Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè

Ñàðàòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Í.Ã.×åðíûøåâñêîãî

À.Â. Åðøîâ

ÊÀÒÅÃÎÐÈÈ È ÔÓÍÊÒÎÐÛ

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

äëÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

Ñàðàòîâ

ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Öåíòð Íàóêà

2012

ÓÄÊ [512.581/.582+515.142](075.8)

ÁÁÊ 22.144ÿ73+22.152ÿ73

Å 80

Åðøîâ À.Â.

E 80 Êàòåãîðèè è ôóíêòîðû: Ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ñàðàòîâ: ÎÎÎ Èçäà-

òåëüñêèé öåíòð Íàóêà, 2012. 88 ñ.

ISBN 978-5-9999-1223-7

Äàííîå èçäàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî òåîðèè êàòå-ãîðèé äëÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Îíî îõâà-òûâàåò òåìû: îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû êàòåãîðèé, ñóììà è ïðîèçâåäåíèåâ êàòåãîðèè, óíèâåðñàëüíûå îáúåêòû, äóàëüíàÿ êàòåãîðèÿ, îïðåäåëåíèåè ïðèìåðû ôóíêòîðîâ. Êàæäîå ââîäèìîå ïîíÿòèå èëëþñòðèðóåòñÿ ìíî-ãî÷èñëåííûìè ïðèìåðàìè èç ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè.  òåêñòåñîäåðæèòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî çàäà÷, ðåøåíèå êîòîðûõ ñïîñîáñòâóåòàêòèâíîìó óñâîåíèþ ìàòåðèàëà. Ñðåäè ðàññìàòðèâàåìûõ ïðèìåðîâ ñó-ùåñòâåííîå ìåñòî îòâîäèòñÿ ïðèìåðàì èç òîïîëîãèè, ÷òî ïîçâîëÿåò ðå-êîìåíäîâàòü äàííîå ïîñîáèå äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â ó÷åáíîì ïðîöåññå ïðèïîäãîòîâêå ìàãèñòðîâ ïî ïðîôèëþ Ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ.

Ðåêîìåíäóþò ê ïå÷àòè:

Äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Ì.Â. Ëîñèê

Êàôåäðà ãåîìåòðèè Ñàðàòîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì.

Í.Ã. ×åðíûøåâñêîãî

Ðàáîòà èçäàíà â àâòîðñêîé ðåäàêöèè

ÓÄÊ [512.581/.582+515.142](075.8)

ÁÁÊ 22.144ÿ73+22.152ÿ73

ISBN 978-5-9999-1223-7 c⃝À.Â. Åðøîâ, 2012

Îãëàâëåíèå

1 Íà÷àëà òåîðèè êàòåãîðèé 9

1.1 Îïðåäåëåíèå êàòåãîðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Ïåðâûå ïðèìåðû êàòåãîðèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Óíèâåðñàëüíûå îáúåêòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Äóàëüíàÿ êàòåãîðèÿ è ïðîèçâåäåíèå êàòåãîðèé . . . . . . . 54

2 Ôóíêòîðû 57

2.1 Îïðåäåëåíèå è ïåðâûå ïðèìåðû ôóíêòîðîâ . . . . . . . . . 57

2.2 Ïðèìåðû ôóíêòîðîâ èç òîïîëîãèè . . . . . . . . . . . . . . 67

2.3 Êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Äîáàâëåíèÿ 79

3.1 Äîáàâëåíèå 1. Ñâîéñòâà êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèè . 79

3.2 Äîáàâëåíèå 2. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà . . . . . . . . . . . 80

3

Ìàòåìàòèêà ýòî èñêóññòâî

íàçûâàòü ðàçíûå âåùè

îäíèì è òåì æå èìåíåì.

À. Ïóàíêàðå

Ââåäåíèå. Çà÷åì íóæíà òåîðèÿ êàòåãîðèé

Òåîðèÿ êàòåãîðèé (ñíà÷àëà êàê ÿçûê ôóíêòîðîâ è åñòåñòâåííûõ ïðåîá-

ðàçîâàíèé) âîçíèêëà â ñåðåäèíå ïðîøëîãî âåêà â ðàáîòàõ Ñ. Ýéëåíáåðãà

è Ñ. Ìàêëåéíà ïî àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè. Ïîñòåïåííî èç àëãåáðàè÷å-

ñêîé òîïîëîãèè (âìåñòå ñ ìåòîäàìè ãîìîëîãè÷åñêîé àëãåáðû, ñ êîòîðîé

îíà èñòîðè÷åñêè òåñíî ñâÿçàíà) îíà ñòàëà ïðîíèêàòü â äðóãèå îáëàñòè

ìàòåìàòèêè (â ïåðâóþ î÷åðåäü â àëãåáðàè÷åñêóþ ãåîìåòðèþ (ãäå å¼ ïî-

òåíöèàë îñîáåííî ÿðêî áûë ïðîäåìîíñòðèðîâàí â ðàáîòàõ À. Ãðîòåí-

äèêà), â àëãåáðó, â ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç, à â ïîñëåäíåå âðåìÿ è â

Computer Science, ëîãèêó è äàæå â ôèçèêó (ñì. [1])).

Ïîëüçîâàòåëüñêàÿ òî÷êà çðåíèÿ íà òåîðèþ êàòåãîðèé ñîñòîèò â òîì,

÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ÿçûêîì ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè, â ðÿäå îáëàñòåé îêà-

çàâøèìñÿ àäåêâàòíîé çàìåíîé ÿçûêó òåîðèè ìíîæåñòâ. Åãî ñïåöèôèêó

âûðàæàåò ñëåäóþùàÿ ôðàçà, âçÿòàÿ èç Äîáàâëåíèÿ ßçûê êàòåãîðèé

ê çàïèñêàì ëåêöèé Þ.È. Ìàíèíà [11]: ßçûê êàòåãîðèé âîïëîùàåò ñî-

öèîëîãè÷åñêèé ïîäõîä ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îáúåêòó: ãðóïïà èëè ïðî-

ñòðàíñòâî ðàññìàòðèâàåòñÿ íå êàê ìíîæåñòâî ñ âíóòðåííå ïðèñóùåé åìó

ñòðóêòóðîé, íî êàê ÷ëåí ñîîáùåñòâà ñåáå ïîäîáíûõ.1

ßçûê êàòåãîðèé èãðàåò óíèôèöèðóþùóþ ðîëü â ñîâðåìåííîé ìàòå-

ìàòèêå, óñòàíàâëèâàÿ ãëóáîêèå è íåòðèâèàëüíûå ñâÿçè ìåæäó ðàçëè÷íû-

ìè å¼ îáëàñòÿìè. Áóäó÷è î÷åíü óäà÷íûì ÿçûêîì, òåîðèÿ êàòåãîðèé ïîç-

âîëÿåò ýêîíîìèòü ìûøëåíèå, ïîñêîëüêó óæå â ñàìîé åãî ãðàììàòèêå

çàêëþ÷åíû îáùåìàòåìàòè÷åñêèå ïàòòåðíû.2  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî

1Çàìåòèì, ÷òî êàòåãîðíûå ñâîéñòâà îäíîãî è òîãî æå îáúåêòà çàâèñÿò îò òîãî, â êà÷åñòâå

ýëåìåíòà êàêîé ñîâîêóïíîñòè ìû åãî ðàññìàòðèâàåì. Íàïðèìåð, êàòåãîðíûå ñóììû äâóõ àáåëåâûõ

ãðóïï, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê îáúåêòû êàòåãîðèè ãðóïï è êàê îáúåêòû å¼ ïîäêàòåãîðèè, ñîñòîÿùåé

èç àáåëåâûõ ãðóïï, íå èçîìîðôíû, ñì. §1.3.2pattern (àíãë.) ìîäåëü, øàáëîí, îáðàçåö.

4

ïðèâåñòè òîò ôàêò, ÷òî ìíîãèå âàæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè ÿâ-

ëÿþòñÿ ôóíêòîðàìè, è ïîýòîìó íå íóæíî êàæäûé ðàç îòäåëüíî çàïîìè-

íàòü òå èõ ñâîéñòâà, êîòîðûå âûðàæàþò ôóíêòîðèàëüíîñòü. Êðîìå òîãî,

îíà ïîçâîëÿåò äàòü îáùèå äîêàçàòåëüñòâà ñòàíäàðòíûì ôàêòàì (òàêèì

êàê ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü óíèâåðñàëüíîãî îáúåêòà), ïîìîãàåò

ðàçäåëÿòü îáùèå è ñïåöèôè÷åñêèå ÷åðòû ñîâîêóïíîñòåé ìàòåìàòè÷åñêèõ

îáúåêòîâ. Áîëåå òîãî, çà÷àñòóþ òåîðèÿ êàòåãîðèé ïîäñêàçûâàåò ïðàâèëü-

íóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷, à òàêæå èäåþ èõ ðåøåíèÿ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî

íà ïðèìåðàõ.3

Ïðèìåð 1. Â ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè âàæíóþ ðîëü èãðàþò ãðóïïû LG(ñâîáîäíûõ) ïåòåëü ãðóïï Ëè G, ñîñòîÿùèå èç ãëàäêèõ îòîáðàæåíèé

îêðóæíîñòè S1 â ãðóïïó Ëè G. ×òî ïðàâèëüíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷å-

ñòâå àíàëîãà LG â ñëó÷àå êîíå÷íîé ãðóïïû G?

Êàòåãîðíûì àíàëîãîì îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðèÿ Σ(Z), ñîñòî-ÿùàÿ èç åäèíñòâåííîãî îáúåêòà ∗ è ñ ìîðôèçìàìè ∗ → ∗, ïî îäíîìó äëÿêàæäîãî öåëîãî ÷èñëà, ïðè÷¼ì êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ îòâå÷àåò ñëîæå-

íèþ öåëûõ ÷èñåë.4 Àíàëîãè÷íî, çàìåíèì ãðóïïó G êàòåãîðèåé Σ(G),

ñîñòîÿùåé èç îäíîãî îáúåêòà ⋆ è ñ ìîðôèçìàìè ⋆ → ⋆, ïî îäíîìó äëÿ

êàæäîãî ýëåìåíòà g ∈ G, ïðè÷åì êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ îòâå÷àåò óìíî-

æåíèþ â ãðóïïå.

Ïóñòü ΛG := Hom(Σ(Z), Σ(G)) êàòåãîðèÿ ôóíêòîðîâ èç Σ(Z) âΣ(G) ñ åñòåñòâåííûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ. Îêà-

çûâàåòñÿ, ÷òî êàòåãîðèÿ ΛG ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì àíàëîãîì LG äëÿ

êîíå÷íîé ãðóïïû G, î ÷¼ì ãîâîðèò òîò ôàêò, ÷òî äëÿ öåëîãî ðÿäà êîí-

ñòðóêöèé è ðåçóëüòàòîâ î LG ìîæíî óêàçàòü ñîîòâåòñòâóþùèå àíàëîãè

äëÿ ΛG [14].

Êðîìå òîãî, ΛG ÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå ãðóïïîèäîì. Òàê êàê êàæäûé

ôóíêòîð èç Σ(Z) â Σ(G) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì çíà÷åíèåì íà

ìîðôèçìå 1 ∈ Z, êîòîðîå ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì ýëåìåíòîì ãðóïïû

G, îáúåêòû ΛG ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ýëåìåíòàìè G. Òî÷íåå, ïóñòü

F1, F2 ∈ Hom(Σ(Z), Σ(G)) äâà ôóíêòîðà, F1(1) = g1, F2(1) = g2 ∈ G.3Ñëåäóþùèå 3 ïðèìåðà îðèåíòèðîâàíû íà äîñòàòî÷íî èñêóø¼ííîãî ÷èòàòåëÿ; ñòóäåíòó, êîòîðûé

âïåðâûå çíàêîìèòñÿ ñ òåîðèåé êàòåãîðèé, ìû ñîâåòóåì âîçâðàùàòüñÿ ê íèì ïî ìåðå ÷òåíèÿ äàííîãî

ïîñîáèÿ.4äåëî â òîì, ÷òî êëàññèôèöèðóþùåå ïðîñòðàíñòâî ýòîé êàòåãîðèè êàê ðàç åñòü îêðóæíîñòü.

5

Òîãäà ýëåìåíò h ∈ G òàêîé, ÷òî

⋆g1

//

h

⋆

h

⋆ g2// ⋆,

òî åñòü g2 = hg1h−1, îïðåäåëÿåò åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå F1 ⇒ F2,

òî åñòü ìîðôèçì â ΛG. Äðóãèìè ñëîâàìè, ΛG åñòü ãðóïïîèä äåéñòâèÿ,

àññîöèèðîâàííûé ñ ïðèñîåäèíåííûì äåéñòâèåì ãðóïïû G íà ñåáå. Ýòîò

ôàêò èãðàåò âàæíóþ ðîëü â óêàçàííîé àíàëîãèè. Äàëüíåéøèå äåòàëè è

ññûëêó íà îðèãèíàëüíóþ ñòàòüþ, ãäå ðàññìîòðåí ýòîò ïðèìåð ñì. â [14].

Ïðèìåð 2. Ïî÷åìó ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà òîïîëîãè÷åñêîé ãðóïïû

êîììóòàòèâíà? Ó ýòîãî ôàêòà åñòü îáùåå è ïðè ýòîì ñîâåðøåííî ïðî-

çðà÷íîå êàòåãîðíîå äîêàçàòåëüñòâî. Äåëî â òîì, ÷òî ôóíêòîð, ñîõðàíÿþ-

ùèé êîíå÷íûå êàòåãîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ (âêëþ÷àÿ ôèíàëüíûé îáúåêò)

ñîõðàíÿåò è ãðóïïîâûå îáúåêòû. Èçîìîðôèçì π1(X×Y ) ∼= π1(X)×π1(Y )

ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ. Òåïåðü òðåáóåìîå âûòåêàåò èç ëåãêî ïðîâåðÿåìîãî

(ñ ïîìîùüþ àðãóìåíòà Ýêìàíà-Õèëòîíà) ôàêòà, ÷òî ãðóïïîâûå îáúåê-

òû â êàòåãîðèè ãðóïï àáåëåâû ãðóïïû. Òàê êàê åñòåñòâåííàÿ îá-

ëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêòîðà ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû ãîìîòîïè÷å-

ñêàÿ êàòåãîðèÿ, òî óêàçàííûé ðåçóëüòàò òàêæå âåðåí äëÿ ãðóïïîâûõ

îáúåêòîâ â íåé, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðîñòðàíñòâ ïåòåëü ΩX. Òàê êàê

π2(X) ∼= π1(ΩX), òî ìû ñðàçó ïîëó÷àåì êîììóòàòèâíîñòü ãîìîòîïè-

÷åñêèõ ãðóïï πq(X), q ≥ 2. Ïðèìåð 3. Îáùèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ îáúåêòîâ íåêîòîðîé ãåîìåò-

ðè÷åñêîé êàòåãîðèè (òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ è ò.ï.) ñîñòîèò â ïî-

ñòðîåíèè ôóíêòîðîâ â ïîäõîäÿùóþ àëãåáðàè÷åñêóþ êàòåãîðèþ (ãðóïï,

êîëåö è ò.ï.). Ïðèìåðû òàêèõ ôóíêòîðîâ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà, ãî-

ìîëîãèè è êîãîìîëîãèè, K-òåîðèÿ è äðóãèå. Òàê êàê ôóíêòîð èçîìîðô-

íûå îáúåêòû ïåðåâîäèò â èçîìîðôíûå, òî, ñêàæåì, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà

òîãî, ÷òî äâà òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâà X è Y íå ãîìåîìîðôíû, äî-

ñòàòî÷íî ïðåäúÿâèòü òàêîé ôóíêòîð F , íàïðèìåð, â êàòåãîðèþ ãðóïï,

÷òî ãðóïïû F (X) è F (Y ) íå èçîìîðôíû. Ðàññìîòðèì ïðèìåð íåñêîëüêî

èíîãî ñîðòà êàòåãîðèþ ïëåòåíèé [6]. Ýòî ñòðîãàÿ òåíçîðíàÿ êàòå-

ãîðèÿ ñ åäèíè÷íûì îáúåêòîì ∅, ýíäîìîðôèçìàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ

6

èçîòîïè÷åñêèå êëàññû îðèåíòèðîâàííûõ çàöåïëåíèé. Ñóùåñòâóåò ñèñòå-

ìàòè÷åñêèé ñïîñîá (îñíîâàííûé íà ïîíÿòèè îñíàù¼ííîé R-ìàòðèöû) íà-

õîæäåíèÿ ñòðîãèõ òåíçîðíûõ ôóíêòîðîâ èç êàòåãîðèè ïëåòåíèé â ñòðî-

ãóþ òåíçîðíóþ êàòåãîðèþ, ïîñòðîåííóþ èç òåíçîðíîé êàòåãîðèè êîíå÷-

íîìåðíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä ïîëåì k. Êàæäûé òàêîé ôóíêòîð

F äà¼ò èçîòîïè÷åñêèé èíâàðèàíò îðèåíòèðîâàííûõ çàöåïëåíèé ñî çíà-

÷åíèÿìè â ïîëå k. Äåéñòâèòåëüíî, âñÿêèé ñòðîãèé òåíçîðíûé ôóíêòîð

åäèíè÷íûé îáúåêò ïåðåâîäèò â åäèíè÷íûé îáúåêò (â íàøåì ñëó÷àå ∅ âïîëå k), à ýíäîìîðôèçìû åäèíè÷íîãî îáúåêòà (â íàøåì ñëó÷àå îðèåí-

òèðîâàííûå çàöåïëåíèÿ) â ýíäîìîðôèçìû åäèíè÷íîãî îáúåêòà (â íà-

øåì ñëó÷àå k-ëèíåéíûå ýíäîìîðôèçìû k, êîòîðûå ìîæíî îòîæäåñòâèòü

ñ ýëåìåíòàìè ïîëÿ k). Äàííàÿ ðàáîòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâóþ ÷àñòü ïîñîáèÿ íà÷àëüíîãî

óðîâíÿ ïî òåîðèè êàòåãîðèé äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíî-

ñòåé. Îíî ïðåñëåäóåò öåëü íà ïðèìåðàõ èç ðàçíûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè

íàó÷èòü ÷èòàòåëÿ îñíîâàì ÿçûêà êàòåãîðèé è ôóíêòîðîâ (áåç åñòåñòâåí-

íûõ ïðåîáðàçîâàíèé, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû âî âòîðîé ÷àñòè). Êàê

âñÿêèé ÿçûê, òåîðèþ êàòåãîðèé åñòåñòâåííî îñâàèâàòü íà ïðèìåðàõ, ïî-

ýòîìó îíè ñîñòàâëÿþò áîëüøóþ ÷àñòü òåêñòà. Íå îáÿçàòåëüíî ðàçáèðàòü

èõ âñå, íî íåêîòîðûé ìèíèìóì íåîáõîäèì äëÿ êàæäîãî ââîäèìîãî ïî-

íÿòèÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ ÷òî ÷èòàòåëü ïðè çíàêîìñòâå ñ ïðèìåðàìè áó-

äåò îáðàùàòüñÿ ê ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå, òàê êàê â íåáîëüøîì ïîñî-

áèè íåâîçìîæíî çàìêíóòî èçëîæèòü âñþ ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòåìàòèêó.

Òàêæå âàæíàÿ ðîëü îòâîäèòñÿ ðåøåíèþ ïðèâåä¼ííûõ â òåêñòå çàäà÷.

Òåìàòèêà ïðèìåðîâ èìååò íåêîòîðûé óêëîí â òîïîëîãèþ, ïðè ýòîì

ìû ñòàðàåìñÿ îáúÿñíÿòü îñíîâíûå òîïîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ (òàêèå êàê

ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà), õîòÿ äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî èõ ïîíèìàíèÿ ëó÷-

øå, êîíå÷íî, îáðàòèòüñÿ ê ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå.

Õî÷åòñÿ ïðåäóïðåäèòü, ÷òî àâòîðîì ñòàâèëàñü öåëü íà ïðèìåðàõ íà-

ó÷èòü ÷èòàòåëÿ ÿçûêó êàòåãîðèé, à íå ñîáñòâåííî òåîðèè êàòåãîðèé

êàê ðàçäåëó ìàòåìàòèêè ñî ñâîèìè ñîáñòâåííûìè ìåòîäàìè è ðåçóëüòà-

òàìè. Ïîýòîìó â äàííîì ïîñîáèè ïî÷òè íåò îáùèõ òåîðåòèêî-êàòåãîðíûõ

òåîðåì, çà êîòîðûìè ÷èòàòåëþ ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ, íàïðèìåð, ê êíèãå

[10]. Ïî ìíåíèþ àâòîðà, ýòî äîëæåí áûòü óæå ñëåäóþùèé ýòàï èçó÷åíèÿ

7

òåîðèè êàòåãîðèé.

 ðÿäå êíèã ó÷åáíîãî õàðàêòåðà åñòü ââîäíûé ìàòåðèàë ïî òåîðèè

êàòåãîðèé, ñ êîòîðûì ïîëåçíî îçíàêîìèòüñÿ ïàðàëëåëüíî ñ èçó÷åíèåì

äàííîãî ïîñîáèÿ: ýòî § 20 â [18], §§ 13, 14 â [8] è ãëàâà 0 â êíèãå [16]. Èç

êíèã, öåëèêîì ïîñâÿùåííûõ òåîðèè êàòåãîðèé, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü

[10] (íàïèñàííóþ îäíèì èç ñîçäàòåëåé òåîðèè êàòåãîðèé), à òàêæå ãëàâó

II èç êíèãè [3]. Ñ òåíçîðíûìè êàòåãîðèÿìè è èõ ïðèìåíåíèåì ê ïîñòðî-

åíèþ ïîëèíîìèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ óçëîâ (óïîìèíàâøèìñÿ â Ïðèìåðå

3 âûøå) ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ ïî ÷àñòè 3 êíèãè [6]. Ìíîãî ó÷åáíèêîâ

ïî òåîðèè êàòåãîðèé åñòü íà àíãëèéñêîì ÿçûêå, ÷èòàòåëü, ïðè æåëàíèè,

ñìîæåò íàéòè èõ ñïèñîê â èíòåðíåòå. Â èíòåðíåòå òàêæå èìååòñÿ ðÿä

áëîãîâ, ãäå îáñóæäàþòñÿ ðàçëè÷íûå àñïåêòû òåîðèè êàòåãîðèé. Êàê èñ-

òî÷íèê ñâåäåíèé ïî ìàòåìàòèêå è òåîðèè êàòåãîðèé â ÷àñòíîñòè î÷åíü

ïîëåçíà Âèêèïåäèÿ, îñîáåííî å¼ àíãëîÿçû÷íàÿ âåðñèÿ.

Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ïðîôåññîðó Ì.Â. Ëîñèêó

çà ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ.

8

Ãëàâà 1

Íà÷àëà òåîðèè êàòåãîðèé

1.1 Îïðåäåëåíèå êàòåãîðèè

Îïðåäåëåíèå 1. Êàòåãîðèÿ C ñîñòîèò èç ñëåäóþùåãî íàáîðà äàííûõ:

(i) êëàññà (èëè ìíîæåñòâà) Ob(C), ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþòñÿ îáú-

åêòàìè êàòåãîðèè C,

(ii) íàáîðà ìíîæåñòâ HomC(X, Y ), ïî îäíîìó äëÿ êàæäîé óïîðÿäî÷åí-

íîé ïàðû îáúåêòîâ X, Y ∈ Ob(C), ýëåìåíòû êîòîðûõ íàçûâàþòñÿ

ìîðôèçìàìè èç X â Y è îáîçíà÷àþòñÿ f : X → Y èëè Xf→ Y ,

(iii) íàáîðà îòîáðàæåíèé

HomC(Y, Z)× HomC(X, Y )→ HomC(X, Z)

ïî îäíîìó äëÿ êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé òðîéêè îáúåêòîâ X, Y, Z.

Ïàðå ìîðôèçìîâ f : X → Y è g : Y → Z òàêîå îòîáðàæåíèå ñòàâèò

â ñîîòâåòñòâèå ìîðôèçì èçX â Z, îáîçíà÷àåìûé gf è íàçûâàåìûéêîìïîçèöèåé ìîðôèçìîâ f è g.

Ýòè äàííûå äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì àêñèîìàì:

(a) ïî êàæäîìó ìîðôèçìó f îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ òàêèå X, Y ∈Ob(C), ÷òî f ∈ HomC(X, Y ), èíûìè ñëîâàìè, ìíîæåñòâà

HomC(X, Y ) íå ïåðåñåêàþòñÿ;

(b) äëÿ êàæäîãî îáúåêòà X ∈ Ob(C) ñóùåñòâóåò òîæäåñòâåííûé ìîð-

ôèçì idX ∈ HomC(X, X), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ: äëÿ ëþáûõ

9

Y, Z ∈ Ob(C) è f ∈ HomC(Y, X), g ∈ HomC(X, Z) èìåþò ìåñòî

ðàâåíñòâà idX f = f, g idX = g;

(c) êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ àññîöèàòèâíà, ò.å. äëÿ ëþáûõ ÷åòûð¼õ îáú-

åêòîâ W, X, Y, Z ∈ Ob(C) è ìîðôèçìîâ f : W → X, g : X →Y, h : Y → Z êîìïîçèöèè (h g) f è h (g f) ñóòü îäèí è

òîò æå ìîðôèçì èç W â Z.

Çàìå÷àíèÿ. 1) Êàê ñëåäóåò èç ï. (i) ïðèâåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ, îáú-

åêòû êàòåãîðèè â îáùåì ñëó÷àå íå îáðàçóþò ìíîæåñòâà, à òîëüêî êëàññ

(êàòåãîðèÿ, îáúåêòû êîòîðîé îáðàçóþò ìíîæåñòâî, íàçûâàåòñÿ ìàëîé).

Âî ìíîãèõ ñìûñëàõ îñíîâíûì ïðèìåðîì êàòåãîðèè ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðèÿ

Set âñåõ ìíîæåñòâ è âñåõ îòîáðàæåíèé ìåæäó íèìè (ñì. ïðèìåð a)

â §1.2).Ñëåäóþùèé ïàðàäîêñ òåîðèè ìíîæåñòâ, îòêðûòûé Á. Ðàññåëîì, ïî-

êàçûâàåò, ÷òî, ïðèìåíÿÿ ñòàíäàðòíûå îïåðàöèè òåîðèè ìíîæåñòâ ê ìíî-

æåñòâó âñåõ ìíîæåñòâ, ìîæíî ïîëó÷èòü ïðîòèâîðå÷èå. À èìåííî, îïðå-

äåëèì U êàê ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ìíîæåñòâ X, ÷òî X íå åñòü ýëåìåíò

X.  òàêîì ñëó÷àå U åñòü ýëåìåíò U òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà U íå

åñòü ýëåìåíò U .1

Ñ îòêðûòèåì ïàðàäîêñà Ðàññåëà ìàòåìàòèêàì ñòàëî ÿñíî, ÷òî ïðè-

äåòñÿ êàê-òî îãðàíè÷èòü èñïîëüçîâàíèå òåõ ñïîñîáîâ ðàññóæäåíèé, ïî-

ñðåäñòâîì êîòîðûõ îí áûë ïîëó÷åí. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü ïðîòè-

âîðå÷èé, áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå êëàññà, áîëåå îáùåå, ÷åì ïîíÿòèå ìíî-

æåñòâà. Íàïðèìåð, âñå ìíîæåñòâà îáðàçóþò êëàññ, íå ÿâëÿþùèéñÿ ìíî-

1Ïîÿñíèì äàííûé ïàðàäîêñ ñëåäóþùèì ïðèìåðîì. Íàçîâ¼ì ìíîæåñòâî àíîìàëüíûì, åñëè îíî

ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ýëåìåíòîì, è íîðìàëüíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ìíîæå-

ñòâî âñåõ òðåóãîëüíèêîâ. Ñàìî ýòî ìíîæåñòâî òðåóãîëüíèêîì íå ÿâëÿåòñÿ, ïîýòîìó íå ÿâëÿåòñÿ

ñâîèì ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ìû âîçüì¼ì äîïîëíèòåëüíîå ìíîæåñòâî,

ñîäåðæàùåå âñ¼, ÷òî íå ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêàìè, òî îíî ñàìî íå ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì è çíà÷èò

ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì. Òàêèì îáðàçîì, îíî àíîìàëüíî.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî âñåõ íîðìàëüíûõ ìíîæåñòâ, U . Îêàçûâàåòñÿ, îïðåäåëèòü, ÿâëÿ-

åòñÿ ëè ñàìî U íîðìàëüíûì èëè àíîìàëüíûì ìíîæåñòâîì íåâîçìîæíî: åñëè U íîðìàëüíî, òî îíî

ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì (ïîñêîëüêó U ñîäåðæèò âñå íîðìàëüíûå ìíîæåñòâà), ïî-

ýòîìó (ïî îïðåäåëåíèþ àíîìàëüíûõ ìíîæåñòâ) U àíîìàëüíî; ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè U àíîìàëüíî,

òî ïî îïðåäåëåíèþ àíîìàëüíîãî ìíîæåñòâà U ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì, à òàê êàê

ïî îïðåäåëåíèþ ýëåìåíòàìè U ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè íîðìàëüíûå ìíîæåñòâà, îíî òîæå ÿâëÿåòñÿ

íîðìàëüíûì. Ýòî ïðèâîäèò ê âûâîäó, ÷òî U íå ÿâëÿåòñÿ íè íîðìàëüíûì, íè àíîìàëüíûì; â ýòîì

è ñîñòîèò ïàðàäîêñ Ðàññåëà.

10

æåñòâîì, è ðÿä îáû÷íûõ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè ñ íèì çàïðåùåíû.

Ïîýòîìó òàêîå íàèâíîå îïðåäåëåíèå êàòåãîðèè Set ñäåëàëî áû íåâîç-

ìîæíûìè ðÿä êàòåãîðíûõ êîíñòðóêöèé, î êîòîðûõ áóäåò èäòè ðå÷ü äà-

ëåå. Âûõîä èç ýòîé ñèòóàöèè ââåñòè óíèâåðñóì, áîëüøîå ìíîæåñòâî

ìíîæåñòâ, ñòàáèëüíîå îòíîñèòåëüíî âñåõ îïåðàöèé, êàêèå ìîãóò ïîíàäî-

áèòüñÿ, ïîñëå ÷åãî ðàññìàòðèâàòü ëèøü êàòåãîðèè, ïðèíàäëåæàùèå ýòî-

ìó óíèâåðñóìó. Âïðåäü ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåîáõîäèìîå îáîñíîâàíèå

ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî, îòñûëàÿ çàèíòåðåñîâàííîãî ÷èòàòåëÿ çà ïîäðîá-

íîñòÿìè ê êíèãå [2]. Â îïðàâäàíèå íàøåãî ïîäõîäà ïðèâåäåì âûäåðæêó

èç óæå öèòèðîâàâøåéñÿ êíèæêè Þ.È. Ìàíèíà [11]: ... ïðè ñîâðåìåííîì

ñîñòîÿíèè îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè è âîïðîñà î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè àâòî-

ðó âñÿ ïðîáëåìà ïðåäñòàâëÿåòñÿ íåñêîëüêî àêàäåìè÷åñêîé. Íàøà ïîçè-

öèÿ áëèçêà ê òî÷êå çðåíèÿ ôèçèêà-ýêñïåðèìåíòàòîðà, íå ñêëîííîãî íè

ôåòèøèçèðîâàòü, íè ëîìàòü ñâîè ïðèáîðû, ïîêà îíè ïðèíîñÿò ðåçóëüòà-

òû.

