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T h r o u g h o u t t h i s w o r k , w e u s e j j t o d e n o t e t h e E u -
c l i d e a n n o r m f o r 2 R
n
, a n d , f o r ; 1 < a < b 1 ,
w e u s e k u k
( a b )
t o d e n o t e t h e L
m
1
n o r m o f u a s a f u n c -
t i o n d e n e d o n t h e i n t e r v a l ( a b ) . F o r a c l o s e d s u b s e t
A o f R
n
, w e u s e j j
A
t o d e n o t e t h e p o i n t - t o - s e t d i s t a n c e
f r o m t o A , t h a t i s ,
j j
A
= i n f f j ; j : 2 A g :
A n o n e m p t y s u b s e t A i s s a i d t o b e 0 - i n v a r i a n t f o r s y s -
t e m ( 1 ) i f e v e r y t r a j e c t o r y w i t h z e r o i n p u t s t a r t i n g f r o m
A i s d e n e d f o r a l l t t
0
a n d s t a y s i n A f o r a l l t t
0
.
T h a t i s , f o r t h e z e r o - i n p u t s y s t e m
_x ( t ) = f ( t x ( t ) 0 ) ( 2 )
i t h o l d s t h a t x ( t t
0
0 ) 2 A f o r a l l t t
0
w h e n e v e r
2 A .
A f u n c t i o n : R
0
! R
0
i s o f c l a s s K i f i t i s c o n -
t i n u o u s , p o s i t i v e d e n i t e , a n d s t r i c t l y i n c r e a s i n g , a n d
i s o f c l a s s K
1
i f i t i s a l s o u n b o u n d e d . A f u n c t i o n
: R
0
R
0
! R
0
i s s a i d t o b e o f c l a s s K L i f
f o r e a c h x e d t 0 , ( t ) i s o f c l a s s K , a n d f o r e a c h
x e d s 0 , ( s t ) d e c r e a s e s t o 0 a s t ! 1 .
D e n i t i o n 2 . 1 S u p p o s e t h a t s y s t e m ( 1 ) i s f o r w a r d
c o m p l e t e . T h e s y s t e m i s i n p u t - t o - s t a t e s t a b l e ( i s s ) w i t h
r e s p e c t t o a n o n e m p t y , c l o s e d 0 - i n v a r i a n t s e t A i f t h e r e
e x i s t 2 K L a n d 2 K s u c h t h a t , f o r e a c h i n i t i a l
t i m e t
0
, e a c h i n i t i a l s t a t e a n d e a c h i n p u t f u n c t i o n u ,
i t h o l d s t h a t
j x ( t t
0
u ) j
A
( j j
A
t ; t
0
) +
k u k
( t
0
1 )
( 3 )
f o r a l l t t
0
. I n t h e c a s e w h e n A = f 0 g , w e s i m p l y s a y
t h a t s u c h a s y s t e m i s i s s .
O b s e r v e t h a t i n t h e c a s e w h e n A i s c o m p a c t , t h e c o m -
p l e t e n e s s a s s u m p t i o n i s r e d u n d a n t i n t h e a b o v e d e n i -
t i o n .
A s i n t h e t i m e i n v a r i a n t c a s e , i f s y s t e m ( 1 ) i s i s s , t h e n
t h e c o r r e s p o n d i n g 0 - i n p u t s y s t e m ( 2 ) i s u n i f o r m l y g l o b -
a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e , t h a t i s , t h e r e e x i s t s s o m e
2 K L s u c h t h a t f o r e v e r y t r a j e c t o r y x ( t t
0
) o f s y s -
t e m ( 2 ) , i t h o l d s t h a t
j x ( t t
0
) j
A
( j j
A
t ; t
0
) 8 t 0 :
2 . 1 I S S - L y a p u n o v F u n c t i o n s
A s m o o t h f u n c t i o n V : R R
n
! R
0
i s a n i s s -
L y a p u n o v f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o a s e t A i f t h e r e e x i s t
K
1
- f u n c t i o n s
a n d a c o n t i n u o u s p o s i t i v e d e n i t e
f u n c t i o n s u c h t h a t
( j j
A
) V ( t ) ( j j
A
) 8 t 8 ( 4 )
a n d
j j
A
( j j ) = )
@ V
@ t
( t ) +
@ V
@
( t ) f ( t ) ; ( j j
A
) : ( 5 )
N o t e t h a t i t r e s u l t s i n a n e q u i v a l e n t d e n i t i o n i f o n e
r e q u i r e s t h a t t h e e s t i m a t e ( 5 ) h o l d s f o r s o m e 2 K
1
( i n c o n t r a s t t o r e q u i r i n g b e m e r e l y p o s i t i v e d e n i t e )
( c f . 1 3 , 1 2 ] ) .
