第三章 输出图元

Output Primitives

图形输出的概念• 算法：几何图形 点阵设备与 画线设备点阵设备：显示器光栅矩阵（ XY) ，如何生成 划线设备：笔式绘图机 • 坐标系 世界坐标系 设备坐标系 本章主要介绍二维图元的算法点 直线 圆 曲线　填充域

●●●●

●●

变换

• 画线算法 实质：求二端点之间的所有的近似点

y = m * x + b由于 m 不一定是整数，所以就要求哪一个像素最接近直线

b

x

y

●●●●

●●

增量法• y=mx+bm 为斜率， b 为截距，设二端点分别为（ x1,y1),( x2,y2) ∆y=y2- y1 ， ∆ x =x2-x1

m= ∆y/ ∆x 对于任意的 δy,δy=mδx 则 δx=δy/m讨论：︱ m ︱ <1 由 δx定 δy的偏转电压 ︱ m ︱ >1 由 δy定 δx的偏转电压

DDA 算法Digital Differential Analyzer

• y=mx+b m 为斜率， b 为截距，设二端点分别为（ x1,y1),( x2,y2)

∆y=m ∆x• 若 0<m≤1, ∆设 x＝ 1，则 xk+1=xk+1, yk+1=yk+m (取整）• 若m>1 ∆，设 y＝ 1，则 yk+1=yk+1 xk+1=xk+1/m, • 以上推导是基于自左向右划线，若自右向左划线， 若 0<m≤1 ∆可设 x＝－ 1 yk+1=yk － m 若m>1 ∆， y ＝－ 1 ， xk+1=xk － 1/m, • 若m<0, 分 |m|<1 和 |m|>1 两种情况讨论之。• 程序示例

中点划线算法• 线段二端点（ x0,y0),(x1,y1);m<1,P(xp,yp) 已定M 为 p1,p2 的中点； M （ xp+1 ， yp+0.5 ） M 在 Q 的下方，应取 P2 （ xp+1 ， yp+1 ） M 在 Q 的上方，应取 P1 （ xp+1 ， yp ） 考查一次函数 F(x,y)=ax+by+c

a=y0-y1 b=x1-x0,c=x0y1-x1y0

对任一点（ x,y ） , 若 F(x,y)=0 ，点 (x,y) 在直线上 ; F(x,y)>0 ，点 (x,y) 在直线上方 ; F(x,y)<0 ，点 (x,y) 在直线下方 ;

令 d=F(M)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c

d<0,M 在直线的下方，取 P2 点 ( 只与 d 的符号有关） d>0,M 在直线的上方，取 P1 点

○

○

P(xp,yp)

Q

P1

P2

M

·

●M1

M2

●

中点划线算法（续）• 求 d 的增量 若取 P1 点， d1=F(xp+2 ， yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)+c=d+a

若取 P2 点， d2=F(xp+2 ， yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b

• 初始时： d0=F(x0+1 ， y0+0.5)=F(x0 ， y0)+a+0.5b=a+0.5b

• 以 2d 代 d, 算法：

1. d0=2*a+b

2. di 0 (≧ 取 P1), xi+1=xi+1, yi+1=yi, di+1=di+2a

di<0 ( 取 P2), xi+1=xi+1, yi+1=yi+1, di+1=di+2(a+b)

3. 重复 2 ，直到 xi+1≧x1.

斜率 |m|<1,>1…… 中点取法 例题 P1 (0,0) P2 (5,2)

M

●

圆的位图

中点画圆算法• 圆的特征 （ x-xc)2+ （ y-yc)2 =r2

直接计算，计算量大，点间距不一致• 圆的八对称性 考虑点（ 0 ， r ）右下方的 1/8 圆周

• 中点圆算法 算法思想：

f(x,y)=x2+y2-r2

M （ xk+1,yk-0.5 ）

pk =f(M ） =f(xk+1,yk-0.5)= (xk+1)2+(yk-0.5)2- r2

pk+1=f(xk+1+1,yk+1-0.5)= (xk+1+1)2+(yk+1-0.5)2 -r2

=pk+2(xk+1)+(yk+12- yk

2)- (yk+1- yk)+1

if (pk<0) yk+1=yk xk+1=xk+1 pk+1= pk+2(xk+1)+1= pk+2xk+1+1

if (pk>=0) yk+1= yk-1 xk+1=xk+1 pk+1=pk+2xk+1+1-2yk+1

=pk+2xk+1 -2yk+1 +1

( 2xk+1= 2xk+2; 2yk+1= 2yk- 2)

p0=f(1,r-0.5)=1+(r-0.5)2-r2=1.25-r = 1-r

(if r is an integer)

