s个广义动量为坐标轴的 2 s维空间. 相空间的每个点对应于系统的一个确定状态. 当系统运动时，表示系统状态的相点在相空间中画出的曲线称为相轨迹. 微分的乘积

1 1s sd dq dq dp dpΓ = L L

可以看作相空间的“体积元”. 下面我们研究沿着相空间某个区域的积分 dΓ∫ ，它表示这

个区域的体积. 我们来证明，这个积分值对正则变换具有不变性：如果从变量 ,p q到变量

,P Q进行正则变换，则 ,p q空间和 ,P Q空间相应区域的体积相等，即

1 1 1 1 .s s S Sdq dq dp dp dQ dQ dP dP=∫ ∫ ∫ ∫L L L L L L (46.1)

众所周知，在重积分变量变换的公式为

1 1 1 1 ,s S s sdQ dQ dP dP Ddq dq dp dp=∫ ∫ ∫ ∫L L L L L L

其中

1, 1

1, 1

( , , , , )( , , , , )

s s

s s

Q Q P PD

q q p p∂

=∂

L LL L

（46.2）

是变换的雅可比行列式. 所以证明定理（46.1）归结为证明任何正则变换的雅可比行列式都等于 1，即

1.D = （46.3）利用雅可比行列式的一个已知性质，即在确定的含义下可以将雅可比行列式看作分数.

“分子和分母除以” 1, 1( , , , , )s sq q P P∂ L L ，得

1, 1 1, 1

1, 1 1, 1

( , , , , ) ( , , , , )/ .

( , , , , ) ( , , , , )s s s s

s s s s

Q Q P P q q p pD

q q P P q q P P∂ ∂

=∂ ∂

L L L LL L L L

(46.4)

根据雅可比行列式的另一个已知规则，如果“分子”和“分母”出现相同的量，则可以化为

变量较少的雅可比行列式，并且在所有的微分中被消去的相同量应该看作常数. 所以

1, 1

1, 1

( , ) ( , , )/ .( , ) ( , , )

s s

s s q constP const

Q Q p pDq q P P

==

∂ ∂ = ∂ ∂

L LL L

（46.5）

我们研究此式分子中的雅可比行列式. 根据定义，这是 s阶行列式，其元素为 /i kQ q∂ ∂

（在第 i行和第 k列交点上的元素）. 利用公式(45.8)中的母函数 ( , )q PΦ 进行正则变换，得

2

.i

k k i

Qq q P

∂ ∂ Φ=

∂ ∂ ∂

批注 [l191]: 以所涉及的力学

系统的

批注 [l192]: 对

批注 [x193]: 多重积分的

批注 [x194]: 熟知的

批注 [x195]: 某种意义

批注 [x196]: 性质

批注 [l197]: 并且在计算微分

时这些相同量被视为常数

批注 [x198]: 其第 i行和第 k

列的元素为 /i kQ q∂ ∂


254

同样可以求出表达式（46.5）的分母中行列式的第 i行和第k列交点上元素为 2

.i kq P

∂ Φ∂ ∂

这就是说，这两个行列式的差别仅仅是将行和列互换，所以它们相等，（46.5）等于 1，定理得证. 现在我们想象在相空间中有一个小区域，其中的每个点随着时间根据系统运动方程移动. 因此这个区域也移动. 在这个过程中这个区域的体积不变，即

.d constΓ =∫ （46.6）

这个结论（称为刘维尔定理）可直接由正则变换下相体积的不变性，以及在运动中 p和q的变化可以看作正则变换（在前一节末尾已经指出）得到. 完全类似地可以证明下面积分的不变性：

,i ii

dq dp∑∫ ∫

,i i k ki k

dq dp dq dp≠∑∫ ∫ ∫

,LLLL

其中积分沿着相空间的给定二维流形、三维流形等等.

§47 哈密顿-雅可比方程

在§43 中已经引入了作用量作为坐标和时间函数的概念。已经证明，这个函数 ( , )S q t

对时间的偏导数与哈密顿函数的关系为

( , , ) 0S H q p tt

∂+ =

∂，

而对坐标的偏导数就是广义动量。在哈密顿函数中将相应广义动量 p用 /S q∂ ∂ 代替，可得

函数 ( , )S q t 应该满足的方程

11

, , ; , , ; 0ss

S S SH q q tt q q

∂ ∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂

L L . （47.1）

这是一阶偏微分方程，称为哈密顿-雅可比方程。

除了拉格朗日方程和正则方程，哈密顿-雅可比方程也是运动方程一般积分方法的基

础。

在介绍这个方法之前，我们先说明一下，任何一阶偏微分方程都有依赖于任意函数的

解，这个解称为方程的一般积分。然而，在力学应用中起主要作用的不是哈密顿-雅可比方

程的一般积分，而是全积分，它是偏微分方程的解，包含的独立任意常数与独立变量的数目

相等。

在哈密顿—雅可比方程中独立变量是坐标和时间。所以对于自由度为 s的系统，哈密顿-雅可比方程的全积分应该包括 1s + 个任意常数。又因为函数 S是以其导数的形式出现在哈

密顿-雅可比方程中，所以任意常数中有一个是以相加方式出现的，即全积分形式为

批注 [x199]: 的

批注 [x200]: 按照力学系统的

运动方程随时间运动

批注 [x201]: 这个区域也整体

地运动.但是,这个区域的体积

保持不变

批注 [x202]: 删去

批注 [x203]: ,

批注 [x204]: §45

批注 [x205]: 是对相空间的二

维流形、四维流形等等进行

的.

批注 [x206]: 作为坐标和时间

的函数的作用量

批注 [l207]: 它对

批注 [x208]: 删去

批注 [x209]: 象拉格朗日方程

和正则方程一样，哈密顿-雅

可比方程也是积分求解运动

方程的一般方法的基础。

批注 [l210]: 通积分

注:这是数学中文文献中的通

用译名

批注 [x211]: 更重要

批注 [x212]: 通积分

批注 [x213]: 常数的数目

批注 [l214]: 仅

批注 [l215]: 哈密顿—雅可比

方程的全积分


255

1 1( , , , ; , , )s sS f t q q Aα α= +L L ，（47.2）

其中 1, , sα αL 和 A是任意常数.⑪

下面我们研究哈密顿—雅可比方程的全积分与我们感兴趣的运动方程的解之间的关

系。为此我们进行从变量 q， p 到新变量的正则变换，并且以 ( , , )f t q α 为母函数，而

1 2, , , sα α αL 作为新的动量。新的坐标用 1 2, , , sβ β βL 表示。因为母函数依赖于老坐标和新

动量，我们利用公式（45.8）：

,ii

fpq

∂=

∂ i

i

fβ

α∂

=∂， ' fH H

t∂

= +∂

.

由于函数 f满足哈密顿—雅可比方程，我们可以看出，新哈密顿函数应该等于零：

0' =∂∂+=

∂∂+=

tSH

tfHH .

所以对新变量的正则方程为 0=iα& ， 0=iβ& ，由此可得

const, constiα β= = （47.3）

另一方面，s个方程

ii

fβ

α=

∂∂

使得可能用时间和 2s个常数α,β来表示 s个坐标 q。于是我们可求得运动方程的通解。

于是用哈密顿—雅可比方法求解力学系统运动问题归结为如下运算。根据哈密顿函数写

出哈密顿—雅可比方程，并求该方程的全积分（47.2）。将它对常数α求偏导数并使之等于

⑪虽然这里我们并不需要哈密顿—雅可比方程的通积分，但是我们还是应该指出，如果已知全积分，则

可以求出通积分。为此，我们认为 A是其它常数的任意函数：

),,(),,;,,,( 111 sss AqqtfS αααα LLL += .

用 s个条件

0=∂∂

i

Sα

，

给出的坐标和时间的函数代替αi，得到依赖于任意函数 A（α1，…，αs）的通积分。事实上，对于按这

种方式给定的函数 S，有

αα

αα

∂∂

=∂∂

∂∂

+

∂∂

=∂∂ ∑

ii

k

k qkii qS

qS

qS

qS

.

根据 );,( αqtS 是哈密顿—雅可比方程的全积分的假定， α)/( iqS ∂∂ 满足哈密顿—雅可比方程，所以

iqS ∂∂ / 也满足哈密顿—雅可比方程。

批注 [l216]: ii

fpq

∂=

∂，

注:标点符号

批注 [x217]: 利用 s个

批注 [x218]: 可以将 s个坐

标 q用时间和 2s个常数α,

β表示出来,这就给出了

批注 [x219]: 的运动问题按如

下步骤进行.

批注 [l220]: 任意常数


256

新的常数β，可得 s个代数方程

ii

Sβ

α∂∂

= （47.4）

求解这个代数方程得到 q作为时间和 2s个常数的函数。然后由方程 ii qSp ∂∂= / ，可以求

得动量对时间的依赖关系。

如果哈密顿—雅可比方程有非全积分，它依赖于少于 s个任意常数，则尽管不能由它求

出一般积分，但是可以使问题简化。例如，如果已知函数 S包含一个任意常数α，则

constSα

∂=

∂

给出一个关于 1, , sq q… 和 t的方程。

当函数 H不显含时间时，即系统保守时，哈密顿—雅可比方程有更简单的形式。这时作

用量对时间的依赖性归结为加上 Et− ：

EtqSS −= )(0 （47.5）

（参见§44），代入（47.1）可得缩短作用量 0 ( )S q 的哈密顿—雅可比方程

0 01

1

, , ; , ,ss

S SH q q Eq q

∂ ∂= ∂ ∂

L L （47.6）

§48 分离变量

在一些重要的情况下，哈密顿—雅可比方程的全积分可以通过分离变量的方法求得，该

方法的实质如下。

假定任意一个坐标，例如用 1q 表示，与相应的导数 1S q∂ ∂ ，仅在哈密顿-雅可比方程中

只以某种组合的方式 11

, Sqq

ϕ ∂ ∂

出现，该组合中不包含其它坐标（或时间）及其导数，即

方程形式为：

11

, , , , 0ii

S Sq t qq q

ϕ ∂ ∂ Φ = ∂ ∂

其中用 iq 表示除 1q 外其余所有坐标。

我们将这种情况下的解写成一个和的形式：

( ) ( )1 1,iS S q t S q′= +

将这个表达式代入（48,1）,可得

(48.1)

(48.2)

批注 [x221]: 这些

批注 [l222]: 任意常数

批注 [x223]: 运动方程的通积

分,但是可以用来简化求通积

分的过程

批注 [x224]: 已知包含一个任

意常数α的函数 S,则关系

批注 [x225]: 如果函数 H不显

含时间,即如果系统是保守的

批注 [x226]: 依赖关系

批注 [l227]: 简约作用量

批注 [x228]: 某

批注 [x229]: 删去

批注 [x230]: 仅以

批注 [x231]: 11

, Sqq

ϕ ∂ ∂

的方式

批注 [x232]: ,时间

批注 [x233]: 的形式

批注 [U234]: 我们寻找以下

和形式的解


257

11

1

, , , , , 0ii

dSS Sq t qq t dq

ϕ ′ ′∂ ∂ Φ = ∂ ∂

假设解(48.2）已经得到, 那么代入(48,3)后应该使该方程成为恒等式，而这个恒等式对

坐标 1q 的任意值都成立。在 1q 改变时只有函数ϕ发生变化，所以(48,3)是恒等式要求ϕ是常

数。于是，方程(48,3)就分成了两个方程：

11 1

1

, dSqdq

ϕ α

=

1, , , , 0ii

S Sq tq t

α ′ ′∂ ∂

Φ = ∂ ∂

其中 1α 是任意常数。上面第一个是常微分方程，由此方程通过简单的积分可以求出函数

( )1 1S q 。此后还剩下偏微分方程(48,5)，但是它的独立变量数目减少了。

如果用这样的方法可以分离所有 s个坐标和时间，则哈密顿-雅可比方程的全积分就完全求出了。对于保守系统只需要分离方程(47.6)中的 s个变量（坐标），在完全分离的情况下，方程的全积分写成：

