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第一节第一节 走进奇妙的数学世走进奇妙的数学世界界

初中一年级数学

例 1·探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，如：任意找一个 3 的倍数的数（非零），先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和……，重算下去，就能得到一个固定的数 T=____, 我们称之为“黑洞”。

例题求解 :

解： 既然任意一个 3 的倍数都会掉进这个黑洞，所以可以任找一个 3 的倍数验证。3 27 351 153 153

所以 T=153

例 2 A、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出 A 、 B 、 C 、 D 、 E五队已分别比赛了 5 、 4 、 3 、 2 、 1 场球， 则还没有与 B 队比赛的球队是（ ）A、 C 队 B、 D 队 C、 E 队 D、 F 队A B C D E F

5 4 3 2 1

A

B

CD

E

F

所以，没有和 B 队比赛的球队是 E 队

解：

例 3 用大小相同的正六变形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为 A ，定义为第一组；在它的周围铺上 6 块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组 ………按这种方式铺下去，用现有的2005 块瓷砖最多能完整地铺满多少组？还剩几块砖？

A

第一组： 1第二组： 6第三组： 12第四组： 18第 n 组： 6×(n-1)

=6×1=6×2=6×3

1+6×1+6×2+…+6×(n-1) ≤2005经验证： n=26

剩的块数： 2005-(1+6×1+6×2+…+6×25)=54 （块）

解：

例 4. 表二、表三分别是从表一中选取的一部分，求 a+b 的值。（中考）

………………151173…11852…7531…3210

表一

a1411

表二 表三

b171311

依此增加1

依此增加2

依此增加3

依此增加4

解：应为第三列的数所以

a=17

第二行增二第三行增三

所以 b=20

a+b=17+20=37

例 5 在文字算式中，不同的文字代表不同的数字，相同的文字代表相同的数字，那么在“时代数学 + 时代数学+…+ 时代数学 = 好好好好好好”这样的式子中，最少需要几个“时代数学”才能使算式成立呢 ?解：

问题实质：把一个各位数字相同的六位数拆为一个四位数乘以另外一个数，并且四位数的各个数字都不相同。

时 代 数 学× A

好 好 好 好 好 好可以是多位数

最少需要几个“时代数学” 六位数最小，四位数最大111111=3×7×11×13×37 =11×10101 不行

=13×8547 可以所以至少需要 13 个“时代数学”

基础夯实：1· 在五环图案内，分别填写五个数 a.b.c.d.e, 如图 ，其中 a,b,c 是三个连续偶数（ a<b)， d ， e 是两个连续奇数（ d<e） , 且满足 a+b+c=d+e, 例如 ，请你在 0 与 20 之间选择另一组符合条件的数填入下图（北京中考）

a b cd e

2 4 65 7

解：6 8 10

11 13

a=2n+2

b=2n+4

c=2n+6

d=2m+1

e=2m+3

所以； 2n+2+2n+4+2n+6=2m+1+2m+3即m=3n/2+2

n=0,2,4,6, m=2,5,8,11

2 数学的美无处不在，数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数比，发出的声音就比较和谐。例如，三根弦长度之比是 15： 12： 10 ，把它们绷的一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声 do,mi,so. 研究 15、 12、 10 这三个数的倒数发现： 1/12—1/15=1/10-1/12. 我们称15、 12、 10 这三个数为一组调和数。现有一组调和数： x 、 5 、 3 （ x>5） ,则 x 的值是多少？（济南中考）解： x 5 3

x1

51

31倒数：

由题意知51

311

51

x

1521

51

x

1511

x

15x

3· 按如图所示的程序运算，若开始输入的值为 48 ，我们发现第一次得到的结果为 24 ，第二次得到的结果为 12，…请你探索第 2009次得到的结果为 _______. （扬州中考）输入 x

x+5

x21

X 为奇数X 为偶数

输出

48 12（ 2 ）

24（ 1 ）

6（ 3 ）

3（ 4 ）

8（ 5 ）

4（ 6 ）

2（ 7 ）

1（ 8 ）

6（ 9 ） 从第三个结果开始以 6 个数字为周期循环（ 2009-3） ÷6=334……2所以第 2009次结果是 8

解：

4.自然数 a.b.c.d.e （可以相同）都大于 1 ，其成积abcde=2000, 则其和 a+b+c+d+e 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ 。解：