2) Äëÿ êàæäîãî X ∈ Ob(C) òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì idX îïðåäåëåí

îäíîçíà÷íî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè idX , id′X äâà ìîðôèçìà óäîâëåòâî-

ðÿþùèõ ðàâåíñòâàì ïóíêòà (b), òî idX = idX id′X = id′X .

3) Èç (c) ëåãêî âûòåêàåò, ÷òî êîìïîçèöèÿ ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íî-

ãî ÷èñëà ìîðôèçìîâ, åñëè îíà îïðåäåëåíà, íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè

ñêîáîê.

Çàäà÷à. Ïóñòü ó íàñ åñòü äâà îáúåêòà A, B è òðè ðàçíûõ ìîðôèçìà

f : A→ B, g, h : B → A, êîòîðûå ïîêàçàíû íà äèàãðàììå

Af

//B.

g

WW

h

Êðîìå òîãî, ïóñòü èìåþòñÿ òîæäåñòâåííûå ìîðôèçìû idA : A →A, idB : B → B (íå ïîêàçàííûå íà äèàãðàììå). Ïîêàæèòå, ÷òî ýòîò

íàáîð äàííûõ íå ìîæåò îòâå÷àòü íèêàêîé êàòåãîðèè ñ äâóìÿ îáúåê-

òàìè A, B.

Îïðåäåëåíèå 2. a) Ìîðôèçì f : X → Y â êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ

èçîìîðôèçìîì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ìîðôèçì g : Y → X, ÷òî f g =idY , g f = idX .

11

b) Îáúåêòû X, Y ∈ Ob(C), ìåæäó êîòîðûìè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû

îäèí èçîìîðôèçì, íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îòíîøåíèå áûòü èçîìîðôíûì åñòü îòíîøåíèå

ýêâèâàëåíòíîñòè íà Ob(C). Ìîðôèçìû f : X → Y è g : Y → X ñî ñâîé-

ñòâàìè, óêàçàííûìè â ï. a) îïðåäåëåíèÿ âûøå, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî îá-

ðàòíûìè. Êàæäûé èçîìîðôèçì f : X → Y îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò îá-

ðàòíûé ê íåìó èçîìîðôèçì: ïóñòü g, g′ äâà òàêèõ èçîìîðôèçìà, òîãäà

g = g idY = g (f g′) = (g f) g′ = idX g′ = g′.

Ïîìèìî èçîìîðôèçìà, âûäåëèì åù¼ äâà âàæíûõ òèïà ìîðôèçìîâ.

Îïðåäåëåíèå 3. Ìîðôèçì f : Y → Z â êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ ìîíî-

ìîðôèçìîì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ ìîðôèçìîâ g1 : X → Y, g2 : X → Y

â C èç ðàâåíñòâà êîìïîçèöèé f g1 = f g2 âñåãäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî

g1 = g2. Äðóãèìè ñëîâàìè, ìîíîìîðôèçìû ýòî òàêèå ìîðôèçìû, íà

êîòîðûå ìîæíî ñîêðàùàòü êîìïîçèöèþ ñëåâà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèà-

ãðàììà âûãëÿäèò òàê:

Xg1⇒g2

Yf→ Z. (1.1)

Ìîðôèçì f : X → Y â êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ ýïèìîðôèçìîì, åñëèäëÿ ëþáûõ äâóõ ìîðôèçìîâ g1 : Y → Z, g2 : Y → Z â C èç ðàâåí-

ñòâà êîìïîçèöèé ìîðôèçìîâ g1 f = g2 f âñåãäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî

g1 = g2. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýïèìîðôèçìû ýòî òàêèå ìîðôèçìû, íà

êîòîðûå ìîæíî ñîêðàùàòü êîìïîçèöèþ ñïðàâà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèà-

ãðàììà âûãëÿäèò òàê:

Xf→ Y

g1⇒g2

Z. (1.2)

Îïðåäåëåíèå 4. Êàòåãîðèÿ C íàçûâàåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè D,åñëè

(a) Ob(C) ⊂ Ob(D);

(b) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ X, Y ∈ Ob(C) èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâìîðôèçìîâ HomC(X, Y ) ⊂ HomD(X, Y );

(c) êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ â C ñîâïàäàåò ñ èõ êîìïîçèöèåé êàê ìîð-

ôèçìîâ â D; äëÿ X ∈ Ob(C) òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì idX â êàòå-

ãîðèè C ñîâïàäàåò ñ òîæäåñòâåííûì ìîðôèçìîì idX â êàòåãîðèè

D.

12

Îïðåäåëåíèå 5. Ïîäêàòåãîðèÿ C ⊂ D íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè äëÿ ëþ-

áûõ X, Y ∈ Ob(C) èìååò ìåñòî íå ïðîñòî âêëþ÷åíèå (b), íî ñîâïàäåíèå

HomC(X, Y ) = HomD(X, Y )

ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ.

1.2 Ïåðâûå ïðèìåðû êàòåãîðèé

 ýòîì ðàçäåëå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ ðàçëè÷íûìè ïðèìåðàìè êàòåãîðèé,

ñðåäè êîòîðûõ åñòü ôóíäàìåíòàëüíûå êàòåãîðèè, èçó÷åíèåì ñâîéñòâ

êîòîðûõ çàíèìàþòñÿ áîëüøèå ðàçäåëû àëãåáðû è ãåîìåòðèè (òàêîâû

ïðèìåðû b) i)).

a) Êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâ. Âàæíåéøèì ïðèìåðîì êàòåãîðèè ÿâëÿåòñÿ

êàòåãîðèÿ âñåõ (òî÷íåå, ïðèíàäëåæàùèõ óíèâåðñóìó, ñì. Çàìå÷àíèå

1) â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå) ìíîæåñòâ è âñåõ îòîáðàæåíèé ìåæäó

íèìè, îáîçíà÷àåìàÿ Set . Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíòàìè Ob(Set) ÿâëÿþò-ñÿ ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà, à ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ HomSet(X, Y ) èç

îáúåêòà X â îáúåêò Y ñîñòîèò èç ïðîèçâîëüíûõ îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâ

f : X → Y. Êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ â äàííîì ñëó÷àå ýòî îáû÷íàÿ

êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâ, êîòîðàÿ, êàê õîðîøî èçâåñòíî, àñ-

ñîöèàòèâíà, ò.å. âûïîëíåíî óñëîâèå (c) Îïðåäåëåíèÿ 1. Ìîðôèçì idX

ýòî òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå X → X, ïðè êîòîðîì êàæäûé ýëåìåíò

x ∈ X ïåðåõîäèò â ñåáÿ.

Ïîêàæåì, ÷òî èçîìîðôèçìû â êàòåãîðèè Set ýòî â òî÷íîñòè

áèåêöèè ìíîæåñòâ. Ïóñòü f : X → Y è g : Y → X òàêèå îòîáðàæå-

íèÿ, ÷òî g f = idX , f g = idY . Òîãäà f èíúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî,

g(f(x1)) = x1, g(f(x2)) = x2, ïîýòîìó ïðè x1 = x2 èìååì f(x1) = f(x2).

Êðîìå òîãî, f ñþðúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî, ∀y ∈ Y ∃x ∈ X (à èìåííî

x = g(y)) òàêîé ÷òî f(x) = y. Òàêèì îáðàçîì, f èíúåêòèâíî è ñþðúåê-

òèâíî è çíà÷èò ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.  ñèëó ñèììåòðèè óñëîâèé íà f è g

ìû òàêæå âèäèì, ÷òî g òîæå áèåêöèÿ. Îáðàòíî, åñëè f : X → Y

áèåêöèÿ, òî, ïîëîæèâ g = f−1, ìû ïîëó÷èì g f = idX , f g = idY .

Ïîêàæåì, ÷òî ìîðôèçì â Set ÿâëÿåòñÿ ìîíîìîðôèçìîì òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà îí èíúåêòèâåí. Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî îòîá-

ðàæåíèå f : Y → Z â (1.1) èíúåêòèâíî. Åñëè f g1 = f g2, òî åñòü

13

f(g1(x)) = f(g2(x)) ∀x ∈ X, òî èç íàøåãî ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî

f âûòåêàåò, ÷òî g1(x) = g2(x) ∀x ∈ X, òî åñòü g1 = g2, çíà÷èò f ìîíî-

ìîðôèçì. Îáðàòíî, åñëè îòîáðàæåíèå f : Y → Z â (1.1) íå èíúåêòèâíî,

òî ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû y1, y2 ∈ Y, y1 = y2, è ïðè ýòîì f(y1) = f(y2).

Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå X ïðîèçâîëüíîå îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, à â êà-

÷åñòâå gi : X → Y, i = 1, 2 òàêèå îòîáðàæåíèÿ, ÷òî gi(X) = yi, i = 1, 2.

Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî f g1 = f g2, íî g1 = g2. Çíà÷èò, f íå ìîíî-

ìîðôèçì.

Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî ìîðôèçì â Set ÿâëÿåòñÿ ýïèìîðôèçìîì òîãäà

è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ñþðúåêòèâåí.

Ñëåäóþùóþ ãðóïïó ïðèìåðîâ (b) h′)) îáðàçóþò êàòåãîðèè, îáúåê-

òàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñòðóêòóðàìè, à

ìîðôèçìàìè îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ, ñîãëàñîâàííûå ñ ýòèìè ñòðóêòó-

ðàìè. Ýòî òàê íàçûâàåìûå êîíêðåòíûå êàòåãîðèè, òî÷íîå îïðåäåëåíèå

êîòîðûõ ìû äàäèì ïîñëå òîãî, êàê ââåä¼ì ïîíÿòèå ôóíêòîðà.

b) Êàòåãîðèÿ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ. ×åðåç T op îáîçíà÷èì

êàòåãîðèþ, ÷üèìè îáúåêòàìè ÿâëÿþòñÿ âñå òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàí-

ñòâà, à ìîðôèçìàìè íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ. Èçîìîðôèçìû â êà-

òåãîðèè T op ãîìåîìîðôèçìû òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ.

c) Êàòåãîðèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé. ×åðåç Diff îáîçíà÷èì êàòåãî-

ðèþ, ÷üèìè îáúåêòàìè ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèå ìíîãîîáðàçèÿ, à ìîðôèçìàìè

ãëàäêèå îòîáðàæåíèÿ. Èçîìîðôèçìû â Diff íàçûâàþòñÿ äèôôåîìîð-

ôèçìàìè.

d) Êàòåãîðèÿ ãðóïï. Ïóñòü Gr åñòü êàòåãîðèÿ, ÷üèìè îáúåêòàìè ÿâ-

ëÿþòñÿ âñå ãðóïïû, à ìîðôèçìàìè ãîìîìîðôèçìû ãðóïï. Èçîìîðôèç-

ìàìè â Gr ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôèçìû ãðóïï.

e) Êàòåãîðèÿ àáåëåâûõ ãðóïï. Ïóñòü Ab êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè

êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ àáåëåâû (=êîììóòàòèâíûå) ãðóïïû, à ìîðôèçìàìè

ãîìîìîðôèçìû ãðóïï. Ýòî ïîëíàÿ ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Gr .f) Êàòåãîðèÿ êîëåö. ÏóñòüRing åñòü êàòåãîðèÿ, ÷üèìè îáúåêòàìè ÿâ-ëÿþòñÿ âñå êîëüöà (íå îáÿçàòåëüíî ñ åäèíèöåé), à â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ

ðàññìàòðèâàþòñÿ ãîìîìîðôèçìû êîëåö. Èçîìîðôèçìû â ýòîé êàòåãîðèè

â òî÷íîñòè èçîìîðôèçìû êîëåö.

g) Êàòåãîðèè àëãåáð. Â äàëüíåéøåì â ïðèìåðàõ ìû áóäåì ðàññìàòðè-

14

âàòü òàêæå ðàçëè÷íûå êàòåãîðèè àëãåáð. Åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå,

âñå ðàññìàòðèâàåìûå íèæå àëãåáðû ïðåäïîëàãàþòñÿ àññîöèàòèâíûìè

è ñ åäèíèöåé. Íàïðèìåð, ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàòåãîðèþ àññîöè-

àòèâíûõ àëãåáð ñ åäèíèöåé íàä ôèêñèðîâàííûì ïîëåì k, êàòåãîðèþ

êîììóòàòèâíûõ àññîöèàòèâíûõ àëãåáð ñ åäèíèöåé íàä ïîëåì k (çàìå-

òèì, ÷òî â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ k-àëãåáð ñ åäèíèöåé 1 ðàññìàòðèâàþòñÿ

òàêèå ãîìîìîðôèçìû k-àëãåáð, êîòîðûå îòîáðàæàþò 1 â 1). ×òîáû íå

ââîäèòü ñëîæíûõ îáîçíà÷åíèé, âñå ýòè êàòåãîðèè ìû áóäåì îáîçíà÷àòü

Algk, êàæäûé ðàç óêàçûâàÿ, êàêàÿ êîíêðåòíî êàòåãîðèÿ àëãåáð èìååòñÿâ âèäó (ïðè ýòîì ÷àñòî îïóñêàÿ òåðìèí àññîöèàòèâíûé). Òàêæå áó-

äåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàòåãîðèÿ êîììóòàòèâíûõ àëãåáð ñ åäèíèöåé íàä

(êîììóòàòèâíûì) êîëüöîì R.  ÷àñòíîñòè, êàòåãîðèÿ êîììóòàòèâíûõ

Z-àëãåáð ñ åäèíèöåé áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ïðîñòî Alg (çàìåòèì, ÷òî îíà

ñîâïàäàåò ñ êàòåãîðèåé êîììóòàòèâíûõ êîëåö ñ åäèíèöåé).

h) Êàòåãîðèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä ïîëåì k. Ôèêñèðóåì

ïðîèçâîëüíîå ïîëå k è ÷åðåç Vectk îáîçíà÷èì êàòåãîðèþ, ÷üèìè îáúåê-

òàìè ÿâëÿþòñÿ âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íàä k, à ìîðôèçìàìè ëèíåé-

íûå îòîáðàæåíèÿ. Áîëåå îáùèì îáðàçîì, ïóñòü R êîëüöî ñ åäèíèöåé.

Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü êàòåãîðèþ RMod , îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþò-

ñÿ óíèòàðíûå ëåâûå R-ìîäóëè (íàïîìíèì, ÷òî R-ìîäóëü M íàçûâàåòñÿ

óíèòàðíûì, åñëè 1Rx = x ∀x ∈ M , çäåñü 1R åäèíèöà êîëüöà R),

à ìîðôèçìàìè ãîìîìîðôèçìû R-ìîäóëåé. (Çàìåòèì, ÷òî êàòåãîðèÿ

ZMod ñîâïàäàåò ñ êàòåãîðèåé Ab.) Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êàòåãî-

ðèÿ ïðàâûõ R-ìîäóëåéModR.

h′) Êàòåãîðèÿ êîíå÷íîìåðíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä ïî-

ëåì k. Â Vectk âûäåëèì ïîëíóþ ïîäêàòåãîðèþ Vectfk , îáúåêòàìè êîòî-

ðîé ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íîìåðíûå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà íàä k, (à ìîðôèç-

ìàìè ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ êàê è â Vectk).×èòàòåëü ëåãêî ïðîäîëæèò óêàçàííûé ñïèñîê êàòåãîðèé (íàïðèìåð,

îïðåäåëèâ êàòåãîðèþ àëãåáð Ëè íàä ïîëåì k (ñ ìîðôèçìàìè ãîìî-

ìîðôèçìàìè àëãåáð Ëè), êàòåãîðèþ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ (ñ ìîíî-

òîííûìè îòîáðàæåíèÿìè â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ), êàòåãîðèè ìåòðè÷å-

ñêèõ ïðîñòðàíñòâ (èìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå 3 ðàçóìíûõ ñïîñîáà çàäàòü

ìîðôèçìû ìåæäó ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè: êàê íåïðåðûâíûå, èëè

15

ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå, èëè ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ; ýòî ïðèâîäèò

ê òð¼ì ðàçíûì êàòåãîðèÿì, ñ ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè â êà÷åñòâå

îáúåêòîâ) è ò.ä.

Çàäà÷à. Ïîêàæèòå, ÷òî ìîðôèçì â Vectk ÿâëÿåòñÿ ìîíîìîðôèçìîì

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí èíúåêòèâåí. Àíàëîãè÷íî, ìîðôèçì â

Vectk ÿâëÿåòñÿ ýïèìîðôèçìîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ñþðú-

åêòèâåí.2

Çàäà÷à.  ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ êàòåãîðèé èçîìîðôèçìû ÿâëÿþò-

ñÿ, â ÷àñòíîñòè, áèåêòèâíûìè îòîáðàæåíèÿìè.3 Äëÿ êàêèõ èç ýòèõ

ïðèìåðîâ âåðíî îáðàòíîå, òî åñòü âñÿêèé áèåêòèâíûé ìîðôèçì ÿâ-

ëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì?4 Óêàæèòå ïîäêàòåãîðèþ â T op, äëÿ êîòîðîé

ýòî òîæå âåðíî.

Ïðèâåä¼ì ïðèìåð êàòåãîðèè, ìîðôèçìû â êîòîðîé íå ÿâëÿþòñÿ

òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûìè îòîáðàæåíèÿìè.

i) Ãîìîòîïè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ. Î÷åíü âàæíóþ ðîëü â ìàòåìàòèêå èã-

ðàåò ñëåäóþùàÿ ò.í. ãîìîòîïè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ hT op. Ïåðåä òåì êàê

äàòü å¼ îïðåäåëåíèå, íàïîìíèì, ÷òî äâà íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèÿ

f, g : X → Y

èç òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Y

íàçûâàþòñÿ ãîìîòîïíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå

Φ: X × I → Y

(çäåñü I èíòåðâàë [0, 1] ñî ñòàíäàðòíîé òîïîëîãèåé, à íà X × I ðàñ-

ñìàòðèâàåòñÿ òîïîëîãèÿ ïðîèçâåäåíèÿ), òàêîå ÷òî

Φ |X×0= f, Φ |X×1= g,

2â òàê íàçûâàåìûõ êîíêðåòíûõ êàòåãîðèÿõ, îáúåêòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà, (âîîáùå

ãîâîðÿ) ñíàáæ¼ííûå íåêîòîðîé ñòðóêòóðîé, à ìîðôèçìû îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ, â åñòåñòâåííîì

ñìûñëå ñîãëàñîâàííûå ñ ýòîé ñòðóêòóðîé (ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ âñå ðàññìîòðåííûå âûøå ïðèìåðû

êàòåãîðèé), âñÿêèé èíúåêòèâíûé (êàê îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ) ìîðôèçì ÿâëÿåòñÿ ìîíîìîðôèçìîì,

à âñÿêèé ñþðúåêòèâíûé ìîðôèçì ýïèìîðôèçìîì. Îäíàêî îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî:

ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåðû êîíêðåòíûõ êàòåãîðèé, â êîòîðûõ ìîíîìîðôèçìû íå îáÿçàòåëüíî èíúåê-

òèâíû, è ïðèìåðû, â êîòîðûõ ýïèìîðôèçìû íå îáÿçàòåëüíî ñþðúåêòèâíû (íàïðèìåð, åñòåñòâåííîå

âëîæåíèå Z→ Q, íå áóäó÷è ñþðúåêòèâíûì, ÿâëÿåòñÿ ýïèìîðôèçìîì â Ring).3Çàáåãàÿ âïåð¼ä, çàìåòèì, ÷òî ýòî îáùèé ôàêò äëÿ êîíêðåòíûõ êàòåãîðèé, âûòåêàþùèé èç

òîãî, ÷òî ëþáîé ôóíêòîð èçîìîðôèçì ïåðåâîäèò â èçîìîðôèçì.4Åñëè Âû óæå èçó÷àëè ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç, ïîäóìàéòå, â ÷¼ì ñîñòîèò êàòåãîðíûé ñìûñë

òåîðåìû Áàíàõà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå?

16

ãäå ÷åðåç Φ |X×0 (ñîîòâ. Φ |X×1) îáîçíà÷åíî îãðàíè÷åíèå Φ íà X ×0 ⊂ X × I (ñîîòâ. íà X × 1)).

Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé

X → Y îòíîøåíèå áûòü ãîìîòîïíûìè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâà-

ëåíòíîñòè, è, òàêèì îáðàçîì, ýòî ìíîæåñòâî ðàçáèâàåòñÿ íà íåïåðåñåêà-

þùèåñÿ êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ãîìîòîïè÷åñêèå êëàññû îòîáðàæå-

íèé. Êëàññ îòîáðàæåíèÿ f áóäåì îáîçíà÷àòü [f ].

Îáúåêòû êàòåãîðèè hT op ýòî ïðîèçâîëüíûå òîïîëîãè÷åñêèå ïðî-

ñòðàíñòâà, ò.å. Ob(hT op) = Ob(T op) (ñì. ïðèìåð c)), ìîðôèçìû æå

îïðåäåëÿþòñÿ èíà÷å ÷åì â Ob(T op):

HomhT op(X, Y ) = ìíîæåñòâî ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ

íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé èç X â Y .

Åñëè f1, g1 : X → Y ãîìîòîïíû è f2, g2 : Y → Z ãîìîòîïíû, òî èõ êîì-

ïîçèöèè f2 f1, g2 g1 : X → Z òàêæå ãîìîòîïíû, ïîýòîìó ðàâåíñòâî

[f2] [f1] := [f2 f1] êîððåêòíî îïðåäåëÿåò êîìïîçèöèþ ãîìîòîïè÷åñêèõ

êëàññîâ.

Çàäà÷à. Îïèøèòå â òåðìèíàõ îòîáðàæåíèé è ãîìîòîïèé óñëîâèå íà

íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : X → Y , ïðè âûïîëíåíèè êîòîðîãî åãî

êëàññ [f ] ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì â hT op.Ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ ìàëîé êàòåãîðèè ñ òî÷êè çðåíèÿ àëãåáðû ÿâ-

ëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñ ÷àñòè÷íîé (òî åñòü íå âñþäó îïðåäåë¼ííîé) áèíàð-

íîé àññîöèàòèâíîé îïåðàöèåé.  ÷àñòíîñòè, ìîðôèçìû îäíîîáúåêòíîé

êàòåãîðèè îáðàçóþò ìîíîèä (òî åñòü ïîëóãðóïïó ñ åäèíèöåé; íàïîìíèì,

÷òî ïîëóãðóïïà ìíîæåñòâî ñ çàäàííîé íà í¼ì áèíàðíîé àññîöèàòèâ-

íîé îïåðàöèåé), à ïðè óñëîâèè, ÷òî êàæäûé ìîðôèçì èìååò îáðàòíûé

(òî åñòü ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì) ãðóïïó. Îáðàòíî, ïðîèçâîëüíûé ìî-

íîèä ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êàòåãîðèþ ñ åäèíñòâåííûì îáúåêòîì x è

ìîðôèçìàìè x → x, îòâå÷àþùèìè ýëåìåíòàì ìîíîèäà, ïðè÷åì êîìïî-

çèöèè ìîðôèçìîâ îòâå÷àåò ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ;

òîãäà àññîöèàòèâíîñòü îïåðàöèè â ìîíîèäå îáåñïå÷èò âûïîëíåíèå óñëî-

âèÿ (c) â Îïðåäåëåíèè 1, à ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû ñóùåñòâîâàíèå

òîæäåñòâåííîãî ìîðôèçìà (ò.å. âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (b) òàì æå).

17

Êàòåãîðèè (âîîáùå ãîâîðÿ, ñî ìíîãèìè îáúåêòàìè), â êîòîðûõ âñÿêèé

ìîðôèçì îáðàòèì (òî åñòü ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì), íàçûâàþòñÿ ãðóï-

ïîèäàìè. Ãðóïïîèäû ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèÿìè ãðóïï (ãðóïïà ãðóïïîèä

ñ îäíèì ýëåìåíòîì), à òàêæå äåéñòâèé ãðóïï è îòíîøåíèé ýêâèâàëåíò-

íîñòè, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ ïàðà ïðèìåðîâ.

j) Ãðóïïîèä äåéñòâèÿ. Ïóñòü X íåïóñòîå ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì

äåéñòâóåò ãðóïïà G. Íàïîìíèì (ñì., íàïðèìåð, [7]), ÷òî ïîñëåäíåå îçíà-

÷àåò, ÷òî êàæäîé ïàðå (g, x) ∈ G × X ñîïîñòàâëåí ýëåìåíò gx ∈ X,

ïðè÷åì ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

(1) (g2g1)x = g2(g1x) ∀g1, g2 ∈ G, x ∈ X è

(2) ex = x ∀x ∈ X, ãäå e åäèíè÷íûé ýëåìåíò ãðóïïû G.

Îïðåäåëèì òåïåðü êàòåãîðèþ C ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Ob(C) = x | x ∈ X, HomC(x, x′) = g ∈ G | gx = x′.

Äðóãèìè ñëîâàìè, îáúåêòàìè C ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû ìíîæåñòâàX, à ìîð-

ôèçìàìè ïàðû (g, x), g ∈ G, x ∈ X, ïðè÷åì (g, x) ∈ HomC(x, gx).5

Êîìïîçèöèÿ (g, x) è (g′, x′) îïðåäåëåíà òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà

gx = x′, ïðè÷åì ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ

(g′, x′) (g, x) := (g′g, x) ∈ HomC(x, g′x′)

(ïîñìîòðèòå íà xg→ x′

g′→ x′′). Òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì idx îïðåäåëÿ-

åòñÿ êàê ïàðà (e, x). ×èòàòåëü ëåãêî ïðîâåðèò, ÷òî àêñèîìû êàòåãîðèè

âûòåêàþò èç àêñèîì ãðóïïû è óñëîâèé (1), (2) â îïðåäåëåíèè äåéñòâèÿ,

à îáðàòèìîñòü ïðîèçâîëüíîãî ìîðôèçìà (g, x) èç ñîîòíîøåíèé

g−1(gx) = (g−1g)x = ex = x, g(g−1(gx)) = (gg−1)(gx) = e(gx) = gx.

k) Ãðóïïîèä, ñâÿçàííûé ñ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïóñòü

X íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíî-

ñòè, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ∼. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ, îáúåêòà-

ìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû ìíîæåñòâà X, è äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äâóõ

5åñëè íå ïîíÿòíî, çà÷åì ðàññìàòðèâàòü ïàðû (g, x), âñïîìíèòå àêñèîìó (a) èç Îïðåäåëåíèÿ 1.

18

ýëåìåíòîâ x, y ∈ X ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìîðôèçì x → y åñëè è

òîëüêî åñëè x ∼ y.

l) Êàòåãîðèÿ îòíîøåíèé. Îïðåäåëèì êàòåãîðèþ Rel ñëåäóþùèì îá-

ðàçîì. Îáúåêòû Rel òàêèå æå êàê â Set ìíîæåñòâà (â äàííîì óíè-

âåðñóìå ñì. Çàìå÷àíèå 1) íà ñòð. 10), à ìîðôèçìû HomRel(X, Y )

îïðåäåëÿþòñÿ èíà÷å: ýòî ïîäìíîæåñòâà ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ X × Y .6

Êîìïîçèöèÿ φ : X → Y è ψ : Y → Z îïðåäåëÿåòñÿ òàê:

ψ φ = (x, z) ∈ X × Z | ∃y ∈ Y òàêîå ÷òî (x, y) ∈ φ, (y, z) ∈ ψ.

Òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì idX çàäàåòñÿ äèàãîíàëüþ â ïðÿìîì ïðîèçâå-

äåíèè:

idX = (x, x) | x ∈ X ⊂ X ×X.

m) Êàòåãîðèÿ ïîäìíîæåñòâ äàííîãî ìíîæåñòâà. Ôèêñèðóåì ìíî-

æåñòâî S. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ P(S), îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ

ïîäìíîæåñòâà S, à ìîðôèçìàìè âëîæåíèÿ ïîäìíîæåñòâ. Ýòà êàòåãî-

ðèÿ èíòåðåñíà òåì, ÷òî â íåé åäèíñòâåííûìè èçîìîðôèçìàìè ÿâëÿþòñÿ

òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð èìååò î÷åâèä-

íîå îáîáùåíèå: êàòåãîðèþ, ñâÿçàííóþ ñ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíî-

æåñòâîì.

n) Êàòåãîðèÿ íàêðûòèé. Ïóñòü E è B äîñòàòî÷íî õîðîøèå ëè-

íåéíî ñâÿçíûå òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà.7 Íåïðåðûâíîå îòîáðàæå-

íèå p : E → B íàçûâàåòñÿ íàêðûòèåì, åñëè îíî ñþðúåêòèâíî è äëÿ ëþ-

áîé òî÷êè b ∈ B ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü V òàêàÿ, ÷òî êàæäàÿ

êîìïîíåíòà p−1(V ) îòêðûòà â E è îãðàíè÷åíèå p îïðåäåëÿåò å¼ ãîìåî-

ìîðôèçì ñ V .

Íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå g : E → E ′ ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì íàêðû-

6×òîáû ñâÿçàòü ââåäåííûå îïðåäåëåíèÿ ñ îáû÷íûì ïîíÿòèåì îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâå, çàìåòèì

÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîäìíîæåñòâàìè S ⊂ X ×X è îòíîøå-

íèÿìè R íà ìíîæåñòâå X: ïî ïîäìíîæåñòâó S ⊂ X × X îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèå RS ñëåäóþùèì

îáðàçîì: xRSy ⇔ (x, y) ⊂ S è îáðàòíî, ïî îòíîøåíèþ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ïîäìíîæå-

ñòâî.7ðàñøèôðîâêó ñëîâ äîñòàòî÷íî õîðîøèå ÷èòàòåëü íàéä¼ò, íàïðèìåð, â [12]. Ýòî, â ÷àñòíîñòè,

âñå ìíîãîîáðàçèÿ è êëåòî÷íûå ïðîñòðàíñòâà.

19

òèé p : E → B è p′ : E ′ → B ïðîñòðàíñòâà B åñëè äèàãðàììà

Eg

//

p@@

@@@@

@@E ′

p′~~

B

êîììóòàòèâíà.8

Íàêðûòèÿ ïðîñòðàíñòâà B îòíîñèòåëüíî òîëüêî ÷òî îïðåäåë¼ííûõ

ìîðôèçìîâ îáðàçóþò êàòåãîðèþ Cov(B) íàêðûòèé B.