( ) ( )1 2 1; , ,..., ,...,k k s sk

S S q E tα α α α α= −∑

其中每个 kS 都只是一个坐标的函数，能量E则是任意常数 1, ..., sα α 的函数，可以通过将

0 kS S= ∑ 代入方程(47.6)求得。

循环变量的情况是分离变量的特殊情况。循环坐标 1q 不显含于哈密顿函数，所以也不

显含于哈密顿-雅可比方程中。这种情况下函数 11

, Sqq

ϕ ∂ ∂

变为 1S q∂ ∂ ，由方程(48.4)求得

1 1 1S qα= ,因此

( ) 1 1,iS S q t qα′= +

常数 1α 这时正是相应于循环坐标的常值动量 1 1p S q= ∂ ∂ 。应当注意，形式为 Et− 的时间分

离对于保守系统也就是相应于“循环变量” t的分离变量的方法。由此可见，在哈密顿-雅可比方程中分离变量的方法，包括了所有以前研究过的基于循

环坐标简化运动方程的情况。现在还可以补充一些坐标为非循环坐标，但仍然可能分离变量

的情况。这一切都表明，哈密顿-雅可比方法是求运动方程通解的最有力的方法。为了在哈密顿-雅可比方程中分离变量，适当选择坐标非常关键。我们来看几个在各种

坐标下分离变量的例子，它们与质点在各种不同外场中运动的问题相关，具有物理意义。

1.球坐标. 用坐标 ( ), ,r θ ϕ 写出的哈密顿函数

(48.3)

(48.4)

(48.5)

(48.6)

(48.7)

批注 [x235]: (特别是)对于

批注 [x236]: 删去

批注 [x237]: 可以相继地

批注 [x238]: 则求

批注 [x239]: 就约化为求积分

了

批注 [x240]: 实际上只需要

批注 [x241]: 一个特殊情况是

循环变量的分离.

批注 [x242]: 此时

批注 [U243]: 约化

批注 [x244]: 可求

批注 [x245]: 删去

批注 [U246]: 对于一个保守

系统而言， Et− 这一项中出

现时间 t相应于对“循环变量”

t的分离。

批注 [x247]: 积分的

批注 [x248]: 通积分

批注 [x249]: 不同

批注 [x250]: 删去

批注 [x251]: 可能具有


258

222

2 2 2

1 ( , , )2 sinr

ppH p U rm r r

ϕθ θ ϕθ

= + + +

如果

2 2 2( ) ( )( )

sinb cU a rr rθ ϕ

θ= + +

其中 ( )a r ， ( )b θ ， ( )c ϕ 是任意函数，则分离变量是可能的。此式最后一项没有物理意义，

我们只研究场：

2( )( ) bU a rrθ= +

在这种情况下对于函数 S0的哈密顿-雅可比方程为 22 2

0 0 02 2 2

1 1 1( ) 2 ( )2 2 2 sin

S S Sa r mb Em r mr mr

θθ θ ϕ

∂ ∂ ∂ + + + + = ∂ ∂ ∂

考虑到ϕ是循环坐标，设解的形式为：

0 1 2( ) ( )S p S r Sϕϕ θ= + +

对于函数 ( )1S r 和 ( )2S θ 有方程

2 22

22 ( )sin

pdS mbd

ϕθ βθ θ

+ + =

21

21 ( )

2 2S a r E

m r mrβ∂ + + = ∂

积分可得

[ ]2

2 22 ( ) 2 ( )sin

pS Et p mb d m E a r dr

rϕ

ϕ

βϕ β θ θ

θ= − + + − − + − −∫ ∫

pϕ，β ，E是任意积分常数，将上式对这 3个任意常数求导并使之等于新常数，即可给出

运动方程的通解。

2.抛物线坐标. 从柱坐标（用 ρ ,ϕ , z表示）到抛物线坐标ξ ,η ,ϕ的变换公式为

( )12

z ξ η= − ， ρ ξη=

坐标ξ和η的取值范围是从零到∞，容易证实,ξ和η为常数的曲面是两族旋转抛物面（以z为对称轴）。引入半径

( )2 2 12

r z ρ ξ η= + = +

关系式(48.10)也可以写成另外一种形式.那么

r zξ = + ， .r zη = −

(48.8)

(48.9)

(48.10)

(48.11)

(48.12)

批注 [U252]: 未必

批注 [x253]: 因此,我们取下

列形式的场

批注 [U254]: 求以下形式的

解


批注 [x256]: z轴

批注 [x257]: 球坐标的

批注 [x258]: 删去


259

下面我们用坐标 , ,ξ η ϕ写出质点的拉格朗日函数.将(48.10)对时间求导并代入

( ) ( )2 2 2 2 , ,2mL z U zρ ρ ϕ ρ ϕ= + + −& & &

（用柱坐标写出的拉格朗日函数），得

( )2 2

2 ( , , )8 2m mL Uξ η

ξ η ξηϕ ξ η ϕξ η

= + + + −

& & &

广义动量为

( )4mpξ ξ η ξξ

= + &， ( )4mpη ξ η ηη

= + &， p mϕ ξηϕ= &

哈密顿函数为 2 2 22 ( , )

2p p p

H Um m

ξ η ϕξ ηξ η ϕ

ξ η ξη+

= + + ,+

在这种坐标下，物理上有意义的分离变量的情况相应于势能：

( ) ( ) ( ) ( )2

a b a r z b r zUr

ξ ηξ η

+ + + −= =

+

我们有方程

( ) ( )2 2 20 0 02 1

( ) 2a bS S S E

m mξ η

ξ ηξ η ξ η ξη ϕ ξ η

+ ∂ ∂ ∂ + + + = + ∂ ∂ ∂ +

循环坐标ϕ以 pϕϕ的形式分离出来.然后将方程乘以 ( )m ξ η+ 并重新组合各项，得

( ) ( )2 22 2

0 02 2 02 2p pS Sma mE mb mEϕ ϕξ ξ ξ η η η

ξ ξ η η ∂ ∂

+ − + + + − + = ∂ ∂

令

( ) ( )0 1 2S p S Sϕϕ ξ η= + +

可得两个方程

( )

( )

2 21

2 22

22

22

pdS ma mEd

pdS ma mEd

ϕ

ϕ

ξ ξ ξ βξ ξ

η η η βη η

+ − + =

+ − + = −

积分可得

(48.13)

(48.14)

(48.15)

批注 [x259]: 代入用柱坐标表

示的拉格朗日函数

批注 [x260]: 删去

批注 [x261]: 下列形式的势能

批注 [x262]: 关于 0S 的方程


260

( )

( )

2

2

2

2

2 2 2 4

2 2 2 4

pmamES Et p d

pmbmE d

ϕϕ

ϕ

ξβϕ ξ

ξ ξ ξ

ηβη

η η η

= − + + + − − +

+ − −

∫

∫

pϕ，β， E是任意积分常数。

3.椭圆坐标.坐标 ϕηξ ,, 由公式

2 2( 1)(1 ) zρ σ ξ η σξη= − − =， . (48.17)

给出，常数σ 是变换参数。坐标ξ取值范围是从 1到∞，而坐标η取值范围是从-1到+1。

设 z轴上两个点 1A 和 2A 的坐标为 σ=z 和，σ−=z 如果 1r和 2r 是到这两个点的距离：

，， 222

221 )()( ρσρσ ++=+−= zrzr

则可以得到几何意义明显的关系式⑫。代入（48.17）式可得

σ

ησ

ξηξσηξσ22

)()( 212121

rrrrrr −=

+=+=−= ，，， . (48.18)

从柱坐标到椭圆坐标变换拉格朗日函数，可得

)()1)(1(211

)(2

2222

2

2

2

222

2

ϕηξϕηξσ

ηη

ξξ

ηξσ

，，UmmL −−−+

−

+−

−= &&&(48.19)

由此可得哈密顿函数

2 2 2 22 2 2

22 2

1 ( 1) (1 )2 ( )

1 1 ( )1 1

H p pm

p U

ξ η

φ

ξ ησ ξ η

ξ η φξ η

= − + −−

+ + + − −

，，

(48.20)

物理上有意义的分离变量相应于势能为

⑫ ξ 为常数的曲面是以 1A 和 2A 为焦点的一簇椭球面

1)1( 22

2

22

2

=−

+ξσρ

ξσz

,

而η为常数的曲面是以 1A 和 2A 为焦点的一簇双曲面

1)1( 22

2

22

2

=−

−ησ

ρησ

z .

(48.16)

批注 [U263]: 注:公式第二行

根号中第二项应该是

2β η−


批注 [x265]: 定义

批注 [x266]: 是任意点

批注 [x267]: 将（48.17）代入

上式,

注:不另起一段

批注 [x268]: 将拉格朗日函数

从柱坐标表示的形式变换到

椭圆坐标表示的形式


261

2

1 2 1 22 2

1 2

( ) ( )( ) 2 2

r r r ra bU a br r

ξ η σξ η σ σ

+ − + = = + − (48.21)

其中 )()( ηξ ba ，是任意函数。在哈密顿-拉格朗日方程中分离变量的结果给出

∫ +−

−−

−+++−= ξ

ξξξσβ

σϕ ϕϕ d

pamEmpEtS 22

2

2

22

)1(1)(22

∫ −−

−+

+ ηηη

ησβσ ϕ d

pbmEm 22

2

2

22

)1(1)(22 . (48.22)

习题

习题 1 设质点在场

aU Fzr

= −

（库仑场和均匀场相加）中运动，试求哈密顿-雅可比方程的全积分，并求这个运动特有的

作为坐标和动量函数的守恒量。

解：这个场属于类型（48.15），并且

2 2( ) , ( ) .2 2F Fa bξ α ξ η α η= − = +

哈密顿-雅可比方程的全积分由（48.16）给出。

为了解释常数β 的含义，我们写出方程：

222 ( )

2p

p ma mE ϕξξ ξ ξ β

ξ+ − + =

222 ( )

2p

p mb mE ϕηη η η β

η+ − + = −

将两个方程相减，用柱坐标下的动量p /Sρ ρ= ∂ ∂ 和p /z S z= ∂ ∂ 表示p /Sξ ξ= ∂ ∂ 和

p /Sη η= ∂ ∂ ，简单计算后得

22

2( ) .2z

p pz mm zp p z Fr m m

ρ ϕρ

αβ ρ ρ

ρ

= − + − + −

方括号中的表达式是纯库仑场所特有的运动积分（矢量（15.17）的 z分量）。

习题 2 同上题，但外场为

1 2

1 2

Ur r

α α= +

⑬ 实际上由两个方程消去含 E的项而不是直接相减,再作后面的计算更简单——译者注

批注 [H269]: 哈密顿-雅可比

方程

批注 [H270]: 此公式有误，最

后一项的被积函数应为

222

2 2 2

2 ( )21 (1 )

pm bm E ϕβ σ ησ

η η+

− −− −

批注 [x271]: 表示动量


262

（两个距离为2σ 的不动中心的库仑场）。

解：这个场属于类型（48.21），并且

1 2 1 2( ) , ( ) .a bα α α α

ξ ξ η ησ σ+ −

= =

将这些表达式代入（48.22）可得作用量 , ; , t)S ξ η ϕ=（。常数β 的含义解释类似于习题 1，

在这种情况下，它反映下面量守恒：

22 2 2

1 1 2 22 2 ( cos cos ).p

p M mϕρβ σ σ α θ α θ

ρ

= + − + +

其中

2 22 2 2 2 2 2

2( ) 2 .z z

r pM p z p z p pϕ

ρ ρρ ρρ

= × = + + −r p

而 1θ 和 2θ 是图 55所示的角度。

例题和习题详细推导过程：例题 1． (i)球坐标下的哈密顿函数对于质点系统,用直角坐标表示时,拉格朗日函数为：

2 2 2( )2mL x y z U= + + −& & &

球坐标和直角坐标之间的坐标变换关系为：

sin cos , sin sin , cosx r y r z rθ ϕ θ ϕ θ= = =

它们对时间的导数分别为：

sin cos cos cos sin sin

sin sin cos sin sin coscos sin

x r r ry r r rz r r

θ ϕ θ ϕθ θ ϕϕ

θ ϕ θ ϕθ θ ϕϕ

θ θθ

= + −

= + +

= −

& && && && &

&&&

将这些变换关系代入前面拉格朗日函数的表达式中，经过整理可得：

2 2 2 2 2 2( sin )2mL r r r Uθ θϕ= + + −& &&

各个广义动量分别为：

2

2 2sin

rLp mr

Lp mr

L

r

p mr

θ

ϕ

θθ

θϕϕ

∂= =

∂∂

= =∂∂

= =∂

&&

&&

&&

按照哈密顿函数的定义,并用广义坐标和广义动量表示，即可得到所要求的哈密顿函数为

批注 [x272]: 相距2σ 的固定点

批注 [x273]: 可以类似于习题

1的方式得出

批注 [x274]: 表示下列量的


263

222

2 2 21 ( , , )

