第 7 章

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第 7 章

抽樣與抽樣分配Part B (7.6-7.8)

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抽樣與抽樣分配 Part B 7.6 的抽樣分配 7.7 點估計量的性質 7.8 其他抽樣方法

第 7 章抽樣與抽樣分配 Part B (7.6-7.8) 第 253 頁

p

33 33 SlideSlide

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用值用值推論推論 μ μ 值值

用值用值推論推論 μ μ 值值

從母體抽取 n 個元素為一簡單隨機樣本從母體抽取 n 個元素為一簡單隨機樣本

母體比例p = ?

母體比例p = ?

用樣本資料計算母體比例

用樣本資料計算母體比例 pp

pp


7.6 的抽樣分配母體比例統計推論的過程

p

p

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的抽樣分配是所有樣本比例　值的機率分配。

的期望值

其中： p = 母體比例

E p p( ) E p p( )


的抽樣分配p

p

p

p

55 55 SlideSlide

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的抽樣分配在 7.1 節中，我們提到 EAI 母體的比例 p ＝

0.60 ，此 p 值為完成管理訓練課程的主管的比例，因此 EAI 抽樣問題中，的期望值為0.60 。

p


p

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pp p

nN nN

( )11

pp p

nN nN

( )11

pp p

n ( )1 p

p pn

( )1

是母體的標準誤 p p

有限母體無限母體　的期望值p


的抽樣分配p

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的抽樣分配一般而言，我們使用標準誤來表示點估計量的標準差，因此，也用比例的標準誤表示的標準差。

回到 EAI 的例子，以 30 位主管的簡單隨機樣本，求其樣本比例的標準誤。在 EAI 一例中，參加管理課程的主管的比例為 p ＝ 0.60 ，由於 n/N ＝ 30/2500 ＝ 0.012 ，故計算比例的標準誤時，可忽略有限母體校正因子，若樣本數為 30 位主管，則

p


p

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當樣本數夠大時，　的抽樣分配可近似為常態分配。當樣本數夠大時，　的抽樣分配可近似為常態分配。pp

以常態分配求二項分配近似值的作法，其中，樣本大小必須滿足以下 2 個條件以常態分配求二項分配近似值的作法，其中，樣本大小必須滿足以下 2 個條件

npnp ≥ 5 ≥ 5npnp ≥ 5 ≥ 5 nn(1 – (1 – pp) ≥ 5) ≥ 5nn(1 – (1 – pp) ≥ 5) ≥ 5以及以及以及以及


抽樣分配的形狀p

1010 1010 SlideSlide

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的抽樣分配的形狀當 np ≥ 5 以及 n(1 － p) ≥ 5 ，的抽樣分配可以利用常態分配來近似。

在 EAI 一例中，有參加管理訓練課程的主管的母體比例 p ＝ 0.60 ，樣本大小為 30 ，則 np ＝30(0.60) ＝ 18 且 n(1 － p) ＝ 30(0.40) ＝ 12 ，因此，抽樣分配可以趨近常態分配，如圖 7.8 所示。

p

p


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第 7 章抽樣與抽樣分配 Part B (7.6-7.8) 第 276 頁圖 7.8

的抽樣分配的形狀p


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抽樣分配的實際值假設某公司人事經理想要知道樣本比例值落在母體

比例 ±0.05 範圍內的機率為何？也就是樣本比例值落在 0.55 到 0.65 間的機率。 ( 母體比例 P=0.6 ，每組樣本 30 個 )

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第 7 章抽樣與抽樣分配 Part B (7.6-7.8) 第 275-276 頁

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圖 7.9 的陰影部分就是此機率。我們已知 p 抽樣分配可以用常態分配來近似，平均數為 0.60 ，標準誤＝0.0894 ，則＝ 0.55 所對應的標準常態 z 值＝ (0.55－ 0.60)/0.894 ＝－ 0.56 ，查標準常態分配表可知介於 z＝－ 0.56 到 z ＝ 0 間的面積為 0.2123 ；同樣的在＝ 0.65 時， z ＝ 0 到 z ＝ 0.56 間的面積為 0.2123 ，因此，樣本比例值落在母體比例 p 值 ±0.05 的機率為 0.2123 ＋ 0.2123 ＝ 0.4246 。

p

'p

pp


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抽樣分配的實際值如果我們增加樣本數到 n ＝ 100 ，則比例的標準誤變為

