台灣學生在台灣學生在 PISAPISA 數學素養的評數學素養的評量的表現與省思量的表現與省思國立東華大學 數學系國立東華大學 數學系林素微林素微swlin@mail.ndhu.edu.twswlin@mail.ndhu.edu.tw

PISA的 sampling• 以學校為單位，• 以學生為單位， 318691• 隨機取樣 8815

2006 施測時間• 2005 Field Trail

– 2005/03/15 ~ 2005/04/15• 2006 Main Study

– 2006/04/15 ~ 2006/05/15

Sampling (Main Study)• 為確保施測品質，取樣遵守下列六項關鍵程序：

– 依定義確認學生母群。– 依符合資格之學生，列出學校（或機構）名單。– 自名單中抽取學校樣本。– 自學校樣本中找出合格的學生母群。– 自每一抽中學校中再抽出所需之學生樣本– 保留取樣過程之文件，並據以計算取樣和調查操作之有效性。

評量方法• 使用紙筆測驗，測驗時間 2 小時。• 試題為題組型式，包括選擇題與建構題，取材自日常生活中之知識與議題。• 學生受測試題依組合型式而有所不同（詳述於後）。• 受測學生尚須接受 20-30 分鐘關於個人背景與家庭現況之問卷調查。 • 受測學校校長亦須填答約 20 分鐘關於學校之問卷。

試題• 分為 13 個題本 (booklet)• 每個題本有 4 個題組 (cluster)• 每個數學題組 (cluster) 含 6-9 個大題• 共 48 題• http://pisa-sq.acer.edu.au/

Booklet Cluster

1 S1 S2 S4 S7

2 S2 S3 M3 R1

3 S3 S4 M4 M1

4 S4 M3 S5 M2

5 S5 S6 S7 S3

6 S6 R2 R1 S4

7 S7 R1 M2 M4

8 M1 M2 S2 S6

9 M2 S1 S3 R2

10 M3 M4 S6 S1

11 M4 S5 R2 S2

12 R1 M1 S1 S5

13 R2 S7 M1 M3

Test Booklet Design PISA 2006 MS

Booklet1 S1 S2 S4 S72 S2 S3 M3 R13 S3 S4 M4 M14 S4 M3 S5 M25 S5 S6 S7 S36 S6 R2 R1 S47 S7 R1 M2 M48 M1 M2 S2 S69 M2 S1 S3 R210 M3 M4 S6 S111 M4 S5 R2 S212 R1 M1 S1 S513 R2 S7 M1 M3

Cluster

Booklet1 S1 S2 S4 S72 S2 S3 M3 R13 S3 S4 M4 M14 S4 M3 S5 M25 S5 S6 S7 S36 S6 R2 R1 S47 S7 R1 M2 M48 M1 M2 S2 S69 M2 S1 S3 R210 M3 M4 S6 S111 M4 S5 R2 S212 R1 M1 S1 S513 R2 S7 M1 M3

Cluster

Booklet1 S1 S2 S4 S72 S2 S3 M3 R13 S3 S4 M4 M14 S4 M3 S5 M25 S5 S6 S7 S36 S6 R2 R1 S47 S7 R1 M2 M48 M1 M2 S2 S69 M2 S1 S3 R210 M3 M4 S6 S111 M4 S5 R2 S212 R1 M1 S1 S513 R2 S7 M1 M3

Cluster

Cluster Unit number

Item number

Total item number

S1 5 22

140

S2 5 19S3 5 20S4 5 20S5 6 19S6 5 19S7 6 21M1 6 12

48M2 8 12M3 9 12M4 8 12R1 4 13

28R2 4 15

Total 75 216 216

試題本的輪換 • 13 個題本，在學生中輪替作答

– 例如：第一位學生作答題本 12， 則第二位學生將作答題本 13 ，第三位學生作答題本 1 ，第四位學生作答題本 2 ，餘類推。• 每校大約有 40 位學生受測