I t w a s s h o w n i n 2 1 ] t h a t f o r a t i m e i n v a r i a n t s y s t e m _x =
f ( x u ) , t h e i s s p r o p e r t y i s e q u i v a l e n t t o t h e e x i s t e n c e
o f a n i s s - L y a p u n o v f u n c t i o n V w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f
t , a n d i n t h e c a s e w h e n A i s c o m p a c t , p r o p e r t y ( 5 ) i s
e q u i v a l e n t t o t h e e x i s t e n c e o f 2 K
1
a n d 2 K s u c h
t h a t
@ V
@
( ) f ( t ) ; ( j j
A
) + ( j j ) : ( 6 )
A n a t u r a l q u e s t i o n t o a s k i s i f t h i s e q u i v a l e n c e r e l a t i o n
s t i l l h o l d s f o r t i m e v a r y i n g s y s t e m s , t h a t i s , i f ( 5 ) i s
e q u i v a l e n t t o t h e e x i s t e n c e o f 2 K
1
a n d 2 K s u c h
t h a t
@ V
@ t
( t ) +
@ V
@
( t ) f ( t ) ; ( j j
A
) + ( j j ) : ( 7 )
T h e a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n i s i n g e n e r a l n o t t r u e f o r t h e
t i m e v a r y i n g c a s e e v e n w h e n A = f 0 g . A s a n e x a m p l e ,
c o n s i d e r t h e o n e - d i m e n s i o n a l s i n g l e i n p u t s y s t e m
_x ( t ) = ; x ( t ) + ( 1 + t ) q ( u ( t ) ; j x ( t ) j )
w h e r e q : R ! R i s a s m o o t h f u n c t i o n s a t i s f y i n g q ( r ) =
0 f o r a l l r 0 a n d q ( r ) > 0 f o r a l l r > 0 . L e t V ( ) =
2
.
I t i s n o t h a r d t o s e e t h a t
V ( ) j j
2
= )
@ V
@
( ) f ( t ) = ; 2 V ( ) :
Y e t V f a i l s t o s a t i s f y p r o p e r t y ( 7 ) .
T h e o r e m 1 A f o r w a r d c o m p l e t e t i m e v a r y i n g s y s -
t e m ( 1 ) i s i s s w i t h r e s p e c t t o A i f a n d o n l y i f i t a d m i t s
a s m o o t h i s s - L y a p u n o v f u n c t i o n V w i t h r e s p e c t t o A .
I n t h e c a s e w h e n A i s c o m p a c t , t h e c o m p l e t e n e s s a s -
s u m p t i o n i s r e d u n d a n t .
C o r o l l a r y 2 . 2 S u p p o s e 0 i s a n e q u i l i b r i u m f o r t h e 0 -
i n p u t s y s t e m ( 2 ) . T h e n s y s t e m ( 1 ) i s i s s i f a n d o n l y i f
i t a d m i t s a n i s s - L y a p u n o v f u n c t i o n . 2
2 . 2 S t a b i l i t y M a r g i n
C o n s i d e r s y s t e m ( 1 ) . A l o c a l l y L i p s c h i t z K
1
- f u n c t i o n
i s c a l l e d a K
1
- s t a b i l i t y m a r g i n f o r t h e s y s t e m w i t h
r e s p e c t t o A i f t h e s y s t e m
_x ( t ) = f ( t x ( t ) d ( t ) ( j x ( t ) j
A
) ) ( 8 )
i s u g a s f o r a l l m e a s u r a b l e f u n c t i o n s d : R ! B
0
, ( w h e r e
B
0
d e n o t e s t h e c l o s e d u n i t b a l l o f R
m
) , t h a t i s , f o r s o m e
2 K L , i t h o l d s t h a t
j x ( t t
0
d ) j
A
( j j
A
t ; t
0
) 8 t 0
f o r a l l t r a j e c t o r i e s o f s y s t e m ( 8 ) .
-
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3/6
P r o p o s i t i o n 2 . 3 A f o r w a r d c o m p l e t e t i m e v a r y i n g
s y s t e m i s i s s w i t h r e s p e c t t o A i f a n d o n l y i f i t a d m i t s
a K
1
- s t a b i l i t y m a r g i n w i t h r e s p e c t t o A . 2
C l e a r l y , w h e n t h e s e t A i s c o m p a c t , t h e c o m p l e t e n e s s
c o n d i t i o n i s r e d u n d a n t .
3 . R o b u s t U n i f o r m A s y m p t o t i c S t a b i l i t y
C o n s i d e r s y s t e m
_x ( t ) = f ( t x ( t ) d ( t ) ) ( 9 )
w h e r e d i s t u r b a n c e s , d e n o t e d b y d ( ) , a r e m e a s u r a b l e
f u n c t i o n s f r o m R t o f o r s o m e c o m p a c t s u b s e t o f
R
m
. W e a s s u m e t h a t f : R R
n
! R
n
i s c o n t i n u o u s ,
a n d f ( v ) : R R
n
i s l o c a l l y L i p s c h i t z u n i f o r m l y o n
v 2 .
