05ada38a1593469fb04ac3e866fa4b64

BAKENT NVERSTES

FEN BLMLER ENSTTS

ZAMAN PENCEREL GEZGN SATICI PROBLEM N

YEN KARAR MODELLER

ZGE NMET KO

YKSEK LSANS TEZ

2012

ZAMAN PENCEREL GEZGN SATICI PROBLEM N

YEN KARAR MODELLER

NEW DECISION MODELS FOR TRAVELLING SALESMAN

PROBLEM WITH TIME WINDOWS

ZGE NMET KO

Bakent niversitesi Lisansst Eitim retim ve Snav Ynetmeliinin

ENDSTR Mhendislii Anabilim Dal in ngrd YKSEK LSANS TEZ olarak hazrlanmtr.

2012

Zaman Pencereli Gezgin Satc Problemi in Yeni Karar Modelleri balkl bu

alma, jrimiz tarafndan, 07/06/2012 tarihinde, ENDSTR MHENDSL

ANABLM DALI 'nda YKSEK LSANS TEZ olarak kabul edilmitir.

Bakan : Prof.Dr. Berna DENGZ

ye (Danman) : Prof.Dr. mdat KARA

ye : Prof.Dr. Fulya ALTIPARMAK

ONAY

..../..../.......

Prof. Dr. Emin AKATA

Fen Bilimleri Enstits Mdr

TEEKKR

Bu almann gereklemesinde katklarndan dolay aada ad geen

saygdeer hocalarma sonsuz kran ve teekkrlerimi sunarm.

Deerli hocam Sayn Prof. Dr. mdat KARAya (tez danman), almann sonuca

ulatrlmasnda ve karlalan glklerin almasnda her zaman yardmc ve yol

gsterici olduu iin

Tez izleme komitesinde yer alan deerli hocalarm Sayn Prof. Dr. Berna

DENGZe ve Sayn Prof. Dr. Fulya ALTIPARMAKa, tecrbe ve fikirlerini benden

esirgemedikleri iin

Sayn hocam Hseyin GDENe kod yazma konusunda yardmc olduu iin

i

Z

ZAMAN PENCEREL GEZGN SATICI PROBLEM N YEN KARAR

MODELLER

zge Nimet KO

Bakent niversitesi Fen Bilimleri Enstits

Endstri Mhendislii Anabilim Dal

Gezgin Satc Problemi (GSP), datm lojistii, rotalama ve i izelgeleme

problemlerinin modellenmesinde temel oluturur. ok sayda zel durumlar olan

GSPnin yaygn karlalan bir uzants Zaman Pencereli Gezgin Satc

Problemidir (ZPGSP). ZPGSP, GSPye her ehrin nceden belirlenen zaman

pencereleri iinde ziyaret edilmesi kstnn eklenmesiyle olumaktadr. ZPGSP,

GSPde olduu gibi NP-zor snfnda yer alan birlei eniyileme problemidir. lgili

kaynaklarda ZPGSP iin polinom sayda 0-1 karar deikeni ve kst olan farkl

yap ve zelliklerde karar modelleri bulunmaktadr. Bu almada, tarihi geliim

sreci iinde ZPGSP iin gelitirilen modellere ve bu modellerde gzlenen

skntlara deinilerek, yeni nerilen iki model verilmitir. Yeni modellerin ve

kaynaklarda yer alan modelin dorudan bir paket programla kullanlmas halinde,

zm sresi ve balang altsnr deerlerine gre performanslar incelenmitir.

nerilen modellerin kullanc kolayl zelliklerinin yan sra, ok gezginli ZPGSP

iin, bylece Ara Rotalama Problemleri (ARP) iin de bir temel oluturduklar

gsterilmitir.

ANAHTAR SZCKLER: Gezgin Satc Problemi, Lojistik, Zaman Pencereli

Gezgin Satc Problemi

Danman: Prof.Dr. mdat KARA, Bakent niversitesi, Endstri Mhendislii

Blm.

ii

ABSTRACT

NEW DECISION MODELS FOR TRAVELLING SALESMAN PROBLEM WITH

TIME WINDOWS

Ozge Nimet KOC

Baskent University Institute of Science and Technology

Department of Industrial Engineering

Travelling Salesman Problem (TSP) is baseline for transportation, routing and

scheduling problems. Travelling Salesman Problem with Time Windows (TSPTW)

is the extension of TSP which has a lot of special cases. TSPTW is formed by

adding special constraints, time windows, which are determined by the cities

previously and the salesman must visit the cities between these time windows.

TSPTW is a NP-hard and the combinatorial optimization problem like TSP. In the

literature, there exist some decision models which have binary variables

polynomially with different structures and properties. In this note, we present

forthcoming models in the literature, their drawbacks and propose two new

formulations. Performances of the newly proposed and existing formulations in

terms of CPU times and linear programming relaxations are analyzed by the aid of

the software directly. In addition to property of user friendly, we show the new

formulations are the base for Vehicle Routing Problems (VRP).

KEYWORDS: Logistics, Travelling Salesman Problem, Travelling Salesman

Problem with Time Windows

Adviser: Prof.Dr. Imdat KARA, Baskent University, Industrial Engineering

Department

iii

NDEKLER LSTES

Sayfa

Z ........................................................................................................................... i

ABSTRACT ............................................................................................................. ii

NDEKLER LSTES .......................................................................................... iii

EKLLER LSTES ................................................................................................. v

ZELGELER LSTES ........................................................................................... vi

SMGELER VE KISALTMALAR LSTES .............................................................. vii

1. GR ............................................................................................................... 1

2. ZAMAN PENCEREL GEZGN SATICI PROBLEM (ZPGSP) ........................ 3

2.1. Zaman Pencereli Gezgin Satc Probleminin (ZPGSP) Tanm ................ 3

2.3. ZPGSP in zm Yaklamlar .............................................................. 4

3. ZPGSPYE LKN KARAR MODELLER ..................................................... 7

3.1. Modeller in Ortak Gsterimler ................................................................. 7

3.2. Kaynaklarda Yer Alan Karar Modelleri ...................................................... 8

3.2.1. Baker [1983] Modeli ............................................................................ 8

3.2.2. Desrosiers vd.nin [1988] ok Gezginli Modeli ................................... 9

3.2.3. Langevin vd.nin [1993] Modeli (OL Modeli) ...................................... 10

3.2.4. Desrosiers vd.nin [1995] Modelleri ................................................... 13

3.2.5. Ascheuer vd. [2001]nin Modelleri ..................................................... 16

3.2.6. Dier Matematiksel Modeller ............................................................ 20

3.3. Genel Deerlendirme ve Yeni Model Gereksinimleri ............................... 20

4. ZPGSP N YEN MATEMATKSEL MODELLER ....................................... 22

4.1. ZPGSP in Gelitirilen Dm Tabanl Dorusal Karar Modeli (DTM) ... 22

4.2. ZPGSP in Gelitirilen Ayrt Tabanl Dorusal Karar Modeli (ATM) ....... 27

4.3. nerilen Modellerin Katklar ................................................................... 29

4.3.1. nceki Modellere Getirilen Eletirilerin Giderilmesi .......................... 29

4.3.2. Farkl Ama Fonksiyonlar ................................................................ 30

4.3.3. ok Gezginli ZPGSP ........................................................................ 31

4.3.4. Ek Kstlar ......................................................................................... 32

4.3.5. ok ltl Analizler ........................................................................ 32

iv

5. SAYISAL ANALZLER .................................................................................. 36

5.1. Test Problemleri ...................................................................................... 36

5.2. Yazlm / Donanm ................................................................................... 36

5.3. Yeni Modellerin Karlatrlmas ............................................................. 37

5.4. DTMnin Kaynaklardaki Model ile Karlatrlmas ................................. 45

6. SONU ve NERLER ................................................................................. 51

KAYNAKLAR LSTES ........................................................................................ 53

v

EKLLER LSTES

Sayfa

ekil 4.1: Deikenler Aras likinin ekilsel Gsterimi ...................................................25

ekil 4.2: n20w80.004 Probleminin Alternatif zmlerine Ait T1-T2 Grafii ...................34

vi

ZELGELER LSTES

Sayfa

izelge 4.1: 20 Dml Simetrik Problemlerin T1 ve T2 Deerleri .................................33

izelge 5.1: 20 Dml Simetrik Problemlerin zm Sreleri ......................................38

izelge 5.2: 20 Dml Simetrik Problemlerin DPG Deerleri ve Sapma Oranlar .........40

izelge 5.3: 40 Dml Simetrik Problemlerin zm Deerleri ve Sreleri ..................42






vii

SMGELER VE KISALTMALAR LSTES

ATM Ayrt Tabanl Model

ARP Ara Rotalama Problemi

S zm Sresi

DFJ Dantzig-Fulkerson-Johnson

DTM Dm Tabanl Model

DPG Dorusal Programlama Gevetme

GG Gavish-Graves

GL Gzden Geirilmi Langevin

GSP Gezgin Satc Problemi

MTZ Miller-Tucker-Zemlin

OL Orijinal Langevin

1

1. GR

Gezgin Satc Problemi (GSP) 1932 ylnda tanmlandktan sonra, zerinde ok

allan problemlerden birisi olmutur. Bunun en nemli nedeni, GSPnin pratikte

karlalan ou problemle ilikili olmas ve bu problemlere zmlerin

retilmesinde kullanlmasdr. GSPde ama, bir gezginin bir ehirden (mteriden)

balayarak dier tm ehirleri, yalnz bir kez ziyaret edip, tekrar bulunduu ehre

dnmesiyle elde edilen turun uzunluunu, sresini, maliyetini vb. enkklemektir.

GSP, bir birlei eniyileme problemidir ve NP-zor problemler snfnda yer

almaktadr. Bilindii gibi, NP-zor problemlerin zm zaman problem boyutuna

bal olarak stel art gstermektedir.

GSPde, gezginin ehirlere uramasnda bir zaman kst yoktur. Ancak son

yllarda iletmeler, rnlerin ksa yaam evrimleri ve tam zamannda retim gibi

yeni eilimlere dayal olarak etkin ve zamannda servis verebilmeye almaktadr.

Dolaysyla servis anlar, gnmzdeki zaman duyarl lojistikte nemli rol

oynamaktadr. Ama, gezginin her bir ehri bu ehir iin verilen zaman aralnda

(zaman penceresinde) ziyaret etmesini salamaktr. Bu tez kapsamnda, GSPnin

zel bir problemi olan Zaman Pencereli Gezgin Satc Problemi (ZPGSP) ele

alnmtr. Kaynaklardaki almalar incelendiinde, zaman pencerelerinden dolay

gezginin (aralarn) ilgili ehirde (mteride) hizmet ncesi beklemesini dikkate

alan ok az sayda alma olduu grlmtr. Bekleme srelerinin veya

maliyetlerinin dikkate alnd ZPGSP, ziyaret edilen ehirlerde bekleme sresi ve

ayrtlarda geen srelerin toplamn enkkleyen rotann bulunmas olarak

tanmlanabilir. Bilindii gibi gnmzde teknolojideki hzl gelimeler ve buna

erimenin kolay olmas, probleme eniyi zm bulan matematiksel modellerin

nemini artrmtr. Bu nedenle tezde, ZPGSPnin zm iin bekleme sresi

veya maliyetlerini de dikkate alan dm tabanl ve ayrt tabanl iki ayr

matematiksel model gelitirilmitir. Bu modellerin en byk avantaj, herhangi bir

ek ileme gerek olmakszn modelin zmnden, ehirlere erken gelinmesi

halinde, bekleme srelerinin de grlebilmesidir. Gelitirilen matematiksel

modellerin performans, kaynaklarda bu problem iin nerilen matematiksel

modeller ile karlatrmal olarak incelenmitir. Karlatrmada, ilgili kaynaklarda

yer alan 50 test problemi dikkate alnm ve matematiksel modellerin zmnde

2

CPLEX 12.0 zcs kullanlmtr. almann en nemli katks, ZPGSP iin

beklemeleri gz nnde bulunduran btnyle iki yeni matematiksel model

gelitirilmesi, karar deikenlerinin modelin yapsna uygun olarak anlaml bir

ekilde tanmlanm olmas ve modellerin parametrelerden bamsz olmasdr.

