1

第 7 章 拉伸、压缩与剪切

2

轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸）

轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）

§7-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例

3

拉、压的特点： 1. 两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线

4

§7-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力1 、横截面上的内力

F F

(1) 轴力：横截面上的内力

(2) 截面法求轴力m

m

F FN

切 : 假想沿 m-m 横截面将杆切开

留 : 留下左半段或右半段

代 : 将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替

平 : 对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值

0xF

FFN

0 FFN

FFN

目 录目 录

5

(3) 轴力正负号：拉为正、压为负

(4) 轴力图：轴力沿杆件轴线的变化

由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。

F F

m

m

F FN

0xF

FFN

0 FFN

FFN

目 录目 录

6

已知 F1=10kN ； F2=20kN ； F3=35kN ； F4=25kN; 试画出图示杆件的轴力图。

1

1

0xFkN1011 FFN

例题 7-1

解： 1 、计算各段的轴力。AB 段

kN102010212

FFFN

BC 段

2

2

3

3

FN2F1 F2122 FFFN 0xF

0xF

kN2543 FFN

CD 段

2 、绘制轴力图。

kNNF

x

1025

10

目 录目 录

F1 F3F2 F4

A B C D

FN1F1

FN3 F4

7目 录目 录

8

2 、 横截面上的应力杆件 1 —— 　轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2

杆件 2 —— 　轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2

哪个杆工作“累”？

不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力

• 怎样求出应力？ ( 内力集度） 思路——应力是内力延伸出的概念，应当由

内力　 应力

9

由 积分得AN d d

A

AN d

1 ）静力平衡

截面各点应力的分布？

因不知道，故上式求不出应力

要想另外的办法

F

10

2 ）几何变形

实验结果——变形后，外表面垂线保持为直线 平面假设——变形后，截面平面仍垂直于杆轴推得：同一横截面上各点的正应力 σ 相等，即正应力均匀分布于横截面上， σ 等于常量。于是有：

