алгебра и геометрии учебное пособие. тестовые задании

1

Федеральное агентство связи

Государственное федеральное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ЭЛЕКТРОННАЯ

БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА

Самара

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра высшей математики

Блатов И.А., Сергиевская И.М.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Алгебра и геометрия

Тестовые задания

Самара

ПГУТИ

2011


3

УДК 621.391

Блатов И.А., Сергиевская И.М. Алгебра и геометрия. Учебное пособие.

Тестовые задания. - Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2011. - 55 с.

Учебное пособие включает краткие теоретические сведения и тестовые

задания разной степени сложности по разделам линейной алгебры,

аналитической и дифференциальной геометрии.

Учебное пособие может быть использовано для самостоятельной работы и

подготовки к тестированию.

Редактор:

Старожилова О.В. – к.т.н., доц., доцент кафедры высшей математики ПГУТИ

Рецензент:

Головкина М.В. – к.ф.-м.н., доц., доцент кафедры физики ПГУТИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Блатов И.А., Сергиевская И.М., 2011


4

Содержание

Введение……………………………………………………………4

Теоретические сведения.

Комплексные числа………………………………………………..5

Определители. Матрицы. Решение систем линейных алгебраических

уравнений. Линейные

преобразования……………...……………………………………...5

Векторная алгебра …………………………………………………6

Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости.

Плоскость и прямая в

пространстве.………………………………………………………..7

Кривые и поверхности второго

порядка.………………………………………………………………9

Алгебраические структуры. Квадратичные

формы.………………………………..................................................9

Дифференциальная геометрия кривых и

поверхностей.………………………………………………………11

Тестовые задания.

Комплексные числа………………………………………………..12


уравнений. Линейные

преобразования……………...……………………………………..16

Векторная алгебра …………………………………………………30


Плоскость и прямая в

пространстве.……………………………………………………….34

Кривые и поверхности второго

порядка.……………………………………………………………..38

Алгебраические структуры. Квадратичные

формы.………………………………………………………………42

Дифференциальная геометрия кривых и

поверхностей.………………………………………………………46

Литература……………………………………………………….....55


5

Введение

Курс «Алгебра и геометрия» является одним из основных при подготовке

программистов. Большая часть специальных дисциплин базируется на понятиях

и методах линейной алгебры и аналитической геометрии.

Кроме того, знания алгебры и геометрии используются и в дисциплинах

математического цикла.

В настоящее время применяются формы контроля знаний студентов в виде

тестов. Данное пособие может помочь организовать тестовый контроль знаний

студентов специальностей 230105 «Программное обеспечение вычислительных

и автоматизированных систем», 230201 «Информационные системы и

технологии», поскольку написано в соответствии с Государственным

образовательным стандартом высшего профессионального образования по

названным специальностям. Пособие может быть использовано и студентами

других специальностей в кусе математики.

Тестовые задания затрагивают такие разделы курса как комплексные

числа, определители, матрицы, системы линейных алгебраических уравнений,

линейные преобразования, векторная алгебра, системы координат на плоскости

и в пространстве, прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве,

кривые и поверхности второго порядка, алгебраические структуры,

квадратичные формы, дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.


6

Теоретические сведения.

Комплексные числа.

Если 1 1 1z x iy ,

2 2 2z x iy , то 1 1 2 21

2 2 2 2 2

x iy x iyz

z x iy x iy.

Модуль комплексного числа z x iy вычисляется по формуле 2 2x y (так

же вычисляется полярный радиус точки ,M x y в полярной системе

координат).

Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле

, ( , ) в I и IV четверти,

, ( , ) во II и III четверти.

yarctg x y

x

yarctg x y

x

Тригонометрическая форма комплексного числа cos sinz i .

Показательная форма комплексного числа iz e .


уравнений. Линейные преобразования.

Определитель второго порядка 11 12

11 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a.

Определитель третьего порядка

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31

31 32 33

12 21 33 23 32 11.

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a

Правило Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений.

xx , yy , zz , где - определитель системы,

x - определитель

неизвестного x , y - определитель неизвестного y ,

z - определитель

неизвестного z .

Алгебраическое дополнение элемента ija матрицы A 1

i j

ij ijA M , где ijM -

минор элемента ija (получается из матрицы A вычеркиванием строки i и

столбца j ).

Пусть дана матрица ij m nA a . Тогда элемент матрицы C A

ij ijc a .

Пусть даны матрицы ij m nA a , ij m n

B b . Тогда элемент матрицы C A B

ij ij ijc a b .

Пусть даны матрицы ij m kA a , ij k n

B b . Тогда элемент матрицы C AB

1

k

ij ik kj

l

c a b .


7

Пусть матрица 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

. Тогда обратная матрица 11 21 31

1

12 22 32

13 23 33

1A A A

A A A A

A A A

,

где 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

, а ijA - алгебраическое дополнение элемента

ija .

Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Собственные значения матрицы A вычисляются из уравнения 0A E .

Линейное преобразование плоскости 2R определяется матрицей A . Линейное

преобразование переводит векторы базиса 1e и

2e в векторы 1f и

2f

соответственно (i iAe f ).

Векторная алгебра.

Даны точки 1 1 1, ,A x y z ,

2 2 2, ,B x y z . Тогда вектор 2 1 2 1 2 1; ;a x x y y z z .

Дан вектор 1 2 3; ;a a a a . Длина вектора 2 2 2

1 2 3a a a a . Вектор

1 2 3; ;a a a a .