yk

yk-1

xk

xk+1

M

xk+2

f

中点画圆算法步骤

1. 输入（ xc ， yc ）， r, 画第一个点（ 0 ， r), p0=1-r

2. if (pk<0) yk+1=yk xk+1=xk+1 pk+1=pk+2xk+1+1

3. if (pk>=0) yk+1= yk-1 xk+1=xk+1 pk+1=pk+2xk+1 -2y

k+1 +1

4. 确定其他七个八分圆中的对称点

5. 平移 x=x+xc y=y+yc ；画点

6. 重复 2 到 5 ，直至 x y≧

中点画圆算法例题

• r=10, 圆心（ 0 ， 0 ） ,

画（ 0 ， 10 ） p0=1-10=-9<0

•

椭圆生成算法• 椭圆的方程

• 参数方程表示 x=xc+rxcosθ

y=yc+rysinθ• 平移坐标轴，使椭圆中心位于原点 x=rxcosθ

y=rysinθ• 角度 DDA算法

(xc,yc)

rx

ry

2 2

2 2

( ) ( )1c c

x y

x x x y

r r

θ

中点画椭圆算法• 椭圆方程 ry

2x2+ rx2y2=rx

2ry2

设 f(x,y)= ry2x2+ rx

2y2 － rx2ry

2

• x,y 方向的切矢量相等 2ry2x=2rx

2y ，此处的切线斜率为 -1 ，以此方法将椭圆划分为 2 区域

当 2ry2x≧2rx

2y 时，移出区域 1• 区域 1:2ry

2x ＜ 2rx2y, 每次 x 走步，判别 y 是否走步

• 区域 2:2ry2x≧2rx

2y, 每次 y 走步，判别 x 是否走步• f(x,y) 为决策函数 <0 (x,y) 在椭圆内 f(x,y) =0 (x,y) 在椭圆上 >0 (x,y) 在椭圆外

22 y

fr x

x

22 x

fr y

y

中点画椭圆算法（续）

• 区域 1 ： x 每次都走步 中点 m(xk+1,yk-0.5), 判别函数 P1k=ry

2(xk+1)2+rx2(yk-0.5)2-rx

2ry2

P1k 0,m≦ 在椭圆内，选 (xk+1,yk) ① P1k>0,m 在椭圆外，选 (xk+1,yk-1) ②

• 对① P1k+1=ry

2(xk+1+1)2+rx2(yk+1-0.5)2-rx

2ry2

⊿=P1k+1-P1k=2ry2 (xk+1)+ry

2+rx2[(yk+1-0.5)2-(yk-0.5)2]

yk+1= yk =2r⊿ y2 (xk+1)+ry

2

对② yk+1= yk -1 =2r⊿ y2 xk+1+ry

2 -2rx2yk+1

中点画椭圆算法（续）• 初始时（ 0 ， ry ） 2 ry

2x=0; 2 rx2y= 2 rx

2ry

之后 x 的增量 2 ry2 ； y 的增量或为 -2 rx

2 或为 0 ，

当 2ry2x≧2rx

2y 时，移出区域 1

• P10=f(1,ry-0.5)=ry2-rx

2 (ry-0.5)2-rx2ry

2

区域 1 讨论结束• 区域 2 ： 中点 m(xk+0.5 ， yk-1)

P2k=ry2(xk+0.5)2+rx

2(yk-1)2-rx2ry

2

P2k 0,m≦ 在椭圆内，选 (xk+1,yk-1) ① P2k>0,m 在椭圆外，选 (xk,yk-1) ② P2k+1=ry

2(xk+1+0.5)2+rx2(yk+1-1)2-rx

2ry2

⊿=P2k+1-P2k=ry2[(xk+1+0.5)2- (xk+0.5)2] -2rx

2 (yk-1)+rx2

中点画椭圆算法（续）• 对 ① xk+1= xk +1

⊿=2ry2 xk+1-2rx

2+rx2

• 对② xk+1=xk

⊿=-2rx2 yk+1+rx

2

• 初始点取区域 1 的最后位置 (x0,y0)

P20=f(x0+0.5,y0-1)=ry2(x0+0.5)2+rx

2(y0-1)2 -rx2ry

2

• 也可以从（ rx ， 0 ）开始，逆时针方向直到区域 1

例：中点画椭圆算法•

•

圆锥曲线

• 一般方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F= -40 (P95 有错） <0 圆、椭圆 B2-4AC=0 抛物线 >0 双曲线例子： A=C=1 B=0 ， D=-2xc,E=-2yc,F=xc2+yc