Tezin dier blmleri u ekilde dzenlenmitir: kinci blmde, GSP ve ZPGSP

tanmlanm ve ZPGSP iin zm yaklamlar verilmitir. nc blmde,

ZPGSP iin kaynaklarda gelitirilen matematiksel modeller ana hatlaryla

irdelenmitir. Drdnc blmde, bu tez kapsamnda gelitirilen dm tabanl ve

ayrt tabanl iki yeni matematiksel model verilmitir. Beinci blmde, gelitirilen iki

yeni model ile kaynaklarda bu problem iin nerilen bir modelin performanslar

karlatrlm, yaplan deneysel alma sonular ve deerlendirmeler verilmitir.

Tezin son blm olan sonu ve neriler ksmnda ise, yaplan almalar

zetlenerek matematiksel modellere ilikin elde edilen genel sonular ve ileriye

dnk neriler yer almtr.

3

2. ZAMAN PENCEREL GEZGN SATICI PROBLEM (ZPGSP)

Bu blmde ZPGSP tanmlanacak ve bu problem iin kaynaklarda nerilen zm

yaklamlar incelenecektir.

2.1. Zaman Pencereli Gezgin Satc Probleminin (ZPGSP) Tanm

Gezgin Satc Problemi (GSP), bir gezginin bir ehirden balayarak dier tm

ehirleri, yalnz bir kez ziyaret edip tekrar kendi bulunduu ehre (depoya)

dnmesiyle elde edilen tur uzunluunun, sresinin, maliyetinin vb. enkklenmesi

olarak tanmlanr. GSP, NP-zor problemler snfnda yer alan ve zerinde ok

allan problemlerden birisidir.

GSPye her ehrin nceden belirlenen en erken ve en ge ziyaret anlarn belirten

zaman pencereleri iinde ziyaret edilmesi kst eklendiinde elde edilen problem

ise Zaman Pencereli Gezgin Satc Problemi (ZPGSP) olarak adlandrlr.

Mteriler tarafndan nceden belirlenmi olan zaman penceresi, gezginin ilgili

ehri ziyaret edebilecei zaman dilimini tanmlar. ZPGSP, GSPnin zel bir

problemi olduundan NP-zor problemler snfnda yer almaktadr. Savelsbergh

[1985], ZPGSPde uygun zmlerin bulunmasnn dahi NP-zor olduunu

almasnda kantlamtr. ZPGSPde gezgin, ehirlere (mterilere) belirlenen

zaman pencereleri iinde hizmet vermek zorunda ise problem kesin zaman

pencereli GSP olarak, eer belirli bir maliyete katlanmak kouluyla zaman

penceresi kstlarndan dn verilmesi sz konusu ise problem esnek zaman

pencereli GSP olarak adlandrlmaktadr.

2.2. ZPGSPnin Uygulama Alanlar

ZPGSP, gerek hayat problemlerine kolaylkla uyarlanabilmektedir. Problemin

yaps gerei, iinde zaman kavramnn olmas gerek hayatla rtmektedir.

ZPGSP; yakt datm, posta-gazete datm, rn datm, endstriyel atk

toplama, servis aralarn rotalama, bozulabilir rnlerin nakliyesi, askeri

operasyonlar (kapasite kstnn olmad durumlar), atlye tipi retimlerin

izelgelenmesi gibi baz alanlarda uygulanabilmektedir.

4

2.3. ZPGSP in zm Yaklamlar

Christofides vd. [1981], ZPGSPnin tanmnn yapld ve zaman penceresi

ifadesinin kullanld ilk almadr. Bu almada, ZPGSPnin zm iin

dinamik programlama yaklam kullanlmtr.

Baker [1983], ZPGSPyi tanmlayan ve matematiksel modelini gelitiren ilk

aratrmacdr. Baker [1983] almasnda, belirli dm ya da dmler iin

zaman pencereleri kst ieren GSPyi Zaman Kstl GSP olarak adlandrmtr.

Savelsbergh [1986], zaman kstn zaman penceresi olarak tanmlam ve

probleme Zaman Pencereli Rotalama Problemleri adn vermitir. Takiben, 1988

ylnda yaymlanan iki makalede de bu isimlendirme kullanlmtr (Desrosiers vd.,

[1988]; Solomon vd., [1988]). ZPGSP iin kullanlan zm yaklamlar; dinamik

programlama, matematiksel modellere dayal zel algoritmalar ve sezgisel

yntemler olarak ana snf altnda toplanabilir. Bu blmde, kaynaklarda

nerilen zm yaklamlar bu snf altnda zetlenecektir.

i) Dinamik Programlama Yaklamlar

Christofides vd. [1981], ZPGSPnin zm iin dinamik programlama yaklamn

neren ilk aratrmaclardr. 50 dml problemlerin eniyi zmlerine dal-snr

algoritmas ve dinamik programlama yaklam kullanlarak ulalmtr.

ZPGSPye dinamik programlama ve uzantlar ile zm getiren bir dier alma

ise Desrochers vd. [1992] tarafndan yaplmtr. Bu almada, tamsayl kme

blmleme probleminin zlmesi amacyla kolon retimi yaklamndan

yararlanlmtr. Dal-snr algoritmasnda kullanlan dorusal programlama

gevetmeleri kolon retimi yaklamyla zlm ve elde edilen uygun kolonlar

zaman pencereli ve kapasite kstl en ksa yol probleminin dinamik programlama

ile zmnde kullanlmtr.

Dumas vd. [1995] ise, problemin zm iin nerdikleri dinamik programlama

yaklam ile durum uzay ve durum gei saysnn azaltlmasn salamlardr.

5

ii) Matematiksel Modellere Dayal zel Algoritmalar

ZPGSP iin ilk matematiksel model, Baker [1983] tarafndan nerilmitir. Bu

model, mutlak deerli kstlar ierdiinden dolay dorusal olmayan bir yapya

sahiptir ve zm zordur. Bu nedenle almada, problemin zm iin bir dal-

snr algoritmas gelitirilmitir. Gelitirilen dal-snr algoritmas ile en fazla 51

dml problemler iin eniyi zm elde edilebilmi ve zm sresinin 80

saniyeye kadar kt rapor edilmitir.

Desrosiers vd. [1988], ZPGSPnin ok gezginli durumu iin bir matematiksel model

gelitirilmilerdir. Gelitirilen bu modelde, beklemeler dikkate alnmadan sadece

yolda harcanan sreler toplam enkklenmektedir. Desrosiers vd. [1988],

problemi kme blmleme problemi olarak ele alm ve zaman pencereli en ksa

yol algoritmas ile kolon reterek probleme zm elde etmilerdir.

ZPGSPye matematiksel model gelitirilerek zm nerisi getiren bir dier

alma, Langevin vd. [1993] tarafndan yaplmtr. Bu almada, Finke vd.nin

[1984] GSP iin nerdikleri iki rnl ak modeli esas alnarak, ZPGSP iin bir

matematiksel model nerilmitir. Ayrca bu model, ZPGSP iin beklemelerin sre

ve maliyet ynyle formle edildii ilk model olmas asndan nemlidir.

Desrosiers vd. [1995] ise, Miller, Tucker ve Zemlin [1960] (MTZ) tarafndan ortaya

konulan alt tur engelleme kstlarn kullanarak bir matematiksel model

gelitirmilerdir. Bu modelin, Ascheuer vd. [2001] tarafndan ortaya konulan MTZ

tabanl modelle ayn olduu grlmtr.

Ascheuer vd. [2000], asimetrik ZPGSP iin Dantzig, Fulkerson ve Johnson [1954]

(DFJ) tarafndan ortaya konulan alt tur engelleme kstlarn ieren bir

matematiksel model gelitirmilerdir. Ascheuer vd. [2000]nin almalarnda da

belirttikleri zere, modelin yaps herhangi bir kst eklenmesine msait deildir. Bu

gelimeyi takiben, Ascheuer vd. [2001], DFJ tabanl bu modele ek olarak dm

ve ayrt tabanl iki model daha gelitirerek, bu modelleri asimetrik ZPGSPnin

zmnde kullanmlardr. nerilen dm tabanl model, Desrosiers vd.nin

[1995] MTZ tabanl modelidir. Daha nce anlatlan Desrosiers vd. [1988]nin ok

gezginli modelinde gezgin says bir olarak alndnda ( ) model, Ascheuer

vd. [2001] tarafndan nerilen dm tabanl matematiksel modele dnmektedir.

6

Bu almada gelitirilen zel yntem sayesinde, ok sayda problem iin eniyi

zmler elde edilmitir.

Favaretto vd. [2006], problem iin Desrosiers vd.ne [1995] ait modele dayal bir

matematiksel model gelitirmiler ve problemin zm iin karnca kolonisi

sistemine dayal bir sezgisel yaklam nermilerdir. Model, gerek bir problem

zerinde altrlm ve zm elde edilmitir.

Dash vd.nin [2009] ise, almalarnda problem iin zaman pencerelerinin alt

pencerelere blnmesiyle dorusal programlama gevetme deerlerini elde

etmiler ve bu gevetme deerlerini dal ve kesme algoritmas iin iyi bir balang

alt snr elde etmek iin kullanmlardr.

Anlatlan bu modellerin yan sra, kaynaklarda ZPGSP iin gelitirilen birok model

bulunmaktadr. zellikle yukardaki almalara deinilmesi, bu almalarn

ZPGSP asndan temel oluturmasndandr.

iii) Sezgisel Yntemler

Kaynaklarda, sezgisel yaklam ieren birok alma bulunmaktadr. Bu

almalara; Savelsbergh [1985], Blanton & Wainwright [1993], Schmitt [1994],

Carlton vd. [1996], Potvin & Bengio [1996], Gendreau vd. [1998], Hong vd. [1999],

Andrew Lim vd. [2003], Ohlman ve Thomas [2007], Silva ve Uritia [2010] eklinde

birka rnek verilebilir. Bu almalarda yerel arama, tabu arama, deiken yre

arama algoritmalar ve tavlama benzetimi gibi sezgisel yntemler kullanlarak

toplam tur sresini enkkleyen zmler elde edilmitir.

7

3. ZPGSPYE LKN KARAR MODELLER

Bu blmde, ZPGSP iin kaynaklarda gelitirilmi olan matematiksel modeller

incelenerek yeni modellemenin gereklilii zerinde durulacaktr.

3.1. Modeller in Ortak Gsterimler

Kaynaklardaki almalarda yer alan modellerde, aratrmaclar farkl simgesel

gsterimlerle tanmlamalar yapmtr. Tez kapsamnda bahsedilecek olan

modellerin daha iyi anlalabilmesi ve ortak bir gsterim salanabilmesi amacyla

tm modeller iin ayn anlama gelen dizin kmeleri, karar deikenleri ve

parametreler tanmlanmtr. Bu tanmlar aada verilmektedir:

Dizin Kmeleri

ynl seriminde,

dmler (ehirler, mteriler) kmesi, depo (merkez) ve

ayrtlar kmesi.

Parametreler

: inci ehirde hizmetin en erken balama an,

: inci ehirde hizmetin en ge balama an,

: inci ehrin zaman penceresi,

: inci ehirden inci ehre gei sresi, ,

: inci ehirden inci ehre gei maliyeti, ,

: inci ehirde birim zaman bekleme maliyeti.

Karar Deikenleri

: ayrt turdaysa 1, deilse 0,

: gezginin inci ehre geldii an,

: inci ehirde hizmet ncesi bekleme sresi.

8

3.2. Kaynaklarda Yer Alan Karar Modelleri

Bu blmde, kaynaklardaki matematiksel modeller yaym yl esas alnarak

incelenecek ve modelleri tanmlamada aratrmacnn ad kullanlacaktr.

3.2.1. Baker [1983] Modeli

ZPGSP iin ilk matematiksel model, Baker [1983] tarafndan nerilmitir. Bu model

ancak tam bal, simetrik, gen eitsizliinin saland bir serim iin geerli

olabilmektedir. Blm 3.1deki simgelere ek olarak bu model iin,

: serime eklenen yapay biti dm

eklinde tanmlanarak depodan k zorunlu klnmakta ancak depoya girie izin

verilmemektedir. Gezgin, mterileri ziyaret ettikten sonra ( )inci dmle

gsterilen yapay depoya dn yapmaktadr, ancak mteri biti dm sreleri

olan in deerleri olarak ileme alnmaktadr. Bu tanmlamayla birlikte

Bakern [1983] matematiksel modeli aada verilmektedir:

Grld gibi modelde, sadece ( ) adet srekli karar deikeni vardr.

olduunda bu say, ( )e dmektedir. Dolaysyla model, leinde karar

deikeni iermektedir. Ayrca modelde, adet dorusal kst, adet zaman

penceresi kst ve adet mutlak deerli kst bulunmaktadr. Bu durumda

modelde leinde kst vardr.

