مقدمة: 1- 7 البحثية والمشاهدات التجارب مختلف في ما كثيرا

لمتغيرين المتناظرة القراءات من مجموعة على نحصل بين العالقة إيجاد ذلك بعد المفيد من يكون أكثر...وقد أو

صورة في المتناظرة القيم هذه توافق التي المتغيرات مسببة، أخرى لتغيرات كنتيجة الحادث التغير تربط دالة

, y = f (x1, x2التالية: الدالية بالعالقة رياضيا هذا ويترجمx3 ,……)أن حيث (x1 , x2 , x3 ).... , مستقلة متغيرات هي

’f‘ و المتغيرات هذه كل من الناتج المتغير هي’y‘ بينما شكل المتغيرات. وأبسط بين تربط التي الدالة هي

تكون أي واحدا المستقل المتغير يكون السابقة للعالقة على الدالة تكون فقط أثنين متغيرين بين العالقة

y = f (x)الصورة: لمجموعة جدول على نحصل العملية التجارب في

والمتغير’x‘ المستقل للمتغير المتناظرة القيم من بنقطة تمثل المتناظرة القيم هذه من كل فإن’y‘ التابع ذلك بعد المهم ويكون منه بالقرب أو منحنى على واقعة

أو بكل يمر الذي المنحنى ذلك معادلة على الحصول هو أو النقط هذه معظم المعادلة هذه تدل بحيث منها قريبا

موضوع المتغيرين بين للعالقة العامة الصورة علىالدراسة.

تسمى الطريقة بهذه عليها نحصل التي والمعادلة هذه وتسمى للمنحنىEmperial Equation تجريبية معادلة

(.Curve Fitting المنحنى المتبعة: )توفيق الطريقة مجموعة توافق ص__ورة من أك__ثر هن__اك أن نجد وقد

أك__ثر أو ومنح__نى مس__تقيم خط رسم يمكن ك__أن النقط مناس__بة... ل__ذلك بدرجة النقط مجموعة يوافق منها وكل تتوقع ال__ذي المنح__نى ش__كل اختي__ار يجب البداية من فإنه

والمعرفة الدراسة على بن_______اء وذلك عليه الحص_______ول

CURVE- توفيق المنحنيات 7FITTING

الم_نحنيات توفيق

ومعناها المتغ_____يرين بين للعالقة النظرية باالعتب_____اراتالطبيعي.

توفيق يمكن فإنه معروفة الدالة تكن لم إذا وعموما معادلة وتفضل التجريبية النتائج لنفس معادلة من أكثر )معامل للنتائج تمثيلها دقة طريق عن األخرى عن

استخدامها. بساطة أو االرتباط(،

100

الم_نحنيات توفيق

اآلتية: الصور المعادالت وأفيد أهم ومن Linear Equation المستقيم الخط معادلة-1

Parabolic Equation الثانية الدرجة معادلة-2

Exponential Function األسية - الدالة3

Power Function الق_وى - دالة4

Boissen Function بواسون - دالة5

Gauss Function جاوس - دالة6

هي المنحنى دالة اختيار تتلى التي والخطواتاآلتية: الطرق بإحدى الثوابت قيم إيجاد

Graphical method البيانية - الطريقة1Average Points method المتوسطة النقط - طريقة2 Leastالصغرى( )المربعات التربيعات أقل - طريقة3

Square method

في الشخصي الحكم على تعتمد البيانية والطريقة وهو البيانات من مجموعة لتوفيق تقريبي منحنى رسم

المنحنى، توفيق في باليد التمهيد بطريقة يسمى ما وسهولة بالبساطة تمتاز المتوسطة النقط طريقة بينما

التربيعات( )أقل الصغرى المربعات طريقة التطبيق. أما من دقة بأكثر القراءات عن تعبر نتيجة تعطى فهي