L e t A b e a n o n e m p t y s u b s e t o f R
n
. W e s a y t h a t A i s
( f o r w a r d ) i n v a r i a n t i f x ( t t
0
d ) 2 A f o r a l l t t
0
a n d
a l l d w h e n e v e r 2 A .
W e s a y t h a t s u c h a s y s t e m i s u n i f o r m l y g l o b a l l y a s y m p -
t o t i c a l l y s t a b l e ( u g a s ) w i t h r e s p e c t t o a c l o s e d i n v a r i a n t
s e t A i f t h e r e e x i s t s s o m e 2 K L s u c h t h a t
j x ( t t
0
d ) j
A
( j j
A
t ; t
0
) 8 t t
0
( 1 0 )
f o r a l l t
0
, a l l a n d a l l d .
A s m o o t h f u n c t i o n V : R R
n
! R
0
i s c a l l e d a L y a -
p u n o v f u n c t i o n f o r ( 9 ) w i t h r e s p e c t t o A i f ( 4 ) h o l d s f o r
s o m e 2 K
1
, a n d
@ V
@ t
( t ) +
@ V
@
( t ) f ( t ) ; ( j j
A
) ( 1 1 )
h o l d s f o r s o m e 2 K
1
. I n t h e s p e c i a l c a s e w h e n t h e
s y s t e m i s d i s t u r b a n c e f r e e , i . e . , w h e n f i s i n d e p e n d e n t o f
d , t h e n o t a t i o n s u g a s a n d L y a p u n o v f u n c t i o n r e d u c e t o
t h e c o r r e s p o n d i n g n o t a t i o n s i n t h e c l a s s i c a l l i t e r a t u r e ,
s e e e . g . , 4 ] .
I t w a s s h o w n i n 1 3 ] u n d e r t h e b a c k w a r d c o m p l e t e n e s s
a s s u m p t i o n t h a t a t i m e i n v a r i a n t s y s t e m i s u g a s w i t h
r e s p e c t t o A i f a n d o n l y i f i t a d m i t s a s m o o t h L y a -
p u n o v f u n c t i o n V t h a t i s i n d e p e n d e n t o f t . T h i s r e s u l t
i s e n h a n c e d b y T h e o r e m 2 i n 2 3 ] s o t h a t t h e b a c k w a r d
c o m p l e t e n e s s a s s u m p t i o n i s n o t n e e d e d . B y a p p l y i n g
T h e o r e m 2 i n 2 3 ] t o t h e a u x i l i a r y s y s t e m
_x ( t ) = f ( ( t ) x ( t ) d ( t ) )
_
( t ) = 1 ( 1 2 )
o n e c a n d e r i v e t h e L y a p u n o v c h a r a c t e r i z a t i o n f o r u g a s
i n t h e t i m e v a r y i n g c a s e :
P r o p o s i t i o n 3 . 4 A f o r w a r d c o m p l e t e t i m e v a r y i n g
s y s t e m ( 9 ) i s u g a s w i t h r e s p e c t t o a c l o s e d i n v a r i a n t
s e t A i f a n d o n l y i f i t a d m i t s a L y a p u n o v f u n c t i o n w i t h
r e s p e c t t o A . 2
4 . P e r i o d i c S y s t e m s
I n t h i s s e c t i o n , w e c o n s i d e r t h e L y a p u n o v c h a r a c t e r i z a -
t i o n s o f u g a s a n d t h e i s s p r o p e r t i e s f o r p e r i o d i c t i m e
v a r y i n g s y s t e m s .
4 . 1 R o b u s t U n i f o r m A s y m p t o t i c S t a b i l i t y
C o n s i d e r a p e r i o d i c t i m e v a r y i n g s y s t e m u n d e r t h e e f -
f e c t o f d i s t u r b a n c e s , t h a t i s , a s y s t e m a s i n ( 9 ) , w h e r e
f ( t x d ) i s p e r i o d i c i n t w i t h s o m e p e r i o d T .
T h e o r e m 2 L e t ( 9 ) b e a f o r w a r d c o m p l e t e p e r i o d i c
s y s t e m . T h e n t h e s y s t e m i s u g a s w i t h r e s p e c t t o a
c l o s e d i n v a r i a n t s e t A i f a n d o n l y i f i t a d m i t s a L y a -
p u n o v f u n c t i o n V ( t x ) w i t h r e s p e c t t o A t h a t i s p e r i o d i c
i n t w i t h t h e s a m e p e r i o d T f o r f ( t x d ) .