9

Model, tane mutlak deerli kst tayor olmas nedeniyle dorusal

olmayan bir matematiksel modeldir. Ama fonksiyonu ise toplam tur sresini

enkklemekte olup, ayrtlarda geen sre ve dmlerdeki bekleme sreleri ayr

ayr ele alnmamtr. Dolaysyla model, ayrtlarda geen sre ve beklemeleri

birlikte esas alan bir zm asndan yetersiz kalmaktadr. Ayrca, dorusal

olmayan bir matematiksel model olmasndan dolay modelin bir paket program

kullanlarak dorudan zm zorlamaktadr. Bu nedenle Baker [1983],

problemin zm iin bir dal-snr algoritmas gelitirmi ve bu algoritma ile 51

dml problemler iin eniyi zm elde etmitir.

3.2.2. Desrosiers vd.nin [1988] ok Gezginli Modeli

ZPGSP iin ok gezginli modelleme ilk kez Desrosiers vd. [1988] tarafndan

gelitirilmitir. Modeli tanmlayabilmek iin Blm 2.1deki simgelere ek olarak

aadaki tanmlamalar yaplmtr:

: bir gezginin maliyeti

: gezgin says

Desrosiers vd.nin [1988] ok gezginli modeli :

10

eklindedir.

Modelde, adet sfr-bir tamsayl karar deikeni, adet srekli

deiken ve ( adet kst bulunmaktadr. Dolaysyla model,

leinde karar deikeni ve leinde kst iermektedir.

Bu almada, asl-ikil (primal-dual) yaklamyla en ksa yol probleminin ok

gezginli durumu iin genelleme yaplmtr. kil modelde, uygun olmayan rotalar

bulunarak ve asl modelin zmnde bu rotalar atlarak, kullanlan dal-snr

teknii ile daha hzl zmler retilebilmektedir. Desrosiers vd. [1988], iki aamal

bu yaklam sayesinde, 223 dm olan byk boyutlu problemlere zm elde

etmilerdir.

3.2.3. Langevin vd.nin [1993] Modeli (OL Modeli)

ZPGSP iin beklemelerin sre ve maliyet ynyle formle edildii ilk model,

Langevin vd. [1993] tarafndan nerilmitir. Bu modelin temelini, Finke vd.nin

[1984] GSP iin nerdikleri iki rnl ak modeli oluturmaktadr. Bu tez

kapsamnda, bu model Orijinal Langevin (OL) modeli olarak adlandrlmtr.

OL modelinde ve ile gsterilen iki ana ak deikeni tanmlanmtr. Daha

nceki simgeler ve tanmlara ek olarak modele ait dier tanmlamalar aada

verilmektedir:

: Turun banda eldeki toplam kaynak,

: inci ehre gelene kadar elde kalan kaynak miktar,

: inci ehre gelene kadar harcanan kaynak miktar.

11

Ayrca, karar deikeni daha nce tanmlanan yapdan farkl olmamakla

beraber iki rnl ak probleminin yapsna uygun olarak aadaki gibi yeniden

tanmlanmtr:

: ayrtnda seyahat etmek iin gerekli olan kaynak miktar

olmak zere, OL modeli :

eklindedir.

12

Modelin dorusal programlama gevetmesi yani gevetilmi modeli, (25) nolu kst

yerine kstlarnn eklenmesiyle elde edilir. (10) veya (11)

nolu kstlardan tr, bu kstlar gereksiz olmakta ve buna istinaden modelden

atlabilir. Bu durumda modelde, adet kst, adet zaman kst

bulunurken, leinde karar deikeni ve leinde kst ierir.

Bu model, beklemeleri istee bal olarak sre ve maliyet ynyle formle eden ilk

modeldir. Bu nedenle modeldeki kstlara ksaca deinilecektir. (16) nolu kstlar,

ayrtlar zerindeki tur dengesini salayarak modelin basamak fonksiyonunu

oluturmaktadr. (17) nolu kstlar, depoya gelene kadar datlan kaynak ile hangi

ehirden depoya gidilmise bu arada gerekli olan kaynak miktar toplamnn eldeki

kaynak miktar toplamndan kk ya da eit olmasn salamaktadr. (18) ve (19)

nolu kstlar, inci ehre gelene kadar elde kalan kaynak miktar ile harcanan

kaynak miktar toplamn eldeki kaynak miktarna eitlemektedir. (20) ve (21) nolu

kstlar, inci ehre gelene kadar harcanan kaynak miktarnn zaman pencereleri

arasnda kalmasn salamaktadr. (22) nolu kstlar, her ehir iin o ehre gelene

kadar elde kalan kaynak miktar ile harcanan kaynak miktar toplamnn sfr ya da

toplam kaynak miktarna ( ) eit olmasn salayan tamsay kstlardr. (23)-(25)

nolu kstlar grubu, ilgili deikenlerin sfrdan kk olamama kstlardr. Modelin

ama fonksiyonu, bekleme maliyetlerini de gz nne alarak toplam tur maliyetini

enkklemektedir. Eer yerine ve eit 1 alnrsa ama fonksiyonu, turda

geen toplam sreyi enkkleyen hale dnmektedir. (25) nolu kstla verilen

iliki, modeli tamsayl olarak ele almay zorunlu klmaktadr. Tanmda ve

srekli deikenler gibi alglanmakla birlikte, bunlarn her ( ) iin toplamnn ya

sfr ya da ye eit olmas gerekmektedir. Bu haliyle model, zm asndan

glkleri beraberinde getirmektedir.

Toplam tur sresi ve bekleme sresini fakl maliyet bileenleri iin zebilen bu

model ile makalede deinilen zel algoritma, 60 dml problemlere kadar eniyi

zmler elde edilmektedir. Modelin sahip olduu bu zelliklere karn baz

eksiklikleri aada zetlenmektedir. Modeldeki ve karar deikenleri ift

indisli olmasna ramen, bu deikenlerin tanm yalnz birinci indisle yaplm,

ikinci indis anlamsz bir halde tutulmutur. Bu nedenle, bu karar deikenlerinin

tanm yapay kalm ve anlaml bir tanm olmaktan uzaklamtr. Ayrca, model bir

13

parametresine baldr. Parametrelerin sistemin davrann etkiledii halde

karar vericinin kontrol dnda deer alan bileenler olmas, modelleme asndan

bir dezavantajdr. Tm bunlarn yannda, ZPGSPnin en nemli uzants olan

ZPARPye dntrlebilir olmas modelleme asndan nemlidir. ZPGSP ile

yaplacak bir modelleme, ok gezginli hale kolay uyarlanabilmelidir ki ZPARP iin

de bir alt yap oluturabilsin. Bu noktada, modeldeki tanmlamalar dorultusunda

OL modelinin ok gezginli hale dntrlmesi de sorunlu olur. OL modeline, her

ehri iin depoya dnene kadar harcanan kaynak miktarn gsteren karar

deikenin toplamn sfr yapan kst ( ) eklenilmeden doru zmler

vermedii grlmtr.

3.2.4. Desrosiers vd.nin [1995] Modelleri

Bu blmde, Desrosiers vd. [1995] tarafndan gelitirilen modellere yer verilecektir.

Modellerden biri, dm tabanl bir modeldir. Dier model ise, OL modelinden

tretildii iin bu tez kapsamnda Gzden Geirilmi Langevin (GL) modeli olarak

adlandrlacaktr.

i) Desrosiers vd.nin Dm Tabanl Modeli

Desrosiers vd. tarafndan gelitirilen bu matematiksel modeldeki yardmc

deiken tanm, dm zerinden yapld iin ( ), model dm tabanl bir

modeldir. Beklemeleri gz nnde bulundurmayan bu model, ayrtlarda geen

sreler toplamn enkklemektedir. Modeldeki inci dm, serime

eklenen yapay biti dmdr. Daha nceki simgesel gsterim ve tanmlarla

birlikte, Desrosier vd.nin [1995] dm tabanl modeli,

14

eklinde verilmitir.

Desrosiers vd.nin [1995] dm tabanl modelinde, adet kst ve

adet sfr-bir tamsayl deiken bulunmaktadr. Dolaysyla model,

leinde kst ve leinde deiken iermektedir.

Bu model, bekleme srelerini veya maliyetlerini gz nnde bulundurmamakta

yalnzca turda geen sreler toplamn enkklemektedir. ler yerine lerin

alnmas halinde, ayrtlardaki maliyet toplamnn da enkklenecei aktr.

ii) Gzden Geirilmi Langevin Modeli (GL Modeli)

Desrosiers vd. [1995], OL modelinin dorudan zmn alabilmek iin modeli

yeniden dzenlemilerdir. Desrosiers vd. [1995] tarafndan nerilen bu model tez

kapsamnda Gzden Geirilmi Langevin (GL) modeli olarak adlandrlmtr.

Modelde, parametresi OL modelindeki gibi olarak tanmlanmtr.

inci dm, serime eklenen yapay biti dmdr. Genel simgesel

gsterim ve tanmlamalara ek olarak OL modelindeki ek tanmlarla birlikte GL

modeli,

16

eklinde verilmitir.

GL modeli ( ) adet kst, ( ) adet sfr-bir tamsayl deiken ve

( ) adet karar deikeni iermektedir. Dolaysyla modelde,

leinde kst ve leinde deiken bulunmaktadr.

GL modeli, OL modeline ek mdahale yaplmadan almamas dezavantajn

ortadan kaldrm olmakla beraber, OL modelinin parametreye bal olmas ve OL

modelindeki deikenlerin anlaml tanmlanmam olmas eletirileri GL modeli iin

de geerlidir.

3.2.5. Ascheuer vd. [2001]nin Modelleri

nceki kesimlerde bahsedildii zere, Ascheuer vd. [2000]nin yaptklar

almada ZPGSP iin gelitirilen DFJ tabanl model, Ascheuer vd. [2001]nin

almasnda yer almtr. Yan sra Ascheuer vd. [2001]nin almasnda iki yeni

model daha gelitirilmitir. Ascheuer vd. [2001], asimetrik ZPGSP iin dm

tabanl, ayrt tabanl ve yardmc deikensiz olmak zere model

gelitirmilerdir. Bu modeller srasyla M1, M2 ve M3 olarak adlandrlacaktr.

i) Ascheuer vd.nin [2001] Dm Tabanl Modeli (M1)

Ascheuer vd. [2001] tarafndan gelitirilen dm tabanl model (M1) ile bir nceki

ksmda bahsedilen Desrosiers vd.nin [1995] dm tabanl modelinin ayn olduu

grlmtr. Daha nceki simgesel gsterimlere ek olarak yaplan tanmlamalar:

: inci dme verilen hizmet sresi

: inci dme geldikten sonra inci dme gelinebilmesi iin

geecek asgari sre

eklinde yeni tanmlamalar yaplmtr.

17

Bu tanmlamalara dayal olarak M1 modeli :

eklindedir.

Modelde, leinde karar deikeni ve leinde kst bulunmaktadr.

Ascheuer vd.nin [2001] de ifade ettii zere bu modeldeki (54) nolu kst grubu,

MTZ alt tur engelleme kstlardr. Bu modelde, dmlerdeki hizmet sreleri olan

ler sfr olarak ele alnrsa nceki kesimde deinilen Desrosiers vd. [1995]

modeline dnr. Ascheuer vd. [2001], (54) nolu kstlarn yeterince

sklatrlmadndan ve daha da sktrlabileceinden bahsetmilerdir. Yan sra,

byk-Mye bal modellemenin saysal analizlerde sorun karabileceine

deinilmitir. Modeldeki byk-Mnin eklinde tanmlanarak

modelin sklatrlabilecei de belirtilmitir. Ayrca ve karar deikenleri

arasndaki ilikinin zayf olmas ve bunun yalnzca (54) nolu kstlar tarafndan

salanmas da bir dezavantaj olarak grlmtr. Bunlarn yan sra, modelin

beklemeleri gz nne almamas ve yalnzca ayrtlarda geen sreyi

enkklemesi bu tezin kapsamnda bir dezavantaj olarak grlmektedir.