2 sinr r

ppH rp p p L H p U rm r r

ϕθθ ϕθ ϕ θ ϕ

θ

= + + − = = + + +

& &&

(ii)球坐标下哈密顿-雅可比方程的分离变量在球坐标下,哈密顿-雅可比方程为：

22 20 0 0

2 2 2

1 1 1 ( , , )2 2 2 sin

S S S U r Em r mr mr

θ ϕθ θ ϕ

∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ 如果势函数为(48.8),即

2( )( ) bU a rrθ= +

则有哈密顿-雅可比方程为：

22 20 0 0

2 2 2

1 1 1( ) 2 ( )2 2 2 sin

S S Sa r mb Em r mr mr

θθ θ ϕ

∂ ∂ ∂ + + + + = ∂ ∂ ∂

它不含坐标ϕ ,故它是循环坐标.

由于 φ是循环变量，可将2

0Sϕ

∂ ∂

设为一常数，这里设为 pϕ。再对 θ进行变量分离,

将哈密顿-雅可比方程两边同时乘以 22mr ,有

2 220 0

2

2 12 ( ) 2 ( )sin 2

pS Smb mr E a rm r

ϕθθ θ

∂ ∂ + + = − − ∂ ∂

则可以令 0 1 2( ) ( )S p S r Sϕϕ θ= + + ,代入上式,有

2 2

22 12

2 12 ( ) 2 ( )sin 2

pdS dSmb mr E a rd m dr

ϕθθ θ

+ + = − −

上式两边分别为β和 r的函数,于是有

( )2 2

222 ( )

sinpdS mb

dϕϕ θ θ β

θ θ = + + =

同时,有

21

21 ( )

2 2S a r E

m r mrβ∂ + + = ∂

其中β 是分离常数.

例题 2 (i)从柱坐标到抛物线坐标

从直角坐标（用 , ,x y z表示）到抛物线坐标（用 , ,ξ η ϕ表示）的变换关系为


264

2 2 2 2 2 2 1, , tan yz x y z z x y zx

η ξ ϕ −= − + + + = + + + = （1）反推可得

2 2

2 x yz ηη+

= − （2）

2 2

2 x yz ξξ+

= − + （3）当η为常数时，方程（2）是由一开口向上，焦点在直角坐标原点的抛物线绕 z轴旋转所得

的曲面。同理，当ξ为常数时，方程（3）是由一开口向下，焦点在坐标原点的抛物线绕 z轴

旋转所得的曲面。联立方程（2）与（3）可得到两抛物面的交线方程

2 2 2 2x y x yη ξ

η ξ+ +

− = − +

以及关系

2 2x y ξη+ = ， ( )12

z ξ η= −

从柱坐标（用 , , zρ ϕ 表示）到抛物线坐标（用 , ,η ξ ϕ表示）的变换公式为

( )12

z ξ η= − ，2 2x yρ ξη= + = （4）

将（4）对时间求导得

( )12

z ξ η= −& && ，1 12 2

ηξ ξηρ

ηξ ηξ= +

& && （5）

将（5）代入柱坐标的拉格朗日方程中

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

1 2 1 2 2 2 2

2 22

1 , ,21 1 12 2 , ,2 4 4

1 1 , ,8 2

L m z U z

m U

m m U

ρ ρ ϕ ρ ϕ

ξ ηξ ξη η ξη ξηϕ ξ ξη η ξ η ϕ

ξ ηξ η ξηϕ ξ η ϕ

ξ η

− −

= + + −

= + + + + − + −

= + + + −

& & &

& & & && & & & &

& & &

（6）广义动量为

( )14

Lp mξ

ξξ η

ξ ξ∂

= = +∂

&& ， ( )1

4Lp mη

ηξ η

η η∂

= = +∂

&&

，Lp mϕ ξηϕϕ

∂= =

∂&

& （7）


265

由（7）可得

4,

( () )4

,p

mp p

m mϕξ ξξ η

ξ ηξηξ η

ϕη ξ+

= = =+

& & & （8）

按照哈密顿函数的定义

( ), , i ii

H p q t p q L= −∑ & （9）

将（8）代入（9）可得到质点的用抛物线坐标表示的哈密顿函数

( )2 2 22 , ,

2p p p

H Um m

ξ η ϕξ ηξ η ϕ

ξ η ξη+

= + ++

（10）

(ii)抛物线坐标系中哈密顿-雅可比方程的变量分离如果

( ) (( ) ) )2

( aa b R z b r zUr

ξ ηξ η

+ + + −= =

+

则可得简约作用量 ( )0S q 的哈密顿-雅可比方程为

2 2 2

0 0 02 1( )

( )2

) (S S Em

bm

aS ξ ηξ η

ξ ηη ξη ϕ ηξ ξ

∂ ∂ ∂ + + + = + ∂ ∂ ∂

++

ϕ不显含于哈密顿-雅可比方程，因此ϕ为循环坐标，可得

0S pϕϕ∂

=∂

（11）

将（11）代入上面的哈密顿-雅可比方程，然后将方程两边同乘 ( )m ξ η+ 并重新组合各项，

得

( ) ( )2 22 2

0 02 2 02 2p pS Sma mE mb mEϕ ϕξ ξ ξ η η η

ξ ξ η η

∂ ∂ + − + + + − + = ∂ ∂

,

因 E， pϕ为常数，因此ξ，η已被分离，假如解可以写成以下形式

0 1 2( ) ( )S p SSϕ ξϕ η+= +

代入哈密顿-雅可比方程，有

( ) ( )2 22 2

1 22 2 02 2p pdS dSma mE mb mE

dϕ ϕξ ξ ξ η η η

ξ ξ η η

+ − + + + − + =

由此可得到两个方程 ( )

2 212

2pdS ma mE

dϕξ ξ ξ β

ξ ξ

+ − + =

, ( )2 2

222pdS mb mE

dϕη η η β

η η

+ − + = −


266

其中β 为任意常数.于是 2 2

1 22 2

( ) ( ),2 2 4 2 2 4

P PmE ma mE mbdS d dS dϕ ϕβ ξ β ηξ η

ξ ξ η η− +

= + − = − − 又知 0S S Et= − ，对上两式积分并代入得

( ) 2

212 2 2 4

pmaS Et p mE dϕ

ϕ

ξβϕ ξ

ξ ξ ξ= − + + + − − +∫

( ) 2

2

12 2 2 4

pmbmE dϕηβ

ηη η η

− − −∫ pϕ，β， E 是任意积分常数例题 3

(i) 椭圆坐标下的哈密顿函数

椭圆坐标取为 , ,ξ η ϕ，它与柱坐标 , , zρ ϕ 的关系为

2 2( 1)(1 ) zρ σ ξ η σξη= − − =，，

则有

( )

2 2

2 2

(1 ) ( 1)

( 1)(1 )

,z

σ η ξξ ξ ηηρ

ξ η

σ ξη ξη ϕ ϕ

− − − =− −

= + =

& &&

&& & &&

将上述关系代入柱坐标表示的拉格朗日函数 2 2 2 21 ( ) ( , , )

2L m z U zρ ρ ϕ ρ ϕ= + + −& & &

有

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

22 2 222 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2 2

2 2 2 2

22 2 2

2

(1 ) ( 1)1 ( 1)(1 ) ( , )2 ( 1)(1 )

1 1 1 112 1 1

1 ( 1)(1 ) ( , )212 1

L m U

m

m U

m

σ η ξξ ξ ηησ ξ η ϕ σ ξη ξη ξ η ϕ

ξ η

η ξ ξ ξ ξ η ξ η η η ξ ησ

ξ η

σ ξ η ϕ ξ η ϕ

ξσ ξ η

ξ

− − − = + − − + + − − − − + − − + − = + − −

+ − − −

= −−

& & && &

& & & &

&

&

,

,

22 2 2 2

2

1 ( 1)(1 ) ( , )1 2

m Uησ ξ η ϕ ξ η ϕ

η

+ + − − − −

& & ,

广义动量分别为：


267

2 2 22

2 2 22

2 2 2

( )1

( )1

( 1)(1 )

Lp m

Lp m

Lp m

ξ

η

ϕ

ξσ ξ η

ξ ξη

σ ξ ηη η

σ ξ η ϕϕ

∂= = −

∂ −∂

= = −∂ −∂

= = − −∂

&&

&&

&&

整理即可得：

( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1, ,

( ) ( ) ( 1)(1 )p p p

m m mξ η ϕξ η

ξ η ϕσ ξ η σ ξ η σ ξ η

− −= = =

− − − −& & &

相应的动能可以表示为：

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 22 2 2

2 22 2 2 2 2 2

22 2 2

2 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 11 ( )2 ( ) ( )

1 ( 1)(1 )2 ( 1)(1 )

1 1 12 ( ) 2 ( 1)(1 )

p pT m

m m

pm

m

pp p

m m

ξ η

ϕ

ϕξ η

ξ ησ ξ η

σ ξ η σ ξ η

σ ξ ησ ξ η

ξ ησ ξ η σ ξ η

− − = − + − −

+ − − − −

= − + − + − − −

即

2 2 2 2 22 2 2 2 2

1 1 1( 1) (1 )2 ( ) 1 1

T p p pm

ϕξ ηξ ησ ξ η ξ η

= − + − + + − − −

于是,椭圆坐标系下的哈密顿函数：

2 2 2 2 22 2 2 2 2

1 1 1( 1) (1 ) ( , , )2 ( ) 1 1

H p p p Um

φξ ηξ η ξ η φσ ξ η ξ η

= − + − + + + − − −

(ii) 哈密顿-雅可比方程的变量分离由

0 0 0, ,S S Sp p pξ η ϕξ η ϕ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

可以得到哈密顿-雅可比方程

2 2 22 20 0 0

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 ( ) ( )( 1) (1 )2 ( ) 1 1

S S S a b Em

ξ ηξ η

σ ξ η ξ η ξ η ϕ ξ η

∂ ∂ ∂ +− + − + + ⋅ + = − ∂ ∂ − − ∂ −

即

[ ]

2 2 22 20 0 0

2 2

2 2 2 2

1 1( 1) (1 )1 1

2 ( ) ( ) 2 ( 1 1 ) 0

S S S

m a b m E

ξ ηξ η ξ η ϕ

σ ξ η σ ξ η

∂ ∂ ∂ − + − + + ⋅ ∂ ∂ − − ∂

+ + − − + − =

循环坐标ϕ 以 pϕϕ的形式分离出来。然后将方程乘以 2 2 22 ( )mσ ξ η− 并重新组合各项整理


268

可得：

( )

( )

2 22 2 2 20

2

2 22 2 2 2 20

2

( 1) 2 ( ) 2 11

(1 ) 2 ( ) 2 1 01

pS m a m E

pS m b m E p

ϕ

ϕϕ

ξ σ ξ σ ξξ ξ

η σ η σ ηη η

∂ − + − − + + ∂ −

∂ − + − − + = ∂ −

令 ( ) ( )0 1 2S p S Sϕϕ ξ η= + + ，上式可以化为：

( )

( )

2 22 2 2 21

2

2 22 2 2 22

2

( 1) 2 ( ) 2 11

(1 ) 2 ( ) 2 1 01

pdS m a m Ed

pdS m b m Ed

ϕ

ϕ

ξ σ ξ σ ξξ ξ

η σ η σ ηη η

− + − − + + −

− + − − + = −

显然上式分别关于ξ和η的几项的和应互为常值相反数，设为β，那么可得两个方程：

( )

( )

2 22 2 2 21

2

2 22 2 2 22

2

( 1) 2 ( ) 2 11

(1 ) 2 ( ) 2 11

pdS m a m Ed

pdS m b m Ed

ϕ

ϕ

ξ σ ξ σ ξ βξ ξ

η σ η σ η βη η

− + − − + = −

− + − − + = − −

整理得：

222

1 2 2 2

222

2 2 2 2

2 ( )21 ( 1)

2 ( )21 (1 )

pm adS m E d

pm bdS m E d

ϕ

ϕ

β σ ξσ ξ

ξ ξ

β σ ησ η

η η

−= + −

− −

+= − −

− −

哈密顿作用量为

∫ +−

−−

−+++−= ξ

ξξξσβ

σϕ ϕϕ d

pamEmpEtS 22

2

2

22

)1(1)(22

222

2 2 2

2 ( )21 (1 )

pm bm E dφβ σ ησ η

η η+

− −− −∫ .