樣本大小為 100 位 EAI 主管的情況下，我們也可以計算樣本比例值落在母體比例 p 值 ±0.05 的機率值。因抽樣分配近似常態，且平均數為 0.60 ，標準差為 0.049 ，利用標準常態分配表就可以計算所要的面積或機率。

當＝ 0.55 時， z ＝ (0.55 － 0.60)/0.049 ＝－ 1.02 ，查標準常態分配表得知介於 z ＝－ 1.02 到 z ＝ 0 間的面積為 0.3461 ；同樣的，當＝ 0.65 時，介於 z ＝ 0 到 z ＝ 1.02 間的面積也為 0.3461 ，因此，當樣本大小由 30 增到 100 時，樣本比例值落在母體比例 p 值 ±0.05 的機率從 0.4246 變為 0.3461 ＋ 0.3461 ＝ 0.6922 。

p

p

p

p


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小結影響抽樣分配的因素：

母體分配、樣本統計量、樣本大小母體分配、樣本分配與抽樣分配

母體分配樣本分配抽樣分配


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練習 35


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35 公司的總裁相信 30% 的訂單來自新顧客，現以簡單隨機樣本抽出 100 份訂單以估計新客戶的比例。

a. 假設該總裁的認知是對的，也就是 p ＝ 0.30 ，那麼的 p-bar 的抽樣分配為何？

b. 樣本比例 (p-bar) 介於 0.20 到 0.40 間的機率為何？

c. 樣本比例 p-bar 介於 0.25 到 0.35 間的機率為何？


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7.7 點估計量的性質注意： θ = 母體參數 = 樣本統計量或 θ 的點估計量 θ 是希臘字母，發音是 theta ，則唸做

theta-hat 。一般而言， θ 代表任何母體參數，例如母體平均數、母體標準差及母體比例等等；則代表對應的樣本統計量，例如樣本平均數、樣本標準差及樣本比例。



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一致性一致性一致性一致性

有效性有效性有效性有效性

不偏性不偏性不偏性不偏性

點估計量的性質良好點估計量的性質有：



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如果樣本統計量的期望值等於要估計的母體參數之期望值，則此樣本統計量就是母體參數的不偏估計量 (unbiased estimator) 。

不偏性不偏性不偏性不偏性

點估計量的性質



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假定有 n 個元素的簡單隨機樣本可以提供同一個母體參數兩個不偏估計量。此種情況下，我們會使用標準差較小的點估計量，因為它可以提供更接近母體參數的估計值。標準差較小的點估計量相對於其他點估計量，有更高的相對有效性 (relative efficiency) 。

有效性有效性有效性有效性




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優良點估計量的另一個特性是一致性(consistency) 。簡單來說，當樣本變大，點估計量的數值變得更接近母體參數時，就稱點估計量是一致的。換言之，大樣本比小樣本能提供更好的點估計值。

一致性一致性一致性一致性




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評註我們在第 3 章說過，平均數與中位數都是集中趨勢的量數。本章只討論平均數的理由是，常態母體的母體平均數及母體中位數是相同的。而自常態母體抽樣，中位數的標準誤比平均數的標準誤大了 25% 。以 EAI 問題為例， n ＝ 30 ，樣本平均數的標準誤是＝ 730.3 ，中位數的標準誤則大概是 1.25(730.3) ＝ 913 。因此，樣本平均數是更有效的，且有更大的機率更接近母體平均數。


x


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7.8 其他抽樣方法分層隨機抽樣叢式抽樣系統抽樣便利抽樣判斷抽樣



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在分層隨機抽樣在分層隨機抽樣 (stratified random sampling)(stratified random sampling) 中，母中，母體的所有元素先被區隔成數群，稱為體的所有元素先被區隔成數群，稱為層層 (strata)(strata) 。。在分層隨機抽樣在分層隨機抽樣 (stratified random sampling)(stratified random sampling) 中，母中，母體的所有元素先被區隔成數群，稱為體的所有元素先被區隔成數群，稱為層層 (strata)(strata) 。。

母體中每一個元素只歸屬在某一個資料層中。母體中每一個元素只歸屬在某一個資料層中。母體中每一個元素只歸屬在某一個資料層中。母體中每一個元素只歸屬在某一個資料層中。

較好的區分方法是資料層內的元素愈相像愈好，圖較好的區分方法是資料層內的元素愈相像愈好，圖 7.127.12是一個母體被分成是一個母體被分成 H H 個層的示意圖。個層的示意圖。較好的區分方法是資料層內的元素愈相像愈好，圖較好的區分方法是資料層內的元素愈相像愈好，圖 7.127.12是一個母體被分成是一個母體被分成 H H 個層的示意圖。個層的示意圖。