18

ii) Ascheuer vd.nin [2001] Yardmc Deikensiz Modeli (M2)

Ascheuer vd. [2001] tarafndan gelitirilen yardmc deikensiz bu modelde daha

nceki tanmlamalara ek olarak yaplan tanmlama;

: belirlenen zaman pencerelerine uygun olmayan rotalar

Bu tanmlamayla birlikte M2 modeli :

eklinde verilmitir.

Modeldeki kstlar, dm saysna gre stel art gsterdiinden bu modelin

dorudan kullanm mmkn olmad gibi model, beklemeleri de gz nnde

bulundurmamaktadr.

19

iii) Ascheuer vd.nin [2001] Ayrt Tabanl Modeli (M3)

Ascheuer vd. [2001] tarafndan gelitirilen ayrt tabanl bu modelde karar

deikeni M1 modelinde tanmland ekliyle kullanlmtr. nceden tanmlanan

simgesel gsterimlere ek olarak yaplan tanmlama;

: gezginin inci ehre hizmet vermeye balad an ile inci ehirde hizmetini

tamamlad an arasnda geen sre ( olduunda) , ise sfr;

Bu tanmlamayla birlikte M3 modeli,

eklindedir.

M1 ve M2 modellerinde olduu gibi, bu modelde de beklemeler gz nnde

bulundurulmamtr.

Grld zere, bahsedilen M1, M2 ve M3 modelleri arasnda gerek

tanmlamalar gerekse de ama fonksiyonlar asndan bir farkllk yoktur. Her

model de, ama fonksiyonu asndan beklemeler gz nne alnmamaktadr.

20

3.2.6. Dier Matematiksel Modeller

Kaynaklarda, ZPGSP iin gelitirilen matematiksel modelleme asndan gze

arpan dier almalar ise, srasyla Soumis vd.nin [1998], Favaretto vd.nin

[2006] ve Lodi vd.nin [2009] modelleridir.

Soumis vd. [1998] tarafndan yaplan almada, ok depolu ZPARP iin

beklemelerin gz nne alnd dorusal olmayan matematiksel bir model

gelitirilmitir. Bu alma, beklemelerin gz nne alnmas asndan dikkat

eken bir alma olmakla beraber, modelin dorusal olmayan yaps nedeniyle

zm asndan dezavantajl bir modeldir.

Favaretto vd.nin [2006] almasnda ise, bir matematiksel model verilerek

ZPGSPye karnca kolonisi sistem yaklamyla zm nerilmitir. Bu almadaki

matematiksel modelin nceki blmlerde anlatlan Desrosiers vd.nin [1995]

dm tabanl modelinden bir fark olmad gzlemlenmitir.

Lodi vd.nin [2009] almas da ZPGSP asndan dikkat eken baka bir

almadr. Lodi vd. bu almalarnda, Ascheuer vd.ne [2001] ait olan M1

modeline benzer bir matematiksel model gelitirmilerdir.

3.3. Genel Deerlendirme ve Yeni Model Gereksinimleri

Yaplan kaynak aratrmasnda, gezginin bir ehre hizmete en erken balama

anndan ( ) nce gelmesi halinde, harcanan bekleme srelerini gz nne alan

model saysnn ok az olduu, var olan modellerin de baz dezavantajlarnn

olduu grlmtr. Bu nedenle, dorudan kullanlabilecek ve yeni yaklamlar

temel alacak modellere ihtiya duyulmaktadr. Tez kapsamnda bu ama

dorultusunda, ZPGSP iin iki yeni model gelitirilmitir. Bir sonraki blmde, bu

modellere deinilecektir.

Kaynaklardaki iki nemli modelin dezavantajlar ksaca u ekilde zetlenebilir: 1)

Bakern [1983] modelindeki mutlak deerli kstlar dorusall bozmakta

dolaysyla zm zorlatrmaktadr. Ayrca, modelde ayrtlarda geen sre ve

beklemeler ayr ayr gz nne alnmamaktadr. 2) Desrosiers vd.nin [1995]

modeli ise, ZPGSP asndan nemli bir gelime olmakla beraber bu modelin bir

parametresine bal olmas, karar deikenleri iin yaplan tanmlarn anlaml

21

olmamas ve bu modelin ok gezginli duruma kolay uyarlanamamas gibi

dezavantajlar bulunmaktadr.

22

4. ZPGSP N YEN MATEMATKSEL MODELLER

nceki blmlerde de bahsedildii zere, kaynaklarda beklemeleri gz nnde

bulunduran modellerin az sayda olmas yeni model gelitirme ihtiyacn

dourmutur. Bu blmde, kaynaklardaki modellerin dezavantajlarn ortadan

kaldrmak amacyla gelitirilen iki yeni model aklanmtr.

Bu dezavantajlarn yan sra, literatrde beklemeleri gz nnde bulunduran

modeller ok azdr. Bu nedenle bu tez kapsamnda ZPGSP iin iki yeni

matematiksel model gelitirilmitir. Gelitirilen modellerin herhangi bir parametreye

bal olmakszn karar deikenleri asndan anlaml tanmlar iermesi ve

beklemeleri gz nne almas ZPGSP iin nemli bir katk olarak grlebilir.

Modeller, yardmc deikenlerin tanmna gre dm ve ayrt tabanldr. Bu

modellerden, dm tabanl olan DTM, ayrt tabanl olan ise ATM olarak

ksaltlmtr. Tezin bu ve bundan sonraki blmlerinde modelleri tanmlamada bu

ksaltmalar kullanlacaktr.

4.1. ZPGSP in Gelitirilen Dm Tabanl Dorusal Karar Modeli (DTM)

Bu blmde, dmler zerinde tanmlanan yardmc deikenlere bal olarak

retilen kstlardan oluan dm tabanl modele yer verilmektedir.

: , balangtan inci ehre hizmet verilene kadar geen sre,

: ayrtlarda geen toplam sre,

: beklemelerde geen toplam sre.

23

Tm modeller iin geerli olan ortak tanm ve simgesel gsterimlerle birlikte

ZPGSP iin gelitirilen DTM,

eklindedir.

24

Bu modelde (72) ve (73) nolu kstlar her dme bir dmden gelinip bu

dmden de tek bir dme geilmesini salamaktadr. Dolaysyla (72) ve (73)

nolu kstlar modelin atama kstlardr.

(74) ve (75) nolu eitliklerdeki , tur zerindeki ayrtlarda geen srelerin toplam

ve beklemelerde geen srelerin toplam olarak tanmlanmtr. Bu tanmlara

gre, (76) nolu eitsizlii ZPGSP iin geerli bir eitsizlik olup,

gezginin bekleme zamanlar da dahil olmak zere depodan kt andan tekrar

depoya dnd ana kadar geen sreyi sklatran bir ksttr. Her dme

hizmet verildii an, dme en erken ve en ge geli zamanlar (zaman penceresi)

arasnda kalacandan (77) ve (78) nolu kstlar salanmaldr.

Depodan ilk k dm ve bu arada geen sre ile tanmlanan karar

deikenlerinin anlamlar gz nne alnarak (79) ve (80) nolu kstlar

gelitirilmitir.

nerme 1: Aadaki eitsizlikler ZPGSP iin geerli eitsizliklerdir.

Kant: olacandan, (72) ve (73) nolu kstlar gereince karar

deikeni, depodan inci dme gelinmise 1, dier durumlarda 0 olacaktr.

karar deikeninin 1e eit olmas durumunda, (79) nolu eitsizlikten ve

(80) nolu eitsizlikten elde edilir ki inci dmn turdaki ilk durak olmas

halinde, bu dme geli an olacaktr. inci dmn tur zerindeki ilk

dm olmamas halinde ise deerini alr ki (79) ve (80) nolu

eitsizliklerden elde edilir. aikar olup, ilikisi ise zaman

penceresi gereidir. (79) ve (80) nolu eitsizlikler ZPGSP iin snrlandran kstlar

olarak ele alnacaktr.

Gezginin inci dme hizmet verene kadar geen sre, inci dme geli an ile

nci dme hizmet verene kadar geen bekleme sresinin toplam olacandan,

kstlar yazlr.

25

Gezginin depodan ktktan sonra, tm dmlere urayp yine depoya

dnebilmesi iin; ara dmler arasnda alt turlar olumadan her ara dme

ilikin ve deikenlerinin tanmlaryla uyumlu artan bir basamak fonksiyonu

oluturmaldr. Eer inci dmden inci dme geilmise

olmaldr. Bu iliki, ekil 4.1de verilmitir:

ekil 4.1: Deikenler Aras likinin ekilsel Gsterimi

Tur zerindeki deikenler arasnda gereklemesi zorunlu olan; eer ise

salanmaldr eklindeki ilikinin dorusallatrlmas nerme 2de

verilmitir:

nerme 2: Aadaki bantlar ZPGSP iin geerli eitsizlikler olup alt turlarn

olumasna engel olurlar ve tur zerinde kar gelen karar deikenlerinin

tanmlaryla uyumlu deer almasn garanti ederler. Eer ise ve

olduunda, denklemi aadaki ekilde dorusal hale getirilebilir:

Kant: ve dmleriyle ilgili olarak aadaki durum sz konusu olabilir:

i) ,

ii) ,

iii) , (veya , )

j i

26

Eer ilk durum ortaya km ise, bu iki dm arasnda bir alt tur meydana gelmi

demektir. (82) ve (83) nolu bantlar hem , hem ayrtlar iin yazlr ve

deikenlerinin yerine 1 deeri konulursa,

iin

ve iin

elde edilir ki, ve olduu gz nne alndnda,

bulunur. Bu eitsizlikler taraf tarafa toplanrsa, elde edilir ki

ler hibir zaman sfr olamayacandan, bu mmkn deildir. O halde, (82) ve

(83) nolu eitsizlikler gerei olamaz.

kinci durumun ortaya kmas, ne inci dmden inci dme ne de inci

dmden inci dme gidilmemesidir. (82) ve (83) nolu bantlar hem ,

hem ayrtlar iin yazlr ve deikenlerinin yerine 0 deeri konulursa,

iin

ve iin

elde edilir. Her zaman ve ile ve olacandan

durumunda (82) ve (83) nolu eitsizlikler salanr.

Son durum ortaya ktnda yani karar deikeni 1e eit olduunda ise, (82)

nolu eitsizlikten ve (83) nolu eitsizlikten elde edilir ki

burada yerine konulduunda, eitlii bulunur. Bunlardan

(82) ve (83) nolu eitsizlikler, dmlere geli an olan lere srekli artan

deerler atayacak, bunlar artan bir basamak fonksiyonu oluturacaktr. Bylece

ara dmler arasnda bir alt tura izin verilmeyecektir. Bu nedenle, (82) ve (83)

nolu bantlar, ZPGSP iin alt tur engelleme kstlardr.

27

(84) ve (85) nolu kstlar ve karar deikenlerinin sfrdan kk olmamasn

salamaktadr. (86) nolu kstlar ise karar deikeni iin tamsay kstlardr.

(87) nolu fonksiyon, ayrtlarda ve beklemelerde geen sre olmak zere toplam

sreyi enkkleyen ama fonksiyonudur.

Tam bal bir serimde ZPGSP iin 12 grup bantdan oluan modelin kst says,

( ) kadardr. Modele esas, ( ) tane srekli deiken ve ( ) tane

sfr-bir tamsay deikeni vardr. nerilen karar modeli, leinde kst ve

leinde tamsay karar deikenine sahiptir. Dolaysyla model, polinom

byklkte karar deikeni ve kst iermektedir.

4.2. ZPGSP in Gelitirilen Ayrt Tabanl Dorusal Karar Modeli (ATM)

Bu ksmda, ayrtlar zerinde tanmlanan yardmc deikenlere bal olarak

tretilen kstlardan oluan modele yer verilmitir.

eklinde tanmlanan yeni bir karar deikeni olsun. Ayrtlara bal olarak

tanmlanan lerden hareketle gelitirilen aadaki model, ayrt tabanl model

(ATM) olarak adlandrlmtr.

Tm modeller iin geerli olan ortak tanm, simgesel gsterimler ve DTM iin

verilen yeni tanmlara ek olarak ZPGSP iin gelitirilen ATM,

28

eklindedir.