O b s e r v e t h a t w h e n t h e s e t A i s c o m p a c t , e s p e c i a l l y
w h e n A = f 0 g , t h e c o m p l e t e n e s s a s s u m p t i o n i s r e d u n -
d a n t .
S k e t c h o f t h e P r o o f . T h e m a i n i d e a o f t h e p r o o f i s t o
r s t s h o w t h a t t h e m e t h o d u s e d i n 2 4 ] c a n l e a d t o
a L y a p u n o v f u n c t i o n w i t h t h e p e r i o d i c p r o p e r t y t h a t
i s l o c a l l y L i p s c h i t z o n A
c
1
, w h e r e A
1
= R A , a n d
c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e a n d t h e n b y a m o d i e d s m o o t h
a p p r o x i m a t i o n r e s u l t i n 1 3 ] , o n e c a n o b t a i n a s m o o t h
L y a p u n o v f u n c t i o n w i t h t h e p e r i o d i c p r o p e r t y . B e l o w
w e p r o v i d e m o r e d e t a i l s .
S u p p o s e t h a t f i s p e r i o d i c i n t w i t h p e r i o d T . B y t h e
u n i q u e n e s s p r o p e r t y , o n e s e e s t h a t
x ( t + ( T + t
0
) T + t
0
d ) = x ( t + t
0
t
0
d
T
) ( 1 3 )
h o l d s f o r a l l t t
0
2 R , a l l 2 R
n
a n d a l l d , w h e r e d
T
i s
t h e d i s t u r b a n c e f u n c t i o n d e n e d b y d
T
( t ) = d ( t ; T ) .
F o r t h e f u n c t i o n 2 K L , t h e r e e x i s t 2 K
1
s u c h
t h a t ( ( s r ) ) ( s ) e
; 2 r
( c f . 2 0 ] ) . D e n e
U ( ) = s u p
t 0 d
( j x ( t + d ) j
A
) e
t
: ( 1 4 )
B y ( 1 3 ) , t h e f u n c t i o n U ( ) i s p e r i o d i c i n w i t h p e -
r i o d T . I t c a n a l s o b e s e e n t h a t
( j j
A
) U ( ) ( j j
A
) : ( 1 5 )
B y P r o p o s i t i o n 5 i n 2 4 ] , t h e f u n c t i o n U i s l o c a l l y L i p s -
c h i t z o n A
c
1
, c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e , a n d f o r a l m o s t a l l
( t ) 62 A
1
,
@ U
@
( ) +
@ U
@
( ) f ( ) ; U ( ) : ( 1 6 )
T h u s , w e g e t t h e f o l l o w i n g :
L e m m a 4 . 5 T h e f u n c t i o n U d e n e d b y ( 1 4 ) i s l o c a l l y
L i p s c h i t z o n A
c
1
, c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e , p e r i o d i c i n
w i t h p e r i o d T , a n d s a t i s e s e s t i m a t e s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) . 2
B y t h e s m o o t h i n g a r g u m e n t u s e d a s i n t h e p r o o f o f
T h e o r e m 2 . 8 i n 1 3 ] t o g e t h e r w i t h t h e s m o o t h a p p r o x i -
m a t i o n r e s u l t T h e o r e m 5 p r o v i d e d i n t h e A p p e n d i x , o n e
c a n b u i l d a s m o o t h L y a p u n o v f u n c t i o n V ( t x ) w i t h r e -
s p e c t t o A t h a t i s p e r i o d i c i n t w i t h t h e p e r i o d T b y
a p p r o x i m a t i n g t h e f u n c t i o n U .
-
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4/6
-
7/28/2019 10.1.1.26.5140
5/6
5 . 1 P r o o f o f T h e o r e m 4
T o p r o v e T h e o r e m 4 , n o t e t h a t , b y l e t t i n g
i
= ( t
i
) ,
A
i
= f ( t
i
) :
i
= 0 g f o r i = 1 2 , p r o p e r t i e s ( 2 0 )
a n d ( 2 2 ) - ( 2 3 ) c a n b e r e - w r i t t e n a s
i
( j
i
j
A
i
) V
i
(
i
)
i
( j
i
j
A
i
)
a n d
V
1
(
1
) m a x f
1
( V
2
(
2
) )
1
( j
1
j ) g = )
@ V
1
@
1
(
1
)
f
1
(
1
2
1
) ;
1
( V
1
(
1
) )
V
2
(
2
) m a x f
2
( V
1
(
1
) )
2
( j
2
j ) g = )
@ V
2
@
2
(
2
)
f
2
(
2
1
2
) ;
2
( V
2
(
2
) )
w h e r e
f
1
(
1
2
) = ( 1 f
1
( t
1
2
)
T
)
T
,
f
2
(
2
1
) =
( 1 f
2
( t
2
1
)
T
)
T
. E v e n t h o u g h t h e p r o o f o f t h e s m a l l
g a i n t h e o r e m i n 7 ] w a s f o r t h e e q u i l i b r i u m c a s e , i t i s
a l s o v a l i d f o r t h e s e t c a s e w i t h o u t m u c h m o d i c a t i o n .