È â çàêëþ÷åíèå ïðèâåä¼ì ïðèìåðû êîíñòðóèðîâàíèÿ íîâûõ êàòåãî-

ðèé èç çàäàííûõ.

o) Ôàêòîðêàòåãîðèÿ. Ïóñòü C íåêîòîðàÿ êàòåãîðèÿ. Îòíîøåíèå

êîíãðóýíòíîñòè R íà C ýòî çàäàíèå äëÿ êàæäîé ïàðû å¼ îáúåêòîâ

X, Y îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè RX,Y íà ìíîæåñòâå HomC(X, Y ), ïðè-

÷¼ì ýòè îòíîøåíèÿ äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíû ñ êîìïîçèöèåé ìîðôèç-

ìîâ. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ìîðôèçìû f1, f2 : X → Y ýêâèâàëåíò-

íû â ñìûñëå îòíîøåíèÿ RX,Y , à ìîðôèçìû g1, g2 : Y → Z â ñìûñëå

îòíîøåíèÿ RY,Z , òî èõ êîìïîçèöèè g1f1 è g2f2 : X → Z ýêâèâàëåíòíû

â ñìûñëå îòíîøåíèÿ RX,Z .

Äëÿ äàííîãî îòíîøåíèÿ êîíãðóýíòíîñòè R íà C ìîæíî îïðåäåëèòü

òàê íàçûâàåìóþ ôàêòîðêàòåãîðèþ C/R êàê êàòåãîðèþ ñ òåìè æå îáúåê-

òàìè ÷òî è C, íî ñ êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè ìîðôèçìîâ èç C â êà÷åñòâåìîðôèçìîâ. Òî åñòü

HomC/R(X, Y ) = HomC(X, Y )/RX,Y .

Êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ â C/R êîððåêòíî îïðåäåëåíà, ïîñêîëüêó R

îòíîøåíèå êîíãðóýíòíîñòè.

Âûøå ìû óæå âèäåëè, ÷òî ìîíîèäû è ãðóïïû ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ

êàê êàòåãîðèè ñ åäèíñòâåííûì îáúåêòîì.  ýòîì ñëó÷àå ïîíÿòèå ôàê-

òîðêàòåãîðèè ñîâïàäàåò ñ ïîíÿòèÿìè ôàêòîðìîíîèäà è ôàêòîðãðóïïû.

8Â óêàçàííîé äèàãðàììå èç âåðøèíû E â âåðøèíó B ìîæíî ïîïàñòü äâèãàÿñü ëèáî ïî ñòðåë-

êå p, ëèáî ïî êîìïîçèöèè ñòðåëîê p′ g. Òåðìèí êîììóòàòèâíîñòü è îçíà÷àåò ñîâïàäåíèå äâóõ

âîçìîæíûõ ïóòåé, òî åñòü p = p′ g. Âîîáùå, â òåîðèè êàòåãîðèé êîììóòàòèâíàÿ äèàãðàììà ýòî

äèàãðàììà, ñîñòàâëåííàÿ èç îáúåêòîâ â êà÷åñòâå âåðøèí è ìîðôèçìîâ â êà÷åñòâå ñòðåëîê, ñîåäè-

íÿþùèõ âåðøèíû, òàêàÿ ÷òî âñå íàïðàâëåííûå ïóòè ñ îäèíàêîâûìè íà÷àëîì è êîíöîì ïðèâîäÿò ê

îäèíàêîâîìó ðåçóëüòàòó îòíîñèòåëüíî êîìïîçèöèè. Êîììóòàòèâíûå äèàãðàììû èãðàþò â òåîðèè

êàòåãîðèé ïðèìåðíî òàêóþ æå ðîëü, ÷òî è ðàâåíñòâà â àëãåáðå.

20

Äðóãèì ïðèìåðîì ôàêòîðêàòåãîðèè ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåííàÿ â ïðèìåðå

i) ãîìîòîïè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ hT op (â êà÷åñòâå C íóæíî âçÿòü êàòåãî-

ðèþ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ è íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé T op, à âêà÷åñòâå RX,Y îòíîøåíèå ãîìîòîïíîñòè íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ

îòîáðàæåíèé X → Y ).

p) Êàòåãîðèÿ çàïÿòîé.9 Ïóñòü ñíîâà C íåêîòîðàÿ êàòåãîðèÿ. Ôèêñè-

ðóåì íåêîòîðûé îáúåêò S ∈ Ob(C) è ïîñòðîèì íîâóþ êàòåãîðèþ CS îáú-åêòîâ íàä S ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáúåêòû CS ýòî âñåâîçìîæíûå ïàðû

(X, φ), ãäå X ∈ Ob(C), φ ∈ HomC(X, S). Ìîðôèçì èç (X, φ) ∈ Ob(CS)â (Y, ψ) ∈ Ob(CS) ýòî ìîðôèçì f ∈ HomC(X, Y ) òàêîé ÷òî φ = ψ f,ò.å. äèàãðàììà

Xφ

f// Y

ψ~~

S

êîììóòàòèâíà. Ñ ýòîé êîíñòðóêöèåé ìû íåîäíîêðàòíî áóäåì âñòðå÷àòü-

ñÿ â äàëüíåéøåì. Èìååòñÿ òàêæå äóàëüíàÿ âåðñèÿ CS ýòîé êîíñòðóê-

öèè, êîãäà âìåñòî îáúåêòîâ (X, φ), φ ∈ HomC(X, S) ðàññìàòðèâàþòñÿ

îáúåêòû (X, φ), φ ∈ HomC(S, X).

q) Çàôèêñèðóåì ìíîæåñòâî S. Ïóñòü C êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè êîòî-

ðîé ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîëüíûå îòîáðàæåíèÿ f : S → G, ãäå G íåêîòîðàÿ

ãðóïïà (êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòî êàê ìíîæå-

ñòâî). Îáîçíà÷èì òàêîé îáúåêò (G, f). Ìîðôèçì â C èç îáúåêòà (G, f)

â îáúåêò (H, g) ãîìîìîðôèçì ãðóïï φ : G→ H òàêîé, ÷òî äèàãðàììà

Sf

//

g

G

φ~~

H

êîììóòàòèâíà (òî åñòü g è êîìïîçèöèÿ φ f ñîâïàäàþò êàê îòîáðàæå-

íèÿ ìíîæåñòâ S → H). Ïîñòðîåííàÿ êàòåãîðèÿ íèæå áóäåò èñïîëüçîâàíà

äëÿ ôîðìóëèðîâêè óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà ñâîáîäíîé ãðóïïû, ïîðîæ-

äåííîé ìíîæåñòâîì S.

r) Çàôèêñèðóåì ïîëå k è íàáîð âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Un íàä

ýòèì ïîëåì (äëÿ ïðîñòîòû ÷èòàòåëü ìîæåò âñå ïðîñòðàíñòâà ñ÷èòàòü êî-

íå÷íîìåðíûìè). Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ C, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ9íàçûâàåìàÿ ïî-àíãëèéñêè comma category.

21

ïàðû (V, f), ñîñòîÿùèå èç âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V (íàä òåì æå ïî-

ëåì) è ïîëèëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ f : U1 × . . .× Un → V . Ìîðôèçì èç

îáúåêòà (V, f) â îáúåêò (W, g) ïî îïðåäåëåíèþ ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå

φ : V → W, ïðåâðàùàþùåå äèàãðàììó

U1 × . . .× Unf

//

g

V

φwwppp

pppppp

ppppp

W

â êîììóòàòèâíóþ. Òî åñòü g è φ f ñîâïàäàþò êàê ïîëèëèíåéíûå îòîá-

ðàæåíèÿ U1× . . .×Un → W. Ïîñòðîåííàÿ êàòåãîðèÿ íèæå áóäåò èñïîëü-

çîâàíà äëÿ ôîðìóëèðîâêè óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà òåíçîðíîãî ïðîèçâå-

äåíèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Un.

Äðóãèå ïîäîáíûå ïðèìåðû èñêóññòâåííî ïîñòðîåííûõ êàòåãîðèé

âñòðåòÿòñÿ â äàëüíåéøåì, â ÷àñòíîñòè, ïðè îáñóæäåíèè óíèâåðñàëüíûõ

îáúåêòîâ.

1.3 Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè

Ïðèâåäåííûå âûøå îïðåäåëåíèÿ è ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò,

÷òî òåîðèþ êàòåãîðèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðûé ìàòåìàòè-

÷åñêèé ÿçûê, êîòîðûé ïðèçâàí îïèñûâàòü íå ñòðóêòóðó îáúåêòîâ (êàê

ýòî äåëàåò ÿçûê òåîðèè ìíîæåñòâ), à èõ ñâÿçè (âûðàæàåìûå ïîñðåä-

ñòâîì ìîðôèçìîâ) ñ äðóãèìè îáúåêòàìè òîé æå êàòåãîðèè. Ïðîñòåéøåå

êîíêðåòíîå âûñêàçûâàíèå íà ýòîì ÿçûêå ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåêîòîðàÿ

êîìïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ ðàâíà íåêîòîðîé äðóãîé êîìïîçèöèè, ñêàæåì

g f = f ′ g′. Òàêîå òîæäåñòâî óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü êàê ñîâïàäåíèå

äâóõ âîçìîæíûõ ïóòåé èç X â Z âäîëü ñòðåëîê â äèàãðàììå

Xf

//

g′

Yg

Uf ′

// Z.

Ïðî òàêóþ äèàãðàììó ãîâîðÿò, ÷òî îíà êîììóòàòèâíà (ìû óæå ïîëüçî-

âàëèñü ýòîé òåðìèíîëîãèåé â ïðèìåðàõ n), p), q), r) ïðåäûäóùåãî ïàðà-

ãðàôà).

22

Íèæå â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìàòðèâàåì îïðåäåëåíèÿ ñóììû10 è

ïðîèçâåäåíèÿ îáúåêòîâ ïðîèçâîëüíîé êàòåãîðèè (íà ïðîñòåéøåì ïðèìå-

ðå äâóõ îáúåêòîâ). Ýòî äàñò íàì ïåðâûå ïðèìåðû êàòåãîðíûõ êîíñòðóê-

öèé.

 òåîðèè ìíîæåñòâ èçâåñòíà îïåðàöèÿ íåñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿ

X⨿Y äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ X è Y (êîòîðûå íå ïðåäïîëàãà-

þòñÿ ñîäåðæàùèìèñÿ â åäèíîì ìíîæåñòâå). Ïî íåêîòîðûì ñîîáðàæåíè-

ÿì, ñìûñë êîòîðûõ áóäåò ÿñåí èç äàëüíåéøåãî, îáîçíà÷èì X⨿Y ÷åðåç

X + Y è áóäåì íàçûâàòü ñóììîé ìíîæåñòâ X è Y . Äëÿ X + Y îïðåäå-

ëåíû êàíîíè÷åñêèå âëîæåíèÿ iX : X → X + Y è iY : Y → X + Y . Ïóñòü

òåïåðü Z ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, â êîòîðîå çàäàíà ïàðà îòîáðàæå-

íèé u : X → Z, v : Y → Z. Òîãäà ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî òàêîå

îòîáðàæåíèå h : X + Y → Z, ÷òî äèàãðàììà

XiX //

u$$H

HHHH

HHHH

H X + Y

h

YiYoo

vzzvvvvvvvvvv

Z

(1.3)

êîììóòàòèâíà (ò.å. h iX = u, h iY = v). Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîå h

çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

äëÿ ïðîèçâîëüíîãî t ∈ X⨿Y h(t) =

u(t), åñëè t ∈ X;

v(t), åñëè t ∈ Y .

Íàä ìíîæåñòâàìè åñòü òàêæå îïåðàöèÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ñî-

ïîñòàâëÿþùàÿ ïàðå ìíîæåñòâ X, Y ìíîæåñòâî X × Y (ñîñòîÿùåå èç

ïàð (x, y), x ∈ X, y ∈ Y ). Äëÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ X × Y îïðåäå-

ëåíû êàíîíè÷åñêèå ïðîåêöèè πX : X × Y → X, (x, y) 7→ x, πY : X ×Y → Y, (x, y) 7→ y. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ X × Y îáëàäà-

åò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà Z è îòîáðàæåíèé

u : Z → X, v : Z → Y ñóùåñòâóåò è ïðèòîì òîëüêî îäíî îòîáðàæå-

íèå h : Z → X × Y, äåëàþùåå äèàãðàììó

X X × YπXooπY // Y

Z

h

OO

v

::vvvvvvvvvvu

ddHHHHHHHHHH(1.4)

10äðóãîå íàçâàíèå êàòåãîðíîé ñóììû êîïðîèçâåäåíèå, ïðè÷èíà òàêîãî íàçâàíèÿ ñòàíåò ÿñíà â

äàëüíåéøåì ïðè çíàêîìñòâå ñ ïîíÿòèåì äóàëüíîé êàòåãîðèè.

23

êîììóòàòèâíîé (ò.å. πXh = u, πY h = v). Î÷åâèäíî, ÷òî íà ýëåìåíòàõ

îòîáðàæåíèå h çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: h(z) = (u(z), v(z)) ∀z ∈Z.

Ìû âèäèì, ÷òî îïðåäåëåíèÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ ìîãóò

áûòü äàíû â ÷èñòî êàòåãîðíûõ òåðìèíàõ ñ ïîìîùüþ äèàãðàìì (1.3) è

(1.4), è ïîýòîìó îïðåäåëåíèÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ îáúåêòîâ ïåðå-

íîñÿòñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ êàòåãîðèþ C.11 Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì

ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ.

Îïðåäåëåíèå 6. Ñóììîé îáúåêòîâ X, Y ∈ Ob(C) íàçûâàåòñÿ îáúåêò âC, îáîçíà÷àåìûé X + Y , çàäàííûé âìåñòå ñ ïàðîé ìîðôèçìîâ iX : X →X + Y, iY : Y → X + Y, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå:

äëÿ ëþáîé òðîéêè, ñîñòîÿùåé èç îáúåêòà Z ∈ Ob(C) è ïàðû ìîðôèçìîâ

u : X → Z, v : Y → Z ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííûé ìîðôèçì

h : X + Y → Z, äåëàþùèé äèàãðàììó (1.3) êîììóòàòèâíîé.

Ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ñ èñïîëüçîâàíèåì äèàãðàì-

ìû (1.4).12

Òàêèì îáðàçîì, â êàòåãîðèè Set ñóììà è ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëü-

íûõ äâóõ îáúåêòîâ ñóùåñòâóþò è ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ñ íåñâÿçíûì

îáúåäèíåíèåì è ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ.

Ïðèìåðû. a) Ïîêàæåì, ÷òî â êàòåãîðèè T op òîïîëîãè÷åñêèõ ïðî-

ñòðàíñòâ è íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé (ñì. ïðèìåð b) èç §1.2) êàòå-

ãîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå òîïîëîãè÷åñêèõ

ïðîñòðàíñòâ. Èòàê, ïóñòü (X, OX), (Y, OY ) òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàí-

ñòâà ñ òîïîëîãèÿìè OX , OY ñîîòâåòñòâåííî. Íàïîìíèì [9], ÷òî èõ ïðî-

èçâåäåíèå åñòü ìíîæåñòâî X × Y ñ òîïîëîãèåé ïðîèçâåäåíèÿ OX×Y (å¼

áàçó îáðàçóþò âñå ïîäìíîæåñòâà âèäà U × V, U ∈ OX , V ∈ OY ). Âî-ïåðâûõ, ïîêàæåì ÷òî îòîáðàæåíèÿ πX : X × Y → X, πY : X × Y → Y

íåïðåðûâíû. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ îòêðûòîãî U ⊂ X ïðîîáðàç π−1X (U) =

U × Y îòêðûò â òîïîëîãèè ïðîèçâåäåíèÿ íà X × Y, àíàëîãè÷íî äëÿ

πY : X × Y → Y . Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî òîïîëîãè÷åñêîå ïðî-

ñòðàíñòâî (X × Y, OX×Y ) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðíûì ïðîèçâå-

11çàìåòèì, ÷òî äèàãðàììàìè (1.3) è (1.4) ñóììà è ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿþòñÿ íå îäíîçíà÷íî, à

òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà ñì. êîíåö ýòîãî ïàðàãðàôà.12ñðàçó îòìåòèì, ÷òî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå â ïðîèçâîëüíîé êàòåãîðèè ìîãóò íå ñóùåñòâîâàòü.

24

äåíèåì ïðîñòðàíñòâ (X, OX), (Y, OY ), äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ

ïðîèçâîëüíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (Z, OZ) è ïàðû íåïðå-

ðûâíûõ îòîáðàæåíèé u : Z → X, v : Z → Y, îòîáðàæåíèå h : Z →X × Y, h(z) = (u(z), v(z)) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì (åäèíñòâåííîñòü h

ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî h åäèíñòâåííîå îòîá-

ðàæåíèå ìíîæåñòâ Z → X×Y òàêîå ÷òî πX h = u, πY h = v). Ëåãêî

ïðîâåðèòü, ÷òî h−1(U × V ) = u−1(U)∩ v−1(V ), òî åñòü îòêðûòî â Z äëÿ

îòêðûòûõ U ⊂ X, V ⊂ Y . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðîîáðàç ëþáîãî îòêðû-

òîãî ìíîæåñòâà, ïðèíàäëåæàùåãî áàçå òîïîëîãèè íà X×Y, îòêðûò â Z,òî åñòü h äåéñòâèòåëüíî íåïðåðûâíî.

Ñóììîé â êàòåãîðèè T op ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ íåñâÿçíàÿ ñóììà

òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, îïðåäåëÿåìàÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì.

a′) Ýòîò ïðèìåð íåáîëüøàÿ ìîäèôèêàöèÿ ïðåäûäóùåãî. Ðàññìîòðèì

ñëåäóþùèé âàðèàíò PT op êàòåãîðèè T op: îáúåêòû êàòåãîðèè PT op ýòî òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé, òî åñòü ïàðû

(X, x0), ãäå x0 ∈ X. Ìîðôèçìû f ∈ HomPT op((X, x0), (Y, y0)) ýòî

òàêèå íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ f : X → Y, ÷òî f(x0) = y0 (òî åñòü

îòîáðàæàþò îòìå÷åííóþ òî÷êó â îòìå÷åííóþ òî÷êó). Ëåãêî ïðîâåðèòü,

÷òî â ýòîé êàòåãîðèè ïðîèçâåäåíèå îáúåêòîâ (X, x0)× (Y, y0) ýòî ïà-

ðà (X × Y, (x0, y0)), à ñóììà (X, x0) + (Y, y0) ýòî òàê íàçûâàåìûé

áóêåò (X, x0) ∨ (Y, y0), òî åñòü îáû÷íîå íåñâÿçíîå îáúåäèíåíèå ñ îòîæ-

äåñòâëåííûìè îòìå÷åííûìè òî÷êàìè (ôîðìàëüíî, ôàêòîðïðîñòðàíñòâî

ïðîñòðàíñòâà X⨿Y ïî îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè z ∼ w ⇔ ëèáî

z = w ëèáî z = x0, w = y0). Íàïðèìåð, áóêåò äâóõ îêðóæíîñòåé ýòî

âîñüìåðêà ∞.

b) Â êàòåãîðèè àáåëåâûõ ãðóïï Ab13 (ñì. ïðèìåð e) èç §1.2) ïðÿìàÿñóììà A⊕B îáëàäàåò è âëîæåíèÿìè

AiA→ A⊕B, a 7→ (a, 0), B

iB→ A⊕B, b 7→ (0, b),

è êàíîíè÷åñêèìè ïðîåêöèÿìè

A⊕B πA→ A, (a, b) 7→ a, A⊕B πB→ B, (a, b) 7→ b.

Ïîêàæåì, ÷òî (A ⊕ B, iA, iB) ñóììà îáúåêòîâ A è B â êàòåãî-

ðèè Ab. Ïóñòü C åù¼ îäíà àáåëåâà ãðóïïà, à u : A → C, v : B →13è äàæå ìîäóëåé íàä çàäàííûì êîëüöîì

25

C íåêîòîðûå ãîìîìîðôèçìû. Ïîïðîáóåì îïðåäåëèòü ãîìîìîðôèçì

w : A⊕B → C, ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó, àíàëîãè÷íóþ (1.3), â êîììó-

òàòèâíóþ. Èìååì:

w(a, b) = w((a, 0) + (0, b)) = w(a, 0) + w(0, b) =

w(iA(a)) + w(iB(b)) = u(a) + v(b).

Îòñþäà ìû âèäèì, ÷òî îïðåäåëèòü w(a, b) = u(a) + v(b) åäèíñòâåí-

íûé ñïîñîá îïðåäåëèòü ãîìîìîðôèçì w, ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó â

êîììóòàòèâíóþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàêîå w äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ãî-

ìîìîðôèçìîì:

w((a1, b1) + (a2, b2)) = w(a1 + a2, b1 + b2) = u(a1 + a2) + v(b1 + b2) =

u(a1) + u(a2) + v(b1) + v(b2) = (u(a1) + v(b1)) + (u(a2) + v(b2)) =

w(a1, b1) + w(a2, b2).

Çàäà÷à. Ïîêàæèòå, ÷òî (A ⊕ B, πA, πB) ïðîèçâåäåíèå îáúåêòîâ

A è B â êàòåãîðèè Ab. (Óêàçàíèå: ïðîâåðèòü, ÷òî îòîáðàæåíèå

w : C → A ⊕ B, w(c) = (u(c), v(c)) åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì,

ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó, àíàëîãè÷íóþ (1.4), â êîììóòàòèâíóþ.)

Ìû âèäèì, ÷òî äëÿ A ⊕ B âûïîëíåíû óñëîâèÿ, îïèñûâàåìûå êàê

äèàãðàììîé (1.3), òàê è äèàãðàììîé (1.4). Òàêèì îáðàçîì, â êàòåãîðèè

Ab ñóììà è ïðîèçâåäåíèå îáúåêòîâ ñîâïàäàþò.

b′)  ñëó÷àå æå êàòåãîðèè âñåõ ãðóïï Gr (ñì. ïðèìåð d) èç §1.2) äå-ëî îáñòîèò ïî-äðóãîìó. Äëÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ G × H îïðåäåëåíû

êàíîíè÷åñêèå ãîìîìîðôèçìû G × H → G è G × H → H, ïðè÷åì âû-

ïîëíåíû óñëîâèÿ, èçîáðàæåííûå äèàãðàììîé (1.4). Íî õîòÿ âëîæåíèÿ

f : G → G × H è g : H → G × H è îïðåäåëåíû, ñâîéñòâî, îïèñûâàå-

ìîå äèàãðàììîé (1.3), íå èìååò ìåñòà. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî, äîñòàòî÷íî

âçÿòü â êà÷åñòâå K ãðóïïó, èìåþùóþ ïîäãðóïïû, èçîìîðôíûå G è H,

íî òàêèå, ÷òî èõ ýëåìåíòû ïîïàðíî íå êîììóòèðóþò (ìîæíî ïîêàçàòü,

÷òî òàêàÿ ãðóïïà ñóùåñòâóåò ïðè G = e, H = e ñì. íèæå), à çà u

è v èçîìîðôèçìû G è H ñ ýòèìè ïîäãðóïïàìè.

26

Òàê êàê â G×H ýëåìåíòû âèäà f(α), α ∈ G êîììóòèðóþò ñ ýëåìåí-

òàìè âèäà g(β), β ∈ H, òî íè ïðè êàêîì ãîìîìîðôèçìå h äèàãðàììà

Gf

//

u$$H

HHHH

HHHH

H G×Hh

Hg

oo

vzzvvvvvvvvvv

K

íå áóäåò êîììóòàòèâíîé. (Äåéñòâèòåëüíî, ïî óñëîâèþ ñóùåñòâóþò

α ∈ G, β ∈ H òàêèå ÷òî u(α)v(β)u(α)−1v(β)−1 = e. Îäíàêî

f(α)g(β)f(α)−1g(β)−1 = e â G × H, ïîýòîìó åñëè áû ñóùåñòâîâàë ãî-

ìîìîðôèçì h ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè, òî ìû áû èìåëè

e = h(e) = h(f(α)g(β)f(α)−1g(β)−1) =

h(f(α))h(g(β))h(f(α))−1h(g(β))−1 = u(α)v(β)u(α)−1v(β)−1 = e

ïðîòèâîðå÷èå.)

Îäíàêî â êàòåãîðèè Gr ñóììà âñå æå ñóùåñòâóåò è åå êîíñòðóêöèÿ íà-çûâàåòñÿ ñâîáîäíûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï G è H è îáîçíà÷àåòñÿ G ∗H.

Ýòî ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ äâóìÿ ïîäãðóïïàìè G′ è H ′, èçîìîðôíûìè

G è H, â êîòîðîé èõ ýëåìåíòû íå ñâÿçàíû íèêàêèìè ñîîòíîøåíèÿìè,

êðîìå âûïîëíÿþùèõñÿ â G′ è H ′ ïî îòäåëüíîñòè (ìîðôèçìû iG è iH

èçîìîðôíûå âëîæåíèÿ G→ G∗H, H → G∗H, ÷üè îáðàçû ñóòü G′ è H ′

ñîîòâåòñòâåííî).  ÷àñòíîñòè, ñâîáîäíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñâîáîäíûõ

öèêëè÷åñêèõ ãðóïï Z ýòî ñâîáîäíàÿ ãðóïïà F2 ñ äâóìÿ îáðàçóþùè-

ìè.14 Ò.ê. ãðóïïû Z⊕Z è Z∗Z = F2 íå èçîìîðôíû äðóã äðóãó (íàïðèìåð,

ïîñëåäíÿÿ ãðóïïà äàæå íå ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé), ìû âèäèì, ÷òî ïðîèçâå-

äåíèå äâóõ àáåëåâûõ ãðóïï çàâèñèò îò òîãî, ðàññìàòðèâàåì ëè ìû èõ

êàê îáúåêòû êàòåãîðèè àáåëåâûõ ãðóïï Ab èëè âñåõ ãðóïï Gr .Äëÿ ÷èòàòåëÿ, çíàêîìîãî ñ ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïï îáðàçóþùèìè è ñî-

îòíîøåíèÿìè, ïðèâåä¼ì â êà÷åñòâå åù¼ îäíîãî ïðèìåðà ñâîáîäíîãî ïðî-

èçâåäåíèÿ êðàñèâîå îïèñàíèå ãðóïïû Z2 ∗Z3. Ïóñòü Γ òàê íàçûâàåìàÿ

ìîäóëÿðíàÿ ãðóïïà, ñîñòîÿùàÿ èç äðîáíî-ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé

z 7→ az + b

cz + d, a, b, c, d ∈ Z

14êîíñòðóêöèÿ ñâîáîäíîé ãðóïïû áóäåò äàíà â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.

27

âåðõíåé êîìïëåêñíîé ïîëóïëîñêîñòè H = z | Im(z) > 0. Ëåãêî âèäåòü,÷òî

Γ ∼= SL2(Z)/±E,

ãäå SL2(Z) ãðóïïà öåëî÷èñëåííûõ 2 × 2-ìàòðèö ñ îïðåäåëèòåëåì

1. Ãðóïïà Γ ïîðîæäàåòñÿ äâóìÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè S, S(z) = −1/z è

T, T (z) = z+1, òî åñòü ëþáîé ýëåìåíò Γ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí (íåîä-

íîçíà÷íî) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ñòåïåíåé S è T . ÏóñòüD ïîäìíîæåñòâî

â H, ñîñòîÿùåå èç òàêèõ òî÷åê z, ÷òî |z| ≥ 1 è |Re(z)| ≤ 1/2. Íà ðèñóíêå

íèæå ïîêàçàíû ïðåîáðàçîâàíèÿ îáëàñòè D (êîòîðàÿ çàøòðèõîâàíà) ïîä

äåéñòâèåì ýëåìåíòîâ

1, T, TS, ST−1S, ST−1, S, ST, STS, T−1S, T−1

ãðóïïû Γ (ρ = e2πi/3).

Îáðàçóþùèå S è T óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì: S2 = e

è (ST )3 = e. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ïîëíîå ìíîæåñòâî ñîîòíîøå-

íèé; òàêèì îáðàçîì, ìîäóëÿðíàÿ ãðóïïà èìååò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå

îáðàçóþùèìè è ñîîòíîøåíèÿìè:

Γ ∼= ⟨S, T | S2 = e, (ST )3 = e⟩.

Èñïîëüçóÿ îáðàçóþùèå S è ST âìåñòî S è T , ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ìîäóëÿð-

íàÿ ãðóïïà èçîìîðôíà ñâîáîäíîìó ïðîèçâåäåíèþ Z2 ∗ Z3 öèêëè÷åñêèõ

28

ãðóïï Z2 è Z3.  ÷àñòíîñòè, ìû âèäèì, ÷òî îíî èìååò ìàëî îáùåãî ñ

Z2 ⊕ Z3∼= Z6 êàòåãîðíîé ñóììîé ãðóïï Z2 è Z3 â êàòåãîðèè Ab.

c) Ðàçáåðåì åùå îäèí ïðèìåð. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ

àëãåáð ñ åäèíèöåé15 íàä çàäàííûì ïîëåì k16, ìîðôèçìàìè â êîòîðîé

ÿâëÿþòñÿ ãîìîìîðôèçìû àëãåáð íàä k, ïåðåâîäÿùèå åäèíèöó â åäèíè-

öó.17 Ïðÿìàÿ ñóììà A⊕B è åå êàíîíè÷åñêèå ïðîåêöèè πA : A⊕B → A

è πB : A ⊕ B → B îáëàäàþò ñâîéñòâàìè, îïèñûâàåìûìè äèàãðàììîé

(1.4). Äåéñòâèòåëüíî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé óíèòàëüíîé

k-àëãåáðû C è óíèòàëüíûõ ãîìîìîðôèçìîâ u : C → A, v : C → B îòîá-

ðàæåíèå

h : C → A⊕B, h(c) = (u(c), v(c))

åäèíñòâåííûé óíèòàëüíûé ãîìîìîðôèçì, êîòîðûé äåëàåò äèàãðàììó,

àíàëîãè÷íóþ (1.4), êîììóòàòèâíîé.