Даны векторы 1 2 3; ;a a a a ,

1 2 3; ;b b b b . Тогда вектор

1 1 2 2 3 3; ;a b a b a b a b .

Скалярное произведение векторов a и b 1 1 2 2 3 3ab a b a b a b .

Векторное произведение векторов a и b 1 2 3

1 2 3

i j k

a b a a a

b b b

.

Даны векторы 1 2 3; ;a a a a ,

1 2 3; ;b b b b , 1 2 3; ;c c c c . Смешанное произведение

векторов a , b , c 1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

abc b b b

c c c

.

Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда a b

.

Векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда 0ab

.

Векторы a , b , c компланарны тогда и только тогда, когда 0abc

.

Площадь треугольника, построенного на векторах a и b , приложенных к

одному началу, 1

2S a b .

Объем тетраэдра, построенного на векторах a , b , c , приложенных к одному

началу, 1

6V abc .


Плоскость и прямая в пространстве.

Каноническое уравнение прямой на плоскости 0Ax By D .


8

Каноническое уравнение плоскости 0Ax By Cz D .

Канонические уравнения прямой в пространстве 1 1 1x x y y z z

m n p.

Расстояние от точки 0 0,M x y до прямой 0Ax By D 0 0

2 2

Ax By Dd

A B.

Расстояние между точками 1 1 1, ,A x y z ,

2 2 2, ,B x y z

2 2 2

2 1 2 1 2 1d x x y y z z .

Расстояние от точки 0 0 0, ,M x y z до плоскости 0Ax By Cz D

0 0 0

2 2 2

Ax By Cz Dd

A B C.

Прямые 1 1 1

1 1 1

x x y y z z

m n p и 2 2 2

2 2 2

x x y y z z

m n p параллельны тогда и только

тогда, когда 1 1 1

2 2 2

m n p

m n p.

Прямые 1 1 1

1 1 1

x x y y z z

m n p и 2 2 2

2 2 2

x x y y z z

m n p перпендикулярны тогда и

только тогда, когда 1 2 1 2 1 2 0m m n n p p .

Плоскость 0Ax By Cz D параллельна прямой 1 1 1x x y y z z

m n p тогда и

только тогда, когда 0Am Bn Cp .

Плоскость 0Ax By Cz D перпендикулярна прямой 1 1 1x x y y z z

m n p

тогда и только тогда, когда. A B C

m n p.

Кривые и поверхности второго порядка.

Каноническое уравнение эллипса 2 2

2 21

x y

a b.

Каноническое уравнение гиперболы 2 2

2 21

x y

a b.

Каноническое уравнение параболы 2 2y px .

Каноническое уравнение цилиндрической поверхности с образуюшими,

параллельными оси Oz , 0F x y .

Каноническое уравнение конуса 2 2 2

2 2 20

x y z

a b c.

Каноническое уравнение эллипсоида 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c.

Каноническое уравнение эллиптического параболоида 2 2

2x y

zp q

.


9

Каноническое уравнение гиперболического параболоида 2 2

2x y

zp q

.

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c.

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c.

Алгебраические структуры. Квадратичные формы.

Полугруппа G – это множество с операцией, аналогичной сложению или

умножению, обладающей свойством ассоциативности ( ,a b G ( ) ( )a bc ab c или

( ) ( )a b c a b c ). Группа G – это множество с бинарной операцией,

аналогичной сложению или умножению, обладающей свойством

ассоциативности ( , ,a b c G ( ) ( )a bc ab c или ( ) ( )a b c a b c ). В группе

обязательно есть нейтральный элемент e ( ), обладающий свойством

ae ea a a G ( a a a a G ), и для любого элемента группы

найдется обратный (противоположный) элемент: 1 1 1a G a aa a a e

( ( )a G a a a a a ). Если операция обладает свойством

коммутативности ( ,a b G ab ba или ,a b G a b b a ), то группа

называется абелевой.

Кольцо K – это множество с двумя бинарными операциями,

удовлетворяющими свойствам:

1) , ,a b c K ( ) ( )a b c a b c ,

2) a a a a K ,

3) ( )a K a a a a a ,

4) ,a b K a b b a .

5) , ,a b c K ( )a b c ab ac ,

6) , ,a b c K ( )a b c ac bc .

Если выполняется свойство

7) , ,a b c K ( ) ( )a bc ab c ,

то кольцо называют ассоциативным. Если к тому же выполняется

8) ,a b ab ba ,

кольцо ассоциативно-коммутативно. А если в таком кольце

9) 1 1 1a a aa a a e ,

то кольцо называется полем.

Умножение подстановок на множестве A осуществляется по правилу

1 2 2 1* ( ) ( ( ))s s x s s x .

Матрица квадратичной формы – квадратная симметричная матрица, элементы

на главной диагонали равны коэффициентам при квадратах, а элементы ij jia a

и равны половине коэффициента при произведении i jx x .

Если собственные значения матрица квадратичной формы только

положительны (только отрицательны, все неотрицательны, все

неположительны, знаконеопределенны) то квадратичная форма называется


10

положительно определенной (отрицательно определенной, положительно

полуопределенной, отрицательно полуопределенной, знаконеопределенной.

Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.

Уравнение касательной плоскости к поверхности

, ,

, ,

,

x x u v

y y u v

z z u v

имеет вид

0

X x Y y Z z

x y z

u u u

x y z

v v v

. Уравнения нормали X x

y z

u u

y z

v v

Y y

z x

u u

z x

v v

Z z

x y

u u

x y

v v

.