分層隨機抽樣(stratified random sampling)



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分層隨機抽樣


台灣台灣

學生學生教師教師資訊業上班族資訊業上班族


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區隔出資料層後，再由每個資料層進行簡單隨機抽樣，區隔出資料層後，再由每個資料層進行簡單隨機抽樣，利用公式可將各分層的樣本資訊整合成我們感興趣的利用公式可將各分層的樣本資訊整合成我們感興趣的母體參數估計值。母體參數估計值。

區隔出資料層後，再由每個資料層進行簡單隨機抽樣，區隔出資料層後，再由每個資料層進行簡單隨機抽樣，利用公式可將各分層的樣本資訊整合成我們感興趣的利用公式可將各分層的樣本資訊整合成我們感興趣的母體參數估計值。母體參數估計值。

分層抽樣品質的好壞端視資料層內元素的同質性程度，分層抽樣品質的好壞端視資料層內元素的同質性程度，如果如果同質性高同質性高 (( 元素都很相近元素都很相近 )) ，，則層內的變異將減少則層內的變異將減少，，只要少量的抽樣資料就可以得到整個資料層的良好估只要少量的抽樣資料就可以得到整個資料層的良好估計值。計值。

分層抽樣品質的好壞端視資料層內元素的同質性程度，分層抽樣品質的好壞端視資料層內元素的同質性程度，如果如果同質性高同質性高 (( 元素都很相近元素都很相近 )) ，，則層內的變異將減少則層內的變異將減少，，只要少量的抽樣資料就可以得到整個資料層的良好估只要少量的抽樣資料就可以得到整個資料層的良好估計值。計值。

如果資料層是同質的，分層隨機抽樣的結果就和樣本數如果資料層是同質的，分層隨機抽樣的結果就和樣本數較少的簡單隨機抽樣相同。較少的簡單隨機抽樣相同。如果資料層是同質的，分層隨機抽樣的結果就和樣本數如果資料層是同質的，分層隨機抽樣的結果就和樣本數較少的簡單隨機抽樣相同。較少的簡單隨機抽樣相同。

分層隨機抽樣



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叢式抽樣叢式抽樣 ( cluster sampling) ( cluster sampling) 中，母體首先被分出幾群中，母體首先被分出幾群，稱為，稱為叢體叢體 (clusters)(clusters) 。。叢式抽樣叢式抽樣 ( cluster sampling) ( cluster sampling) 中，母體首先被分出幾群中，母體首先被分出幾群，稱為，稱為叢體叢體 (clusters)(clusters) 。。

在理想的情況下，每一個叢體都可代表一整個母體，在理想的情況下，每一個叢體都可代表一整個母體，就像是母體的縮小版。就像是母體的縮小版。在理想的情況下，每一個叢體都可代表一整個母體，在理想的情況下，每一個叢體都可代表一整個母體，就像是母體的縮小版。就像是母體的縮小版。

叢式抽樣的好壞評斷標準在於所用的叢體對母體是否有叢式抽樣的好壞評斷標準在於所用的叢體對母體是否有代表性。代表性。叢式抽樣的好壞評斷標準在於所用的叢體對母體是否有叢式抽樣的好壞評斷標準在於所用的叢體對母體是否有代表性。代表性。

如果每個叢體都能代表母體，則只抽出少數的叢體做如果每個叢體都能代表母體，則只抽出少數的叢體做樣本就可得到母體參數的良好估計值。樣本就可得到母體參數的良好估計值。如果每個叢體都能代表母體，則只抽出少數的叢體做如果每個叢體都能代表母體，則只抽出少數的叢體做樣本就可得到母體參數的良好估計值。樣本就可得到母體參數的良好估計值。

叢式抽樣 (cluster sampling)

第 7 章抽樣與抽樣分配 Part B (7.6-7.8) 第 281-282 頁


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叢式抽樣


台灣台灣

台北市台北市新北市新北市高雄市高雄市


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優點：因為已經分成幾個叢體或地區，訪問者可在同一優點：因為已經分成幾個叢體或地區，訪問者可在同一地區訪問地區訪問 (( 例如，某縣市的一個里例如，某縣市的一個里 )) ，成本反而會降低，，成本反而會降低，時間也可縮短。時間也可縮短。