Õîòÿ èìåþòñÿ åñòåñòâåííûå âëîæåíèÿ f : A → A ⊕ B, f(a) = (a, 0)

è g : B → A⊕B, g(b) = (0, b), íî îíè íå óíèòàëüíû, äà è âîîáùå àíàëîã

äèàãðàììû (1.3) ìåñòà íå èìååò: äåëî â òîì, ÷òî äëÿ ýëåìåíòîâ a ∈ A è

b ∈ B â A⊕ B âñåãäà f(a)g(b) = 0, íî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü óíèòàëüíàÿ

àëãåáðà C, ñîäåðæàùåå óíèòàëüíûå ïîäàëãåáðû A′ è B′, èçîìîðôíûå

A è B, äëÿ êîòîðûõ a′b′ = 0 äëÿ íåêîòîðûõ a′ ∈ A′, b′ ∈ B′, è òîãäà

ãîìîìîðôèçìà h : A⊕B → C ñ íóæíûìè ñâîéñòâàìè íåò, åñëè â êà÷åñòâå

u âçÿòü êîìïîçèöèþ èçîìîðôèçìà A → A′ ñ âëîæåíèåì A′ → C, à â

êà÷åñòâå v êîìïîçèöèþ èçîìîðôèçìà B → B′ ñ âëîæåíèåì B′ → C.

Äåéñòâèòåëüíî, âûáåðåì a ∈ A è b ∈ B òàêèå ÷òî u(a) = a′, v(b) =

b′. Òîãäà, åñëè áû h ñ íóæíûìè ñâîéñòâàìè ñóùåñòâîâàëî, òî, ñ îäíîé

ñòîðîíû,

h(f(a)g(b)) = h(0) = 0,

à ñ äðóãîé

h(f(a)g(b)) = h(f(a))h(g(b)) = u(a)v(b) = a′b′ = 0

ïðîòèâîðå÷èå.

 êà÷åñòâå êîíêðåòíîãî ïðèìåðà ìîæíî âçÿòü A = B = k[t], C =

k[x, y] è ãîìîìîðôèçìû u : A→ C, v : B → C, îïðåäåëåííûå óñëîâèÿìè

15àëãåáðà ñ åäèíèöåé íàçûâàåòñÿ òàêæå óíèòàëüíîé àëãåáðîé.16âìåñòî ïîëÿ â äàííîì ïðèìåðå ìîæíî âçÿòü ïðîèçâîëüíîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî.17òàêèå ãîìîìîðôèçìû íàçûâàåòñÿ òàêæå óíèòàëüíûìè.

29

u(t) = x, v(t) = y ñîîòâåòñòâåííî, óñòàíàâëèâàþùèå èçîìîðôèçìû k[t]

ñ ïîäàëãåáðàìè k[x] ⊂ k[x, y] è k[y] ⊂ k[x, y] ñîîòâåòñòâåííî.

Ðîëü ñóììû â ðàññìàòðèâàåìîé êàòåãîðèè èãðàåò òåíçîðíîå ïðîèç-

âåäåíèå A⊗kB àëãåáð íàä k âìåñòå ñ ìîðôèçìàìè

iA : A→ A⊗kB, iA(a) = a⊗ 1B è iB : B → A⊗

kB, iB(b) = 1A ⊗ b,

ãäå 1A è 1B åäèíèöû ñîîòâåòñòâåííî â àëãåáðàõ A è B. Íàïîìíèì, ÷òî

êàê âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå àëãåáð A⊗kB ÿâëÿ-

åòñÿ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ïîäñòèëàþùèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ

A è B, à óìíîæåíèå íà í¼ì çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé

(a⊗ b)(a′ ⊗ b′) = aa′ ⊗ bb′, (1.5)

ãäå a, a′ ∈ A, b, b′ ∈ B. Åäèíèöåé â A⊗kB ÿâëÿåòñÿ 1A ⊗ 1B. Ââèäó (1.5)

èìååì ñîîòíîøåíèå:

iA(a)iB(b) = (a⊗1B)(1A⊗b) = a⊗b = (1A⊗b)(a⊗1B) = iB(b)iA(a). (1.6)

Çàäà÷à. Ïîêàæèòå, ÷òî òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå àëãåáð ìíîãî÷ëåíîâ

îò îäíîé ïåðåìåííîé k[t] è k[s] èçîìîðôíî àëãåáðå ìíîãî÷ëåíîâ îò äâóõ

ïåðåìåííûõ k[x, y].

Ïîêàæåì, ÷òî (A⊗kB, iA, iB) ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðíîé ñóììîé A è B.

Ïóñòü f : A→ C è g : B → C óíèòàëüíûå ãîìîìîðôèçìû â êîììóòà-

òèâíóþ àëãåáðó C. Íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé

ãîìîìîðôèçì àëãåáð h : A⊗kB → C òàêîé ÷òî h iA = f è h iB = g.

Ñíà÷àëà h ìû îïðåäåëèì êàê îòîáðàæåíèå ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ

A⊗kB → C, à ïîòîì äîêàæåì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì àëãåáð.

Äëÿ ïåðâîé ÷àñòè íàì ïîíàäîáèòñÿ óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî òåíçîðíîãî

ïðîèçâåäåíèÿ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ (ñì. ïðèìåð f) â ñëåäóþùåì ïàðà-

ãðàôå). À èìåííî, ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíîå áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå

τ : A×B → A⊗kB, τ(a, b) = a⊗ b,

òî åñòü òàêîå áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî áèëèíåéíîãî

îòîáðàæåíèÿ λ : A × B → C â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî C (íàä òåì æå

30

ïîëåì) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå h : A⊗kB → C,

äåëàþùåå äèàãðàììóA×B τ //

λ

A⊗kB

hzzuuuuuuuuuu

C

êîììóòàòèâíîé. Â íàøåì ïðèìåðå áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå λ ìû îïðå-

äåëèì ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: λ(a, b) = f(a)g(b) ∀a ∈ A, b ∈ B. Èç êîì-ìóòàòèâíîñòè äèàãðàììû ñëåäóåò, ÷òî h(a⊗ b) = h(τ(a, b)) = f(a)g(b).

Ñîãëàñíî (1.6), ãîìîìîðôèçì h ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè (åñëè îí

ñóùåñòâóåò) äîëæåí èìåòü âèä

h(a⊗ b) = h(iA(a)iB(b)) = h(iA(a))h(iB(b)) = f(a)g(b),

÷òî ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé âûøå. Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå î åäèí-

ñòâåííîñòè. Òåïåðü íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðåäûäóùàÿ ôîðìóëà äëÿ h

çàäà¼ò ãîìîìîðôèçì àëãåáð. Íà ðàçëîæèìûõ òåíçîðàõ a⊗ b èìååì:

h(a⊗ b)h(a′ ⊗ b′) = f(a)g(b)f(a′)g(b′) =

f(a)f(a′)g(b)g(b′) = f(aa′)g(bb′) = h(aa′ ⊗ bb′).

Òåïåðü ãîìîìîðôíîñòü h âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò àëãåáðû

A ⊗ B ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé ðàçëîæèìûõ òåíçîðîâ a ⊗ b. Ïîñòðî-åííîå îòîáðàæåíèå h ÷àñòî îáîçíà÷àåòñÿ f ⊗ g.d) È, íàêîíåö, ðàññìîòðèì ñóììó è ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè P(S),êîòîðàÿ ðàññìàòðèâàëàñü â ïðèìåðå m) íà ñòðàíèöå 19. Îêàçûâàåòñÿ, â

ýòîé êàòåãîðèè ïðîèçâåäåíèå äâóõ îáúåêòîâ, ò.å. ïîäìíîæåñòâX, Y ⊂ S,

åñòü ïåðåñå÷åíèå X ∩ Y ìíîæåñòâ X è Y êàê ïîäìíîæåñòâ â S, à ðîëü

êàíîíè÷åñêèõ ïðîåêöèé èãðàþò âëîæåíèÿ

πX : X ∩ Y → X, πY : X ∩ Y → Y

ïåðåñå÷åíèÿ â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâà â X è â Y . Äàëåå, ñóììà X è Y

ýòî ïðîñòî îáúåäèíåíèå X ∪ Y ìíîæåñòâ X è Y êàê ïîäìíîæåñòâ â S, à

iX : X → X ∪ Y, iY : Y → X ∪ Y

31

êàíîíè÷åñêèå âëîæåíèÿ. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü ñïðàâåä-

ëèâîñòü ýòèõ óòâåðæäåíèé ñàìîñòîÿòåëüíî.18

Çàäà÷à. Îïèñàòü ñóììó è ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè Vectfk (ïîäñêàçêà:ñóììà è ïðîèçâåäåíèå â ýòîé êàòåãîðèè ñîâïàäàþò).

Ïðåäëîæåíèå 7. Äëÿ ëþáûõ äâóõ îáúåêòîâ X, Y ïðîèçâîëüíîé êà-

òåãîðèè C èõ ñóììà X + Y, iX , iY è ïðîèçâåäåíèå X × Y, πX , πY (åñëè,

êîíå÷íî, îíè ñóùåñòâóþò), îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî êà-

íîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà.19

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, íàïðèìåð, (R, iX , iY ) è (S, i′X , i′Y ) ñóììû

îáúåêòîâ X è Y. Òîãäà ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ìîðôèçìû h : S →R, k : R→ S, äåëàþùèå êîììóòàòèâíîé äèàãðàììó

XiX //

i′X !!BBB

BBBB

B R

k

YiYoo

i′Y~~

S.

h

OO

Îòñþäà iX = h i′X , i′X = k iX , ò.å. iX = (h k) iX , è àíàëîãè÷íî

iY = (h k) iY . Ìû âèäèì, ÷òî h k äåëàåò ñëåäóþùóþ äèàãðàììó

XiX //

iX AA

AAAA

AAR

hk

YiYoo

iY~~~~~~~~

R

êîììóòàòèâíîé. Ýòà äèàãðàììà îñòàåòñÿ êîììóòàòèâíîé, åñëè â íåé çà-

ìåíèòü h k íà idR . Òåïåðü ïî ñâîéñòâó åäèíñòâåííîñòè îòîáðàæåíèÿ h

â äèàãðàììå (1.3) ìû ïîëó÷àåì, ÷òî h k = idR . Àíàëîãè÷íî äîêàçû-

âàåòñÿ, ÷òî k h = idS . Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî äëÿ äâóõ ñóìì R, iX , iY è

S, i′X , i′Y îáúåêòîâ X è Y ñóùåñòâóþò òàêèå åäèíñòâåííûå èçîìîðôèç-

ìû îáúåêòîâ h : S → R è k : R → S, ÷òî iX = h i′X , iY = h i′Y è

i′X = k iX , i′Y = k iY . Ôðàçà ñóììà îáúåêòîâ êàòåãîðèè îïðåäåëåíà

îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà êàê ðàç ýòî è

îçíà÷àåò. 18 óïîìÿíóòîì ïðèìåðå m) îòìå÷àëîñü, ÷òî ýòà êàòåãîðèÿ ÷àñòíûé ñëó÷àé êàòåãîðèè, ñâÿ-

çàííîé ñ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì. Ïîäóìàéòå, ÷òî áóäåò ñóììîé è ïðîèçâåäåíèåì â

ýòîì áîëåå îáùåì ñëó÷àå.19ýòî óòâåðæäåíèå áóäåò ñëåäîâàòü òàêæå èç äîêàçàííîé â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå Òåîðåìû 9.

32

1.4 Óíèâåðñàëüíûå îáúåêòû

Îïðåäåëåíèå 8. Îáúåêò X êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûì (èëè

èíèöèàëüíûì), åñëè äëÿ âñÿêîãî Y ∈ Ob(C) ìíîæåñòâî HomC(X, Y )

ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîãî ýëåìåíòà.

Îáúåêò X êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì (èëè ôèíàëüíûì), åñëè

äëÿ âñÿêîãî Y ∈ Ob(C) ìíîæåñòâî HomC(Y, X) ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîãî

ýëåìåíòà.

Íà÷àëüíûé èëè êîíå÷íûé îáúåêò ìû áóäåì òàêæå íàçûâàòü îáùèì

òåðìèíîì óíèâåðñàëüíûé îáúåêò.

Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, èç íà÷àëüíîãî îáúåêòà â ëþáîé îáúåêò êàòåãî-

ðèè èñõîäèò ðîâíî îäíà ñòðåëêà (ò.å. ìîðôèçì), àíàëîãè÷íî, èç ëþáîãî

îáúåêòà êàòåãîðèè â êîíå÷íûé âåäåò ðîâíî îäíà ñòðåëêà.

Òåîðåìà 9. Åñëè â êàòåãîðèè ñóùåñòâóåò íà÷àëüíûé (êîíå÷íûé) îáú-

åêò, òî îí åäèíñòâåí ñ òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ íà÷àëüíûõ îáúåêòîâ,

äëÿ êîíå÷íûõ äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. Ïóñòü X, Y äâà íà÷àëüíûõ

îáúåêòà â êàòåãîðèè C. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé

ìîðôèçì f : X → Y â HomC(X, Y ) è åäèíñòâåííûé ìîðôèçì g : Y → X

â HomC(Y, X). Èõ êîìïîçèöèÿ gf äîëæíà áûòü åäèíñòâåííûì ìîðôèç-

ìîì â HomC(X, X) è çíà÷èò (ïî àêñèîìå (b) èç Îïðåäåëåíèÿ 1) ñîâïà-

äàåò ñ idX , à f g åäèíñòâåííûì ìîðôèçìîì â HomC(Y, Y ), à çíà÷èò

ñîâïàäàåò ñ idY . Ýòî è îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü íà÷àëüíîãî îáúåêòà ñ

òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà. Çàäà÷à. Ïóñòü X íà÷àëüíûé îáúåêò êàòåãîðèè C, â êîòîðîé ñóùå-

ñòâóþò âñå ñóììû. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îáúåêòà Y èç

C ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì X+Y ∼= Y . Òî æå ñ çàìåíîé

ñóììû íà ïðîèçâåäåíèå è íà÷àëüíîãî îáúåêòà íà êîíå÷íûé.

Çàäà÷à. Äëÿ X, Y ∈ Ob(C) ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì

X + Y ∼= Y +X. Àíàëîãè÷íî, äëÿ X, Y, Z ∈ Ob(C) ñóùåñòâóåò êàíî-

íè÷åñêèé èçîìîðôèçì (X + Y ) + Z ∼= X + (Y + Z). Òî æå ñ çàìåíîé

ñóìì íà ïðîèçâåäåíèÿ (ïðè óñëîâèè ÷òî ïîñëåäíèå ñóùåñòâóþò).

Ïðèìåðû. a)  êàòåãîðèè Set íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé îáúåêòû ñóùå-

ñòâóþò è ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïóñòûì ìíîæåñòâîì ∅ è ìíîæåñòâîì

33

∗ (òî÷êîé), ñîñòîÿùèì èç îäíîãî ýëåìåíòà.  êàòåãîðèè ãðóïï íà÷àëü-

íûé è êîíå÷íûé îáúåêòû ñîâïàäàþò ñ ãðóïïîé, ñîñòîÿùåé èç îäíîãî

ýëåìåíòà. 20  êàòåãîðèè P(S) (ñì. ïðèìåð m)) íà ñòð. 19) íà÷àëüíûì

ÿâëÿåòñÿ ∅ ⊂ S, à êîíå÷íûì ñàìî ìíîæåñòâî S. Êàòåãîðèÿ CS, ðàñ-ñìîòðåííàÿ â ïðèìåðå p) íà ñòð. 21, èìååò êîíå÷íûé îáúåêò (S, idS), à

êàòåãîðèÿ CS (îïðåäåëåííàÿ òàì æå) íà÷àëüíûé îáúåêò (S, idS).

Çàäà÷à. Âûÿñíèòü, êîãäà ó êàòåãîðèè, ñâÿçàííîé ñ ÷àñòè÷íî óïîðÿ-

äî÷åííûì ìíîæåñòâîì, ñóùåñòâóþò íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé îáúåêòû

è ÷òî ýòî çà îáúåêòû.

Ïîíÿòèå óíèâåðñàëüíîãî îáúåêòà ïîçâîëÿåò ñ åäèíîé òî÷êè çðåíèÿ

ðàññìîòðåòü ìíîãèå êîíñòðóêöèè, èçó÷àåìûå â ìàòåìàòèêå.  êà÷åñòâå

ïåðâîãî ïðèìåðà ìû ïðèâåäåì îïðåäåëåíèÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ îáú-

åêòîâ ïðîèçâîëüíîé êàòåãîðèè (çàîäíî îáîáùèâ èõ ñî ñëó÷àÿ äâóõ îáú-

åêòîâ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ ñåìåéñòâ), èñïîëüçóþùèå ïîíÿòèå óíè-

âåðñàëüíîãî îáúåêòà.

b) Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå. Â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû ðàññìàòðè-

âàëè ñóììó è ïðîèçâåäåíèå äâóõ îáúåêòîâ. Îäíàêî îïðåäåëåíèå ñóììû

è ïðîèçâåäåíèÿ ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî íà ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå

è äàæå áåñêîíå÷íîå ñåìåéñòâî îáúåêòîâ äàííîé êàòåãîðèè. Äàäèì ñîîò-

âåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ.

Ïóñòü Xαα∈A ñåìåéñòâî îáúåêòîâ êàòåãîðèè C. Ðàññìîòðèì

íîâóþ êàòåãîðèþ CA, îïðåäåëÿåìóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáúåêòà-

ìè CA ÿâëÿþòñÿ íàáîðû (Y, fαα∈A), ãäå Y ∈ Ob(C), à fα ∈HomC(Xα, Y ) ∀α ∈ A. Ìîðôèçìîì â CA èç îáúåêòà (Y, fαα∈A) â îáú-åêò (Z, gαα∈A) ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿåòñÿ òàêîé ìîðôèçì h : Y → Z â

êàòåãîðèè C, ÷òî äëÿ ëþáîãî α ∈ A êîììóòàòèâíà äèàãðàììà

Xαfα

~~|||||||| gα

!!CCC

CCCC

C

Y h // Z.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â êàòåãîðèè CA ñóùåñòâóåò íà÷àëüíûé îáúåêò

(X, iαα∈A) (êàê óæå îòìå÷àëîñü, âñå òàêèå îáúåêòû êàíîíè÷åñêè èçî-

ìîðôíû). Òîãäà îáúåêò X íàçîâåì ñóììîé ñåìåéñòâà Xαα∈A, à ìîð-

ôèçì iα : Xα → X êàíîíè÷åñêèì âëîæåíèåì ñëàãàåìîãî Xα â ñóììó.

20îáúåêò, ÿâëÿþùèéñÿ îäíîâðåìåííî è íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì, íàçûâàåòñÿ íóëåâûì.

34

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñóììà ïóñòîãî ñåìåéñòâà îáúåêòîâ êàòåãîðèè C íà÷àëüíûé îáúåêò â C.

Îïðåäåëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ P ñåìåéñòâàXα è êàíîíè÷åñêèõ ïðîåêöèé

πα ∈ HomC(P, Xα) ïîëó÷àåòñÿ èç îïðåäåëåíèÿ ñóììû ñ ïîìîùüþ îáðà-

ùåíèÿ ñòðåëîê. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ïóñòîãî ñåìåéñòâà

îáúåêòîâ êàòåãîðèè C êîíå÷íûé îáúåêò â C.Ñóììà (ïðîèçâåäåíèå) îäíîãî îáúåêòà ñàì ýòîò îáúåêò (ñ òî÷íî-

ñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà). Êðîìå òîãî, òàê êàê êîíñòðóêöèè

ñóììû (ïðîèçâåäåíèÿ) ìîæíî èòåðèðîâàòü, òî ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå

óòâåðæäåíèå. Êàòåãîðèÿ èìååò êîíå÷íûå ñóììû, åñëè îïðåäåëåíû ñóì-

ìû ëþáûõ äâóõ å¼ îáúåêòîâ è â íåé ñóùåñòâóåò íà÷àëüíûé îáúåêò. Àíà-

ëîãè÷íî, êàòåãîðèÿ èìååò êîíå÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ

îáúåêòîâ ñóùåñòâóåò èõ ïðîèçâåäåíèå è â íåé ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé îáú-

åêò.

Ïåðåõîä ê ñëó÷àþ áåñêîíå÷íûõ ñåìåéñòâ ÷àñòî òðåáóåò îñòîðîæíî-

ñòè: ñóììà èëè ïðîèçâåäåíèå ìîãóò ïåðåñòàòü ñóùåñòâîâàòü, èëè ñòàòü

ðàçëè÷íûìè, õîòÿ ñîâïàäàëè äëÿ êîíå÷íûõ ñåìåéñòâ (ïîñëåäíåå ïðîèñ-

õîäèò â êàòåãîðèÿõ Vectk è Ab ïîäóìàéòå ïî÷åìó). ×àñòî êîíñòðóê-

öèÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ áåñêîíå÷íûõ ñåìåéñòâ íå òàê î÷åâèäíà

êàê äëÿ êîíå÷íûõ ñì. íàïðèìåð îïðåäåëåíèå òèõîíîâñêîé òîïîëîãèè,

êîòîðàÿ äà¼ò êîíñòðóêöèþ ïðîèçâåäåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ñåìåéñòâà îáú-

åêòîâ â T op (à çíàìåíèòàÿ òåîðåìà Òèõîíîâà î êîìïàêòíîñòè ïðîèçâåäå-íèÿ ïðîèçâîëüíîãî ñåìåéñòâà êîìïàêòíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ

ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè êàòåãîðèé îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ

ïðîèçâîëüíîãî ñåìåéñòâà íåïóñòûõ ïðîñòðàíñòâ â CT op êàòåãîðèè

êîìïàêòíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ è íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé).

c) Âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîðîæä¼ííîå ìíîæåñòâîì. Çàôèê-

ñèðóåì ïîëå ñêàëÿðîâ k è ìíîæåñòâî S. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ C (çà-

âèñÿùóþ îò k è S), îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (V, f), ãäå V

âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä k, à f : S → V îòîáðàæåíèå S â ìíî-

æåñòâî ýëåìåíòîâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Ìîðôèçì â C èç îáúåêòà(V, f) â îáúåêò (W, g) ýòî òàêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå φ : V → W,

35

÷òî äèàãðàììà

Sf

//

g

V

φ~~||||||||

W

êîììóòàòèâíà. Íà÷àëüíûé îáúåêò äàííîé êàòåãîðèè (VS, iS) íàçîâ¼ì

âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, ïîðîæä¼ííûì ìíîæåñòâîì S.

Ïîêàæåì, ÷òî òàêîé íà÷àëüíûé îáúåêò ñóùåñòâóåò, ïðåäúÿâèâ åãî

ÿâíóþ êîíñòðóêöèþ. Ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V ′S, áàçèñîì

êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ ess∈S (ïî îäíîìó ñèìâîëó es

äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà s ∈ S). Òî åñòü V ′S ñîñòîèò èç âñåõ ëèíåéíûõ

êîìáèíàöèé∑

s αses, αs ∈ k, â êîòîðûõ αs = 0 òîëüêî äëÿ êîíå÷íîãî

÷èñëà s. Îïðåäåëèì i′S : S → V ′S ôîðìóëîé i′S(s) = es.

Ïîêàæåì, ÷òî ïàðà (V ′S, i′S) ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì îáúåêòîì â êàòå-

ãîðèè C. Äëÿ ýòîãî íóæíî ïðîâåðèòü å¼ óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî: äëÿ

ëþáîé ïàðû (W, g) ñóùåñòâóåò è ïðèòîì òîëüêî îäíî òàêîå ëèíåéíîå

îòîáðàæåíèå φ : V ′S → W, ÷òî äèàãðàììà

Si′S //

g

V ′S

φ~~

W

êîììóòàòèâíà.

Íà áàçèñíûõ ýëåìåíòàõ es îòîáðàæåíèå φ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ

òðåáîâàíèåì êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû:

φ(es) = φ(i′S(s)) = g(s).

Ñ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ íà ïðîèçâîëüíûå v ∈ V ′S îòîáðàæåíèå φ ïðîäîë-

æàåòñÿ ïî óñëîâèþ ëèíåéíîñòè: äëÿ v =∑

s αses

φ(v) = φ(∑s

αses) =∑s

αsφ(es) =∑s

αsg(s).

Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ φ ñëåäóåò èç ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè áàçèñ-

íûõ âåêòîðîâ es: êàæäûé âåêòîð v ∈ V ′S îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â

âèäå v =∑

s αses. Åäèíñòâåííîñòü φ ñëåäóåò èç ïîëíîòû ñèñòåìû áàçèñ-

íûõ âåêòîðîâ: ëþáîé âåêòîð v ∈ V ′S ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå v =∑

s αses.

Ëèíåéíîñòü òàê îïðåäåë¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ φ ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ.

36

Òàêèì îáðàçîì, ïî Òåîðåìå 9 î åäèíñòâåííîñòè óíèâåðñàëüíîãî îáú-

åêòà, (V ′S, i′S)∼= (VS, iS).

Ñäåëàåì ñëåäóþùåå ïðîñòîå íî âàæíîå çàìå÷àíèå. Åñëè áû âåêòîðû

es âûøå áûëè áû ëèíåéíî çàâèñèìûìè, òî îòîáðàæåíèå φ áûëî áû êîð-

ðåêòíî îïðåäåëåíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè áû èç âñÿêîãî ñîîòíîøåíèÿ∑s βses = 0 ñëåäîâàëî áû ñîîòíîøåíèå

∑s βsg(s) = 0 ìåæäó ñîîòâåò-

ñòâóþùèìè âåêòîðàìè g(s) ∈ W (òî åñòü φ ñóùåñòâîâàëî áû íå äëÿ âñåõ

g : S → W ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè áû ñèñòåìà âåêòîðîâ ess∈S íå áû-ëà áû ïîëíà (òî åñòü íå ïîðîæäàëà áû âñå ïðîñòðàíñòâî V ′S), òî φ áûëî

áû îïðåäåëåíî óñëîâèåì êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû íåîäíîçíà÷íî.

d) Ñâîáîäíàÿ ãðóïïà. Íà÷àëüíûé îáúåêò â êàòåãîðèè, îïðåäåë¼ííîé

â ïðèìåðå q) íà ñòð. 21, íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóïïîé, (ñâîáîäíî) ïî-

ðîæä¼ííîé ìíîæåñòâîì S. Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùóþ óíèâåðñàëü-

íóþ ïàðó ÷åðåç (FS, iS). Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå iS : S → FS îá-

ëàäàåò ñëåäóþùèì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ

g : S → G â ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ãðóïïû G ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé

ãîìîìîðôèçì ãðóïï φ : FS → G òàêîé, ÷òî äèàãðàììà

SiS //

g

FS

φ~~

G

(1.7)

êîììóòàòèâíà.

Ìîæíî äàòü ñëåäóþùóþ êîíñòðóêöèþ ãðóïïû FS. Íàðÿäó ñ ìíîæå-

ñòâîì S ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî S−1, ñîñòîÿùåå èç ñèìâîëîâ, îáîçíà÷à-

åìûõ s−1, ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà s ∈ S. Ïóñòü T = S ∪ S−1.Íàçîâ¼ì ñëîâîì â àëôàâèòå S ïðîèçâîëüíóþ êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü ýëåìåíòîâ èç T . Íàïðèìåð, åñëè S = s1, . . . , sn êîíå÷íîå

ìíîæåñòâî, òî T = s1, s−11 , . . . , sn, s−1n , è ñëîâîì â àëôàâèòå S áó-

äåò ïðîèçâîëüíàÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ si è s−1j , íà-

ïèñàííàÿ â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå, íàïðèìåð s1s2s2s−11 s3 (ïðè n ≥ 3).

Äîïóñêàåòñÿ è ïóñòîå ñëîâî e, â êîòîðîå, ïî îïðåäåëåíèþ, íå âõîäèò íè

îäèí èç ñèìâîëîâ s èëè s−1. Ñëîâî íàçûâàåòñÿ ïðèâåä¼ííûì, åñëè â íåì

íèãäå ðÿäîì íå ñòîÿò ñèìâîëû s è s−1. Ïðîèçâåäåíèåì ñëîâ A è B íàçû-

âàåòñÿ ñëîâî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ, åñëè çàïèñàòü B ñëåäîì çà A è çàòåì

âûáðàñûâàòü âñå ñòîÿùèå ðÿäîì ïàðû âèäà s è s−1, ïîêà íå ïîëó÷èòñÿ

37

ïðèâåä¼ííîå ñëîâî (ìîæåò áûòü, ïóñòîå). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìíîæåñòâî

ïðèâåä¼ííûõ ñëîâ ñ ýòîé îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ îáðàçóåò ãðóïïó: íàïðè-

ìåð, îáðàòíûì ê âûïèñàííîìó âûøå ñëîâó áóäåò s−13 s1s−12 s−12 s−11 , à ðîëü

åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ïóñòîå ñëîâî e. Ïîëó÷åííóþ ãðóïïó ïðè-

âåä¼ííûõ ñëîâ â àëôàâèòå S ñ îïåðàöèåé ïðîèçâåäåíèÿ îáîçíà÷èì F ′S.

Åñòü î÷åâèäíîå îòîáðàæåíèå i′S : S → F ′S, ãäå i′S(s) åñòü îäíîáóêâåííîå

ñëîâî s.