Уравнение касательной плоскости к поверхности , , 0F x y z имеет вид

0x y zX x F Y y F Z z F . Уравнения нормали

x

X x

F y

Y y

F z

Z z

F.

Кривизна кривой вычисляется по формуле 2 2 2

32 2 2 2

y z z x x y

y z z x x yk

x y z

. Кручение кривой

2 2 2

x y z

x y z

x y z

y z z x x y

y z z x x y

.

Тестовые задания.

Комплексные числа.

1. Выражение 3

1 2

i

i, где i -

мнимая единица, равно

…

1) 2i .

2) 2 i .

3) 1 i .

4) 2 i .

5) 1 i .

2. Выражение 5

1 2

i

i, где i -


…

1) 1 i .

2) 2 i .

3) 1 i .

4) 2 i .

5) 2i .


11

3. Выражение 4 3

1 2

i

i, где i -


…

1) 2 i .

2) 2 i .

3) 1 i .

4) 1 i .

5) 2i .


1 2

i

i, где i

- мнимая единица, равно

…

1) 2 i .

2) 2 i .

3) 1 i .

4) 1 i .

5) 2i .


1 2

i

i, где i

- мнимая единица, равно

…

1) 2i .

2) 2 i .

3) 1 i .

4) 1 i .

5) 2 i .

6. Модуль комплексного числа 3 4i …

7. Модуль комплексного числа 5 12i …

8. Модуль комплексного числа 2i …

9. Модуль комплексного числа 1

1

i

i…


1 i …


1 3i …

12. Аргумент

комплексного

числа i …

1) .

2) 2

.

3) 3

4.

4) 2

.

5) 0 .



числа 2 2i …

1) 4

.

2) 2

.

3) 3

4.

4) .

5) 4

.


12



числа 5 …

1) 3

4.

2) 2

.

3) 0 .

4) .

5) 2

.

15. Тригонометрическая

форма

комплексного числа 1 i …

1) 5 cos sin4 4

i .

2) 3 cos sin4 4

i .

3) 2 cos sin4 4

i .

4) 3 3

2 cos sin4 4

i .

5) 7 7

2 cos sin4 4

i .


форма


1) 3 3

2 cos sin4 4

i .

2) 3 cos sin4 4

i .

3) 2 cos sin4 4

i .

4) 5 cos sin4 4

i .

5) 7 7

2 cos sin4 4

i .


форма


1) 7 7

2 cos sin4 4

i .

2) 5 5

2 cos sin4 4

i .

3) 3 3

2 cos sin4 4

i .

4) 2 cos sin4 4

i .


13

18. Показательная

форма


1) 7

42i

e .

2) 43i

e .

3) 3

42i

e .

4) 45i

e .

5) 42i

e .


форма

комплексного числа i …

1) 3

2i

e .

2) 2i

e .

3) 4i

e .

4) 5

45i

e .

5) 7

42i

e .


форма

комплексного числа 1 …

1) ie .

2) 2i

e .

3) 3

2i

e .

4) 4i

e .

5) 7

42i

e .


уравнений. Линейные преобразования.

21. Определитель матрицы

1 1 2

0 4 1

0 0 2

…


2 1 2

0 4 1

0 0 2

…


1 1 2

0 2 1

0 0 3

…


2 1 2

0 4 1

0 0 3

…


14


3 1 2

0 3 1

0 0 2

…

26. Дан определитель

1 4 5

7 4 0

2 2 1

.

Алгебраическое

дополнение 21A …

1) 4 0

2 1.

2) 4 5

2 1.

3) 4 5

4 0.

4) 1 5

7 0.

5) 4 5

2 1.


1 4 5

2 4 0

2 2 1

.



1) 1 5

2 0.

2) 1 5

7 0.

3) 4 5

4 0.

4) 1 5

2 1.

5) 4 0

2 1.


1 4 5

7 4 0

2 2 8

.



1) 4 5

4 0.

2) 4 5

4 0.

3) 7 0

2 8.

4) 1 5

7 0.

5) 4 0

2 8.


1 4 5

7 4 0

2 2 8

.

1) 4 5

4 0.

2) 7 0

2 8.


15



3) 7 0

2 8.

30. Определитель неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

5 . Определитель неизвестного x 10x, неизвестного y 15y

,

неизвестного z 20z. Тогда соответствие между неизвестными и их

значениями…

1) x 1) -6.

2) y 2) 2.

3) z 3) 3.

4) 8.

5) -4.


1. Определитель неизвестного x 1x, неизвестного y 2y

,



1) x 1) -6.

2) y 2) 2.

3) z 3) -1.

4) 3.

5) -4.


7 . Определитель неизвестного x 0x, неизвестного y 14y

,



1) x 1) 0.

2) y 2) 11.

3) z 3) -1.

4) 2.

5) -7.


4 . Определитель неизвестного x 0x , неизвестного y 4y,



1) x 1) 1.

2) y 2) 11.

3) z 3) -1.

4) 2.

5) 0.


16

34. 1 2 1 0

4 9 3 2A ,

1 4 3 5

4 7 3 8B .

A B …

1) 0 2 4 5

0 16 0 10.

2) 2 6 2 5

8 2 6 6.

3) 0 2 4 5

0 6 0 10.

4) 0 2 4 5

0 16 0 10.

5) 0 2 4 0

0 16 0 10.

35. 1 2 1 0

4 9 7 2A ,

1 4 3 5

4 7 3 8B .

2A B …

1) 3 6 7 10

4 23 1 18.

2) 3 10 5 10

12 5 13 14.

3) 0 2 4 5

0 16 4 10.