T h e m a i n i d e a i s t o r s t n d
1
2 K
1
s u c h t h a t
1
( r )
1
( r ) f o r a l l r 0 a n d
1
2
( r ) < r f o r a l l r > 0 .
( I f
1
2 K
1
, o n e m a y s i m p l y t a k e
1
=
1
. ) F o r t h e
d e t a i l e d c o n s t r u c t i o n o f s u c h
1
, s e e 7 ] . B y r e p l a c i n g
1
b y
1
i f n e c e s s a r y , o n e m a y a l w a y s a s s u m e t h a t
1
2
K
1
. A c c o r d i n g t o L e m m a A . 1 i n 7 ] , t h e r e e x i s t s a K
1
-
f u n c t i o n t h a t i s c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e i n ( 0 1 )
w i t h
0
( r ) > 0 f o r a l l r > 0 s u c h t h a t
2
( r ) < ( r ) <
; 1
1
( r ) 8 r > 0 :
W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , o n e m a y a s s u m e t h a t i s
l o c a l l y L i p s c h i t z o n 0 1 ) . D e n e
V ( t
1
2
) = m a x f ( V
1
(
1
) ) V
2
(
2
) g : ( 2 6 )
B y f o l l o w i n g t h e s a m e s t e p s a s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m
3 . 1 o f 7 ] , o n e c a n s h o w t h a t V i s a n i s s L y a p u n o v
f u n c t i o n f o r t h e i n t e r - c o n n e c t e d s y s t e m ( 1 8 ) - ( 1 9 ) t h a t
i s l o c a l l y L i p s c h i t z o n f ( t
1
2
) : (
1
2
) 6= 0 g . W i t h
s u c h a L y a p u n o v f u n c t i o n , i t c a n b e s h o w n b y s t a n d a r d
m e t h o d s t h a t t h e i n t e r - c o n n e c t e d s y s t e m i s i s s .
O n t h e o t h e r h a n d , b y a p p l y i n g t h e s m o o t h i n g a r g u -
m e n t a s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 . 8 i n 1 3 ] , o n e c a n
o b t a i n a s m o o t h i s s - L y a p u n o v f u n c t i o n W . S e e a l s o
t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . 1 i n 7 ] .
W e a g a i n r e m a r k t h a t i n t h e c a s e w h e n t h e s m o o t h c o n -
d i t i o n i s n o t a c o n c e r n , t h e f u n c t i o n V d e n e d i n ( 2 6 )
c a n b e t a k e n a s a n i s s - L y a p u n o v f u n c t i o n . I n d e e d i n
m a n y s i t u a t i o n s , i t i s m u c h e a s i e r t o n d L y a p u n o v
f u n c t i o n s t h a t a r e m e r e l y l o c a l l y L i p s c h i t z t h a n t o n d
s m o o t h o n e s . Y e t a n y s u i t a b l y d e n e d L y a p u n o v f u n c -
t i o n c a n b e u s e d t o g u a r a n t e e t h e s t a b i l i t y p r o p e r t y .
F o r m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n s , s e e 1 8 ] .
A p p e n d i x . S m o o t h A p p r o x i m a t i o n s
I n t h i s w o r k , w e n e e d t o g e n e r a l i z e t h e s m o o t h a p p r o x i -
m a t i o n r e s u l t , T h e o r e m B . 1 i n 1 3 ] , s o t h a t t h e r e s u l t e d
s m o o t h f u n c t i o n s t i l l h a s t h e s a m e p e r i o d i c p r o p e r t y i f
t h e f u n c t i o n t o b e a p p r o x i m a t e d i s p e r i o d i c i n o n e o f
t h e v a r i a b l e s .
T h e o r e m 5 L e t O b e a n o p e n s u b s e t o f R
n
, a n d b e
a c o m p a c t s u b s e t o f R
m
, a n d a s s u m e g i v e n :
a l o c a l l y L i p s c h i t z f u n c t i o n : R O !
R ( ) 7! ( ) t h a t i s p e r i o d i c i n w i t h p e -
r i o d T
a c o n t i n u o u s m a p f : R O ( v ) 7!
f ( v ) , p e r i o d i c i n w i t h p e r i o d T , t h a t i s l o -
c a l l y L i p s c h i t z i n ( ) o n R
n
O , u n i f o r m l y i n
v 2
a c o n t i n u o u s f u n c t i o n s u c h t h a t f o r a l m o s t a l l
( ) 2 R
n + 1
,
@
@
( ) +
@
@
( ) f ( v ) ( ) ( 2 7 )
f o r e a c h v 2
t w o c o n t i n u o u s f u n c t i o n s : O ! R
> 0
.
