nhmath.com´ 養實踐教材/十上完稿(1030... · 目錄 實數系 實數系
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目錄
實數系
實數系 ................................................................................................................................................ 1
分數 ................................................................................................................................................ 2
非分數 Irrational Numbers (無理數) ............................................................................................. 4
絕對值不等式 .................................................................................................................................... 9
看差距 .......................................................................................................................................... 10
臨界點在哪裡?............................................................................................................................. 11
算、式 .............................................................................................................................................. 14
分式 .............................................................................................................................................. 16
根式 .............................................................................................................................................. 16
雙重根號 ...................................................................................................................................... 17
平均數 .............................................................................................................................................. 18
算術平均數 (平均加) .................................................................................................................. 18
幾何平均數 (平均乘) .................................................................................................................. 18
再談平均乘 .................................................................................................................................. 19
算幾不等式 ...................................................................................................................................... 20
從科學記號談對數與指數
前言 .................................................................................................................................................. 23
看等級 .............................................................................................................................................. 24
科學記號最簡單的等級表示法 .................................................................................................. 25
有效數字 .......................................................................................................................................... 27
有效數字的加減乘除 .................................................................................................................. 28
數字的等級表示法 .......................................................................................................................... 30
重返科學記號 .................................................................................................................................. 31
我們也會需要別種晉級標準嗎？ .................................................................................................. 39
對數函數 .......................................................................................................................................... 40
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關於指數 .......................................................................................................................................... 45
實數等級(實數指數) .................................................................................................................... 46
對數的運算 ...................................................................................................................................... 47
A. 等級的加減法 ......................................................................................................................... 48
B. 等級的乘法 ............................................................................................................................. 50
C. 換底公式 ................................................................................................................................. 51
反函數 .............................................................................................................................................. 55
指數函數的圖形 .............................................................................................................................. 57
指對數圖形的凹向性觀察 .......................................................................................................... 59
複利問題 .......................................................................................................................................... 65
直線與圓
直線方程式(關係式) ........................................................................................................................ 68
如何利用斜率來描述一條直線呢？ .......................................................................................... 70
平行線特質 ...................................................................................................................................... 72
垂直線特質 ...................................................................................................................................... 72
平移，怎麼移？ 用加減做平移，用乘除做伸縮！ ............................................................... 76
從縮放看到直線的截距式 .............................................................................................................. 78
點到直線的距離 .............................................................................................................................. 79
方法一： ...................................................................................................................................... 79
方法二： ...................................................................................................................................... 80
方法三： ...................................................................................................................................... 81
半平面方程式 .................................................................................................................................. 82
看上下 .......................................................................................................................................... 82
看左右 .......................................................................................................................................... 82
用函數值來看 .............................................................................................................................. 83
圓方程式 .......................................................................................................................................... 85
圓與直線 .......................................................................................................................................... 88
切線與割線 ...................................................................................................................................... 90
-
多項式函數及其圖形
函數與方程式 .................................................................................................................................. 91
多項式函數的圖形 .......................................................................................................................... 93
多項式 .......................................................................................................................................... 93
圖形都一樣 .................................................................................................................................. 93
係數的影響 .................................................................................................................................. 93
不同次方的單項函數變化不相同 .............................................................................................. 94
重根如何表現在圖形上 .............................................................................................................. 95
因式如何表現在圖形上 .............................................................................................................. 96
畫出略圖 ...................................................................................................................................... 96
畫出略圖──因式形式 .............................................................................................................. 97
函數圖形相加會變成… ................................................................................................................ 98
畫出略圖──一般形式 ............................................................................................................ 100
回顧平移 .................................................................................................................................... 104
循著函數的變化解二次方程式 ................................................................................................ 105
三次函數 ........................................................................................................................................ 107
先談對稱性 ................................................................................................................................ 107
三種形式的三次函數圖形 ........................................................................................................ 109
三次函數的配方幫我們將函數中心平移到原點 ................................................................ 110
除法原理 ........................................................................................................................................ 113
餘式定理 ........................................................................................................................................ 113
三次函數的圖形 ............................................................................................................................ 115
冪次方排列多項式幫助我們找到函數某一點「圖形的瞬間斜率」 ................................ 115
三次函數圖形變化的探討：翻轉點(局部極大極小)在哪裡？ .............................................. 117
翻轉點如何發生的？ ................................................................................................................ 117
翻轉點怎麼找？ ........................................................................................................................ 118
綜合除法 ........................................................................................................................................ 121
不等式 ............................................................................................................................................ 125
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數學新世界
實數系 指導：CA高中核心概念 作者：蔡晴穎
1
實數系
數，因使用需求而產生。
只要是實際看得到的長度，都可以用「實數」系統形容。
我們需要哪些數，才能描述所有可能的長度？
阿銘想量竹竿的長，他把一端放在 0 的位置…
1. 若另一端剛好落在刻度 45 公分的位置，那麼量到的竹竿長為_____公分。(整數)
2. 若另一端剛好落在刻度 45 和 46 公分中間的位置，那麼量到的竹竿長為_______公分。(分數)
3. 若另一端落在刻度 45 和 46 公分大約 13的位置，我們把它放大來看…。
發現它還是在大約13的位置，於是再把它放大看…
發現它還是在大約13的位置，於是再把它放大看…
再放大…
一直都還是在13的位置…，那它的長度應該是多少呢？________我們有真
的量到它嗎？_______它寫成小數是________________
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2
分數
分數寫成小數有哪些形態呢？
(1) 如 12。它是：□有限 □無限 □循環 □不循環
反過來，我們可以把5.3這個有限小數寫成分數嗎？________
可以寫成分數的小數，分母一定可以變為 10 的次方，也就是說，它的分
母只可能有兩個質因數_______和________。
(2) 如 119
，一定保證會循環嗎？ 請說明。 19 1
它是：□有限 □無限 □循環 □不循環
反過來，我們可以把5.328這個無限循環小數寫成分數嗎？
那……無限不循環小數是什麼樣的數呢？
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3
想想看…「無窮」這件事
無窮，是個形容詞，不能直接拿來算，只能靠推論。
阿銘量身高，機器上方的量尺不斷下降，靠近阿銘的頭…慢慢的、不斷的靠
近…，
當尺靠到頭的時候，量到的長度是尺的長度還是阿銘的身高？它們是一樣的
嗎？＿＿＿＿
尺的刻度可以拿來標示為阿銘的身高嗎？＿＿＿有更好的選擇嗎？＿＿＿＿
身高是身高、尺是尺，阿銘的身高和尺的刻度差了什麼？＿＿＿＿
數，被用來標記長度，差一個點，長度有差嗎？______
0.9 0.9 0.09 0.009 0.0009 ...= + + + +
每加一次，它與 1 的距離就又縮為原來的_________，無止無盡的靠近，
那麼0.9 和 1 有一樣嗎？＿＿ 我們如何檢驗？
0.9 是形容一個不斷靠近 1 的數，那麼最適合拿來描述0.9 的數是哪一個數
呢？______
兩個分數之間，一定還有分數嗎？＿＿＿＿＿你能在1
9999與
110000
間再找一
個分數嗎？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
0 是什麼都沒有嗎？ 1 1 1 1 1, , , , ...9 99 999 9999 999...999
這樣的數列，會一直往 0 靠
近，越來越小、越來越小…到最後還有剩嗎？
剩下什麼呢？________
按照這樣的想法，有理數（分數）已經密密麻
麻的囉！那麼，數線還有空隙嗎？…也就是
說，分數已經足夠我們描述所有可能的長度了
嗎？
三⼀律： 兩實數之間的關係，大於、等於、⼩於，三選⼀
兩數是否⼀樣，如何得知？
(1) a b−減法： 是否為 0？
(2) ab
除法： 是否為 1？
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4
非分數 Irrational Numbers (無理數) 阿銘想在房間的一個轉角做一個櫃子，如右
圖，請用畢氏定理，幫阿銘算出櫃子的面寬應
該是_______公尺。
這個數是量出來的，還是算出來的？
__________
它是真實存在的長度，所以我們在數線上一定
找得到它，對吧！
2 這個數可以寫成有限小數或無限循環小數(分數)嗎？
證明 2 不是分數。
顯然，原來發展出來的數已經不夠用。我們稱像 2 這樣的數為無理數。但它
不是分數，所以既不是有限，也不會循環，那麼它就是無限不循環小數了!
無理數不是分數，表示分數還是有空隙囉！那麼，數線上我們再加上無理數
(非分數)之後，還有空隙嗎？ 戴得金切割（Dedekind cut）告訴我們，沒空隙了，已經全部填滿了。
小知識：戴得金切割也可以這麼說～
把一些元素排成一列，如果有間隙，我們可以用這個間隙將這一列分成兩
個部分，如果沒有間隙，我們只能借用某個元素來將這一列分成兩個部分!