– 每一題本在任一校約有 3 (40/13) 本被作答• 我國今年共 236 校參與

– 實際受測人數為 8815人 ( 母群 318691人 )– 平均每一題本被作答之數量約為 678

(8815/13) 本

PISA2006數學評量架構各向度的試題分配

向度內容 選擇題數量

複選題數量

封閉式建構試題數量

開放式建構試題數量

簡短建構試題數量

合計

各內容主題的試題分配 改變與關係 1 2 2 7 1 13 數量 3 2 2 0 6 13 空間與形狀 3 2 2 3 1 11 不確定性 5 3 0 1 2 11 合計 12 9 6 11 10 48 各能力的試題分配 連結 3 7 2 4 8 24 反思 4 2 2 5 0 13 複製 5 0 2 2 2 11 合計 12 9 6 11 10 48 各情境脈絡的試題分配 個人的 3 2 1 1 2 9 公共的 7 2 3 3 3 18 職業的 0 0 0 0 1 1 教育的 1 3 2 1 0 7 科學的 1 2 0 5 4 12 數學內部的 0 0 0 1 0 1 合計 12 9 6 11 10 48

㎜

數學各難度水準的試題範例圖

台灣： 31.9 ，芬蘭： 24.4 ，香港： 27.7 ，韓國： 27.1

，

台灣： 54.3 ，芬蘭： 52.5 ，香港： 53.2 ，韓國： 52.6

台灣： 11.9 ，芬蘭： 5.9 ，香港： 9.5 ，韓國： 8.8

台灣

05

10152025

台灣

05

1015202530

台灣

OECD totalOECD average

05

1015202530

1

未達水準 1

水準

2水準 3

水準

4水準

5水準

6水準

台灣

芬蘭

05

1015202530

台灣

芬蘭

香港

韓國

05

1015202530

台灣

芬蘭

香港

韓國

日本

各國的數學素養整體表現描述統計與名次排序摘要 ( 顯著高於 OECD 平均者 )

各國學生數學素養的表現分佈對照

各國男、女生的數學素養表現對照

台灣全體學生和不同性別在各數學素養水準的分配

百分比(%)

數學素養水準

機會均等與學生表現關聯機會均等與學生表現關聯

教育機會均等指標　（社經地位指標變異比例）

數學素養表現

小結• 台灣的數學素養平均得分最高 (549) ，與平均得分最低的國家 ( 吉爾吉斯， 311) 之間的差距有 238 分。

• 台灣的數學素養標準差高達 103 ，僅小於以色列 (106) 和比利時 (105) ，• 百分等級 5 和百分等級 95 的學生的分數分別為 373 、 707 ，兩組的平均分數差距高達 334 ，顯示我國的學生數學素養仍存在著明顯幅度的差距。

• 表現相若的四個國家當中，台灣的差異幅度最大，而名列第二的芬蘭的差異幅度最小。

國與國之間的數學表現有著大幅度的差異• 整體表現高，學生的表現優劣差距並不一定是到難以跨越的鴻溝• 芬蘭即是一例

性別差異• 長久以來男女生被認為在興趣、學習風格、甚至是潛力有必然的差異

PISA結果指出許多國家中 :女性＜男性• 學校內的性別差異比在整體的性別差異有較大的差距• 男性的平均優勢只是緣於少數的高分群而提升。

PISA 2000 及 PISA 2003 顯示• 男性在閱讀的參與度較低• 女性在數學上則有較高的焦慮感。

• 學校內的性別差異比在整體的性別差異有較大的差距

試題表現試題表現從困難的題目談起從困難的題目談起

Harder than Expected•多個不同時間點圖表的呈現，學生對於資料改變的報讀、解讀。• 統計

Harder than Expected• 一組評定的運動技能分數 ( 例如：溜冰、跳水 ) ，在已知的計算規則下，計算一次表現的得分。• 數量

• M704 ：年度風雲汽車• 某家汽車雜誌使用一種評定系統來進行新車評鑑，最高總分的汽車將給予“年度風雲汽車” 的獎賞。以下有五種新車參與評鑑，它們的各項得分如下表所示：

