:רזע תורפס אובמ - exact-sciences.tau.ac.il & finn/ fundamental university physics...

רקע תיאורטי –תנועה הרמונית מעבדה א' בפיזיקה

12מתוך 1עמוד

:פרות עזרס .8מכניקה יחידה –האוניברסיטה הפתוחה .1

.12.8, 12.7, 12.5, 10, פרקים , מהדורה שישיתסירס זימנסקי –פיסיקה תיכונית .2

.18-ו 16, 2מכניקה לתיכון ולאוניברסיטה מאת יורם אשר, מהדורה ראשונה, פרקים .3

4. Alonso & Finn/ Fundamental University Physics – Vol.I. Mechanics, Ch. 10.

מבוא אך בכיוון מנוגד לו, xתנועה הרמונית פשוטה נובעת מכוח הפרופורציונלי להעתק הגוף

F K x , 0K התנועה היא מחזורית סביב נקודת שיווי המשקל בה שקול הכוחות .

על הגוף הנע הוא אפס.

התנועה ההרמונית היא ביכולתה לתאר בקירוב מערכות פיזיקליות רבות חשיבותה של תנודות , לדוגמא תנודת מסה על קפיץ, תנועת זרם חשמלי במעגלים חשמליים מסוימים

או תנודות האחראיות לתופעות פיסקליות כמו קיבול חום)הרמוניות של מולקולות בחומר . פיזור אור( ועוד

פשוטהתנועה הרמונית –חלק א' תנועה הרמונית פשוטה היא אחד הסוגים של תנועה מחזורית. דוגמה לגוף המבצע תנועה

מטה. אחד ממאפייני -הרמונית פשוטה היא מסה התלויה על קפיץ אנכי ומתנדנדת מעלהף , במהלכו הגוT. מדובר בפרק זמן קבוע המסומן באותזמן מחזורהתנועה המחזורית הוא

מבצע את התנועה הבסיסית עליה הוא חוזר. מספר הפעמים שהתנועה חוזרת על עצמה , מהירות זוויתיתאו תדירות זוויתית. מגדירים גם f , והוא מסומן באותתדירותבשניה נקרא

ות/מהירות הזוויתית הוא. הקשר בין זמן המחזור, התדירות והתדיר המסומנות באות

)בהגדרה(

(1) 2

2 fT

משוואות תנועה

משוואות תנועה של גוף כלשהוא, הן משוואות המכילות את קואורדינטות מיקום הגוף, ונגזרות של הקואורדינאטות הנ"ל לפי הזמן. מסלול התנועה של הגוף, כלומר מיקום הגוף

כפונקציה של הזמן, מתקבל מפתרון משוואות התנועה.

סיס למשוואות התנועה הוא החוק השני של ניוטון:הב

(2) dp

Fdt

F ו הוא הכוח הפועל על הגוף-p ,הוא התנע של הגוף. בנוסףdx

p m v mdt

לכן ,

יותר לחוק השני של ניוטון: בתנועה בה מסת הגוף קבועה, מתקבלת הצורה המוכרת



(3) 2

2

d xF m

dt

x

.tהוא מיקום הגוף במרחב כפונקציה של הזמן

משוואת התנועה של תנועה הרמונית פשוטה

Fהמבצע תנועה הרמונית פשוטה, פועל כוח מחזיר: mעל גוף בעל מסה Kx כאשר ,K -ו ,נקרא קבוע הקפיץ והוא בעל יחידות של כוח ליחידת אורך( K ,)למשל עבור קפיץ קבוע

x הוא היסט הגוף מנקודת שיווי המשקל. הכוח נקרא כוח מחזיר כיוון שהוא פועל כך שיחזיר

משוואת תניב את (3) שלו. הצבה בחוק השני של ניוטון את הגוף לנקודת שיווי המשקל התנועה האופיינית לתנועה הרמונית פשוטה

(4) 2

2

d x Kx

dt m

פתרון המשוואה הוא tAtx cos כאשר .A היא המשרעת ו- היא זווית המופע

התחלתית.