(88), (89), (90) ve (91) nolu kstlar DTMdeki kstlarn aynsdr. DTMde olduu

gibi, (88) ve (89) nolu kstlar atama kstlar; (90) ve (91) nolu eitlikler ise ve

deikenlerine, tanmlar gerei deer atayan kstlardr. (92) nolu

eitsizlii ZPGSP iin geerli bir eitsizlik olup,

gezginin bekleme zamanlar da dahil olmak zere, depodan kt andan tekrar

depoya dnd ana kadar geen sreyi sklatran bir ksttr.

(93) nolu kstlar, karar deikenine ilk atamay yapan kstlardr. Gezgin,

depodan inci ehre gitmise ilgili olacandan, yardmc deikeni

depo ile inci ehir arasnda geen sre olan ye eit olacaktr.

(94) nolu kstlar, gezginin depodan ktktan sonra, tm dmlere urayp yine

depoya dnebilmesi iin ara dmler arasnda alt turlar olumadan her ara

dme ilikin deikenlerinin tanmlaryla uyumlu ve beklemelerin de gz

nne alnd artan bir basamak fonksiyonu oluturmaktadr. Dolaysyla (94) nolu

kstlar grubu, modelin alt tur engelleyici kstlardr.

29

(95) ve (96) nolu kstlar, gezginin her bir dme nceden tanmlanan zaman

pencereleri iinde gelmesini salayan kstlardr. (95) nolu kstlar, ilgili dme

geli an ve o dm nndeki beklemelerin, o dme en erken geli anndan

byk ya da eit olmasn salamaktadr. (96) nolu kstlar ise, ilgili dme geli

ann gsteren deikeninin, dme en ge geli anndan daha byk

olmasna izin vermemektedir.

(97) nolu kstlar karar deikeninin sfrdan kk olmamasn salamaktadr.

(98) nolu kstlar ise karar deikeni iin tamsay kstlardr. (99) nolu

fonksiyon, DTMnin ama fonksiyonu ile ayn olup ayrtlarda ve beklemelerde

geen sre olmak zere toplam sreyi enkkleyen ama fonksiyonudur.

Tam bal bir serimde ZPGSP iin 9 grup bantdan oluan modelin kst says,

( ) kadardr. Modele esas, ( ) adet srekli deiken ve ( )

adet sfr-bir tamsay deikeni bulunmaktadr. nerilen karar modeli,

leinde kst ve leinde tamsay karar deikenine sahiptir. Dolaysyla

ATM de, polinom byklkte karar deikeni ve kst iermektedir.

4.3. nerilen Modellerin Katklar

nceki kesimlerde verilen her iki modelle, ZPGSP zmne getirilen yenilikler

aada ksaca aklanmtr:

4.3.1. nceki Modellere Getirilen Eletirilerin Giderilmesi

Gelitirilen modellerin en nemli katks bir kaynak kullanm olan bekleme

srelerini dikkate alyor olmasdr. Ayrca, gelitirilen modeller ile GL modelinin

sahip olduu dezavantajlar ortadan kaldrlmtr. Gelitirilen modeller ok gezginli

problem iin ok kolay uyarlanabilecei gibi, modelde olmas istenen herhangi bir

ek kst modele zahmetsizce eklenebilmektedir. Bu katklarn yan sra, modellerde

yaplan kk deiiklerle problemlerin farkl ltlere gre alternatif zmleri

elde edilebilmekte ve bu zmler baskn ya da baskn olmayan zmler eklinde

snflandrlabilmektedir.

30

Tm iletmelerde retimin salkl bir biimde yrtlebilmesi iin tedarik zinciri

srecinin iyi ynetiliyor olmas gerekir. rnein, otomotiv sektr iin 5-6 bin

paradan oluan aracn bu paralarnn istenilen miktarda, istenilen zamanda bir

araya getirilmesi gerekmektedir. Bu noktada zamana kar bir yar kanlmazdr.

Dolaysyla beklemelerden meydana gelen ticari kayplarn da gz nnde

bulundurulmas gerekmektedir. Bu durum, ZPGSP asndan dnlecek olursa

zaman pencereleri iinde ehri ziyaret etmek durumunda olan gezgin, ehre

hizmete en erken balama anndan daha nce gelirse bu ana kadar beklemek

durumunda kalr. Bu arada geen sre phesiz ki bir kaynak kullanmdr. Bu

adan, literatrde says olduka az olan beklemeleri gz nne alan ZPGSP

modellerine yeni bir yorumun katlmas olduka nemli bir gelimedir.

Yeni modellerin sahip olduu baka bir avantaj ise, GL modeline yaplan

eletirilere cevap verebilmesidir. GL modeline yaplan eletiriler hatrlanacak

olursa, bu modeldeki karar deikenleri iki indisli olmasna ramen tek indisle

aklanm ve model bir parametresine bal kalmtr. Yeni modellerde

tanmlanan karar deikenleri, ZPGSP asndan uygun anlamlara sahip

deikenler olduu gibi indis saylaryla rten tanmlar yaplmtr. Ayrca yeni

modellerde herhangi bir parametre tanm yaplmamtr. Daha nce de

bahsedildii zere, bir modelin parametreden bamsz olmas, modelin

performans asndan byk nem tamaktadr. Herhangi bir parametre tanm

yapldnda modelin performans dorudan parametrenin doru tahmin

edilmesine bal olmaktadr. Dolaysyla, matematiksel modeldeki parametre

optimizasyonu da ayr bir problem olarak ortaya kmaktadr. Bu nedenle,

modellerin parametrelerden bamsz olmas yaplan baka bir katk olarak

grlebilir.

4.3.2. Farkl Ama Fonksiyonlar

ZPGSPde ele alnabilecek ltler ve bu ltlerin her biri iin nerilen modellere

kar gelen ama fonksiyonlar aada sralanmtr:

i) Ayrtlarda geen sre enkk olsun:

31

ii) Turda geen sre enkk olsun:

iii) Ayrtlardaki seyahat maliyeti enkk olsun:

iv) Ayrtlarda geen seyahat ve dmlerde bekleme maliyetleri toplam

enkk olsun:

Grld gibi, her iki model de farkl ama fonksiyonlar ile ele alnp,

kullanlabilecek zelliktedir.

4.3.3. ok Gezginli ZPGSP

Yeni modellerin ok gezginli hale kolaylkla dntrlebilme zellii de nemli bir

katkdr. nk modeller, kk bir mdahale ile ok gezginli hale

dntrlebilmektedir. Her iki modelin ilk iki kst, depo iin aadaki gibi

yazlarak;

modeller, ok gezginli hale dnm olur. Problemde gezgin olduunda;

kst depodan adet k, kst ise depoya adet girii salamaktadr.

32

4.3.4. Ek Kstlar

Modelin bu zelliinin yannda, modele eklenmesi istenen herhangi bir kst da

modele kolaylkla uyarlanabilir. Szgelimi,

inci dm inci dmden hemen sonra ziyaret edilecekse,

inci dm inci dmden nce ziyaret edilecekse,

kstlarnn modele eklenmesi yeterlidir.

4.3.5. ok ltl Analizler

Gelitirilen modellerin yapt dier nemli bir katk da, modellerden problemlerin

alternatif zmlerinin elde edilebiliyor olmasdr. Bu zellii rneklemek zere,

DTMnin ama fonksiyonu farkl ltlere gre deitirilerek ve yeni bir ek kst

eklenmesiyle alternatif zmler elde edilmitir. ncelikle, DTMdeki ama

fonksiyonu,

eklinde deitirilerek beklemeler serbest braklm ve yalnzca ayrtlarda geen

sre enkklenmitir. Bu model, DTA modeli olarak adlandrlmtr. DTMden

tretilen ikinci model olan DTA modeline,

kstnn eklenmesiyle DTAT-1 modeli elde edilmitir. deeri, DTMden elde

edilen ama fonksiyonu deeridir. Bu modelde, toplam tur uzunluu sabit kalmak

kouluyla beklemeler sktrlarak ayrtlarda geen srelerin toplam

enkklenmitir.

DTA modelinde, beklemeler serbest braklm ve yalnzca turda geen srelerin

toplam enkklenmitir. DTA modeli, beklemeleri de gz nne alan ancak

ayrtlarda geen srelerin toplamn enkkleyen zmler vermektedir.

Dolaysyla, DTA modelinin ama fonksiyonu deeri ( ), test problemlerinin

WEBdeki zm deerleriyle rtmek zorundadr. nk test problemlerinin

33

WEBdeki zmleri, beklemeler gz nne alnmakszn ayrtlarda geen toplam

sreyi enkkleyecek turlar vermektedir. Bu durum gz nne alndnda,

model doru sonular vermektedir. Yan sra, koyu olarak yazlan 12 problem iin

DTA modelinden elde edilen toplam sreyle DTMden elde edilen toplam srenin

farkl olmas doaldr. nk bu problemlerde ayrtlarda geen srelerin toplamn

enkkleyen turlarn bekleme sreleri, toplam sreyi arttrarak DTMden farkl

sonular elde edilmesine yol amtr. 20 dml simetrik 25 tane problemin

DTM, DTA ve DTAT-1 modelleriyle zmnden elde edilen deerler izelge

4.1de gsterilmitir.

izelge 4.1: 20 Dml Simetrik Problemlerin T1 ve T2 Deerleri

Problem DTM DTA DTAT-1

T1 T2 Toplam T1 WEB T2 Toplam T1 T2 Toplam

n20w20.001 380 7 387 378 378 9 387 378 9 387

n20w20.002 295 1 296 286 286 10 296 286 10 296

n20w20.003 394 9 403 394 394 9 403 394 9 403

n20w20.004 398 3 401 396 396 7 403 398 3 401

n20w20.005 361 4 365 352 352 13 365 352 13 365

n20w40.001 260 20 280 254 254 28 282 257 23 280

n20w40.002 351 6 357 333 333 24 357 333 24 357

n20w40.003 338 17 355 317 317 41 358 338 17 355

n20w40.004 394 3 397 388 388 9 397 388 9 397

n20w40.005 307 18 325 288 288 38 326 307 18 325

n20w60.001 349 51 400 335 335 65 400 335 65 400

n20w60.002 259 41 300 244 244 60 304 246 54 300

n20w60.003 371 10 381 352 352 31 383 352 29 381

n20w60.004 326 11 337 280 280 57 337 280 57 337

n20w60.005 352 40 392 338 338 54 392 338 54 392

n20w80.001 379 24 403 329 329 87 416 329 74 403

n20w80.002 388 9 397 338 338 59 397 338 59 397

n20w80.003 343 22 365 320 320 45 365 320 45 365

n20w80.004 309 36 345 304 304 55 359 304 41 345

n20w80.005 303 4 307 264 264 83 347 278 29 307

n20w100.001 301 8 309 237 237 78 315 245 64 309

n20w100.002 279 6 285 222 222 70 292 258 27 285

n20w100.003 340 18 358 310 310 87 397 330 28 358

n20w100.004 375 4 379 349 349 30 379 349 30 379

n20w100.005 304 23 327 258 258 106 364 258 69 327

: turda geen srelerin toplam

: bekleme sreleri toplam

34

DTAT-1 modelinde ise, toplam srenin sabit kalmas kouluyla beklemeler

sktrlarak ayrtlarda geen sre enkklenmektedir. DTAT-1 modelinde toplam

tur sresinin ( ) DTMden elde edilen eniyi deere eitlenmesiyle toplam

sre sabitlenmitir. Dolaysyla, DTAT-1 modelinden elde edilen toplam srelerin

DTMden elde edilen toplam srelere eit olmas kanlmazdr.