常用符號：自然數 、整數 、正整數 +、０、負整數 −、有理數 （分
數）、無理數（非分數）、實數 ，這些數如果要用填入下列區域中
1 公尺
1 公尺面寬
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
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數學新世界 分點
高中核心概念
5
我們來看看下列的敘述:
一、你從這個路口（Ａ）往下一個路口（Ｂ）走，大概走這兩個路口距離的五
分之二的位置就是你要找的店（Ｐ）了。
二、你從這個路口（Ａ）往下一個路口走，過了下一個路口（Ｂ）後，大概再
走這兩個路口距離的五分之二的位置就是你要找的店（Ｐ）了。
如果把路口（Ａ）與（Ｂ）的位置用數線分別標定為a與b，店（Ｐ）的位置標定為 p，那麼
敘述一的數學表示方式可以寫成2 ( )5
p a b a= + −
敘述二的數學表示方式可以寫成2 7( ) ( ) ( )5 5
p a b a b a a b a= + − + − = + −
如同上述的想法，已知數線上 ( )A a 、 ( )B b 兩點， ( )P p 在直線 AB←⎯→
上，且
: :PA PB m n= 。我們想要藉此找到P的位址，可以如下操作。
首先，P點可能位置會有兩類：
第一種情形，P在 ( )A a 、 ( )B b 之間
由於P在 A的右邊，我們把 A加上 AP的距離就是P的位址。但依比例來看，
mAP ABm n
=+
，從位址來看就是， ( )m n mp a b a a bm n m n m n
= + − = ++ + +
。
第二種情形，P在 ( )A a 、 ( )B b 之外
可能(A)
或(B)
m : n
m : (n - m)
(m-n) : n
-
6
我們僅就(A)討論，(B)的情形相仿。
如圖，因為 : :PA PB m n= ，所以 : : ( )PA AB m n m= −
由於P在 A的左邊，我們把 A減去 AP就會是P的位址。但依比例來看，
mAP ABn m
=−
，位址就是 ( )m n mp a b a a bn m n m n m
= − − = −− − −
。
如果我們想像成P點從 A的右邊換到 A的左邊，m就變成 m− ，那麼結
果其實和第一種情形的推論是一樣的。
分點公式：
已知數線上 ( )A a 、 ( )B b 兩點， ( )P p 在線段 AB上，且 : :PA PB m n= ，則
( )m n mp a b a a bm n m n m n
= + − = ++ + +
。
例：
下圖中的點均為等分點，a、b表數線上的位址，請用a、b表示數線上其
他點相對應的數。
觀察上述結果，有沒有發現其實n ma b
m n m n+
+ +的形式中，m與 n提供了
a、b兩數在計算時的「權數」？也就是說，如果m比 n大，那麼計算出來
的結果會比較接近b這個數。
( ) ( ) ( ) ( )
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7
舉例來說：
有 5 顆一樣重的蘋果和 2 顆一樣重的梨子，那麼這 7 顆水果的平均重
量應該會比較接近哪一種水果？ □蘋果 □梨子
列出的算式應該是 5 27 7
× + ×蘋果 梨子，不難看出各別的權重。
某生數學平時考分數有 3 次考 60 分，4 次考 80 分，那麼他的平時考
平均分數會比較接近哪一個分數？ □60 分 □80
列出算式應該是 3 460 807 7
× + × ，也可看到權重的影響。
因此，分點公式也可以用這樣去理解：看比較靠近哪一點，那一點坐標所
佔的比例就要高一點。
練習：
試在數線上比較3 5 7
6+
，3 7
2+
，2 3 7
3+
的大小。
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8
如下圖，數線上兩點 A（a），B（b），設直線 L 通過 A 點，且直線 L
上有 C，D，E，F，G，H 六點，滿足 AC＝CD＝DE＝EF＝FG＝
GH，連接BH ，依尺規作圖方式，過 C，D，E，F，G 分別作 BH 的
平行線與直線 AB 交出 5 個點，則此 5 個點之坐標可為下列哪些選
項？
(A)6
32 ba＋ (B)
2ba＋ (C)
32ba＋
(D)6
5 ba＋ (E)
63ba＋
。
三個相異實數a、b、 c 滿足 4 15 5
b a c= + ，如果將a、b、 c標示在數
線上，則
(1)b在 a與 c之間
(2) c b>
(3) 若 4 13 3
d a c= − ，則 d在 a與b之間
(4)a到 c的距離是a到b的距離的5倍
(5) 如果 4 15 5
b a c= + ，則 0a b c⋅ ⋅ >
【答案】：(1) (4)
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數學新世界
絕對值不等式 高中核心概念
9
絕對值不等式
絕對值，意思是「我不在乎這個數的正負(性質)，只想知道它的值有多大
～」
例一：
下圖是我國 2016~2018 年的進出口統計表。 淨出口為正值時，稱為貿易順差或出超。 淨出口為負值時，稱為貿易逆差或入超。 但是當我們想觀察貿易活躍程度時，我們必須同時觀察進口與出口的貿
易值，也就是說，我們會在乎貿易總值。此時，我們不在乎正負，只在
乎總量。因此，貿易總值＝出口總值＋進口總值。我們在乎的是差距還
是正負?______
資料來源：經濟部國際貿易局
例二：
媽媽用奶瓶餵 baby 喝奶，每餐都固定準備 200ml 的奶。 第一餐，baby 喝完後剩下 30ml。奶瓶刻度的變化為______，問baby 這餐喝了多少奶？請列出算式。____________ 第二餐，baby 喝到刻度 80ml 時睡著了，醒來後又繼續喝，最後剩下 15ml。奶瓶刻度的變化為_______，問 baby 醒來之後喝了多少奶？請列出算式。_____________ 第三餐，baby 喝完後剩下 50ml。 請以算式列出 baby 今天這三餐一共喝了多少奶？_______ 我們在乎的是差距還是正負?____ 核心觀念：
a b− ，減 b 就是「對 b 歸 0」
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10
看差距
| 0 | 3x − = 的解為____________ ⇔ 在數線上與 0 差距為 3 的點有哪些?
| 2 | 3x + = 的解為____________ ⇔ 在數線上與 -2 差距為 3 的點有哪些?
代數――研究數、數量、關係、結構與代數方程（組）的通用解法及其性質
的數學分支。
幾何――核心是距離，研究圖形的結構與性質之數學分支。
圖形輔助――代數與幾何的相輔相成。
針對一個問題，我們可以用代數的思維來看，也可用幾何的想法。
另外，自從有了笛卡兒坐標幫我們從圖形的高度看到數值的大小，代數與幾
何於是相輔相成，又有了不一樣的視野，我們可以透過對函數圖形的了解來
協助我們思考。
在高中，我們常在這三種思維中切換，尋找方法解決問題。針對絕對值，我
們也可分別用三種角度來切入。
「對-2 歸 0」
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11
臨界點在哪裡?
如果 _____x = ， 3 0x + = 如果 _____x > ， 3x+ = _________ 如果 _____x < ， 3x+ = _________ 歸零的點(臨界點)是_______ 如果我們把它視為數值 3y x= + ，請在右方畫出它的圖形。
接下來，我們要開始看圖說話哦！ (1) x 是多少的時候 y 值會等於 3？
專業數語： 3 3x + = 的解。 請在右方標示解範圍。 並在下方以代數形式寫出 x 的可能範圍。
(2) x 是哪個範圍的時候 y 值會比 3 大？ 專業數語： 3 3x + > 的解。
(3) x 是哪個範圍的時候 y 值會比 0 大？ 專業數語： 3 0x + > 的解。
(4) x 是哪個範圍的時候 y 值會比 3 小？ 專業數語： 3 3x + < 的解。
(5) 求 3 0x + < 的解。
(6) 求 3 0x + ≤ 的解。
(7) 求 3 1x + ≥ − 的解。
註：課綱提到不應出現函數圖形求解，請自行斟酌教學
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12
代數思維：
求解 2 3 7x x− + + =
找到臨界點，並分段討論方程式：
第一段： 第二段： 第三段：
幾何思維：
求解 2 3 7x x− + + =
到_____的距離 ＋ 到_____的距離 ＝7 的點 拉橡皮筋…
解範圍：________________________
圖形輔助思維：
求解 2 3 7x x− + + = 將方程式轉換成函數值的思維…
(1) 找到臨界點，並分段討論 2 3y x x= − + + 之值
第一段： 第二段： 第三段：
( )f x = ( )f x = ( )f x =
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13
(2) 畫出 2 3y x x= − + + 的圖形
(3) 判斷並找出符合要求的解
請問滿足絕對值不等式 4 12 2x x− ≤ 的實數 x所形成的區間，其長度為下列
哪一個選項？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 6
【答案】： (4)
下列各方程式中，請選出有實數解的選項。
(1) 5 1x x+ − = (2) 5 6x x+ − = (3) 5 1x x− − =
(4) 5 6x x− − = (5) 5 1x x− − = −
【答案】： (2)(3)(5)
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數學新世界
算、式 高中核心概念
14
算、式
代數的運算是我們往更高階數學發展的必備基本能力，有正確快速的運算能力，
在思考與分析時才能更為順利。
代數式，是以代數符號與算式來寫出「某個數」，一個算式可以有不同型式的
表現法，如果能適度的改變它的寫法，可能會讓計算變的容易！