得应力：

A A ANAA

dd

AN

a bF a` b` F

c` d`

c d

F FN

σ

11

例题 7-2

图示结构，试求杆件 AB 、 CB的应力。已知 F=20kN ；斜杆 AB为直径 20mm 的圆截面杆，水平杆 CB 为 15×15 的方截面杆。

F

A

B

C

0yF

kN3.281 NF

解： 1 、计算各杆件的轴力。（设斜杆为 1 杆，水平杆为 2杆）用截面法取节点 B 为研究对象

kN202 NF

0xF

45°

045cos 21 NN FF

045sin1 FFN

1

2F

B

F

1NF

2NF x

y

45°

目 录目 录

12

kN3.281 NF kN202 NF

2 、计算各杆件的应力。

MPa90Pa1090

10204

103.28

6

62

3

1

11

A

FN

MPa89Pa1089

1015

1020

6

62

3

2

22

A

FN

F

A

B

C

45°

1

2F

B

F

1NF

2NF x

y

45°

目 录目 录

13

若杆件的横截面沿轴线变化 A(x), 轴力也沿轴线变化 FN(x) 时有：

（ 2—2 ）

（ 2—1 ）式的适用条件：外力合力的作用线必须与杆件的轴线重合。

)()( )(

xAxFx N

14

kF Fα

p α

k

§7—3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 为什么研究它？ 弄清楚截面方向对应力的影响

研究方法 :(1) 仿横截面应力公式去推导 (2) 找出同横截面 应力的关系

k σα

F α τα

k

k F F α k

15

由 平衡 A

α ApF d

于是 coscos A

F

A

Fp

αα

分解成正应力和剪应力，有

2coscos p

2sin2

sin p

由实验结果分析知斜截面上的应力也是均匀分布的。

16

2cos

2sin2

0 max

90 0min

45 2max

0

正负号规定： 正应力—拉应力为正，压应力为负 切应力—自外法线 n 顺时针转向它，为正；逆时针为负

0

2min

17

§7-4 材料在拉伸时的力学性能

材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变形

和破坏等方面的特性。

现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：

理论上——用简单描述复杂

工程上——为（材料组成的）构件当好医生

从受力很小 破坏

18

一、 低碳钢拉伸时的力学性能

（含碳量 <0.3% 的碳素钢）

要反映同试件几何尺寸无关的特性

要标准化——

形状尺寸

试件的 加工精度

试验条件　　

国家标准规定《金属拉伸试验方法》（ GB228-87 ）

19

试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）

20

d

dl

10

5

试验方法 —— 拉力 F 从 0 渐增

lF

l l标距 的伸长 随之渐增

得 曲线（拉伸图）

21

为使材料的性能同几何尺寸无关： 〈将 F 除以 A〉 = 名义应力 〈将伸长 除以标距 〉 = 名义应变

从而得 应力应变图，即

曲线

22

3 、强化阶段 ——

4 、局部变形阶段 ——出现径缩

1 、弹性阶段 ——

2 、屈服阶段 ——

tanε

σE

s

P

b

23

24

•延伸率 ——

%1001

A

AA

% 1001

l

ll

•截面收缩率 ——

这两个值——材料塑性标志

值越大，塑性越强% 5 塑性

% 5 脆性

对于低碳钢% 3020

% 8060

5 、延伸率和截面收缩率

25

三、其它材料拉伸时的力学性能1 、塑性材料•看书 [P24] ，观察各有几个阶段？•没有明显屈服阶段的 把塑性应变 0.2% 对应的应力——称为名义屈服极限，表示为 2.0

