复习有向图的邻接矩阵定义：设有向图 D ＝ <V， E>， V ＝ {v1， v2，…， vn}， E ＝ {e1， e2，

…， em} 令 aij为顶点 vi邻接到顶点 vj边的条数，称 (aij))nxn为 D 的邻接矩阵，记作

A(D)，或简记为A．2 ）邻接矩阵的性质 （ 1 ）每列元素之和为结点的入度，即 ∑ aij ＝ d+(vi)， i ＝ 1 ， 2 ，…， n

， 所有列的和 ∑∑ aij ＝ ∑ d+(vi) ＝ m ，等于边数 每行元素之和为结点的出度，所有行的和也等于边数（ 2 ）邻接矩阵中元素 aij 反映了有向图中结点 vi到 vj通路长度为 1 的条数 主对角线上元素反映了有向图中结点到自身的环（回路）的条数（ 3 ）要利用 A(D)计算出 D 中长度为 L 的通路数和回路数 , 就需要用到邻接矩阵的

幂次运算（ 4 ） A2中的元素值 bij是结点 vi到 vj长度为 2 的通路条数： 说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj

A3矩阵中的 Cij元素值，表示了 vi到 vj长度为 3 的通路条数。推论 设 BL ＝ A + A2 十… +AL (L≥1)， 则 BL中元素 bij为 D 中长度小于或等于 L 的通路数， 其中主对角线上元素值为 D 中长度小于或等于 L 的回路数

例：给定有向图 D ， 4 个顶点 7 条边 邻接矩阵为

0 1 0 0

A= 0 0 1 1

1 1 0 1

1 0 0 0

4*4 矩阵中有 7 个 1（边）

0 0 1 1

A2= 2 1 0 1

1 1 1 1

0 1 0 0

反映图中任意两个顶点间

有多少长度为 2 的通路

2 1 0 1

A3= 1 2 1 1

2 2 1 2

0 0 1 1

反映图中任意两个顶点间

有多少长度为 3 的通路

1 2 1 1

A4= 2 2 2 3

3 3 2 3

2 1 0 1

反映图中任意两个顶点间

有多少长度为 4 的通路

3 4 2 3

B4= 5 5 4 6

7 7 4 7

3 2 1 2

反映图中任意两个顶点间

有多少长度为小于等于4 的通路

（ 3 ） A(D)中所有元素之和为 D 中长度为 1 的通路总条数。 主对角线的元素之和值为图中所有长度为 1 的环的条数 要利用 A(D)计算出 D 中长度为 L 的通路数和回路数 , 就需要用到邻接矩

阵的幂次运算（ 4 ） A2 中的元素值 bij是结点 vi 到 vj长度为 2 的通路条数： 说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj

A3 矩阵中的 Cij元素值，表示了 vi 到 vj长度为 3 的通路条数。（ 5 ）定理：设 A 为有向图 D 的邻接矩阵， V ＝ {v1 ， v2 ，…， vn} 为 D 的

顶点集， 则 A 的 L 次幂 AL(L≥1)中元素 cij 为 D 中 vi 到 vj长度为 L 的通路数， 其中 cii 为 vi到自身长度为 L 的回路数 ∑∑cij(所有元素之和 ) 为 D 中长度为 L 的通路总数， 其中 ∑ cii 为 D 中长度为 L 的回路总数．推论 设 BL ＝ A + A2 十… +AL (L≥1)， 则 BL 中元素 bij 为 D 中长度小于或等于 L 的通路数， 其中主对角线上元素值为 D 中长度小于或等于 L 的回路数

4 、有向图的可达矩阵 1 ）定义：设 D ＝ <V ， E>为有向图 , V ＝ {v1 ， v2 ，…， vn} 令 1 vi可达 vi pij ＝ 0 否则 称 (pij)nxn 为 D 的可达矩阵，记作 P(D)，简记为 P 2 ）可达矩阵的性质 （ 1 ）主对角线元素均为 1 （每个结点自身可达） （ 2 ）可通过图的邻接矩阵 A 的 n-1次幂 Bn-1得到（将其非零元素换