السابقتين. الطريقتين

Graphical method البيانية_ الطريقة_ 2- 7 Straight line المستقيم - الخط 2-1- 7

يمكن حيث خاصة أهميه المستقيم الخط لدالة النقط . ترسم إليها الخطية غير الدوال من كثير تحويل

101

الم_نحنيات توفيق

تمثيلها إمكان لوحظ وإذا مربعات ورقة على التجريبية بيانية. بطريقة الثوابت إيجاد فيمكن مستقيم بخط

بين للمرور شفافة مسطرة استخدام في وتتلخص وتكون تحتها للتي مساويه فوقها التقط فتكون ، النقط

منه ناحية في الخط فوق النقط تتراكم ال بحيث متناوبة منه األخرى الناحية في الخط تحت النقط تتراكم بينما “1 ” يكون ميله فإن المستقيم الخط رسم وعند

aيكون الصادات محور مع وتقاطعه “a0”في هو كما . ( عالية1) المعادلة

(:1-7) مثال أ- ارسم خطا مستقيما

بالجدول البيانات يوافقx 2 3 5 7 9 11 y 3 1 7 11 17 15

الخط هذا معادلة ب- إوجد

الح_____ل هو كما المتعامدة لإلحداثيات نظام في النقط أ- ضع

تقع النقط جميع أن الواضح بالشكل. من موضح المستقيم الخط أن أي حوله أو مستقيم خط على

كبيرة. بدرجة البيانات هذه يوفق يلي: بما المعرف المستقيم الخط معادلة ب- لتحديد

على واقعتين نقطتين تحديد يكفى فإنهالمنحنى.

سبيل على(7,11( , )5,7) وليكن نقطتين أي بمعرفةتحديدها. يمكنa0 , a1 الثوابت فإن المثال،

102

الم_نحنيات توفيق

Y في التغير مقدار ويمثل الخط ميل تسمىMحيث: Y قيمة وهو a0 الثابتX في التغير مقدار على مقسوما

.Y المحور من المقطوع بالجزء يسمىX = 0 عند المنحنى مد عند أنه ويالحظ Y المحور يالقى فإنه يدويا

البيانات تمثيل يمكن ذلك . وعلى3– النقطة عنداآلتية: بالمعادلة السابقة

Quadratic Equation الثانية الدرجة معادلة 2-2- 7

وصف في وخصوصا بكثرة المعادلة هذه تستخدم المعادلة هذه تحويل ويمكن النمو لعناصر النبات استجابة

كاآلتي: الخطية الصورة إلى

: اآلتي يتبع(a0 , a1 , a2) الثالثة الثوابت إليجاد وتستخرج مربعات ورقة على (X ,Y) بيانات - ترسم1

المحور مع التقريبي المنحنى تقاطع من(a0) قيمةالصادي.

خطا أعطت فإن(X) ضد وترسم القيم - تحسب2 فإن وإال بيانيا سبق كماa1 , a2 تحديد أمكن مستقيما

البيانات. تمثل ال الثانية الدرجة معادلة

103

X)a-(Y 0

Y

X

X X

ao

aI

X)a-(Y 0

الم_نحنيات توفيق

(: النتائج2-7) مثال اإلنتاج تمثل التالية كداله للهكتار بالطن ”X“ غذائي لعنصر

للهكتار بالكيلوجرام تمثيل إمكان ويعتقد

من حدود بتعدد البياناتالثانية. الدرجة

X 0 10 30 60 100 155 200Y 0.1 1.91 5.0 8.0 10.0 7.5 0.10

نجد والنت___ائج الرسم منأن:

(a0= 0.10 t/ha) التالية: المعادلة في

على التالية القيم وتأخذ: الترتيب

: 0.190 , 0.160 ,

0.126 , 0.099 , 0.050 ; 0.00

والمعادلة: الرسم من

a1 = 0.19

Exponential Function األسية الدالة 2-3- 7

104

الم_نحنيات توفيق

معادلة إلى ) تحويلها المعادلة هذه تقويم يمكن . الطرفين لوغاريتمات بأخذ ( وذلك مستقيم خط

الدالة عكس هي األسيه الدالة أن والمعروفاللوغاريتمية.