6 、卸载定律及冷作硬化

26

2 、脆性材料（铸铁）铸铁拉伸时的力学性能

1 ）应力—应变关系微弯曲线，没有直线阶段2 ）只有一个强度指标

b

3 ）拉断时应力、变形较小

结论——脆性材料 处理——以 O-A 割线的斜率作为弹性模量 A 为曲线上 1/4 点

27

§7—5 材料在压缩时的力学性能

避免被压弯，试件一般为很短的圆柱

高度 / 直径 =1.5 - 3

• 1 ．低碳钢压缩时的曲线 屈服前与拉伸时大致相同

• 2 ．铸铁压缩时的曲线 较小变形下突然破坏，破坏断面约 45 度

28

29

§7-6 失效、安全因数和强度条件对于拉压杆，学习了 应力计算 力学性能 如何设计拉压杆？—— 安全，或 不失效

反面看：危险，或 失效（丧失正常工作能力）

（ 1 ）塑性屈服：塑性材料的极限应力 σ s

（ 2 ）脆性断裂 脆性材料的极限应力 σ b

30

为了—— 安全，或不失效

（ 1 ）塑性 ns =1.5 - 2.5

• 轴向拉伸或压缩时的强度条件 —— ][max

][许用应力 (Allowable stress)——

（ 2 ）脆性 nb = 2 - 3.5

b

b

s

s

nn

或

根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：

一、校核杆的强度已知 Fmax 、 A 、 [σ] ，验算构件是否满足强度条件

二、设计截面

已知 Fmax 、 [σ],根据强度条件，求 A

三、确定许可载荷

已知 A 、 [σ] ，根据强度条件 , 求 Fmax

例 7—2 ：图示三角形托架 ,其杆 AB 是由两根等边角钢组成。已知 F=75kN, [σ]=160MPa, 试选择等边角钢的型号。

CL2TU7

33

解： kN75:,0 FFM NABC 得由

][NABF

A

75 10

160 10

3

6 4 687 10 4 6874 2. .m cm2

选边厚为 的 号等边角钢 其3 4 2 359mm cm2, .A

例 7—3 ：图示起重机，钢丝绳 AB 的直径 d=24mm ， [σ]=40MPa ，试求该起重机容许吊起的最大荷载 F 。

CL2TU8解： 1. 求钢丝绳 Ab 的内力

05101015

150

22

FFM NABC

FFNAB 6.0

2. 确定容许吊起的最大荷载 F

35

62

10404

024.0][

AFAB

18 086 10 18 0863. .N kN

kN30.024=F

36

§7-8 轴向拉伸或压缩时的变形

一 纵向变形lll 1

A

Fll

EA

lFl N

E

二 横向变形

l

l

bbb 1 b

b

钢材的 E约为 200GPa， μ约为 0.25—0.33

E为弹性摸量 ,EA 为抗拉刚度

泊松比 横向应变

A

FN

目 录目 录

F F b1 b

l

ll

37目 录目 录

38目 录目 录

39

例题 7-4 AB 长 2m, 面积为 200mm2 。 AC 面积为 250mm2 。 E=200GPa。 F=10kN 。试求节点 A 的位移。

0yFkN202sin/1 FFFN

解： 1 、计算轴力。（设斜杆为 1 杆，水平杆为 2 杆）取节点 A 为研究对象

kN32.173cos12 FFF NN

0xF 0cos 21 NN FF

0sin1 FFN

2 、根据胡克定律计算杆的变形。

1mmm1011020010200

21020 369

3

11

111

AE

lFl N

A

F

1NF

2NF x

y

300

mm6.0m106.01025010200

732.11032.17 369

3

22

222

AE

lFl N

斜杆伸长

水平杆缩短目 录目 录

40

3 、节点 A 的位移（以切代弧）

A

F

1NF

2NF x

y

300

1mm11

111

AE

lFl N

mm6.022

222

AE

lFl N

A

A

1A2A

A

A

1A2A

mm111 lAA

mm6.022 lAA

mm6.02 lx

mm039.3039.1230tan30sin21

433

llAAAAy

mm1.3

039.36.0 2222

yxAA

3A

4A

目 录目 录

41

060sin6.12.18.060sin

0

oo

A

TFT

m

kN55.113/ FT

MPa1511036.76

55.11 9 A

T

例 7—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮

F=20kN ，求刚索的应力和 C 点的垂直位移。

（刚索的 E =177GPa ，设横梁 ABCD 为刚梁）

解 1 ）求钢索内力（ ABCD 为对象）

2) 钢索的应力和伸长分别为

800 400 400

D

CF

A B 60° 60°

F

A B

C

DT T

YA

XA

42

mm36.1m17736.76

6.155.11

EA

TLL

CF

A B 60° 60°

800 400 400

D

A B 60° 60° D

B' D'