Ïîêàæåì, ÷òî ïàðà (F ′S, i′S) îáëàäàåò îïèñàííûì âûøå óíèâåðñàëü-

íûì ñâîéñòâîì, âûðàæàåìûì äèàãðàììîé (1.7). Íàì íóæíî äëÿ ïðî-

èçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿ g : S → G ïîñòðîèòü ãîìîìîðôèçì ãðóïï

φ : F ′S → G, ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó (1.7) (ñ (F ′S, i′S) âìåñòî (FS, iS))

â êîììóòàòèâíóþ. Òðåáîâàíèå êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû îäíîçíà÷-

íî îïðåäåëÿåò çíà÷åíèÿ φ(s) = g(s) íà ñâîáîäíûõ îáðàçóþùèõ s ∈ S

(òî÷íåå, íà ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîáóêâåííûõ ñëîâàõ). Òåïåðü φ íà îñòàâ-

øèåñÿ ñëîâà îäíîçíà÷íî ïðîäîëæàåòñÿ ïî ãîìîìîðôíîñòè.  ÷àñòíîñòè,

ïóñòîå ñëîâî ïðè ýòîì ïåðåõîäèò â åäèíèöó â G è φ(s−1) = φ(s)−1. Êîð-

ðåêòíîñòü òàê îïðåäåë¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êàæäûé

ýëåìåíò F ′S îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðèâåä¼ííûì ñëîâîì â àëôàâèòå

S (ïî-ñóùåñòâó, ÿâëÿåòñÿ ïðèâåä¼ííûì ñëîâîì).21

 ñèëó òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà, ïî Òåîðå-

ìå 9 ìû ìîæåì ïîñòðîåííóþ ãðóïïó (F ′S, i′S) îòîæäåñòâèòü ñ (FS, iS). Â

÷àñòíîñòè, äëÿ S = s1, . . . , sn ãðóïïà FS íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóï-

ïîé ñ n îáðàçóþùèìè è îáîçíà÷àåòñÿ Fn (çàìåòèì, ÷òî F1∼= Z). Äëÿ ÷è-

òàòåëåé, çíàêîìûõ ñ ïîíÿòèåì ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû, îòìåòèì, ÷òî

Fn ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà êàê ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà ïëîñêîñòè ñ

n âûêîëîòûìè òî÷êàìè.22 Çàìåòèì, ÷òî FS1

⨿S2∼= FS1

∗ FS2(ñð. ïðèìåð

b′) èç §1.3).23

21ïîäóìàéòå, ïî÷åìó ýòî äîêàçàòåëüñòâî íå ïðîõîäèò äëÿ íåñâîáîäíûõ ãðóïï, ìåæäó îáðàçóþùè-

ìè êîòîðûõ åñòü ñîîòíîøåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü àíàëîãèþ ñ âåêòîðíûì ïðîñòðàí-

ñòâîì, ïîðîæä¼ííûì ìíîæåñòâîì, ðàññìîòðåííûì â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Àíàëîãîì ëèíåéíîãî

áàçèñà äëÿ ãðóïïû F ′S ÿâëÿåòñÿ å¼ ïîðîæäàþùåå ìíîæåñòâî S. Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðíîå ïðîñòðàí-

ñòâî âñåãäà ñâîáîäíî, ïîñêîëüêó âñåãäà îáëàäàåò áàçèñîì.22×èòàòåëü, çíàêîìûé ñ òåîðåìîé Çåéôåðòà-âàí Êàìïåíà, ìîæåò ïîïûòàòüñÿ óñòàíîâèòü ñâÿçü

âûøåèçëîæåííîãî ñ ïðèìåðîì a′) èç §1.3. Ìû âåðíåìñÿ ê âûÿñíåíèþ êàòåãîðíîãî ñìûñëà ýòîé

òåîðåìû ïîñëå òîãî, êàê ïîçíàêîìèìñÿ ñ ïîíÿòèåì ôóíêòîðà.23çàìåòèì, ÷òî çà ýòèì ñêðûâàåòñÿ îáùèé ôàêò î ñîïðÿæ¼ííûõ ôóíêòîðàõ: ëåâûå ñîïðÿæ¼ííûå

êîììóòèðóþò ñ êîïðåäåëàìè (â òî âðåìÿ êàê ïðàâûå ñîïðÿæ¼ííûå ñ ïðåäåëàìè).

38

Èíòóèòèâíî, ãðóïïó FS ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íàèáîëüøóþ

ãðóïïó, ïîðîæä¼ííóþ ìíîæåñòâîì S. Òî, ÷òî îíà íàèáîëüøàÿ, ñâÿçàíî

ñ òåì, ÷òî ëþáîå îòîáðàæåíèå S → G â ïðîèçâîëüíóþ ãðóïïó G ÷åðåç

íå¼ ïðîïóñêàåòñÿ (=ôàêòîðèçóåòñÿ). Òî, ÷òî FS ïîðîæäàåòñÿ S, ñâÿçàíî

ñ åäèíñòâåííîñòüþ òàêîé ôàêòîðèçàöèè.

Ðîëü ñâîáîäíûõ ãðóïï ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ëþáàÿ ãðóïïà èçîìîðôíà

ôàêòîðãðóïïå íåêîòîðîé ñâîáîäíîé ãðóïïû.

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü ñâîáîäíóþ àáåëåâó ãðóïïó, ïîðîæ-

ä¼ííóþ ìíîæåñòâîì S. Ýòî ïðåäëàãàåòñÿ ñäåëàòü ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿ-

òåëüíî.

e) Ñâîáîäíàÿ àëãåáðà. Ïóñòü S íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. ×åðåç C îáî-çíà÷èì êàòåãîðèþ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (A, f), ñîñòîÿ-

ùèå èç àññîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé àëãåáðû A ∈ Algk è îòîáðàæåíèÿ

f : S → A èç S â ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ A (àëãåáðó è ìíîæåñòâî å¼ ýëå-

ìåíòîâ ìû îáîçíà÷àåì îäíèì è òåì æå ñèìâîëîì A). Ìîðôèçì â C èç

(A, f) ∈ Ob(C) â (B, g) ∈ Ob(C) ãîìîìîðôèçì óíèòàëüíûõ àëãåáð

h : A→ B òàêîé ÷òî äèàãðàììà

Sf

//

g

A

h~~~~~~~~

B

êîììóòàòèâíà (çàìåòèì, ÷òî â äèàãðàììå h îáîçíà÷àåò îòîáðàæåíèå

ïîäñòèëàþùèõ ìíîæåñòâ24 àëãåáð A è B). Íà÷àëüíûé îáúåêò â òà-

êîé êàòåãîðèè C íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé k-àëãåáðîé, ïîðîæä¼ííîé ìíî-

æåñòâîì S.

Êîíñòðóêöèÿ ñâîáîäíîé àëãåáðû íàïîìèíàåò êîíñòðóêöèþ ñâîáîäíîé

ãðóïïû. Ïóñòü kS âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, áàçèñ â êîòîðîì îáðà-

çóþò âñå ñëîâà si1 . . . sip â àëôàâèòå S, âêëþ÷àÿ ïóñòîå ñëîâî ∅. Ïðîèç-âåäåíèå ñëîâ

(si1 . . . sip)(sip+1. . . sin) = si1 . . . sipsip+1

. . . sin

ïî ëèíåéíîñòè ïðîäîëæàåòñÿ äî àññîöèàòèâíîãî óìíîæåíèÿ â kS. Åäè-íèöåé kS ÿâëÿåòñÿ ïóñòîå ñëîâî: 1 = ∅. Êðîìå òîãî, ìû èìååì î÷å-

âèäíîå âëîæåíèå iS : S → kS.24ñìûñë ýòîãî çàìå÷àíèÿ ïðîÿñíèòñÿ íèæå, ïîñëå çíàêîìñòâà ñ çàáûâàþùèìè ôóíêòîðàìè.

39

Ïîêàæåì, ÷òî ïàðà (kS, iS) îáëàäàåò òðåáóåìûì óíèâåðñàëüíûì

ñâîéñòâîì. Ïóñòü äàíî îòîáðàæåíèå f : S → A â k-àëãåáðóA. Íàì íóæíî

îïðåäåëèòü ãîìîìîðôèçì àëãåáð f : kS → A, äåëàþùèé äèàãðàììó

SiS //

f

kS

f||yyyyyyyy

A

êîììóòàòèâíîé. Ïîëîæèì f(∅) = 1A, ãäå 1A åäèíèöà àëãåáðû A, à äëÿ

íåïóñòîãî ñëîâà si1 . . . sip ïîëàãàåì f(si1 . . . sip) = f(si1) . . . f(sip). Ëåãêî

âèäåòü, ÷òî ïðîäîëæàÿ f ñ áàçèñà ïî ëèíåéíîñòè íà âñþ àëãåáðó kS,ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìûé ãîìîìîðôèçì. Åäèíñòâåííîñòü ñëåäóåò èç òîãî,

÷òî f îïðåäåëåíî íà ñëîâàõ â àëôàâèòå S òðåáîâàíèåì óíèòàëüíîñòè è

êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû îäíîçíà÷íî.

Ðîëü ñâîáîäíûõ àëãåáð ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ëþáàÿ àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ

ôàêòîðàëãåáðîé íåêîòîðîé ñâîáîäíîé àëãåáðû.

Çàìåòèì, ÷òî kS ìîæíî òàêæå ðàññìàòðèâàòü êàê ìîíîèäàëüíóþ

àëãåáðó ñâîáîäíîãî ìîíîèäà, ïîðîæä¼ííîãî ìíîæåñòâîì S (÷èòàòåëþ

ïðåäëàãàåòñÿ ðàñøèôðîâàòü ýòî ïîñëå èçó÷åíèÿ ïðèìåðà ãðóïïîâàÿ àë-

ãåáðà íèæå).

Ó ïîíÿòèÿ ñâîáîäíîé àëãåáðû åñòü ñïåöèàëèçàöèÿ k[S] íà ñëó÷àé

êîììóòàòèâíûõ àëãåáð. Îíà ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â êà÷åñòâå êàòåãîðèè Algkâçÿòü êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ óíèòàëüíûõ k-àëãåáð.

Çàäà÷à. Ïóñòü S = s1, . . . , sn êîíå÷íîå ìíîæåñòâî èç n ýëåìåí-

òîâ. Òîãäà k[S] ∼= k[s1, . . . , sn] àëãåáðà ìíîãî÷ëåíîâ îò n ïåðåìåííûõ.

f) Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå. Íà÷àëüíûé îáúåêò â êàòåãîðèè, îïðåäå-

ë¼ííîé â ïðèìåðå r) íà ñòð. 21 íàçûâàåòñÿ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì

âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Un. Ðàçâåðí¼ì åãî îïðåäåëåíèå. Ïóñòü

k ïîëå è U1, . . . , Un ôèêñèðîâàííûé íàáîð âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ

íàä k. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæ-

íûå ïàðû (V, f), ñîñòîÿùèå èç âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V è ïîëèëèíåé-

íîãî îòîáðàæåíèÿ f : U1 × . . . × Un → V . Ìîðôèçì èç îáúåêòà (V, f) â

îáúåêò (W, g) ýòî òàêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå φ : V → W, äëÿ êîòî-

40

ðîãî äèàãðàììà

U1 × . . .× Unf

//

g

V

φwwppp

pppppp

ppppp

W

êîììóòàòèâíà. Íà÷àëüíûé îáúåêò â ýòîé êàòåãîðèè íàçûâàåòñÿ òåíçîð-

íûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ U1, . . . , Un è îáîçíà÷àåòñÿ

(U1 ⊗ . . .⊗ Un, τ). Ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå

τ : U1 × . . .× Un → U1 ⊗ . . .⊗ Un

íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíûì ïîëèëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì. Óíèâåðñàëü-

íîå ñâîéñòâî ïàðû (U1 ⊗ . . . ⊗ Un, τ) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî

k-âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V è ïîëèëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ f : U1×. . .×Un → V ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå φ : U1 ⊗ . . . ⊗Un → V òàêîå, ÷òî äèàãðàììà

U1 × . . .× Un τ //

f

U1 ⊗ . . .⊗ Unφ

uukkkkkkkk

kkkkkkkk

kk

V

êîììóòàòèâíà.

Òàê êàê êîíñòðóêöèÿ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îáû÷íî ïðèâîäèòñÿ â

ñòàíäàðòíûõ êóðñàõ ëèíåéíîé àëãåáðû (ñì., íàïðèìåð, [8]), ìû íå áóäåì

å¼ èçëàãàòü çäåñü.

Îïðåäåëåíèå è êîíñòðóêöèÿ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðíûõ

ïðîñòðàíñòâ íåïîñðåäñòâåííî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ìîäóëåé íàä êîì-

ìóòàòèâíûì êîëüöîì.

g) Òåíçîðíàÿ àëãåáðà. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà

òåíçîðíóþ àëãåáðó ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü k íåêîòîðîå ïîëå;

çàôèêñèðóåì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V íàä k. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ C,îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (A, φ), ñòîñòîÿùèå èç àññîöèàòèâíîé

àëãåáðû A ñ åäèíèöåé íàä ïîëåì k è ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ : V →A. Ìîðôèçì èç îáúåêòà (A, φ) â îáúåêò (B, ψ) ýòî ãîìîìîðôèçì k-

àëãåáð ñ åäèíèöåé χ : A→ B, äåëàþùèé äèàãðàììó

V

ψ

φ//A

χ~~~~~~~~

B

41

êîììóòàòèâíîé.

Ïóñòü T (V ) òåíçîðíàÿ àëãåáðà ïðîñòðàíñòâà V, à iV : V → T (V )

êàíîíè÷åñêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå (âëîæåíèå V â êà÷åñòâå T 1(V ) ⊂T (V ) â åñòåñòâåííîé ãðàäóèðîâêå òåíçîðíîé àëãåáðû). Òîãäà ëåãêî ïðî-

âåðèòü, ÷òî ïàðà (T (V ), iV ) íà÷àëüíûé îáúåêò â òîëüêî ÷òî îïðåäå-

ëåííîé êàòåãîðèè.

Âàðèàíò ïîñëåäíåãî ïðèìåðà: â êà÷åñòâå îáúåêòîâ êàòåãîðèè C ðàñ-ñìàòðèâàþòñÿ ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ ôèêñèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà V

íå â ïðîèçâîëüíûå àññîöèàòèâíûå, à òîëüêî â êîììóòàòèâíûå àññîöèà-

òèâíûå àëãåáðû A. Òîãäà â ñîîòâåòñòâóþùåé êàòåãîðèè íà÷àëüíûì îáú-

åêòîì áóäåò iV : V → S(V ), ãäå S(V ) ñèììåòðè÷åñêàÿ àëãåáðà ëèíåé-

íîãî ïðîñòðàíñòâà V , à iV êàíîíè÷åñêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå. Ñì.

ïîäðîáíîñòè íàïðèìåð â [6].

Çàäà÷à. Ïóñòü I ìíîæåñòâî èíäåêñîâ, íóìåðóþùèõ áàçèñ â ïðî-

ñòðàíñòâå V . Äîêàæèòå ÷òî òåíçîðíàÿ àëãåáðà T (V ) èçîìîðôíà ñâî-

áîäíîé àëãåáðå kI. Òî æå äëÿ àëãåáð S(V ) è k[I].

h) Ôàêòîðìíîæåñòâî è ôàêòîðïðîñòðàíñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî ôàê-

òîðìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà X, íà êîòîðîì çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâà-

ëåíòíîñòè α, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî X/α êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè óêà-

çàííîãî îòíîøåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ìû èìååì òàêæå êàíîíè÷åñêóþ ïðî-

åêöèþ πα : X → X/α, ñîïîñòàâëÿþùóþ êàæäîìó ýëåìåíòó x ∈ X åãî

êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè.

×òîáû îïèñàòü óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ôàêòîðìíîæåñòâà, ðàññìîò-

ðèì ñëåäóþùóþ êàòåãîðèþ C, ïîñòðîåííóþ ïî ìíîæåñòâó X è îòíî-

øåíèþ α. Îáúåêòîì C áóäåì ñ÷èòàòü ïàðó (Y, φ), ãäå Y íåêîòî-

ðîå ìíîæåñòâî à φ : X → Y îòîáðàæåíèå, îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì

xαy ⇒ φ(x) = φ(y) (ò.å. ïîñòîÿííîå íà êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè îòíî-

øåíèÿ α). Ìîðôèçìîì â êàòåãîðèè C èç îáúåêòà (Y, φ) â îáúåêò (Z, ψ)

íàçîâåì òàêîå îòîáðàæåíèå χ : Y → Z, äëÿ êîòîðîãî äèàãðàììà

X

ψ

φ// Y

χ~~

Z

(1.8)

êîììóòàòèâíà. Òîãäà ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïàðà (X/α, πα) íà÷àëü-

íûé îáúåêò â êàòåãîðèè C.

42

Èìååòñÿ òàêæå ìîäèôèêàöèÿ ïîñëåäíåãî ïðèìåðà íà ñëó÷àé, êîãäà

X òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. À èìåííî, ââåäåì íà X/α ôàêòîð-

òîïîëîãèþ îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèè πα : X → X/α, ò.å. ñèëüíåéøóþ òî-

ïîëîãèþ, â êîòîðîé êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ πα íåïðåðûâíà. Îïðåäåëèì

êàòåãîðèþ Ctop ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáúåêòîì Ctop áóäåì ñ÷èòàòü ïàðó

(Y, φ), ñîñòîÿùóþ èç òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Y è íåïðåðûâíîãî

îòîáðàæåíèÿ φ : X → Y , îáëàäàþùåãî ñâîéñòâîì xαy ⇒ φ(x) = φ(y).

Ìîðôèçìîì â êàòåãîðèè Ctop èç îáúåêòà (Y, φ) â îáúåêò (Z, ψ) íàçîâåì

òàêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå χ : Y → Z, äëÿ êîòîðîãî äèàãðàììà

(1.8) êîììóòàòèâíà. Òîãäà ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî êàíîíè÷åñêàÿ ïàðà

(X/α, πα) íà÷àëüíûé îáúåêò â êàòåãîðèè Ctop. ñëåäóþùèõ ïðèìåðàõ ìû, êàê ïðàâèëî, íå áóäåì ÿâíî îïèñûâàòü

êàòåãîðèè, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåìûå êîíñòðóêöèè äàþò óíèâåðñàëü-

íûå îáúåêòû. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.

i) Ôàêòîðãðóïïà, ôàêòîðêîëüöî, ôàêòîðàëãåáðà. Åñòü òàêæå àë-

ãåáðàè÷åñêèå âåðñèè ïîíÿòèÿ ôàêòîðîáúåêòà. Ñ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé

â ãðóïïå è ñ (äâóñòîðîííèì â íåêîììóòàòèâíîì ñëó÷àå) èäåàëîì â êîëü-

öå ñâÿçàíû îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîãëàñîâàííûå ñ îïåðàöèÿìè.

Ðàçáåð¼ì ýòî áîëåå ïîäðîáíî.

Ïóñòü G ãðóïïà è H ⊂ G å¼ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà; òàêèì îá-

ðàçîì, îïðåäåëåíà ôàêòîðãðóïïà G/H, çàäàííàÿ âìåñòå ñ êàíîíè÷åñêèì

ãîìîìîðôèçìîì π : G → G/H. Ïàðà (G/H, π) îáëàäàåò ñëåäóþùèì

óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà ãðóïï φ : G→ K

òàêîãî ÷òî H ⊂ kerφ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì ãðóïï

ψ : G/H → K òàêîé ÷òî ψ π = φ, òî åñòü äèàãðàììà

G π //

φ

G/H

ψ||yyyyyyyy

K

êîììóòàòèâíà. Äàííîå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïî-

ëåçíûì ïðè ïîñòðîåíèè ãîìîìîðôèçìîâ ãðóïï.

Çàäà÷à. Äîêàçàòü ñôîðìóëèðîâàííîå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ôàêòîð-

ãðóïïû.

Ïóñòü R êîëüöî è I ⊂ R åãî äâóñòîðîííèé èäåàë; òàêèì îá-

ðàçîì, îïðåäåëåíî ôàêòîðêîëüöî R/I, çàäàííîå âìåñòå ñ êàíîíè÷åñêèì

43

ãîìîìîðôèçìîì π : R→ R/I. Ïàðà (R/I, π) îáëàäàåò ñëåäóþùèì óíè-

âåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà êîëåö φ : R → S

òàêîãî ÷òî I ⊂ kerφ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì êîëåö

ψ : R/I → S òàêîé ÷òî ψ π = φ, òî åñòü äèàãðàììà

R π //

φ

R/I

ψ

S

êîììóòàòèâíà. Äàííîå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïî-

ëåçíûì ïðè ïîñòðîåíèè ãîìîìîðôèçìîâ êîëåö.

Çàäà÷à. Äîêàçàòü ñôîðìóëèðîâàííîå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ôàêòîð-

êîëüöà.

Çàäà÷à. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà ôàê-

òîðïðîñòðàíñòâà (ôàêòîðìîäóëÿ) è ôàêòîðàëãåáðû.

j) Àëãåáðà Êëèôôîðäà. Àëãåáðû Êëèôôîðäà âîçíèêàþò êàê ðåøå-

íèå ñëåäóþùåé çàäà÷è. Ïóñòü k ïîëå è V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî

íàä k, ñíàáæ¼ííîå êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé Q. Ïóñòü C àññîöèàòèâíàÿ

óíèòàëüíàÿ àëãåáðà íàä k è j : V → C òàêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå

ïîäñòèëàþùèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÷òî j(v)2 = Q(v) · 1C ∀v ∈ V(1C åäèíèöà â àëãåáðå C). Äðóãèìè ñëîâàìè, êâàäðàòû âñåõ ýëåìåíòîâ

âèäà j(v), v ∈ V ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðàìè â C, òî åñòü êðàòíûìè åäèíè÷-

íîãî ýëåìåíòà 1C (ñ êîýôôèöèåíòîì Q(v)). Ìû õîòèì íàéòè ïàðó (C, j),

êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿëà áû ñëåäóþùåìó óíèâåðñàëüíîìó ñâîéñòâó. Äëÿ

ëþáîé àññîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé k-àëãåáðû A è ïðîèçâîëüíîãî ëèíåé-

íîãî îòîáðàæåíèÿ φ : V → A ïîäñòèëàþùèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ òà-

êîãî, ÷òî φ(v)2 = Q(v) ·1A ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí ãîìîìîðôèçì àëãåáð

ψ : C → A, ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó

Vj

//

φ

C

ψ~~~~~~~~~~

A

â êîììóòàòèâóþ.

Àëãåáðà C(V, Q), ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì ñôîðìóëèðîâàííîé çàäà÷è

ñóùåñòâóåò, è íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé Êëèôôîðäà. Èäåÿ å¼ êîíñòðóêöèè îñ-

íîâàíà íà óíèâåðñàëüíîì ñâîéñòâå òåíçîðíîé àëãåáðû (ñì. îäèí èç ïðè-

ìåðîâ âûøå). À èìåííî, äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ : V → A

44

ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì àëãåáð ϑ : T (V ) → A, äåëàþ-

ùèé äèàãðàììó

ViV //

φ

T (V )

ϑ||yyyyyyyyy

A

êîììóòàòèâíîé.

 ñèëó óñëîâèÿ φ(v)2 = Q(v) · 1A è êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû,

ãîìîìîðôèçì ϑ âñå ýëåìåíòû âèäà

v ⊗ v −Q(v) · 1T (V ) ∈ T (V ), v ∈ V

ïåðåâîäèò â 0, à çíà÷èò äâóñòîðîííèé èäåàë I(Q) ⊂ T (V ), ïîðîæä¼í-

íûé ýëåìåíòàìè óêàçàííîãî âèäà, ëåæèò â ÿäðå ãîìîìîðôèçìà ϑ. Çíà-

÷èò, åñëè ìû ïîëîæèì B := T (V )/I(Q), òî ïî óíèâåðñàëüíîìó ñâîé-

ñòâó ôàêòîðàëãåáðû ãîìîìîðôèçì ϑ ïðîïóñêàåòñÿ (=ôàêòîðèçóåòñÿ)

÷åðåç ãîìîìîðôèçì ψ : B → A. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ìû ïîëîæèì

j := π iV : V → B, ãäå π : T (V ) → T (V )/I(Q) êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåê-

öèÿ, òî j(v)2 = Q(v) ·1B. Îòñþäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïàðà (B, j) îáëàäàåòòðåáóåìûì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì, òî åñòü B = C(V, Q). Çàìåòèì,

÷òî åäèíñòâåííîñòü ãîìîìîðôèçìà ψ ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè ϑ.

Ïîäðîáíîñòè ñì., íàïðèìåð, â [5], ñ. 153-155 èëè â [13], ëåêöèÿ 13.

Çàìåòèì, ÷òî íåñìîòðÿ íà êàæóùååñÿ àáñòðàêòíûì îïðåäåëåíèå, àë-

ãåáðû Êëèôôîðäà íàøëè ïðèìåíåíèå íå òîëüêî â ìàòåìàòèêå (òåîðèÿ

ãðóïï Ëè, ðèìàíîâà ãåîìåòðèÿ è K-òåîðèÿ), íî è â ôèçèêå, â óðàâíåíèè

Äèðàêà, îïèñûâàþùåì ðåëÿòèâèñòñêèé ýëåêòðîí. Êðîìå òîãî, ÷àñòíûì

ñëó÷àåì (ïðè Q = 0) àëãåáðû Êëèôôîðäà ÿâëÿåòñÿ âíåøíÿÿ àëãåáðà

âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.

Çàäà÷à. Ñôîðìóëèðóéòå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî âíåøíåé àëãåáðû.

k) Óíèâåðñàëüíàÿ îá¼ðòûâàþùàÿ àëãåáðà. Èç ïðîèçâîëüíîé àñ-

ñîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé k-àëãåáðû A ìîæíî ñêîíñòðóèðîâàòü àëãåáðó

Ëè, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ A îïðåäåëèòü èõ ñêîáêó

Ëè [a, b] ôîðìóëîé [a, b] = ab−ba (çäåñü ab ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ â

ñìûñëå àññîöèàòèâíîãî óìíîæåíèÿ â A). Ñîîòâåòñòâóþùóþ àëãåáðó Ëè

îáîçíà÷èì AL. Áîëåå òîãî, óíèòàëüíûé ãîìîìîðôèçì àññîöèàòèâíûõ àë-

45

ãåáð φ : A→ B èíäóöèðóåò ãîìîìîðôèçì àëãåáð Ëè φL : AL → BL.25

Óíèâåðñàëüíîé îá¼ðòûâàþùåé àëãåáðîé àëãåáðû Ëè L íàä ïîëåì k

íàçûâàåòñÿ ïàðà (U(L), iL), ñîñòîÿùàÿ èç àññîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé àë-

ãåáðû U(L) íàä k è ãîìîìîðôèçìà àëãåáð Ëè iL : L → U(L)L, îáëà-

äàþùàÿ ñëåäóþùèì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì. Äëÿ ëþáîé àññîöèàòèâ-

íîé óíèòàëüíîé àëãåáðû A íàä k è ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà àëãåáð Ëè

φ : L→ AL ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì óíèòàëüíûõ àññîöè-

àòèâíûõ àëãåáð ψ : U(L)→ A òàêîé, ÷òî ψL i = φ, òî åñòü äèàãðàììà

LiL //

φ

U(L)L

ψLwwwwwwwww

AL

êîììóòàòèâíà.

Ñóùåñòâîâàíèå óíèâåðñàëüíîé îá¼ðòûâàþùåé àëãåáðû äîêàçûâàåòñÿ

å¼ ïðÿìîé êîíñòðóêöèåé. Èìåííî, ïóñòü T (L) òåíçîðíàÿ àëãåáðà ïîä-

ëåæàùåãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà àëãåáðû Ëè L. Ïóñòü I(L) ⊂ T (L)

äâóñòîðîííèé èäåàë, ïîðîæä¼ííûé âñåìè ýëåìåíòàìè âèäà

a⊗ b− b⊗ a− [a, b], a, b ∈ L.

Ïîëîæèì iL := π i, ãäå i : L → T (L) åñòåñòâåííîå âëîæåíèå à

π : T (L) → T (L)/I(L) êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ. Òîãäà ëåãêî âèäåòü,

÷òî iL : L → U(L)L ãîìîìîðôèçì àëãåáð Ëè. Òðåáóåìîå óíèâåðñàëü-

íîå ñâîéñòâî ïàðû (U(L), iL) ñëåäóåò òåïåðü èç óíèâåðñàëüíûõ ñâîéñòâ

òåíçîðíîé àëãåáðû T (L) è ôàêòîðàëãåáðû.

Ïîäðîáíîñòè ñì., íàïðèìåð, â [13], ëåêöèÿ 5.

l) Êîëüöî ÷àñòíûõ. Ïðèìåðû óíèâåðñàëüíûõ îáúåêòîâ äîñòàâëÿþò

íàì òàêæå êîëüöà ÷àñòíûõ. Ñîîòâåòñòâóþùóþ êîíñòðóêöèþ ìû ðàçáå-

ðåì â î÷åíü ÷àñòíîì ñëó÷àå. À èìåííî, ïóñòü A öåëîñòíîå êîëüöî

(íàïîìíèì, ÷òî öåëîñòíîå êîëüöî ýòî êîììóòàòèâíîå àññîöèàòèâíîå

êîëüöî ñ åäèíèöåé è áåç äåëèòåëåé íóëÿ). Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî äëÿ öå-

ëîñòíîãî êîëüöà îïðåäåëåíî ïîëå ÷àñòíûõ Quot(A), èíà÷å íàçûâàåìîå

ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé (äëÿ A = Z ýòî ïîëå Q, à äëÿ êîëüöà

25íèæå ìû óçíàåì, ÷òî òåì ñàìûì ìû îïðåäåëèëè ôóíêòîð èç êàòåãîðèè àññîöèàòèâíûõ óíè-

òàëüíûõ àëãåáð Algk â êàòåãîðèþ àëãåáð Ëè Liek.

46

ìíîãî÷ëåíîâ A = k[X] ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé k(X)). Îíî ñî-

ñòîèò èç êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè âûðàæåíèé a/b, ãäå a, b ∈ A, b = 0

îòíîñèòåëüíî ñëåäóþùåãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè:

(a/b ∼ a′/b′)⇔ (b′a− ba′ = 0).

Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå â Quot(A) îïðåäåëÿþòñÿ ïî îáû÷íûì ôîðìóëàì

äëÿ äðîáåé:

a/b+ a′/b′ = (b′a+ ba′)/bb′, (a/b) · (a′/b′) = (aa′/bb′).

Çàìåòèì, ÷òî ïîëå ÷àñòíûõ Quot(A) îïðåäåëåíî âìåñòå ñ êàíîíè÷åñêèì

âëîæåíèåì jA : A→ Quot(A), a 7→ a/1.

Ðàññìîòðèì òåïåðü êàòåãîðèþ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû

(K, f), ãäå K íåêîòîðîå ïîëå, à f : A→ K âëîæåíèå A â K â êà÷å-

ñòâå ïîäêîëüöà. Ìîðôèçì èç (K, f) â (L, g) ýòî òàêîé ãîìîìîðôèçì

(ò.å. âëîæåíèå) ïîëåé φ : K → L, ÷òî äèàãðàììà

Ag

f//K

φ~~~~~~~~~~

L

êîììóòàòèâíà. Òîãäà ïàðà (Quot(A), jA) ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì îáúåêòîì

â äàííîé êàòåãîðèè.

m) Àáåëèàíèçàöèÿ. Ïóñòü G ïðîèçâîëüíàÿ ãðóïïà, G′ å¼ êîììó-

òàíò. Íàïîìíèì, ÷òî êîììóòàíò ãðóïïû G ïîäãðóïïà, ïîðîæä¼ííàÿ

âñåìè êîììóòàòîðàìè

[g1, g2] := g1g2g−11 g−12 , g1, g2 ∈ G.

Êîììóòàíò òðèâèàëåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãðóïïà G àáåëåâà.

Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè φ : G→ H ãîìîìîðôèçì ãðóïï, òî φ(G′) ⊂ H ′,

à åñëè φ(G) = H, òî φ(G′) = H ′.  ÷àñòíîñòè, êîììóòàíò èíâàðèàíòåí

îòíîñèòåëüíî âñåõ âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïû, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ

íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé. Çíà÷èò, îïðåäåëåíà ôàêòîðãðóïïà G/G′, íàçû-

âàåìàÿ àáåëèàíèçàöèåé ãðóïïû G è îáîçíà÷àåìàÿ Gab.

Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî ïàðà (Gab, α), ãäå α : G → Gab êàíîíè-

÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ íà ôàêòîðãðóïïó, îáëàäàåò ñëåäóþùèì óíèâåðñàëü-

47

íûì ñâîéñòâîì: äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãîìîìîðôèçìà φ : G → A â àáå-

ëåâó ãðóïïó A ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì

ψ : Gab → A òàêîé, ÷òî ψ α = φ, òî åñòü äèàãðàììà

G α //

φ

Gab

ψ

A

êîììóòàòèâíà.

n) Ãðóïïîâàÿ àëãåáðà. Ãðóïïîâîé àëãåáðîé ãðóïïû G íàä ïîëåì k

íàçûâàåòñÿ àëãåáðà, îáîçíà÷àåìàÿ k[G], áàçèñíûå ýëåìåíòû (êàê âåê-

òîðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä k) êîòîðîé çàíóìåðîâàíû ýëåìåíòàìè ãðóïïû

G, ïðè÷¼ì ïðîèçâåäåíèå áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ñ íîìåðàìè g1, g2 ∈ G åñòü

áàçèñíûé ýëåìåíò ñ íîìåðîì g1g2.

Îáû÷íî áàçèñíûå ýëåìåíòû k[G] îáîçíà÷àþòñÿ òåì æå ñèìâîëîì ÷òî

è ýëåìåíòû ãðóïïû G. Ïðè òàêîì ñîãëàøåíèè ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò

k[G] îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

a =∑g∈G

agg (ag ∈ k, ag = 0 òîëüêî äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ g ∈ G).

(1.9)

Èç àññîöèàòèâíîñòè óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ â ãðóïïå G âûòåêàåò àññîöè-

àòèâíîñòü óìíîæåíèÿ â àëãåáðå k[G]. Ìîæíî åùå áîëåå óïðîñòèòü îáî-

çíà÷åíèÿ, åñëè ýëåìåíò (1.9) ãðóïïîâîé àëãåáðû k[G] ðàññìàòðèâàòü êàê

ôóíêöèþ a : G → k, a(g) := ag ñ êîíå÷íûì íîñèòåëåì.  ýòèõ îáîçíà-

÷åíèÿõ ïðîèçâåäåíèå a ∗ b äâóõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ k[G] èìååò ñëåäóþùèéâèä:

(a ∗ b)(g) =∑h∈G

a(h)b(h−1g)

è íàçûâàåòñÿ ñâ¼ðòêîéôóíêöèé a è b íà ãðóïïåG. Çàìåòèì, ÷òî äåëüòà-

ôóíêöèÿ δe â åäèíèöå e ∈ G (òî åñòü δe(e) = 1 è δe(g) = 0 ïðè g = e)

èãðàåò ðîëü åäèíèöû àëãåáðû k[G].

Äëÿ A ∈ Ob(Algk) îòîáðàæåíèå φ : G → A íàçîâ¼ì ìóëüòèïëèêà-

òèâíûì, åñëè

φ(g1g2) = φ(g1)φ(g2) ∀g1, g2 ∈ G.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî òî æå, ÷òî êîìïîçèöèÿ ãîìîìîðôèçìà ãðóïï

48

G→ A×, ãäå A× ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà àëãåáðû A26, ñ êàíîíè-

÷åñêèì âëîæåíèåì A× → A.

Òîãäà ïàðà (k[G], α), ãäå α : G → k[G] êàíîíè÷åñêîå ìóëüòèïëè-

êàòèâíîå îòîáðàæåíèå, îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà (êàê,

âïðî÷åì, ëþáîé óíèâåðñàëüíûé îáúåêò) õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì

óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî ìóëüòèïëèêòèâíîãî îòîáðàæåíèÿ

φ : G → A ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì àëãåáð ψ : k[G] → A

òàêîé, ÷òî ψ α = φ, èëè, áîëåå íàãëÿäíî, òàêîé, ÷òî äèàãðàììà

G α //

φ

k[G]

ψ

A

êîììóòàòèâíà.

Îòìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå ãðóïïîâîé àëãåáðû äîïóñêàåò ïîëåçíûå îáîá-

ùåíèÿ: âî-ïåðâûõ, ãðóïïó ìîæíî çàìåíèòü ìîíîèäîì è òîãäà ïîëó÷àåòñÿ

ìîíîèäàëüíàÿ àëãåáðà27, âî-âòîðûõ, âìåñòî ïîëåé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü

êîëüöà, è òîãäà ìû ïîëó÷èì ïîíÿòèå ãðóïïîâîãî êîëüöà.

o) Ñèììåòðèçàöèÿ êîììóòàòèâíîãî ìîíîèäà. Íàïîìíèì, ÷òî ìî-

íîèäîì íàçûâàåòñÿ ïîëóãðóïïà ñ åäèíèöåé, íî, â îòëè÷èå îò ãðóïïû, â

í¼ì, âîîáùå ãîâîðÿ, íå äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà åñòü îáðàòíûé. Ìîíîèäû

îáðàçóþò êàòåãîðèþ, ìîðôèçìàìè â êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ãîìîìîðôèçìû

ìîíîèäîâ (çàìåòèì, ÷òî, â îòëè÷èå îò ãðóïï, äëÿ îòîáðàæåíèÿ ìîíîè-

äîâ f : M → N èç óñëîâèÿ f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ M íå ñëåäóåò

÷òî f åäèíè÷íûé ýëåìåíò ïåðåâîäèò â åäèíè÷íûé, ýòî óñëîâèå íóæíî

íàêëàäûâàòü äîïîëíèòåëüíî).

Ïî îïðåäåëåíèþ, ñèììåòðèçàöèÿ êîììóòàòèâíîãî ìîíîèäà M ýòî

ïàðà (S(M), αM) ñîñòîÿùàÿ èç àáåëåâîé ãðóïïû S(M) è ãîìîìîðôèçìà

ïîäñòèëàþùèõ ìîíîèäîâ αM : M → S(M), òàêàÿ, ÷òî âûïîëíåíî ñëå-

äóþùåå óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî: äëÿ ïðîèçâîëüíîé àáåëåâîé ãðóïïû A

è ïðîèçâîëüíîãî ãîìîìîðôèçìà ïîäñòèëàþùèõ ìîíîèäîâ f : M → A

ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí ãîìîìîðôèçì ãðóïï f : S(M) → A òàêîé, ÷òî

26íàïîìíèì, ÷òî ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé àññîöèàòèâíîé óíèòàëüíîé àëãåáðû A íàçûâàåòñÿ

ãðóïïà îáðàòèìûõ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ àëãåáðû A ñ îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ.27ïîñ÷èòàéòå ìîíîèäàëüíóþ àëãåáðó äëÿ ìîíîèäà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ 0.

49

äèàãðàììà

MαM //

f

S(M)

fwwwwwwwww

Aêîììóòàòèâíà.

×èòàòåëü ëåãêî ïðîâåðèò, ÷òî, íàïðèìåð, äëÿ ìîíîèäà íåîòðèöàòåëü-

íûõ öåëûõ ÷èñåë ïî ñëîæåíèþ ñèììåòðèçàöèåé áóäåò àääèòèâíàÿ ãðóïïà

öåëûõ ÷èñåë, à äëÿ ìîíîèäà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (áåç íóëÿ) îòíîñèòåëü-

íî óìíîæåíèÿ ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëü-

íûõ ÷èñåë.

×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ñèììåòðèçàöèÿ ñóùåñòâóåò, íóæíî äàòü å¼ êîí-

ñòðóêöèþ, è ïðîâåðèòü äëÿ íå¼ âûïîëíåíèå óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà.

Ïðîñòåéøèé ïóòü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü S(M) êàê ôàêòîð-

ãðóïïó ñâîáîäíîé àáåëåâîé ãðóïïû F(M), ïîðîæä¼ííîé âñåìè ñèìâîëà-

ìè [m], m ∈ M , ïî ïîäãðóïïå, ïîðîæä¼ííîé ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè

âèäà [m + n] − [m] − [n] ∈ F(M) (ãäå ñóììà m + n áåð¼òñÿ â ìîíîè-

äå M), è ïîëîæèòü αM(m) ðàâíûì êëàññó ýëåìåíòà [m]. Óíèâåðñàëüíîå

ñâîéñòâî ïîñòðîåííîé ïàðû (S(M), αM) òîãäà ñëåäóåò èç óíèâåðñàëüíûõ

ñâîéñòâ ñâîáîäíîé àáåëåâîé ãðóïïû è ôàêòîðãðóïïû. Ïîäðîáíîñòè ñì.,

íàïðèìåð, â [5].

p) Ïîïîëíåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü (X, d) ìåò-

ðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Åãî ïîïîëíåíèåì íàçûâàåòñÿ ïàðà ((X, d), iX),

ñîñòîÿùàÿ èç ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, d) è èçîìåòðèè28

iX : (X, d) → (X, d), îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì óíèâåðñàëüíûì ñâîé-

ñòâîì: äëÿ ëþáîãî ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (Y, ρ) è ïðîèç-

âîëüíîé èçîìåòðèè φ : (X, d)→ (Y, ρ) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ èçîìåò-

ðèÿ ψ : (X, d)→ (Y, ρ), äåëàþùàÿ äèàãðàììó

XiX //

φ

X

ψ~~~~~~~~~~

Y

êîììóòàòèâíîé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ïîïîëíåíèÿ ÷åðåç

óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ýêâèâàëåíòíî îáû÷íîìó îïðåäåëåíèþ, òàê êàê

28íàïîìíèì, ÷òî îòîáðàæåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ φ : (X, d)→ (Y, ρ) íàçûâåòñÿ èçîìåòðè-

åé, åñëè ρ(φ(x1), φ(x2)) = d(x1, x2) ∀x1, x2 ∈ X.

50

óñëîâèå óíèâåðñàëüíîñòè ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî iX(X) ïëîòíî â X.

Ïîäðîáíîñòè ñì., íàïðèìåð, â [16].

q) Êîìïàêòèôèêàöèÿ Ñòîóíà-×åõà. Ïóñòü X òîïîëîãè÷åñêîå

ïðîñòðàíñòâî. Ïàðà (βX, iX), ñîñòîÿùàÿ èç êîìïàêòíîãî õàóñäîðôî-

âà ïðîñòðàíñòâà βX è íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ iX : X → βX íà-

çûâàåòñÿ êîìïàêòèôèêàöèåé Ñòîóíà-×åõà, åñëè îíà îáëàäàåò ñëåäóþ-

ùèì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ

f : X → K â êîìïàêòíîå õàóñäîðôîâî ïðîñòðàíñòâî K ñóùåñòâóåò ïðè-

÷¼ì åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå βf : βX → K òàêîå, ÷òî

äèàãðàììà

XiX //

f

βX

βf

Kêîììóòàòèâíà.

Äðóãèìè ñëîâàìè, êîìïàêòèôèêàöèÿ Ñòîóíà-×åõà äà¼ò óíèâåðñàëü-

íîå îòîáðàæåíèå èç X â êîìïàêòíîå õàóñäîðôîâî ïðîñòðàíñòâî βX. Òî

åñòü βX íàèáîëüøåå êîìïàêòíîå õàóñäîðôîâî ïðîñòðàíñòâî, ïî-

ðîæä¼ííîå X â òîì ñìûñëå ÷òî ëþáûå íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ èç

X â êîìïàêòíûå õàóñäîðôîâû ïðîñòðàíñòâà ôàêòîðèçóþòñÿ ÷åðåç βX

(åäèíñòâåííûì îáðàçîì).

Çàìåòèì, ÷òî äàæå äëÿ òàêèõ ïðîñòûõ íåêîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâ

êàê äèñêðåòíîå ïðîñòðàíñòâî N ýòà êîìïàêòèôèêàöèÿ ìîæåò áûòü î÷åíü

ñëîæíîé (â ÷àñòíîñòè, βN èìååò ìîùíîñòü 2ℵ, ãäå ℵ ìîùíîñòü êîíòè-

íóóìà).

r) Ñâîáîäíàÿ ìàãìà. Âîò åùå îäèí ïðèìåð. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ

M, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ò.í. ìàãìû, ò.å. âñåâîçìîæíûå ïàðû

(Y, ·), ãäå Y ìíîæåñòâî, à · áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà íåì (íèêàêè-

ìè äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè âðîäå àññîöèàòèâíîñòè, êîììóòàòèâ-

íîñòè è ò.ï., âîîáùå ãîâîðÿ, íå îáëàäàþùàÿ).  êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ

f : (Y, ·)→ (Z, ) ðàññìàòðèâàþòñÿ îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ, ñîãëàñîâàí-íûå ñ îïåðàöèÿìè, ò.å. òàêèå ÷òî f(a ·b) = f(a)f(b) ∀a, b ∈ Y. Çàìåòèì,÷òî çàäàíèå áèíàðíîé îïåðàöèè íà ìíîæåñòâå Y ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ

îòîáðàæåíèÿ µ : Y × Y → Y .

ÏóñòüX ìíîæåñòâî. Ìû õîòèì ïîñòðîèòü ñâîáîäíóþ ìàãìó íàäX,

òî åñòü ïàðó ((M(X), ⋆), iX), ãäå (M(X), ⋆) ìàãìà, à iX : X →M(X)

51

âëîæåíèå ìíîæåñòâ, òàêóþ ÷òî äëÿ ëþáîé ìàãìû Y è ïðîèçâîëüíîãî

îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ φ : X → Y ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìîðôèçì

ìàãì ψ : M(X)→ Y òàêîé, ÷òî äèàãðàììà

XiX //

φ

M(X)

ψwwwwwwwww

Y

êîììóòàòèâíà.

Çàìåòèì, ÷òî ò.ê. îïåðàöèÿ µ â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ àññîöèà-

òèâíîé, ðåçóëüòàò åå âûïîëíåíèÿ áóäåò çàâèñåòü îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê.

Ðàññòàâèòü ñêîáêè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç n ýëåìåíòîâ ìîæíî çàäàâ

ïëàíàðíîå áèíàðíîå êîðíåâîå äåðåâî ñ n ëèñòüÿìè. Íàïðèìåð, äåðåâó ñ

5 ëèñòüÿìè

@@

@@

@@

AAA

a b c d e

(1.10)

ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùàÿ ðàññòàíîâêà ñêîáîê (çäåñü è íèæå ìû îïóñêà-

åì òî÷êè, îáîçíà÷àþùèå îïåðàöèþ): ((ab)c)(de); ÷èòàòåëü ëåãêî âûâåäåò

îáùåå ïðàâèëî ñàìîñòîÿòåëüíî. Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïëàíàðíûõ áè-

íàðíûõ êîðíåâûõ äåðåâüåâ ñ n ëèñòüÿìè ÷åðåç Jn (ìîùíîñòè ìíîæåñòâ

Jn îáðàçóþò çíàìåíèòóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Êàòàëàíà). Èç ñêàçàííî-

ãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ìàãìû (Y, ·) êàæäîå äåðåâî T ∈ Jn çàäàåò

îòîáðàæåíèå µT : Yn → Y (íàïðèìåð, äëÿ äåðåâà T íà äèàãðàììå (1.10)

èìååì: µT (y1, y2, y3, y4, y5) = ((y1y2)y3)(y4y5)). Ýòî îòîáðàæåíèå ìîæíî

çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü l(T ) ÷èñëî ëèñòüåâ êîðíåâîãî

äåðåâà T. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå

M(Y ) :=⨿T

T × Y l(T ).

Òîãäà ìàãìà (Y, ·) èíäóöèðóåò îòîáðàæåíèå µ : M(Y )→ Y, ïåðåâîäÿùåå

52

(T ; y1, . . . , yl(T )) â µT (y1, . . . , yl(T )).29

Ïóñòü òåïåðü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî (íå îáÿçàòåëüíî ìàãìà).

Ðàññìîòðèì

M(X) :=⨿T

T ×X l(T ).

Çàìåòèì, ÷òî íà ìíîæåñòâå M(X) åñòü óìíîæåíèå ⋆, èíäóöèðîâàííîå

ïðîèçâåäåíèåì äåðåâüåâ (T ′, T ′′) 7→ T ′ ∗ T ′′:

@@

@@

@

a b c

*

@@

@@@

d e

=

@@

@@

@@

AAA

a b c d e

,

ïðè÷åì, î÷åâèäíî, l(T ′ ∗ T ′′) = l(T ′) + l(T ′′). Áîëåå ïîäðîáíî,

(T ′; x′1, . . . , x′l(T ′)) ⋆ (T

′′; x′′1, . . . , x′′l(T ′′)) = (T ′ ∗ T ′′;x1, . . . , xl(T ′)+l(T ′′)),

ãäå xi = x′i ïðè 1 ≤ i ≤ l(T ′) è xl(T ′)+j = x′′j ïðè 1 ≤ j ≤ l(T ′′). Òàêèì

îáðàçîì, (M(X), ⋆) ìàãìà.

Âëîæåíèå iX : X ⊂ M(X) óñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: ìíîæåñòâî

J1 ñîñòîèò èç îäíîãî äåðåâà τ ; ýëåìåíòó x ∈ X ñîïîñòàâëÿåòñÿ ýëåìåíò

(τ, x) ∈M(X)). Îòîáðàæåíèå ψ, çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:

ψ(T ; x1, . . . , xl(T )) = µT (φ(x1), . . . , φ(xl(T ))).

Ïðîâåðèòü óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ïîñòðîåííîé ïàðû ((M(X), ⋆), iX)

ïðåäëàãàåòñÿ ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî (ñì. [4]).

Íèæå (îñîáåííî â ãëàâå î ñîïðÿæ¼ííûõ ôóíêòîðàõ âî âòîðîé ÷àñòè

ïîñîáèÿ) ìû âñòðåòèìñÿ ñ äðóãèìè ïðèìåðàìè óíèâåðñàëüíûõ îáúåêòîâ

(à íà ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû ïîñìîòðèì ñ íîâîé òî÷êè çðåíèÿ).

29÷èòàòåëü, çíàêîìûé ñ îïåðàäàìè, óçíàåò â ýòîì ïðèìåð àëãåáðû íàä îïåðàäîé.

53

1.5 Äóàëüíàÿ êàòåãîðèÿ è ïðîèçâåäåíèå êà-

òåãîðèé

Âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü ìîã îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ðÿä ââåä¼ííûõ âû-

øå ïîíÿòèé (ìîíîìîðôèçìà è ýïèìîðôèçìà, íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî

îáúåêòà, êàòåãîðíûõ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ) âñòðå÷àëèñü ïàðàìè, ïðè-

÷¼ì ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ÷ëåíû ïàðû ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè ïðè ôîðìàëü-

íîì èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ âñåõ ñòðåëîê â äèàãðàììàõ, ñ ïîìîùüþ êî-

òîðûõ îíè îïðåäåëÿþòñÿ. Íàïðèìåð, ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèé ñòðå-

ëîê äèàãðàììû èç îïðåäåëåíèÿ ñóììû (1.3) è ïðîèçâåäåíèÿ (1.4) ìå-

íÿþòñÿ ìåñòàìè. Òî æå ìîæíî ñêàçàòü ïðî äèàãðàììû (1.1) è (1.2) èç

îïðåäåëåíèé ìîíî- è ýïèìîðôèçìà. Ýòè íàáëþäåíèÿ ìîæíî ôîðìàëèçî-

âàòü ïðè ïîìîùè ïîíÿòèÿ òàê íàçûâàåìîé äâîéñòâåííîé, èëè äóàëüíîé

êàòåãîðèè.

Îïðåäåëåíèå 10. Ïóñòü C ïðîèçâîëüíàÿ êàòåãîðèÿ. Îïðåäåëèì äó-

àëüíóþ êàòåãîðèþ C ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ob(C) = Ob(C) (íî äëÿ îáú-åêòà X ∈ Ob(C) òîò æå ñàìûé îáúåêò â äâîéñòâåííîé êàòåãîðèè áóäåì

èíîãäà îáîçíà÷àòü ÷åðåç X); HomC(X, Y ) = HomC(Y, X) (ìîðôèçìó

φ : Y → X â êàòåãîðèè C îòâå÷àåò ìîðôèçì φ : X → Y â êàòåãîðèè

C). Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

1) (φ ψ) = ψ φ, ò.å. êîììóòàòèâíîìó òðåóãîëüíèêó

Zψ

//

φψ

Y

φ~~

X

â êàòåãîðèè C îòâå÷àåò êîììóòàòèâíûé òðåóãîëüíèê

Z Yψ

oo

X

ψφ=(φψ)OO

φ

>>

â êàòåãîðèè C;

2) (idX) = idX.

54

Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, äâîéñòâåííàÿ êàòåãîðèÿ C ïîëó÷àåòñÿ èç Côîðìàëüíîé çàìåíîé íàïðàâëåíèÿ âñåõ ñòðåëîê íà ïðîòèâîïîëîæíîå.

Î÷åâèäíî, (C) = C.Ïðèìåð. Âûøå ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî ãðóïïó G ìîæíî ðàññìàòðèâàòü

êàê êàòåãîðèþ ñ îäíèì îáúåêòîì, êàæäûé ìîðôèçì â êîòîðîé îáðàòèì.

Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ãðóïïû G ìîæíî îïðåäåëèòü òàê íàçûâàåìóþ ïðî-

òèâîïîëîæíóþ (opposite ïî-àíãëèéñêè) ãðóïïó G, ìíîæåñòâî ýëåìåí-

òîâ êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ýëåìåíòîâ ãðóïïû G, à óìíîæåíèå

îïðåäåëÿåòñÿ êàê g1∗g2 := g2·g1, ãäå · îáîçíà÷àåò óìíîæåíèå â èñõîäíîéãðóïïå G. Ñîïîñòàâëåíèå g 7→ g−1 îïðåäåëÿåò èçîìîðôèçì ãðóïïû G ñ

ïðîòèâîïîëîæíîé G. Çàìåòèì â ñâÿçè ñ ýòèì, ÷òî íå âñÿêàÿ êàòåãîðèÿ

èçîìîðôíà30 ñâîåé äóàëüíîé.

Çàäà÷à. Îïèøèòå êàòåãîðèþ, äóàëüíóþ êàòåãîðèè, ñâÿçàííîé ñ ÷à-

ñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì (ñì. ïðèìåð m) èç §1.2).Ëþáîå îáùåêàòåãîðíîå ïîíÿòèå èëè óòâåðæäåíèå, åñëè åãî ïðèìå-

íèòü ê êàòåãîðèè C, äàåò â êàòåãîðèè C äâîéñòâåííîå ïîíÿòèå èëè

óòâåðæäåíèå, ïîëó÷àþùååñÿ èç èñõîäíîãî îáðàùåíèåì ñòðåëîê. Íàïðè-

ìåð, ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè X ∈ Ob(C) íà÷àëüíûé (êîíå÷íûé) îáúåêò

â êàòåãîðèè C, òî X ∈ Ob(C) êîíå÷íûé (ñîîòâ. íà÷àëüíûé) îáúåêò

â êàòåãîðèè C. Äàëåå, åñëè X + Y ñóììà îáúåêòîâ X, Y â êàòåãî-

ðèè C, òî (X + Y ) ïðîèçâåäåíèå îáúåêòîâ X, Y â êàòåãîðèè C, èíàîáîðîò.31 Ïîñëåäíåå ëåãêî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îáðàùåíèå ñòðåëîê â

äèàãðàììå äëÿ ñóììû (1.3) äàåò äèàãðàììó äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ (1.4), è

íàîáîðîò. Àíàëîãè÷íî, ìîíîìîðôèçì (ñîîòâ. ýïèìîðôèçì) â êàòåãîðèè

C â äóàëüíîé êàòåãîðèè C ïåðåõîäèò â ýïèìîðôèçì (ñîîòâ. ìîíîìîð-

ôèçì).

Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðîñòîé ïðèìåð êîíñòðóèðîâàíèÿ íîâîé êà-

òåãîðèè èç çàäàííûõ ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå êàòåãîðèé, ÿâëÿþùååñÿ

àíàëîãîì îïåðàöèè äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ. À èìåííî, ïóñòü

C, C ′ äâå êàòåãîðèè. Ïîëîæèì

Ob(C × C ′) = Ob(C)×Ob(C ′),30ìîðôèçìû ìåæäó êàòåãîðèÿìè íàçûâàþòñÿ ôóíêòîðàìè, èõ ìû îïðåäåëèì íèæå.31â ìàòåìàòèêå íàçâàíèå äâîéñòâåííîãî ïîíÿòèÿ ÷àñòî îáðàçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðèñòàâêè êî.

Íàïðèìåð, ãîìîëîãèè êîãîìîëîãèè è ò.ï. Ïîýòîìó êàòåãîðíóþ ñóììó â ñîâðåìåííîé ëèòåðàòóðå

÷àñòî íàçûâàþò êîïðîèçâåäåíèåì.

55

HomC×C′((X, X′), (Y, Y ′)) = HomC(X, Y )× HomC′(X

′, Y ′),

(φ, φ′) (ψ, ψ′) = (φ ψ, φ′ ψ′), id(X,X ′) = (idX , idX ′).

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî C ×C ′ ÿâëÿåòñÿ êàòåãîðèåé. Äàííóþ êîíñòðóê-

öèþ î÷åâèäíûì îáðàçîì ìîæíî îáîáùèòü íà ëþáîå êîíå÷íîå ñåìåéñòâî

êàòåãîðèé. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî (C × C ′) = C × C ′.

56

Ãëàâà 2

Ôóíêòîðû

2.1 Îïðåäåëåíèå è ïåðâûå ïðèìåðû ôóíê-

òîðîâ

Îïðåäåëåíèå 11. Ôóíêòîð èç êàòåãîðèè C ñî çíà÷åíèÿìè â êàòåãîðèèD (îáîçíà÷åíèå: F : C → D) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ äàííûõ:

a) îòîáðàæåíèÿ Ob(C)→ Ob(D), X 7→ F (X);

b) äëÿ êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû îáúåêòîâ X, Y ∈ Ob(C) îòîáðà-æåíèÿ ìíîæåñòâ

HomC(X, Y )→ HomD(F (X), F (Y )),

f : X → Y 7→ F (f) : F (X)→ F (Y ),

ïðè÷åì

(i) ôóíêòîð ñîõðàíÿåò òîæäåñòâåííûå ìîðôèçìû: F (idX) = idF (X), è

(ii) ôóíêòîð ñîõðàíÿåò êîìïîçèöèþ ìîðôèçìîâ: äëÿ ëþáûõ X, Y, Z ∈Ob(C) è f ∈ HomC(X, Y ), g ∈ HomC(Y, Z) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

F (g f) = F (g) F (f).

Çàìåòèì, ÷òî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííàÿ êîìïîçèöèÿ ôóíêòîðîâ C F→D G→ E åñòü ôóíêòîð C GF→ E . Èìååòñÿ òàêæå î÷åâèäíûé òîæäåñòâåí-

57

íûé ôóíêòîð idC . Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ëþáîå ìíîæåñòâî êàòå-

ãîðèé êàê êàòåãîðèþ ñ ôóíêòîðàìè â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ.1

 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà êàòåãîðèè C è D èìåþò ïî îäíîìó îáúåêòó,

è òàêèì îáðàçîì (êàê ìû óæå çíàåì), ïî-ñóùåñòâó, ÿâëÿþòñÿ ìîíîèäà-

ìè, ôóíêòîð ìåæäó íèìè òî æå ñàìîå, ÷òî ãîìîìîðôèçì ìîíîèäîâ.

Èç îïðåäåëåíèÿ ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêòîðû èçîìîðôèçìû ïåðåâîäÿò â

èçîìîðôèçìû (ïîäîáíî òîìó êàê ãîìîìîðôèçìû ìîíîèäîâ îáðàòèìûå

ýëåìåíòû ïåðåâîäÿò â îáðàòèìûå). Â òî æå âðåìÿ ôóíêòîðû íå îáÿçàíû

ñîõðàíÿòü äðóãèå èçâåñòíûå íàì òèïû ìîðôèçìîâ ìîíî- è ýïèìîð-

ôèçìû (ïðèâåäèòå ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìåðû).

Çàäà÷à. Ïóñòü C è D êàòåãîðèè, ñâÿçàííûå ñ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åí-

íûìè ìíîæåñòâàìè (ñì. ïðèìåð m) íà ñòð. 19). Îïèøèòå ôóíêòî-

ðû èç C â D â òåðìèíàõ îòîáðàæåíèé ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ ìíî-

æåñòâ.

Çàäà÷à. Íàïîìíèì, ÷òî êàòåãîðèÿ C ñ åäèíñòâåííûì îáúåêòîì, â

êîòîðîé âñÿêèé ìîðôèçì ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì, ïî-ñóùåñòâó, ïðîñòî

ãðóïïà. 1) ×òî òàêîå ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ôóíêòîð C → Vect? Ôóíê-òîð C → Set? 2) Ïîïðîáóéòå ïðåäëîæèòü îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî ïðåä-

ñòàâëåíèÿ ãðóïïîèäà. Äåéñòâèÿ ãðóïïîèäà.

Ïðèìåðû. a) Ôóíêòîðû çàáûâàíèÿ. Áîëüøîé êëàññ òðèâèàëüíûõ

ïðèìåðîâ ôóíêòîðîâ ïîëó÷àåòñÿ òàê: íóæíî ïåðåñòàòü ó÷èòûâàòü îäíó

èëè íåñêîëüêî ñòðóêòóð, èìåþùèõñÿ íà îáúåêòàõ èñõîäíîé êàòåãîðèè.

Òàê ïîëó÷àþòñÿ ôóíêòîðû ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ:

T op, Diff , Gr , Ab, Vectk, Algk → Set ,

à òàêæå ôóíêòîðû

Diff → T op, PT op → T op, RMod → Ab, Algk → Vectk è ò.ä.

 ïåðâîì èç ïîñëåäíåé ãðóïïû ïðèìåðîâ ìû çàáûâàåì äèôôåðåíöèðó-

åìóþ ñòðóêòóðó, ò.å. ðàññìàòðèâàåì äèôôåðåíöèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå

ïðîñòî êàê òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (çàìåòèì, ÷òî ãëàäêîå îòîáðà-

1çàìåòèì, ÷òî ýòà êàòåãîðèÿ èìååò åù¼ äîïîëíèòåëüíóþ ñòðóêòóðó â íåé îïðåäåëåíû ìîð-

ôèçìû ìåæäó ìîðôèçìàìè (íàçûâàåìûå ôóíêòîðíûìè ìîðôèçìàìè èëè åñòåñòâåííûìè ïðåîá-

ðàçîâàíèÿìè), ÷òî ïðåâðàùàåò å¼ â ò.í. 2-êàòåãîðèþ.