الرأسي المحور مع تقاطعه خط معادلة هي وهذهLn a0الخط وميل a1تحديد العادة في . ويمكن a0 , a1 من المستقيم. الخط رسم

:(: النقط التالية تمثل داله يحتمل أن تكون أسيه 3-7مثال )543210X

445164602283Yالحـــــل

ورقة على الدالة ارسم على لتتعرف مربعات للدالة المميز الشكل . تأكد"Y" لوغاريتم وبأخذ

برسمها الدالة تقويم من مربعات ورق على

. المعادلة ثابتا واستنتج

543210X445164602283Y6.15.14.13.12.11.1Ln Y

من أسية الدالة أن المستقيم الخط من يتضح على الحصول يمكن الرأسي المحور مع الخط تقاطع النقط معادلة فإن هذا وعلى الخط ميل من”a1“ الثابت

على الدالة رسم فيمكن”Y“ لوغاريتمات حساب من بدال يمثل وفيه( Semi - Logarithmic)لوغاريتمي نصف ورق

. حساب بدون للوغاريتم الرأسي المحور على الطول

105

الم_نحنيات توفيق

للمثال المرفق الرسم من: أن يتضح السابق

ln a0 = 1.1a0 = e1.1

Power Function الق___وى دالة 2-4- 7

الطرفين لوغاريتم أخذ أيضا الحالة هذه في يفيدينتج:

ln Y = ln a0 + a1 ln X ذلك يتبين أن ويمكن ، الدالة تقومت الشكل وبهذا

حساب من وبدالLn X“ “ مقابل”Ln Y“ رسم من لوغاريتمي ورق على الدالة رسم فيمكن اللوغاريتمات

“ قراءة واألفقي. ويمكن الرأسي االتجاهين من كل في“a0و الصادات محور مع الدالة تقاطع من ““a1كميل

التالي. المثال في كما الثابتين حساب يمكن أو الخط

(: النتائج التالية تبين معدل تدهور مبيد4-7مثال ) كنسبه مئوية في اليوم مع القطرYأعشاب ““

بالميـكرون. المطلوب التأكد منXالمتوسط لقطرات الرش ““ إمكان تمثيل النتائج بدالة القوه. إوجد أيضا ثابتي الدالة وقدر القطر

.% فى اليوم 30المتوسط الذى يعطى معدل تدهور مقداره X ( ) 50 100 200 500Y (% / day) 80 20 5 1

106

الم_نحنيات توفيق

الح_____ل (Log - Log) ورق على مستقيم خط العالقة أن حيثقوى. دالة فإنها

توجد ال حيث الرسم على من“a0 “ تقدير الصعب من الخط على نقطتين أخذ فيمكن ذلك ومعX = 1 عليه

. الثابتين على للحصول المعادلة فى بهما والتعويض

(:1) ( على2) المعادلة بقسمة

107

الم_نحنيات توفيق

المعادلتين إحدى فى التعويض يمكن”a0“ على للحصول(:1) ولتكن

Boissen بواسون دالة 2-5- 7

ثم أقصى حد إلى تصل ثم بالصفر الحالة هذه تبدأ هذا الالنهاية. ويقابل عند السينات محور مقاربة تقل

للمياه النبات استجابة منها كثيرة تطبيقات في الشكل يزيد حيث ، النيتروجين مثل األخرى النمو وعناصر

إلى الزيادة تصل عندما يقل ثم العنصر بزيادة المحصول معادلة أيضا الحالة هذه في استخدمت الضرر. وقد حد

لوغاريتم يؤخذ أيضا الدالة هذه الثانية. لتقويم الدرجة

108

الم_نحنيات توفيق

على العالقة فتصبحX““ على قسمتهما بعد الطرفينالصورة: على متصل خط هيئة

ln (Y/x) = ln a0 - a1x

التالي: فيa0 , a1““ الثابتين تحديد طرق تلخيص ويمكن حساب بعدX“ “ ضد”Ln y/x“ رسم-1

فيكون ، عاديه مربعات ورقة على اللوغاريتمات“ هو السالب الميل ويكون”Ln a0“ هو التقاطع

a1”.