习题 1

对于场

FrzUr

α −= ,

用抛物线坐标表示时,有


269

( )

2 21 1 1( ) ( ) 2 ( )2 2 2

12

F FFrzUr

α ξ η ξ η α ξ ηαξ ηξ η

− + − − −−= = =

++

与(48.15)比较, 有

2 2( ) , ( ) .2 2F Fa bξ α ξ η α η= − = +

将上式代入(48.16),可得作用量为

2 22 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( )2 2

2 2 2 4 2 2 2 4

2 2 4 4 2 2 4 4

F Fm mp pmE mES Et p d d

p pmE m mF mE m mFEt p d d

ϕ ϕϕ

ϕ ϕϕ

α ξ α ηβ βϕ ξ η

ξ ξ ξ η η η

α β ξ α β ηϕ ξ η

ξ ξ η η

− += − + + + − − + − − −

− += − + + − − + + − − −

∫ ∫

∫ ∫

分离常数β的含义可以按如下方式看出.在分离变量时,有

( )

( )

2 21

2 22

22

22

pdS ma mEd

pdS ma mEd

ϕ

ϕ

ξ ξ ξ βξ ξ

η η η βη η

+ − + =

+ − + = −

即

( ) ( )2 2

2 22 , 22 2p p

p ma mE p ma mEϕ ϕξ ηξ ξ ξ β η η η β

ξ η+ − + = + − + = − ,

将上式中的第一式乘以η ,第二式乘以ξ再相减,即消去含 E的项,有

( ) ( ) ( )2

2 2( ) 2 ,2p

p p m a bξ ηϕ η ξ

ξ η η ξξ η

β η ξ ξ η

+ = − + − + −

即

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

22 2

22 2

22 2

2

22 2

2

2

2

22

22 2

2 1 ( )2

1 1 12 2

(4

12

2

)

pp p m a

zpp p m F F

zpm z mFp pr r

zpm zp p mF

b

r

r r

r

r

ξ η

ξ η

ξ η

ξ

ϕ

ϕ

ϕ

ηϕ

η ξ η ξη ξ η ξ ξη

η ξ

ξηβ ξ η

ρα α

ρ αξη

ξ ηρ

ρ

ηξ

ρ α

ρ

ρ

= − + − +

= − + − − + −

=

−+ +

+ −

−

− − −

= − − −

再利用柱坐标和抛物线坐标之间的关系


270

2 2 ), )1 1( (2 2

,r z zρ ξ η ξ η+ + == = −

则有

2 2

, ,1 ( ),z

zr

r z r zz

rp

mzp

zρ

ξ ηρρ

ρρ

= + = −+

+= =+

&&&

其中 ,zp pρ是柱坐标系下的广义动量.由这些关系以及前面给出的用抛物线坐标表示的广义

动量的表示式可得到它们之间的关系分别为

1) 12 2( )

1

(

2

14

12

z

z z

mr r z mr zp m

r zp pr

p pr z r z m r r

p pz

ξ ρ

ρ ρ

ξ ρξ

ρ

ξ η

ρ

+ + = = + + +

= +

−= = +

+

+

& & &

1) 12 2( )

1

(

2

14

12

z

z z

mr r z mr z p pr z r z m r r

p m

r zp ppz

pr

η ρ

ρ ρρ

ρ

η ρξ η

η− + = = − − − −

= − = −

= +

++

− +

& & &

或者用下列方法求两者之间的关系

1 12 2

1 ,2

z z

z

S S S z zp p p p pz

r zp pρ

ξ ρ ρρ ρ η

ξ ρ ξ ξ ξ ξ ξη

ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + = + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

−= +

1 12 2

12

z

z

zS S S z zP p p p p

z

r zp pρ

η ρ ρρ ρ ξ

η ρ η η η η ξη

ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + = + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+= − +

将上列关系代入前面β 的表示式,经过整理有

22

2( ) .2z

p pz mm zp p z Fr m m

ρ ϕρ

αβ ρ ρ

ρ

= − + − + −

方括号中的部分是 Rung-Lenz矢量的 z分量,所以β对应于一个运动积分.

习题 2

对于题中给定的势场,用椭圆坐标表示时,有


271

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

1 2 1 22

1 2 1 2 1 2 2 1

1 2

1 2 1 22 2

( )( ) ( )( )2

2 21

r r r rUr r r r

r r r rr r

α α α α α α

α α α ασσ σ σ σ

α α α αξ η

ξ η σ σ

+ + + − −= + =

+ + − − = + + − = + −

与(48.21)相比,有

1 2 1 2( ) , ( ) .a bα α α αξ ξ η η

σ σ+ −

= =

代入(48.22),有相应的作用量为

22 1 2

2 2 2

22 1 2

2 2 2

2 ( )21 ( 1)

2 ( )21 (1 )

pmS m E d

pmm E d Et p

ϕ

ϕϕ

β σξ α ασ ξ

ξ ξ

β ση α ασ η ϕ

η η

− += + − +

− −

+ −− − − +

− −

∫

∫

下面考虑变量分离中涉及的守恒量β .前面的讨论表明,在椭圆坐标下,变量分离时,有

2 22 2 2 21

2

2 22 2 2 22

2

( 1) 2 ( ) 2 ( 1)1

(1 ) 2 ( ) 2 (1 )1

pdS m a m Ed

pdS m b m Ed

ϕ

ϕ

ξ σ ξ σ ξ βξ ξ

η σ η σ η βη η

− + − − + = −

− + − − + = − −

将上式中第一式乘以21 η− ,第二式乘以

2 1ξ − 再相减,即消去含 E的项,有

( ) ( )2 2 2 2 2 2 22

2

2

2 2

2 2

( 1)(1 ) 2 (1 ) ( ) ( 1) ( )

1 11 1

p p m a b

p

ξ

ϕ

ηβ ξ η ξ η σ η ξ ξ η

η ξξ η

− = − − − + − − − − −

+ − − −

即

( )

( )( )

2 2 222 2

2 2 2 2

22

2

2 2

2

( 1)(1 ) 2 (1 ) ( ) ( 1) ( )

21 1

mp p a b

p

ξ η

ϕ

ξ η σβ η ξ ξ η

ξ η ξ η

ηξξ

η

− − = − + − − − − −

+ −−

− −

(1)

柱坐标系和椭圆坐标的关系为

2 2( 1)(1 ) zρ σ ξ η σξη= − − =， ,

则可用柱坐标系下的动量 p /Sϕ ρ= ∂ ∂ 和 p /z S z= ∂ ∂ 表示椭圆坐标下的广义动量

p /Sξ ξ= ∂ ∂ 和 p /Sη η= ∂ ∂ ，有


272

2

2

2

2

1 ,1

1 ,1

z

z

S S S zp p pz

S S S zp p pz

ξ ρ

η ρ

ρ ησξ ση

ξ ρ ξ ξ ξ

ρ ξση σξ

η ρ η η η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −= = + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −= = + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −

另外,

ση

σξηξσηξσ

22)()( 2121

21rrrr

rr−

=+

=+=−= ，，， .

应用以上关系可得

( )2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2

2

2

2

( 1)(1 ) ( 1)(1 ) 11

11

( 1)(1 ) (1 )

)

2 ( 1)(1 )

( 2

z

z

z z

z

z

p p p p

p p

p p

p p

p z p zp p

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ ρ

ξ η

ξ η ξ η ησξ ση

ξ η ξ η ξ

ξση σξ

η

σ ξ η σ

σ ξη ξ η

σ ρ σ

ξ η

ρ

− − − − −− = + − − − − − − + −

= − − − + −

+ − −

= − + − +

(2)

( )

22 2

1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2

1 21

2 2

22 2

1 1

2 2

1 2

2 1

2

2 2

2 (1 ) ( ) ( 1) ( )

2 (1 ) ( 1)

1 12

4 424 4

2 cos cos

m a b

m

m

mr

m

r rr

r r

ξ

ση ξ ξ η

ξ η

α α α αση ξ

ξ η σ σ

σ α α

σ σσ α α

σ σ

σ α

η

ξη ξηξ η ξ η

θ α θ

− − − −

+ − = − − − − − +

= +

= +

+

+

=

−

+ − + −

(3)

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2

2 2 2 ( )( 1)(1 )1 1

z rη σ σ ξ η σ ρ σσ ξ ρξ η

ξη ρ

+ − − + − − −= = =

− −− − (4)

其中2 2r zρ= + 为球坐标系中的径向坐标.将（2）、（3）、（4）代入(1)式可得：

( )2

2 2 2 2 2 21 22

21 2( ) 2 2 ( cos cos )z z

pz p p r z p p mϕ

ρ ρβ σ ρ σ ρ σ α θ α θρ

= − − + − + + +

式中最后一项 1 1 2 22 ( cos cos )mσ α θ α θ+ 中的 1θ 、 2θ 是如图 55所示的角度.如图,由余弦定

理,有


273

2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 11 24 c(2 ) , (2 )os os ,4 cr r r rr rθ θσ σ σ σ− −= + = +

则有

2 2 2 2 2 21 2 1

1 21 2

24 4cos , cos4 4

r r r rr r

σ σθ θ

σ σ+ − + −

= =

β 的表示式可以改写为

22 2 2

1 1 2 22 2 ( cos cos ),p

p M m a aϕρβ σ σ θ θ

ρ

= + − + +

其中

2 22 2 2 2 2 2

2( ) 2z z

r pM p z p z p pϕ

ρ ρρ ρρ

= × = + + −r p

是质点相对于两个场中心连线中点的角动量的平方.注意,在柱坐标系中,有

0 0 0 0 0, ( ) ,z

pz m z p pϕ

ρρ ρ ρϕρ

= + = + + = + +r ρ k p ρ φ k ρ φ k& & &

其中 0ρ , 0φ , k分别是柱坐标系中各坐标轴方向的单位矢量, 于是

0 0( )zz p zp p pρϕ ϕρρ

= × = − + − +M r p ρ φ k

由此,有

22

2 22 2 2 2

2

2 22 2 2

2

2

2

2

2( )

( )2

2 .

z

z z

z z

zM p zp p

z pp z p z p p

r pp z p z p p

pϕ ϕ

ϕρ ρ

ϕρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ

ρ

ρ ρρ

ρρ

+

= − + − +

= + + −

= + + −

§49 绝热不变量

我们研究一个作一维有限运动的力学系统,某个参数λ可以确定系统本身或者系统所处外场的性质⑭. 假设参数λ在某个外因影响下随时间缓慢(绝热地)变化．缓慢的意思是在一个运动周期 T时间内λ的变化很小，即

.dTdtλ

λ= (49.1)

⑭ 为了简化公式,我们假设只有一个这样的参数,但是所有的结论对任意多个参数情况也成立.