例如：325 25 9可以改寫成25 13 25 9，接著再改寫成25 13 9，這樣一來就變得很好算了！
代數式也一樣，例如：在解方程的時候，𝑥 4𝑥 2 3這個方程式的左邊算式可以利用配方法改寫成 𝑥 2 6而得到 𝑥 2 6 3，再移項得到𝑥 2 9，開平方得到 𝑥 2 3，得到𝑥 2 3。 乘法公式
在這裡，我們要介紹幾個常用相等的算式，因為這些算式都跟相乘有關，所以
被稱為『乘法公式』，利用這些相等的算式可以將原本可能是複雜的算式轉換
成簡單的型態，方便我們處理計算。
乘法公式可以加速我們的運算速度，也可以幫助我們快速看到因式關係，以用
來分析算式。
2 2
2 2 2
2 2 2
( )( )2 ( )2 ( )
a b a b a ba ab b a ba ab b a b
− = + −
+ + = +
− + = −
3 2 2 3 3
3 2 2 3 3
3 3 ( )3 3 ( )
a a b ab b a ba a b ab b a b
+ + + = +− + − = −
把它換個型並分解因式3 3
3 3
a ba b
+ =− =
請展開算出 2( )a b c+ + =
其他還有許多具有規律的算式，在高中課程中，會陸續介紹。
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15
因式分解要做什麼？
因式分解的目的，可以幫助我們很快的看到函數的「根」或是方程式的「解」。
也就是說，我們可以快速的找到能讓 ( ) 0f x = 的 x。
例如：我們又為什麼喜歡把像 22 5 2 1x x+ − = 的式子整理成 22 5 3 0x x+ − = 呢？
想想看，如果我們知道：
7 ,ab a b= ∈、 ，則 ( , )a b 會有哪些可能？____________________________。
6 ,ab a b= ∈、 ，則 ( , )a b 會有哪些可能？____________________________。
7 ,ab a b= ∈、 ，則 ( , )a b 會有哪些可能？____________。(這下可慘了，對吧？)
但如果 0 ,ab a b= ∈、 ，我們卻可以馬上知道， ,a b當中至少有一個一定是 0。
22 5 2 1x x+ − = 比較不好找 x，如果先把它整理成 22 5 3 0x x+ − = ，
再把它分解成 (2 1)( 3) 0x x− + = ，因為兩數相乘等於 0，一定是其中的一個（或
者兩個都是）為 0，因此，我們可以迅速的判知 1 32
x or x= = − 。
這就是為什麼我們常常喜歡把等式的一方變 0。
如果是不等式呢？
0 ,ab a b< ∈、 ， ,a b的可能性會是？_______________。
0 ,ab a b> ∈、 ， ,a b的可能性會是？_______________。
在數學語言中，我們常常會用________來形容 ,a b同性質符號；而用________
來形容 ,a b異性質符號。
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16
分式
「式」既然代表某個數，那麼它在運算的過程中也難免會出現像是分數或根
號的「式」，因此我們也必須熟悉這類的算式要如何操作。
基本上，操算它們的想法與「數」是類似的。在化簡「分數」時，我們常用
通分、擴分與約分的手段，「分式」亦同。一起練習幾個比較常見的分式運
算。
練習 1：
試化簡：(1) 1 23x x
+ (2) 1 11 1x x
−+ −
(3) 11 1 1 2( )2
a b
a b
+−+
練習 2：
若 3 2( )f x x x= − ，試化簡 ( ) (1)1
f x fx
−−
根式
我們為什麼不喜歡分母有根號呢？因為相較之下根號比較不容易馬上理解其
數值的大小，這樣我們不好估算。因此，根式化簡的想法是盡量不要讓分
母有根號。
我們常會利用開根號和平方是相反的作用，來去掉分母的根號。例如：
1 2 222 2 2
= =⋅
，或是1 5 2 5 2
35 2 ( 5 2)( 5 2)+ += =
− − +
-
17
練習化簡：
(1) 29415054 +− (2) 6272 ÷ (3)23
32 − (4)
271
271
−+
+。
雙重根號
因為運算而產生重覆開根號也是會遇到的情形。例如： 407 − ，我們又該
如何簡化它呢？
首先我們要了解的是，就如同 26 無法再化簡，雙重根號也未必每種都能化
簡。那麼，哪一種是可以化簡的呢？讓我們先反向思考，核心還是在於「根
號怕平方」。所以，根號裡面如果有完全平方式就好辦啦！請先算出：
2(2 3) _____ ___________ _____− = + + =
2( 5 3) _____ ___________ _____+ = + + =
所以，我們只要想辦法讓根號裡面是完全平方就好囉！這時，乘法公式中的
2 2 2
2 2 2
2 ( )2 ( )
a ab b a ba ab b a b
+ + = +− + = −
，就派上用場了。也就是我們只要確認在根號中能出現
像 2 22a ab b+ + 的形式就可以解決它，但要留意的是最後的結果一定是正數。
例如： 2( 5 3) | 5 3 | 3 5− = − = −
練習：
將下列各式化簡成 cba + 之形態，其中 a , b , c ∈ Q：
(1) 526 + (2) 2029 − (3) 5821+ (4) 3612 − (5) 407 − 。
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數學新世界 算幾不等式
高中核心概念
18
平均數
算術平均數和幾何平均數是我們在做計算的時候常常會遇到的兩個算式。兩個
都是「平均數」，但背後所代表的運算卻不相同，一個是「平均加」，一個是
「平均乘」。他們的使用時機當然也就不相同。一個是等差的概念，另一個是
等比的概念。我們必須先弄清楚使用它們的時候，背後的想法是什麼。
在數學的使用上，平均數被拿來當代表，代表一個趨勢。
算術平均數 (平均加) 阿銘從 20 公尺長的教室一端走到另一端，步伐雖然大小不能完全一樣，但數一數總共走了 25 步。我們想用一個數來代表阿銘每個步伐的大小，那我們會怎麼算呢？＿＿＿＿＿＿ 算出來的這個數，代表如果阿銘每一步都走________公尺，那麼走了 25 步後，就會是 20 公尺。 也就是說：
幾何平均數 (平均乘) 阿銘在銀行一年定期儲蓄存款 200 萬元，利率是 1.07%。一年後，阿銘評估短期內沒有資金需求，決定將現有資金繼續改存三年定期儲蓄存款，利率是
1.115%。請幫阿銘算出這四年的平均成長率是多少？______________(要小心，成長指的是「增加」的部分哦！) 請取小數點後 3 位概數。
平均每次加_________，用來代表每一步走多遠
0
200
…加了 25 次
平均每次乘____________，用來代表每一年的成長倍率
200 萬
萬
-
19
再談平均乘
如果平均乘三次之後，會變 2 倍，那這裡應該要怎麼寫比較好？
如果平均乘兩次之後，會變 2 倍，那這裡應該要怎麼寫比較好？
N 維幾何平均數：平均每次乘__________________
幾何平均數： 平均每次乘___________
-
20
算幾不等式
由你對前述討論的理解，請試著判斷下列二數線上，中間的點所代表的數，
哪一個是 A與2A的算術平均數？ □圖(1) □圖(2) 哪一個是 A與2A的幾何平均數？ □圖(1) □圖(2)
你覺得哪一個數會比較大？□算數平均數 □幾何平均數
(1)
(2)
算幾不等式：
若 0 , 0 ,a b≥ ≥ 則2a b ab+ ≥ 。
當a b= 時⇔2a b ab+ = 。
算幾不等式的證明方法有很多，在這裡我們用一個比較直觀的方法來看它。 這是沿用國中學到的子母相似定理！
, ,A B C為圓Ｏ上三點， AB為直
徑，Ｏ為圓心，CD AB⊥ ，AD a= 、
BD b= 。
寫出OC的長＿＿＿＿＿＿，
寫出CD的長＿＿＿＿＿＿。
你覺得OC和CD哪一段比較長？＿＿＿＿
如果我們試著移動Ｃ點， AB和CD有沒有可能會相等？何時？＿＿＿＿＿
小常識：在數學上，⇔ 這個符號表示，雙向的推論均成立。也就是說，從左方的證據可以推論到右方的結果；從右方的證據也可以推論到左方的結果。(有很多時候不是雙向推論均成立的哦！例如白馬是馬，但馬卻不一定是白馬。)
平均乘平均加
-
21
不等式最常被用來算極值。由於算幾不等式一邊是平均加另一邊是平均乘，我
們只要留意這兩個特性，就不難觀察出使用時機。
例如： 一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬
2公尺的出入口，如下圖示。此農夫所能圍成的最大面積為________平方公
尺。此時，長方形的長與寬是如何？ 【95 指考數乙】
練習： 因應國際原油價格的調整，國內汽油價格亦會有波動。由資料知 95 無鉛汽油的價格在 2018 年底有明顯波動，由 2018 年 12 月 30 日連漲兩周，從每公升 25.87 元，漲到每公升 26.38 元，又漲到每公升 27.49 元。請問這兩周的平均漲幅是多少？（記得使用計算機輔助）
影印紙有兩種常見的系列，A 系列與B 系列，兩種系列的長之間有固定的倍數關係。例如：B4 的長是 A4 的長與 A3 的長的幾何平均數。 已知 A4 的長為 297mm，A3 的長為420mm，請算出 B4 的長。(四捨五入至整數)
25.87 26.38 27.49
平均每次乘
-
22
將一張 B4 的長方形紙張對折剪開之後，成為 B5 的紙張，其形狀跟原來B4 的形狀相似。已知 B4 紙張的長邊為 36.4 公分，則 B4 紙張的短邊長為_______公分。(小數點後第二位四捨五入) 【答案】25.7
假設世界人口自 1980 年起，50 年內每年增長率均固定。已知 1987 年世界人口達 50 億，1999 年 第 60 億人誕生在賽拉佛耶。根據這些資料推測 2023 年世界人口數最接近下列哪一個數？ (A) 75 億 (B) 80 億 (C) 86 億 (D) 92 億 (E) 100 億 【答案】(C)【89 學測】