109

الم_نحنيات توفيق

نصف ورقة على”x“ ضد “y / x“ - رسم2 محور مع الخط تقاطع " منa0" قيمة وتحديد لوغاريتمية

أنها: على " فتحسب a = 1" تكون عندما الصادات

الصورة: على المستقيم الخط معادلة في وذلكln (y/x) = ln a0 - a1x

بعد الخط على نقطتين أخذ من معادلتين - تكوين3 المثال في كما وحلهما استقامته من والتأكد رسمه

السابق.

(:البيانات التالية تمثل وزن المادة الجافة5-7مثال )"w " لمعامالت رطوبة مختلفة " yفي نبات "

1.00.80.60.40.20w (av.water)1.82.12.22.01.50y (g/pot)

110

ln (y/x)

ln a0

X

الم_نحنيات توفيق

إمكان وجرب ، منها لتتحقق الدالة شكل ارسم . الثابتين قيمة وأوجد "بواسون" لتمثيلها معادلة توفيق" w = 1.2" تكون عندما " المتوقعةy" قيمة وحدد

الحـــــلw 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0y 0 1.5 2.0 2.2 2.1 1.8y/w - 7.5 5.0 3.7 2.6 1.8ln (y/w) - 2.0 1.6 1.3 0.96 0.59

" ضد ln (y/w)" استقامة"wاستخدام إمكان " تؤكد

". معادلة " بواسون دالة من المستقيم الخط

الرسم:

الرسم " منy" قيمة إيجاد " ويمكنw=1.2" تكون عندماكاآلتي: أو

” Gauss " دال___ة 2-6- 7

إلى تؤول أنها "بواسون" لوال الدالة هذه تماثل الدالة هذه األس. لتقييم في التربيع لوجود أسرع الصفر بعد الطرفين، لوغاريتميا " يؤخذa0 , a1" الثابتين وتحديد

سبق. " كماx" على القسمة

111

الم_نحنيات توفيق

خطا يعطى " ورسمهاx2" مع " خطية y/x" فالدالة إذامستقيما.

لتمثيل جاوس معادلة توفيق إمكان (: جرب6-7) مثال واحسب ، المعادلة ثابتى وأوجد السابق، المثال بيانات بنتيجة " وقارنها w = 1.2" عندما " المتوقعة Y" قيمة

السابق. المثال

w 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0y 0 1.50 2.00 2.20 2.10 1.80

Y/w - 7.50 5.00 3.70 2.60 1.80ln (y/w) - 2.00 1.60 1.30 0.96 0.59

W2 0 0.04 0.16 0.36 0.64 1.00

دالة استخدام إمكان " تبينW2" " ضدln y/w" استقامة مع منها أكبر المستقيم عن االنحرافات أن ولو جاوس

: الرسم من المستقيم الخط بواسون. معادلة دالة

"w= 1.2" تكون عندما " منy" قيمة إيجاد يمكن

بالحساب أو الرسمكاألتى:

تقل القيمة هذه أن واضح " التيg/pot 1.56" عن

معادلة من حسابها سبق لسرعة نظرا بواسون من جاوس دالة اقتراب مرحلتها في الصفر

112

الم_نحنيات توفيق

ذكره. سبق كم األخيرة

113

الم_نحنيات توفيق

Method of Average المتوسطة النقط_ طريقة_ 3- 7Points

Definition of average point المتوسطة النقطة تعريف فإن(xI ,yi( , )I=1 , 2 , 3 , 4......n) النقط لدينا كان إذا