4) 2 6 2 5

8 2 6 6.

5) 3 6 7 10

4 23 1 18.

36. 1 2 1 0

4 9 7 2A ,

1 4 3 5

4 7 3 8B .

A B …

1) 0 6 2 5

8 2 10 10.

2) 2 2 4 5

0 16 14 6.

3) 3 6 7 10

4 23 1 14.

4) 0 6 2 5

8 2 6 6.

5) 3 6 7 10

4 23 1 18.

37. Матрица A

состоит из m строк

и k столбцов.

Матрица B

состоит из l строк

и n столбцов.

1) 3k , 2l .

2) 3k , 3l .

3) 6,k 5l .

4) 4k , 4l .

5) 5k , 5l .


17

Умножение

матрицы A на

матрицу B

невозможно при…

(Укажите не менее

двух вариантов)




Матрица B



Умножение


матрицу B




1) 2k , 4l .

2) 3k , 3l .

3) 6,k 6l .

4) 6k , 12l .

5) 2k , 2l .




Матрица B



Умножение


матрицу B


1) 2k , 2l .

2) 3k , 3l .

3) 6,k 6l .

4) 6k , 12l .

5) 5k , 2l .




Матрица B



Умножение


матрицу B




1) 7k , 2l .

2) 3k , 3l .

3) 6,k 6l .

4) 4k , 3l .

5) 5k , 5l .

41. Определитель системы уравнений

2 3 2 0

4 4

3 6 1

x y z

x y z

x y z

равен…


18

42. Определитель системы уравнений

3 0

5 4

14 3 4 1

x y z

x z

x y z

равен…

43. Дана система уравнений

3 2 0

4 4

3 6 1

x y z

x y z

x y z

. Определитель неизвестного x

равен…


2 3 2 0

3 4 4

3 6 1

x y z

x y z

x y z

. Определитель неизвестного y

равен…


2 3 0

4 4

3 6 1

x y z

x y z

x y z

. Определитель неизвестного z

равен…

46. 1 2

5 7A ,

4 5

3 4B . AB …

1) 4 10

15 28.

2) 10 13

41 53.

3) 7 12

34 53.

4) 4 10

10 28.

5) 7 34

12 53.

47. 1 2

3 4A ,

1 2

2 3B . AB …

1) 10 13

41 53.

2) 4 10

15 28.

3) 7 12

34 53.


19

4) 5 8

11 18.

5) 7 34

12 53.

48. 1 2

3 5A ,

4 5

3 4B . AB …

1) 7 12

34 53.

2) 4 10

15 28.

3) 7 34

12 53.

4) 10 13

41 53.

5) 10 13

27 35.

49. 2 1

1 3A ,

4 5

3 4B . AB …

1) 11 14

13 27.

2) 4 10

15 28.

3) 7 34

12 53.

4) 10 13

41 53.

5) 7 12

34 53.

50. 2 2

5 7A ,

4 1

3 4B . AB …

1) 14 10

41 33.

2) 7 12

34 53.

3) 7 34

12 53.

51. Собственные

значения матрицы 2 1

1 2A …

1) 1 2 , 2 4 .

2) 1 1 , 2 3 .

3) 1 2 ,

2 4 .

4) 1 2 , 2 8 .

5) 1 2 , 2 8 .


20



3 1A …

1) 1 2 ,

2 4 .

2) 1 1 ,

2 3 .

3) 1 2 ,

2 4 .

4) 1 2 ,

2 8 .

5) 1 2 ,

2 8 .



1 3A …

1) 1 2 ,

2 4 .

2) 1 2 ,

2 4 .

3) 1 1 ,

2 3 .

4) 1 2 ,

2 8 .

5) 1 2 ,

2 8 .



3 5A …

1) 1 2 ,

2 8 .

2) 1 2 ,

2 4 .

3) 1 2 ,

2 4 .

4) 1 1 ,

2 3 .

5) 1 2 ,

2 8 .



5 3A …

1) 1 2 ,

2 8 .

2) 1 2 ,

2 4 .

3) 1 2 ,

2 4 .

4) 1 2 ,

2 8 .

5) 1 1 ,

2 3 .

56. Если 4 5

3 4A , то

1A …

1) 4 5

3 4.

2) 4 3

5 4.

3) 4 5

3 4.

4)

1 1

4 5

1 1

3 4

.

5) 4 3

5 4.


21

57. Если 1 2

3 4A , то

1A …

1) 4 21

3 12.

2)

1 1

8 4

1 1

6 2

.

3) 1 11

3 42.

4) 4 51

3 12.

5) 4 31

5 42.

58. Если 2 3

4 5A , то

1A …

1) 5 41

3 22.

2) 2 31

4 52.

3)

1 1

4 6

1 1

8 10

.

4) 4 51

3 42.

5) 5 31

4 22.

59. Если 3 4

5 6A , то

1A …

1) 3 41

5 62.

2) 3 41

5 62.

3) 6 41

5 32.

4) 4 31

5 42.

5)

1 1

6 8

1 1

10 12

.


22

60. Если 5 6

7 8A , то

1A … 1)

1 1

10 12

1 1

14 16

.

2) 5 41

6 52.

3) 5 61

4 52.

4) 8 61

7 52.

5) 4 31

5 42.

61. Ранг матрицы 1 2 2 4

4 8

0 0 0 0

0 0 0 0

m k равен

1 при …

1) 8m , 16k .

2) 1m , 1k .

3) 2m , 4k .

4) 6m , 12k .

5) 20m , 40k .


