Capıtulo 6: Compacidad

Leccion 5 : Compacidad y sucesiones

Historicamente la primera nocion de “compacidad” fue dada en terminosde la convergencia de sucesiones. Esta propiedad no implica ni es implicadapor la nocion de compacidad que hemos definido en terminos de cubrimientosabiertos. Tambien veremos que esta nocion de compacidad es mas fuerte que lacompacidad contable, pero resultan ser equivalentes en la clase de los espacios1-contable.

6.22. Definicion. Un espacio topologico (X,G) se dice compacto porsucesiones, sii, cada sucesion en X tiene una subsucesion convergente.

6.23. Ejemplo. Sean (X,G) un espacio topologico y A ⊂ X con A finito.Entonces A es compacto por sucesiones

6.24. Ejemplo. ((0, 1), usual) no es compacto por sucesiones. Tampocolo es el espacio (R, coenumerables) pues por ejemplo la sucesion (xn) = N noadmite ninguna subsucesion convergente.

Los conceptos de compacto y compacto por sucesiones no son equivalentes.En general existen espacios compactos que no son compactos por sucesiones yvisceversa, aunque como veremos en unas lineas adelante, los ejemplos son masbien esotericos. Claro esta que en el contexto de los espacios metricos todo esequivalente como veremos en la siguiente seccion. La compacidad por sucesiones

es respetada por la continuidad, de aquı que sea un invariante topologico.

6.25. Proposicion. Sea f : (X,G) −→ (Y,H) una funcion continua ysobre. Si X es compacto por sucesiones, tambien lo es Y .

Demostracion. Sea (y1, y2, . . .) una sucesion en f(X). Definimos (x1, x2, . . .)en X como f(xi) = yi, (i ∈ N). Como X es compacto por sucesiones, existe unasubsucesion (xnk

) y x0 ∈ X tal que xnk→ x0. Por ser f continua, en particular

es secuencialmente continua con lo que (f(xn1), . . .) = (yn1 , . . .) → f(x0) y portanto f(X) es compacto por sucesiones.

Una forma de compacidad mas debil que la compacidad usual y la compaci-dad por sucesiones es exigir tan solo que: los cubrimientos abiertos que debentener subcubrimientos finitos sean los cubrimientos contables. Sin embargo, lacompacidad contable posee muchas de las propiedades topologicas que poseela compacidad, mas aun, en el contexto de los espacios metrizables o aun enespacios de Lindelof. ellos son equivalentes.

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6.26. Definicion. Un espacio topologico (X,G) se dice contablementecompacto, sii, cada cubrimiento abierto contable de X admite un subcubrimientofinito.Aunque a primera vista no sea obvio, ya veremos que esta definicion es motivadapor la clasica propiedad de Bolzano-Weierstrass en R: Cada subconjunto infinitoy acotado de R tiene un punto de acumulacion.

La diferencia entre compacidad secuencial y compacidad contable es tan finaque practicamente se necesita la opinion de un experto. Veamos la implicacionde una de ellas sobre la otra y posteriormente en 6.28 un refinado contraejemplopara la otra implicacion.

6.27. Teorema. Sea (X,G) un espacio topologico compacto por sucesiones.Entonces X es contablemente compacto.

Demostracion. Si X no es contablemente compacto, existe un cubrimientoabierto U = {U1, U2, . . .} con la propiedad que, para cada n ∈ N , existe xn ∈(⋃n

i=1 Ui)c. Sea (xnk

) una subsucesion convergente de (xn) y sea x el puntode convergencia. Tomemos Uj ∈ U tal que x ∈ Uj . Para m > j sabemos quexm ∈ ⋂m

i=1 U ci luego xm ∈ U c

j . Ası que, para todos los elementos xnk, con

nk > j se tiene xnk/∈ Uj , lo cual contradice la convergencia de la subsucesion.