車 安全性能(S) 省油效能(F) 外觀(E) 內部配備(T) Ca 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Sp 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 KK 3 2 3 2

評分說明如下：3 分 = 極佳2 分 = 良好1 分 =尚可接受

問題 1 ：年度風雲汽車• 這家汽車雜誌使用了以下的公式進行各項分數的加權總和來計算每輛車的總分：• 總分 = ( 3 × S )+ F + E + T• 請你計算“Ca”車子的加權總分，把答案寫在下面的空白處。• “Ca”車子的總分：” : ................ 。

問題 2 ：年度風雲汽車• “Ca”車廠覺得上面的加權總分計算公式是不公平的。• 請寫出一個可以使 “Ca”車子是贏家的計算加權總分公式。• 你的公式必須包含了全部四個變項，請你在下列方程式中的四個空格填上正數來完成公式。• 總分 =___×S +___×F +___×E +___×T.

• M537 ：心跳• 為了健康的理由，人們應該控制他們的活動量，例如運動時，才不會超出特定的心跳頻率範圍。• 數年來，個人最大心跳速率和個人年齡的關係被建議使用以下的公式：• 最大心跳速率 = 220 - 年齡• 最近研究顯示這個公式應略為修正。新的公式如下：• 最大心跳速率 = 208 - ( 0.7 × 年齡 )

問題 1 ：心跳•某家報紙報導：「使用新公式推算每分鐘最大心跳的結果，年輕人的數據略為減少，而老年人略為增加」。•請問使用新公式推算，從哪一個年齡層起的最大心跳速率開始增加。

問題 2 ：心跳• 推算最大心跳速率的公式： 208 - ( 0.7 × 年齡 ) ， 也可以用來決定何時體能訓練是最有效率的。研究指出當心跳是最大心跳速率的 80%時，此時體能訓練最有效。• 根據年齡寫下最有效率的體能訓練之心跳速率計算公式。

Harder than Expected•給定一個圖形，判斷由此圖形鋪排而成的可能圖形 (或不可能圖形 ) 。• 組型、幾何

Harder than Expected•給定一組跑步時間，判斷第幾快者。• 數量

• M432: 反應時間• 在一個短跑競賽的事件裡，「反應時間」是指鳴槍後• 到運動員開始起跑的時間，「最後時間」包含了反應時間• 和起跑後到終點的跑步時間。

下表是8個跑者參加100公尺短跑競賽的反應時間和最後時間： 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

1 0.147 10.09 2 0.136 9.99 3 0.197 9.87 4 0.180 沒跑完

5 0.210 10.17 6 0.216 10.04 7 0.174 10.08 8 0.193 10.13

問題 1: 反應時間 找出此比賽中哪一個跑道的跑者為金牌、銀牌、銅牌。並依照金、銀、銅等獎項得主的反應時間和最後時間填入下表。

獎牌 跑道 反應時間（秒） 最後時間（秒）

金牌

銀牌

銅牌

問題 2: 反應時間•目前為止，沒有人能夠在短於鳴槍後的0.110秒內開始起跑。• 如果跑者被記錄的反應時間少於 0.110秒，那必須考量跑者的起跑有問題，因為跑者一定在聽見槍響前就起跑。•獲得銅牌的跑者如果有更快的反應時間，他是否會有機會獲得銀牌？ 請寫出一個理由來解釋你的答案。

Harder than Expected•給定一個公式，例如煞車距離，因應晴天與雨天不同的狀態嘗試調整公式

• M215: 刹車• 如果要停止一輛移動中的車子所需要的距離大約是下列兩種距離的總和：• 當司機開始準備踩煞車前的距離 (反應時間的距離 )• 踩下煞車後的距離 (煞車距離 )• 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的煞車情況下 ( 一個特別靈敏的司機、正常的煞車系統和輪胎，以及乾燥且平整的路面 ) ，停止距離如何受到行車速度快慢的影響。