נזהה את הקבוע באגף ימין כריבוע התדירות הזוויתית של התנועה ההרמונית:

(5)

K

m

חזור של , נוכל לדעת מהו זמן הממהו הכוח המחזיר, ומהי מסת הגוףמכאן שאם נדע .(5) התנועה, מתוך הקשר בנוסחה

: גיזרי פעמיים את הפיתרון 1 תרגיל tAtx cos לפיt אותה. כדי להיווכח שהוא פותר 5, והציבי במשוואה

.(5) ודאי שמתקבל התנאי במשוואה

מטוטלת מתמטית –חלק ב' צעת בקירוב תנועה הרמונית פשוטה. מטוטלת מתמטית היא מערכת פיסיקלית המב

. על מנת לתאר את 1, כמתואר באיור Lהתלויה על חוט שאורכו mבמסה למשל נתבונן את ההנחות יש להניח של מטוטלת מתמטית מתמטי פשוטהמודל ההמערכת בעזרת

הבאות:

החוט אינו אלסטי ומשקלו זניח. .א

המסה הנה נקודתית ונמצאת בקצה החוט. .ב

הפועל על המערכת הוא כוח הכובד. כוחות אחרים, כמו למשל כוח הכוח היחיד .ג חיכוך עם האוויר, זניחים.



היא זווית היסט θ הוא אורך חוט המטוטלת, L: מטוטלת מתמטית והכוחות הפועלים עליה בצירים השונים. 1איור תאוצת הכובד. gמנקודת שיווי המשקל, mהוא ההיסט האופקי של המסה xהמטוטלת משיווי המשקל,

משוואת התנועה של מטוטלת מתמטית

נעה בנתיב המתאר mמנקודת שווי המשקל, ניווכח כי המסה 1אם נסיט את המסה באיור . Lקשת של מעגל בעל רדיוס

נתאר את תנועת המטוטלת על גבי הקשת באמצעות זוית ההיסט שלה בכל רגע t .

( עבור תנועת המסה על הקשת (3) נכתוב את החוק השני של ניוטון )משוואה L t:

(6) 2

2

d LF m

dt

כלפי מטה. mg, הנובע מפעולת כוח הכובד Fהכח הפועל על המטוטלת הוא כוח מחזיר sinmgFהכוח המחזיר הוא: θר המסה נמצאת בזווית כאש איור כפי שניתן לראות מ

לפי בנוסף, . סימן המינוס מבטא את העובדה שכיוון הכוח הפוך לכיוון התזוזה של המסה.1

ולכן: θ: sinθ=x/Lהגדרת הזוית L

xmgF .

Lבזוויות תנודה קטנות אפשר לקרב את הקשת שלארכה נעה המסה, למיתרx:

(7) sinx L L

(7) , ונשתמש בקירוב שבמשוואה (6) בצד שמאל של משוואת התנועה Fנציב את הכוח

בצד ימין של המשוואה, ונקבל:

(8) 2

2

dt

xdm

L

xmg

(9) 2

2

d x gx

dt L



ור תנועה הרמונית פשוטה שכבר עב (4) זהה בצורתה למשוואה (10) נשים לב שנוסחה

Lgפתרנו למעלה, רק שהפעם התדירות הזוויתית היא: / זמן המחזור של .

, יהיה הפעם:(1) המטוטלת, לפי נוסחה

(10) g

LT

2

2

ואורך חוט המטוטלת gידי תאוצת הכובד כלומר זמן המחזור של מטוטלת מתמטית נקבע על

L בלבד, ולא תלוי במסהm.

