ดด ดกล บ ( point of inflection ) จ ดด ดกล บในคานค อจ...

178

แผนการสอน หนวยท 6 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 11 ชอหนวย แรงเฉอนและโมเมนตดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. แผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตดดภายในคาน

2. ความสมพนธระหวางแรงเฉอนโมเมนตดดและน าหนก

สาระส าคญ 1. แผนภาพแรงเฉอน คอการเขยนกราฟของแรงเฉอนโดยใชแกน x แทนต าแหนงความยาวของคาน สวนขนาดของแรงเฉอนจะแสดงคาดวยแกน y การหาแรงปฏกรยาทจดรองรบจะใชสมการ 0M ส าหรบคานทกชนด ยกเวนแบบคานยน สวนสมการ 0Fy ใชกบคานอยางงายและคานแบบชวงเดยวปลายยน และการหาคาแรงเฉอนในแตละชวงหาไดโดยการใชสมการ

L

yFV 2. แผนภาพโมเมนตดด คอ การเขยนกราฟโมเมนตดดโดยใชแกน x แทนต าแหนงความยาวของคาน สวนขนาดของแรงเฉอนจะแสดงคาดวยแกน y การแบงสวนตดของคานท าแบบเดยวกนกบแรงเฉอน และการหาโมเมนตดดในแตละชวง หาโดยใชสมการ

LMM

3. ความสมพนธระหวางแรงเฉอนโมเมนตดดและน าหนกจะชวยลดความยงยากในการเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตดดทมความยงยาก วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถเขยนแผนภาพแรงเฉอนและค านวณหาคาแรงเฉอนในแตละชวงไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถเขยนแผนภาพโมเมนตดดและค านวณหาคาโมเมนตดดในแตละชวงไดอยางถกตอง 3. เพอใหผเรยนสามารถเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตดด โดยใชหลกความสมพนธระหวางแรงเฉอนโมเมนตดดและน าหนกไดอยางถกตอง

179


เนอหาสาระ 1. แผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดภายในคาน

การทจะหาแรงเฉอนและโมเมนตดดในคานทรองรบแบบคานชวงเดยวหรอคานชวงเดยวปลายยนนน จ าเปนจะตองหาแรงปฏกรยาทรองรบของคานกอนเสมอ ดงนนคาแรงปฏกรยาทค านวณไดจะตองเปนคาทถกตอง มฉะนนจะท าใหการหาคาแรงเฉอนและโมเมนตดดของคานนนผดพลาดตามไปดวย สวนคานแบบคานยนนนไมจ าเปนจะตองหาคาแรงปฏกรยาทเกดขน ในกรณของคานชวงเดยวหรอคานชวงเดยวปลายยน แรงปฏกรยาแตละตวจะหาไดโดยการหาโมเมนตรอบจดรองรบ [ M = 0 ] แลวใชผลรวมของแรงปฏกรยาเทากบแรงทกระท ากบคานหรอน าหนกทกระท ากบคาน [ 0Fy ] กจะหาคาแรงปฏกรยาทกระท ากบจดรองรบของคานไดตามตองการ ซงจะสามารถหาแรงเฉอน และโมเมนตดดทเกดขนทหนาตดนนไดโดยใชสมการสถตยศาสตร

พจารณาคานซงถกกระท าดวยแรง F1,F2 และ F3 โดยแรง RA และ RB เปนแรงปฏกรยา ณ ทจดรองรบ ซงเราสามารถทจะหาไดจากสมการ M = 0 และ 0Fy ให V คอแรงเฉอน และ M คอโมเมนตดดทหนาตดระยะทาง x จากทจดรองรบ A ซงเปนคาทตองการจะหา โดยใหคานถกตดออกทหนาตดนนซงจะท าใหเกดแรงเฉอนและโมเมนตดดขน ดงรป free body ในการทคานนจะอยในสภาพสมดลได แรงรวมตามแนวดงจะตองเปนศนย ซงจะได

V+ F1 +F2 – RA = 0

V - RA –F1 –F2

โมเมนตดดรวมทหนาตดตองเทากบศนย จะไดสมการ

M + F1 ( x – a ) + F 2 ( x – b ) – RA x = 0

M - RA x - F1 ( x – a ) - F 2 ( x – b )