العالقات: من تعطى(xa ,ya) المتوسطة النقطة إحداثيات

الخط لمعادلة المتوسطة النقطة طريقة 3-1- 7المستقيم

Average point method for linear equation القراءات تقسيم فى الطريقة هذه تنحصر

تقريبا. ثم متساوية قراءاتهماn1 , n2 فئتين إلى المعلومةتكون: حيث فئة لكل المتوسطة النقطة إحداثيات نوجد

بهاتين يمر الذي المستقيم الخط معادلة تعيين ثم Y=a0+a1X المستقيم الخط معادلة كانت النقطتين. فإذا

على: تحصل المتوسطة النقط بإحداثيات بالتعويض فإنه

Normal االعتيادية بالمعادالت1،2 المعادالت وتسمىEquationالثابتين من كل قيمة على نحصل وبحلها a0 ,

a1قيمة تعتمد . وقد a0 , a1القراءات، تقسيم طريقة على النقط من فئتين إلى القراءات تقسيم يكون أن والمعتاد المستقيم( )الخط الشكل يمين على تظهر إحداهمايساره. عن واألخرى

114

الم_نحنيات توفيق

(: إوجد معادلة الخط المستقيم الذي يناسب النقط المبينة7-7مثال )التالي:إحداثياتها في الجدول

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 1.48 1.76 2.78 3.32 3.86 4.15 4.75 5.66 6.18 6.86

إحداثيات وتكون أولى كفئة األولى قيم الخمسة نأخذ هي: لها المتوسطة النقطة

إحداثيات وتكون ثانية كفئة الثانية قيم الخمسة نأخذ ثمهي: لها المتوسطة النقطة

ولتبسيط العمل الحسابي يمكن كتابة جدول القراءات x , yالمعطاة في صورة فئتين من القراءات ثم إيجاد

هكذا:لكل فئة x y X y1 1.48 6 4.152 1.76 7 4.753 1.78 8 5.864 3.32 9 6.185 3.86 10 6.86

x=15 y=13.20 x=40 y=27.60 نحصلn1 = n2 = 5 حيث2 , 1 المعادلتين فى بالتعويض

على:

115

الم_نحنيات توفيق

معادلة وتأخذa0 , a1 على نحصل المعدلتين هاتين بحلالصورة: المستقيم الخط

المكافئ القطع لصورة المتوسطة النقط طريقة 3-2- 7Method of average point for parabolic type.

يستخدم أن يمكن المتوسطة النقط طريقة إليجاد أيضاالصورة: على المكافئ القطع معادلة

لتعيين الحالة هذه وفى المعطاة، القراءات لتناسب إلى المعطاة النقط تقسيم يلزمa0 , a1 , a2 الثالثة الثوابت

فئة لكل المتوسطة النقط إحداثيات إيجاد ثم فئات ثالث نقط بالثالث يمر الذي المكافئ القطع تعيين ثم

المتوسطة.

اآلتية:(: إوجد معادلة القطع المكافئ التي تناسب القراءات 8-7مثال )x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8y -3.5 0.4 2.5 4.2 5.8 6.6 7.8 8.0 8.6 7.6 6.2

نقط واألربعة أولى كفئة األولى نقط الثالث نأخذ ثم ثالثة كفئة األخيرة نقط واألربعة ثانية كفئة التاليةهي: فتكون المناظرة المتوسطة النقط إحداثيات نوجد

الثالث متوسط(0.2 , -1)-األولى الفئةاألولى نقط

األربع متوسط(6.1 , 2.5)الثانية الفئةالتالية نقط

األربع متوسط(7.6 , 6.5)الثالثة الفئةاألخيرة نقط

نعوض نقط، الثالث بهذه يمر الذي المكافئ القطع إليجاد المعادلة فىx , y عن

116

الم_نحنيات توفيق

على:( من إحداثيات هذة النقط الثالث فنحصل 1)

Set 2av. pt. Set 3av. pt.