T h e n t h e r e e x i s t s a s m o o t h f u n c t i o n : R O !
R ( ) 7! ( ) t h a t i s p e r i o d i c i n w i t h p e r i o d T ,
s u c h t h a t
j ( ) ; ( ) j < ( ) 8 2 O 8 2 R
a n d f o r e a c h ( ) 2 R O a n d v 2 , i t h o l d s t h a t
@
@
( ) +
@
@
( ) f ( v ) ( ) + ( ) :
T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m b a s i c a l l y f o l l o w s t h e s a m e i d e a
u s e d i n 1 3 ] . B u t c a r e s s h o u l d b e t a k e n t o e n s u r e t h e
p e r i o d i c p r o p e r t y f o r t h e r e s u l t e d s m o o t h f u n c t i o n .
L e t : R
n + 1
! R b e a s m o o t h n o n n e g a t i v e f u n c t i o n
w h i c h v a n i s h e s o u t s i d e o f t h e u n i t d i s k a n d s a t i s e s
Z
R
n + 1
( s ) d s = 1 :
W r i t e s = ( s
0
s
1
) w h e r e s
0
2 R , a n d s
1
2 R
n
. F o r a n y
m e a s u r a b l e , l o c a l l y e s s e n t i a l l y b o u n d e d f u n c t i o n a n d
a n y 2 ( 0 1 ] , d e n e t h e f u n c t i o n
b y c o n v o l u t i o n
w i t h
1
n + 1
( s = ) , t h a t i s
( ) =
Z
R
n + 1
( + s
0
+ s
1
) ( s
0
s
1
) d s : ( 2 8 )
O b s e r v e t h a t i f i s p e r i o d i c i n w i t h p e r i o d T , t h e n
h a s t h e s a m e p e r i o d i c p r o p e r t y . C o m b i n i n g t h i s
w i t h L e m m a s B . 5 o f 1 3 ] , w e h a v e :
L e m m a 5 . 8 F o r e a c h c o m p a c t s u b s e t K o f R O , a n d
f o r a n y " > 0 , t h e r e e x i s t s a s m o o t h f u n c t i o n
K
d e -
n e d o n K , p e r i o d i c i n w i t h p e r i o d T , s u c h t h a t
s u p
( ) 2 K v 2
L
f
v
(
K
) ( ) ( ) + "
w h e r e f o r a n y l o c a l l y L i p s c h i t z f u n c t i o n W a n d a n y
v 2 ,
L
f
v
W ( ) =
@ W
@
( ) +
@ W
@
( ) f ( v )
w h e n t h e r i g h t - h a n d s i d e i s d e n e d . 2
-
7/28/2019 10.1.1.26.5140
6/6
T o c o m p l e t e t h e p r o o f o f T h e o r e m 5 , w e f o l l o w t h e s a m e
i d e a o f \ p a t c h i n g b y t h e a r g u m e n t o f p a r t i t i o n o f u n i t y "
a s i n 1 3 ] . B u t w e n e e d t o m a k e s u r e t h a t t h e \ p a t c h -
i n g " f u n c t i o n s a g a i n h a v e t h e p e r i o d i c p r o p e r t y . F o r
t h e s a k e o f s i m p l i c i t y , w e a s s u m e t h a t T = 1 .
F i r s t , w e i d e n t i f y t h e i n t e r v a l ( ; 1 = 2 1 = 2 ] w i t h S
1
, t h e
u n i t c i r c l e i n R
2
. T h i s c a n b e d o n e b y c o n s i d e r i n g t h e
m a p : R ! S
1
d e n e d b y ( r ) = r i f r 2 ( ; 1 = 2 1 = 2 ] ,
a n d ( r
1
) = ( r ) i f r ; r
1
i s a n i n t e g e r . A n y m a p p i n g
W : R O ! R , ( ) 7! W ( ) c a n b e t r e a t e d a s
a f u n c t i o n W
1
d e n e d o n S
1
O . I n t h e c a s e w h e n
W i s p e r i o d i c i n w i t h p e r i o d 1 , t h e n W
1
h a s t h e
s a m e r e g u l a r i t y p r o p e r t y a s W d o e s , t h a t i s , W
1
2 C
k
( 0 k 1 ) i f W 2 C
k
.
S i n c e t h e t h e o r e m o f p a r t i t i o n o f u n i t ( c f . 2 6 , T h e o r e m
1 . 1 1 ] ) a l s o a p p l i e s t o S
1
O , t h e s a m e p r o o f t o w a r d t h e
e n d o f T h e o r e m B . 1 i n 1 3 ] c a n b e u s e d t o s h o w t h a t
t h e r e e x i s t s a s m o o t h f u n c t i o n
0
d e n e d o n S
1
O ,
s u c h t h a t
j ( ) ;
0
( ) j < ( ) 8 2 S
1
8 2 O
a n d f o r a n y v 2 ,
L
f
v
0
( ) ( ) + ( ) :
T o g e t a d e s i r e d f u n c t i o n d e n e d o n R O , w e l e t
( ) =
0
( ( ) ) . T h e n i s s m o o t h o n R O ,
a n d i s p e r i o d i c i n w i t h p e r i o d 1 .