מטוטלת פיסיקלית –חלק ג . אם נסיטו (2, כמתואר באיור )נתבונן בגוף קשיח התלוי בשדה הכבידה של כדור הארץ

מטוטלת וכך אנו מגדירים – ממצב שיווי המשקל שלו ונרפה ממנו, הגוף יתנודד כמטוטלת .ןפעמו –דוגמה נוספת למטוטלת פיסיקלית .פיזיקלית

תלוי במרחק שבין מרכז המסה של הגוף ונקודת התלייה ת המטוטלתמן המחזור של תנודזאם הגוף יתלה בדיוק במרכז המסה שלו, הוא .((11) ה נוסח יוגדר בהמשך, )מרכז המסה

ולא יתנודד כלל. אפשר להסתכל על מצב זה כעל תנודה עם זמן יציביה נתון בשיווי משקל יהמחזור אינסופי. ככל שנרחיק את נקודת התליה מנקודת מרכז המסה, כן ילך ויקטן זמן

המחזור של התנודה.

נוכל להסתכל אם נתלה את הגוף במרחק גדול מאד מנקודת מרכז המסה שלו, , מצד שני. בחלק ג ראיתם מטוטלת מתמטיתף נקודתי, ולכן תנועתו תהיה דומה לתנועת עליו כגו

2Tזמן המחזור בריבוע פרופורציונלי לאורך החוט , ,עבור מטוטלת מתמטיתש L לכן ככל .אם כן, .יגדלשוב זמן המחזור של תנודתו שנתלה את הגוף רחוק יותר ממרכז המסה שלו,

מרחק בין נקודת התלייה ומרכז המסה הנותן זמן מחזור מינימלי. מרחק זה ידוע ישנו איזשהו . κ, ומסומן באות היוונית קאפה: של הגוף רדיוס ההתמדבשם

.מטוטלת פיסיקלית :2איור

: נפתח את משוואת התנועה של מטוטלת נראה ניתוח כמותי של התופעה הנ"לכעת עה הרמונית פשוטה כמו משוואות ת, ונראה שבסוף שנקבל את אותה משוואה של תנופיזיקלי

של מטוטלת פיזיקלית. T, וכך נקבל ביטוי לזמן המחזור (9) -ו (4)



ניקה של גוף קשיחבמכמושגי יסוד

ת, שאינו אלסטי )כלומר אנו מניחים שאינו מתכווץ או גוף קשיח הנו עצם בעל צורה שרירותימתעקם תחת הפעלת הכוחות במערכת הפיזיקלית בה אנו דנים(. ניתן להסתכל עליו כעל

אוסף של מסות מפוזרות במרחב, כאשר המרחקים בין המסות לבין עצמן קבועים.

דוגמאות לגוף קשיח: סביבון, פריזבי, צלחת מעופפת.

נם גדלים פיזיקאליים מאפיינים, התלויים במימדיו:לכל גוף קשיח יש

מרכז מסה

המפוזרות במרחב, ניתן לחשב את מיקום imנקודתיות באופן כללי, עבור אוסף של מסות

מרכז המסה, המוגדר בצורה הבאה:

(11)

i

i

i

ii

cmm

rm

x

cmxכאשר

ir-, והוא מיקום מרכז המסה

. imהוא מיקום המסה

מיקום נקודת מרכז המסה של גוף קשיח הוא קבוע. גוף קשיח המונח על, או תלוי ממרכז המסה שלו, נמצא בשיווי משקל.

1במיקומים: xשלושה גופים נקודתיים ממוקמים על ציר :2 תרגיל 2 32 , 1 , 10x cm x cm x cm ות . המס

1של הגופים הן 2 35 , 2.2 , 8m gram m gram m gram ?היכן נמצא מרכז המסה .

(:12לפי נוסחה ) תרון:פ

1 1 2 2 3 3

1 2 3

2 5 1 2.2 10 8cm

cm gramx m x m x mx

m m m

5 2.2 8 gram 4.75 cm

ס"מ. 4.75-מרכז המסה נמצא ב

מומנט התמד

מומנט ההתמד של גוף קשיח הוא יכולתו של הגוף למנוע שינוי מהירותו הזוויתית. והוא הגוף מסביב לציר הסיבוב. מבטא את פיזור המסה של

גודל זה רלוונטי במקרה שהגוף מבצע תנועה סיבובית סביב עצמו, לדוגמא תנועה של צלחת מעופפת )ציר הסיבוב עובר במרכז הצלחת המעופפת(.

