二次函數的應用問題

製作人 姚谷樺

例1. 例2. 例3. 例4.

例5. 例6. 例7.

例8. 例9. 例 10. 例11.

例12. 例13. 例14. 例 15.

動動腦

如何把 12 分成兩數，使兩數的乘積為最大？

( 解 ) ：

思考 列式 問 設兩數為 x ， 12-

x 想求兩數乘積 先把乘積假設出來

兩數乘積為 y

所以 y=x(12-x)

求兩數最大乘積 即求 y=x(12-x) 的最大值

y = -(x-6) +36 2

≦36

當 x=6 時， y=36 為最大值 因此 兩數為 6 ， 6 時，乘積 36 為

最大 首頁

？？

例 1.

如何將 15 分成三數之和，其中二數須為連續整數，而使此三數的平方和為最小？

( 解 ) ：

思考 列式 問 設 三數為 x ，

想求三數的平方和先把平方和假設出來

三數的平方和為 y

求三數最小平方和

首頁

？

？

例 2.

x+1， 15-x-(x+1)=14-2x

所以 y = x +(x+1) +(14-2x) 2 22

即求 y = x +(x+1) +(14-2x) 的最小值

2 22

一位農夫想用 60 公尺長的籬笆圍成一個矩形的菜圃，問如

何才能圍出最大的面積？這最大的面積為多少平方公尺？ ( 解 ) ：

思考 列式

問 設矩形菜圃長 x 公尺

寬 (30-x) 公尺

想求面積 先找長、寬 面積為 y 平方公尺

再把面積假設出來

籬笆總長 60 公尺 矩形菜圃的長 + 寬 =30 公尺

所以 y=x(30-x) 求最大面積

即求 y=x(30-x) 的最大值

y2

= -(x-15) +225

≦225

首頁

？

？

例 3.

黃金旅行社為提高休閒生活品質，例 4. 特舉辦兩天一夜的黃金旅遊，

預定人數為 30 人，每人只收 5000元； 但為響應政府週休二日，

只要人數達 30 人以後，特別優待： 每增加一人，就每人減收100元。

問應增加多少人，這旅行社才能收到最多的錢？ 最多共收到多少錢呢？

參加人數 每人所需費用

30 5000

31=30+1 5000-100

32=30+2 5000-100 2‧35=30+5 5000-100 5‧41=30+11 5000-100 11‧

30+x 5000-100x

解

首頁

( 解 ) ：

思考 列式

問 設 增加 x人

想求先把錢數假設出來

可收到 y 元

還可知道 則人數為 (x+30)人 每人收 (5000-100x)元 且 y=(5000-100x)(x+30)

？？

想求即求 y=(5000-100x)(x+30)的最大值

# 動動腦：

要如何修改例 1 中，黃金旅行社的廣告詞，才不會造成「旅遊不必付錢」的問題？

Answer: 先反向思考 若「旅遊不必付錢」

則每人所收的錢 (5000-100x) =0

即 x=50

故若增加 50 人時，不必付錢

也就是人數為 30+50=80 人時，不必付錢 ( 預定人數 30人 )

故旅行團應規定： 額滿人數為 79 人 (80 人時剛好不必付錢 )

？

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一果園中種了 25 棵橘樹，每棵平均可生產橘子 450 個；

例 5.

若在此園中，每加種1棵，則每棵平均生產量減少10個， 問應加種幾棵，能使此園的產量達到最大？

最大產量是多少？ 所種棵數 每棵平均產量

解

25 450

26=25+1 450-10

27=25+2 450-10 2‧30=25+5 450-10 5‧36=25+11 450-10 11‧

25+x 450-10x

首頁

( 解 ) ：

思考 列式

問 設 加種 x棵

想求先把產量假設出來

產量 y 個

還可知道 則棵數為 (x+25)棵 每棵樹平均生長 (450-10x) 顆橘子

且 y=(x+25)(450-10x)

？？

想求即求 y=(x+25)(450-10x)的最大值

例 6.

A 、 B 為數線上兩點，他們的座標分別為 7 、 2 ， 試在數線上求一點 P ，使 + 的值為最小。 PA

22

PB

( 解 ) ：

思考 列式

要 設 P 點座標為x ？

想要

PA2 2

PB先將 + 表示出來

PA22

PB +

= 2 2

+ 7x 2x22

(x-7) + (x-2) =

再算最小值

首頁

例7.

將一顆棒球以 256 呎 / 秒的速率，垂直往上拋，如果經過 t 秒後，棒球的高度是 S(t)=256t-16t 。問：

(1) 此顆球所能達到的最大高度是多少呎？

(2) 經過幾秒鐘後，球會落到地面？ ( 解 ) ：

思考 列式 (1) 要求

= -16(t-8) +1024 2

S(t) = 256t-16t 2

≦1024

即求 S(t) 的最大值

所以最大高度是 1024 公尺 (2) 要求

先想球落到地面時有何條件 ？落到地面時高度為0

S(t) = 0

此時 t =16 或 0

( 不合 )

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= x 公尺 AB

( 解 ) ：

思考 列式

問

設

想求面積 先找長、寬 又設面積為 y 平方公尺

想求面積 , 就把面積假設出來

∴y=(100-2x)(x+20) 求即求 y(100-2x)(x+20)的最大值

首頁

？

例 8.