Set 1av. pt .

أن: نجد األخيرة معادالت الثالث بحلa0 = 2.075 , a1 = 2.085 , a2 = -0.190

هي: المطلوبة المعادلة تكون و

y = 2.075 + 2.085 x - 0.190 x2

Method of Least الصغ_رى المربعات طريقة_ 4- 7squares

Definition of Residuals اإلنحرافات تعريف 4-1- 7

الشكل، فى أنه نفرضy = f(x) المنحنى مناسبا

, P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) للنقطP3(x3, y3) وهكذا. يعرف

117

Q1

P1Q2

P2

Q3

P3

X

Y

الم_نحنيات توفيق

ألىresidual اإلنحراف المبينة النقط من نقطة

المنحنى عن بالشكل المسافة بأنه المناسب النقطة هذه بين الرأسية

فإن والمنحنى. لذلك , P1 نقط للثالث اإلنحراف

P2 , P3الترتيب على يكون هو:

االنحراف ويكون أعلى النقطة كانت إذا موجبا ويكون المنحنى المنحنى. أسفل النقطة كانت إذا سالبا

هو للمنحنى توفيق أفضل أن نرى التعريف هذا ومنصغيرا. يكون لالنحرافات المطلقة القيم فيه الذي

يوافق الذي المستقيم الخط أن نرى أن ويمكن كانت مهما المتوسطة النقط بطريقة المعطاة القراءات

الذي المستقيم الخط هو فئتين إلى القراءات تقسيم يكون لالنحرافات الجبري المجموع فيه للصفر. مساويا

من المتوسطة النقط بطريقة أننا يعنى ال وهذا القيم تكون فقد توفيق، أحسن على نحصل أن الضروري الموجبة االنحرافات أن مع كبيرة لالنحرافات المطلقة

المجموع فإن ذلك السالبة. وعلى االنحرافات توازن ألحسن كمبدأ يستخدم أن يمكن ال لالنحرافات الجبريتوفيق.

ك__انت، مهما االنحراف__ات مربع__ات أن وحيث دائم__ا يس__اوى ال االنحراف__ات مربعات مجموع إذن موجبة، تكون

النق__ط(. وب__ذلك بجميع يمر المنح__نى ك__ان إذا )إال ص__فرا ه__ذا يك__ون عن__دما هو توفيق أفضل أن الواضح من يك__ون

االنحراف__ات( ص__غيرا. وعليه مربع__ات )مجم__وع المجم__وع النقط من لفئة معينة ص__ورة في المنح__نى توفيق ف__إن

118

الم_نحنيات توفيق

مجم__وع تك__ون بحيث الث__وابت تع__يين طريق عن يك__ون االنحرافات مربعات ذلك. أمكن كلما صغيرا

هو صورته معلوم لمنحنى توفيق : أحسنتعريف مربعات مجموع تكون بحيث الثوابت تعيين فيه الذي

يمكن. ما أقل االنحرافات

هناك وليس االحتماالت نظرية إلى التعريف هذا ويرجعلمناقشتها. الحيز هذا في مجال

المستقيم الخط لصورة التربيعات أقل طريقة 4-2- 7

Method of Least Squares for Linear Type

هي: المستقيم الخط صورة أن نفرض

هي: المعطاة القراءات كانت فإذا(xi , yi( )I=1 , 2 , 3 , 4 , ... , n)

مربعات مجموع يكون االنحرافات تعريف حسب فإنهمساويا: االنحرافات

يمكن ما أقلE تكون ولكيa0 , a1 في دالةE أن وواضح بالنسبة الجزئية التفاضلية عامالتها صغرى( فإن )نهاية

يكونa0 , a1 من كل إلى أن: أي للصفر، مساويا

الصورة: على األخيرتين المعادلتين كتابة ويمكن

119

الم_نحنيات توفيق

المعادالت المعطاة. وهذه القراءات عددn حيث هذه وبحل ،Normal equations القياسية المعادالت تسمى