נתון ע":, מומנט ההתמד imכי הגוף מורכב מאוסף של נקודות מסה בהנחה

(12) i

ii rmI 2)(

I- ,מומנט ההתמדir

ציר הסיבוב.מ imהמסה רחקמ -

-, ועובר בxשלושת המסות שבתרגיל הקודם, מהו מומנט ההתמד לסיבוב סביב ציר הניצב לציר : עבור3גיל תר

1axisx cm?



:13לפי נוסחה :פיתרון

2 2 2

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2

2

5 2 1 2.2 1 1 8 10 1

693

axis axis axisI m x x m x x m x x

gram cm

gram cm

ועובר דרך מרכז x: הראה ע"י חישוב דומה שעבור אותן שלוש מסות, מומנט ההתמד לסיבוב סביב ציר הניצב לציר 4תרגיל גרם סנטימטר בריבוע. 479.25המסה הוא

במקרה כזה ולא אוסף נקודות מסה. חומר רציףלעיתים נוח יותר להסתכל על גוף קשיח כעל אינטגרל:, ב(12) נוסחה את הסכום ב וג להחליףנה

(13) dmrI 2

הוא אלמנט מסה והאינטגרל מתבצע על כל נפח הגוף. dmכאשר

מומנט ההתמד הנו קבוע בזמן, אך משתנה כתלות במיקום ציר הסיבוב. כלומר מומנט בוב שונים יהיה שונה. ההתמד סביב צירי סי

את מומנט ההתמד סביב ציר סיבוב העובר דרך מרכז המסה של הגוף. 0I -מסמנים ב

, עבור סיבוב סביב ציר שניצב למוט ועובר דרך M, בעל מסה Lמהו מומנט ההתמד של מוט דק אחיד, באורך : 5תרגיל מרכז המסה שלו?

-( כ14שבמשוואה ) dmוט אחיד נמצא בדיוק במרכזו. עבור מוט כזה אפשר לכתוב את מרכז המסה של מ :תרוןפ

Mdm dr

L כש ,-dr ( יהפוך ל14הוא אלמנט אורך. האינטגרל במשוואה )-

2

2 2

0

2

2

12

L

L

MI r dm r dr

L

ML

הוא בקצהודומה שמומנט ההתמד של אותו המוט בסיבוב סביב ציר הניצב לו ועובר ע"י חישוב : הראי6תרגיל 2

3

MLI .

מטוטלת פיסיקליתמשוואות התנועה של

כדי למצוא ביטוי לזמן המחזור של מטוטלת פיזיקלית, נמצא קודם את משוואת התנועה .(9) או (4) ל משוואה שלה, ונראה שהיא משוואת תנועה הרמונית מהצורה ש

במרחק , כאשר נקודת התליה נמצאת gבשדה כובד התלוי mנתבונן בגוף בעל מסה r, ונמתח וקטור 2איור , כמתואר בממרכז המסה שלו

מנקודת התליה אל מרכז המסה

(r lנכפול סקלרית ב .)-r

מהי משני צידי המשוואה )הסבר (3) את החוק השני של ניוטון

מכפלה סקלרית מופיע בנספח בסוף הטקסט(:



dpr F r

dt

dr p

dt

ההוצאה של הנגזרת בזמן אל מחוץ לסוגריים אינה טריוויאלית, וההוכחה שניתן לבצע פעולה זו נמצאת בנספח בסוף הטקסט.

Jנגדיר r p ( זהו התנע הזויתי ,Angular Momentumשל גוף נקודתי ) עם תנעp

. rביחס לנקודה ממנה מתחיל הווקטור

Nנגדיר r F ( זהו המומנטTorque שמפעיל הכוח )F על הנקודה ממנה מתחיל

.rהווקטור

חוק השני של ניוטון יכול להיכתב גם:כלומר ה

(14)

dJN

dt

יתחיל ממנה, בפרט נקודת התליה. r-ביחס לכל נקודה שנבחר במרחב שנבחר ש

מכאן שאם הכוח היחיד שפועל על אנו מניחים שכוח הכובד פועל על מרכז המסה של הגוף.יתן יהיה לכתוב את המומנט באמצעות התכונות של מכפלה הגוף הוא כוח הכבידה, נ