58

æåíèå íåïðåðûâíî!), âî âòîðîì çàáûâàåì îòìå÷åííóþ òî÷êó, â òðå-

òüåì çàáûâàåì ïðî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ ìîäóëÿ M ∈ Ob(RMod) íà

ýëåìåíòû êîëüöà, êðîìå óìíîæåíèÿ íà êðàòíûå åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà

n1R, n ∈ Z, ÷òî äàåò íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ M ñòðóêòóðó Z-ìîäóëÿ,ò.å. àáåëåâîé ãðóïïû, â ÷åòâ¼ðòîì àññîöèàòèâíîé àëãåáðå ñ åäèíè-

öåé íàä ôèêñèðîâàííûì ïîëåì k ìû ñîïîñòàâëÿåì å¼ ïîäñòèëàþùåå

âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî (òî åñòü çàáûâàåì ïðî óìíîæåíèå). ×èòàòåëü,

íàâåðíîå, ñìîæåò ïðèâåñòè íåìàëî äðóãèõ àíàëîãè÷íûõ ïðèìåðîâ çàáû-

âàþùèõ ôóíêòîðîâ.

b) Ôóíêòîðû ñâîáîäû. Ïîíÿòèå ôóíêòîðîâ ñâîáîäû ìû ôîðìàëèçóåì

â êîíöå ýòîãî ïàðàãðàôà, à ïîêà ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå èõ ïðèìåðû.

Íà ñòðàíèöå 37 â ïðèìåðå d) ìû îïðåäåëèëè ïîíÿòèå ãðóïïû, ñâîáîä-

íî ïîðîæä¼ííîé ìíîæåñòâîì S. Ïîêàæåì, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå S 7→ FS

(îïðåäåë¼ííîå íà îáúåêòàõ) ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà F : Set → Gr(ò.å. ïðîäîëæàåòñÿ íà ìîðôèçìû).

Ïóñòü ψ : S → S ′ íåêîòîðûé ìîðôèçì â êàòåãîðèè Set , iS : S →FS, iS′ : S ′ → FS′ ñîîòâåòñòâóþùèå óíèâåðñàëüíûå îòîáðàæåíèÿ. Ïðè-

ìåíÿÿ óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ñâîáîäíîé ãðóïïû (FS, iS), âûðàæåííîå

äèàãðàììîé (1.7), ê îòîáðàæåíèþ i′S ψ : S → FS′, ïîëó÷àåì ÷òî ñó-

ùåñòâóåò, è ïðèòîì åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì ãðóïï φ : FS → FS′,

ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó (ñð. äèàãðàììó (1.7))

SiS //

iS′ψ

FS

φ

FS′

â êîììóòàòèâíóþ. Îïðåäåëèì ôóíêòîð F íà ìîðôèçìå ψ : S → S ′ êàê

F (ψ) := φ : FS → FS′. Ïî îïðåäåëåíèþ, F (ψ) åäèíñòâåííûé ãîìîìîð-

ôèçì ãðóïï, êîòîðûé äåëàåò äèàãðàììó

Sψ

//

iS

S ′

iS′

FS F (ψ)// FS′

(2.1)

êîììóòàòèâíîé.

Ïðîâåðèì, ÷òî òåì ñàìûì ìû äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëèëè íåêîòî-

ðûé ôóíêòîð F : Set → Gr . Åñëè ψ = idS (â ÷àñòíîñòè, òîãäà S ′ =

59

S, FS′ = FS), òî iS′ ψ = iS è φ = idFSäåëàåò ñîîòâåòñòâóþùóþ äèà-

ãðàììó (2.1) êîììóòàòèâíîé. Â ñèëó åäèíñòâåííîñòè òàêîãî φ èìååì

F (idS) = idFS. Ïðîâåðèì òåïåðü ñîîòíîøåíèå F (χ ψ) = F (χ) F (ψ)

äëÿ ψ : S → S ′, χ : S ′ → S ′′. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå êîììó-

òàòèâíûå äèàãðàììû:

Sψ

//

iS

S ′χ

//

i′S

S ′′

iS′′

Sχψ

//

iS

S ′′

i′′S

FSF (ψ)

// FS′F (χ)

// FS′′ è FSF (χψ)

// FS′′.

Èç êîììóòàòèâíîñòè ïåðâîé äèàãðàììû ñëåäóåò, ÷òî åñëè çàìåíèòü íèæ-

íþþ ñòðåëêó â ïðàâîé äèàãðàììå (ò.å. F (χψ)) íà F (χ)F (ψ), òî ïðàâàÿäèàãðàììà îñòàíåòñÿ êîììóòàòèâíîé. Â ñèëó åäèíñòâåííîñòè òàêîãî ãî-

ìîìîðôèçìà F (χ ψ) = F (χ) F (ψ).Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî F ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì, îñ-

íîâàíî òîëüêî íà óíèâåðñàëüíîì ñâîéñòâå ñâîáîäíîé ãðóïïû. Àíàëîãè÷-

íî ñòðîÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêòîðû Set → Ab, Set → Vectk è

Set → AlgkÄðóãîé ïðèìåð ôóíêòîðà ñâîáîäû äà¼ò ñâîáîäíàÿ ìàãìà (ñì. ïðèìåð

r) èç §1.4): ñîïîñòàâëåíèå X 7→ (M(X), ⋆) ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà

F : Set →M â êàòåãîðèþ ìàãìM.

È, íàêîíåö, ðàññìîòðèì åù¼ îäèí ïðèìåð ôóíêòîðà ñâîáîäû, íà ïåð-

âûé âçãëÿä, íåïîõîæèé íà ïðåäûäóùèå. Îïðåäåëèì ôóíêòîð F : Set →T op, êîòîðûé ìíîæåñòâó S ñîïîñòàâëÿåò òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî

F (S), ÿâëÿþùååñÿ ìíîæåñòâîì S ñ äèñêðåòíîé òîïîëîãèåé (âñå ïîäìíî-

æåñòâà îòêðûòû).

Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå S 7→ F (S) ïðîäîëæàåòñÿ äî

ôóíêòîðà F : Set → T op.c) Òåíçîðíûå ñòåïåíè. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå r âåêòîðíûõ ïðî-

ñòðàíñòâ íàä ïîëåì k (ñì. ïðèìåð f) â §1.4) îïðåäåëÿåò ôóíêòîð

Vectk × . . .× Vectk︸ ︷︷ ︸r ñîìíîæèòåëåé

→ Vectk. Ñ ïîìîùüþ íåãî ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíê-

òîð T r : Vectk → Vectk r-é òåíçîðíîé ñòåïåíè, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ êîìïî-çèöèåé äèàãîíàëüíîãî ôóíêòîðà Vectk → Vectk × . . .× Vectk︸ ︷︷ ︸

r ñîìíîæèòåëåé

è ôóíêòî-

ðà òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.

60

Áîëåå ïîäðîáíî, ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì k.

Íàïîìíèì (ñì. ïðèìåð f) â §1.4), ÷òî ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíîå ïîëè-

ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå

V × . . .× V︸ ︷︷ ︸r ñîìíîæèòåëåé

τ→ V ⊗ . . .⊗ V︸ ︷︷ ︸r ñîìíîæèòåëåé

=: T r(V )

â T r(V ) r-þ òåíçîðíóþ ñòåïåíü. Ïîêàæåì, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå V 7→T r(V ) ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà T r : Vectk → Vectk. Äðóãèìè ñëîâàìè,íàì íóæíî ïðîäîëæèòü T r íà ìîðôèçìû: âñåì ëèíåéíûì îòîáðàæåíèÿì

f : V → W íàì íóæíî ôóíêòîðèàëüíî ñîïîñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèå

ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ T r(f) : T r(V )→ T r(W ). Äëÿ ýòîãî ìû ñíîâà âîñ-

ïîëüçóåìñÿ óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì ïàðû (T r(V ), τ), ïðèìåí¼ííîìó ê

ïîëèëèíåéíîìó îòîáðàæåíèþ τW (f × . . .× f) : V × . . .× V → T r(W ):

V × . . .× V τV //

f×...×f

T r(V )

T r(f)

W × . . .×W τW // T r(W ),

÷òî îïðåäåëÿåò èñêîìîå îòîáðàæåíèå T r(f). Çàìåòèì, ÷òî èç êîììóòà-

òèâíîñòè äèàãðàììû ñëåäóåò, ÷òî T r(f)(v1⊗. . .⊗vr) = f(v1)⊗. . .⊗f(vr)äëÿ ëþáîãî ðàçëîæèìîãî òåíçîðà v1⊗. . .⊗vr, ÷òî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò

ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå T r(f) (ïîñêîëüêó ðàçëîæèìûå òåíçîðû ñîäåðæàò

áàçèñ). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî, îïðåäåëèâ óêàçàííûì ñïîñîáîì T r íà îáú-

åêòàõ è ìîðôèçìàõ, ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èëè ôóíêòîð èç Vectk â

ñåáÿ.

Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå V 7→ T (V ) âåêòîðíîìó

ïðîñòðàíñòâó åãî òåíçîðíîé àëãåáðû (ñì. ïðèìåð g) â §1.4) ïðîäîëæà-åòñÿ äî ôóíêòîðà Vectk → Algk â êàòåãîðèþ àññîöèàòèâíûõ àëãåáð ñ

åäèíèöåé íàä ïîëåì k.

d) Ôàêòîðìíîæåñòâî è ò.ï. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ C, îáúåêòàìè êî-òîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (X, α), ñîñòîÿùèå èç ìíîæåñòâà X è îòíîøåíèÿ

ýêâèâàëåíòíîñòè α íà í¼ì. Ìîðôèçì (X, α)→ (Y, β) ýòî òàêîå îòîá-

ðàæåíèå ìíîæåñòâ f : X → Y , ÷òî èç xαx′ ñëåäóåò f(x)βf(x′) äëÿ ëþáûõ

x, x′ ∈ X.Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå (X, α) 7→ X/α ïàðå (X, α) ñî-

îòâåòñòâóþùåãî ôàêòîðìíîæåñòâà X/α ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà

61

C → Set . Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ôàêòîðìíîæåñòâ ðàññìîòðèòå ôàêòîð-

ïðîñòðàíñòâà è ôàêòîðãðóïïû (ñì. ïðèìåðû h), i) èç §1.4).e) Àëãåáðû Êëèôôîðäà. Àëãåáðà Êëèôôîðäà (ñì. ïðèìåð j) èç § 1.4)ôóíêòîðèàëüíî çàâèñèò îò ïàðû (V, Q). Áîëåå òî÷íî, åñëè f : V → V ′

òàêîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå k-âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÷òî Q′(f(v)) =

Q(v), ãäå Q (ñîîòâåòñòâåííî Q′) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà íà V (ñîîòâåò-

ñòâåííî íà V ′), òî f èíäóöèðóåò ãîìîìîðôèçì àëãåáð C(f) : C(V, Q)→C(V ′, Q′) è èìåþò ìåñòî òîæäåñòâà C(g f) = C(g) C(f), C(idV ) =idC(V ) .

Òàêèì îáðàçîì, àëãåáðà Êëèôôîðäà îïðåäåëÿåò ôóíêòîð èç êà-

òåãîðèè C, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïàðû (V, Q), à ìîðôèçìû

(V, Q) → (V ′, Q′) ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ f : V → V ′, òàêèå ÷òî

Q′(f(v)) = Q(v), â êàòåãîðèþ Algk.2

f) Óíèâåðñàëüíàÿ îá¼ðòûâàþùàÿ àëãåáðà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

óíèâåðñàëüíàÿ îá¼ðòûâàþùàÿ àëãåáðà (ñì. ïðèìåð k) èç §1.4) îïðåäåëÿ-åò ôóíêòîð Liek → Algk èç êàòåãîðèè àëãåáð Ëè Liek íàä k â êàòåãîðèþàññîöèàòèâíûõ óíèòàëüíûõ àëãåáð Algk íàä òåì æå ñàìûì ïîëåì.

g) Ïîëå ÷àñòíûõ. Ïóñòü C êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿ-

þòñÿ öåëîñòíûå êîëüöà, à ìîðôèçìàìè èíúåêòèâíûå ãîìîìîðôèç-

ìû êîëåö.3 Ïóñòü D êàòåãîðèÿ âñåõ ïîëåé è êîëüöåâûõ ãîìîìîðôèç-

ìîâ (íàïîìíèì, ÷òî ïðîèçâîëüíûé ãîìîìîðôèçì ïîëåé ÿâëÿåòñÿ âëî-

æåíèåì). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå ïðîèçâîëüíîìó öåëîñò-

íîìó êîëüöó A ∈ Ob(C) åãî ïîëÿ ÷àñòíûõ Quot(A) ∈ D (ñì. ïðè-

ìåð l) èç §1.4) ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî äî ôóíêòîðà Q: C → D. Äåé-ñòâèòåëüíî, ýòî ëåãêî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìîíîìîðôèçìà

φ : A → B öåëîñòíûõ êîëåö ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí ãîìîìîðôèçì ïî-

ëåé Q(φ) : Quot(A) → Quot(B), îãðàíè÷åíèå êîòîðîãî íà ïîäêîëüöà

A ⊂ Quot(A), B ⊂ Quot(B) ñîâïàäàåò ñ φ, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò

2Çàìåòèì, ÷òî, áîëåå òî÷íî, àëãåáðà Êëèôôîðäà ôóíêòîð â êàòåãîðèþ Z/2-ãðàäóèðîâàííûõàññîöèàòèâíûõ óíèòàëüíûõ k-àëãåáð (Z/2-ãðàäóèðîâàííûå àëãåáðû èíà÷å íàçûâàþòñÿ ñóïåðàëãåá-

ðàìè). Ýòî âàæíî, â ÷àñòíîñòè, ïðè ðàññìîòðåíèè òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé: íàïðèìåð, àëãåáðà

Êëèôôîðäà C(V ⊕ V ′, Q ⊕ Q′) åñòåñòâåííî èçîìîðôíà C(V, Q)⊗C(V ′, Q′), ãäå ⊗ îáîçíà÷àåò òåí-

çîðíîå ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè Z/2-ãðàäóèðîâàííûõ àëãåáð, ñì. [5].3÷èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî â äàííîé êàòåãîðèè èíúåêòèâíûå ãîìîìîðôèçìû ñîâïà-

äàþò ñ ìîíîìîðôèçìàìè (óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü òî, ÷òî Z ñâîáîäíûé îáúåêò ñ îäíîé îáðàçóþ-

ùåé).

62

èç óíèâåðñàëüíîãî ñâîéñòâà.

h) Àáåëèàíèçàöèÿ. Ñîïîñòàâëåíèå G 7→ Gab (ñì. ïðèìåð m) èç §1.4)ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíêòîðà F : Gr → Ab. Äëÿ ýòîãî, â ÷àñòíîñòè, íóæ-

íî îïðåäåëèòü åãî íà ìîðôèçìàõ, òî åñòü äëÿ ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà

ãðóïï φ : G → H íóæíî çàäàòü ñîîòâåòñòâóþùèé ãîìîìîðôèçì àáåëå-

âûõ ãðóïï F (φ) : Gab → Hab è ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé èç îïðå-

äåëåíèÿ ôóíêòîðà.

Çàäà÷à. Èñïîëüçóÿ óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî àáåëèàíèçàöèè, çàäàéòå F

íà ìîðôèçìàõ è äîêàæèòå, ÷òî äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷àåòñÿ ôóíêòîð

F : Gr → Ab.i) Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà. Ïóñòü A ∈ Ob(Algk) àññîöèàòèâ-

íàÿ óíèòàëüíàÿ àëãåáðà íàä ïîëåì k, A× å¼ ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ

ãðóïïà (òî åñòü ãðóïïà îáðàòèìûõ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ

A). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñîïîñòàâëåíèå A 7→ A× ïðîäîëæàåòñÿ äî ôóíê-

òîðà Algk → Gr . Äåéñòâèòåëüíî, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè

ãîìîìîðôèçìå àëãåáð A→ B îáðàòèìûå ýëåìåíòû èç A îòîáðàæàþòñÿ

â îáðàòèìûå ýëåìåíòû â B, òî åñòü ëþáîé òàêîé ãîìîìîðôèçì èíäóöè-

ðóåò ãîìîìîðôèçì ìóëüòèïëèêàòèâíûõ ãðóïï A× → B×.

j) Ãðóïïîâàÿ àëãåáðà. Ãðóïïîâàÿ àëãåáðà (ñì. ïðèìåð n) èç §1.4) îïðå-äåëÿåò ôóíêòîð Gr → Algk.k) Ñèììåòðèçàöèÿ êîììóòàòèâíîãî ìîíîèäà. Ñèììåòðèçàöèÿ

êîììóòàòèâíîãî ìîíîèäà (ñì. ïðèìåð o) èç §1.4) îïðåäåëÿåò ôóíê-

òîð S : Mon → Ab, ãäå Mon êàòåãîðèÿ êîììóòàòèâíûõ ìîíîè-

äîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ñèììåòðèçàöèÿ ìîíîèäà M ýòî ïàðà, ñîñòîÿùàÿ

èç àáåëåâîé ãðóïïû S(M) è ãîìîìîðôèçìà ïîäñòèëàþùèõ ìîíîèäîâ

αM : M → S(M), äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ñîîòâåòñòâóþùåå óíèâåðñàëü-

íîå ñâîéñòâî.

Ãðóïïà S(M) ôóíêòîðèàëüíî çàâèñèò îò M â ñëåäóþùåì ñìûñ-

ëå: åñëè φ : M → N ãîìîìîðôèçì ìîíîèäîâ, òî óíèâåðñàëüíîå

ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò íàì îïðåäåëèòü åäèíñòâåííûé ãîìîìîðôèçì ãðóïï

S(φ) : S(M)→ S(N), êîòîðûé ïðåâðàùàåò äèàãðàììó

Mφ

//

αM

N

αN

S(M)S(φ)

// S(N)

63

â êîììóòàòèâíóþ (íóæíî ïðîñòî ïðèìåíèòü óíèâåðñàëüíîå ñâîéñòâî ê

ãîìîìîðôèçìó αN φ : M → S(N)). Êðîìå òîãî, S(ψ φ) = S(ψ) S(φ)è S(idM) = idS(M) . Òàêèì îáðàçîì, S äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ôóíêòî-

ðîì èç êàòåãîðèè êîììóòàòèâíûõ ìîíîèäîâMon â êàòåãîðèþ àáåëåâûõ

ãðóïï Ab.l) Ïîïîëíåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîïîëíåíèå ìåòðè÷å-

ñêîãî ïðîñòðàíñòâà (ñì. ïðèìåð p) èç §1.4) îïðåäåëÿåò ôóíêòîðMet →Commet èç êàòåãîðèè ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ Met (ñ èçîìåòðèÿìè

â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ) â êàòåãîðèþ ïîëíûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ

Commet (ñ òåìè æå ìîðôèçìàìè).

m) Êîìïàêòèôèêàöèÿ Ñòîóíà-×åõà. Êîìïàêòèôèêàöèÿ Ñòîóíà-

×åõà (ñì. ïðèìåð q) èç §1.4) îïðåäåëÿåò ôóíêòîð β : T op → CHaus èç

êàòåãîðèè òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ T op â êàòåãîðèþ êîìïàêòíûõ

õàóñäîðôîâûõ ïðîñòðàíñòâ CHaus (ñ íåïðåðûâíûìè îòîáðàæåíèÿìè â

êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ).

n) Ïðîåêöèÿ íà ôàêòîðêàòåãîðèþ. Íàïîìíèì, ÷òî â ïðèìåðå o)

íà ñòð. 20 ïî äàííîé êàòåãîðèè C è ïî îòíîøåíèþ êîíãðóýíòíîñòè íà

íåé R áûëà ïîñòðîåíà ôàêòîðêàòåãîðèÿ C/R. Ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêèéôóíêòîð F : C → C/R, òîæäåñòâåííûé íà îáúåêòàõ è ñîïîñòàâëÿþùèé

ìîðôèçìó èç C åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Â äåéñòâèòåëüíîñòè, ìû óæå

èñïîëüçîâàëè ôóíêòîð F : T op → hT op òàêîãî òèïà â äèàãðàììå (2.4).

o) Ôóíêòîðû ìîðôèçìîâ. Last but not least, ðàññìîòðèì åù¼ îäèí

âàæíûé êëàññ ôóíêòîðîâ. Ïóñòü C íåêîòîðàÿ êàòåãîðèÿ è X ∈ Ob(C) å¼ îáúåêò. Ñîâåðøåííî îñîáóþ ðîëü èãðàþò ôóíêòîðû h′X : C → Set ,îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì:

h′X(Y ) = HomC(X, Y ),

h′X(f)(φ) = f φ ∈ HomC(X, Y′), ãäå φ ∈ HomC(X, Y ), f : Y → Y ′.

Èíûìè ñëîâàìè, îáúåêòó Y ∈ Ob(C) îí ñîïîñòàâëÿåò ìíîæåñòâî

HomC(X, Y ) ∈ Ob(Set), à ìîðôèçìó f ∈ HomC(Y, Y′) îòîáðàæåíèå

ìíîæåñòâ h′X(f) : HomC(X, Y ) → HomC(X, Y′), êîòîðîå ñòàâèò â ñîîò-

âåòñòâèå ìîðôèçìó φ ∈ HomC(X, Y ) êîìïîçèöèþ f φ ∈ HomC(X, Y′).

Íåñëîæíàÿ ïðîâåðêà òîãî, ÷òî h′X äåéñòâèòåëüíî ôóíêòîð, îñòàâ-

ëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.

64

Îïðåäåëåíèå 12. Ôóíêòîð F : C → D íàçûâàåòñÿ ñòðîãèì, åñëè äëÿ

ëþáûõ X, Y ∈ Ob(C) îòîáðàæåíèå

F : HomC(X, Y )→ HomD(F (X), F (Y ))

ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì ìíîæåñòâ, è ïîëíûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêòèâ-

íûì.

Íàïðèìåð, âëîæåíèå ïîëíîé ïîäêàòåãîðèè C → D ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì

è ïîëíûì ôóíêòîðîì. Îáðàòíî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé ñòðîãèé è

ïîëíûé ôóíêòîð ïîëó÷àåòñÿ òàêèì îáðàçîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàáû-

âàþùèé ôóíêòîð F èç êàòåãîðèè Ab â êàòåãîðèþ Set ÿâëÿåòñÿ ñòðî-

ãèì íî íå ïîëíûì. Ñòðîãèì îí ÿâëÿåòñÿ ïîòîìó, ÷òî äâà ãîìîìîðôèçìà

ãðóïï ðàâíû, åñëè îíè ñîâïàäàþò êàê îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ. Íåïîëíî-

òà ôóíêòîðà F âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî íå âñÿêîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ

ýëåìåíòîâ ãðóïï ïðîèñõîäèò èç íåêîòîðîãî ãîìîìîðôèçìà. Íàïðèìåð,

åñëè Z2 åñòü ãðóïïà èç äâóõ ýëåìåíòîâ, òî ïóñòü F (Z2) = 0, 1 ìíîæå-

ñòâî èç äâóõ ýëåìåíòîâ, è îòîáðàæåíèå èç 0, 1 â ñåáÿ, îòîáðàæàþùåå0 â 1, à 1 â 0, íå ïðèíàäëåæèò îáðàçó F , ïîñêîëüêó ëþáîé ãîìîìîðôèçì

ãðóïï ñîõðàíÿåò åäèíèöó. Òî æå âåðíî è äëÿ çàáûâàþùèõ ôóíêòîðîâ èç

êàòåãîðèé òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ T op, âñåõ ãðóïï Gr , êîëåöRing ,â êàòåãîðèþ Set .

Îïðåäåëåíèå 13. Êîíêðåòíîé êàòåãîðèåé íàçûâàåòñÿ ïàðà (C, U), ñî-ñòîÿùàÿ èç êàòåãîðèè C è ñòðîãîãî ôóíêòîðà U : C → Set .

Ìíîãèå ðàññìîòðåííûå íàìè êàòåãîðèè (òàêèå êàê T op, Diff , Gr ,Ab, Ring , Algk, Vectk) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîíêðåòíûå, âçÿâ â

êà÷åñòâå U ñîîòâåòñòâóþùèé çàáûâàþùèé ôóíêòîð â Set .4

Çàäà÷à. Ïóñòü (C, U) êîíêðåòíàÿ êàòåãîðèÿ, φ ìîðôèçì â C.Òîãäà åñëè U(φ) èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå, òî φ ìîíîìîðôèçì,

à åñëè U(φ) ñþðúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå, òî φ ýïèìîðôèçì.

Òàê êàê ôóíêòîðû èçîìîðôèçìû ïåðåâîäÿò â èçîìîðôèçìû, òî åñëè

φ èçîìîðôèçì â êîíêðåòíîé êàòåãîðèè (C, U), òî U(φ) áèåêöèÿ. Îá-

ðàòíîå âåðíî íå âñåãäà. Êîíêðåòíàÿ êàòåãîðèÿ (C, U) íàçûâàåòñÿ óðàâíî-4Çàìåòèì, ÷òî íå âñå êàòåãîðèè ÿâëÿþòñÿ êîíêðåòíûìè: â ÷àñòíîñòè, ïðèìåðîì íåêîíêðåòíîé

êàòåãîðèè ÿâëÿåòñÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ.

65

âåøåííîé, åñëè äëÿ ëþáîãî å¼ ìîðôèçìà φ èç òîãî, ÷òî U(φ) áèåêöèÿ,

ñëåäóåò, ÷òî φ èçîìîðôèçì.

Íàïðèìåð, êîíêðåòíàÿ êàòåãîðèÿ (T op, U) íå ÿâëÿåòñÿ óðàâíîâå-

øåííîé, à å¼ ïîëíàÿ ïîäêàòåãîðèÿ (CHT op, U) ÿâëÿåòñÿ (ïî òåîðåìå

Ï.Ñ. Àëåêñàíäðîâà). Ïî òåîðåìå Áàíàõà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå óðàâíî-

âåøåííîé ÿâëÿåòñÿ òàêæå êàòåãîðèÿ áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñ îãðàíè-

÷åííûìè îïåðàòîðàìè â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ.

Çàäà÷à. ßâëÿåòñÿ ëè óðàâíîâåøåííîé êàòåãîðèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðà-

çèé?

Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàòåãîðíóþ ôîðìàëèçà-

öèþ ïîíÿòèÿ áàçèñà. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ áàçèñ

ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàí ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè S òàêîå ïîä-

ìíîæåñòâî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V , ÷òî ëþáîå îòîáðàæåíèå S → W

â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâîW (íàä òåì æå ïîëåì) ïðîäîëæàåòñÿ äî åäèí-

ñòâåííîãî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ V → W , òî S áàçèñ â V .

Îïðåäåëåíèå 14. Ïóñòü (C, U) êîíêðåòíàÿ êàòåãîðèÿ, X îáúåêò

â C. Ïîäìíîæåñòâî S ⊂ U(X) íàçûâàåòñÿ áàçèñîì îáúåêòà X, åñëè äëÿ

ëþáûõ Y ∈ Ob(C) è îòîáðàæåíèÿ φ : S → U(Y ) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåí-

íûé ìîðôèçì ψ : X → Y â êàòåãîðèè C òàêîé, ÷òî äèàãðàììà

S i //

φ

U(X)

U(ψ)zzuuuuuuuuu

U(Y ),

â êîòîðîé i åñòåñòâåííîå âëîæåíèå ïîäìíîæåñòâà S, êîììóòàòèâíà.

Îáúåêò â C, îáëàäàþùèé áàçèñîì, íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì.

Çàäà÷à. Óêàæèòå ñâîáîäíûå îáúåêòû (âìåñòå ñ áàçèñàìè) â êàòåãî-

ðèÿõ Vectk, Gr , Ab, Algk, T op.

Îïðåäåëåíèå 15. Ôóíêòîð F : Set → C, ãäå (C, U) êîíêðåòíàÿ êàòå-

ãîðèÿ, íàçûâàåòñÿ ôóíêòîðîì ñâîáîäû, åñëè êàæäîìó îáúåêòó S ∈ Setîí ñîïîñòàâëÿåò ñâîáîäíûé îáúåêò F (S) ñ áàçèñîì S, à êàæäîìó îòîá-

ðàæåíèþ φ : S → T åäèíñòâåííûé ìîðôèçì F (φ) : F (S) → F (T ),

66

ïðåâðàùàþùèé äèàãðàììó

UF (S)UF (φ)

// UF (T )

S

iS

OO

φ// T

iT

OO

(2.2)

â êàòåãîðèè Set , â êîòîðîé iS, iT åñòåñòâåííûå âëîæåíèÿ, â êîììóòà-

òèâíóþ.

Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêòîð ñâîáîäû êîððåêòíî îïðåäåë¼í, åñëè

äëÿ âñÿêîãî ìíîæåñòâà S ñóùåñòâóåò (õîòÿ áû îäèí) îáúåêò â C ñ

áàçèñîì S. Óêàçàíèå: ïîêàæèòå, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ðàññìîòðåííûé â

îïðåäåëåíèè ìîðôèçì F (φ) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí.

Ïîäîáíî ÷àñòè÷íî çàáûâàþùèì ôóíêòîðàì, ðàññìîòðåííûì â ïðè-

ìåðå a) âûøå, ñóùåñòâóþò òàê íàçûâàåìûå ôóíêòîðû îòíîñèòåëüíîé

ñâîáîäû, äåéñòâóþùèå â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Íàïðèìåð, ÷àñòè÷íî çà-

áûâàþùåìó ôóíêòîðó Algk → Vectk ñîîòâåòñòâóåò ôóíêòîð òåíçîðíàÿ

àëãåáðà âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà Vectk → Algk (ñì. êîíåö ïðèìåðà c)

âûøå). Îêàçûâàåòñÿ, çàáûâàþùèå ôóíêòîðû è ôóíêòîðû ñâîáîäû òåñíî

ñâÿçàíû, äëÿ îïèñàíèÿ ýòîé ñâÿçè òðåáóåòñÿ ïîíÿòèå ñîïðÿæ¼ííîé ïàðû

ôóíêòîðîâ.

2.2 Ïðèìåðû ôóíêòîðîâ èç òîïîëîãèè

a) Êîìïîíåíòû ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè. Ïóñòü X òîïîëîãè÷åñêîå

ïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì íà X ñëåäóþùåå îòíîøåíèå ∼, ïîëàãàÿ, ÷òîx ∼ y â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò ïóòü èç x â y

íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : I → X èíòåðâàëà I = [0, 1] â ïðîñòðàí-

ñòâî X òàêîå, ÷òî f(0) = x, f(1) = y (â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êè x

è y ìîæíî ñîåäèíèòü ïóò¼ì f). Î÷åâèäíî, ÷òî ∼ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì

ýêâèâàëåíòíîñòè. Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáîçíà÷èì ÷åðåç

π0(X). Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà π0(X) íàçûâàþòñÿ êîìïîíåíòàìè ëèíåé-

íîé ñâÿçíîñòè èëè 0-êîìïîíåíòàìè ïðîñòðàíñòâà X.5

5òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî ñâÿçíûì, åñëè ìíîæåñòâî π0(X) ñîñòîèò

íå áîëåå ÷åì èç îäíîãî ýëåìåíòà.