2 4

0 0 0 0

0 0 0 0

m k равен

1 при …

1) 1m , 1k ..

2) 2m , 4k

3) 8m , 16k .

4) 6m , 12k .

5) 20m , 40k .


2 1

0 0 0 0

0 0 0 0

m k равен

1 при …

1) 6m , 12k .

2) 2m , 4k .

3) 8m , 16k .

4) 1m , 1k .

5) 20m , 40k .


2 4

0 0 0 0

0 0 0 0

m k равен

1 при …

1) 1m , 1k .

2) 6m , 12k .

3) 8m , 16k .

4) 2m , 4k .

5) 20m , 40k .

65. Ранг матрицы 1) 8m , 16k .

2) 1m , 1k .

3) 20m , 40k .


23

1 2 2 4

10 20

0 0 0 0

0 0 0 0

m k

равен 1 при …

4) 6m , 12k .

5) 2m , 4k .

66. Линейное

преобразование

плоскости 2R

переводит векторы

1 1,0e и 2 0,1e

в векторы 1 2,4f

и 2 3,5f

соответственно.

Матрица этого

преобразования в

базисе 1e ,

2e

имеет вид…

1) 3 4

2 5.

2) 3 5

2 4.

3) 3 2

5 4.

4) 2 4

3 5.

5) 2 3

4 5.





1 1,0e и 2 0,1e


и 2 4,5f




базисе 1e ,

2e


1) 2 4

3 5.

2) 3 5

2 4.

3) 3 2

5 4.

4) 2 3

4 5.

5) 3 4

2 5.





1 1,0e и 2 0,1e


и 2 2, 4f


1) 3 5

2 4.

2) 3 2

5 4.

3) 2 3

4 5.

4) 2 4

3 5.


24



базисе 1e ,

2e


5) 3 4

2 5.





1 1,0e и 2 0,1e


и 2 5,4f




базисе 1e ,

2e


1) 2 4

3 5.

2) 2 3

4 5.

3) 3 2

5 4.

4) 3 5

2 4.

5) 3 4

2 5.





1 1,0e и 2 0,1e


и 2 4,5f




базисе 1e ,

2e


1) 3 2

5 4.

2) 3 5

2 4.

3) 3 4

2 5.

4) 2 4

3 5.

5) 2 3

4 5.

Векторная алгебра.

71. Даны векторы

0;1;3a ,

1;0;2b ,

4;5;6c .

2a b c …

1) 2; 4;1 .

2) 2;4; 1 .

3) 2;4;1 .

4) 2;2; 1 .

5) 4;2; 1 .

72. Даны векторы 1) 3; 3;1 .


25

0;1;2a ,

1;0;2b ,

4;5;6c .

2a b c …

2) 3; 3;0 .

3) 3;3;0 .

4) 3;3;1 .

5) 3;0; 3 .


0;1;3a ,

1;0;3b ,

4;5;6c .

2a b c …

1) 6;2; 1 .

2) 2;6; 3 .

3) 2;4;3 .

4) 2; 6;3 .

5) 2;6;3 .


0;1;3a ,

0;1;2b ,

4;5;6c .

2 2a b c …

1) 13;8;20 .

2) 13;8; 20 .

3) 8;20;13 .

4) 8;13;20 .

5) 8; 13; 20 .

75. Даны векторы 0;1;3a , 1;0;2b . Скалярное произведение ab …




0;1;3a ,

1;0;2b .

Векторное

произведение

a b …

1) 2;2; 1 .

2) 3;2; 1 .

3) 2; 3; 1 .

4) 2;3; 1 .

5) 3;3; 1 .


0;1;2a ,

1;0;2b .

Векторное


a b …

1) 2; 2; 1 .

2) 3;2; 1 .

3) 2;2; 1 .

4) 2;3; 1 .

5) 3;3; 1 .


0;1;3a ,

1;0;3b .

1) 3; 3; 1 .

2) 3;2; 1 .

3) 3;3; 1 .


26

Векторное


a b …

4) 2;2; 1 .

5) 2;3; 1 .

81. Даны векторы 0;1;3a , 1;0;2b , 4;5;6c . Смешанное произведение

abc …


abc …


abc …

84. Даны точки 1;0;4A и 1; 2;4B . Длина вектора AB …

85. Даны точки 1;4;0A и 1;4;3B . Длина вектора AB …

86. Даны точки 0;1;4A и 5;1;4B . Длина вектора AB …

87. Пусть i , j , k - попарно перпендикулярные векторы единичной длины. 2

2 3 2 3i k i j k i j …


2 3 2 2 3i k i j k i j …


2 3 2 3 3i k i j k i j …


2 3 2 4 3i k i j k i j …


2 3 2 5 3i k i j k i j …

92. Векторы 2a i j k и 12 6 3b i j mk коллинеарны при m …

93. Векторы 4 2a i j k и 12 6b i j mk коллинеарны при m …

94. Векторы 3 5a i j mk и 9 15 21b i j k коллинеарны при m …

95. Векторы 2 7a i j k и 6 21 3b i j mk коллинеарны при m …

96. Векторы 3a i j k и 6 3b i j mk перпендикулярны при m …

97. Векторы 4 2a i j k и 12 6b i j mk перпендикулярны при m …

98. Векторы 4 9a i j k и 16 36 2b i j mk перпендикулярны при m …

99. Даны точки (1;0;5)A , (3;0;5)B , (1;2;5)C . Площадь треугольника ABC …




103. Векторы 3a i j mk , 2 4b i k , 3 2 6c i j k компланарны при

m …

104. Векторы 3 4 3a i j k , 5b mi k , 2 2c i j k компланарны при

m …


27

105. Векторы 3 4 3a i j k , 2 2b i j k , 6c i mk компланарны при

m …

106. Векторы 4 2a mi j k , 2 2 6b i j k , 2 4c i k компланарны при

m …

107. Даны точки (1;0;5)A , (2;0;7)B , (6;4;8)C , (5;0;10)D . Объем тетраэдра

ABCD …


ABCD …


ABCD …


ABCD …


Плоскость и прямая в пространстве.