180


คาของแรงเฉอน V และโมเมนตดด M จากสมการ 1 และ 2 นส าหรบอยในชวง b<x<c< เทานน ถาตองการทราบคาของแรงเฉอนและโมเมนตดดทหนาตดอนซงจ านวนแรงทมากระท าตอคานกจะเปลยนไป กใหตด free body ทหนาตดนน แลวจงใชสมการการสมดลทางสถตยศาสตรอก

เมอไดคาแรงเฉอนและโมเมนตดดของแตละชวงแลวกสามารถน าไปเขยนกราฟของแรงเฉอนและโมเมนตดดได โดยใหแกน x แทนต าแหนงของหนาตดของคาน สวนขนาดของแรงเฉอนและโมเมนตดดจะแทนไดดวยแกน y ฉะนนแผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดจงเปนการแสดงถงการเปลยนแปลงขนาดของแรงเฉอนและโมเมนตดดทหนาตดใด ๆ ไปตามความยาวของคาน จากแผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดทไดกจะท าใหทราบคาสงสดของแรงเฉอนและโมเมนตดดทเกดขนในคานนน ตลอดจนต าแหนงทเกดคาสงสดเหลานดวย ซงจะเปนประโยชนในการทจะค านวณหาความเคนดดและความเคนเฉอนในความตอไป

ต าแหนงรบแรงเฉอนมากทสด ในการหาคาและต าแหนงของแรงเฉอนสงสดนนจะตองสรางแผนภาพของแรงเฉอน ทงนเพราะไมมวธการค านวณวธใดทจะบอกไดวาแรงเฉอนสงสดทเกดขนจะเกด ณ ทใดของคานนน แตโดยทว ๆ ไปแลวมกจะเกดขนทบรเวณจดรองรบของคานนนเปนสวนใหญ 2. ต าแหนงรบโมเมนตดดสงสด

ในการทจะหาความเคนดดในคานมความจ าเปนทจะตองใชคาโมเมนตดดทมขนาดสงสด ( คาเปนบวกหรอลบมากทสด ) ต าแหนงทขนาดของโมเมนตดดสงสด อาจจะหาไดโดยการใชขอสงเกตดงตอไปน

1. คาโมเมนตดดสงสดจะเกดขน ณ ต าแหนงทมคาของแรงเฉอนเปลยนจากบวกมาเปนลบ

2. คาโมเมนต ดดต าสดจะเกดขน ณ ต าแหนงทมคาของแรงเฉอนเปลยนจากลบมาเปนบวก

3. ในกรณทสมการของโมเมนตดดเปนฟงกชนตอเนองของ x ตลอด โมเมนตดด

สงสดและโมเมนตดดต าสดจะเกดเมอ 0dX

dM..0V

181


4. ในกรณทมแรงกระท าเปนจดอยดวย ขนาดสงสดของโมเมนตดดจะเกดขน ณ ทใดทหนงของแรงทกระท าเปนจด ทงนยกเวนคานแบบยน

5. ขนาดสงสดของโมเมนตดดในคานแบบยน จะเกดทปลายของคานซงถกยดแนน 3. จดดดกลบ ( Point of inflection )

จดดดกลบในคานคอจดบนเสนโคงอลาสตก ทโมเมนตดดเปลยนเครองหมายซงจะตรงกบจดทตดกบแกน x ของแผนภาพของโมเมนตดด จดดดกลบจะเกดขนเมอคานนนถกกระท าทงโมเมนตดดชนดบวกและลบ ซงไดแก คานชวงเดยวปลายยน ส าหรบคานชวงเดยวและคานยนจะไมมจดดดกลบเกดขน

ความสมพนธระหวางแรงเฉอน (V ) , โมเมนตดด ( M ) และน าหนก ( w )

ในคานทมแรงหรอน าหนกทยงยากมากขน การค านวณและการสรางแผนภาพของแรงเฉอนและของโมเมนตดดจะยงยากและเสยเวลามาก ดงนนถารถงความสมพนธระหวางแรงหรอน าหนกบนคานแรงเฉอนและโมเมนตดด กนบวาสะดวกและเปนประโยชนมากตอการสรางแผนภาพและการระบต าแหนงหนาตดของคานทมคาโมเมนตดดสงสดไดดวย

