解 : 选用圆柱坐标系，使导体的轴线与坐标系的 z 轴重合，设导体上的电流方向为 +z 方向，导体中的电流密度为

2z

Ia

a

习题 3.2 参考例 3.3.1

由于 J�������������� 的方向与 z 轴一致，故 A

��������������仅有 z 分量 z zA a A

��������������

而从电流分布的轴对称性可以看出 A�������������� 仅为 R 的函数，

因此矢量磁位的泊松方程简化为 ( )z zA a A R��������������

21 Z

z z

dAdA R J

R dR dR

（ 1 ）在导体部分： 0 R a

2z

IJ

a

1 1 ( )z zA a A R����������������������������

1

2

1 zdAd IR

R dR dR a

对 R 两次积分，得2

1 1 22

ln4z

IRA c R c

a

在 R 为有限的空间， Az 必须为有限值，因此上式中必须 1 0c ，同时，设轴线上的矢量磁位为零，将这

2 0c 一条件代入上式得 2

1 1 2( )

4z z z

IRA a A R a

a

����������������������������

11 1 2

1

20 0

R Z

z

z

a aa

R RA IR

B A a aR z R a

A

����������������������������

��������������������������������������������������������1

22

IRH a

a

����������������������������

（ 2 ）在导体外： 0, 0,za R J 在此区域 2A

��������������满足拉普拉斯方程， 2 2 ( )z zA a A R

����������������������������

210zdAd

RR dR dR

2 3 4( ) lnzA R c R c

现在利用边界条件确定积分常数 R a 1 2t tA A

2

3 42ln

4 R a R a

IRc R c

a

3 4ln

4

Ic a c

• 另由 R=a 界面上磁场强度 H�������������� 的切向分量连续 1 2t tH H 求出 2H��������������

再应用 R=a 界面上磁场强度的边界条件，得出

02 2 0 22 2

IIH a B H a

R R

����������������������������������������������������������������������

3 4 322 2

0 0 0

( ln )1 1 1z

a

c R c cAH A a a a

R R R

����������������������������������������������������������������������

3

202 R a R a

cIR

a R 0

3 2

Ic

04 ln

2 4

I Ic a

2 2 3 4

0

( ln )

( ln )4 2

z zz

z

A a A a c R cII a

aR

������������������������������������������

Az和答案不一样是由于参考点选择的不同

习题 3.5 求互感解法一：建立坐标系如图

x

y0

c

b

a

设直长导线通电流 I （ +y 轴方向）

I

直长导线产生的磁场为（例 3.2.1或 1.3.1）： 0

2π

I

R

B

在 XOY平面上 B的方向为： -z轴（即垂直向里）取矩形线圈面 S的法向为 -z 轴，则：

0 0

0

0 0

2π 2π

ln ln2π 2π

c a b

aS S S

I IB dS B dS dS dy dx

x x

a bIc Ic a bxa a

R为场点到直线的距离

0 0ln / ln2π 2π

Ic ca b a bM I

I a a

解法二：建立坐标系如图

x

y0

c

b

a

I

A直长导线产生的磁场的矢量磁

位为（例 3.2.1）：

设直长导线通电流 I （ +y 轴方向）

0 0ln2

I R

R

A

在 XOY平面上 A的方向为：+y

R为场点到直线的距离 ,R0为零磁位参考点到直线的距离

回路线积分方向为顺时针方向R a R a b

c

A dl A c A c

0 0ln2

I R

R

A

R a R a b

c

A dl A c A c

0 0 0 0 0ln ln ln2 2 2π

Ic R Ic R Ic a b

a a b a

所求互感为：

0 0ln / ln2π 2π

Ic ca b a bM I

I a a

所求互感为：