111. Расстояние между точками (6,0)A , (2, 3)B на плоскости Oxy …


113. Расстояние между точками (6,9)A , ( 3, 3)B на плоскости Oxy …


115. Расстояние между точками (6,0)A , (21,8)B на плоскости Oxy …

116. Расстояние от точки (5,1, 1)A до плоскости 2 2 4 0x y z …

117. Расстояние от точки (1,1,1)A до плоскости 2 3 6 3 0x y z …

118. Расстояние от точки (1,1, 2)A до плоскости 2 3 6 11 0x y z …

119. Расстояние от точки (0,5,3)A до плоскости 2 2 5 0x y z …

120. Расстояние от точки (1,1)A до прямой 4 3 4 0x y …

121. Расстояние от точки (2, 2)A до прямой 4 3 8 0x y …

122. Расстояние от точки (1, 1)A до прямой 4 3 8 0x y …

123. Расстояние от точки (0,5)A до прямой 4 3 10 0x y …

124. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой

системы координат, а полярная ось совпадает с положительной осью

абсцисс. Тогда точка , 6x , заданная в декартовой системе координат,

имеет полярный радиус 10 при x …



абсцисс. Тогда точка ,5x , заданная в декартовой системе координат, имеет

полярный радиус 13 при x …






28









129. Прямые 1 2 3

4 4

x y z

m и

3 4 5

2 3 2

x y z параллельны при m …

130. Прямые 1 2 3

8 8

x y z

m и

3 4 5

2 3 2


131. Прямые 1 2 3

10 10

x y z

m и

3 4 5

2 3 2


132. Прямые 1 2 3

6 6

x y z

m и

3 4 5

2 3 2

x y z перпендикулярны при

m …

133. Прямые 1 2 3

12 12

x y z

m и

3 4 5

2 3 2

x y z перпендикулярны при

m …

134. Прямые 1 2 3

4 4

x y z

m и

43 5

2

yx z перпендикулярны при

m …

135. Плоскость 3 5 1 0Ax y z будет параллельна прямой 1 2

4 3

x yz

при A …


6 3

x yz

при A …


2 3

x yz

при A …

138. Плоскость 3 4 1 0Ax y z будет параллельна прямой 2

13

yx z при

A …

139. Плоскость 3 5 1 0Ax y z будет параллельна прямой 2

13

yx z при

A …

140. Плоскость, заданная уравнением 8 12 4 0Ax y z относительно

прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой 1 2 3

2 2 3

x y z при A …


29

141. Плоскость, заданная уравнением 2 4 0Ax y z относительно

прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой 3

1 22

zx y при A …

142. Плоскость, заданная уравнением 3 4 0Ax y z относительно

прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой 1 3

23 3

x zy при A …


прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой 1 2 3

2 3 4

x y z при A …



1 22

zx y при A …



1 22

zx y при A …

Кривые и поверхности второго порядка.

146. Уравнение 2 2

14 9

x y

определяет на

плоскости Oxy …

1) Эллипс.

2) Гиперболу.

3) Параболу.

4) Пару прямых.

5) Точку.

147. Уравнение 2 2

13 15

x y



1) Эллипс.




5) Точку.

148. Уравнение 2 2y x определяет

на плоскости

Oxy …

1) Эллипс.




5) Точку.

149. Уравнение эллипса имеет вид 2 2

14 9

x y. Длина его малой полуоси

равна…


30

150. Уравнение эллипса имеет вид 2

2 14

xy . Длина его малой полуоси

равна…

151. Уравнение эллипса имеет вид 2 2

112 9

x y. Длина его малой полуоси

равна…

152. Уравнение гиперболы имеет вид 2 2

116 20

x y. Длина ее действительной

полуоси равна…


140 25

x y. Длина ее мнимой полуоси

равна…


136 25

x y. Длина ее действительной

полуоси равна…

155. Поверхность,

заданная

уравнением 2 2

2 3

x yz ,

является…

1) Конусом.

2) Эллипсоидом.

3) Параболическим

цилиндром.

4) Гиперболическим

параболоидом.

5) Эллиптическим



заданная


2

2 3

x yz ,

является…

1) Конусом.



цилиндром.






заданная


2 3

x yz ,

является…

1) Конусом.



цилиндром.






заданная

1) Конусом.



31

уравнением 2

2

xz ,

является…


цилиндром.






заданная


2 12 3

x yz ,

является…

1) Конусом.



цилиндром.





160. Расстояние между фокусами эллипса 2 2

125 9

x y…

161. Расстояние между фокусами эллипса 2 2

125 16

x y…

162. Расстояние между фокусами гиперболы 2 2

116 9

x y…

163. Уравнение 2 29 25 18

100 316 0

x y x

y



1) Эллипс.

2) Окружность.




164. Уравнение 2 25 6 10 12

31 0

x y x y



1) Эллипс.





165. Уравнение 2 2 4 6 5 0x y x y



1) Эллипс.