其中 KPH 是指 公里 / 小時

問題 1: 煞車• 若車子的速度為 110 kph ，則司機反應時間的距離為多少？問題 2: 煞車• 若車子速度為 110 kph ，則車子完全停止所需距離是多少？問題 3: 煞車• 若車子速度為 110 kph ，則完全停住需要多少時間？

問題 4: 煞車• 若車子速度為 110 kph ，則踩煞車後所移動的距離為何？問題 5: 煞車• 第二位司機，在良好的情況下，完全停止所需距離為 70.7米。則踩煞車前的行駛速度是多少？

Harder than Expected•給定兩個圖表 (可能單位略有不同 ) ，進行兩個統計圖表的整合。•進行數量的計算。• 統計圖表

• M525 ：減少二氧化碳 (CO2) 濃度• 許多科學家害怕大氣中二氧化碳濃度的增加會導致氣候的改變。下圖顯示幾個國家在 1990 年 (白色長條 ) 和 1998 年(黑色長條 ) 二氧化碳的排放量，以及在 1990 年到 1998 年之間排放量改變程度的百分比 (箭頭代表百分比 ) 。

問題 1 ：減少二氧化碳 (CO2) 濃度•上圖中可以看出美國從 1990 年到 1998年二氧化碳排放量增加了 11%。•寫出計算過程說明 11％是如何知道的。

問題 2 ：減少二氧化碳 (CO2) 濃度• 佩娟分析圖表後，指出她發現在排放量改變程度的百分比中有一個錯誤：「德國減少的百分比 (16%) 大於整個歐洲所減少的百分比 (4%) 。這是不可能的，因為德國是歐洲的一部分。」• 你同意佩娟的說法嗎？給一個解釋來說明你的答案。

問題 3 ：減少二氧化碳 (CO2) 濃度•佩娟和伯凱討論哪一個國家 (或地區 )二氧化碳的排放量增加最多。• 兩個人從上圖產生不同的結論。•根據這個問題提出兩種「正確」答案，並且解釋你如何得到這些答案。

Harder than Expected•規則的判讀和推演

• M480 ：依據面積大小來支付•住在公寓裡的居民決定要買下這棟大樓。居民依據住家的面積和整棟大樓面積的比例來計算所需支付的金額。• 例如：住家面積為整棟大樓面積五分之一的人將支付整棟大樓總價的五分之一。

問題 1 ：依據面積大小來支付判斷以下的敘述，並圈出正確或不正確敘述 正確/不正確

住家面積最大的居民每平方公尺所需支付的錢，比住家面積最小的居民更多。 正確/不正確

如果已知兩個住家的面積，和其中一個住家所需付的金額，我們可以計算另一個住家所需付的金額。 正確/不正確

假如我們知道大樓的總價和每個住家所需支付的金額，則可算出大樓的總面積。 正確/不正確

假如大樓的總價減少 10%，那麼每個住家可以減少支付10%。 正確/不正確

問題 2 ：依據面積大小來支付• 大樓中有三個住家。最大的住家面積有95 平方公尺；住家二和住家三的面積分別為 85及 70 平方公尺。已知大樓的總價是 30,000 zeds 。• 問住家二的居民應該支付多少錢？寫出你的計算過程。

Harder than Expected•幾何圖形的視角判斷

• M535 ：旋轉的建築• 在現代的建築風格中，建築物通常會有不規則的形狀。下圖呈現一個『旋轉的建築』電腦模型和建築一樓的樓面設計。下圖指針的指向是建築物的方向。

建築物的一樓包含了主要的入口和商店。在一樓之上還有另外 20層的公寓。每一樓層的平面設計圖都與一樓的平面設計相似。但每一層之間的方向都有一些差異。圓柱部分則是電梯和各層樓的陽台。