批注 [x275]: 浸渐不变量

批注 [x276]: 浸渐


274

当λ为常数时，系统是封闭的且以常能量 E和确定周期 ( )T E 作严格周期运动．当λ变

化时，系统不是封闭的，能量不守恒．但是因为假设 λ变化缓慢，所以能量 E的变化速度也很小．如果按周期 T 平均这个速度，消去其中的“快”振动，则所得的值E决定了系统

能量的系统性缓慢的变化，可以确信，它正比于参数变化速度λ&．换句话说，按所给出的意

思理解的缓慢变化量E是λ的某个函数．E对λ的依赖关系可以写成E和λ的某种组合．在含有缓慢变换参数的系统运动过程中保持不变的量称为绝热不变量．

设 ( , , )H q p λ 是依赖于参数λ的系统的哈密顿函数．根据(40.5)，系统能量变化速度为

.dE H H ddt t dt

λλ

∂ ∂= =

∂ ∂ (49.2)

这个公式右端表达式仅仅依赖于慢变量λ，而且依赖于快变量 ,q p．为了分离我们感兴趣

的能量改变的系统性变化过程，应该按运动周期平均等式(49.2)．考虑到λ变化缓慢( λ&变化

也缓慢)，可以将λ&移到平均化符号之外：

.dE d Hdt dt

λλ

∂=

∂ (49.3)

在被平均的函数 /H λ∂ ∂ 中只将 ,q p看作变量，而λ不看作变量. 换句话说，在假设λ是给

定常数情况下对系统的运动平均．我们将平均值写成显式为

0

1 .TH H dt

Tλ λ∂ ∂

=∂ ∂∫

根据哈密顿方程 /q H p= ∂ ∂& ,有

./

dqdtH p

=∂ ∂

利用这个等式将对时间的积分换为对坐标的积分，并且周期 T写成

0,

/T dqT dt

H p= =

∂ ∂∫ ∫Ñ (49.4)

这里的 ∫Ñ 表示沿着坐标在一个周期时间内完整变化(“向前’’和“向后’’)的积分⑮．于是，

公式(49.3)的形式为

⑮如果系统的运动是转动，而坐标 q是某个转角ϕ ，则对ϕ 的积分应该是沿着“完整一圈”，即从零到2π .

批注 [x277]: 如果λ为常数

批注 [x278]: 具有常能量 E并

以确定的

批注 [x279]: 不再是

批注 [x280]: 仅缓慢变化

批注 [x281]: 率E&

批注 [x282]: 变化率,因而消

除

批注 [x283]: E& 确定了系统能量的平缓变化率，它正比于

参数的变化率λ&

批注 [x284]: 在这种意义上所

取的

批注 [x285]: 将是

批注 [x286]: 组合等于常数的

形式

批注 [x287]: 缓变

批注 [x288]: 这个


批注 [x290]: 的变化率

批注 [x291]: 不仅仅

批注 [x292]: 缓变

批注 [x293]: 为了确定能量的

平缓变化,按照上面的讨论,

批注 [x294]: 对如果λ保持不

变时系统将发生的运动取平

均.

批注 [x295]: 化

批注 [x296]: 或者

批注 [x297]: 对时间的积分因

而可以

注:不另起一段

批注 [x298]: 符号

批注 [x299]: 对

批注 [x300]: 范围的

批注 [x301]: 变为


275

( H/ )dq / ( H/ p)

.dq/( H/ p)

dE ddt dt

λλ ∂ ∂ ∂ ∂=

∂ ∂∫

∫Ñ

Ñ (49.5)

前面已经指出过，这个公式中的积分应该沿着λ作为给定常数时运动轨迹．沿着这个轨迹哈密顿函数保持常值E，而动量是坐标 q 和两个独立参数E，λ的确定函数．将动量当

作函数 ( ; , )p q E λ 并将等式 ( , ; )H p q Eλ = 对参数λ求导，得

0H H ppλ λ

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

或者

//

H pH p

λλ

∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂.

将此式代入(49.5)上面的积分并将下面积分的被积函数写成 ( / )p E∂ ∂ ，有

( / ),

( / )

p dqdE ddt dt p E dq

λλ ∂ ∂= −

∂ ∂∫∫ÑÑ

或者

0.p dE p d dqE dt dt

λλ

∂ ∂+ = ∂ ∂

∫Ñ

这个等式最后可以写成

0,dIdt

= (49.6)

其中 I 表示沿着当给定E , λ时的运动轨迹的积分 1 .

2I pdq

π= ∫Ñ (49.7)

这个结果表明，当参数λ变化时，在所研究的近似中 I保持常数，即 I 是绝热不变量． I 是系统能量(和参数λ )的函数，它对能量的偏导数确定运动周期：根据(49.4)，有

2 ,I p dq TE E

π∂ ∂

= =∂ ∂∫Ñ (49.8)

或者

,EI

ω∂

=∂

其中 2 / Tω π= 是系统振动频率．如果利用系统相空间的概念，可以给积分(49.7)以明显的几何意义．在给定情况下(一个自由度)，相空间化为坐标系 ,p q，而周期运动系统的相轨迹是这个平面上的封闭曲线．沿着这条曲线的积分(49.7)是该曲线所包围的面积．它可以写成对面积的二重积分

1 .2

I dpdqπ

= ∫∫ (49.10)

作为例子，我们来确定一维振子的绝热不变量．它的哈密顿函数为

批注 [x302]: λ为给定常数的运动轨道进行

批注 [x303]: 轨道

批注 [x304]: 变化的坐标

批注 [x305]: 常参数

批注 [x306]: 因此,将

批注 [x307]: 方程

批注 [x308]: 注: 不另起一段

批注 [x309]: 的分子中

批注 [x310]: 分母中的

批注 [x311]: E, λ 给定的运动轨道

批注 [x312]: 在这里所考虑的

近似下


批注 [x314]: 系统的

批注 [x315]: 轨道

批注 [x316]: 积分(49.7)有

批注 [x317]: 在所考虑的一个

自由度的情况下

批注 [x318]: 退化为有坐标

p,q的二维空间(即平面)

批注 [x319]: 轨道

批注 [x320]: ,它也可以写为

面积分的形式



276

2 2 2,

1 12 2

H p m qm

ω= + (49.11)

其中ω是振子的固有频率．相轨迹方程由能量守恒定律给出：

( , )H p q E= .

这是半轴为 (2mE) 和 2(2 / )E mω 的椭圆，它的面积(乘以2π )为

/I E ω= (49.12) 这个绝热不变量意味着，当振子的参数缓慢变化时，能量和频率成正比.

§50 正则变量

下面设参数λ为常数，因此系统是封闭的．

我们选择 I 作为新的“动量”，做变量 ,q p的正则变换．这时表示为 ,q I的函数的“缩

短作用量” 0S 就是母函数．事实上， 0S 定义为给定 E(和λ )时的积分

0 ( , ; ) ( , ; ) .S q E p q E dqλ λ= ∫ (50.1)

但是，对于封闭系统，I只是能量的函数，所以 0S 可以表示成函数 0 ( , ; )S q I λ 的形式，偏导

数 0( / )E pS q =∂ ∂ 等于 I为常数时的偏导数 0( / )IS q∂ ∂ .所以有

0 ( , ; ) ,S q Ipq

λ∂=

∂ (50.2)

相应于正则变换(45.8)中第一个公式．第二个公式确定新“坐标”，我们用 w表示：

0 ( , ; ) .S q IwI

λ∂=

∂ (50.3)

I和 w是正则变量，I称为作用变量，w称为角变量．

由于母函数 0 ( , ; )S q I λ 不显含时间，所以新的哈密顿函数 'H 与老的H相同．换句话说，

'H 是以作用变量的函数表示的能量 E(I)．相应的哈密顿方程为

( )0, .dE II w

dI= =& & (50.4)

由第一个方程得 I=const，即 I 和能量都是常数．由第二个方程可知，角变量是时间的线性函数：

const ( ) const,dEw t w I tdI

= + = + (50.5)

这是振动相位．

作用量 0 ( , )S q I 是坐标的非单值函数．每经过一个周期，这个函数不回到原来的值，而

批注 [x322]: 轨道

批注 [x323]: 除

批注 [x324]: I 的浸渐不变性

批注 [x325]: 所讨论的系统

批注 [x326]: 做变量 q, p的正

则变换, 选取 I作为新的“动

量”.

批注 [x327]: 简约

批注 [x328]: 能量E和参数λ

批注 [x329]: 完全同等地表示

批注 [x330]: 0( / )ES q∂ ∂

批注 [x331]: 因此

批注 [x332]: 这相

批注 [x333]: 变量 I和 w称为

批注 [x334]: 就是用新变量表

示的老的H ．

批注 [x335]: 表示为作用变量

的函数

批注 [x336]: 相应地,正则变

量的

批注 [x337]: 正如本该如此的

那样,第一个方程表明 I是常

数. 能量是常数, I也是常数.

注:不另起一段

批注 [x338]: ( ) const,I tω= +

注:第二个等号后的w应改为ω

批注 [x339]: 多值


277

是有一个增量

0 2S Iπ∆ = , (50.6)

从(50.1)和 I的定义(49.7)来看这是很显然的. 在同样的时间内，角变量的增量为

00 2 .Sw S

I Iπ

∂ ∂∆ = ∆ = ∆ =∂ ∂

(50.7)

相反地，如果我们用 ,I w表示 ,q p (或者它们的单值函数 ( , )F q p )，则 w变换 2π (I为

给定值)时，这些函数的值不变．换言之，用这正则变量 ,I w表示的 ( , )F q p 是 w的周期为2π

的函数．

对于参数λ随时间变化的非封闭系统，运动方程也可以用正则变量 ,I w表示．以积分

(50.1)定义、用(49.7)确定的 I表示的 0S 为母函数，按公式(50.2)和(50.3)可以实现到这些变量

的变换．这时计算不定积分(50.1)和定积分(49.7)就如同参数 ( )tλ 是常数，就是说，将函数

0 ( , ; ( ))S q I tλ 中参数λ看作常数进行计算，然后再用给定函数 ( )tλ 代替回来⑯．

因为现在母函数(以及参数λ )显含时间，新哈密顿函数 'H 与老哈密顿函数不同，即与

能量 ( )E I 不同．根据正则变换一般公式(45.8)有

0' ( ; ) ( ; ) ,SH E I E It

λ λ λ∂

= + = + Λ∂

& (50.8)

其中引入了记号

0

,q I

St

∂ Λ = ∂ (50.9)

并且Λ应该根据公式(50.3)用 I 和w表示. 现在哈密顿方程为

,

' ,I

HIw w λ

λ∂ ∂Λ = − = − ∂ ∂

&& (50.10)

,

' ( ; ) ,w

Hw II I λ

ω λ λ∂ ∂Λ = = + ∂ ∂

&& (50.11)

其中 ( / )E I λω = ∂ ∂ 是振动频率(就像λ是常数那样计算).

习题

习题对频率依赖于时间的简谐振子(哈密顿函数(49.11))写出用正则变量 ,I w表示

⑯然而，需要强调的是，按这种方式确定的函数 0S 已经不是哈密顿函数显含时间的系统的真实简约作用量!

批注 [x340]: .

批注 [x341]: 用正则变量 I,w

表示 q,p,或者它们的任何单值函数 ( , )F q p ,

批注 [x342]: 增加2π (I不变)

批注 [x343]: 保持不变

批注 [x344]: 删去

批注 [x345]: 的任何单值函数

批注 [x346]: 周期函数

批注 [x347]: 由积分(50.1)定

义并用积分(49.7)给定的变量

I

批注 [x348]: 仍然可以

批注 [x349]: 就如同参数

( )tλ 有已知的固定值时那样

计算不定积分(50.1)和定积分

(49.7)

批注 [x350]: 0 ( , ; ( ))S q I tλ

是先前参数λ为常数时的母函数，但最后用给定函数

( )tλ 代替了常参数λ .