優點：因為已經分成幾個叢體或地區，訪問者可在同一優點：因為已經分成幾個叢體或地區，訪問者可在同一地區訪問地區訪問 (( 例如，某縣市的一個里例如，某縣市的一個里 )) ，成本反而會降低，，成本反而會降低，時間也可縮短。時間也可縮短。

缺點：通常抽取的樣本數會比簡單隨機抽樣和分層隨機缺點：通常抽取的樣本數會比簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣來得多。抽樣來得多。缺點：通常抽取的樣本數會比簡單隨機抽樣和分層隨機缺點：通常抽取的樣本數會比簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣來得多。抽樣來得多。

叢式抽樣主要的應用之一是地區抽樣，每一叢體可以是叢式抽樣主要的應用之一是地區抽樣，每一叢體可以是城市的某個區域或其他定義清楚的地區。城市的某個區域或其他定義清楚的地區。叢式抽樣主要的應用之一是地區抽樣，每一叢體可以是叢式抽樣主要的應用之一是地區抽樣，每一叢體可以是城市的某個區域或其他定義清楚的地區。城市的某個區域或其他定義清楚的地區。

叢式抽樣



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例如，在例如，在 5,000 5,000 個元素的母體中我們要抽出個元素的母體中我們要抽出 50 50 個當作個當作樣本，可以從每樣本，可以從每 5000/505000/50 ＝＝ 100 100 個元素中抽出一個元素。個元素中抽出一個元素。例如，在例如，在 5,000 5,000 個元素的母體中我們要抽出個元素的母體中我們要抽出 50 50 個當作個當作樣本，可以從每樣本，可以從每 5000/505000/50 ＝＝ 100 100 個元素中抽出一個元素。個元素中抽出一個元素。

假設我們已將母體元素依序排列。這個程序是先從前假設我們已將母體元素依序排列。這個程序是先從前 100 100 個元素隨機抽出一個元素，由這個被抽中的元素個元素隨機抽出一個元素，由這個被抽中的元素開始，每隔開始，每隔 100 100 個元素，就抽出個元素，就抽出 1 1 個，直到抽出個，直到抽出 50 50 個個元素為止。元素為止。

假設我們已將母體元素依序排列。這個程序是先從前假設我們已將母體元素依序排列。這個程序是先從前 100 100 個元素隨機抽出一個元素，由這個被抽中的元素個元素隨機抽出一個元素，由這個被抽中的元素開始，每隔開始，每隔 100 100 個元素，就抽出個元素，就抽出 1 1 個，直到抽出個，直到抽出 50 50 個個元素為止。元素為止。

這樣的抽樣方法比簡單隨機抽樣還要簡單。尤其當母體這樣的抽樣方法比簡單隨機抽樣還要簡單。尤其當母體元素呈隨機排序時，由於第一個被抽出的元素是隨機元素呈隨機排序時，由於第一個被抽出的元素是隨機決定的，系統抽樣通常也被假設為具有簡單隨機抽樣的決定的，系統抽樣通常也被假設為具有簡單隨機抽樣的特性。特性。

這樣的抽樣方法比簡單隨機抽樣還要簡單。尤其當母體這樣的抽樣方法比簡單隨機抽樣還要簡單。尤其當母體元素呈隨機排序時，由於第一個被抽出的元素是隨機元素呈隨機排序時，由於第一個被抽出的元素是隨機決定的，系統抽樣通常也被假設為具有簡單隨機抽樣的決定的，系統抽樣通常也被假設為具有簡單隨機抽樣的特性。特性。

系統抽樣 (systematic sampling)



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系統抽樣

優點：此抽樣方法比簡單隨機抽樣簡單。優點：此抽樣方法比簡單隨機抽樣簡單。優點：此抽樣方法比簡單隨機抽樣簡單。優點：此抽樣方法比簡單隨機抽樣簡單。

例如：從電話簿中隨機抽出第一個元素後，每隔例如：從電話簿中隨機抽出第一個元素後，每隔 100100 個個元素，就抽出元素，就抽出 1 1 個。個。例如：從電話簿中隨機抽出第一個元素後，每隔例如：從電話簿中隨機抽出第一個元素後，每隔 100100 個個元素，就抽出元素，就抽出 1 1 個。個。