6.28. Ejemplo. Este es un espacio que es compacto y contablementecompacto, pero no es compacto por sucesiones. Sea

X = II =∏

i∈I

Ii , Ii = [0, 1].

Podemos ver a X como el conjunto de todas las funciones de I en I. X escompacto y Hausdorff , ya que ası lo es I.

Veamos que X no es 1-contable. Dado y ∈ X, supongamos que tenemosuna base local contable {B1, B2, . . .} en el punto y. Como cada Bm es unabierto, pi(Bm) = I excepto para un numero finito de ındices i ∈ I, digamosim1 , . . . , imk

; cuando m varıa en los enteros positivos, obtenemos una coleccionenumerable de conjuntos enumerables de numeros, y como I no es enumerable,existe io tal que pio

(Bm) = I para todo m. Ası pues, si U es una vecindad abiertade yio

–la coordenada io de y– con U �= I, p−1io

(U) es una vecindad abierta dey, la cual no puede contener a ningun Bm puesto que en la coordenada io, Bm

tiene a I mientras que p−1io

(U) tiene a U .Veamos finalmente que I no es compacto por sucesiones. Para esto definimos

una sucesion de funciones (αn) con αn ∈ X de la siguiente manera: Dado x ∈ I,αn(x) es el n-esimo dıgito en la expansion binaria de x. Veamos que (αn) notiene ninguna subsucesion convergente. Si αnk

es una subsucesion que convergeal punto α ∈ X, entonces para cada x ∈ I, αnk

(x) → α(x) –la convergencia enX es puntual y esto en general se tiene para la topologıa producto, razon por lacual es conocida como la topologıa de la convergencia puntual, o punto-abiertaen cuanto a espacios de funciones se refiere –. Sea t ∈ I, con la propiedadque αnk

(t) = 0 si nk es impar, αnk(t) = 1 si nk es par. Entonces la sucesion

(αnk(t)) = {0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .} no puede converger.

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6.29. Ejemplo. (R, cofinitos) es contablemente compacto y ademas com-pacto por sucesiones.

El siguiente ejemplo, muestra que la propiedad de ser contablemente com-pacto no se hereda a los subespacios.

6.30. Ejemplo. [0, 1] con la topologıa usual es compacto; luego en par-ticular es contablemente compacto. Pero (0, 1) ⊂ [0, 1] no es contablementecompacto, ya que, el cubrimiento abierto {(0, 1 − 1/2n)}, (n ∈ N) no admitealgun subcubrimiento finito.

En el caso que el subespacio sea cerrado, el lector debe verificar que lapropiedad sı se hereda. Tambien se debe mostrar que ser contablemente com-pacto es un invariante por medio de las funciones continuas.

Con el siguiente concepto, obtenemos una forma equivalente a la definicionde compacidad contable.

6.31. Definicion. Sean (X,G) un espacio topologico y (xn) una sucesionen X. Decimos que x ∈ X es un punto de clausura o de acumulacion de lasucesion (xn), (n ∈ N), sii, dada cualquier Vx y cualquier N ∈ N , tenemos queVx ∩{xn | n > N} �=. En otras palabras, cualquier vecindad de x tiene infinitosterminos de la sucesion.

6.32. Nota. Si una sucesion (xn) tiene una subsucesion convergente, entoncesposee un punto de clausura. Pero el hecho de que la sucesion posea un puntode clausura, no significa que posea una subsucesion convergente. Por ejemploel espacio X = (N × N) ∪ {(0, 0)} de Arens-Fort, posee una sucesion que tieneun punto de clausura y no tiene una subsucesion convergente. Observemosque el conjunto X/{(0, 0)} es enumerable y por tanto existe una biyeccion f :N −→ X/{(0, 0)}. Claramente f es una sucesion que tiene a (0, 0) como puntode clausura ya que toda vecindad de este punto tiene infinitos terminos de lasucesion, pero ninguna subsucesion es convergente a (0, 0) pues ya hemos vistoque este espacio es de convergencia trivial.