סקלרית בצורה הבאה:

(15) sin sinN r F F r F r m g l

.2שבאיור , שבמקרה הזה היא בדיוק זוית ההיסט r-ו Fהיא הזוית בין -כש

לכל גוף כללי גם במונחי התדירות Jבנוסף אנו יודעים שניתן לכתוב את התנע הזויתי

הזויתית d

dt

ומומנט ההתמדI :שלו

(16)

dJ I I

dt

י הן : היחידות של תנע זוית7 תרגיל2 -1mass distance time . היחידות של מומנט הן

2 -2mass distance time תואמות את היחידות הללו. (16) -ו (15) , (14) משוואות ודא שהיחידות של

:(14) במשוואה (16) -ו (15) נציב את משוואות

2

2sin

d mg

dt I

ובקירוב זויות קטנות sin :

(17)

2

2

d mg

dt I



: ריבוע זמן המחזור של מטוטלת פיזיקלית כפונקציה של מרחק 3איור

((.21התליה )לפי משוואה )

נשים לב שהבאנו את משוואת התנועה לצורה שמראה שהיא משוואת תנועה הרמונית, :. נזהה את התדירות הזויתית (9) -ו (4) בדיוק כמו משוואות

(18) I

lmg2

ן ע"י:יינתזמן המחזור של התנודה , נוכל להסיק כי (1) לפי משוואה

(19)

2 22

2

4 4 IT

mg

.ביחס לסיבוב סביב נקודת התליההוא מומנט ההתמד של הגוף I-כש

קילוגרם, אם תופסים אותו בקצהו ומנדנדים 1מטר, בעל מסה של 1זמן המחזור )בשניות( של מוט באורך : מהו8 תרגיל , בביטוי למומנט ההתמד של מוט ביחס לקצהו שמצאנו בתרגיל קודם:19אותו בתנודות קטנות? )השתמשי בנוסחה

2

3

MLI הציבי .

29.81

sec

meterg שניות( 1.16~אי שמתקבל זמן מחזור והר

לסיבוב סביב נקודת התליה שנמצאת בנקודה Iלעיתים רבות לא נדע את מומנט ההתמד שרירותית על גבי הגוף, אבל כן נדע מהו מומנט ההתמד לסיבוב סביב מרכז המסה של הגוף

0Iשמקשר בין במשפט שטיינרכל להשתמש . במקרים אלו נוI 0-וI:

(20) 2

0I I m

הוכחה מתמטית של משפט שטיינר נמצאת בנספח.

במרכזו הוא : בתרגיל קודם מצאנו ע"י אינטגרציה שמומנט ההתמד של מוט דק ביחס לציר סיבוב שניצב לו ועובר 9 תרגיל2

012

MLI בתרגיל אחר מצאנו שוב ע"י אינטגרציה שמומנט ההתמד של מוט ביחס לציר סיבוב שניצב לו ועובר בקצהו .

הוא

2

3

MLI 0. הראה שבהינתןI לעיל ניתן להגיע לביטוי ל-I ( מבלי לבצע 20רק באמצעות משפט שטיינר ,)

אינטרגציה.

ונקבל: (19) בנוסחה (20) את משפט שטיינר נציב

(21)

2 22 04 4I

Tmg g

T- ,זמן המחזור של מטוטלת פיסיקליתm- מסת

מומנט ההתמד -0Iתאוצת הכובד, -gהמטוטלת,

- ,סביב מרכז המסה שלהשל המטוטלת מרחק נקודת התליה של המטוטלת ממרכז

המסה שלה.