某公司民國 85 年營業額為 4 億元，民國 86 年營業額為 6 億元，該年的成長率為 50%。 87、88、89 三年的成長率皆相同，且民國 89 年的營業額為 48 億元。則該公司 89 年的成長率為 ________%。【答案】：100【91 學測】
某公司為了響應節能減碳政策,決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的 75%。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的排放量。若要達到這項目標,則該公司每年至少要比前一年減少 ． % 的二氧化碳的排放量。(計算到小數點後第一位,以下四捨五入。) 【答案】：5.6【98 學測】
前行政院長提出知識經濟，喊出 10 年內要讓台灣 double(加倍)，一般小市民希望第 11 年開始的薪水加倍。如果每年調薪 a%，其中 a 為整數，欲達成小市民的希望，那麼 a 的最小值為 .【91 數乙】 (參考數值: log 2 0.3010 ) 【答案】：8
-
數學新世界
從科學記號談對數與指數 高中核心概念
23
前言
生活中遇到的事物，有時候我們會說越小越好，有時候我們會說越大越好…，
例如：
日前精密加工的精度已達到奈米級，並不斷的向更高精度、更小尺度方向
發展，量子力學和雷射技術引發的微奈米製造，製造出極小尺度和極高精
度產品。對奈米加工技術而言，越小等級越高。
地震能量的計算可以研究地震的發生及地震的本質，而地震規模越大，地
震所釋放的能量也越高。
在過去，我們會以幾個單位量來感受數的大小，但如此對於相對很大或很小的
數，僅僅使用不同的單位不容易理解它的大小，也不方便做計算。尤其很多時
候我們更在意的其實是數是以什麼樣的倍率在成長（如銀行的複利）時，我們
想看的是它被等倍數放大或縮小幾次。（一種 zoom in 與 zoom out 的感覺）
在這個單元，我們要換個角度，用等級的方式來表達一個數的大小，特別是很
大或很小的數。
-
24
米地球到太陽的距離
世界最高的樹
地球到月球的距離
地球的直徑
看等級
我們想要看什麼事物的等級？
多大？多小？ 你想要看的是哪一個等級？
夜空中群星閃爍，明亮有別。為定量描述星星亮度，天文學家創用「星等」
的概念，把星星分成六個等級，一等星最亮，六等星最暗，一等星的星光
強度大約是六等星的 100 倍，等級之間的星光強度相差約 2.5 倍。
自然界，對於地震的大小是用等級衡量的，地震等級每相差 2 級，能量增
加 1000 倍，能量等級之間的差約 32 倍。
人的感覺上的強度，大約和刺激強度的等級成正比。比如，我們感覺聲音大
了一倍，不是因為聲源功率增加了一倍，而是聲源功率增加了一個數量級。
每增加 10 分貝的音量，相對強度實為原來相對強度的 10 倍。
-
25
科學記號最簡單的等級表示法
科學記號是一種以 10 倍為晉級標準的整數等級表示法，也就是說兩數相差 10
倍，他們就相差一個等級，方便我們用來描述很大或很小的數。因為它跟我們
平常慣用的數字系統相似，因此，它可瞬間讓我們清楚讀出該數大小，並且可
以判讀此數在該等級中的定位大小。就讓我們來看看它的好用之處！
這是辛巴威幣，你能在 5 秒讀它的面額
嗎？很難吧！
請試著把這張鈔票的面額用最容易讀
出來的方式寫下來：_______
2015 年辛巴威總統為了解決長久以來的通
膨問題，宣布要正式廢棄辛巴威幣。2008 年
之前發行的貨幣，每 250 兆辛巴威幣可以
換得 1 美元，請問這張辛巴威幣可以換成
多少美元？________
某種病毒大小約為 0.00000008 米，你能一眼讀出它大約是多少奈米嗎？
_____
你覺得我們會用 0.000000080003 米這樣的數來描述它嗎？______
為什麼？___________________
請試著把 0.00000008 用最容易讀出來的方式寫下來：_______
如果一奈米 910−= 米，0.00000008 米是多少奈米呢？___________
如果你的身上有 34565 元，你會如何「大約」形容身上錢的多寡？
□0.3 十萬多元 □3 萬多元 □34 千多元
在你的形容中 4 3 2 1 034565 3 10 4 10 5 10 6 10 5 10= × + × + × + × + ×
核心觀念： ab有兩種思維：
「把𝑏當 1，a 是多少？」 「a 是 b 的幾倍？」
-
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10 1510 10+ 最接近哪一個數？ □ 1010 □ 1510 □ 1610 □ 2510
對於很大或很小的數，我們會用科學記號來形容它的大小。因為數很大
或很小，所以我們只在乎(或是只能精確到)前幾個具有影響力的數字。
用科學記號來形容，方便直接讀取其等級，以及在這個等級中的大小：
91 10× 是第 9 等， 9 1010 10 10× = 是第 10 等，那麼你覺得科學記號 10ba×
中，a應該有何限制？___________________
等級多少個
-
27
有效數字
在談有效數字之前，我們先談談什麼是「概數」。
「概數」談的是，針對我們既有的數據，我們不需要太精準描述時，會想找到
一個可以形容其大概的大小，又不失真過多又好用的做法。四捨五入常常是我
們拿來取概數的一個方法。
例如：
(1). 如果我們四捨五入取概數 7 來描述鉛筆的長度時，它實際的長度可能是介於哪一個範圍：
-
28
(2). 從地球到月球的平均距離是 384,401 公里(因為月球在橢圓軌道上運動，
實際的距離隨時都在變化著)。寫成科學記號應為 53.84401 10× ，隨著測
量儀器的日益精進，有效位數已可達 6 位。換算成公尺則記為
83.84401 10× ，有效位數仍然是 6 位。
但如果我們只想大約描述其距離，我們可能會說大約是 384000 公里，
或 38 萬公里，如此我們稱之為概數。
科學記號 10ba× (1 10 ,a b≤ < 為整數)中，係數 a的所有數字皆為有效數字。
有效數字的位數稱為「有效位數」。
科學記號表示法 53.1 10× 與 53.100 10× 有何差別呢？________
有效數字的加減乘除
為方便識別估計數字，我們在其下方畫一短橫，如2.35。
由於估計數字的不精確性，當我們想對帶有估計值的數字做運算時，我們同
樣也必須考慮計算完後的數字之精確性，提供之後運用時參考。
56.20.46
56.66
+ 56.2
0.46
55.84
−
5 6. 20. 4 6
3 3 7 22 2 4 82 5. 8 5 2
×
從上面的例子我們發現：
估計的數字與精確數字作加減乘除的運算後，精確數字因為受到估計數
字不精確運算後的影響，會：□精確 □不那麼精確
估計
精確
相加後受到影響 已不甚精確
相減後受到影響 已不甚精確
估計
精確
估計
估計
被估計值乘到的數，通通不精確了
被估計值加到的數，也都不精確了你覺得要不要用
四捨五入進位？
-
29
另一個運算上會遇到的問題是進位。舉例來說42.7與32.6這兩數相加時：
42.7
) 32.6
75.3
+
兩個估計數字相加後若進位，則：□還算得上精確 □不那麼精確
我們試著練習對帶有估計位數的有效數字做加減乘除的運算。過程中每一次的
運算都請在「不那麼精確」的數字下方畫上短橫。並在最後，圈出精確數字並
取一位最高的估計位數，之後的位數均四捨五入。
例如：9.28 3.954 4.40 17.63 4 17.63+ + = =
5.8) 2.35+
5.8) 2.35−
5.8) 2.35×
6.7 75.3
小結：
(1) 加減法：有效位數取估計數字位數最高者，其餘四捨五入。
估計的數字與精確數字作加減乘除的運算後為估計數字。
兩個估計數字相加後若進位，則算確定數字。
(2) 乘除法：有效位數取兩數中之最小有效位數。
如需複習國中的指數律，可先看第八部分：『關於指數』
估計的部分，你覺得相加後要進位嗎？
你覺得原本精確的數，進位之後精確嗎？
-
30
數字的等級表示法
(以下註：十年級課綱僅介紹以 10 為底的常用對數符號，其他底數挪往十一年級，可斟酌教學)
我們用等級的方式來詮釋一個數字的方法有兩種：
A. 數字越大等級越高， B. 數字越小等級越高。
A.數字越大等級越高 以晉級標準 2示例
數字越大等級越高，表示晉級標準____1。(填大於或小於)
請在括號寫標上對應的等級。
試將 5 這個數寫成以 2 為晉級標準的科學記號，
亦即5 (2) ba= × ，a =____，b=____。
B.數字越小等級越高 以晉級標準12示例
數字越小等級越高，表示晉級標準____1。(填大於或小於)
請在括號內標上對應的等級。
試將 5 這個數寫成以12為晉級標準的科學記號，
亦即15 ( )2
ba= × ，a = ____，b =____。
0.25 0.5 1 2 4 0
( ) ( ) 0 級 ( ) ( )
0.25 0.5 1 2 4 0
( ) ( ) 0 級 ( )級 ( )級
-
31
重返科學記號
我們再回到慣用的科學記號看等級。首先，每 10× 就會增加一等，所以我
們的晉級標準是 10。
請在括號內標上對應的等級。 (此 scale未按照比例畫)
由此可知，當晉級標準為 10 時，增加 1 級，數會變為原來的_______倍；增加
2 級，數會變為原來的_______倍；增加 3 級，數會變為原來的_______倍…，
以此類推。
細看 410 這個等級中， 43.65 10× 在什麼位置呢？
整數的等級顯然不夠用，如果我們需要更精確的形容等級， 43.65 10× 應該
大約是幾等呢？我們不妨分段思考。
如果我們單看 410 ，它是幾等呢？_________
如果我們單看3.65的等級，它大約是幾等呢？________（亦即 ?3.65 10= ，
0 ? 1< < ）
用計算機幫忙，看看能不能更精確些？_________ (請四捨五入精確到小數
0.01 0.1 1 10 100
( ) ( ) 0 級 ( ) ( )
降級 晉級
從等級 4 再多晉級一些…
-
32
點後二位)
試試把3.65和 410 這兩個等級合併，它代表的等級是_____________。
在數學上，我們另有專有名詞來分別形容這個不滿 1 的等級與整數等級
哦！
也就是說，
首數是：在那一個等級之下。
尾數是：再繼續「晉級」的大小。
首數尾數
-
33
接下來我們來挑戰負等級。