为 1 ，主对角线元素均设为 1 即可）

2 2 1 2

B3= 3 3 2 3

4 4 2 4

1 1 1 1

反映图中任意两个顶点间

有多少长度小于等于 3的通路

1 1 1 1

P= 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

反映图中任意两个顶点间

是否可达

转树

第 十六 章 树一、 无向树1 ）定义： 连通无回路（初级回路或简单回路）的无向图称为无向树，或简称

树 常用 T 表示树，平凡图称为平凡树． 若无向图 G 至少有两个连通分支，则称 G 为森林． 在无向树中，悬挂顶点称为树叶，度数大于或等于 2 的顶点称为分支点．2 ）树的等价定义 设 G ＝ <V ， E> 是 n 阶 m 条边的无向图， 则下面各命题是等价的： (1)G是树． (2)G中任意两个顶点之间存在惟一的路径．（不同路径则构成回路） (3) G是连通的且 m = n - 1． (4) G中无回路且 m = n - 1． (5)G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到惟一的一个含新边的初级回路． (6)G是连通的，但删去任何一条边后，所得图不连通．3 ）无向树的性质 定理： 设 T 是 n 阶非平凡的无向树，则 T 中至少有两片树叶 设： k 个度为 1 的结点，其余结点的度大于等于 2 例：无向树 T 中度为 4 、 3 、 2 的结点各一个，其余为树叶，树叶＝？

4) 阶数 n 比较小的所有非同构的无向树． 例： 画出 6 阶所有非同构的无向树． m=n-1=5 从树的节点之和来分析：例： 7 阶无向树中有 3 片树叶和 1 个 3 度顶点，其余 3 个顶点的度数均无 1 和 3 ．

试画出满足要求的所有非同构的无向树． 从树的节点之和来分析： Ti为满足要求的无向树，则边数 mi = 6， 于是∑ d(vi)＝ 12＝ 3 ＋ 3 + d(v5)+d(v6)+d(v7) 二、生成树定义 2 ：设 T 是无向图 G 的子图并且为树，则称 T 为 G 的树． 若 T 是 G 的树且为生成子图，则称 T 是 G 的生成树． 设 T 是 G 的生成树，∀ e∈ E(G)，若 e ∈ E(T)，则称 e 为 T 的树枝

， 否则称 e 为 T 的弦．并称导出子图 G[E(G)－ E(T)]为 T 的余树，记作

T ． 注： T 不一定连通，也不一定不含回路（ 2 ）生成树的性质 定理： 无向图 G 具有生成树当且仅当 G 是连通图． 设 G 为 n 阶 m 条边的无向连通图，则 m =|E(G)|≥|E(T)| =n - 1．（ 3 ）设 G 是 n 阶 m 条边的无向连通图， T 为 G 的生成树， 则 T 的余树 T 中含 m - n十 1 条边 ( 即 T 有 m—n+1条弦 ) （ 4 ）任何无向连通图 G 都存在生成树 （ 5 ）设 n 阶无向简单图 G 中有 m 条边，则 m>=n-1.

3)带权图的最小生成树 (1) 定义 5 设无向连通带权图： G ＝ <V ， E ， W > ， T 是 G 的一棵

生成树． T 的各边权之和称为 T 的权，记作 W(T)； G 的所有生成树中权最小的生成树称为 G 的最小生成树 (2) 最小生成树的求法（这里介绍避圈法 Kruskal算法 ) 设 n 阶无向连通带权圈 G ＝ < V ， E, W > 有 m 条边． 不妨设 G 中没有环 ( 否则，可以将所有的环先删去 ) ，将 m 条边按权从

小到次顺序排列，设为 e1,e2 ，… ,em 取 e1 在 T 中，然后依次检查 e2 ， e3 ，…， em. 若 ej(j≥2)与已

在 T 中的边 不能构成回路，则取 ej 在 T 中，否则弃去 ej． 算法停止时得到的 T 为 G 的最小生成树

§16.3 根树及其应用 设 D 是有向图，若 D 的基图是无向树，则称 D 为有向树，在所有的有向树

中，根树最重要，所以在此只讨论根树。一、根树 1 、 定义：设 T 是 n(n≥2)阶有向树 若 T 中有一个顶点的入度为 0 ，其余顶点的入度均为 1 ，则称 T 为根树。 入度为 0 的顶点称为树根（相当于文件系统的盘符）。 入度为 1 出度为 0 的顶点称为树叶（具体文件）。 入度为 1 出度不为 0 的顶点称为内点（文件夹），内点和树根统称为分支

。 从树根到 T 的任意顶点 v 的通路 ( 路径 ) 长度称为 v 的层数。 层数最大顶点的层数称为树高．将平凡树也称为根树。 在根树中，由于各有向边的方向是一致的，所以画根树时可以省去各边上

的所有箭头，并将树根画在最上方．2 、根树中顶点的关系定义：设 T 为一棵非平凡的根树， ∀vi,vj∈ V(T)，若 vi可达 vj，则称 vi 为 vj的祖先， vj 为 vi的后