Grld zere bu modelden farkl turlarn elde edilmesiyle alternatif

zmlere eriilmektedir. rnein n20w60.001 probleminde toplam sre, her

modelde 400 birim zaman olmutur. Buna karn, DTMden elde edilen zmde

toplam bekleme sresi 51 birim zamanken, DTA ve DTAT-1 modellerinde ise 65

birim zaman olmutur. n20w80.004 probleminde ise toplam sre, DTM ve DTAT-1

modeli iin 345 birim zaman ve DTA modeli iin 359 birim zamandr. Bu

sonulardan anlalaca zere, her model bu problem iin alternatif zmler

vermitir. DTMde ayrtlarda geen toplam sre 309 birim zaman ve beklemelerde

geen toplam sre 36 birim zaman olmutur. Ayn problem iin DTAT-1 modeli

alternatif bir zm bulmu ve toplam sre sabit kalmak kouluyla ayrtlarda geen

toplam sreyi 4 birim aa ekmitir. Yaplan bu modelleme sayesinde, bir

problemin alternatif zmleri elde edilebilmektedir.

n20w80.004 probleminin model ile elde edilen alternatif zmlerine ait grafik

ekil 4.2de verilmitir.

ekil 4.2: n20w80.004 Probleminin Alternatif zmlerine Ait T1-T2 Grafii

309; 36

304; 55

304; 41

0

10

20

30

40

50

60

303 304 305 306 307 308 309 310

T2

T1

A

B C

35

ekil 4.2de A noktas ile gsterilen zm DTA modeline, B noktas ile gsterilen

zm DTAT-1 modeline ve C noktas ile gsterilen zm ise DTMye aittir. Bu

zmlerden B noktas, A noktasna gre baskn bir zmdr. Karar verici, byle

bir durumla karlatnda phesiz Bdeki zm benimseyecektir. Bunun yan

sra, B ve C zmleri birbirlerine gre baskn zmler olamazlar. Her iki zm

iin toplam sre 345 birim zamandr. Karar verici iin bekleme zamanlarnn az

olmas nemli ise C zm, ayrtlarda geen srelerin toplamnn az olmas

nemli ise B zm benimsenmelidir.

Son olarak, DTMden tretilen DTAT-1 modeline deneme says olmak zere,

kstnn eklenmesiyle DTAT-2 modeli elde edilmitir. deeri, ilgili problem iin

DTAT-1 modelinin sonucundan elde edilen deeridir. olmak

zere, nin her bir deeri iin model yeniden zlerek baskn ya da baskn

olmayan zmlerin varl incelenmitir.

Grld zere, gelitirilen modeller ile alternatif zmlerin varlna ilikin

analizler yaplabilmektedir. Toplam tur sresi sabit kalmak kouluyla ayrtlarda ve

beklemelerde geen sreler ynyle dnleme erileri izilebilir. Dolaysyla, bu

yaklam ZPGSP iin ok ynl analiz yaplmasn salamaktadr.

36

5. SAYISAL ANALZLER

Bu blmde tez kapsamnda ZPGSP iin gelitirilen matematiksel modellerin

(DTM ve ATM) performans iki aamada incelenmektedir. Birinci aamada, DTM

ve ATM karlatrlarak performans iyi olan model belirlenmektedir. kinci

aamada ise, seilen modelin performans literatrde bu problem iin nerilen GL

modeli ile karlatrlmaktadr. Her iki aamada performans ls olarak, zm

sresi (modelin bir probleme eniyi zm bulmak iin harcad zaman) ve

dorusal programlama gevetme deerleri (DPG) dikkate alnmtr.

5.1. Test Problemleri

Matematiksel modellerin performanslarnn deerlendirilmesi iin kullanlan test

problemleri, http://iridia.ulb.ac.be/~manuel/tsptw-instances adresinden alnmtr.

Bu adreste test problemleri, simetrik ZPGSP iin verilmektedir. Modellerin

performans analizi, 20 dml ve 40 dml test problemleri zerinde

yaplmtr. Test kapsamnda bu problemler kk ve orta boyutlu test problemleri

olarak adlandrlmtr. Saysal analizde her bir boyut iin 25 test problemi dikkate

alnmtr.

5.2. Yazlm / Donanm

Test problemleri, matematiksel modeller ile CPLEX 12.0 paket program

kullanlarak zlmtr. CPLEX program, bir tamsayl karar modelini dal-snr

yntemi uygulayarak zen bir paket programdr. CPLEXde bir problemin zm

ilemleri aada aklanan farkl durumdan biri ortaya ktnda sonlanr.

1) Alt snr ve st snr deeri arasndaki aklk: Bu yaklamda program, alt snr

deeri ile st snr deeri arasndaki farkn 0.0001 deerinin altna dtnde

zm sonlandrmakta ve bulunan eniyi zm raporlamaktadr. Bu zmler

tez kapsamnda ilgili test problemleri iin eniyi zm olarak dikkate alnmtr.

Ancak, bu zmlerden 0.0001 deer farkla daha iyi bir zm de bulunabilir.

37

2) Programda kullanlan hafza: Bu yaklamda program, problemin zm

srasnda kullanlan hafza belirlenen bir snr deeri amas durumunda

zm sonlandrmakta ve o ana kadar bulunan zm raporlamaktadr.

3) zm sresi: CPLEX, kullanc isteine gre tanmlanan bir zm sresinin

almas durumunda zm sonlandrmakta ve o ana kadar bulunan zm

raporlamaktadr. Tez kapsamnda, problemlerin zm iin zm sresi 7200

saniye ile snrlandrlmtr.

Problemlerin zmnde, Intel Core i5 ilemci, drt ekirdek, 4 GB RAM ve 276

GBlk sabit disk bulunan bir bilgisayar kullanlmtr.

5.3. Yeni Modellerin Karlatrlmas

Bu blmde saysal analiz sonular kk ve orta boyutlu test problemleri iin

ayr ayr verilecektir.

Kk Boyutlu Test Problemleri in Karlatrma

DTM ve ATM, ncelikle 20 dml test problemlerinde eniyi zme ulama

zaman asndan karlatrlmtr. izelge 5.1de her iki model iin zm

zamanlar verilmektedir. izelge incelendiinde, DTM ve ATMnin 7200 saniye

iinde test problemlerinin tmnde eniyi zme ulat grlmektedir. Tm test

problemleri iin DTMnin zm zaman ATMden kktr. Modellerin ortalama

zm sreleri ise srasyla 2.27 ve 19.24 saniyedir. Grld gibi, DTM

ortalama zm sresi asndan ATMnin yaklak sekizde bir sresinde eniyi

zme ulamaktadr.

38

izelge 5.1: 20 Dml Simetrik Problemlerin zm Sreleri

PRB. DTM ATM

S S

n20w20.001 0.16 2.79

n20w20.002 0.08 2.45

n20w20.003 0.06 3.15

n20w20.004 0.08 8.33

n20w20.005 0.05 3.49

n20w40.001 0.89 18.75

n20w40.002 0.11 2.29

n20w40.003 0.16 31.54

n20w40.004 0.17 11.40

n20w40.005 0.23 10.28

n20w60.001 1.00 14.73

n20w60.002 0.41 7.83

n20w60.003 0.23 12.54

n20w60.004 1.59 3.74

n20w60.005 1.59 23.06

n20w80.001 0.86 25.47

n20w80.002 0.72 17.36

n20w80.003 0.42 10.16

n20w80.004 6.43 43.67

n20w80.005 19.27 35.83

n20w100.001 3.60 16.37

n20w100.002 6.22 56.38

n20w100.003 3.88 81.40

n20w100.004 4.38 31.08

n20w100.005 4.23 6.91

ORT. 2.27 19.24

S : zm sresi (sn)

DTM ve ATM, kk boyutlu problemler iin DPG deerleri asndan da

karlatrlmtr. izelge 5.2de her iki model iin DPG deerleri ve bu deerlerin

eniyi zmlerden sapma oranlar (DPS) verilmektedir. izelge incelendiinde,

heriki model ile 11 problemde ayn DPG deerleri elde edilmitir. Bu problemler

izelgede koyu olarak yazlmtr. Dier problemler iin, ATM ile elde edilen DPG

deerlerinin DTMnin deerlerinden daha byk dolaysyla daha iyi olduu

grlmektedir. DPG deerlerinin eniyi zmlerden sapma oranlarna (DPS)

39

bakldnda ise, her iki model iin sapma oranlarnn ok yksek olmad

grlmektedir. DTM ve ATM iin ortalama sapma oranlar srasyla 0.13 ve 0.11

olup birbirine ok yakndr.

Ortalama sapma oranlar asndan DTM ve ATM arasnda anlaml bir farklln

olup olmadn aratrmak amacyla istatistiksel analiz yaplmtr. Bu analizde

MINITAB paket program kullanlmtr. ncelikle sapma oranlarnn

varyanslarnn eit olup olmadn aratrmak iin varyans testi, ardndan kan

sonuca gre iki modelin ortalama sapma oranlar iin t testi yaplmtr. Varyans

testi iin kurulan hipotezler ve MINITAB sonular aada verilmektedir:

Test for Equal Variances: DTM versus ATM

95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations

F-Test (normal distribution)

Test statistic = 1,57; p-value = 0,665

Levene's Test (any continuous distribution)


Test for Equal Variances for DTM; ATM

Test sonucuna gre dr. %95 gven aralnda

olduu iin reddedilemez. Dolaysyla alnan rneklemlere dayanarak DTM ve

ATMnin sapma oranlarnn (DPS) varyanslar arasnda anlaml bir farkllk yoktur.

Bu nedenle her iki model iin varyanslar eit kabul edilebilir.

ki rneklemin varyanslarnn eit olduu varsaym altnda, DTM ve ATMnin

ortalama DPS oranlar arasndaki fark iin t testine ilikin hipotez testi ve sonular

aada verilmektedir:

Two-Sample T-Test and CI: DTM; ATM

Two-sample T for DTM vs ATM

Sample N Mean StDev SE Mean

DTM 25 0,1300 0,0500 0,010

ATM 25 0,1100 0,0600 0,012

40

Difference = mu (DTM) - mu (ATM)

Estimate for difference: 0,020000

95% CI for difference: (-0,011442; 0,051442)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 1,28

P-Value = 0,207 DF = 46

Grld gibi dir. olduundan

reddedilemez. Dolaysyla, %95 gven aralnda alnan rneklemlere dayanarak

ortalama DPS oranlar asndan DTM ve ATM arasnda anlaml bir farkllk yoktur.

izelge 5.2: 20 Dml Simetrik Problemlerin DPG Deerleri ve Sapma Oranlar

PRB. DTM ATM

DPG DPS DPG DPS

n20w20.001 354.00 0.09 369.07 0.05

n20w20.002 291.00 0.02 294.47 0.01

n20w20.003 351.00 0.13 380.70 0.06

n20w20.004 369.00 0.08 397.64 0.01

n20w20.005 306.00 0.16 336.60 0.08

n20w40.001 244.00 0.13 245.10 0.12

n20w40.002 331.00 0.07 340.90 0.05

n20w40.003 300.00 0.15 310.31 0.13

n20w40.004 317.00 0.20 345.90 0.13

n20w40.005 305.00 0.06 319.00 0.02

n20w60.001 322.00 0.20 325.76 0.19

n20w60.002 251.00 0.16 251.00 0.16

n20w60.003 323.00 0.15 323.00 0.15

n20w60.004 305.00 0.09 313.45 0.07

n20w60.005 332.00 0.15 332.00 0.15

n20w80.001 352.00 0.13 354.33 0.12

n20w80.002 345.00 0.13 345.00 0.13

n20w80.003 308.00 0.16 308.00 0.16

n20w80.004 275.00 0.20 275.37 0.20

n20w80.005 283.00 0.08 283.00 0.08

n20w100.001 270.00 0.13 270.00 0.13

n20w100.002 247.00 0.13 247.00 0.13

n20w100.003 303.00 0.15 303.00 0.15

n20w100.004 320.00 0.16 320.00 0.16

n20w100.005 285.00 0.13 285.00 0.13

ORT. 0.13 0.11

DPG : dorusal programlama gevetme deeri,

DPS = (OPT DPG) / OPT

41

Orta Boyutlu Test Problemleri in Karlatrma

DTM ve ATM, 40 dml test problemleri iin ncelikle eniyi zm bulma ve

zm sresi asndan karlatrlmtr. Bu aamada her iki model iin zm

sresi 7200 saniye ile snrlandrlmtr. izelge 5.3te DTM ve ATM iin, eniyi

zm ( stunu) ve zm sresi (S stunu) verilmektedir. izelgede, 7200

saniyede ilgili model ile eniyi zme ulalamayan problemler iin stunu bo

braklmtr. izelge incelendiinde, 7200 saniye ierisinde DTM 25 problemin

sadece nde eniyi zme ulaamazken, ATM 14 problemde eniyi zme

ulaamamtr. Bu sonu, ATMnin problem boyutu bydke yetersiz kaldn

gstermektedir. DTM ile eniyi zmn elde edilemedii 3 problem n40w60.003,

n40w100.001, n40w100.002 dir. Bu problemlerden n40w60.003 ve n40w100.002

kodlu problemler iin hafza snr aldndan dolay zm sreci

sonlandrlmtr. n40w100.001 problemi ise sre snrn am ve bu problem iin

uygun bir zm dahi bulunamamtr. ATM ise, eniyi zm bulamad 14

problem iin uygun bir zme dahi ulaamam ve bu problemlerin tmnde

sonlandrma sebebi sre snrnn almas olmutur. DTM ve ATM, 7200 saniye

iinde zebildii problemlerin zm sreleri asndan karlatrldnda

DTMnin daha ksa srelerde eniyi zme ulat grlmektedir. DTM iin

ortalama zm sresi 1149.30 iken bu deer ATM iin 3471.30dur. Dolaysyla,

DTM, n40w80.002 problemini 7200. saniyede zmtr. ATM ise bu probleme

7200 saniye iinde uygun bir zm dahi bulamamtr.