A

B

C D

E20亂太郎以長 120m 的鐵絲網在河

邊圍一個矩形的菜園。如右圖，虛線部分為河邊，不圍鐵絲網，且∠ EAB=90∘ ， =20m ，則菜園 ( 矩形 ACDE) 的面積最大為多少平方公尺？

AB

= +20 DE BC

=120 - - CD BC DE則寬 =(x+20) 公尺 且長 =(100-2x) 公尺

DE

CD

亦可設 =x DE

其中一平台的邊長為x 公尺

( 解 ) ：

思考 列式

問

設

又設全部費用為 y元

先假設建築費用且求其最小值

想

首頁

例 9.

霧丸想沿魚池的岸邊，搭建一個伸入池中 6m 的平台，形狀為兩個相連的正方形，如右圖。若平台高度一定且建築費為每平方公尺 100 元，問平台的邊長多少公尺才能使建築費用最低？

則另一平台邊長為(6-x) 公尺

而

∴y=100[x +(6-x) ] 2 2

岸邊

6m

A 、 B 兩正方形面積和為 y 平方公尺

( 解 ) ：

思考 列式

想求 設

首頁

例 10.

一條繩子長 100m ，現在想把它切成兩段分別圍出正方形 A與 B ，當切出的一段長 x 時， A 、 B 面積之和最小，求出此時之 x及面積和之最小值。

問

A B

x 100-x

而 A 的邊長為

B 的邊長為 4

x

4

100 x∴y = 22 )4

100()

4(

xx

即求 y = 的最小值

22 )4

100()

4(

xx

例 11.

如右圖， =16 ， =12 的長方形 ABCD 的邊上，各取一點 M 、 N 、 P 、 Q ，使 = = = =x

AB BC

AM

BN CP DQ

(1) 試以 x 表示四邊形 MNPQ 的面積。 (2) 問 x 等於多少時， MNPQ 的面積最小？

x 16-xx

12-x

M

N

P

Q

A B

CD(3) 求四邊形 MNPQ 面積的最小值。 ( 解 ) ：

思考

(1)

列式 MNPQ=ABCD – 4 個直角三角形

MNPQ 的面積=16 12 – ‧ ΔMBN=ΔPDN= x (16-x) ‧ 2

1

ΔMAQ=ΔPCN= x (12-x) ‧ 21

2

12

12[ x (16-x) + x (12-x)] ‧ ‧

=2x - 28x+192 2

(2) 問 則利用配方法即可

2x - 28x+192 2

2=2(x-7) +94 ≧94

(3)

MNPQ 面積的最小值為 94 首頁

例 12.

A B

C

DE

P

(1) 試以 x 表示 ΔAPC與正方形 PBDE 的面積和 (2) 求 ΔAPC與正方形 PBDE 面積和的最小值 ( 解 ) ：

思考 列式

ΔABC 面積 = ‧底‧高 2

1(1)

2

1= x x ‧ ‧

正方形 PBDE 面積 =( 邊長 )

2

2= PB2=( - ) AB AP

2=(12-x)

2

1 2 2面積和 = x +(12-x) 2= x -24x+144

2

3

(2) 問 2

2

3即求 x -24x+144 的最小值

2 x -24x+1442

3

= (x-8) +48 2

3 2 ≧48

首頁

的長為 12 ， P 點在 上移動，以 為一邊做等腰直角 ΔAPC ，其中∠A=90 度，又以 為一邊作正方形 PBDE ，如右圖，設 =x

AB AB

AP

AP

PB

例 13. 設 a : b = 1 : 2 且 b : c = 3 : 4 ，求：

(1) a : b : c

(2) ab – bc + ca + c 的最大值 ( 解 ) ：

思考 列式 (1) a : b : c = 3 : 6 : 8

(2) 想求 ab – bc + ca + c 的最大值，

根據以往經驗，

須將未知數化簡成只有一個，再配方 由 (1) a : b : c = 3 : 6 : 8 的提示

設 a=3k ， b=6k ，c=8k (k≠0)

ab – bc + ca + c

=18k -48k +24k +8k 2 2 2

配方後即可得最大值首頁

例 14.

( 解 ) ：

思考 列式 想求 即用配方法求最大值

(1)

設 a代表一個確定的數，且 a≠0 ，若二次函數 f(x) = ax +3ax – a +2 的最大值為 -5 ，試求：

(1) 此二次函數圖形的頂點座標

(2)a 的值

2

2

f(x) = ax +3ax – a +2 2 2

2 2=a(x+ ) –a – a +2 2

3

4

9

且最大值為 -5

∴頂點座標為 (- ,-5) 2

3

(2) 從 (1) 的配方法中可看出最大值為

∵最大值為 -5 2 ∴ -a – a +2= -5

4

9

∴a= -4 或 4

7 ( 不合 )( a<0∵ 才會有最大值 )

首頁

例 15.

(1) 矩形 OCPD 的面積表示成 x 的二次函數為何？ (2) 當 P 點座標為多少時，矩形 OCPD 的面積為最大，其值又為何？

( 解 ) ：

思考 列式 (1)

∵P 在 2x+3y=5上

2x+3y=5

(2) 問 即求 f(x) 的最大值

設 P

則矩形 OCPD 的面積為

首頁

如右圖，過 A 、 B 兩點直線方程式為 2x+3y=5 ，且 P 點為 上任一點，求

ABP

x

y

O

A

B

C

D2x+3y=5

想求

須先知道 的長度即 P 點座標

CDPC、 ∴3

25 xy

)3

25,(

xx

f(x)=x ‧3

25 xxx

3

5

3

2 2