对 2000 分解质因数： 2000=24×53

问题实质：把 2000拆为五个大于 1 的自然数的积并要求和最 大或最小

a+b+c+d+e 和最大则其中一个数应尽量大，其余的尽量小2000=2×2×2×2×125

a+b+c+d+e 和的最大值 =2+2+2+2+125=133

a+b+c+d+e 和最小则每个数应尽量接近2000=4×4×5×5×5

a+b+c+d+e 和的最小值 =4+4+5+5+5=23

5 、我国古代的“河图”是由 3x3 的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等。如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出 P 处所对应的点图是几个？每一行的和是：（ 1+2+3+…+9） ÷3=15

所以 P 点对应六个点

6 、法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了。下面两个框图是用法国“小九九”计算 7x8和 8x9 的两个示例。若用法国的“小九九”计算 7x9 ，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）A 2、 3 B 3、 3 C 2、 4 D 3 、 4

伸出数字之和与未伸出数字之积组成。

C 2、 4

7 、为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文——密文（加密），接收方由密文——明文（解密），已知加密规则为：明文 a 、 b 、 c 对应的密文为 a+1,2b+4,3c+9, 例如明文 1 、 2 、3 对应的密文为 2 、 8 、 18 ，如果接收方收到的密文7 、 18、 15 ，则解密得到的明文为（ ）

A. 4、 5、 6 B. 6、 7、 2 C. 2、 6、 7 D. 7、 2、 6

明文： a b c

密文： a+1 2b+4 3c+9

解：

7 18 15

6 7 2

所以明文是： 6、 7、 2

8 、如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等），把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（ ）A 、 3 种 B 、 4 种 C 、 5 种 D 、 6 种

共四种不同形状的四边形

9 、观察下表，填表格后再解决问题：(1) 完成下表：

(2) 试求第几个图形中 的个数与 的个数相等

… 4 1 的个数 … 24 8 的个数

…… … 图形

n … 3 2 1序 号

8×2

32

8×nn2

(2) 提示 8×n=n2

的值的几何图形。。。。一个能求请你利用图乙，再设计

—；—的值为。。。形求）请你利用这个几何图（

形。设计如图所示的几何图

表示）的值（结果用。。。小明为了求在数学活动中

n

n

n n

21

21

21

21)2(

21

21

21

211

,21

21

21

21

21,.10

32

32

432

21

221

321

421

图甲

能力拓展 :11.勤奋智慧的中华民族在 4000 多年前就创造了十进制记数法，即“逢十进一”，如十进制数abc=ax100+bx10+c,世界各地的记数方法中，除十进制以外，还有十二进制，六十进制，二进制等，与计算机发展密切相关的二进制记数，就是“逢二进一”，如二进制数 101等于十进制数 ______ ，在二进制加法中， 101+101=______ （二进制）解：

思考：十进制怎样化二进制？

（ 1 ）二进制化十进制：101=1×22+0×2+1=5

（ 2 ）二进制加法：1 0 1

+ 1 0 1011 0

12.古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子的排列的形状把整数进行分类。例如： 1， 3， 6， 10 。。。这些数叫三角形数，则下列数 55， 364， 1830 中是三角形数的有 ______.