2-r2

填充区域（ fill area) 图元• 对一封闭区域用某种颜色或图案进行填充；• 区域边界：规则的、不规则的曲线边界、封闭折

线• 一般用多边形填充；曲面可用平面逼近• 曲线边界

多边形填充区域• 多边形的分类 凸（ convex) 多边形 （边的延长线） 凹（ concave ）多边形 退化 (degenerate) 多边形 共线、共点

<180º>180º

凹多边形识别• 多边形的边向量叉积， Z 分量 <0

• 步骤： 多边形的向量表示求叉积判断 Z 分量 <0者，延长其一边与多边形交于一点，将多边

形分为二部分

例 3.4 分割凹多边形E1 = （ 1 ， 0 ， 0 ） E2 = （ 1 ， 1 ， 0 ） E3 = （ 1 ， -1 ， 0 ） E4 = （ 0 ， 2 ， 0 ） E5 = （ -3 ， 0 ， 0 ） E6 = （ 0 ， -2 ， 0 ）求叉积E1 ×E2= （ 0 ， 0 ， 1 ）E2 ×E3= （ 0 ， 0 ， -2 ） E3 ×E4= （ 0 ， 0 ， 2 ） E4 ×E5= （ 0 ， 0 ， 6 ） E5 ×E6= （ 0 ， 0 ， 6 ） E6 ×E1= （ 0 ， 0 ， 2 ）分割

3

1

2

1

02

3

3

E3

E6

E5

E4

E1

E2

E3

E3

凸多边形分割成三角形集1. 将多边形三个连续的顶点定义为一个新三角形；2. 删去中间一个顶点，组成新多边形3. 重复 1 ， 2 ；直到只剩下三个顶点，即为最后

一个三角形。

内外测试法

判别区域内外

• 奇偶规则 由任意一点 P 向对象引射线，统计沿射线与各边的交点，若为奇

数，则 P 为内部点，若为偶数， P 为外部点。• 非零绕数规则 多边形按逆时针方向定义，点 P引射线同上，沿射线方向，多边

形边从右到左通过射线时，绕数 +1,反之，绕数 -1 ，若绕数非零，则 P 为内部点，否则， P 为外部点。

特例：上图，二法不同的结果。

非零绕数算法的实现• P 点出发的向量定义为 u, 边向量定义为 E, 若 u×E, +z方向，绕数 +1， -z方向，绕数 -1。• 点积代叉积：设 u(ux,uy),与 u正交的向量 u+为

(-uy,ux), 若 u+ •E 绕数 +1，否则，绕数 -1。定义两区域的并、交、差 并 正边界方向，绕数为正的点； 交 正边界方向，绕数 >1的点 ; 差 A-B,A正边界方向， B负边界方向，绕数为正的点

多边形表面 polygon surfaces

• 顶点表： vertex V1 ： x1,y1,z1

V2 ： x2,y2,z2

V3 ： x3,y3,z3

V4 ： x4,y4,z4

V5 ： x5,y5,z5

• 边表： edge E1 ： V1 , V2 E2 ： V2 , V3

E3 ： V1 , V3 E4 ： V3 , V4

E5 ： V4 , V5 E6 ： V5 , V1

• 面表： surface S1 ： E1 , E2 , E3 S2 ： E3 , E4 , E5 , E6

四点以上有可能不共面

V1

V2

V3

V4

V5

E1E6

E2

E3

E4

E5

• 平面方程 equation of plane surface Ax+By+Cz+D=0三点确定一个面时

1 y1 z1 x1 1 z1

A= 1 y2 z2 B= x2 1 z2

1 y3 z3 x3 1 z3

x1 y1 1 x1 y1 z1

C= x2 y2 1 D= - x2 y2 z2

x3 y3 1 x3 y3 z3

• 法向量 (A ， B ， C)平面内外侧判定： Ax+By+Cz+D ＜ 0 内侧 Ax+By+Cz+D ＞ 0 外侧已知平面上三点 v1,v2,v3, 计算法向量 N

• N=(v2-v1)×（ v3-v1)

• 平面方程的向量形式 N•P=-D

填充函数单元阵列

• 填充函数 FillArea(n,WcVertices ）• 单元阵列 Cell Array

填充一个二维的网格图案

研究生高级计算机图形学课题设计1. 写一篇三维造型方面的论文，要求不少于 3000字，独立完成。内容可以是以下几方面：

2. 绘制一个具有真实感的三维场景，其中至少含有2 个三维物体。可以使用 OpenGL 或其他函数库，要求独立完成从建模、坐标变换到消隐算法、光照模型、面绘制算法、纹理映射的全部过程。

3. 计算机图形学理论或算法的研究。如：曲线、曲面拟合算法；并行面绘制算法；特定物体表面的纹理映射算法。

4. 分形几何造型的研究。如：分形树、分形山、树木、花草、云、瀑布等。

5. 科学计算的可视化。可将计算数据、物理、化学现象或其他自然现象的观察数据进行三维空间的可视化。

6. CAD 或其他应用研究。7. 图形、图像、动画方面的研究

End of Chapter 3