細看 -610 這個等級中…。負的等級，我們必須慢慢想清楚。
就等級而言：
就真實的數而言：
63.65 10−× 應該大約是幾等呢？我們也可分段思考。
參考前面算出的數據， 610− 是____等，而再 3.65× 會讓我們的等級從 6− 再
多晉一些，大約多_______等（亦即 ?3.65 10= ，0 ? 1< < ），
所以 63.65 10−× 代表的等級會是____________。
(註：十年級課綱不介紹首尾數，挪往十一年級，可斟酌教學)
在數學上，用對數函數 log x來標示 x這個數的等級。
logx代表：『 x』這個數在 10 這個晉級標準下，所代表的『等級』。
降級 晉級晉不到 1 級
等級 6 等級－5等級－5.～
log10 xx =
首數：在看等級尾數：再多晉級一些
-
34
做些練習熟悉一下新學到的對數函數：
log1000 = ____， 9.8log10 = _____， 7.1log10− = _____，
1log10000
=______， log 3.610 = _____，1log210 =______；
若 log5.5 0.74≈ ，那麼 1.7410 ≈ ______
請用計算機，找到下列等級，精確到小數點後 4 位：
log 2 = _______， log3 = _______， log 4 = ________， log5 = _______，
log 6 = _______， log 7 = _______， log8 = ________， log9 = ______。
如果將 x寫成科學記號 10bx a= × ， a的範圍是__________________，
所以 x的尾數可記為___________，其範圍應為_________________。
利用 16 題的數值，完成下方空格。
算算看，0.5 等級大約是多少？________ (請精確到小數後 2 位)
因此科學計號（等級）表示法中，代表等級－5.5 等的數應該為：______
數值
等級
降級 晉級
-
35
有了等級的表示法，對於很大或很小的數，是不是變得更好算了呢？
（用計算機幫忙，等級四捨五入到小數後 2 位）
9 8
9 8
3450000000 700000000(3.45 10 ) (7 10 )
10 10 10 10
10
×= × × ×
= × × ×
=
利用 20 題的數據或計算機，連連看，在下方找到適合這些數的等級。
1.810− 、 0.1110 、 12 10−× 、 27 10−× 、 16.1 10× 、 0.210− 、 03.6 10×
135.99 10× 是 105.99 10× 的_______倍。 110ba +× 是 110ba −× 的_______倍。
15 10ba +× 是 110ba −× 的_______倍。
若 log 8.622x = ， log 5.622y = ，則 x是 y的_______倍。
若 log 3.622x = − ， log 1.622y = − ，則 x是 y的_______倍。
若 log 1.622x = ， log 0.378y = − ，則 x是 y的_______倍。
首數尾數可以大於 0，也可以小於 0一定大於 0 小於 1
0.01 0.1 1 10 100
-
36
11.310 是 14.310 的_______倍。 1.2710− 是 2.2710− 的_______倍。
2.6610 是 1.3410− 的_______倍。
若 log 3 logx y= + ，則 x是 y的_______倍。
若 log log 2x y− = − ，則xy
= _______。
若正實數 ,x y滿足 10log 2.8x = ， 10log 5.6y = ，則 210log ( )x y+ 最接近
下列哪一個選項的值？( log2 0.301≈ )
(1) 2.8 (2) 5.6 (3)5.9 (4)8.4 (5)11.2。 【101 學科能力測驗】
芮氏地震規模 r 與釋放能量 E 的關係為何？
中央氣象局根據地震學家古騰堡之公式： log 11.8 1.5E r= + 。
可知規模 r 每增加 1，其所釋放的能量(E 單位爾格,erg)約增大_______
倍。(取整數)
規模增加 2，相當於地震釋放能量增大為___________倍。
承上題，已知民國 88 年 921 集集大地震芮氏規模為 7.3，民國 100 年
311 日本仙台大地震芮氏規模為 9.0。那麼日本仙台大地震所釋放出的能
量約為集集大地震的_________倍。(取整數)
留意：這裡是 1.5 倍
-
37
地震規模的大小通常用芮氏等級來表示。已知芮氏等級每增加 1 級，
地震震幅強度約增加為原來的 10 倍，能量釋放強度則約增加為原來的 32
倍。現假設有兩次地震，所釋放的能量約相差 100,000 倍，依上述性質則
地震震幅強度約相差幾倍？ 請選出最接近的答案。【94 數甲】
(1) 10 倍 (2) 100 倍 (3) 1000 倍 (4) 10000 倍【答案】：(3)
已知在一容器中有 A,B 兩種菌，且在任何時刻 A,B 兩種菌的個數乘積
為定值 1010 。為了簡單起見，科學家用 log( )A AP n= 來記錄 A 菌個數的資
料，其中 An 為 A 菌的個數。試問下列哪些選項是正確的？
(1) 1 10AP≤ ≤
(2) 當 5AP = 時，B 菌的個數與 A 菌的個數相同
(3) 如果上週一測得 AP 值為 4 而上週五測得 AP 值為 8，表示上週五 A 菌的
個數是上週一 A 菌個數的 2 倍
(4) 若今天的 AP 值比昨天增加 1，則今天的 A 菌比昨天多了 10 個
(5) 假設科學家將 B 菌的個數控制為 5 萬個，則此時5 5.5AP< <
【答案】：(2)(5)【97 學測】
-
38
分貝表示聲音的強度或響度，也就是音量。零分貝的設定，是根據聽
力正常的年輕人所能聽到的最小聲音所得到的。發出零分貝所需的功率
值為 0P。我們把所需的功率值稱為強度。
描述聲音大小的單位為分貝(dB)，其與聲音的相對強度(0
dBPP
)可寫成下列
關係式： 0
10 log dBPdBP
= ⋅ 。
根據此式：
(1). 10 分貝相對強度是 0 分貝相對強度的_________倍。
20 分貝相對強度是 0 分貝相對強度的_________倍。
(2). 故每增加 10 分貝等於相對強度變為原來相對強度的_______倍，每增
加 20 分貝等於相對強度變為原來相對強度的_______倍，每增加 30 分
貝等於相對強度變為原來相對強度的_______倍。
(3). 一般人的談話音量約為 60 分貝，而哭鬧中的孩子音量可達 122 分貝，
請問哭鬧聲的相對強度是談話聲音相對強度的多少倍？__________
(註：救護車警笛開到最大聲時，高達 118 分貝，飛機場跑道 120 分貝。)
(4). 一個小孩哭鬧以 122 分貝來計算的話，幾個小孩一起哭鬧時，音量會
變成 132 分貝？___________ (有沒有很佩服幼兒園老師呢？)
-
39
我們也會需要別種晉級標準嗎？
pH 值是衡量酸鹼性的直接尺度，其範圍介通常於 0pH = 到 14pH = 之間，
化學上以 pH 值來表示水溶液的酸鹼性，以氫離子莫耳濃度 H + 來標定。
在 25°C 下，pH=7 的水溶液為中性，這是因為水在 25°C 下自然電離出的
氫離子和氫氧根離子濃度的乘積始終是 1×10−14，中性水溶液此時兩種離
子的濃度都是 1×10−7mol/L。
pH大於 7表示H+的濃度小於OH−的濃度，此時我們定義溶液鹼性比較強。
我們希望定義 pH 愈大，溶液的鹼性（等級）也就愈強。
例如：
氫離子莫耳濃度 H+ pH 值
氫離子濃度越小，等級越：□高 □低
猜猜看它的晉級標準是：_______
510− 5610− 6710− 7810− 8910− 9
電腦是採用電路運作（Ｉ／Ｏ），故儲存容量單位是以二進位計，因
此，我們會使用 2 當晉級標準。
你的硬碟是哪一個等級呢？
1 PB 的硬碟容量是_______TB。
晉級標準可以是 1 嗎？____
如果晉級標準是 1，那等級有意義嗎？______
為什麼？______________________________
容量單位
KB MB GB TB PB EB ZB YB B
-
40
對數函數
(註：十年級課綱不介紹底為 10 以外的對數函數，挪往十一年級，可斟酌教學)
( ) logaf x x= ，這是對數函數，它在表現 x這個數在以 a為晉級標準時的「等
級」。簡言之，它是一個看等級的函數，直接反應出 x這個數的等級大小。
真數
晉級標準，一般稱底數(底數為 10 時
常省略不寫)
下標要寫好
才不會弄混
-
41
升一級
降一級
就如同其他函數，我們想看它函數值是如何改變的，可以藉助函數圖形。
用前述「數字的晉級表示法」的概念，以高度代表等級，描點概畫出函數
2( ) logf x x= 的圖形。（僅在 y為整數的地方描點即可）
觀察圖形：
(1). 當 x越大，等級會越_____，當 x越小(靠近 0)，等級會越____。
(2). 我們不看負數的等級，所以對數函數圖形只表現在 x軸正向。
(3). 觀察圖形中的虛線，每一個等級的範圍，都是前一個等級範圍的
_______倍，但等級只有提高一級，等同於它用比前一級多兩倍的距離
才能再晉升一級。換句話說，只要把這一級的圖左右放大兩倍，就會
是下一級的函數圖形。
(4). 因此，我們只要掌控了 0～1 級之間的圖形，就等於掌控了整個函數的
圖形。
(5). 由於底數為 2，所以等級為 1 時，x必為______。我們可藉此快速辨認
函數圖形的底數大小。(可在等級 1 的高度畫一條水平線協助判斷)
(6). 下列哪些點也會落在函數 2( ) logf x x= 的圖形上呢？
□ 2(3,log 3) □ 2( 3, log 3)− − □ 4.5(2 ,4.5) □ 10(10,2 ) □ 2.91( , 2.9)
2−
-
42
觀察下圖，試著回答下列問題：
(1). 哪一個函數比較容易晉級？________
(2). a 與 b 兩個晉級標準哪一個比較大？a_____b ，你如何得知？
____________________________________________________________
(可在等級 1 的高度畫一條水平線協助判斷)