批注 [x351]: 象参数λ一样

批注 [x352]: 与老哈密顿函数

(即能量 ( )E I )不同

批注 [x353]:

0

,q I

Sλ

∂ Λ = ∂

批注 [x354]: 这里在对λ微分后,

批注 [x355]: , 也是如同λ是常数时那样计算的.

批注 [x356]: 函数为


278

的运动方程．

解：在(50.1)—(50.3)中所有的作用量都是在λ (在本题中它就起频率ω的作用)为常

数时计算的，因此 ,q p与w的关系同定常频率(w tω= )一样：

2

2 2sin sin ,E Iq w wm mω ω

= = 2 cos .p I m wω=

由此得

20

,

2 cos .I w

qS pdq p dw I wdww

∂ = = = ∂ ∫ ∫ ∫

然后有

0 0 sin 2 .2qI

S S w I wwω ω ω

∂ ∂ ∂ Λ = = = ∂ ∂ ∂

方程(50.10)和(50.11)写成

cos2 , sin 2 .2

I I w w wω ωω

ω ω= − = +

& && &

习题详细推导过程习题

解：先考虑λ (在现在的情况下λ为频率ω )是常数的情况.由(49.11),即

2 2 21 12 2

H p m qm

ω= + (1)

可得相应的正则方程为

2, ,H p Hq p m q

p m qω

∂ ∂= = = − = −

∂ ∂& &

消去 p,有

0,q qω+ =&&

故有解为

sinq A tω= , cosp m A tω ω= ,

这里将初位相取为零了.考虑到能量是守恒的,将上述结果代入H E= 的表示式可得

2

2 EAmω

=

于是,有

22 sin ,Eq t

mω

ω= 2 cos .p mE tω= (2)

由(49.2)知,用正则变量 ,I w表示时,

H E Iω= =

批注 [x357]: 因为在(50.1)—

(50.3)中的所有运算都是对

常数λ (在现在的情况下λ为频率ω自身)进行的，因此

,q p与w的关系与频率不变(w tω= )时有相同的形

式：

批注 [x358]: 其中的

,I w

qw

∂ ∂

应为

,I

qw ω

∂ ∂

批注 [x359]:

0

,q I

Sω

∂ Λ = = ∂

注:中译本第一个等号后的表

示式少了角标

批注 [x360]: 于是, 方程

(50.10)和(50.11)变为


279

相应于角变量w的正则方程为

HwI

ω∂

= =∂

&

故有

w tω= .

综合上面的讨论可以看出,用正则变量 ,I w表示 q,p时,有

2 sin ,Iq wmω

= 2 cos .p I m wω= (3)

现在考虑λ随时间变化的情况.因为在(50.1)—(50.3)中的所有运算都是对常数λ (即

不变的ω )进行的，因此 ,q p与w的关系与频率不变时有相同的形式(3).但是现在w与ω的关系是(50.11),不再是w tω= .利用(3),根据(50.1),有

2

0,

2 cos .I

qS pdq p dw I wdww ω

∂ = = = ∂ ∫ ∫ ∫ (4)

又由(50.9),以及 0S 通过w与ω有关(见(4)式),则有

0 0

, qq I I

S S wwω ω

∂ ∂ ∂ Λ = = ∂ ∂ ∂ (5)

再利用(3)的第一式,有

3/22 1 20 sin cos2q q

q I I ww wm m

ωω ω ω

−∂ ∂ = = − + ∂ ∂ ,

由此可得

1

2tan

q

wwω ω

∂ = ∂ .

代入前面的表示式(5),有

sin 2 .2I wω

Λ = (6)

将(6)代入(50.10),有

,

2cos 2 cos22I

II w I ww ω

ωω ω

ω ω∂Λ = − = − = − ∂

&& & & .

再将(6)代入(50.11),有

,

sin 2 .2w

w wI ω

ωω ω ω

ω∂Λ = + = + ∂

&&&

§51 绝热不变量守恒精确性

利用运动方程(50.10)可以再次证明作用变量的绝热不变性．

批注 [x361]: 浸渐不变量守恒

的准确度

注:这里按物理学名词处理

批注 [x362]: 利用(50.10)形式

的运动方程可以进一步证明

作用变量是浸渐不变量．


280

函数 0 ( , ; )S q I λ 是 q的非单值函数，当坐标变化回到初始值时， 0S 增加2 Iπ ⑰．在(50.9)

中求导是在 I 为常值时进行的， 0S 的增量为零，因此这个导数是单值函数．像所有的单值

函数一样，Λ由角变量 w表示并且是它的周期函数．周期函数的导数 / w∂Λ ∂ (对周期)的平

均值等于零．所以平均方程(50.10)并将λ&移出平均符号(λ的变化缓慢)，可得

0,I

Iw

λ∂Λ = − = ∂

&& (51.1)

于是结论得证⑱．利用运动方程(50.10)和(50.11)可以研究绝热不变量守恒的精度．我们将这个问题提成如

下形式：设当 t → −∞和 t → +∞时，参数 ( )tλ 趋向于定常极限值λ−和λ+，绝热不变量的

初值 I−给定(当 t → −∞时)，我们求 t → +∞时的增量 I I I+ −∆ = − .

由方程(50.10)有

.I dtw

λ+∞

−∞

∂Λ∆ = −

∂∫ & (51.2)

前面已经证明过Λ是变量 w的周期函数(周期为2π )，我们将它展开为傅里叶级数：

ilwl

le

∞

=−∞

Λ = Λ∑ (51.3)

(由于Λ为实数，展开式的系数满足关系 *l l−Λ = Λ ).由此得⑲

1

2 Re .ilw ilwl l

l lile ile

w

∞ ∞

=−∞ =

∂Λ= Λ = Λ

∂ ∑ ∑ (51.4)

当λ&足够小时，导数w& 是正的(它的符号与ω一致，参见(50.11))，即w是时间的单调函

数．因此在将(51.2)从对 t积分变换为对w积分时，积分限不变，即

.d dtI dww dt dw

λ+∞

−∞

∂Λ∆ = −

∂∫ (51.5)

⑰ [补充说明](50.6)表示经过一个周期,坐标变化回到初始值时 0S 增加2 Iπ .但是这里并没有指明是经过几

个周期坐标变化回到初始值,故 0S 应增加2 Iπ 的整数倍,该整数就是所历经的周期数. ⑱ 角变量w在浸渐过程中的行为由 J. Hannay给出,现称为Hannay角. 参见 J. Hannay, Angle variable holonomy in adiabatic excursion of an integrable Hamiltonian, J. Phys. A: Math. Gen 18 (1985) 221; M. V. Berry, Classical adiabatic angles and quantum adiabatic phase, J. Phys. A: Math. Gen 18 (1985) 15.—译校者注 ⑲ [过程补充]将求和分为两部分并利用系数所满足的关系,有

1 1 1 1

1

*

1 1 1 1

*

( )

( ) 2Re .

ilw ilw ilw ilw ilwl l l l l

l l l l l

ilw ilw ilw ilw ilwl l l l

l l l l ll

ile ile ile ile il e

ile il e ile ile ile

∞ ∞ −∞ ∞ ∞−

−=−∞ = =− = =

∞ ∞ ∞ ∞ ∞−

= = = = =

Λ = Λ + Λ = Λ + − Λ

= Λ + − Λ = Λ + Λ = Λ

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

批注 [x363]: 不是 q的

批注 [x364]: 2 Iπ 的整数倍．

批注 [x365]: 然而,导数(50.9)

是单值函数,因为求导是在 I

为常值时进行的， 0S 的增量

不出现于求导结果中

批注 [x366]: 任何

批注 [x367]: 当Λ用角变量w表示时是一个周期函数

批注 [x368]: 删去

批注 [x369]: 删去

批注 [x370]: 对方程(50.10)取

平均

批注 [x371]: 值之外(当λ仅

缓慢变化时)


批注 [x373]: 准确度

批注 [x374]: 可以将这个问题

表述如下


( t → −∞时)的初值 I−给定

批注 [x376]: 删去

批注 [x377]: 删去

批注 [x378]: 的符号相同

批注 [x379]: 时间 t


281

将(51.4)代入此式并将w在形式上看作复变量来进行积分变换．假设被积表达式对于实值w没有奇点，将积分路径从实轴w移到上半平面．这时回路绕过被积表达式的奇点“连接”，如图 56所示．

设 0w 是接近实轴的奇点，即虚部(正数)最小的奇点．在积分(51.5)中这个点的邻域的贡

献是主要的,并且级数(51.4)的每一项给出包含乘子 0exp( Im )l w− 的贡献。仍然保留绝对值

最小的负指数项(即 1l = 的项)，可得⑳

0exp( Im ).I w∆ ∼ − (51.6)

设 0t 是相应于点 0w 的时刻(复数!)： 0 0( )w t w= .一般来说， 0| |t 的量级与系统参数变化

的特征时间相同，我们用τ表示这个时间21．在(51.6)中指数的量级为

0Im / T.w ωτ τ: : (51.7)

按照假设， Tτ ? ，因此这个指数很大．于是 I I+ −− 随着系统参数变化速度减小而指数衰

减22．

为了确定 /T τ 的一阶近似下的 0w (即在指数中只保留( ) 1/T τ−量级的项)，可以在方程

(50.11)中略去含λ&的小量，即写成

( , ( )),dw I tdt

ω λ= (51.8)

并且假设函数 ( , ( ))I tω λ 的自变量 I是常数，等于 I− . 那么

⑳ 在特殊情况下，展开式(51.4)中可能不包含 1l = 的项(例如,参见本节后面的习题 1). 在任何情况下都必须

取级数中出现的 l为最小值的项． 21如果参数λ变化的缓慢性仅可通过比值 /tξ τ= 表示为对时间 t的依赖关系,其中τ 很大，则 0 0t τξ= ，

其中 0ξ 是函数 ( )λ ξ 不依赖于τ 的奇点． 22应该指出，如果函数 ( )tλ 的初值和终值相等( λ λ− += )，则不仅 I∆ 是指数小量，而且根据公式(49.9)，

能量的终值和初值之差 E E E Iω+ −∆ = − = ∆ 也是指数小量．

图 56

批注 [x380]: 函数

批注 [x381]: 的

批注 [x382]: 移到该复变量 w

的

批注 [x383]: 函数

批注 [x384]: ,形成围绕奇点

的环路

批注 [x385]: 最接近

批注 [x386]: 有最小(正的)虚

部

批注 [x387]: 因

批注 [x388]: 又仅保留负指数

有最小量值的

批注 [x389]: 奇点

批注 [x390]: 于是,差值

批注 [x391]: 的变化率

批注 [x392]: 确定关于

批注 [x393]: 小量项

批注 [x394]: 将函数( , ( ))I tω λ 的自变量 I取为

一个常数值，比如


282

0

0 ( , ( )) .t

w I t dtω λ= ∫ (51.9)

(积分下限可以取任意实数值 t，我们感兴趣的 0w 的虚部与这个值无关)23.

由(51.8)得到的w& (并取 / w∂Λ ∂ 的级数中的一项)，积分(51.5)变为

Re .( , )

iw dwI ieI

λω λ

∆ ∼ ∫&

(51.10)

由此可见，作为竞争奇点(当选择接近实轴的奇点时)，需要考虑函数λ&和1/ ( )tω 的奇异性(极

点、分叉点)．从这个关系式可知， I∆ 为指数小量的结论是与上述函数没有奇点的假设相关

的．

习题习题 1 设简谐振子的频率按规律

2 2

011

t

taee

α

αω ω+

=+

从 t → −∞时的值 0ω ω− = 到 t → ∞时的值 0aω ω+ = ( 00,a α ω> = )变化,试分析 I∆ 的

量级24．

解：将参数λ理解为频率ω，有

1 .