問題 1 ：旋轉的建築• 以公尺為單位，請估算建築物的總高度，並解釋你如何得到答案。

下圖是這座建築物的側面圖。

問題 2 ：旋轉的建築「側面一」是從哪一個方位畫出來的？• A. 從北邊。• B. 從西邊。• C. 從東邊。• D. 從南邊。

問題 3 ：旋轉的建築「側面二」是從那一個方位畫出來的？• A. 從西北。• B. 從東北。• C. 從西南。• D. 從東南。

問題 4 ：旋轉的建築每一公寓樓層和一樓相較之下都有固定的“旋轉”。頂樓 ( 一樓之上的第二十層樓 ) 和一樓方向互為直角。下圖是一樓的平面圖。

在這個圖上畫出一樓之上的第 10層樓的平面圖，並顯示此層樓相對於一樓的位置。

試題表現試題表現簡單的題目…簡單的題目… ..

Easier than Expected• 不同容器的水面隨著時間變化產生的高度改變。•函數圖形

M465: 水箱問題 1: 水箱水箱的形狀和尺寸如右圖所示。一開始水箱是空的，然後以每秒一公升的速度注水。

下列哪個圖是水箱注水時，水面高度隨時間的變化？

• 計算複合圖形 ( 如跑道 ) 的距離，以及比較不同路線的差異。 ( 例如，跑 400公尺時，要怎麼安排各個跑道的起始點 )

Easier than Expected

• 平均數的算法，例如身高的平均、結論的可能性判讀Easier than Expected

M479 ：學生身高• 問題 1 ：學生身高• 某天數學課，所有的學生都量了身高。男生平均身高為 160公分，女生平均身高為 150公分。慧倫是最高的 ---她的身高為 180公分。忠義是最矮的 ---他的身高為 130公分。• 那天有兩位學生缺席，但隔天他們都來上課了。他們也量了身高，並且重新計算平均身高。令人驚訝的是，男生和女生的平均身高都沒有改變。• 從這個訊息可以得到下列何種結論？

•簡單機率事件的計算•擲銅板、骰子…

Easier than Expected

M471 ：公平的轉盤 問題 1 ：公平的轉盤轉盤遊戲中主要是用到一個指針來進行。如果指針箭頭停在奇數的位置，那麼玩的人可以從袋子裡抽出一個彈珠。轉盤和袋子裡的彈珠如下圖所示。

如果抽到黑色的彈珠就能得到獎品。小書想玩一次這個遊戲。請問小書得到獎品的可能性為何？• A. 不可能• B. 不太可能• C. 大約 50%的可能• D. 非常有可能• E. 一定可以

Easier than Expected• 在生活情境中，找出數量的規律，並進行常見公式的推導• 如雪蟋蟀

M136: 蘋果一位農夫將蘋果樹種在正方形的果園。為了保護蘋果樹不怕風吹，他在蘋果樹的周圍種針葉樹。在下圖裡，你可以看到農夫所種植蘋果樹的列數 (n) ，和蘋果樹數量及針葉樹數量的規律：

問題 2: 蘋果你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律：蘋果樹的數量 = n2針葉樹的數量 = 8nn代表蘋果樹的列數當 n 為某一個數值時，蘋果樹數量會等於針葉樹數量。找出 n值，並寫出你的計算方法。

• 問題 3: 蘋果• 若農夫想要種更多列，做一個更大的果園，當農夫將果園擴大時，那一種樹會增加得比較快？是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量？解釋你的想法。

Easier than Expected•給定三角形的兩邊，判斷第三邊的範圍

M161: 三角形問題 1: 三角形根據下面敘述，圈出適合的三角形：三角形 PQR 是一個直角三角形，且直角為 R。線段比線段短、 M為線段的中點，且 N為線段的中點。S是三角形內部的一個點。線段比線段長。

Easier than Expected•給定一個長度來做出數個緊密連接的正方形，並計算每個正方形的面積

M266: 木匠問題 1: 木匠木匠有 32公尺的木材且想要在花圃周圍做邊界。 他考慮將花圃設計成以下的造型。

上面花圃的設計是否可以用長度 32公尺的木板來圍成，在下表中圈出是或否。 花圃的設計 是否能用長度 32公尺的木板圍成 設計 A 是/否 設計 B 是/否 設計 C 是/否 設計 D 是/否