(3). 左圖中的晉級標準 a、b 是比 1 大還是比 1 小的數？___________，
你如何得知？___________________________
-
43
升一級
降一級
描點概畫出函數 12
( ) logf x x= 的圖形。(僅在 y為整數的地方描點即可)
觀察右圖，
(1). 哪一個比較容易晉級？________
(2). c 與 d 兩個晉級標準哪一個比較大？c____d 你如何得知？
____________________________________________________________
(可在等級 1 的高度畫一條水平線協助判斷)
(3). 左圖中的晉級標準 c、d 是比 1 大還是比 1 小的數？_______
你如何得知？______________________
-
44
請找出下面 4 個等級函數圖形的”晉級標準”，並在圖形旁寫下其函數。
(1). 當晉級標準(底數)大於 1 時，你是如何判別的？
_____________________________
(2). 當晉級標準(底數)小於 1 時，你是如何判別的？
____________________________________________________________
-
45
關於指數
國中學過的指數表示法，它的指數部位代表等級(Index)。用等級的思維，指數律自然而然因應產生。
一次跳一級
原本的數 22 22 22 22 22 22 22
乘以 32 52 52−
升降級 3+ 4−
怎麼算 2 32 + 2 102 + 2 72 −
後來的數 52 92
小結 (1) aα ⋅ aβ = aα + β (2) βα
aa = aα – β
一次跳m級(以 3m = 為例)
從02 開始，一次跳 32
升降級
(跳幾次) 2+ 4+ 5−
變成 3 2(2 ) 3 5(2 ) 3 3(2 )−
怎麼算 3 22 ×
後來的數 62 92 212 −
小結 (aα)β = aαβ
往上跳一次
升一級
-
46
實數等級(實數指數)
從前述有關等級的討論我們可以了解，等級(index)經常會用到小數。也就是
說，整數的等級是不夠用的，我們需要的是「實數」的等級。
我們知道，實數＝有理數＋無理數。我們分別來看它們。
當等級是分數(有理數)時：
首先，我們來看看132 是什麼？
同一個數連乘了 3 次會變成 2
3 2x = ，我們稱之為『2 的三次方根』，記為 3 2 。
分數指數的定義：設 , 0a R a∈ > ，m n Z∈、 ， 0n> ，則：
(1) na1
= n a (2) 1 1
( )m m mn n na a a
×= = ，解讀為m個
1na 相乘。
當等級為不是分數（無理數)時：
你認為 35 大約在哪個位置比較合理？
試著下方適當的括號中填入 35 。( 3 1.732≈ ) 我們依然相信有這個數！
請用計算機算出 35 = __________
練習化簡：
(1) 31
27 =_____ (2) 23
25 =_____ (3) 32
8−
=_____ (4) 6 4096 =______。
( ) ( ) ( ) ( )
-
47
對數的運算
(註：十年級課綱對數函數的運算，挪往十一年級，可斟酌教學)
當我們以等級(index)來表示數的大小，那麼等級的四則運算與真數之間有何
關聯呢？在這個單元，我們要一起來想清楚， log loga ax y+ = ？
首先，我們必須釐清一件事：不同的底之間適合做運算嗎？
例如： 20 153 5× 好算嗎？
但如果我們都以 10 為底來看的話…，
我們知道 20 9.5423 10= 、 15 10.4855 10= ，
如此 20 153 5× 就會變得比較好算： 20 15 9.542 10.485 20.0273 5 10 10 10× ≈ × = 。
因此，我們喜歡在「相同的底」下做運算。
暖身： log 1 _______a = ； log _______a a = ； log _____a ba =
-
48
A. 等級的加減法
想法： log3 log5 log+ = ？
也就是說，在底為 10 時，3 的等級＋5 的等級＝哪一個數的等級？
先想想，原來的數做什麼樣的運算時，等級會相加？
3 10
5 10
=
=
仿左，試論：
log log loga a ars r s= +
結論：兩個數相乘等級相加 log log loga a ars r s= +
若 p q r+ = ，請用 ,a b表示括弧中的數。
( )
( )
( )
P
r
q
( )
-
49
想法： 3 3log 24 log 8− =？
也就是說，在底為 3 時，24 的等級－8 的等級＝哪一個數的等級？
先想想，原來的數做什麼樣的運算時，等級會相減？
24 3
8 3
=
=
仿左，試論： log log loga a ar r ss
= −
結論：兩個數相除等級相減 log log loga a ar r ss
= −
若 p q r+ = ，請用 ,a b表示括弧中的數。
( )
( )
( )
P
r
q
( )
-
50
B. 等級的乘法
(1) 53log 8 =？
想想看那一個數的等級是 53log 8 =？？
我們知道，8 以 5 為底的等級為 5log 8 =？，
5log 88 5 =
5 5 5 53log 8 log 8 log 8 log 8 35 5 5 5 8 8 8 8 = ⋅ ⋅ = × × =
(2) 51 log 82
=？
想想看那一個數的等級是 51 log 82
？
5log 88 5 =
( )5 51 11log 8 log 82 225 5 8 = =
承上試論： log logta ar t r=
結論：以 a為底， r這個數的等級 t 倍代表將原來的數 t 次方。
log logta ar t r=
請試著解釋為什麼 1log
loga bb
a=
請問下列哪一個選項等於 ( )( )532log ？ (1) 5log(23) (2) 3×5log2 (3) 5log2×log3 (4) 5(log2+log3) (5) 35log2。
【103 學科能力測驗】
等級變一半…
等級變 3
-
51
C. 換底公式
有時當我們想要對不同底的數做運算時，換成別的底會比較好算。因此，我們
會有隨時可以轉換基底的需求。到底基底是如何進行轉換的呢？其實很簡單哦！
請在下方坐標中畫出 2log x、 4log x與 8log x三個函數的圖，並回答下列提問。
(1) 看樣子不同底的晉級能力不同。哪一個函數的晉級能力最好？______
(2) 4log 4 1= ，那麼 2log 4 _____= 。
也就是說，如果底為 4 時可以晉 1 級，那底為 2 時可以晉 2 級。
所以底為 2 時晉級能力是底為 4 時的________倍。
(3) 8log 8 1= ，那麼 2log 8 _____= 。
也就是說，如果底為 8 時可以晉 1 級，那底為 2 時可以晉 3 級。
所以底為 2 時晉級能力是底為 8 時的________倍。
(4) 針對 64 這個數在不同底的等級，如果想把底由 8 改為 2……
22 264 8 (2 ) 2 2×= = = = 所以 2 8 2(log 8)(log 64) log 64=
將底由 8 改為 2 的倍率
-
52
(5) 針對 729 這個數在不同底的等級，如果想把底由 9 改為 3……
729 9 (3 ) 3 3×= = = = 所以
( )( ) =
(6) 針對 540 這個數在不同底的等級，如果想把底由 7 改為 2……
540 7 (2 ) 2 2×= = = = 所以
( )( ) =
(7) 針對 c 這個數在不同底的等級，如果想把底由 b 改為 a……
( )c b a a a= = = =
所以
( )( ) ( )=
將底由 9 改為 3 所需的倍率
將底由 7 改為 2 所需的倍率
x
將底由 b 改為 a 所需的倍率
-
53
(8) 想想看，怎麼換的？
意即，不論 x為多少，三個函數的高度總是有著相同的比例。而轉換底時就只要乘上那個轉換的倍率。
小結： (log )(log ) loga b ab c c = logloglog
ab
a
ccb
⇔ =
x在以a為底時的等級為_______， x在以b為底時的等級為_______， x
在以c為底時的等級為_______，所以，
x a b c= = =
拿出你的計算機算出等級：1000 2 3 5 10= = = =
例：利用換底公式 2log
log 1000log
=
( )( )
乘_______倍
乘_____倍
乘______倍
-
54
試著用換底的想法，把1006 寫成科學記號 10
na× 時， n是_________。
在 1999 年 6 月 l 日數學家利用超級電腦驗證出 126972593 − 是一個質
數。若想要列印出此質數至少需要多少張 A4 紙?假定每張 A4 紙，可列印
出 3000 個數字。
在下列選項中，選出最接近的張數。[ log2=0.3010 ] (1)50 (2)100
(3)200 (4)500 (5)700【89 學測】
【答案】：(5)
-
55
反函數
函數是什麼呢？
函數是一個可以用來研究變化的關係。
例如：
我們用函數 ( ) 4 37f x x= − 來描述某飲料店氣溫 x度時，冰茶的銷售量為
( )f x ，那麼我們是想從「氣溫的變化」來看「冰茶銷售量的變化」。
反過來，我們也可以用「冰茶銷售量的變化」來看「氣溫的變化」。這個時候
我們可以用函數 137( )
4xf x− += ，反向由「冰茶銷售量的變化」來求得「氣溫的
變化」。
這樣主動與被動互換的函數，我們稱之為「反函數」
主動 被動
反函數： 主動與被動對調
主動 被動
，讀成 inverse
-
56
想法：
函數是想用 x的變化來看 y的變化，認知上是 x先發生， y才對應出現。
因此，我們稱 x為自變數，而 y為應變數。在數學上，我們習慣以 x y來定
義順序，而在坐標軸上 x與 y也維持同樣的順序默契。也就是說，我們總是用
x軸來代表自變數， y軸來代表應變數。(先看 x才看 y )
反函數剛好相反，這樣 x與 y對調的思維，呈現在坐標軸上即為「兩軸互
換」。