2 1t t

ae a eα α

λ αω − −

= − + +

&

当 1te α− = − 和 te aα− = − 时，这个函数有奇点．计算积分 dtω∫ ，求出由奇点 0 ln( )t aα = − −

得到的 0Im w 的最小值

0

00

/ ( 1)Im

/ ( 1).

aw

a a

ω π α

ω π α

>= <

对于简谐振子， sin 2wΛ ∼ (参见§50的习题)，所以级数(51.3)化为两项( 2l = ± )，因此

0exp( 2 Im ).I w∆ ∼ −

习题 2 质点在势能阱中振动．试求在摩擦力 tpf xα= − &作用下能量变化规律，其中系

数α是很小，x为笛卡儿坐标.

解：按振动周期平均方程(25.13)，在一阶近似中忽略阻尼．有

23这些论点的更详细的证明以及(51.6)中指数的系数的计算可参见论文：Cлуцкин A. A. жЗТФ. 1963. T45.

C978; A. A. Slutskin, Motion of a one-dimensional nonlinear oscillator under adiabatic conditions, Soviet Physics JETP. 1964. 18. 676. 24振子的简谐性反映在振动频率不依赖于能量．

批注 [x395]: 因为它对所要求

的 0w 的虚部没有影响

批注 [x396]: 并取级数(51.4)

中的一项作为 / w∂Λ ∂

批注 [x397]: 关于最接近实轴

而需要考虑的奇点是函数λ&

和1/ ( )tω 的奇点(极点、支

点)

批注 [x398]: 这里需要记住的

是,

批注 [x399]: 实奇点

批注 [x400]: 缓慢变化

批注 [x401]: 估算 I∆

批注 [x402]: 频率ω自身取为参数λ

批注 [x403]: 极点

批注 [x404]: 我们发现 0Im w

的最小值来自于极点之一

0 ln( )t aα = − − ,且为

批注 [x405]: 约化

批注 [x406]: 势阱

批注 [x407]: 删去


283

2 2 2

0

2 ( ),TdE x x dt x dt I E

dt T T mTα α πα

α= − = − = − = −∫ ∫& & &Ñ

其中 ( )I E 是绝热不变量，m是质点的质量．根据(49.8)，用 I表示振动周期T，求得

.dI d E Idt md E

α= −

积分得

0( ) ( ) exp .I E I E tmα = −

这个公式隐式给出了 ( )E t ．对于简谐振子，这个公式变为(25.5).这个解在 / 1T mα = 的条

件下成立.


习题 1 解：将频率ω自身取为参数λ，则将题中给出的频率表示式对时间求导数,有

( )

( )20 2

12

1 1

t tt

t t

e aea ee e

α αα

α α

ααωω ω

+ = − + +

&

再消去20ω ,有

12 1 1

t t

t ta e e

ae e

α α

α α

ω α αω

= − + +

&

即

1 .2 1t t

ae a eα α

λ αω − −

= − + +

& (1)

当 1te α− = − 和 te aα− = − 时，这个函数有极点．计算积分 dtω∫ ，

( ) ( )0

02 2ln 1 1 l

1

n (1

1

) 1t

t

t t

t

t

ae

at e ae a e e

t de

a

d t

α α

α

α

α

α

ω

α α

ω

ω

+

− + +

=+

= + + + + +

∫ ∫ (2)

但是0

0

tw dtω= ∫ ,现在有两个极点,相应有两个 0t ,需要分别讨论,找出使得 0w 有最小虚部

0Im w 的 0t 以及对应的值.

(i) 对于 1te α− = − 相应的极点,有 0 ln( 1)tα = − − ,利用(2)有


批注 [x409]: 隐含地确定


284

( ) ( )0

0 01 2 2ln( 1) ln 1 ln 1

t aad aw tα α α

ω ω= − − − − + −

=

∫

如果 1a < ,上式右边仅有第一项中含有虚部.为了使虚部是正的,则取 1 ie π−− = ,相应有

00Im ( 1)w aω π

α= < (3a)

如果 1a > ,则有

( ) ( )i /2 i /20 0

2 2ln e |1 | ln e |1 |aiw a aπ ππα α

ωα

− − + −

=

,

于是,有

00Im ( 1)aw aω π

α= > (3b)

(ii) 对于 te aα− = − 相应的极点,有 0 ln( )t aα = − − ,利用(2)有

( )0

0 01 2 1 2ln( ) ln 1 ln 1

t aa aa

w dtωα

ωα α

− − − −= = + −

∫

因为 0a > ,如果 1a > ,上式右边仅有第一项中含有虚部.为了使该虚部是正的,则取

ia e aπ−− = ,由此

00Im ( 1)w aω π

α= > (4a)

如果 1a < ,则有

( )i /2 i /20 0

1 2 1 2ln ln e 1 ln e 1w ai a aa

π πωπα α α α

− − − + −

= ,

故有

00Im ( 1)aw aω π

α= < (4b)

将(3a)与(4b)以及(3b)与(4a)分别比较可以看出,极点 0 ln( )t aα = − − 相应的 0Im w 有

最小值,即该极点离实轴最近. 综合前面的结果,与极点 0 ln( )t aα = − − 对应的 0Im w 为

0

00

/ ( 1)Im

/ ( 1).

aw

a a

ω π α

ω π α

>= <

对于简谐振子， sin 2wΛ ∼ (参见§50 的习题)，所以级数(51.3)化为两项( 2l = ± )，因此

根据前面的讨论以及上式,有


285

00

0

exp( 2 / ) ( 1)exp( 2 Im )

exp( 2 / ) ( 1).

aI w

a a

ω π α

ω π α

− >∆ ∼ − − <

:

习题 2 (略)

§52. 条件周期运动

我们研究多自由度封闭系统的有限运动(所有坐标都是有限的).假设可以用哈密顿-雅可

比方法完全分离变量. 这就是说, 适当选取坐标可以使缩短作用量写成

0 ( )i ii

S S q= ,∑ (52.1)

其中每个函数都依赖于一个坐标.

因为广义动量为

0 ii

i i

S dSpq dq

∂= = ,

∂

所以每个函数 iS 都可以写成

i i iS p dq= .∫ (52.2)

这些函数是非单值的.根据运动有限性,每个坐标在确定的有限时间段内都只能取有限值.当

iq 在此时段内“向前”和“向后”变化时,作用量获得增量为

0 2i iS S Iπ∆ = ∆ = , (52.3)

其中 iI 是沿着 iq 变化计算的积分25

1

2i i iI p dqπ

= .∫Ñ (52.4)

现在进行类似于前一节对于一个自由度系统所做的正则变换.新变量是“作用变量” 和

“角变量”

0 ( ) ( )k ki

ki i

S q I S q IwI I

∂ , ∂ ,= = ,

∂ ∂∑ (52.5)

其中母函数是写成坐标和 iI 的函数形式的作用量,运动方程

25但是,应该强调指出,这里所指的是坐标 iq 在其整个允许值范围内形式上的变化,不是像一维运动情况那样

在实际运动周期内的变化.多自由度系统实际的有限运动,在一般情况下不仅整个运动不是周期的,而且甚至

每个坐标单独随时间的变化也不是周期的(见下文).

批注 [x410]: 并假设用哈密顿

-雅可比方法变量可以完全分

离

批注 [x411]: 简约作用量可以

写为如下函数之和的形式

批注 [x412]: 都仅

批注 [x413]: 这些函数是多值

函数

注:不另起一段

批注 [u414]: 都只能在有限范

围内取值.当 iq 在此范围内

“向前”和“向后”变化时,

批注 [u415]: 沿着刚提到的

iq 的

批注 [u416]: §50

批注 [x417]: 还是表示为

批注 [x418]: . 这些变量的运

动方程是


286

( )0 ii

i

E IwI I

∂= , =

∂& &

给出

iI const= , (52.6)

( )

ii

E Iw t constI

∂= + .

∂ (52.7)

类似(50.7)可得,坐标 iq 的完整变化(“向前”和“向后”)对应于相应的 iw 变化 2π 26:

2iw π∆ = . (52.8)

也就是说, ( )iw q I, 是坐标的非单值函数,当坐标变化返回到初值时,它可能改变了 2π 的整数

倍.这个性质也决定了函数 ( )iw p q, (用坐标和动量表示)在相空间中的性质. 既然用 q p, 表

示的 iI 是这些变量的单值函数,则将 ( )iI p q, 代入 ( )iw q I, ,可得函数 ( )iw p q, ,它在相空间中

沿着任意封闭曲线可能改变2π 的整数(或者零)倍.

由此可得,系统状态的任何单值函数 ( )F q p, 27,用正则变量 I w, 表示后,都是角变量的周

期函数,并且周期为2π .这个函数可以展开成傅里叶级数形式

1 2

1

1 1exp[ ( )]s

s

l l l s sl l

F A i l w l w∞ ∞

=−∞ =−∞

= + +∑ ∑ LL L

( 1 2 sl l l, , ,L 是整数).将角变量作为时间的函数代入,可得F 对时间的依赖关系

1 2

1

1 21 2

exps

s

l l l sl l s

E E EF A it l l lI I I

∞ ∞

=−∞ =−∞

∂ ∂ ∂ = + + + . ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ LL L (52.9)

26 [过程补充]由(52.5),

( )

0 ( ) ( )

( ) (2 ) 2I

k ki

ki i

k k

k k

k

i i

S q I S q IwI I

S q II I

ππ

∂ , ∂ ,∆ = ∆ = ∆ ∂ ∂

∂∆ , ∂= = = .

∂ ∂

∑

∑ ∑

其中利用了(52.3)以及 /k i kiI I δ∂ ∂ = .

27因为相差2π 整数倍的ϕ 对应于系统的同一个状态,所以“转动坐标”ϕ (参见§49的第二个脚注)与系统

状态的关系不是一一对应的.因此,如果在坐标q中有这样的角ϕ , 则在函数 ( )F q p, 中所包含的ϕ ,只能

是形如sinϕ 或者cosϕ的表达式,这样的表达式与系统的状态之间的关系是一一对应的.

批注 [x419]: 它们给出

批注 [x420]: 也可得

批注 [x421]: 删去

批注 [x422]: 多值

批注 [x423]: 并回到

批注 [x424]: iw

批注 [x425]: 也可以表达为用

坐标和动量表示的函数

( )iw p q, 在系统的

批注 [x426]: 删去

批注 [x427]: 在相空间中沿着

任意封闭曲线绕行一周,它

批注 [x428]: 可见

批注 [x429]: 如果用正则变量I w, 表示, 是

批注 [x430]: 对每个变量的周

期均

批注 [u431]: 多重傅里叶

批注 [x432]: 删去

批注 [x433]: ,由下面形式的

和给出


287

这个和中的每一项都是时间的周期函数,其频率

1 1 s sl w l w+ + ,L (52.10)

是基频

ii

EwI

∂=

∂ (52.11)

的整数倍之和.既然所有频率(52.10)一般不是某一个频率的整数(或有理数)倍,则整个和(52.9)

不是严格的周期函数.特别地,坐标 q和 p本身就不是周期函数.

因此,系统的运动,无论作为整体还是某个坐标,一般不是严格周期的,这就是说,如果系统

经过某个状态,那么系统在任意长的有限时间内都不会重新经过这个状态.但是可以肯定,在

足够长的时间内,系统会无限接近这个状态.由于这个性质,这种运动称为条件周期运动.

在很多特殊情况下,基频 iw 中有两个(更多个)可以相约(在 iI 取任意值的情况下),这种情

况称为存在退化.如果所有 s个频率相约,则系统的运动称为完全退化.显然,在后一种情况下,

运动是严格周期的,所有质点的轨迹都是封闭的.