.a0 , a1 الثابتين من ك____ل على نحصل المعادالت إوجد الصغرى المربعات طريقة (: باستخدام9-7) مثال

اآلتية: للقراءات مستقيم خط معادلة انسبx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 1.48 1.76 2.78 3.32 3.86 4.15 4.75 5.66 6.18 6.86

هي:a0 , a1 الثوابت لتعيين القياسية المعادالت

اآلتى: )عدد القـراـءات(. ثم نكون الجدول n = 10حيث x y x2 Xy1 1.48 1 1.4802 1.76 4 3.5403 2.78 9 8.3404 3.32 16 13.285 3.86 25 19.306 4.15 36 24.907 4.75 49 33.258 5.66 64 45.289 6.18 81 55.6210 6.86 100 58.60

x=55 y=40.80 x2=385 xy=273.57 وعن الجدول هذا من القياسية المعادالت فى بالتعويض

n = 10على: نحصل

40.80 = 10 a0 + 55 a1 , 273.57 = 55 a0 + 385 a1

120

الم_نحنيات توفيق

أن: نجد المعادلتين هاتين وبحلa0 = 0.596 , a1 = 0.596

المعطاة للقراءات مستقيم خط معادلة أنسب وتكونهي:

y = 0.802 + 0.596 x

الحدود. كثيرة لصورة الصغرى المربعات طريقة 4-3- 7 , xi , yi( , )I = 1 , 2)القراءات: لدينا كان إذا3 , ... , n)

الحدود لكثيرة القراءات هذه منحنى توفيق والمطلوب على حدود كثيرة أىm < (n-1) حيثm الدرجة من

الصورة:

االنحرافات مربعات مجموع يكون الحالة هذه فيمساويا:

E ولكيk = 0 , 1 , 2 , ... , m حيثak في دالةE أن وواضحفإن: يمكن ما أقل

الثوابت: تتعين وبحلها المعادالت من(m+1) تعطينا وهذهak (k = 0 , 1 , 2 , ... , m).

(: باستخدام طريقة المربعات الصغرى إوجد كثيـرة الحدود10-7مثال )اآلتية:من الدرجة الثالثة التي توافق القراءات

x 1 2 3 4 5 6 7 8y 2.105 2.808 3.614 4.604 5.857 7.451 9.467 11.985

121

الم_نحنيات توفيق

الصورة: على الحدود كثيرة بوضع

المعادالت فتكون ثوابت أربعة على تحتوى أنها نجد هي لتعيينها القياسية :

اآلتي: هي عدد القراءات. وبذلك يلزم تـكوين الجدول nحيث x x2 x3 x4 x5 x6 y xy x2y x3y1 1 1 1 1 1 2.105 2.105 2.105 2.1052 4 8 16 32 64 2.808 5.616 11.232 22.4643 9 27 81 243 729 3.614 10.841 32.526 97.5784 16 64 256 1024 4096 4.604 18.406 73.664 294.6565 25 125 625 3125 15625 5.857 24.285 149.425 735.1256 36 216 1296 7776 46656 7.451 44.706 268.236 1609.4167 49 343 2401 16807 117649 9.467 66.269 463.883 3247.1818 64 512 4096 32768 262144 11.985 95.880 767.040 6136.320=36

=204

=1296

=8772

=61776

=446954

=47.691

=273.119

=1765.111

=12141.845

الجدول من السابقة األربع المعادالت في بالتعويض على: نحصل الناتجة المعادالت حل ثمn = 8 عن و السابق

a0 = 1.426 , a1 = 0.693 , a2 = -0.028 , a3 = 0.013هي: المعطاة القراءات توافق التي الحدود كثيرة فتكون

y = 1.426 + 0.693 x - 0.028 x2 + 0.013 x3

122