代； 若 vi邻接到 vj( 即 <vi,vj> ∈E(T)则称 vi 为 vj的父亲，而 vj 为 vi

的儿子 若 vj,vk的父亲相同，则称 vj 与 vk是兄弟

3 、有序树 设 T 为根树，若将 T 中层数相同的顶点都标定次序，则称 T 为有序树。 根据根树 T 中每个分支点儿子数以及是否有序，可以将根树分成下列各类： (1) 若 T 的每个分支点至多有 r 个儿子，则称 T 为 r 叉树； 又若 r 叉树是有序的，则称它为 r 叉有序树． (2) 若 T 的每个分支点都恰好有 r 个儿子，则称 T 为 r 叉正则树； 又若 T 是有序的，则称它为 r 叉正则有序树． (3) 若 T 是 r 叉正则树，且每个树叶的层数均为树高，则称 T 为 r 叉完全正则

树， 又若 T 是有序的，则称它为 r 叉完全正则有序树。4 、 r 叉树的子树 定义： 设 T 为一棵根树，∀ v∈ V(T)， 称 v 及其后代的导出子图 Tv 为 T 的以 v 为根的根子树． 如： 2 叉正则有序树的每个分支点的两个儿子导出的根子树分别称为左

子树和右子树．

二、根树的应用1 、最优 2 叉树

定义：设 2 叉树 T 有 t 片树叶 v1， v2，…， vt，权分别为 w1， w2，…， wt，

称 W(T)＝∑ wi l(vi)｜为 T 的权，其中 l(vi)｜是 vi的层数． 在所有有 t 片树叶，带权 w1， w2，…， wt的 2 叉树中，权最小的 2 叉

树称为最优 2 叉树 前面三棵带权 2 叉树W(T1) ＝ 2 （ 2+2)+3*3+5*3+3*2 ＝ 38W(T2) ＝ 4(3+5)+3*3+2*2+2 ＝ 47W(T3) ＝ 3*(3+3)+5*2+2(2+2) ＝ 36

下面介绍一种算法： Huffman算法（在给定权值下，如何构造最优 2 叉树） 给定实数 ( 权值 ) ： w1， w2，…， wt，按从小到大排序为 w1≤w2≤…

≤wt. (1) 连接权为 w1， w2的两片树叶，得一个分支点，其权为 w1 + w2 (2) 在 w1+w2， w3， w4…， wt中选出两个最小的权，连接它们对应

的顶点 ( 不一定是树叶 ) ，得新分支点及所带的权． (3)重复 (2)，直到形成 t—1个分支点， t 片树叶为止．例：权值为 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 5 的最优 2 叉树的构造过程： W(T4) ＝ 3*(2+2)+5*2+2(3+3) ＝ 34

2 、前缀编码 在通信中，常用二进制编码表示符号． 对于不等长编码中出现的问题 1 ） 定义：设 a1a2 ，…， an-1an为长为 n 的符号串， 称其子串 a1, a1a2, …， a1a2…an-1分别为该符号串的 长度为 1 ， 2 ， …， n-1的前缀． 设 A ＝ {b1 ， b2 ，… bm }为一个符号串集合， 若对于任意的 bi ， bj∈A (i≠ j) bi 与 bj互不为前缀，则称 A 为前缀码

． 若符号串 bi(i＝ 1 ， 2 ，…， m)中只出现 0 ， 1 两个符号，则称 A 为二元

前缀码 {1， 00， 011 ， 0101 ， 0100 ， 01001 ， 01000 }不是前缀码 因为 0100既是 01001又是 01000的前缀 {1， 00， 011 ， 0101 ， 01001 ， 01000 }为前缀码． { 1 ， 01， 111， 1100 ， 0111 } 不是前缀码 2 ）利用二叉树产生二元前缀码 3 ）最优二元前缀码－利用哈夫曼树3 、二叉树的周游（遍历） 对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且仅一次的操作 周游的方法有三种： 中序遍历 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历 访问的次序：左子树－右子树－根

树的周游（遍历）的结果： 得出结点的访问次序 1 ）表达式的 ( 逆 ) 波兰式表示：（ a*(b+c)+d*e*f)/(g+(h-i)*j)

对应的二叉树后序遍历的结果 : ((a(bc+)*)(d(ef*)*)+)(g((hi-)j*)+)/

逆波兰式 = abc+*def**+ghi-j*+/前序遍历的结果：／ (+(*a(+bc))(*d(*ef)))(+g(*(-hi)j))

=/+*a+bc*d*ef+g*-hij

2)二叉排序树 建立（不断添加结点为其子树：比根结点小的为左子树 比根结点大的为右子树 利用周游得出排序结果（中序遍历）作业： p319

1 、 2 、 3 、 4 、 13、 25、 31、 37、 38、 39、 41、 42（2 、 3 ）