首先,存在退化导致系统能量所依赖的独立变量( iI )的数量减少.设两个频率 1w 和 2w 满

足关系

1 21 2

,E En nI I

∂ ∂=

∂ ∂ (52.12)

其中 1n 和 2n 是整数.由此可得, 1I 和 2I 以 1 1 2 2n I n I+ 的形式出现在能量中28.

退化运动最重要的特性是,单值的运动积分数目与非退化的一般情况(等于自由度)相比

增加了.在非退化情况下,在 (2 1)s − 个运动积分中有 s个系统状态函数是单值的,例如 s个 iI

就是完全的一组.其余的 1s − 个积分可以写成

i kk i

E Ew wI I

∂ ∂− .

∂ ∂ (52.13)

由公式(52.7)直接可以得出这些差是常数29,但是由于角变量的非单值性,这些差不是系统状

28 [补充说明]当 2 1 1 2( )E E n I n I= + 时,显然有

21 1

2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

2 1 1 2 2 1 1 2

( ) ( ) ( ) ,( ) ( )

E n I n I n I n I E n I n IE nI n I n I I n I n I

∂ + ∂ + ∂ +∂= =

∂ ∂ + ∂ ∂ +

2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 21

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

( ) ( ) ( ) .( ) ( )

E n I n I n I n I E n I n IE nI n I n I I n I n I

∂ + ∂ + ∂ +∂= =

∂ ∂ + ∂ ∂ +

由此,(52.12)成立. 29 因为

批注 [u434]:

1 1 s sl lω ω+ + ,L

批注 [u435]: i

i

EI

ω∂

=∂

批注 [x436]: 删去

批注 [x437]: 对任一

批注 [u438]: 删去

批注 [u439]: 任意

批注 [u440]: iω

批注 [u441]: (或更多个) 在

iI 取任意值时是可公度的,

这称之为简并.如果所有 s个频率是可公度的,则系统的运

动称为完全简并.

批注 [u442]: 轨道

批注 [u443]: 简并

批注 [u444]: 1ω 和 2ω

批注 [x445]: ,则由此可见,

批注 [x446]: 仅以和

2 1 1 2n I n I+

批注 [u447]: 简并运动最重要

的特性是,单值的运动积分数

目与有相同自由度的一般非

简并系统的运动积分数目相

比增加了.在非简并情况下,在(2 1)s − 个运动积分中仅有

s个系统的状态函数是单值

的,例如 s个 iI 可以是这样的

单值运动积分,其余的 1s − 个

积分可以写成差的形式


288

态的单值函数.

存在退化时情况就不同了.例如,根据关系式(52.12),积分30

1 2 2 1w n w n− (52.14)

尽管是非单值的,但是非单值性归结为增加 2π 的任意整数倍.所以只要选取这些量的三角函

数就可以得到新的单值运动积分.

在场U rα= − / 中的运动(见本节习题)就是退化运动的例子.正是存在退化导致系统出

现新的特别的单值运动积分(15.17),而系统的两个通常单值运动积分(假设是平面运动),即动

量矩M 和能量 E ,是任何有心力场中的运动都有的.

我们会发现,出现附加单值积分反过来使退化运动具有一个特性:退化运动不只是在一

种确定的坐标选择下可以完全分离变量31.事实上,用可以分离的变量表示的 iI 是单值运动积

分. 但是存在运动退化时,单值运动积分数大于 s ,所以作为 iI 的运动积分的选择不是唯一的.

以开普勒运动为例,在球坐标和抛物线坐标下都可以分离变量32.

在前一节已经证明,在一维有限运动中作用变量是绝热不变量.对于多自由度系统这个结

论也正确.直接推广§51介绍的方法就可以证明.

对于含参数 ( )tλ 的多维系统,正则变量 I w, 写出的运动方程,给出类似于(50.10)的每个

变量 iI 的变化速度表达式

ii

I wλ

∂Λ= − ,

∂&& (52.15)

其中 0( ) IS λΛ = ∂ / ∂ .这个等式的平均化应该在大于系统周期的时间间隔内进行,并且在这个

时间间隔内参数 ( )tλ 变化很小.这时λ&可以移到平均符号之外.在平均 iw∂Λ / ∂ 时,我们认为

( ) ( )i i

0,

k k i i k k i

i k k i

kk i

d E E d dw w w w w wdt I I dt dt

w w

w ww w

ω ω ∂ ∂

− = − = − ∂ ∂ = − =

& &

&& &&

其中最后一个等号利用了(52.7),于是 ( ) ( )i / /k k iw E I w E I∂ ∂ − ∂ ∂ 是运动积分. 30 (52.14)原文误为 1 2 2 1w n w n− ——译校者注

31这时我们不考虑形如 1 1 1 2 2 2( ), ( )q q q q q q′ ′ ′ ′= = 的这种平凡变换.

注:俄文本和中译本这里均有错误

32 [补充说明]在§48的(48.8)中令 ( ) , ( ) 0a r brα

θ= − = , 后面的表示式中相应地作此代换就得到开普

勒运动在球坐标下的变量分离的结果. 在§48习题 1中作代换 0,F α α= → − ,则有a b α= = − ,由此可得到开普勒运动在抛物线坐标下也可以变量分离.

批注 [u448]: 简并

批注 [x449]: 1 1 2 2w n w n−

注:按照原文,所谓积分的说

法就难以理解了

批注 [x450]: 不是

批注 [x451]: 多值性仅

批注 [u452]: 简并

批注 [u453]: 简并

批注 [u454]: 为此场所特有的

批注 [x455]: 而系统的两个

(因为运动是二维平面运动)

通常的单值运动积分,即角动

量M

批注 [x456]: 也应该注意到

批注 [u457]: 简并

批注 [u458]: 简并运动允许

批注 [u459]: 分离变量的坐标

批注 [u460]: 简并

批注 [u461]: 所需 iI

批注 [x462]: 仍以

批注 [x463]: 它在

批注 [u464]: §49中


批注 [u466]: 开始介绍的方法

就可以在一般情况下给予证

明

批注 [u467]: 对于含可变参数( )tλ 的多维系统,用正则变

量 I w, 写出的运动方程,给出

类似于(50.10)的每个作用变

量 iI 的变化率表达式

批注 [x468]: 其中,与前面一

样,


289

λ是常数,因而系统运动是条件周期的.那么Λ就是角变量的单值周期函数, iw∂Λ / ∂ 的平均

值等于零.

最后我们对多自由度 ( )s 封闭系统有限运动在一般情况下的性质做几点说明,这时不假

定哈密顿--雅可比方程可以分离变量.

数目等于自由度的运动积分 iI 的单值性是分离变量系统的基本性质.在系统不能分离变

量的一般情况下,单值运动积分只限于那些反映空间、时间的均匀性和各向同性的量,即单值

运动积分就是能量守恒、动量守恒和动量矩守恒.

系统的相轨迹位于相空间中单值运动积分确定的区域.对于可分离变量的系统, s个单值运动积分确定了相空间中的 s维流形(超曲面). 在足够长的时间内,系统的相轨迹无限稠密地

覆盖这个超曲面.

对于不能分离变量的系统,单值运动积分较少,在相空间中相轨迹(完全或者部分地)充满

维数更高的区域(流形).

最后需要指出,如果哈密顿函数与可以分离变量的函数仅相差很小的项,则运动性质接近

条件周期运动,并且接近程度远远超过哈密顿函数中附加小量项的量级.

习题

习题试求势场 /U rα= − 中椭圆运动的作用变量.

解:在平面运动中33,对于极坐标 r ϕ, 有

2

0

12

I p d Mπ

ϕ ϕ ϕπ

= = ,∫

2

212 2

2 2max

min

r

r r

M mI m E dr Mr r Eα

απ

= + − = − + . | | ∫

由此得作用变量表示的能量

2 22( )rE m I Iϕα= − / + .

能量仅依赖于变量之和 rI Iϕ+ 表明运动退化,即两个基频(对于ϕ和 r)重合.

轨道参数p和 e (参见(15.4))用 rI Iϕ+ 表示为

222, 1

r

I Ip e

m I Iϕ ϕ

ϕα

= = − +

由于 rI 和 Iϕ具有绝热不变性,在系数α 或者质量m缓慢变化时,轨道偏心率保持不变,而

轨道的尺度变化反比于α 和m. 33 [补充说明]对于有心力场,质点在一固定的平面内运动,这是有心力场中运动的基本特点.

批注 [x469]: 对这个方程的平

均化应该在这样的时间间隔

内进行, 它比系统的基本周期长, 但比参数 ( )tλ 变化的

时间短. 这时λ&可以移到平均符号之外, 因而变为对导

数 iw∂Λ / ∂ 求平均, 这如同

λ是常数时发生的运动,是条

件周期运动.这样Λ就是角变

量 iw

批注 [x470]: 作几点简短的讨

论

批注 [x471]: 是可

批注 [x472]: 然而,在

批注 [x473]: 包括

批注 [x474]: 不变的量

批注 [x475]: 角动量

批注 [x476]: 相轨道通过相空

间中由单值运动积分的给定

常数值所确定

批注 [x477]: 然而,对于

批注 [u478]: 数少于 s

批注 [u479]: 比 s高

批注 [u480]: 另一方面,在简

并系统中,有多于 s个运动积

分,相轨迹占据维数小于 s的

流形.

批注 [x481]: 如果系统的

批注 [x482]: 的性质,并且两

者之差是比哈密顿函数中附

加小量项更高阶的小量.

批注 [x483]: 在运动平面中,

采用

批注 [u484]: 简并,(在ϕ 和 r

方向的)两个基频相等.

批注 [x485]: 是浸渐不变量


290

习题详细推导过程习题解: 在运动平面内,采用平面极坐标系,以极坐标 r ϕ, 为广义坐标,则系统的哈密顿函数

为

2 2

21 1

2 rp pm r r

H ϕα −

= +

它不显含时间 t,则有相应的哈密顿-雅可比方程为

220 0

2

1 12 2

S S Em r r mr

αϕ

∂ ∂ − + = ∂ ∂ 因为ϕ是可遗坐标,则可令

0 1( )MS S rϕ +=

其中M 是常数,代入上式则有

20

2

2 21 2

2S dS Mm Er dr r mr

α ∂ = = + − ∂

即有

0p S Mϕ ϕ∂

= =∂

,

20 1

222r

S dS Mm Er dr m

pr rα ∂

= = = + − ∂

根据作用变量的定义,有

2 2

0 0

1 12 2

I p d Md Mπ π

ϕ ϕ ϕ ϕπ π

= = =∫ ∫

2

21 1 2

2 2r rMI p dr m E dr

r rπ πα = = + −

∫ ∫Ñ Ñ

对于椭圆运动 0E < ,同时有 min maxr rr < < ,其中 ,min maxr r 分别是 2 22 02 mm r r ME α+ − =

的最小根和最大根

2 2

min

2 2

max

2 | | / ,2 | | 2 | |

2 | | / .2 | | 2 | |

E M mr

E M mr

E E

E E

α

α

α

α

−−

−= +

=

于是,有


291

2

22 2

2 2

2 2

2

2 2

1 1 12 2 2 22

1 2 | |2 2 arcsin2 | | 2 | |

arcsin2 | |

1 0|

/

2 |

/

/min

ma

max max

min min

x

r r

r r r

r

r

MI m E dr mEr m r M drr r r

m E rmEr m r Mm E E M

r MMr E M m

Mmm

m

E

m

π

π

αα

π

α αα

α

α

α

απ π

π

= + − = + −

− = + − + −

− − −

= +

−

∫ ∫

2 | |mME

α= − +

由这两个作用变量的表示式,可得能量用它们表示的形式为

2 22( )rE m I Iϕα= − / + .

由此可得 r ϕ, 变化的频率分别为

2

3 ,( )r

r r

E mI I Iϕ

αω

∂= =

∂ +

2

3 ,( )r

E mI I Iϕ ϕ

ϕ

αω

∂= =

∂ +

它们是相等的,反映了椭圆轨道运动是简并的.

【朗道理论物理教程】卷一 力学

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【朗道理论物理教程】卷一力学