F i n a l l y , w e r e m a r k t h a t t h e s t a t e m e n t o f T h e o r e m 5 i s
s t i l l t r u e i f t h e f u n c t i o n i n ( 2 7 ) d e p e n d s o n a l l t h e
t h r e e v a r i a b l e s : v a n d .
R e f e r e n c e s
1 ] P . D . C h r i s t o d e s a n d A . T e e l , S i n g u l a r p e r t u r -
b a t i o n s a n d i n p u t - t o - s t a t e s t a b i l i t y , I E E E T r a n s a c t i o n s
o n A u t o m a t i c C o n t r o l , 4 1 ( 1 9 9 6 ) , p p . 1 6 4 5 { 1 6 5 0 .
2 ] J . - M . C o r o n , L . P r a l y , a n d A . T e e l , F e e d b a c k s t a -
b i l i z a t i o n o f n o n l i n e a r s y s t e m s : s u c i e n t c o n d i t i o n s
a n d L y a p u n o v a n d i n p u t - o u t p u t t e c h n i q u e s , i n T r e n d s
i n C o n t r o l , A . I s i d o r i , e d . , S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 5 .
3 ] H . F e d e r e r , G e o m e t r i c M e a s u r e T h e o r y , S p r i n g e r -
V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 6 9 .
4 ] W . H a h n , S t a b i l i t y o f M o t i o n , S p r i n g e r - V e r l a g ,
B e r l i n , 1 9 6 7 .
5 ] B . I n g a l l s , E . D . S o n t a g , a n d Y . W a n g , R e -
m a r k s o n i n p u t t o o u t p u t s t a b i l i t y , i n P r o c . 3 8 t h I E E E
C o n f . D e c i s i o n a n d C o n t r o l , D e c e m b e r 1 9 9 9 .
6 ] Z . - P . J i a n g a n d I . M . Y . M a r e e l s , A n e w a p -
p r o a c h t o r o b u s t c o n t r o l o f t i m e - v a r y i n g n o n l i n e a r c a s -
c a d e d s y s t e m s w i t h d y n a m i c u n c e r t a i n t i e s . S u b m i t t e d .
7 ] Z . - P . J i a n g , I . M . Y . M a r e e l s , a n d Y . W a n g , A
L y a p u n o v f o r m u l a t i o n o f n o n l i n e a r s m a l l g a i n t h e o -
r e m f o r i n t e r c o n n e c t e d s y s t e m s , A u t o m a t i c a , 3 2 ( 1 9 9 6 ) ,
p p . 1 2 1 1 { 1 2 1 5 .
8 ] Z . - P . J i a n g , A . T e e l , a n d L . P r a l y , S m a l l - g a i n t h e -
o r e m f o r I S S s y s t e m s a n d a p p l i c a t i o n s , M a t h e m a t i c s o f
C o n t r o l , S i g n a l s , a n d S y s t e m s , 7 ( 1 9 9 4 ) , p p . 9 5 { 1 2 0 .
9 ] A . I s i d o r i , N o n l i n e a r C o n t r o l S y s t e m s I I ,
S p r i n g e r , L o n d o n , 1 9 9 9 .
1 0 ] M . K r s t i c , I . K a n e l l a k o p o u l o s , a n d P . V . K o k o -
t o v i c , N o n l i n e a r a n d A d a p t i v e C o n t r o l D e s i g n , J o h n
W i l e y & S o n s , N e w Y o r k , 1 9 9 5 .
1 1 ] M . K r s t i c a n d Z . L i , I n v e r s e o p t i m a l d e s i g n o f
i n p u t - t o - s t a t e s t a b i l i z i n g n o n l i n e a r c o n t r o l l e r s , I E E E
T r a n s . A u t o m a t i c C o n t r o l , 4 3 , p p . 3 3 6 - 3 5 0 , 1 9 9 8 .
1 2 ] Y . L i n , I n p u t - t o - s t a t e s t a b i l i t y w i t h r e s p e c t t o
n o n c o m p a c t s e t s , i n P r o c . 1 3 t h I F A C W o r l d C o n g r e s s ,
v o l . E , S a n F r a n c i s c o , J u l y 1 9 9 6 , I F A C P u b l i c a t i o n s ,
p p . 7 3 { 7 8 .