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便利抽樣便利抽樣 (convenience sampling) (convenience sampling) 是屬於非機率抽樣是屬於非機率抽樣 (nonprobability sampling)(nonprobability sampling) 方法方法。。便利抽樣便利抽樣 (convenience sampling) (convenience sampling) 是屬於非機率抽樣是屬於非機率抽樣 (nonprobability sampling)(nonprobability sampling) 方法方法。。

例如教授可能以志願參與實驗的學生為樣本，因為學生例如教授可能以志願參與實驗的學生為樣本，因為學生是現成的，資料取得的成本也低。是現成的，資料取得的成本也低。例如教授可能以志願參與實驗的學生為樣本，因為學生例如教授可能以志願參與實驗的學生為樣本，因為學生是現成的，資料取得的成本也低。是現成的，資料取得的成本也低。

樣本是否被抽出的關鍵是便利性，我們無法知道樣本樣本是否被抽出的關鍵是便利性，我們無法知道樣本中的元素被抽中的機率。中的元素被抽中的機率。樣本是否被抽出的關鍵是便利性，我們無法知道樣本樣本是否被抽出的關鍵是便利性，我們無法知道樣本中的元素被抽中的機率。中的元素被抽中的機率。

便利抽樣 (convenience sampling)

優點是樣本抽選與資料蒐集都相當簡單，但不可能以優點是樣本抽選與資料蒐集都相當簡單，但不可能以樣本的代表性來評估樣本的「適合度」樣本的代表性來評估樣本的「適合度」 (goodness) (goodness) 。。優點是樣本抽選與資料蒐集都相當簡單，但不可能以優點是樣本抽選與資料蒐集都相當簡單，但不可能以樣本的代表性來評估樣本的「適合度」樣本的代表性來評估樣本的「適合度」 (goodness) (goodness) 。。



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使用判斷抽樣使用判斷抽樣 (judgment sampling)(judgment sampling) 這個方法的研究者這個方法的研究者必須非常瞭解研究對象，選出他認為最能代表母體的必須非常瞭解研究對象，選出他認為最能代表母體的樣本。樣本。

使用判斷抽樣使用判斷抽樣 (judgment sampling)(judgment sampling) 這個方法的研究者這個方法的研究者必須非常瞭解研究對象，選出他認為最能代表母體的必須非常瞭解研究對象，選出他認為最能代表母體的樣本。樣本。

例如一名記者可能會選出他認為最能反應全體參議員例如一名記者可能會選出他認為最能反應全體參議員看法的看法的 2 2 位或位或 3 3 位參議員來採訪。位參議員來採訪。例如一名記者可能會選出他認為最能反應全體參議員例如一名記者可能會選出他認為最能反應全體參議員看法的看法的 2 2 位或位或 3 3 位參議員來採訪。位參議員來採訪。

判斷抽樣



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優點：樣本抽選相當簡單優點：樣本抽選相當簡單優點：樣本抽選相當簡單優點：樣本抽選相當簡單

缺點：選出的樣本品質端視研究者的判斷而定。缺點：選出的樣本品質端視研究者的判斷而定。缺點：選出的樣本品質端視研究者的判斷而定。缺點：選出的樣本品質端視研究者的判斷而定。

判斷抽樣



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評註我們在本章推薦使用的機率抽樣方法共有：簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣、叢式抽樣或系統抽樣，欲知這些方法所抽出的樣本統計量是否接近母體參數，我們可以用某些公式來評估其「適合度」。便利抽樣和判斷抽樣並不能做適合度分析，因此，在解釋非機率抽樣方法得到的結果時，必須非常小心。



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End of Chapter 7, Part B


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43青少年每天看電視的平均時間是 3 小時

(Barron‘s, November 8, 1999) 。假定母體平均數 μ ＝ 3 ，母體標準差 σ ＝ 1.2 小時。如果以 50 位青少年為樣本來研究看電視的時間。

a. 請做 X-bar 的抽樣分配。


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54 Lori Jeffrey 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由電話拜訪與說明， Lori 取得訂單的機率是 25% ，現抽出她某個月的業務電話當樣本，並假設該資料所產生的比例標準誤為0.0625 。

a.本研究需要多少樣本？也就是說在那個月中 Lori共打了多少通業務電話？

b.令為推銷的成功率，請顯示的抽樣分配

第 7 章

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