. 3משורטטת בצורה כללית באיור (21) משוואה גדול האיבר הראשון במשוואה -ים לב שכשנש



כך שקיבלנו חזרה בדיוק את הביטוי –דועך לאפס, ורק האיבר השני יתרום לזמן המחזור

.(10) לריבוע זמן המחזור של מטוטלת מתמטית

, ולפיכך גם את Tזמן המחזור גדיר את המינימום שלמ ,κ, רדיוס ההתמדכעת ניזכר ש :0 -והשוואה ל לפי T2ע"י גזירת ,(21) ה ממשווא. ניתן לחלץ אותו T2המינימום של

(22) 0

min

I

m

2 2 2

0

2

4 40 0

d T I

d mg g

וב מומנט ההתמד של מטוטלת פיסיקלית לפי גדלים גאומטרייםחיש

במעבדה, נעבוד עם מטוטלת פיסיקלית שהיא מוט דק וארוך, עליו מוברגת דיסקה. מכיוון שמומנט ההתמד הינו גודל אדיטיבי, ניתן לקבל את מומנט ההתמד סביב כל נקודה

ותה נקודה.ביחס לא במטוטלת ע"י סכום מומנטי ההתמד של המוט והדיסקה

מומנט ההתמד של מוט סביב מרכז המסה שלו:

(23)

2

12

rodrod

M LI

הוא אורך המוט הכולל; L-כש

ושל דיסקה סביב מרכז המסה שלה:

(24) 2

2

diskdisk

m rI

הוא רדיוס הדיסקה. r-כש

תיתן: (20) שטיינר במשפט (24) -ו (23) הצבת

(25) 2 2

2 2

012 2

rod disk rod disk

L rI I I M A m a

M- ,מסת המוטm- ,מסת הדיסקהL- ,אורך המוטr- ,את רדיוס הדיסקהA- המרחק ביןיתאר את המרחק aין מרכז המסה של המטוטלת, ובצורה דומה מרכז המסה של המוט לב

בין מרכזי המסה של הדיסקה והמטוטלת.

סיכום –חלק ה ידי מדידת זמני -על (21) ופיסיקלית (10) במעבדה נאמת את המודל של מטוטלת מתמטית

וטלות במרחקים שונים ממרכז המסה.המחזור של המט ונשווה לתאוצת הכובד הידועה. gמתוך מודל המטוטלת המתמטית נחלץ את תאוצת הכובד

בנוסף עבור המודל של מטוטלת פיסיקלית נמצא את רדיוס ההתמד בעזרת חישוב ישיר של , ונשווה אותו לרדיוס ההתמד שנחלץ ממדידות זמני המחזור של (25) גדלי המערכת

.(22) המטוטלת



נספחים -חלק ו

מכפלה וקטורית:

Aהמכפלה הוקטורית בין הווקטור

Bלוקטור

והיא: -מסומנת ב

BAC

C תוצאת המכפלה

את גודלו מחשבים בעזרת הנוסחה:היא וקטור.

ABABC sin

Aהם הגדלים של הווקטוריםB -וAכאשר

B -ו

היא הזווית בין הווקטורים.ABוהזווית ,

C כיוונו של הווקטור

Aמוגדר להיות מאונך למישור שיוצרים

B-ו

לפי כלל יד ימין.

וף קשיח המבצע תנועה סיבוביתמשוואת התנועה של ג

-הוכחה ש dp d

r r pdt dt

:

יותר קל לראות זאת אם הולכים מהסוף להתחלה:

d dr dp

r p p rdt dt dt

אבל הווקטור dr

vdt

מקביל לתנעp mv :ולכן המכפלה הווקטורית ביניהם מתאפסת

dpr

dt

מש"ל.

ההתמד יחישוב מומנטדוגמאות ל

נסתכל כעת על , (11) של גוף מסביב לציר סיבוב מסוים הוגדר ע"י משוואה Iמומנט ההתמד עשויה מחומר רציף )למעשה שום גוף אינו עשוי מחומר רציף אלא מאטומים מערכת ה

יף את הסכום באינטגרל. בדידים, אבל נוח לנו להתייחס אליו כך בקירוב( אפשר להחל במקרה כזה מומנט ההתמד ינתן ע"י:

(1) dmrI 2

הוא אלמנט מסה והאינטגרל מתבצע על כל נפח הגוף. את אלמנט המסה אפשר dmכאשר

. :dm=dV צפיפו מסה dVלבטא על ידי מכפלה של אלמנט נפח

הוא פונקציה של המיקום. הכלליקבוע בכל הגוף, אבל במקרה במקרים הפשוטים תלויה במערכת הקואורדינטות בה עובדים. dVצורתו המפורשת של אלמנט הנפח

dV=dxdydz במערכת קואורדינטות קרטזית:



dV=rdrddz במערכת קואורדינטות גלילית:

dV=r2sindrdd במערכת קואורדינטות כדורית:

: תאור מערכות קואורדינטות 3ציור

וצפיפותו קבועה בכל נפחו, R, רדיוסו Hנחשב לדוגמא את מומנט ההתמד של גליל שגובהו סביב צירו. נשתמש בקואורדינטות גליליות. מומנט ההתמד ינתן ע"י:

2

2

0 0 0

H R

I r r dr d dz

ים, לכן אפשר לחשב אותם בנפרד:אלה הם שלושה אינטגרלים בלתי תלוי

4

23

0 0 0

2

4

H R H RI d dz r dr

נתונה ע"י mמסת הגליל HRm 2 :לכן

2

2mRI

חישוב זה היה פשוט משום שבחרנו צורה פשוטה במיוחד. בדרך כלל יכול חישוב מומנט ת החישוב ע"י ביצוע קירובים. ההתמד להיות תרגיל מסובך למדי. לפעמים אפשר לפשט א

משפט שטיינרהוכחה מתמטית של

I0של גוף סביב ציר כלשהו שווה למומנט ההתמד I משפט שטיינר אומר כי מומנט ההתמד, Mשל הגוף סביב ציר מקביל לציר הראשון והעובר דרך מרכז המסה, ועוד מסת הגוף,

רשם הדבר כך:, שבין הצירים. בנוסחה ייa מוכפלת בריבוע המרחק,

2

0MaII

נוכיח זאת: נעביר ציר סיבוב דרך מרכז המסה של גוף כלשהו. נבנה מערכת קואורדינטות

שלה יתאחד עם ציר הסיבוב. במערכת כזו ינתן מומנט ההתמד zכך שציר (r,,z)גליליות סביב הציר הנ"ל ע"י:

j

jjrmI

2

0

א על כל נקודות המסה. נעביר כעת ציר אחר מקביל לציר הראשון כאשר הסכימה הישלה מתאחד עם z. נבנה מערכת קואורדינטות גליליות חדשה שציר aוהמרוחק ממנו מרחק



rציר הסיבוב החדש. נקודה אשר סומנה במערכת הישנה ע"י

תסומן במערכת החדשה ע"י

'r

שר:כא

arr

'

נתון ע"י: Iמומנט ההתמד סביב הציר החדש

j

jjj j

jjjjj

jjj

jjarmamrmarmrmI

2)()'(2222

arכאשר j

.קיבלנו שלושה מחוברים. הראשון שבהם הוא היא מכפלה סקלריתI0 לפי

מוכפלת בריבוע המרחק בין הצירים. Mההגדרה והשני הוא מסת הגוף

j

jj

jjMamaam 222

aנראה כי המחובר האחרון מתאפס. נניח כי הוקטור

. כמובן שזוהי בחירה xמונח על ציר

. במקרה כזה .z=constבכל כיוון במישור xשרירותית אבל מותר לנו להעביר את ציר

arj

נותן לנו את קואורדינטת ה-x של נקודת המסהmj במערכת הישנה. לכן אפשר

לרשום:

j

jj

j

jj xmaarm 22

של נקודת מרכז המסה. מאחר ומיקום זה נמדד xהביטוי האחרון הוא המיקום בכיוון עובר דרך מרכז המסה הרי שהערך של הביטוי הנ"ל שווה לאפס. וכך zבמערכת בה ציר

נשארנו עם:

מ.ש.ל.2

0MaII

:רזע תורפס אובמ - exact-sciences.tau.ac.il & finn/ fundamental university physics...

Documents