Por supuesto que en los espacios metricos no tendrıamos este problema. Masaun en los espacios 1-contables tampoco lo tenemos, pues si x es un punto deacumulacion de (xn) y {B1, B2, . . .} es una base local encajada para x, por cadak ∈ N podemos encontrar nk ≥ k tal que xnk

∈ Bk. Entonces la subsucesionxnk

→ x.

6.33. Ejemplo. Dados (X,G) un espacio topologico y una sucesion (xn)en X, un punto x es un punto de clausura para la sucesion, sii, x es adherenteal filtro asociado a la sucesion.

6.34. Ejemplo. En (R, usual), el 0 es un punto de clausura para la sucesion{0, 1, 0, 1 . . .}.

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6.35. Teorema. (X,G) es un espacio contablemente compacto, sii, cadasucesion tiene un punto de clausura en X.

Demostracion. Sea (xn) una sucesion en X que no tiene un punto declausura, es decir para cada x ∈ X, existen una vecindad abierta Wx y unN ∈ N , tales que, Wx ∩ {xN+1, xN+2, . . .} =. Por cada n ∈ N definimos

Un =⋃

{Wx | Wx ∩ {xn+1, xn+2, . . .} =, x ∈ X}.

Cada Un es un conjunto abierto y la coleccion {Un}, (n ∈ N) es un cubrim-iento abierto de X que no admite un subcubrimientro finito, o de lo contrarioexistirıan terminos de la sucesion no contenidos en la union; luego X no serıacontablemente compacto.

De otra parte si X no fuera contablemente compacto, existe {Un}, (n ∈ N)cubrimiento abierto contable que no admite un subcubrimiento finito. Por cadan ∈ N , el conjunto X/

⋃ni=1 Ui �=. Sea x1 ∈ X/U1. Definimos Un1 como el

primer Ui donde x1 esta. Ahora tomemos x2 ∈ X/⋃n1

i=1 Ui. Supongamos quexk ha sido escogido y xk ∈ Unk

; escogemos xk+1 ∈ X/⋃nk

i=1 Ui.Con estas definiciones, la sucesion (xk) de infinitos terminos diferentes, debe

poseer un punto x adherente a la sucesion y ademas x ∈ Un para algun n ∈ N .Pero si N ∈ N es suficientemente grande, digamos nN > n tenemos que xk /∈ Un

para k > N . Luego Un ∈ V(x) y contiene tan solo finitos terminos de la sucesion,es decir, x no es un punto de clausura.

La siguiente nocion de punto de ω-acumulacion para un conjunto A –unaclase particular de punto de acumulacion– fue introducida por Hausdorff.

6.36. Corolario. Un espacio (X,G) es contablemente compacto, sii, cada Asubconjunto infinito, tiene un punto a ∈ X de ω-acumulacion, en el sentido quetoda Va ∩ A es infinito.

Demostracion. Si A ⊂ X es infinito y no admite un punto de acumulacion,tomamos una sucesion (an) en A con terminos diferentes, y esta sucesion nopuede admitir un punto de clausura.En el otro sentido, aplicamos literalmenteel teorema anterior.

6.37. Ejemplo. En N consideremos la topologıa generada por la base

{{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, . . .}.En este espacio todo A ⊂ N posee un punto de acumulacion, pero por ejemplolos numeros pares no poseen un punto de ω-acumulacion. Note que este espaciono es compacto por sucesiones, ya que la sucesion (1, 2, 3, 4, . . .) no contieneninguna subsucesion convergente y tampoco admite un punto de clausura.

Este espacio no es contablemente compacto, pues la base misma es uncubrimiento abierto que no admite un subcubrimiento finito.

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6.38. Corolario. En un espacio 1-contable, los conceptos de compacidadcontable y compacidad secuencial coinciden.

Demostracion. Es dejada como ejercicio.

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