1 3 6 10根据上面四个三角形数，说出你所观察到的规律？第 n 个三角形数是： 1+2+……+n=n(n-1)/2

55=1+2+……+10351=1+2+……+26 所以 364 不是1830=1+2+……+61

13.若 k45k9 是能被 3 整除的五位数，则 k的可能取值有 ____ 个，这样的五位数能被 9 整除的是 _____.解： k+4+5+k+9 = 2k+18 = 3 的倍数

所以 2k=3 的倍数k = 3、 6、 9

若该五位数能被 9 整除，则 2k=9 的倍数则 k=9

所以，该五位数是： 94599

14 、定义一种对正整数 n 的“ F 运算”： (1)当 n 为奇数时，结果为 3n+5;

(2)当 n 为偶数时，结果为 （其中 k是使 为奇数的正整数，并且运算重复进行）。例如 n=26 时，则 ……若 n=449 ，则第 449次“ F 运算”的结果是————

k

n2 k

n2

13 11第一次26 44第二次 第三次F(2) F(1) F(2)

449 1352 169 512 1 8 1 8………

从第四次开始结果在 1与 8 中交替重复出现，偶数次结果为 1奇数次结果为 8

15.3 个质数 p,q,r 满足 p+q=r,且 p<q ，那么 p 等于（ ）。 A. 2 B. 3 C. 7 D. 13解： p + q = r

p和 q 只可能是一个奇数一个偶数由 p<q, 所以 =2

16. 如图，多边形 ABCDEFGH 两边互相垂直，要求出它的周长，需要最少知道（ ）条边的边长。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

A

BC

D E

FG

H

解：该图形的周长等于虚线长方形的周长

所以至少要知道 3 条边

17. 已知三个连续的正整数的倒数和等于 ，则这三个数之和等于（ ）。 A. 27 B. 24 C. 21 D . 18

504191

解： 假设这三个连续的正整数是 a,a+1,a+2

504191

21

111

aaa

504应是这三个连续正整数的积504=7×8×9

所以这三个连续正整数是 7、 8、 9

的值为（）。则的和为同一常数，且满足任意相邻三个数其中现有一列数

10099321

987

3100999897321

...,1,7

,9 ,,,,,...,, .18

aaaaaaa

aaaaaaaa

A. 0 B. 40 C. 32 D. 26解：由题意知： 432321 aaaaaa

41 aa 同理：

总结相等的两数的角码有什么规律？根据该规律： 771 aa 1982 aa 93 a

2 5a a

1 2 3 99 100......a a a a a =33（ 9-7-1） -7=26

19.(1) 裴波那契是中世纪意大利数学家，他在研究兔子繁殖数量的问题时发现了一个奇妙的数列： 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ，。。。请按照该数列的规律写出紧接 13 的两个 ________ ，具有这种规律的数列称为裴波那契数列。（ 2 ） 任选两个数 a,b 把它们作为第一、第二个数，按（ 1 ）中裴波那契数列的规律产生一个数列，证明：在此数列中，头 10 个数的和等于第七个数的 11倍。

21 34

a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b,8a+13b,13a+21b,21a+34b

前 10 个数的和为 55a+88b

20. 能否很快写出 2005 个自然数，使它们的总和正好等于它们的乘积？提示： 2n = n + 2 + 1 + 1 + …… + 1

n-2个 12005+2+1+1+1+…….+1=4010=2005×2×1×1×……. ×1

综合创新21 、重排一个三位数三个数位上的数字（三个数字不完全相同），得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成另一个三位数（允许百位数字为零）。再重复以上过程， 问：重复 2003次后所得的数是多少？证明你的结论。解：假设这个三位数是 abc 不妨设 a≤b≤c

最大值： cba 最小值：abc

cba – abc =99(c-a) c-a 等于 1到 9 的自然数分九中情况讨论即可

099,198,297,396,459,594,693,792,891.

099 891 792 693 594 495 495

198 792 693 594 495 297 693 594 495

396 594 495

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22 、如图是一张“ 3x5” （表示边长分别为 3 和 5 ）的长方形， 现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同。（ 1 ）能否分成 5 张满足上述条件的纸片？（ 2 ）能否分成 6 张满足上述条件的纸片？ 若能分，用” axb” 的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图：若不能分，请说明理由。

(2 ）分为 6 块最小的面积和是： 1+2+3+4+5+6>16 所以 , 不可能