32

166. Уравнение 2 22 2 3 4

2 0

x y x y



1) Эллипс.





167. Уравнение 2 25 9 30 18

9 0

x y x y



1) Эллипс.





168. Уравнение 2 2 2 4 20 0x y x y



1) Эллипс.





169. Уравнение 2 216 25 32

100 284 0

x y x

y



1) Эллипс.





170. Уравнение 24 8 7 0x x y



1) Эллипс.





Алгебраические структуры. Квадратичные формы.

171. На

множестве Z

выполнимы

операции…

(Укажите не

менее двух

пунктов).

1) a

b, a b .

2) a b , ab .

3) a b , a

b.

4) a

b, a b .

5) ab , a b .

172. На

множестве N

выполнимы

1) ab , a b .

2) a

b, ba .


33

операции…


менее двух

пунктов).

3) a b , a

b.

4) a

b, ( , )НОК a b .

5) a b , ( , )НОК a b .

173. На

множестве N

выполнимы

операции…


менее двух

пунктов).

1) ab , a b .

2) ba , ( , )НОК a b .

3) a b , a

b.

4) a

b, ( , )НОК a b .

5) a

b, ( , )НОД a b .

174. Полугруппа G с

мультипликатив

ной операцией

обладает

свойством…

1) ( )a G a a a a a .

2) 1 1 1a G a aa a a e .

3) , ,a b c G ( ) ( )a bc ab c .

4) , ,a b c G ( ) ( )a b c a b c .

5) e G ae ea a a G .

175. Если группа G с

мультипликатив

ной операцией

обладает

свойством…, то

она называется

абелевой.

1) ,a b G ab ba .

2) ,a b G a b b a

3) 1 1 1a G a aa a a e .

4) e G ae ea a a G ..

5) , ,a b c G ( ) ( )a bc ab c .

176. В кольце K

не выполняются

свойства …


менее двух

пунктов).

1) , ,a b c K ( ) ( )a bc ab c .

2) , ,a b c K ( )a b c ab ac .

3) 1 1 1a K a aa a a e .

4) ,a b K a b b a .

5) ,a b K ab ba .

177. На множестве

1,2,3,4,5,6A

заданы

подстановки

1

1 2 3 4 5 6

6 3 4 1 2 5s

и

1) 1 2 3 4 5 6

5 2 1 3 4 6.

2) 1 2 3 4 5 6

5 4 1 2 3 6.

3) 1 2 3 4 5 6

5 4 1 3 2 6.


34

2

1 2 3 4 5 6

3 2 4 1 6 5s

. 1 2*s s …

4) 1 2 3 4 5 6

1 4 5 3 2 6.

5) 1 2 3 4 5 6

6 4 1 3 2 5

178. На

множестве

1,2,3,4,5,6A

заданы


1

1 2 3 4 5 6

2 5 3 6 4 1s

и

2

1 2 3 4 5 6

6 2 4 1 5 3s

. 1 2*s s …

1) 1 2 3 4 5 6

2 5 4 3 6 1.

2) 1 2 3 4 5 6

5 4 1 2 3 6.

3) 1 2 3 4 5 6

5 2 1 3 4 6.

4) 1 2 3 4 5 6

1 4 5 3 2 6.

5) 1 2 3 4 5 6

5 4 1 3 2 6.

179. На

множестве

1,2,3,4,5,6A

заданы


1

1 2 3 4 5 6

5 2 4 6 3 1s

и

2

1 2 3 4 5 6

1 2 4 6 5 3s

. 1 2*s s …

1) 1 2 3 4 5 6

1 4 5 3 2 6.

2) 1 2 3 4 5 6

2 5 4 3 6 1.

3) 1 2 3 4 5 6

5 2 1 3 4 6.

4) 1 2 3 4 5 6

5 2 6 3 4 1.

5) 1 2 3 4 5 6

5 4 1 3 2 6.

180. На

множестве

1,2,3,4,5,6A

заданы


1

1 2 3 4 5 6

1 2 3 6 4 5s

и

2

1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1s

. 1 2*s s …

1) 1 2 3 4 5 6

1 4 5 3 2 6.

2) 1 2 3 4 5 6

2 5 4 3 6 1.

3) 1 2 3 4 5 6

6 5 4 1 3 2.

181. Квадратичная

форма

1) Положительно

определенной.


35

2 22x xy y

является…

2) Отрицательно


3) Знаконеопределенной.


полуопределенной.




форма 2 22x xy y

является…











форма 2 2x xy y

является…











форма 2 22 2 2x xy y

является…











форма 2 24 3x xy y

является…







36





Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.

186. Поверхность задана параметрическими уравнениями

, ,

, ,

, .

x x u v

y y u v

z z u v

Уравнение касательной плоскости к поверхности…

1) X x

y z

u u

y z

v v

Y y

z x

u u

z x

v v

Z z

x y

u u

x y

v v

2) 0

X x Y y Z z

x x z

u v u

y y z

u v v

.

3) 0

X x Y y Z z

x y z

u u u

x y z

v v v

..

187. Поверхность задана уравнением , , 0F x y z . Уравнение касательной

плоскости к поверхности…

1) 0

X x Y y Z z

x x z

u v u

y y z

u v v

.

2) 0x y zX x F Y y F Z z F .

3) X x

y z

u u

y z

v v

Y y

z x

u u

z x

v v

Z z

x y

u u

x y

v v

.


37

4) 0

X x Y y Z z

x y z

u u u

x y z

v v v

.

5) x

X x

Fy

Y y

F z

Z z

F.