12C

C

3 ）变形图如左 C 点的垂直位移为：

2

60sin60sin

2

21

DDBBLC

mm79.060sin2

36.1

60sin2

o

L

§7—9 轴向拉伸和压缩的应变能

一、轴向拉伸和压缩的应变能 应变能：因变形而储存的能量

WVe F

F

l l

CL12TU1

lF 2

1

EA

lFF

2

1

EA

lF

EA

lP

22

22

l

e xxEA

xFV d

)(2

)(2

F

二、应变能密度 : 单位体积的应变能

CL12TU1F

σ

dy

dxdz

EE

ev2

2

2

2

21

应变能密度的单位： J/m3

45

§7.10 §7.10 拉伸、压缩超静定问题拉伸、压缩超静定问题

1 、问题的提出 两杆桁架变成

三杆桁架，缺一个方程，无法求解

一、超静定问题及其处理方法

C

F

A

B D

1 23

C

F

A

B

1 2

0sinsin 21 NNx FFF

0coscos 321 FFFFF NNNy

46

三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为

单凭静力平衡方程不能求解 —— 超静定问题超静定问题的求解方法：

静不定——静力不能确定

超静定问题——超出了静力范围

补充变形协调方程建立本构（或物理）方程予以沟通

结合平衡方程联立求解

47

个性：杆件，桁架（杆件组合）

2 、超静定的处理方法 平衡方程 变形协调方程 本构方程

共性：超静定问题——单凭静平衡方程不能确定出

全部未知力（外力、内力、应力）

48

例： 7—6 求三杆桁架内力，杆长 L1=L2 ， L3 =L

面积 A1=A2=A， A3 弹性模量 E1=E2=E， E3

C

F

A

B D

1 23

解 (1) 静力平衡方程——力学

F

A

FN1

FN3

FN2

0sinsin 21 NNx FFF

0coscos 321 FFFFF NNNy

49

11

111 AE

LFL N

33

333 AE

LFL N

(3) 本构方程——物理

（ 4 ）联立求解——代数

此方程于平衡方程是 3 个方程（含 3 个力未知量），解得

cos31 LL

cos33

33

11

11

AE

LF

AE

LF NN

C

A

B D

1 23

A1

1L2L3L

(2) 变形协调方程——几何

50

333

11

333

333

11

211

21

cos2

; cos2

cos

AEAE

FAEF

AEAE

FAEFF

N

NN

3 、超静定问题的解法（ 1 ）静力平衡方程——力学——原有基地（ 2 ）变形协调方程——几何——新开方向

（ 3 ）材料本构方程——物理——构筑桥梁

（ 4 ）方程联立求解——代数——综合把握

51

例 7—7 木制短柱四角用四个 40404 的等边角钢加固，角

钢和木材的许用应力分别为 []1=160M Pa 和 []2=12MPa ，

弹性模量分别为 E1=200GPa 和 E2 =10GPa ；求许可载荷 04 21 FFFF NNy

21 LL

222

22

11

111 L

AE

LF

AE

LFL NN

(2) 变形方程

(3)本构方程

解： (1) 平衡方程

P

1m

250

250

N 2

4N 1

Py

FF

y

4FN1

FN2

52

（ 4 ） 联立求解得

FFFF NN 72.0 ; 07.0 21

) ( ][ 21,iAF iiNi （ 5 ）求结构的许可载荷《方法 1》角钢面积由型钢表查得 A1=3.086cm2

kN104272.0/12250

72.0/72.0/2

2222

AFF N

kN4.70507.0/1606.308

07.0/07.0/ 1111

AFF N

P

1m

250

250

N 2

4N 1

Py

F Fy

4FN1

FN2

53

mm8.0/ 111 EL

mm2.1/ 222 EL 所以在 △ 1=△2 的前提下，角钢将先达到极限状态，

即角钢决定最大载荷

07.0

07.0111 AF

F N kN4.705

07.0

6.308160

另外：若将钢的面积增大 5倍，怎样？

若将木的面积缩小 10倍，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着

《方法 2》

54

（ 2 ）变形方程

解：（ 1 ）平衡方程

2 、静不定问题存在装配应力一、装配应力

13 cos)( LL

§7—11 温度应力和装配应力

1 、静定问题无装配应力

下图， 3 号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力

A

B C

1 2

D

A1

3

0sinsin 21 NNx FFF

0coscos 321 NNNy FFFF

55

A

A13L

2L1L

11

11

33

33 cos)(AE

LF

AE

LF NN

（ 3 ） 本构方程

（ 4 ）联立求解

/ cos21

cos

33113

211

321 AEAE

AE

LFF NN

/ cos21

cos2

33113

311

33 AEAE

AE

LFN

A1

FN1FN2

FN3

56

aa

aa

FN1

FN2

例 2—8 阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃时被固

定 ,上下两段的面积为 1=cm2 ， 2=cm2 ，

当温度升至 T2=25℃时 ,求各杆的温度应力

弹性模量 E=200GPa ，线膨胀系数 =12.5×10-61/oC

（ 2 ）变形方程

解：（ 1 ）平衡方程 021 NNy FFF

0 NT LLL

二、温度应力1 、静定问题无温度应力2 、静不定问题存在温度应力

57

（ 3 ）本构方程

（ 4 ）联立求解得

kN3.3321 NN FF

由变形和本构方程消除位移未知量2

2

1

1 ; 2EA

aF

EA

aFLTaL NN

NT

2

2

1

12EA

N

EA

FT NN

（ 5 ）温度应力

MPa7.661

11

A

FN MPa3.332

22

A

FN

58

螺栓连接铆钉连接

销轴连接

§7-13 剪切和挤压的实用计算1. 实例

59

剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。

2. 剪切的实用计算

F

F

得切应力计算公式：A

Fs

切应力强度条件： A

Fs

常由实验方法确定

假设切应力在剪切面（ m-m截面）上是均匀分布的

FFm

m

FSFm

m

SF mm F

60

bsF

bsF

3. 挤压的实用计算

bs

bsbs A

F

假设应力在挤压面上是均匀分布的

得实用挤压应力公式

bsbs

bsbs A

F 挤压强度条件：

bs 常由实验方法确定

dAbs

* 注意挤压面面积的计算

F

F

61

bsbs

bsbs A

F 挤压强度条件：

7.05.0

切应力强度条件： A

Fs

脆性材料：

塑性材料： 5.25.1 bs

0.18.0 5.19.0 bs

4. 强度条件

62

cb

F

A

F

bs

bsbs

lb

F

A

Fs

63

dh

F

A

F

bs

bsbs

2

4

d

F

A

Fs

为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足

2

42

d

F

dh

F

hd

8 2bs

64

dh

F

A

F

bs

bsbs

2

4

d

F

A

Fs

为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足

2

42

d

F

dh

F

hd

8 2bs

65

图示接头，受轴向力 F 作用。已知 F=50kN ， b=150mm ，δ=10mm ， d=17mm ， a=80mm ， [σ]=160MPa， [τ]=120MPa， [σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。

][MPa1.43101.43

01.0)017.0215.0(

1050

)2(6

3

db

F

A

FN

2. 板的剪切强度][MPa7.15107.15

01.008.04

1050

46

3

a

F

A

Fs

解： 1. 板的拉伸强度

d

b a

例题 7-9

66

3. 铆钉的剪切强度

][MPa11010110

017.0π

10502

π

2

π2

4

6

2

3

22

d

F

d

F

A

Fs

4. 板和铆钉的挤压强度

][MPa14710147

01.0017.02

1050

26

3

bs

bs

bsbs d

F

A

F

结论：强度足够。

d

b a

67

小结

1.研究对象2.轴力的计算和轴力图的绘制3. 典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能及相 关指标4.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算

5.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移6.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法

目 录目 录

7. 连接件的强度计算