顯然，函數與反函數的圖形就是直接將 x軸與 y軸
對調。請在右圖畫出將兩圖形對調時的對稱軸，並
寫出對稱軸方程式_____________。
反函數：
作用相反的函數，圖形互相對稱於 y x= 。
角 長度
後 後
先 先
-
57
數
等級
把數變成等級
把等級還原成數
logrithm
exponential
指數函數的圖形
( ) xg x a= ，這是指數函數。我們給定等級 index，想要還原其實際的數值大小。
疑？也和等級有關？！感覺上它和對數函數很有關聯～
弄清楚，對數函數與指數函數的作用有何不同呢？(填入「數」或「等級」)
對數函數 ( ) logaf x x= 把______變______；
指數函數 ( ) xg x a= 把______變______
所以，有沒有發現其實對數函數與指數函數互為反函數！
圖解對數函數與指數函數之關係：
利用函數與反函數圖形對
稱的性質，先畫出對數函
數 2log x的圖形，再畫出
指數函數2x的圖形。
於是，我們可利用對於對
數函數的理解，來理解指數函數。
-3 -2 -1
-
58
右圖兩曲線均為
指數函數，分別判斷其
底數。
右圖的指數函數圖形，底數______1 (填>、=、、=、
-
59
( )
( )
( )
( )a b ( )
中點
指對數圖形的凹向性觀察
最後，我們討論圖形的凹向性。由於對數與指數函數的圖形均為曲線，於是就
有所謂凹向上與凹向下的區別。
函數圖形上任兩點連線段都在函數圖形上方時，稱此函數圖形為凹向上。
通常最方便檢測的點是中點，
檢測方法如下：
即對任意實數 a＜b，
滿足( ) ( )
2f a f b+
____2a bf +
，( 填 > 或 < )我們就稱其為凹向上。
函數圖形上任兩點連
線段都在函數圖形下
方時，稱此函數圖形
為凹向下。
即對任意實數 a＜b，
滿足( ) ( )
2f a f b+
______2a bf +
，( 填 > 或 < )，我們就稱其為凹向下。
凹向上的圖形上任取兩點，其間的函數值比直線估計值：□高 □低
凹向下的圖形上任取兩點，其間的函數值比直線估計值：□高 □低
自己先畫畫看，並找出用來形容函數值「變化越來越和緩」的圖形：
□凹向上又遞增 □凹向上又遞減 □凹向下又遞增 □凹向下又遞減
( ) ( )
( )
( )
b( ) 中點
a
-
60
練習：
設 1000a b> > ，令 7 7log logp a b= ⋅ ， ( )7 71 log log2
q a b= + ，
7log 2a br + =
，則下列敘述何正確？(A) 7logq ab= (B)q r> (C)
r p q< < (D) p q r< < (E)q p r< < 。【答案】： (A)(D)
令10 92.6 2.6a = − ，
11 102.6 2.6b = − ，11 92.6 2.6
2c −= 。請選出正確的大小
關係。
(1) a b c> >
(2) a c b> >
(3) b a c> >
(4) b c a> >
(5) c b a> > 【102 學測】【答案】： (4)
-
61
坐標平面上， 1Γ 為 2logy x= 的圖形， 2Γ 為 12
logy x= 的圖形。下列關
於 1Γ 與 2Γ 的敘述，試選出正確的選項。
(1) 1Γ 的圖形凹口向下
(2) 2Γ 的圖形凹口向下
(3) 1Γ 的圖形均在 x軸的上方
(4) 2Γ 的圖形均在 y軸的右方
(5) 1Γ 與 2Γ 恰交於一點【106 數乙】【答案】：(1)(4)(5)
坐標平面上，在函數圖形 2xy = 上，標示 A、B、C、D四個點，其 x
坐標分別為 1− 、0、1、2。請選出正確的選項。
(1) 點 B落在直線 AC下方
(2) 在直線 AB、直線BC、直線CD中，以直線CD的斜率最大
(3) A、B、C、D四個點，以點B最靠近 x軸
(4) 直線 2y x= 與 2xy = 的圖形有兩個交點
(5) 點 A與點C對稱於 y軸【104 學測】
【答案】： (1)(2)(4)
-
62
如下圖為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖。假設其關係為
指數函數，試問下列敘述何者為真?
(1)此指數函數的底數為 2。
(2)在第 5 個月時，布袋蓮的面積就
會超過 230m 。
(3)布袋蓮從 4 2m ，蔓延到 12 2m ，只
需 1.5 個月。
(4)設布袋蓮蔓延到 2 2m 、3 2m 、6 2m
所需的時間分別為 1t 、 2t 、 3t 則 1t + 2t = 3t 。
(5)布袋蓮在第 1 到第 3 個月之間的蔓延平均速度等於在第 2 到第 4 個月
之間的蔓延平均速度。【87 學測】【答案(1)(2)(4)】
半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體數目每兩年
增加一倍」。用 ( )f x 表示從 0t = 開始，電晶體數目隨時間 t變化的函數，
並假設 (0) 1000f = 。下面選項中，請選出可以代表摩爾定律的公式。
(1)若 t以年為單位，則 1000( ) 10002
f t t= +
(2)若 t以月為單位，則 1000( ) 100024
f t t= +
(3)若 t以年為單位，則 ( ) 1000 ( 2)tf t = ⋅
(4)若 t以年為單位，則3log( 1)2log ( ) 32
t
f t+
= +
(5)若 t以月為單位，則 log 2log ( ) 324
f t t= + 【104 數乙】
【答案】：(3)(5)
0 1 2 3 4 時間(月) 1
24
8
16
面積(m2)
-
63
臺灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價
(即最後一筆的成交價) 的漲、跌 7%範圍內變動。例如：某支股票前一個
交易日的收盤價是每股 100 元，則今天該支股票每股的買賣價格必須在
93 元至 107 元之間。假設有某支股票的價格起伏很大，某一天的收盤價
是每股 40 元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤(也就是每天跌 7%)，
緊 接著卻連續五個交易日以漲停板收盤(也就是每天漲 7%)。請問經過這
十個交易日後，該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價
格？ (1)39 元 (2)39.5 元 (3)40 元 (4)40.5 元 (5)41 元 【答案】：(1)【93
學測】
假設某鎮每年的人口數逐年成長，且成一等比數列。已知此鎮十年前
有 25 萬人，現在有 30 萬 人，那麼二十年後，此鎮人口應有_____萬
人。（求到小數點後一位）【答案】：43.2【84 學測】
在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細
菌 A 的數量每兩個小時可以成長為兩倍，細菌 B 的數量每三個小時可以
成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等，則大約幾小時後
細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10 ？
(1) 24 小時。
(2) 48 小時。
(3) 69 小時。
(4) 96 小時。
(5) 117 小時。【答案】：(5)【95 學測】
-
64
統計學家克利夫蘭對人體的眼睛詳細研究後發現：我們的眼睛看到圖
形面積的大小與此圖形實際面積的 0.7 次方成正比。例如：大圖形是小
圖形的 3 倍,眼睛感覺到的只有 0.73 (約 2.16 倍)。觀察某個國家地圖，感覺
全國面積約為某縣面積的 10 倍，試問這國家的實際面積大約是該縣面積
的幾倍？ (1) 18 倍 (2) 21 倍 (3) 24 倍 (4) 27 倍 (5) 36 倍
【93 數乙】【答案】：(4)
放射性物質的半衰期T定義為每經過時間T，該物質的質量會衰退成
原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質 A、B，開始記錄時容器中物
質 A的質量為物質B的兩倍，而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物
質 A的半衰期為 7.5 小時，請問物質B的半衰期為幾小時？【105 學測】
(1) 8 小時 (2) 10 小時 (3) 12 小時 (4) 15 小時 (5) 20 小時
【答案】： (1)
-
65
複利問題
阿銘應徵甲乙兩家公司的工作，甲公司老闆承諾『月起薪 100000，並且每年
加薪 5000』，乙公司老闆承諾『月起薪 100000，並且每年加薪 5%』。
(1) 請幫阿銘算出甲公司第 x 年的月薪資：第一年__________、第二年__________、第三年__________
甲公司第 x 年的月薪資函數 ( )f x =甲 __________________( x∈正整數 )。
(2) 請幫阿銘算出乙公司第 x 年的月薪資：第一年__________、第二年__________、第三年__________
乙公司第 x 年的月薪資函數 ( )f x =乙 __________________( x∈正整數 )。
前述例子中，甲公司老闆給薪的方法，其實就是銀行「單利」的計算方式， 我們發現每年的月薪是：□等差數列 □等比數列 而乙公司老闆給薪的方法，其實就是銀行「複利」的計算方式， 我們發現每年的月薪是：□等差數列 □等比數列 如果只考慮薪資，你會選擇哪一家公司呢？______________
請在上圖中分別寫出比較符合那家公司的月薪資函數圖形。
____公司 ____公司
-
66
小結：
1. 單利問題： 設本金為 P，期利率為 r％，期數為 n，若單利計算則本利和 S＝P×（1＋n×r％）。
2. 複利問題： 設本金為 P，期利率為 r％，期數為 n，若複利計算則本利和 S＝P×（1＋r％）n。 註：一般銀行的存款或貸款均用複利計算。
1. 社會新鮮人辛辛努力工作，每月月初領錢即存入銀行 2 萬元，預計在 20 年後買房。他找了一家銀行，承諾給辛辛年利 3%計息，每月計息一次，請問20 年後辛辛能存多少萬元呢?