188. Поверхность задана параметрическими уравнениями

, ,

, ,

, .

x x u v

y y u v

z z u v

Уравнения нормали к поверхности…


2) 0

X x Y y Z z

x x z

u v u

y y z

u v v

.

3) X x

y z

u u

y z

v v

Y y

z x

u u

z x

v v

Z z

x y

u u

x y

v v

.

4) 0

X x Y y Z z

x y z

u u u

x y z

v v v

.

5) x

X x

F y

Y y

F z

Z z

F.

189. Поверхность задана уравнением , , 0F x y z . Уравнения нормали к

поверхности…

1) x

X x

F y

Y y

F z

Z z

F.

2) 0

X x Y y Z z

x x z

u v u

y y z

u v v

.


38

3) X x

y z

u u

y z

v v

Y y

z x

u u

z x

v v

Z z

x y

u u

x y

v v

.

4) 0

X x Y y Z z

x y z

u u u

x y z

v v v

.


190. Кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями

,

,

.

x x t

y y t

z z t

Кривизна кривой вычисляется по формуле…

1)

2 2 2

22 2 2

y z z x x y

y z z x x yk

x y z.

2) 2 2 2

x y z

x y z

x y z

y z z x x y

y z z x x y

.

3)

2 2 2

32 2 2 2

y z z x x y

y z z x x yk

x y z

.

4) 3

2 2 2 2

y z z x x y

y z z x x yk

x y z

.

5)

x y z

x y z

x y z

y z z x x y

y z z x x y

.

1


39

191. Кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями

,

,

.

x x t

y y t

z z t

Кручение кривой вычисляется по формуле…

1)

x y z

x y z

x y z

y z z x x y

y z z x x y

.

2)

2 2 2

32 2 2 2

y z z x x y

y z z x x yk

x y z

.

3)

2 2 2

22 2 2

y z z x x y

y z z x x yk

x y z.

4) 3

2 2 2 2

y z z x x y

y z z x x yk

x y z

.

5) 2 2 2

x y z

x y z

x y z

y z z x x y

y z z x x y

.

192. Уравнение

касательной

плоскости к

поверхности

z xy в точке

(1;1;1)M имеет

вид…

1) 1 0x y z .

2) 1 0x y z .

3) 1 0x y z .

4) 1 0x y z .

5) 1 0x y z .




поверхности 2 22 4z x y в

1) 8 8 4 0x y z .

2) 8 8 4 0x y z .

3) 8 8 4 0x y z .

4) 8 8 4 0x y z .

5) 8 8 4 0x y z .


40

точке

(2;1;4)M имеет

вид…




поверхности 2 2z x y в точке

(1;1;0)M имеет

вид…

1) 2 2 4 0x y z .

2) 2 2 4 0x y z .

3) 2 2 4 0x y z .

4) 2 2 4 0x y z .

5) 2 2 4 0x y z .

195. Уравнения

нормали к

поверхности

z xy в точке

(1;1;1)M имеют

вид…

1) 1

1 11

zx y .

2) 1 1 1x y z .

3) 1

1 11

zx y .

4) 1

1 11

zx y .

5) 1

1 11

zx y .

196. Уравнения

нормали к

поверхности 2 22 4z x y в

точке (2;1;4)M

имеют вид…

1) 2 4 4

8 8 1

x y z.

2) 2 4

48 8

x yz .

3) 2 4 4

8 8 1

x y z.

4) 2 4 4

8 8 1

x y z.

5) 2 4 4

8 8 1

x y z.

197. Уравнение касательной плоскости к поверхности

cos ,

sin ,

x u v

y u v

z av


1) sin cos 0ax v ay v uz auv .






41

198. Уравнения нормали к поверхности

cos ,

sin ,

x u v

y u v

z av

имеют вид…

1) cos sin

sin cos

x u v y u v z av

a v a v u.

2) cos sin

sin cos

x u v y u v z av

a v a v u.

3) cos sin

sin cos

x u v y u v z av

a v a v u.

4) cos sin

sin cos

x u v y u v z av

a v a v u.

5) cos sin

sin cos

x u v y u v z av

a v a v u.

199. Кривизна

кривой

,

,

2

t

t

x e

y e

z t

…

1) 2

2

t te e.

2)

2

2

t te e.

3) 2

t te e.

4) 2

t te e.

5) 2

2

t te e.

200. Кручение

кривой

,

,

2

t

t

x e

y e

z t

…

1) 2

2

t te e.

2)

2

2

t te e.

3) 2

t te e.

4) 2

t te e.

5) 2

2

t te e.


42

Литература.

Основная литература.

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.,

Физматлит. 2004.

2. Блатов И.А., Старожилова О.В. Алгебра и геометрия. Конспект лекций. –

Самара: ГОУВПО ПГУТИ. 2010.

3. Блатов И.А., Сергиевская И.М. База тестовых заданий по учебной

дисциплине «Алгебра и геометрия» для студентов 2 курса заочной формы

обучения по специальностям 230105, 230105у, 230210у. ПГУТИ, 2011.

4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Профессия.

2004.

Дополнительная литература.

1. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной

алгебре. 2001.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М., Наука, 1986.

3. Ефимов Н.В. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и

основы математического анализа. Тт. 1, 2. М., Наука. 1981.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Кн. 1. Основы алгебры. Кн. 2. Линейная

алгебра. Кн. 3. Основные структуры алгебры. М., Физматлит. 2000, 2001.


алгебра и геометрии учебное пособие. тестовые задании

Healthcare