13.5.2009

13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 24

Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes

Beschreibung einer Ebene im Punktgitter:

a b

c

Schnittpunkte in Einheiten der Basisvektoren m1, m2, m3 (Bsp: 3, 1, 2)

bilde Kehrwerte: 1/m1, 1/m2, 1/m3 (Bsp.: 1/3, 1/1,1/2)

Multiplikation mit kleinster ganzen Zahl p, so dass teilerfremde ganzeZahlen entstehen h = p/m1, k = p/m2, l = p/m3 (Bsp.: 6/3, 6/1, 6/2)

(hkl) Millersche Indizes, beschreiben Lage dieser und aller dazuäquivalenter Ebenen (Ebenenschar)

Normalenvektor n = [hkl], steht senkrecht auf Ebenenschar

3.) Strukturbestimmung – Grundlagen der Beugungstheorie

Lokale Verfahren (STM, AFM, Elektronenmikroskopie,…)Beugungsverfahren (nutzen Periodizität)


Beugungsverfahren

Strahlung = (E) Energie E de Broglie

Photonen = hc/E 1keV – 100 keV 10 – 0.1 Å

Neutronen = h/(2mE)1/2 0.01 – 1 eV 3 – 0.3 Å

Elektronen = h/(2mE)1/2 10 eV – 1 keV 4 – 0.4 Å

Kriterien für Wahl der Quelle:

- geeignete Wellenlänge, insbesondere < Gitterparameter!- Wechselwirkung mit der Materie (z.B. stark für Elektronen, schwach für Photonen)

R

r

'R

r'R

0k

k

Quelle

Q

B

BeobachterP

Probeebene Wellen

3.1) Beugungstheorie


Annahmen:

1) Eben einfallende Welle2) Kohärente Streuung (einfallende Welle rege Materie an allen Punkten P zur Emission von Kugelwellen an;

es besteht feste Phasenbeziehung zwischen Primärstrahlung und angeregten Kugelwellen3) Einfachstreuung

Amplitude der einfallenden Strahlung am Ort P zur Zeit t

ti)rR(kiP eA)t(A 00

0

2

0 k

Streubeitrag der Kugelwelle des Ortes r zur Amplitude bei B

r'R

e)r()t(A)t(A

r'Rik

PB

Streudichte, enthältgesuchte Informationüber Gitterstruktur

Amplitude der auslaufendenKugelwelle am Ort B; A Abstand-1

()mit

()


Berücksichtigt man, dass und r'Rk

)r'R(kiPB e

'R)r()t(A)t(A

1

r'R

r)kk(iti)'RkRk(iB e)r(ee

'R

A)t(A

0000

Gesamte Streuamplitude durch Integration über Probe:

obePr

r)kk(itigesB rde)r(e)t(A

00

Messgröße: Streuintensität I2

20

obePr

r)kk(iB rde)r(AI

0kkK

mit dem „Streuvektor“K

k0

k

()

mit () und () ergibt sich:

elastische Streuung

k0 = k


x)a

n(i

nne~)x(

2

)maa

n(ix)a

n(i

n

x)a

n(i

n e~e~)x(

222

Beachte:

Streuintensität Fourier-Transformierten der Streudichte bzgl. Streuvektor2

vgl. Optik: I Fourier-Transformierten des beugenden Objektes2

3.2) Periodische Strukturen und reziprokes Gitter

Wenn (r) periodisch, kann Funktion in Fourier-Reihe entwickelt werden

für gerade Funktion in 1D:

a x

(x)

Periodizität: 1 = a = 2/k1

Atompositionen

)max(


Erweiterung auf periodische Strukturen in 3D G

rGi

Ge~)r(

332211 anananrn

mrG n 2

G muß so gewählt werden, dass gilt (r + rn) = (r)

Forderung ist äquivalent zu:

mit ganzer Zahl m und für alle n1, n2, n3

denn damit gilt: G G

mirGin

rGirGiGn )r(ee~ee~)rr( n

2

Zerlege G in eine (zunächst noch nicht festgelegte) Basis:

321 glgkghG

mit beliebiger Gittervektor

g1, g2, g3: linear unabhängig

mrG n 2mit für Spezialfall n2 = n3 = 0

findet man: 211 ag 01312 agag

und

= 2, i = j

= 0, i j

Aus analogen Betrachtungen der anderen Spezialfälle ergibt sich:

ijji ag 2

Bemerkungen

1) Basisvektoren gi spannen das reziproke Gitter auf2) Gitterpunkte G = hg1 + kg2 +lg3 werden durch Zahlentripel (hkl) festgelegt

dabei sind (hkl) die Millerschen Indizes3) Konstruktionsvorschrift für die gi‘s :

g1 steht senkrecht auf der von a2 und a3 aufgespannten Ebeneg2, g3 entsprechend

mit |g1a1| = |g1||a1|cos(g1, a1) = 2 |g1| = 2 |g1|-1|a1|-1cos(g1, a1)-1

Bedingungen werden erfüllt durch:

)aa(a

aag

321

132 2

)aa(a

aag

321

321 2

)aa(a

aag

321

213 2



Es gelten folgende Aussagen:

1) Der reziproke Gittervektor steht senkrechtauf der mit (hkl) bezeichneten Netzebenenschar

2)

321 glgkghGhkl

hkl

hklG

d 2

3.3) Die Streubedingung bei periodischen Strukturen

G

rGi

Ge~)r(

321 glgkghGhkl

mit und

2

obePr

r)KG(i

GG

rde)r(~)K(I

()

Erinnerung: Integral in () ≡ Fourier-Darstellung der -Funktion, d.h. = rde r)KG(i endlich, nur für

0, sonst

KG

hklGkkK

0Beugungsreflexe nur dann, wenn gilt: („Laue-Bedingung“)

dhkl

Ghkl

(hkl)


3.4) Laue-Bedingung und Ewald-Kugel

2D-Projektion des reziproken Gitters (Erinnerung: jeder Punkt repräsentiert eine Netzebenenschar)

(10)

(11)

(00)

(21)(01)

(02) (22)(12)

(20)

- zeichne k0 mit Spitze auf (000) weisend in rez. Gitter

- zeichne Kreis mit Radius |k|=|k0| um Ursprung von k0

- an Stellen, wo Kreis Punkte des rez. Gitters trifft, gilt K = k - k0 = G(hkl)

es entsteht Beugungsreflex I(hkl) (im Beispiel I(12))

bei gegebener fester Wellenlänge des einfallenden Lichtes und gegebener Orientierungdes Kristalls (und damit auch des rez. Gitters) wird i.Allg. die Beugungsbedingungnicht erfüllt sein keine Beugungsreflexe

Konstruktion der Ewald-Kugel

k0

kK


Techniken zur Erfüllung der Beugungsbedingung

1) Laue-Methode verwende kontinuierliches Spektrumk0 k k1, d.h. 2/1 2/ 2/0

(10)

(11)

(00)

(21)(01)

(02) (22)(12)

(20)

alle rez. Gitterpunkte imschraffierten Bereicherfüllen Laue-Bdeingung

3) Pulver-Verfahren (Debye-Scherrer-Verfahren

2) Drehkristall-Methode

k0

Kristall (und rez. Gitter)rotiert langsam

k0Pulverprobe, feinkristallin mitstatistisch verteilter Orientierungder Kristallite

k0 k1

Pulverprobe


3.5) Braggsche Deutung der Beugungsbedingung hklGkkK

0

Umformung ergibt: sindhkl 2

dhkl

½ Gangunterschied: dhklsin

Intensität der gebeugten Strahlung nur in Richtungen, wo konstruktiveInterferenz auftritt, d.h. ein Gangunterschied vorliegt von:

nsindhkl2 n: Ordnung der Reflexe

d.h., Wellen verhalten sich so, als würden sie an den Netzebenen reflektiert

schwach reflektierendeNetzebenen (hkl)

k0 k


3.6) Die Brillouinschen Zonen (BZ)

1. BZ hat fundamentale Bedeutung für Beschreibung der elektronischen Eigenschaften

elementare Umformung von hklGkkK

0

alle Vektoren k0, die () erfüllen, liegen auf den Mittelsenkrechtender rez. Gittervektoren ausgehend vom Ursprung (000)

Betrachte 2D-Projektiondes rez. Raumes

(01)

(10)

(00) g1

g2

(10)

(11) (01)

Laue-Bedingung ist erfüllt für alle k Vektoren, die auf dem Rand der 1. BZ enden

eingeschlossenes Volumen:Wigner-Seitz-Zelle im reziprokenRaum

≡ 1. Brillouin-Zone

0

2

22k

GG

()

(11)

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