(註：概算 240(1.0025) 1.82≈ ) ____________________。如果辛辛沒有把錢存銀
行，而是藏在家裡的保險箱，那 20 年後辛辛能存多少萬元呢?_____________ (請以「萬元」概計即可)
2. 社會新鮮人呆呆也很努力工作，但因為結婚在即，故向銀行貸款買房，年利 3%每月計息一次，預計每個月月初還款 2 萬元，20 年後還清，請問當初他向銀行貸款了多少萬元呢?
(註：概算 240(1.0025) 1.82≈ )________________ (請以「萬元」概計即可)
3. 上述兩例中，在買房這件事上，20 年後辛辛和呆呆的財富差距為_________________。
-
67
註(FOR 教師)：指對數推薦參考入班教學影片：
1. 數學新世界--CA--數字的等級表示法 入班教學 20190510 (臺中市黎明國
中) PART1
2. 數學新世界--CA--數字的等級表示法 入班教學 20190510 (臺中市黎明國
中) PART2
3. 數學新世界--CA-反函數 入班教學 20190517 (臺中市黎明國中) PART1
4. 數學新世界--CA-反函數 入班教學 20190517 (臺中市黎明國中) PART2
5. 數學新世界--CA--幾何圖形 對數的首數和尾數 教師共備 20190719 (新北
市蘆洲國中) PART3
-
數 學 新 世 界 直線與圓
指導：CA
高中核心概念 作者：蔡晴穎
68
直線與圓是我們常見且熟識的圖形，它們規律、勻稱的性質，使我們便於研究
幾何圖形以及做代數運算。在笛卡爾坐標上如何用代數來描述它，以及它們的
各種關係式，是這個單元的核心。
直線方程式(關係式)
所謂的直線方程式，指的是在坐標平面之直線上的點 ( , )x y ，其 x與 y都符合的某一種關係式。
坐標平面上直線的姿態有三種：
一、鉛垂 二、水平 三、傾斜
除了垂直的直線以外，什麼樣的變化才會使得圖形是「直」的呢？想想看，是
一個不是每一階都一樣的樓梯才夠「直」？也就是說，在每個固定的水平距離
中，上升的高度都一樣。即：從頭到尾一樣斜！(水平線是一個沒有傾斜的直線)
例如：x增加 3 的時候 y增加了 5， x增加 6 的時候 y增加了 10，有沒有一樣斜呢？＿＿
為了統一描述傾斜程度，使用「單價」的概念最方便了。
所謂的單價就是：「一斤多少錢？」在這裡我們用 x增加1， y會增加的數來看成單價的意義。而這個描述單位x的變化之下 y變化程度的單價，我們稱之為「斜率」。
x增加 y上升3 5 6 10 1
斜率
其上的點 坐標都是某
一個固定的數，但 可
以任意改變，因此我們
用 來描述
它。
其上的點 坐標都是某
一個固定的數，但 可
以任意改變，因此我們
用 來描述
它。
這是比較一般的形式。
我們該如何來描述它
呢？接下來我們會另外
針對這個形式再詳加分
析。
-
69
直線的斜率是： x增加 1 時， y的變量。
若 x增加 1 時， y亦增加，斜率為正；若x增加 1 時， y反之減少，則斜率為
負；若x增加 1 時， y沒有變化，則斜率為 0。
利用相似形的比例關係，也可以用yx的變化
的變化來求出斜率。
除了垂直的直線外，我們可以用各種不
同的斜率m值，來描述各式各樣的傾斜程度的直線。
顯然，如果越往右越高(也就是說x增加時， y亦增加)，此直線的斜率是 □正 □負
同理，如果越往右越低(也就是說x增加時， y反減少)，此直線的斜率是 □正 □負
想想看，為什麼無法用x變化多少， y會變化多少來表現垂直線的斜率？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 也就是說，垂直線沒有斜率。
練習： 1. 設 A(1 , 1) , B(3 , 5) , C(5 , 3) , D(0 , −7) , E(2 , −3)及 F(8 , −6)為坐標平面上的六
個點。若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個交點，則 L 的斜率之最小可能值為__________。 【101 學測】
直線的斜率為 直線的斜率為
-
70
如何利用斜率來描述一條直線呢？
如果我們知道一直線的起點高度，及斜率m，那麼，直線方程式我們可以怎
麼寫它呢？也就是說，直線上的點其 x、 y坐標之間的關係為何？
(A) 從原點開始算：
斜率為m，表示當水平增加 1 時，垂直增加m。所以當水平增加量為 x時，垂直增加量為______。所以直線上任一點 ( , )x y 中，
(B) 從 y軸開始算：
當水平增加量為x時，垂直增
加量為______，但我們是從 0y
的高度開始增加的，所以直線
上的點 ( , )x y 中，
(C) 從 x軸開始算： 斜率為m，表示當水平增加 1時，垂直增加m。所以當水平增
加量為 0x x− 時，垂直增加量為
_____________。所以直線上任一點 ( , )x y 中，
1 m
( )
有多大？
的變化
小常識：
0x x− (終點減起點)＝從起點到終點的 x變
化，把 0x 移動到 0，則 x會移動到 0x x− 。
1m
有多大？
( )
y =
y =
y =
1m
( )
有多大？
的變化
的變化
-
71
(D) 從某一點 0 0( , )x y 開始算：
但是，如果我們不知道斜率，卻只知道直線過 0 0( , )x y ， 1 1( , )x y 兩個點，那麼
又該如何寫出直線方程式呢？
(E) 首先，我們可以從已知的兩點 0 0( , )x y ， 1 1( , )x y 找到斜率m = ，
進而寫出：
由上討論我們發現，只要掌握「從何開始」與「傾斜程度」，再利用比例就
可以輕鬆寫出平面上的直方程式了。
小知識： 截距表示它與 軸交點的 坐標，
截距表示它與 軸交點的 坐標。
例如：右圖中， 截距為____， 截距為____。
小知識：在數學符號使用的習慣上，有足碼的 常被用來表現固定的
數，而沒有足碼的 則被用來表現變數。
y =
1m
( )
( )
有多大？
的變化
的變化
y =
有多大？
( )
( )
的變化
-
72
平行線特質
如果我們知道從原點開始的線
是 y mx= ，那麼這些和它平
行的線，都只不過是從不一樣
的高度開始而已，所以，
y mx= 的平行線，我們只要改變 0y y mx= + 中起始值 0y 的高度，就可以得到
右圖形這些平行線了，習慣上，我們會把它寫成 0y mx y= + 。
垂直線特質
在坐標平面上，兩垂直線又會有什麼樣的特質呢？
首先，我們來觀察一下，由於兩線垂直，它們會呈
現如此的樣態：若一條比較平緩，另一條就會比較
陡；一條斜率若為正，另一條必為負。感覺上，兩
條線有種相反的感覺。
觀察右方圖形中的線段長，若OA OB OC= = ，且
A點的坐標為 ( , )a b ，那麼由三角形的全
等不難發現，B點的坐標必為
____________，C點的坐標為
_____________。
請觀察 ,A B的坐標，並寫出
OA的斜率OAm = __________，OB的斜率
OBm = __________，OC的斜率 OCm =
__________。於是我們發現：
在坐標平面上，當兩直線垂直時，斜率相乘永遠是___。即 1OA OBm m⋅ = −
( )
( )
逆時針
順時針
起始值
起始值
-
73
你覺得過原點的直線方程式有什麼特色呢？_____________________
我們常會把直線方程式寫成像 0ax by c+ + = 的樣子，請寫出它的斜率
_____。那麼與 0ax by c+ + = 垂直的線，斜率應該是_____。
垂直線有無限多條，請利用直線 : 0L ax by c+ + = 中的 ,a b，先求出其垂直
的直線斜率，再寫出一條通過原點、一條不通過原點且與 L 垂直的直線方
程式___________________、___________________。
下列直線中，哪些會與5 2 1 0x y− + = 垂直？
(1) 5 2 3 0x y− + + = (2) 2 5 9 0x y+ − = (3) 12 5x y+ = (4) 1
5 2x y+ =
(5) 12 5x y− = (6) 5 3
2y x= − (7) 2 1
5y x= − +
右圖中紅線的方程式為2 3 0x y− = ，且
OA OB= ，則 (3, ____)A ，
(____, ____)B ， (____, ____)C
( )
( )
逆時針
順時針
-
74
坐標平面上有三條直線 L、 1L、 2L ，其中 L為水平線， 1L、 2L 的斜率分別
為34、
43
− 。已知 L被 1L、 2L 所截出的線段長為30，則 L、 1L、 2L 所決定
的三角形的面積為___________。【106 數甲】
【答案】：216
坐標平面上四條直線 1 2 3 4, , ,L L L L 與 x 軸、
y �