42

izelge 5.3: 40 Dml Simetrik Problemlerin zm Deerleri ve Sreleri

PRB. DTM ATM

S S

n40w20.001 520 4.20 520 1107.26

n40w20.002 607 0.42 607 4981.08

n40w20.003 514 1.54 514 1437.49

n40w20.004 442 2.56 442 1646.26

n40w20.005 520 0.56 520 124.07

n40w40.001 510 8.42 510 2841.18

n40w40.002 519 606.58 - 7200.00

n40w40.003 536 1.08 - 7200.00

n40w40.004 508 7.21 508 6909.74

n40w40.005 488 6.57 488 2153.49

n40w60.001 535 81.53 535 3076.04

n40w60.002 509 1041.38 - 7200.00

n40w60.003 464 1438.50 465 6707.67

n40w60.004 475 24.94 - 7200.00

n40w60.005 423 30.70 - 7200.00

n40w80.001 497 2048.39 - 7200.00

n40w80.002 498 7200.00 - 7200.00

n40w80.003 488 796.42 - 7200.00

n40w80.004 462 746.28 462 7200.00

n40w80.005 488 247.07 - 7200.00

n40w100.001 - 7200.00 - 7200.00

n40w100.002 421 1608.95 - 7200.00

n40w100.003 458 3838.19 - 7200.00

n40w100.004 476 1747.73 - 7200.00

n40w100.005 458 43.20 - 7200.00

ORT*

1149.30

3471.30

: eniyi zmn veya eldeki zmn ama fonksiyonu deeri

S : zm sresi (sn)

ORT* : 7200 saniyede eniyi zm bulunan ortak problemlerin zm srelerinin

ortalamas

Orta boyutlu problemler iin DTM ve ATM ile elde edilen DPG deerleri ve DPS

oranlar izelge 5.4 de verilmektedir. izelge incelendiinde 12 problem iin her

iki modelde ayn DPG deerine ulamtr. Bu problemler izelgede koyu olarak

yazlmtr. Dier problemler iin ATMnin DPG deerleri, DTMnin DPG

deerlerinden daha iyidir. DPG deerlerinin eniyi zmlerden sapma oranlarna

(DPS) bakldnda ise, her iki model iin sapma oranlarnn ok yksek olmad

grlmektedir. Ortalama DSP oran DTM iin 0.09 iken ATM iin 0.08dir.

43


PRB. DTM ATM

DPG DPS DPG DPS

n40w20.001 484.00 0.07 484.65 0.07

n40w20.002 550.00 0.09 581.84 0.04

n40w20.003 479.00 0.07 496.59 0.03

n40w20.004 408.00 0.08 416.33 0.06

n40w20.005 461.00 0.11 469.40 0.10

n40w40.001 462.00 0.09 466.66 0.08

n40w40.002 479.00 0.08 493.23 0.05

n40w40.003 478.00 0.11 485.90 0.09

n40w40.004 462.00 0.09 493.38 0.03

n40w40.005 452.00 0.07 460.70 0.06

n40w60.001 491.00 0.08 495.20 0.07

n40w60.002 446.00 0.12 446.00 0.12

n40w60.003 433.00 0.07 433.00 0.07

n40w60.004 427.00 0.10 427.89 0.10

n40w60.005 387.00 0.09 387.00 0.09

n40w80.001 435.00 0.12 435.00 0.12

n40w80.002 447.00 0.10 447.00 0.10

n40w80.003 432.00 0.11 432.30 0.11

n40w80.004 430.00 0.07 430.00 0.07

n40w80.005 401.00 0.18 401.00 0.18

n40w100.001 446.00 0.05 446.00 0.05

n40w100.002 411.00 0.09 411.00 0.09

n40w100.003 399.00 0.13 399.00 0.13

n40w100.004 447.00 0.06 447.00 0.06

n40w100.005 408.00 0.11 408.00 0.11

ORT.

0.09

0.08



Ortalama DPS oranlar asndan DTM ve ATM arasnda anlaml bir farklln olup

olmadn aratrmak amacyla istastiksel analiz yaplmtr. Kk boyutlu

problemlerde olduu gibi ncelikle sapma oranlarnn varyanslarnn eit olup

olmadn aratrmak iin varyans testi, ardndan kan sonuca gre iki modelin

ortalama sapma oranlar iin t testi yaplmtr. Varyans testi iin kurulan hipotezler

ve MINITAB sonular aada verilmektedir:

44

Test for Equal Variances: DTM versus ATM

95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations

F-Test (normal distribution)


Levene's Test (any continuous distribution)


Test for Equal Variances for DTM; ATM

Test sonucuna gre dr. %95 gven aralnda

olduu iin reddedilemez. Dolaysyla alnan rneklemlere dayanarak DTM ve

ATMnin sapma oranlarnn (DPS) varyanslar arasnda anlaml bir farkllk yoktur.

Bu nedenle heriki modelin iin varyanslar eittir.

ki rneklemin varyanslarnn eit olduu varsaym altnda, DTM ve ATMnin

ortalama DPS oranlar arasndaki fark iin t testine ilikin hipotez testi ve sonular

aada verilmektedir:

Two-Sample T-Test and CI: DTM; ATM

Two-sample T for DTM vs ATM

N Mean StDev SE Mean

DTM 25 0,0936 0,0272 0,0054

ATM 25 0,0832 0,0346 0,0069

Difference = mu (DTM) - mu (ATM)

Estimate for difference: 0,010400

95% CI for difference: (-0,007335; 0,028135)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 1,18

P-Value = 0,244 DF = 45

Grld gibi dir. olduundan

reddedilemez. Dolaysyla, %95 gven aralnda alnan rneklemlere dayanarak

ortalama DPS oranlar asndan DTM ve ATM arasnda anlaml bir farkllk yoktur.

45

Gerek 20 dml problemlerde, gerekse de 40 dml problemler iin eniyi

zme ulalan problem says ve ortalama zm sresi asndan DTMnin

daha iyi bir performansa sahip olduunu gstermektedir. Kk ve orta boyutlu

test problemleri zerinde yaplan bu saysal analiz sonularna gre, dikkate

alnan performans ltleri (eniyi zm bulma, zm sresi ve DPG deerleri)

asndan DTMnin ATMye gre daha iyi bir performans sergiledii grlmtr.

Sonu olarak, simetrik bir ZPGSP dorudan bir matematiksel model ile zlmek

istendiinde tez kapsamnda gelitirilen DTM nerilir. Bu nedenle, bir sonraki

aamada DTMnin performans kaynaklarda nerilen GL modeli ile karlatrmal

olarak incelenecektir.

5.4. DTMnin Kaynaklardaki Model ile Karlatrlmas

Bir nceki blmde olduu gibi DTM ve GL modeli iin saysal analiz sonular,

kk ve orta boyutlu problemler iin verilecektir.

Kk Boyutlu Test Problemleri in Karlatrma

izelge 5.5te DTM ve GL modelinin 20 dml problemler iin eniyi zme

ulama zamanlar verilmektedir. Grld gibi her iki model de, tm test

problemleri iin eniyi zm 7200 saniye snr iinde bulmutur. n20w60.004

problemi dndaki tm problemler iin DTM eniyi zme GL modelinden daha

ksa srede ulamtr. DTM iin ortalama zm sresi 2.27 saniye iken, bu sre

GL modeli iin 10.39 saniyedir. Dolaysyla, DTM zm sresi asndan GL

modeline gre ok daha iyi bir performans sergilemektedir.

46


PRB. DTM GL

S S

n20w20.001 0.16 0.47

n20w20.002 0.08 0.81

n20w20.003 0.06 0.76

n20w20.004 0.08 0.59

n20w20.005 0.05 0.22

n20w40.001 0.89 2.81

n20w40.002 0.11 0.40

n20w40.003 0.16 2.03

n20w40.004 0.17 1.89

n20w40.005 0.23 5.47

n20w60.001 1.00 15.10

n20w60.002 0.41 5.77

n20w60.003 0.23 1.75

n20w60.004 1.59 0.84

n20w60.005 1.59 8.02

n20w80.001 0.86 9.69

n20w80.002 0.72 3.53

n20w80.003 0.42 2.20

n20w80.004 6.43 15.58

n20w80.005 19.27 84.60

n20w100.001 3.60 27.05

n20w100.002 6.22 34.24

n20w100.003 3.88 19.66

n20w100.004 4.38 7.24

n20w100.005 4.23 8.92

ORT. 2.27 10.39

S : zm sresi (sn)

DTM ve GL modeli, DPG deeri ve DPS oran asndan da karlatrlmtr.

izelge 5.6da her iki model iin elde edilen DPG deerleri ve DPS oranlar

verilmektedir. izelgeden grld gibi, tm problemler iin DTM ile elde edilen

DPG deerleri, GL modeli ile elde edilen deerlerden daha iyidir. DPS oranlarna

incelendiinde ise, doal olarak tm problemlerde DTMnin DPS oranlar GL

modeli ile elde edilen DPS oranlarndan daha kktr. Ortalama DPS oran DTM

iin 0.13 iken, GL modeli iin 0.55dir. Bu sonular, kk boyutlu ZPGSPnin

zm iin DTMnin GL modeline tercih edilebileceini gstermektedir.

47


PRB. DTM GL

DPG DPS DPG DPS

n20w20.001 354.00 0.09 197.38 0.49

n20w20.002 291.00 0.02 166.90 0.44

n20w20.003 351.00 0.13 199.73 0.50

n20w20.004 369.00 0.08 177.94 0.56

n20w20.005 306.00 0.16 159.80 0.56

n20w40.001 244.00 0.13 134.70 0.52

n20w40.002 331.00 0.07 171.93 0.52

n20w40.003 300.00 0.15 155.85 0.56

n20w40.004 317.00 0.20 150.26 0.62

n20w40.005 305.00 0.06 142.21 0.56

n20w60.001 322.00 0.20 126.35 0.68

n20w60.002 251.00 0.16 145.10 0.52

n20w60.003 323.00 0.15 160.98 0.58

n20w60.004 305.00 0.09 125.31 0.63

n20w60.005 332.00 0.15 147.19 0.62

n20w80.001 352.00 0.13 150.70 0.63

n20w80.002 345.00 0.13 137.84 0.65

n20w80.003 308.00 0.16 159.59 0.56

n20w80.004 275.00 0.20 160.07 0.54

n20w80.005 283.00 0.08 132.28 0.57

n20w100.001 270.00 0.13 154.92 0.50

n20w100.002 247.00 0.13 164.47 0.42

n20w100.003 303.00 0.15 140.29 0.61

n20w100.004 320.00 0.16 185.20 0.51

n20w100.005 285.00 0.13 186.08 0.43

ORT.