สรปเนอหา

คานคอชนสวนทรบแรงหรอน าหนกในลกษณะตงฉาก คานจะเกดการดด คานแบงออกเปน 2ชนด คอแบบหาคาไดทางสถตยศาสตร และคานแบบหาคาไมไดทางสถตยศาสตร ในบทนจะหาแบบแรกกอน ในขนแรกเราจ าก าหนอเครองหมายของการดดกอน แรงทดดคานใหโคงลง เราจะใหคาลบ และแรงทดดคานแอนขนเราจะใหคาบวก ขนตอนการหาคาความเคนดดเรากระท าไดดงน

1. หาแรงปฏกรยา เขยนไดอะแกรมรปอสระ ( F.B.D.) ของคานและหาแรงปฏกรยามา ใหไดกอน ซงแรงจะตองตงฉากกบคาน

182


2. เขยนไดอะแกรมแรงเฉอน ก าหนดแกนของกราฟโดยแรง V อยในแกนตง x ในแนวนอนพลอตคาทรของแรงทกระท า ณ ปลายคานทงสอง โดยตดคานออกทกชวงทมแรงกระท าเปลยนไป แลวใชสมการสมดลหาแรงเฉอนแลว 3. น ามาพลอตกราฟ เขยนไดอะแกรมโมเมนตดด ก าหนดกราฟของโมเมนตดดอยในแนวตง M และแกน X อยในแนวนอนพลอตคาโมเมนต โดยตดคานออกเปนชวงเหมอนกบแรงเฉอน เขยนสมการโมเมนตดดทกหนาตดโดยใชสมการของแรงเฉอนมาพจารณา แลวใชสมการของโมเมนตดดมาหาคาโมเมนตดดสงสด

ตวอยางท 1

จงเขยน SFD และ BMD ของคานตอไปนพรอมทงหานขาดและต าแหนงของโมเมนตดดสงสดดวย

วธท า หาแรงปฏกรยา B,A RR

0MA 210R4 B kN5

4

20R B

kN5510RA

183


ทหนาตด 20 x

m.xkN5xRM

kN5RV

A

A

m.kN10)........2(5M,....2x

m.kN0M,....0x

ทหนาตด 4x2

m.kN)2x(10x5M

kN5105V

010M,....m2x m.kN10 )2(10)4(5M,....m4x

m.kN0 ตอบ โมเมนตดดสงสดเทากบ 10 กโลนวตน.เมตร กระท าทต าแหนงหางจากจด A เทากบ 2 เมตร ไปทางขวามอ ตวอยางท 2

จงเขยน SFD และ BMD ของคานตอไปน พรอมทงหาขนาดและต าแหนงของโมเมนต ดดสงสดดวย

184


หาแรงปฏกรยา BA R,R 0Ma 8021287R10 A

kN810

80R A

kN118127RB ทหนาตด 20 x

kN8RV A xRM A mkN x = 0 m , M = 0 mkN x = 2 m , M = 8(2) = 16 mkN

ทหนาตด 8x2 V = 8-7 = 1 kN M = 8x-7(x-2) mkN X = 2 m , M = 8(2)-7(10) = 1 mkN

X = 8 m , M = 8(8) – 7 (6) = 22 mkN ทหนาตด 8 x 10 V = 8 – 7 – 12 = -11 kN M = 8x – 7 ( x- 2 ) –12 ( x – 8 ) mkN X =8 m , M =8 ( 8 )– 7( 6 ) – 12 ( 0 ) = 22 mkN X =10 m , M =8 ( 10 )– 7( 8 ) – 12 ( 2 ) = 0 mkN โมเมนตดดสงสดเทากบ 22 กโลนวตน . เมตร

ตอบ กระท าทต าแหนงหางจากจด A เทากบ 8 เมตร ไปทางขวามอ

185


กจกรรมการเรยนการสอน ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร

ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของคานแบบตาง ๆ และแรงทมากระท ากบคานแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถาม ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 6 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1 และ 2 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 6 ขนสรป 1.ใหนกศกษาชวยกนสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป

2. ใหไปศกษาทบทวนเรองทเรยน และท าแบบฝกหด

สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 6

186


การวดผลและประเมนผล 1. สงเกตความสนใจผเรยน 2. ความรบผดชอบตองานทมอบหมาย 3. การใหความรวมมอในการท ากจกรรมระหวางเรยน 4. ใหท าแบบทดสอบ

187


แบบฝกหด

1. จงเขยน FBD และ BMD ของคานตอไปน พรอมทงหาขนาดและต าแหนงของโมเมนตดดสงสดดวย

2. จงเขยน SFD และ BMD ของคานตอไปน พรอมทงหาขนาดและโมเมนตสงสดดวย

188


เฉลยแบบฝกหด

1. จงเขยน FBD และ BMD ของคานตอไปน พรอมทงหาขนาดและต าแหนงของโมเมนตดดสงสดดวย

วธท า หาแรงปฏกรยา BA R,R

0MA )425()125(R5 B kN25

5

125R B

kN25252525RA ทหนาตด 1x0 ทหนาตด 4x1 kN25RV A

kN0252525RV A m.xkN25xRM A m.kN)1x(25x25M m0x m.kN0M m1x m.kN25)0(25)1(25M 1x m.kN25)1(25M m4x m.kN25)3(25)4(25M


kN25252525V m.kN)4x(25)1x(25x25M m4x m.kN250)3(25)4(25M m5x m.kN0)1(25)4(25)5(25M

ตอบโมเมนตดดสงสดคอ 25 กโลนวตนเมตร กระท าหางระยะ A เทากบ 1 เมตร

189



วธท า หาแรงปฏกรยา BA R,R )6416()248(R8.....0M BA kN56

8

448R B

kN4056)416()48(RA ทหนาตด 4x0 xkN8RV A ,m0x kN40RV A m4x kN8)4(840V

m.kN2

x8xRM

2

A


kN)4x(163240V ,m4x kN8)0(163240V ,m8x kN56)4(163240V

m.kN)4x(2

16)2x(32x40M 2

,m4x m.kN96)0(8)2(32)4(40M ,m8x m.kN0)4(8)6(32)8(40M 2

โมเมนตดดสงสดทเกดขนท SF=0 0)4x(163240

72x16 m5.4

16

72x

2max )5.0(8)5.2(32)5.4(40M

ตอบโมเมนตดดสงสด m.kN98 กระท าทจดหางจาก A ไปทางขวามอเทากบ 4.5 เมตร

190


แบบทดสอบ



191


เฉลยแบบทดสอบ



)810()520(R10.....0M BA kN18

10

180R B

kN12181020RA ทหนาตด 5x0 kN12RV A

m.xkN12M ,m0x m.kN0M m5x m.kN60)5(12M

ทหนาตด 8x5 ทหนาตด 10x8

kN82012V kN18102012V m.kN)5x(20x12M m.kN8x10)5x(20x12M

,m5x m.kN60)0(20512M ,m8x m.kN36010)3(20812M ,m8x m.kN36)3(20812M ,m10x m.kN0210)5(201012M

ตอบโมเมนตดดสงสด m.kN60 กระท าทจดหางจาก A ไปทางขวามอเทากบ 5 เมตร

192




103

21510

2

1R10.....0M BA

kN5010

500R B

kN255015102

1R A

ทหนาตด 10x0 แรงทงหมดทกระท ากบคานในระยะ x

kNx4

3

10

x15x

2

1 2

kNx4

325x

4

3RV

22

A

,m0x kN25025V ,m10x kN5010

4

325V

2

3

xx

4

3x25M

2 โมเมนตดดมคาสงสดท SF = 0

4

xx25

3

จาก 0x4

325V

2

,m0x m.kN0M 25x4

3 2

,m10x m.kN4

101025M

3

m77.53

425x

m.kN22.964

77.577.525M

3

max

ตอบโมเมนตดดสงสด m.kN22.96 กระท าทจดหางจาก A ไปทางขวามอเทากบ 5.77 เมตร

193


บนทกหลงการสอน ผลการใชแผนการสอน..................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ผลการเรยนของนกเรยน................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ผลการสอนของคร............................................................................................................................ .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................

ดด ดกล บ ( point of inflection ) จ ดด ดกล บในคานค อจ...

Documents