1 3 ] Y . L i n , E . D . S o n t a g , a n d Y . W a n g , A s m o o t h
c o n v e r s e L y a p u n o v t h e o r e m f o r r o b u s t s t a b i l i t y , S I A M
J o u r n a l o n C o n t r o l a n d O p t i m i z a t i o n , 3 4 ( 1 9 9 6 ) ,
p p . 1 2 4 { 1 6 0 .
1 4 ] I . M . Y . M a r e e l s a n d D . J . H i l l , M o n o t o n e s t a b i l i t y
o f n o n l i n e a r f e e d b a c k s y s t e m s , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l
S y s t e m s E s t i m a t i o n C o n t r o l , 2 ( 1 9 9 2 ) , p p . 2 7 5 { 2 9 1 .
1 5 ] J . L . M a s s e r a , C o n t r i b u t i o n s t o s t a b i l i t y t h e o r y ,
A n n a l s o f M a t h e m a t i c s , 6 4 ( 1 9 5 6 ) , p p . 1 8 2 { 2 0 6 .
1 6 ] L . P r a l y a n d Z . P . J i a n g , S t a b i l i z a t i o n b y o u t p u t
f e e d b a c k f o r s y s t e m s w i t h I S S i n v e r s e d y n a m i c s , S y s -
t e m s & C o n t r o l L e t t e r s , 2 1 , p p . 1 9 - 3 3 , 1 9 9 3 .
1 7 ] L . P r a l y a n d Y . W a n g , S t a b i l i z a t i o n i n s p i t e o f
m a t c h e d u n m o d e l l e d d y n a m i c s a n d a n e q u i v a l e n t d e n i -
t i o n o f i n p u t - t o - s t a t e s t a b i l i t y . M a t h e m a t i c s o f C o n t r o l ,
S i g n a l s , a n d S y s t e m s , 9 , p p . 1 - 3 3 , 1 9 9 6 .
1 8 ] L . R o s i e r a n d E . D . S o n t a g , R e m a r k s r e g a r d i n g
t h e g a p b e t w e e n c o n t i n u o u s , L i p s c h i t z , a n d d i e r e n -
t i a b l e s t o r a g e f u n c t i o n s f o r d i s s i p a t i o n i n e q u a l i t i e s a p -
p e a r i n g i n H - i n n i t y c o n t r o l . S u b m i t t e d .
1 9 ] E . D . S o n t a g , S m o o t h s t a b i l i z a t i o n i m p l i e s c o -
p r i m e f a c t o r i z a t i o n , I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c
C o n t r o l , A C - 3 4 ( 1 9 8 9 ) , p p . 4 3 5 { 4 4 3 .
2 0 ] , C o m m e n t s o n i n t e g r a l v a r i a n t s o f I S S , S y s -
t e m s & C o n t r o l L e t t e r s , 3 4 ( 1 9 9 8 ) , p p . 9 3 { 1 0 0 .
2 1 ] E . D . S o n t a g a n d Y . W a n g , O n c h a r a c t e r i z a t i o n s
o f t h e i n p u t - t o - s t a t e s t a b i l i t y p r o p e r t y , S y s t e m s & C o n -
t r o l L e t t e r s , 2 4 ( 1 9 9 5 ) , p p . 3 5 1 { 3 5 9 .
2 2 ] , N e w c h a r a c t e r i z a t i o n s o f t h e i n p u t t o s t a t e
s t a b i l i t y p r o p e r t y , I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c
C o n t r o l , 4 1 ( 1 9 9 6 ) , p p . 1 2 8 3 { 1 2 9 4 .
2 3 ] , L y a p u n o v c h a r a c t e r i z a t i o n s o f i n p u t t o o u t -
p u t s t a b i l i t y , S I A M J o u r n a l o n C o n t r o l a n d O p t i m i z a -
t i o n . T o a p p e a r .
2 4 ] A . T e e l a n d L . P r a l y , A s m o o t h L y a p u n o v f u n c -
t i o n f r o m a c l a s s - K L e s t i m a t e i n v o l v i n g t w o p o s i t i v e
s e m i d e n i t e f u n c t i o n s . S u b m i t t e d .
2 5 ] J . T s i n i a s , S u c i e n t L y a p u n o v l i k e c o n d i t i o n s f o r
s t a b i l i z a t i o n , M a t h e m a t i c s o f C o n t r o l , S i g n a l s , a n d S y s -
t e m s , 2 ( 1 9 8 9 ) , p p . 3 4 3 { 3 5 7 .
2 6 ] F . W . W a r n e r , F o u n d a t i o n s o f D i e r e n t i a b l e
M a n i f o l d s a n d L i e G r o u p s , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k ,
1 9 8 3 .
2 7 ] T . Y o s h i z a w a , S t a b i l i t y T h e o r y a n d t h e E x i s t e n c e
o f P e r i o d i c S o l u t i o n s a n d A l m o s t P e r i o d i c S o l u t i o n s ,
S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 7 5 .