結語•從情境的訴求對台灣學生而言，有一定的熟悉度。•真實性可能是最具吸引力之處。• 推理、溝通、論證將是我們追求的重要方向。

表 1. 2006 、 2007 年高中、職學生的數學素養及數學成就的描述統計摘要表高中職學生數學素養與數學成就的相關

高中 高職 全體數學素養 數學成就 數學素養 數學成就 數學素養 數學成就

2006

人數 3018 1060 4078平均數 1.28 .34 .34 -.48 1.03 .13標準差 .90 .79 1.04 .71 1.03 .85相關 .52** .59** .61**

2007

人數 1427 559 2026平均數 .57 .53 -.02 -.26 .40 .30標準差 .61 .80 .85 .74 .74 .86相關 .55** .60** .63**

2006 、 2007 年在不同學習文化分別對數學素養及成就影響之單因子變異數分析學習文化對兩取向的影響

年份 取向 t 值 表現變異的解釋力2006 數學素養 vs 學習文化 26.04** 16.1%

數學成就 vs 學習文化 31.56** 18.0%

2007 數學素養 vs 學習文化 15.38** 13.2%

數學成就 vs 學習文化 21.32** 17.6%

2006 、 2007 年男、女學生的數學素養及數學成就的描述統計摘要表不同性別的高中職學生數學素養與成就差異比較

女 男 全體數學素養 數學成就 數學素養 數學成就 數學素養 數學成就

2006

人數 1975 2013 4078平均數 .92 .05 1.14 .20 1.03 .13標準差 1.01 .82 1.03 .87 1.03 .85相關 .61** .61** .61**

2007

人數 976 1050 2026平均數 .33 .27 .45 .32 .40 .30標準差 .75 .86 .73 .85 .74 .86相關

.64** .61** .63**

2006 、 2007 年性別對數學素養及成就的影響性別對兩取向的影響

年份 測驗取向 t 值 表現變異的解釋力2006 數學素養 6.90** 1.2%

數學成就 31.56** 0.8%

2007 數學素養 3.67** 0.7%

數學成就 1.36** 0.1%

• 碩士、博士學位• 學士學位• 專科畢業• 高中職畢業• 國中畢業• 國小畢業• 都沒有

下列哪些東西是你家擁有之財產 ?

• 古典文學讀物 （如：紅樓夢）• 詩、詞集• 藝術作品

下列各項你家擁有之數量為何？ （ a ）自己的房間（ b ）網際網路（ c ）洗碗（碟）機（ d ）錄影帶、 VCD 或 DVD 放映機（ e ）樂器（ f ） Ipod ( 蘋果電腦生產之 MP3 隨身聽 )（ g ）按摩浴缸

下列各項你家擁有之數量為何？ • (a) 手機• (b) 電視• (c) 電腦• (d) 汽車• (e) 附有浴室 的房間

下列哪些東西是你家擁有之財產 ?

• 書桌• 安靜的讀書空間• 用作學校功課使用的電腦• 教育方面的電腦軟體• 自己專用的計算器 （可進行數學運算）• 可協助完成學校功課的叢書• 字典（辭典）

你家有多少本書籍？書櫃一公尺 40本書，不包括雜誌、報紙、或教科書；請勾選一項（只勾選一項）• 0 － 10 本• 11 － 25 本• 26 － 100 本• 101 － 200 本• 201 － 500 本• 超過 500 本

年份 家庭社經地位 VS 表現變異的解釋力2006 數學素養 14%

數學成就 11%

2007 數學素養 8%

數學成就 5%

1. 整體而言，學生在兩種不同取向測驗 (功能 VS. 成就 )的表現相關為 .6 左右。2. 性別對兩種測驗的解釋力不大。3. 學習類科對於成就的解釋力較大，社經背景變項對於素養的解釋力較大。-- 成就較為課程依賴，素養則是研究公平議題的較佳指標。

因應 pisa ，台灣的數學教育可以怎麼？

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