0.13

0.55



Orta Boyutlu Test Problemleri in Karlatrma

Orta boyutlu test problemleri iin her iki model, ncelikle eniyi zm bulma ve

zm sresi asndan karlatrlmtr. Bu aamada her iki model iin zm

sresi 7200 saniye ile snrlandrlmtr. izelge 5.7 de DTM ve GL modeli iin,

eniyi zm ( stunu) ve zm sresi (S stunu) verilmektedir. izelgede,

7200 saniyede ilgili model ile eniyi zme ulalamayan problemler iin stunu

bo braklmtr. izelgeden grld gibi, koyu yazlm 5 problemin

(n40w60.002, n40w60.003, n40w80.001, n40w80.002, n40w100.003) haricindeki

48


PRB. DTM GL

S S

n40w20.001 520 4.20 520 8.99

n40w20.002 607 0.42 607 22.62

n40w20.003 514 1.54 514 8.75

n40w20.004 442 2.56 442 1.25

n40w20.005 520 0.56 520 2.12

n40w40.001 510 8.42 510 67.95

n40w40.002 519 606.58 519 645.31

n40w40.003 536 1.08 536 46.08

n40w40.004 508 7.21 508 311.94

n40w40.005 488 6.57 488 314.17

n40w60.001 535 81.53 535 1059.39

n40w60.002 509 1041.38 509 164.24

n40w60.003 464 1438.50 465 148.59

n40w60.004 475 24.94 475 977.46

n40w60.005 423 30.70 423 429.32

n40w80.001 497 2048.39 497 887.58

n40w80.002 498 7200.00 498 4752.34

n40w80.003 488 796.42 488 5385.64

n40w80.004 462 746.28 462 2708.50

n40w80.005 488 247.07 488 2061.85

n40w100.001 - 7200.00 - 7200.00

n40w100.002 421 1608.95 452 4962.83

n40w100.003 458 3838.19 458 2150.68

n40w100.004 476 1747.73 476 6617.95

n40w100.005 458 43.20 458 481.93

ORT.

1149.30

1656.70

: eniyi zmn veya eldeki zmn ama fonksiyonu deeri

S : zm sresi (sn)

dier problemler iin DTM, GL modelinden daha ksa srede zme ulamtr.

Her iki modelde n40w100.001 problemine 7200 saniye zaman snr iinde uygun

bir zm bulamamtr. 40 dml 25 simetrik test problemi iin ortalama zm

sresi DTM iin 1149.30 saniye iken, GL modeli iin 1656.70 saniyedir. Eniyi

zmlere ulama sresi asndan modellerin performanslar srasyla, %84 ve

%77 olmutur. Dolaysyla zm sresi asndan 40 dml problemler iin de

DTM, GL modelinden ok daha iyi bir performans sergilemitir.

49

Son olarak, DTM ve GL modeli DPG deeri ve DPS oran asndan

karlatrlmtr. izelge 5.8de her iki model iin DPG deerleri ve DPS oranlar

verilmektedir. izelge incelendiinde, tm problemler iin DTMnin DPG deerleri,

GL modelinin DPG deerlerinden daha iyidir. Dolaysyla, DTM daha kk DPS

oranlarna sahiptir. Ortalama DPS oran DTM iin 0.09 iken, GL modeli iin

0.58 dir.


PRB. DTM GL

DPG DPS DPG DPS

n40w20.001 484.00 0.07 194.31 0.63

n40w20.002 550.00 0.09 190.49 0.69

n40w20.003 479.00 0.07 252.15 0.51

n40w20.004 408.00 0.08 190.89 0.57

n40w20.005 461.00 0.11 216.32 0.58

n40w40.001 462.00 0.09 210.22 0.59

n40w40.002 479.00 0.08 196.32 0.62

n40w40.003 478.00 0.11 207.78 0.61

n40w40.004 462.00 0.09 185.57 0.63

n40w40.005 452.00 0.07 215.69 0.56

n40w60.001 491.00 0.08 204.08 0.62

n40w60.002 446.00 0.12 247.71 0.51

n40w60.003 433.00 0.07 187.87 0.60

n40w60.004 427.00 0.10 180.14 0.62

n40w60.005 387.00 0.09 185.58 0.56

n40w80.001 435.00 0.12 234.92 0.53

n40w80.002 447.00 0.10 207.73 0.58

n40w80.003 432.00 0.11 217.96 0.55

n40w80.004 430.00 0.07 207.01 0.55

n40w80.005 401.00 0.18 192.11 0.61

n40w100.001 446.00 0.05 208.34 0.56

n40w100.002 411.00 0.09 216.10 0.52

n40w100.003 399.00 0.13 172.96 0.62

n40w100.004 447.00 0.06 206.92 0.57

n40w100.005 408.00 0.11 178.82 0.61

ORT.

0.09

0.58



50

Tm analizler, DTMnin hem bu tez kapsamnda gelitirilen ATMden hem de

literatrde nerilen GL modelinden zm sresi, DPG deeri ve DPS oran

asndan daha iyi bir performansa sahip olduunu gstermektedir. Bu nedenle,

ZPGSP nin dorudan bir model kullanlarak zlmek istenmesi halinde, DTM

kullanlr.

51

6. SONU ve NERLER

Son yllarda iletmelerin, rnlerinin ksa yaam evrimleri ve tam zamannda

retim gibi yeni eilimlere dayal olarak etkin ve zamannda servis verebilmeye

almas ve bunun n plana kmasna istinaden kaynaklarda ZPGSP olarak

bilinen problemin nemi artmtr. Var olan almalar iinde, zaman

pencerelerinden dolay gezginin (aralarn) ilgili ehirde bekleme srelerini dikkate

alan ok az sayda alma olduu grlmtr. Bu almada, beklemelerin de

gz nne alnd ZPGSPnin dorudan zm iin polinom byklkte karar

deikeni ve kst ieren dm tabanl ve ayrt tabanl tamsayl dorusal karar

modelleri gelitirilmitir. nerilen modellerin en nemli katks, herhangi bir ek

ileme gerek kalmakszn modelin zmnde beklemelerin grlebilmesi ve

beklemelerin dikkate alnd ZPGSPde ziyaret edilen ehirlerde bekleme ve

ayrtlarda geen srelerin toplamn enkkleyen rotann bulunmasdr.

nerilen modeller, kaynaklarda yer alan simetrik test problemleri zerinde zm

sresi ve dorusal programlama gevetme deerleri ynyle saysal analizlere

tabi tutulmutur.

Yaplan analizler sonucunda 20 ve 40 dml simetrik test problemlerinde DTM,

zm sresi ynyle ATM ve GL modelinden daha ksa srelerde zm elde

edebilmitir. Ayn ekilde DTM, 20 ve 40 dml simetrik test problemlerinde

DPG ve DPS deerleri ynyle de ATM ve GL modellerine gre stnlk

salamtr. Sonu olarak bu almada gelitirilen DTM, ZPGSPnin dorudan bir

paket program kullanlarak ile zm iin nerilir.

Yaplan bu almada gelitirilen matematiksel modellerin, ZPGSPnin zmyle

ilgili yntemler gelitirirken aratrmaclara fikir verebilecei ve sonularn

karlatrlmas asndan faydal olabilecei dnlmektedir. Bununla birlikte,

yeni modeller ok gezginli ZPGSPye kolaylkla uyarlanabildiinden, ZPARP iin

de bir altyap oluturmaktadr.

Yeni gelitirilen modeller, modellerde ortaya kacak herhangi bir ek ksta kar

olduka esnektir. Bu tez kapsamnda gz nne alnmayan servis sreleri, her

dm iin hizmete en ge balama anlar , ilgili dmlerin servis sreleri

kadar aa ekilerek modellerin yapsnda hibir deiiklik yapmadan modellere

52

kolaylkla uyarlanabilir. Yan sra bu modellerle asimetrik ve / veya daha byk

boyutlu problemler zerinde de performans analizleri yaplabilir.

53

KAYNAKLAR LSTES

ASCHEUER, N., FISCHETTI, M., and GRTSCHEL, M., A polyhedral study of the

asymmetric travelling salesman problem with time windows, Networks, vol.36,

no.2, pp.69-79, 2000.

ASCHEUER, N., FISCHETTI, M., and GRTSCHEL, M., Solving the asymmetric

travelling salesman problem with time windows by branch-and-cut, Mathematical

Programming, Ser. A, vol.90, pp.475-506, 2001.

BAKER, E. K., An exact algorithm for the time constrained travelling

salesman problem, Operations Research, vol.31, no.5, pp.938-945, 1983.

BLANTON, J., and WAINWRIGHT, R., Multiple vehicle routing with time and

capacity constraints using genetic algorithms, In Proceedings of the 5th

International Conference on Genetic Algorithms, pp.452-459, San Francisco, CA,

USA, Morgan Kaufmann Publishers Inc., 1993.

CARLTON, W.B., BARNES, J.W., Solving the traveling salesman problem with

time windows using tabu search, IIE Transactions, vol.28, no.8, pp.617-629, 1996.

CHRISTOFIDES, N., MINGOZZI, A., and TOTH, P., State-space relaxation

procedures for the computation of bounds to routing problems, Networks, vol.11,

pp.145-164, 1981.

DANTZIG, G.B., FULKERSON, D.R., JOHNSON, S.M., Solution of a large-scale

traveling salesman problem, Operations Research, vol.2, pp.393-410, 1954.

DASH, S., GUNLUK, O., LODI, A., TRAMONTANI, A., A time bucket formulation

for the TSP with time windows, INFORMS Journal on Computing DOI

10.1287/ijoc.1100.0432, 2009.

DESROCHERS, M., DESROSIERS, J., and SOLOMON, M., A new optimization

algorithm for the vehicle routing problem with time windows, Operations Research,

vol.40, no.2, pp.342-354, 1992.

54

DESROSIERS, J., SAUVE, M., and SOUMIS, F., Lagrangian relaxation methods

for solving the minimum fleet size multiple travelling salesman problem with time

windows, Management Science, vol.34, no.8, 1988.

DESROSIERS, J., DUMAS, Y., SOLOMON, M., and SOUMIS, F., Time

constrained routing and scheduling, in Network Routing, BALL, M.O., et al. (eds.),

Elsevier, Amsterdam, vol.8, pp.35-139, 1995.

DUMAS, Y., DESROSIERS, J., GELINAS, E., and SOLOMON, M., An optimal

algorithm for the travelling salesman problem with time windows, Operations

Research, vol.43, no.2, pp.367-371, 1995.

FAVARETTO, D., MORETTI, E., and PELLEGRINI, P., An ant colony system

approach for variants of the travelling salesman problem with time windows,

Journal of Information & Optimization Sciences, vol.27, no.1, pp.35-54, 2006.

FINKE, G., CLAUS, A., and GUNN, E., A two-commodity network flow approach to

the traveling salesman problem, Congress. Numerantium, vol.41,

pp.167-178, 1984.

GAVISH, B., GRAVES, S.C., The traveling salesman problem and related

problems, Working Paper, 7905, University of Rochester, New York, 1979.

GENDREAU, M., HERTZ, A., LAPORTE, M., A generalized insertion heuristic for

the travelling salesman problem with time windows. Operations Research, vol.46,

pp.330-335, 1998.

HONG, S.C., and PARK, Y.B., A heuristic for bi-objective vehicle routing with time

window constraints, Internat J. Production Econom, vol.62, pp.249-258, 1999.

MILLER, C., TUCKER, A., and ZEMLIN, R., Integer programming formulations and

travelling salesman problems, J.A.C.M., vol.7, pp.326-329, 1960.

55

LANGEVIN, A., DESROCHERS, M., DESROSIERS, J., et al, A two-commodity

flow formulation for the travelling salesman and the makespan problems with time

windows, Networks, vol.23, pp.631-640, 1993.

LI, Haibing, and LIM, Andrew, Local search with annealing-like restarts to solve

the VRPTW, European Journal of Operational Research, vol.150,

pp.115-127, 2003.

OHLMANN, J.W, THOMAS, B.W., A compressed-annealing heuristic for the

travelling salesman problem with time windows, INFORMS Journal on Computing,

vol.19, no.1, pp.80-90, 2007.

POTVIN, J.Y., and BENGIO, S., The vehicle routing problem with time windows-

Part II: Genetic Search, INFORMS Journal on Computing, vol.8, no.2, 1996.

SAVELSBERGH, M., Local search in routing problems with time windows,

Operations Research, vol.4, pp.285-305, 1985.

SCHMITT, L.J., An empirical study computational study of genetic algorithms to

solve order problems: an emphasis on TSP and VRPTC, PhD dissertation,

University of Memphis, 1994.

SILVA, R.F., and URRUTIA, S., A general VNS heuristic for the travelling

salesman problem with time windows, Discrete Optimization, vol.7, no.4,

pp.203-211, 2010.

SOUMIS, F., DESAULNIERS, G., LAVIGNE, J., Multi-depot vehicle scheduling

problems with time windows and waiting costs, EJOR, vol.111, pp.479-494, 1998.

05ada38a1593469fb04ac3e866fa4b64

Documents