67

Ïóñòü φ : X → Y ïðîèçâîëüíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå. Òîãäà

φ ïåðåâîäèò 0-êîìïîíåíòû ïðîñòðàíñòâà X â 0-êîìïîíåíòû ïðîñòðàí-

ñòâà Y (äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïóòü f ñîåäèíÿåò òî÷êè x è y â X, òî ïóòü

φ f : I → Y ñîåäèíÿåò òî÷êè φ(x) è φ(y) â Y ) è, ñëåäîâàòåëüíî, îïðå-

äåëÿåò îòîáðàæåíèå π0(φ) : π0(X) → π0(Y ). Íåìåäëåííî ïðîâåðÿåòñÿ,

÷òî π0(idX) = idπ0(X) è ÷òî π0(ψ φ) = π0(ψ) π0(φ) äëÿ íåïðåðûâíîãî

îòîáðàæåíèÿ ψ : Y → Z. Òàêèì îáðàçîì, π0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêòîð

T op → Set .Ìîæíî äàòü íåñêîëüêî äðóãîå îïèñàíèå ôóíêòîðà π0(X). Îáîçíà÷èì

÷åðåç ∗ ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå ðîâíî èç îäíîé òî÷êè. Ìû óòâåðæäàåì,

÷òî ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííàÿ áèåêöèÿ

HomhT op(∗, X)↔ π0(X), (2.3)

çàäàâàåìàÿ ïðàâèëîì [φ] 7→ 0-êîìïîíåíòà òî÷êè φ(∗), ãäå [φ] ∈HomhT op(∗, X) ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ îòîáðàæåíèÿ φ.6 Äëÿ äîêà-

çàòåëüñòâà çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå

ìåæäó îòîáðàæåíèÿìè φ : ∗ → X è òî÷êàìè ïðîñòðàíñòâà X, çàäàâàå-

ìîå ôîðìóëîé φ 7→ φ(∗). Îòîáðàæåíèÿ φ è ψ èç ∗ â X ãîìîòîïíû òîãäà

è òîëüêî òîãäà, êîãäà φ(∗) è ψ(∗) ëåæàò â îäíîé è òîé æå êîìïîíåíòå

ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè ïðîñòðàíñòâà X.

Ìíîæåñòâî HomhT op(∗, X) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò X: íåïðåðûâ-

íîå îòîáðàæåíèå X → Y èíäóöèðóåò îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ

HomhT op(∗, X) → HomhT op(∗, Y ), ÷òî îïðåäåëÿåò ñîîòâåòñòâóþùèé

ôóíêòîð íà ìîðôèçìàõ.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãîìîòîïíûå îòîáðàæåíèÿ X → Y èíäóöèðóþò

îäèíàêîâûå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ π0(X) → π0(Y ), ò.å. π0 îïðåäåëÿåò

òàêæå ôóíêòîð πh0 : hT op → Set .Ñâÿçü ìåæäó ôóíêòîðàìè π0 è π

h0 ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðà-

çîì. Âî-ïåðâûõ, îïðåäåëèì ôóíêòîð F : T op → hT op, êîòîðûé òîæ-

äåñòâåí íà îáúåêòàõ è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ

φ : X → Y ïóñòü F (φ) = [φ] ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ φ (ñì. ïðèìåð n)

â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå). Òîãäà ñîîòíîøåíèå ìåæäó ôóíêòîðàìè π0 è

6íàïîìíèì, ÷òî ìîðôèçìû â ãîìîòîïè÷åñêîé êàòåãîðèè hT op ãîìîòîïè÷åñêèå êëàññû íåïðå-

ðûâíûõ îòîáðàæåíèé.

68

πh0 èëëþñòðèðóåòñÿ äèàãðàììîé

T opπ0

$$HHH

HHHH

HH

F

hT opπh0

// Set .(2.4)

 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêòîð π0 ïðîïóñêàåòñÿ (èëè ôàêòîðèçóåò-

ñÿ) ÷åðåç ôóíêòîð πh0 : hT op → Set , èëè åù¼ ÷òî ôóíêòîð π0 ÿâëÿåòñÿ

ãîìîòîïè÷åñêè èíâàðèàíòíûì, èëè, êîðîòêî, ãîìîòîïè÷åñêèì.

Çàäà÷à. Ïîäóìàéòå, êàêèì óíèâåðñàëüíûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò îòîá-

ðàæåíèå X → π0(X) äëÿ äîñòàòî÷íî õîðîøèõ7 ïðîñòðàíñòâ.

Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêòîð π0 êàòåãîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïåðåâî-

äèò â êàòåãîðíîå ïðîèçâåäåíèå, òî åñòü π0(X × Y ) ∼= π0(X) × π0(Y ).

À êàê îáñòîÿò äåëà ñ ñóììîé?

Íàïîìíèì, ÷òî â ïðèìåðå a′) â §1.3 ìû îïðåäåëèëè ìîäèôèêàöèþ

PT op êàòåãîðèè T op êàòåãîðèþ ïðîñòðàíñòâ ñ îòìå÷åííûìè òî÷-

êàìè. Îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäèôèêàöèþ hPT op ãîìîòîïè-

÷åñêîé êàòåãîðèè hT op, ðàññìàòðèâàåìûå ãîìîòîïèè â êîòîðîé îáÿ-

çàíû ñîõðàíÿòü îòìå÷åííûå òî÷êè. Äðóãèìè ñëîâàìè, äâà ìîðôèçìà

φ, ψ : (X, x0)→ (Y, y0) â PT op 8 îïðåäåëÿþò îäèí è òîò æå ìîðôèçì â

hPT op, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå Φ: X×I → Y,

÷òî

Φ|X×0 = φ, Φ|X×1 = ψ è Φ|x0×I = ω0,

ãäå ω0 ïîñòîÿííûé ïóòü ω0 : I → Y, ω0(t) = y0 ∀t ∈ I.Òåïåðü ìû õîòèì îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäèôèêàöèþ ôóíê-

òîðà π0 íà êàòåãîðèþ PT op, êîòîðûé îáîçíà÷èì òåì æå ñèìâîëîì π0

(òàê êàê âñåãäà èç êîíòåêñòà ÿñíî, êàêàÿ âåðñèÿ (ñ îòìå÷åííûìè òî÷-

êàìè èëè áåç íèõ) ôóíêòîðà π0 ðàññìàòðèâàåòñÿ). Íàø íîâûé ôóíêòîð

áóäåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ íå â îáû÷íîé êàòåãîðèè ìíîæåñòâ Set , àâ êàòåãîðèè ïóíêòèðîâàííûõ ìíîæåñòâ PSet ìíîæåñòâ ñ îòìå÷åí-

íûì ýëåìåíòîì (è ñ îòîáðàæåíèÿìè, ñîõðàíÿþùèìè îòìå÷åííûé ýëå-

ìåíò, â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ).  êà÷åñòâå îòìå÷åííîãî ýëåìåíòà ìíîæå-

ñòâà π0(X, x0) áåð¼òñÿ, åñòåñòâåííî, êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè îòìå÷åííîé

7ëîêàëüíî ëèíåéíî ñâÿçíûõ.8íàïîìíèì, ÷òî ýòî òàêèå íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ φ, ψ : X → Y ÷òî φ(x0) = y0 = ψ(x0).

69

òî÷êè x0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òåì ñàìûì ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷àåì ãî-

ìîòîïè÷åñêè èíâàðèàíòíûé ôóíêòîð π0 : PT op → PSet .×òîáû ïîëó÷èòü àíàëîã áèåêöèè (2.3) âìåñòî îäíîòî÷å÷íîãî ïðî-

ñòðàíñòâà ∗ âîçüì¼ì 0-ìåðíóþ ñôåðó S0, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç äâóõ òî-

÷åê9, îäíó èç êîòîðûõ (ñêàæåì, 1) ìû âîçüì¼ì â êà÷åñòâå îòìå÷åííîé è

îáîçíà÷èì ÷åðåç s0. Òîãäà èìååì åñòåñòâåííóþ áèåêöèþ

HomhPT op((S0, s0), (X, x0))↔ π0(X, x0) (2.5)

(ñð. (2.3)).

b) Ïðîñòðàíñòâà ïóòåé è ïåòåëü. Ïóñòü X è Y òîïîëîãè-

÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, à XY îáîçíà÷àåò ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâ-

íûõ îòîáðàæåíèé f : Y → X, íàäåëÿåìîå êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïî-

ëîãèåé. Êîìïàêòíî-îòêðûòàÿ òîïîëîãèÿ íà XY îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþ-

ùèì îáðàçîì: åå ïðåäáàçà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îáðàçîâàíà ìíîæåñòâàìè

M(K, U) := f ∈ XY | f(K) ⊂ U, ãäå K ïðîáåãàåò êîìïàêòíûå ïîä-

ìíîæåñòâà â Y , à U îòêðûòûå ïîäìíîæåñòâà â X. Òàêèì îáðàçîì,

áàçà òîïîëîãèè äëÿ XY ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ îòîáðàæåíèé, ïåðåâîäÿ-

ùèõ êîíå÷íîå ÷èñëî êîìïàêòíûõ ïîäìíîæåñòâ Ki ⊂ Y â ñîîòâåòñòâó-

þùèå îòêðûòûå ïîäìíîæåñòâà Ui ⊂ X. Íåêîòîðûå âàæíûå ñâîéñòâà

êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèè ñôîðìóëèðîâàíû â Äîáàâëåíèè 1.

Ïóñòü òåïåðü X ïðîñòðàíñòâî ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé x0. Îïðåäå-

ëèì ïðîñòðàíñòâî ïóòåé PX ïðîñòðàíñòâà X ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé

x0 ∈ X êàê ïîäïðîñòðàíñòâî â XI , ñîñòîÿùåå èç âñåõ íåïðåðûâíûõ

îòîáðàæåíèé f : I → X èíòåðâàëà I = [0, 1] â X òàêèõ, ÷òî f(0) = x0

(ò.å. ïóòü ýòî ìîðôèçì (I, 0) → (X, x0) â êàòåãîðèè PT op, ãäå0 ∈ I ðàññìàòðèâàåòñÿ â êà÷åñòâå îòìå÷åííîé òî÷êè). Òàêèì îáðà-

çîì, PX òàêæå íàäåëÿåòñÿ êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèåé.  êà÷å-

ñòâå îòìå÷åííîé òî÷êè â PX ðàññìîòðèì ïîñòîÿííûé ïóòü ω0 : I → X,

îòîáðàæàþùèé âåñü îòðåçîê I â îòìå÷åííóþ òî÷êó x0. Òàê êàê ëþ-

áîå îòîáðàæåíèå φ ∈ HomPT op((X, x0), (Y, y0)) âìåñòå ñ ëþáûì ïóòåì

f : (I, 0) → (X, x0) îïðåäåëÿþò ïóòü φ f : (I, 0) → (Y, y0), òî φ îïðå-

9n-ìåðíàÿ ñôåðà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

Rn+1 çàäà¼òñÿ óðàâíåíèåì x21+x22+. . .+x

2n+1 = 1, ïîýòîìó 0-ìåðíàÿ ñôåðà S0 ìíîæåñòâî ðåøåíèé

óðàâíåíèÿ x2 = 1, òî åñòü äâå òî÷êè x = ±1.

70

äåëÿåò íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå

Pφ : (PX, ω0)→ (PY, ω′0), Pφ(f) = φ f

(ãäå ω′0 ïîñòîÿííûé ïóòü â y0), êîòîðîå, ëåãêî ïðîâåðèòü, íåïðåðûâ-

íî. Îòñþäà ëåãêî âûâåñòè, ÷òî P : (X, x0) 7→ (PX, ω0) ôóíêòîð èç

êàòåãîðèè PT op â ñåáÿ.

Îïðåäåëèì òàêæå ïîäïðîñòðàíñòâî ΩX â PX, ñîñòîÿùåå èç òàêèõ

îòîáðàæåíèé f : I → X, ÷òî f(0) = f(1) = x0 (èëè, ýêâèâàëåíòíî, ïðî-

ñòðàíñòâî îòîáðàæåíèé f : (S1, s0) → (X, x0) â êàòåãîðèè PT op, ãäå(S1, s0) îêðóæíîñòü ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé), íàäåëåííîå êîìïàêòíî-

îòêðûòîé òîïîëîãèåé. Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ïå-

òåëü è òîæå îïðåäåëÿåò ôóíêòîð Ω: (X, x0) 7→ (ΩX, ω0) èç êàòåãîðèè

PT op â ñåáÿ.

Ôóíêòîðû P è Ω åñòåñòâåííî ïåðåíîñÿòñÿ â ãîìîòîïè÷åñêóþ êàòåãî-

ðèþ hPT op.Ïðîñòðàíñòâà ïåòåëü ΩX îáëàäàþò ðÿäîì ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ, â

÷àñòíîñòè, îíè ñíàáæåíû íåêîòîðûì çàìå÷àòåëüíûì íåïðåðûâíûì îòîá-

ðàæåíèåì µ : ΩX × ΩX → ΩX, îïðåäåëÿåìûì ñëåäóþùèì îáðàçîì:

µ(g, f) = g · f, ãäå · îïðåäåë¼ííàÿ â Äîáàâëåíèè 2 êîìïîçèöèÿ ïó-

òåé. Íàïîìíèì, ÷òî g · f ïåòëÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ïðàâèëîì

(g · f)(s) =

f(2s), åñëè 0 ≤ s ≤ 1/2;

g(2s− 1), åñëè 1/2 ≤ s ≤ 1.

Ëåììà 16. Îòîáðàæåíèå µ íåïðåðûâíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå m : ΩX × ΩX × I → X, çà-

äàííîå ôîðìóëîé m(g, f, s) = (g · f)(s). Ïóñòü m1 îãðàíè÷åíèå m

íà ΩX × ΩX × [0, 1/2], à m2 íà ΩX × ΩX × [1/2, 1]. Íåïðåðûâ-

íîñòü îòîáðàæåíèé m1(g, f, s) = f(2s) è m2(g, f, s) = g(2s − 1) ëåãêî

âûâåñòè èç ï. a) Òåîðåìû 18 â Äîáàâëåíèè 1, à òàê êàê îíè ñîãëàñî-

âàíû íà ïåðåñå÷åíèè ΩX × ΩX × 1/2, òî ýòî äà¼ò íåïðåðûâíîñòü

m. Òåïåðü ïðèìåíåíèå ïóíêòà b) Òåîðåìû 18 âëå÷¼ò íåïðåðûâíîñòü

m : ΩX ×ΩX → XI , m(g, f)(s) = m(g, f, s) = (g · f)(s). Ëåãêî âèäåòü,÷òî îáðàç m ïîïàäàåò â ïîäïðîñòðàíñòâî ΩX ⊂ XI , ñîîòâåòñòâóþùåå

îòîáðàæåíèå â ΩX è åñòü µ, êîòîðîå, òàêèì îáðàçîì, íåïðåðûâíî.

71

c) Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà è ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû. Ìû óæå

îòìå÷àëè, ÷òî êîìïîçèöèÿ ôóíêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì. Ðàññìîò-

ðèì êîìïîçèöèþ π0Ω, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ãîìîòîïè÷åñêè èíâàðèàíòíûìôóíêòîðîì PT op → PSet . Çàìå÷àòåëüíûì ôàêòîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî å¼

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íå òîëüêî êàê ôóíêòîð â êàòåãîðèþ ïóíêòèðîâàí-

íûõ ìíîæåñòâ PSet , íî è â êàòåãîðèþ ãðóïï Gr , òî åñòü ïóíêòèðîâàííûåìíîæåñòâà π0(ΩX, ω0) èìåþò åñòåñòâåííóþ ãðóïïîâóþ ñòðóêòóðó. Ó ýòî-

ãî ôàêòà åñòü êðàñèâîå êàòåãîðíîå äîêàçàòåëüñòâî, à ìû ëèøü çàìåòèì,

÷òî ãðóïïîâàÿ îïåðàöèÿ íà êîìïîíåíòàõ ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè ïðîñòðàí-

ñòâà ïåòåëü ΩX áóäåò ïðîèñõîäèòü èç ïîñòðîåííîãî âûøå óìíîæåíèÿ

µ. Ôóíêòîð π0 Ω: PT op → Gr íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïîé

è îáîçíà÷àåòñÿ π1.

×èòàòåëü, âîçìîæíî, çíàêîì ñîâñåì ñ äðóãèì îïðåäåëåíèåì

ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû ïðîñòðàíñòâà X ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé

x0, êîòîðîå ìû ïðèâåëè â Äîáàâëåíèè 2, à èìåííî êàê ãðóï-

ïû HomhPT op((S1, s0), (X, x0)) ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé

îêðóæíîñòè ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé (èëè êàê ãðóïïû êëàññîâ ýêâèâàëåíò-

íîñòè ïåòåëü, ÷òî òî æå ñàìîå). Äîêàæåì ýêâèâàëåíòíîñòü ýòèõ äâóõ

îïðåäåëåíèé.

Ââèäó (2.5) íóæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå åñòåñòâåííîé ïî X áèåê-

öèè10

HomhPT op((S0, s0), (ΩX, ω0))↔ HomhPT op((S

1, s0), (X, x0)). (2.6)

Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî åñòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæ-

äó íåïðåðûâíûìè îòîáðàæåíèÿìè (S0, s0) → (ΩX, ω0) è íåïðåðûâ-

íûìè îòîáðàæåíèÿìè (S1, s0) → (X, x0) (äåéñòâèòåëüíî, îòîáðàæåíèå

(S0, s0) → (ΩX, ω0) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé â ΩX, òî åñòü

ïåòë¼é â X, â êîòîðóþ ïåðåõîäèò òî÷êà −1 ∈ S0, òàê êàê îòìå÷åí-

íàÿ òî÷êà 1 ∈ S0 ïî îïðåäåëåíèþ ìîðôèçìîâ â PT op îáÿçàíà ïå-

ðåéòè â ω0). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå ãîìîòîïíî-

ñòè íà ýòèõ äâóõ ìíîæåñòâàõ îòîáðàæåíèé ñîâïàäàåò. Äëÿ äâóõ ïå-

òåëü f, g : S1 → X, f(s0) = g(s0) = x0 ãîìîòîïèÿ ýòî îòîáðàæåíèå

10ôàêòè÷åñêè, íà êàòåãîðíîì ÿçûêå, ìû õîòèì äîêàçàòü èçîìîðôèçì óêàçàííûõ ôóíêòîðîâ.

72

H : S1 × I → X òàêîå ÷òî

H|S1×0 = f, H|S1×1 = g è H(s0 × I) = x0. (2.7)

Íàïîìíèì, ÷òî ñîãëàñíî ï. b) Òåîðåìû 18 èç Äîáàâëåíèÿ 1, îòîáðàæå-

íèå H : S1 × I → X íåïðåðûâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà êîãäà îòîáðàæå-

íèå H : I → XS1

, H(t)(s) = H(s, t) íåïðåðûâíî. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó

ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ â (2.7) H(t)(s0) = x0 ∀t ∈ I, ïîýòîìó îáðàç îòîáðà-

æåíèÿ H ÿâëÿåòñÿ ïóò¼ì â ïîäïðîñòðàíñòâå ΩX ⊂ XS1

. Îòîáðàæåíèå

H êàê ðàç çàäà¼ò ïóòü ìîæäó òî÷êàìè â ΩX, ñîîòâåòñòâóþùèìè ïåòëÿì

f è g, òî åñòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ãîìîòîïèþ îòîáðàæåíèé S0 → ΩX, ýòî

çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî áèåêöèè (2.6).

Ôóíêòîð ïåòåëü Ω äåéñòâóåò èç êàòåãîðèè PT op â ñåáÿ, ïîýòîìó åãî

ìîæíî èòåðèðîâàòü.  îáùåì ñëó÷àå îáîçíà÷èì êîìïîçèöèþ Ω . . . Ω(n ðàç) ÷åðåç Ωn è îïðåäåëèì ôóíêòîð πn(X, x0) := π0(Ω

nX, ω0) (ãäå

ω0 îòìå÷åííàÿ òî÷êà â ΩnX), êîòîðûé íàçîâ¼ì n-é ãîìîòîïè÷åñêîé

ãðóïïîé. Ýòî îïðåäåëÿåò ñåìåéñòâî ãîìîòîïè÷åñêè èíâàðèàíòíûõ ôóíê-

òîðîâ äëÿ âñåõ n ∈ N, ïðè÷¼ì π0 ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì PT op → PSet ,π1 ôóíêòîðîì PT op → Gr , à ïðè n ≥ 2 πn ÿâëÿþòñÿ ôóíêòîðàìè

PT op → Ab ñî çíà÷åíèÿìè â êàòåãîðèè àáåëåâûõ ãðóïï. Ýòîò ôàêò

èìååò íåïîñðåäñòâåííûé êàòåãîðíûé ñìûñë. Òàê êàê ãðóïïà ýòî ìíî-

æåñòâî ñ äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðîé, òî ýòî äåëàåò äàííûå ôóíêòîðû

ñóùåñòâåííî áîëåå èíôîðìàòèâíûìè. Ñ íèìè ìîæíî ãëóáæå ïîçíàêî-

ìèòüñÿ ïî êíèãàì [12], [17] èëè [15].

Êñòàòè, èç ñîâïàäåíèÿ ΩnX = Ω(Ωn−1X) ñëåäóþò ðàâåíñòâà

π0(ΩnX, ω0) = π1(Ω

n−1X, ω0) = . . . = πn(X, x0). (2.8)

Êðîìå òîãî, áèåêöèÿ (2.6) ìîæåò áûòü îáîáùåíà íà ñëó÷àé ãîìîòî-

ïè÷åñêèõ ãðóïï πn äëÿ âñåõ n ≥ 0 ñëåäóþùèì îáðàçîì:

HomhPT op((Sn, s0), (X, x0))↔ πn(X, x0), (2.9)

(çäåñü Sn n-ìåðíàÿ ñôåðà ñ áàçèñíîé òî÷êîé s0). Ýòîò îáùèé ðåçóëüòàò

òàêæå ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ï. b) Òåîðåìû 18 (ñ èñïîëüçîâàíèåì åùå

îäíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ôóíêòîðà íàäñòðîéêè), ñì. [17].

73

d) Ôóíäàìåíòàëüíûé ãðóïïîèä. Ôóíäàìåíòàëüíûé ãðóïïîèä Π(X)

òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâ-

ëÿþòñÿ òî÷êè ïðîñòðàíñòâà X, à ìîðôèçìàìè x→ y êëàññû ýêâèâà-

ëåíòíîñòè ïóòåé èç x â y (ñì. Äîáàâëåíèå 2). Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî

ýíäîìîðôèçìîâ11 îáúåêòà x åñòü â òî÷íîñòè ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà

π1(X, x). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî Π ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì èç êàòåãîðèè òî-

ïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ T op â êàòåãîðèþ ãðóïïîèäîâ GP .

e) Ãîìîëîãèè. Äðóãèì âàæíûì ïðèìåðîì ôóíêòîðà èç T op (ïðè÷¼ì

ãîìîòîïè÷åñêè-èíâàðèàíòíîãî) ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîð ñèíãóëÿðíûõ ãîìîëî-

ãèé, ñì., íàïðèìåð [17], [12].

2.3 Êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû

Ôóíêòîðû F : C → D, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàëè äî ñèõ ïîð, íàçûâàþò-

ñÿ êîâàðèàíòíûìè ôóíêòîðàìè. Ñóùåñòâóþò (è èãðàþò âàæíóþ ðîëü!)

òàêæå êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû, îáðàùàþùèå ñòðåëêè.

Îïðåäåëåíèå 17. Êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð èç êàòåãîðèè C ñî çíà-÷åíèÿìè â êàòåãîðèè D (îáîçíà÷åíèå: F : C → D) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõäàííûõ:

a) îòîáðàæåíèÿ Ob(C)→ Ob(D), X 7→ F (X);

b) äëÿ êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû îáúåêòîâ X, Y ∈ Ob(C) îòîáðà-æåíèÿ

HomC(X, Y )→ HomD(F (Y ), F (X)),

f : X → Y 7→ F (f) : F (Y )→ F (X),

ïðè÷åì F (idX) = idF (X) è äëÿ ëþáûõ X, Y, Z ∈ Ob(C) è f ∈HomC(X, Y ), g ∈ HomD(Y, Z) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî F (g f) =

F (f) F (g).

Ò.å. ìîðôèçìó f : X → Y â êàòåãîðèè C êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíê-

òîð F ñîïîñòàâëÿåò ìîðôèçì F (f) : F (Y ) → F (X) â êàòåãîðèè D è

11íàïîìíèì, ÷òî ýíäîìîðôèçì îáúåêòà åãî ìîðôèçì íà ñåáÿ.

74

ñîîòâåòñòâåííî êîìïîçèöèè Xf→ Y

g→ Z â C êîìïîçèöèþ F (X)F (f)←−

F (Y )F (g)←− F (Z) â D.

Ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ äâîéñòâåííîé êàòåãîðèè îïðåäåëåíèå êîíòðàâà-

ðèàíòíîãî ôóíêòîðà ìîæíî ñâåñòè ê îïðåäåëåíèþ îáû÷íîãî (êîâàðè-

àíòíîãî). Áîëåå òî÷íî, ðàññìîòðèì îáðàùàþùèé êîíòðàâàðèàíòíûé

ôóíêòîð Rev : C → C (ãäå C äóàëüíàÿ êàòåãîðèÿ), êîòîðûé òîæäå-

ñòâåí íà îáúåêòàõ è îáðàùàåò íàïðàâëåíèå ìîðôèçìîâ, ò.å. Rev(f ) = f .

Òîãäà êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð F : C → D îïðåäåëÿåò êîâàðèàíòíûé

ôóíêòîð G = F Rev : C → D (çäåñü F Rev êîìïîçèöèÿ ôóíêòîðîâ).

Çàäà÷à. Ïîñòðîèòü êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð èç êàòåãîðèè ïîä-

ìíîæåñòâ äàííîãî ìíîæåñòâà P(S) (ñì. ïðèìåð m) íà ñòð. 19) â

ñåáÿ.

Ïðèìåðû. a) Ïóñòü k ïîëå, S ∈ Ob(C) ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî,

F (S) (ïîêà) ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé íà S ñî çíà÷åíèÿìè â k, èëè,

÷òî òî æå ñàìîå, îòîáðàæåíèé èç S â k. Êàê îáû÷íî, åñëè f : S → k

òàêàÿ ôóíêöèÿ, ÷åðåç f(s) îáîçíà÷àåòñÿ çíà÷åíèå f íà ýëåìåíòå s ∈ S.Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ôóíêöèé íà ñêàëÿð îïðåäåëÿþòñÿ ïîòî÷å÷íî:

(f + g)(s) = f(s) + g(s) äëÿ âñåõ s ∈ S,

(af)(s) = a(f(s)) äëÿ âñåõ a ∈ k, s ∈ S.

Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî F (S) ñ ââåäåííûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è

óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä k. Åñëè S =

1, . . . , n, òî F (S) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ kn12: ôóíêöèè f ñòàâèòñÿ

â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð âñåõ åå çíà÷åíèé f(1), . . . , f(n). Îêàçûâàåòñÿ,÷òî ñîïîñòàâëåíèå S 7→ F (S) ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî äî ôóíêòîðà

F : Set → Vectk (ò.å. ñóùåñòâóåò ôóíêòîð, ñîâïàäàþùèé ñ S 7→ F (S) íà

îáúåêòàõ; íà ìîðôèçìàõ îí îïðåäåëÿåòñÿ â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè).

Ýòîò ôóíêòîð ÿâëÿåòñÿ êîíòðàâàðèàíòíûì: ìîðôèçìó φ : S → T â Setîí ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå F (φ) : F (T ) → F (S),

÷àùå îáîçíà÷àåìîå φ∗, è íàçûâàåìîå îáðàòíûì îáðàçîì íà ôóíêöèÿõ:

φ∗(f) = f φ, ãäå φ : S → T, f : T → k.

12Çàìåòèì, ÷òî è â îáùåì ñëó÷àå F (X) ∼=∏

x∈X k.

75

Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî ìû äåéñòâèòåëüíî ïîñòðîèëè ôóíêòîð.

Çàäà÷à. a) Ïîêàæèòå, ÷òî F (X⨿Y ) ∼= F (X) ⊕ F (Y ). (Óêàçàíèå:

X⨿Y êàòåãîðíàÿ ñóììà â Set , ïîýòîìó ôóíêöèÿ X

⨿Y → k

òî æå, ÷òî ïàðà ôóíêöèé f : X → k, g : Y → k).

b) Êàê ìîæíî îïèñàòü ôóíêöèè íà X × Y ÷åðåç ôóíêöèè íà X è

íà Y (íàïðèìåð, åñëè X è Y êîíå÷íûå ìíîæåñòâà)?

Äàëåå, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèè ñî çíà÷åíèåì â ïîëå ìîæíî íå

òîëüêî ïîòî÷å÷íî ñêëàäûâàòü, íî è ïåðåìíîæàòü: (fg)(s) = f(s)g(s).

Ïðè ýòîì F (S) ñòàíîâèòñÿ êîììóòàòèâíîé àññîöèàòèâíîé k-àëãåáðîé ñ

åäèíèöåé (ðîëü êîòîðîé èãðàåò ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ, â êàæäîé òî÷êå

ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå, ðàâíîå 1 ∈ k) è S 7→ F (S) ïðîäîëæàåòñÿ äî

êîíòðàâàðèàíòíîãî ôóíêòîðà Set → Algk.b) Íåêîòîðûé âàðèàíò ïîñëåäíåãî ïðèìåðà ïîëó÷èòñÿ, åñëè S = T åñòü

òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, à k òîïîëîãè÷åñêîå ïîëå (ò.å. ïîëå, íà

ìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ êîòîðîãî çàäàíà òîïîëîãèÿ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé

îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íåïðåðûâíû, íàïðèìåð R èëè C), èâ êà÷åñòâå F (T ) ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé

f : T → k. Äåéñòâèå ôóíêòîðà F íà ìîðôèçì φ ∈ HomT op(T′, T ) îïðå-

äåëÿåòñÿ ïî òîé æå ôîðìóëå, êàê è â ñëó÷àå ìíîæåñòâ:

F (φ)(f) = φ∗(f) = f φ ∀f ∈ F (T )

(òàê êàê φ : T ′ → T íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, òî îáðàòíûé îáðàç

íà ôóíêöèÿõ φ∗ ïåðåâîäèò íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà T â íåïðåðûâíûå

ôóíêöèè íà T ′).

c) Ôóíêòîð äâîéñòâåííîñòè: Vectk → Vectk, íà îáúåêòàõ çàäàâàåìûé

ôîðìóëîé V 7→ V ∗ := L(V, k), ãäå L(V, k) äâîéñòâåííîå ïðîñòðàí-

ñòâî, ñîñòîÿùåå èç ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ (=ëèíåéíûõ ôîðì) íà V

(íàçûâàåìîå òàêæå ñîïðÿæåííûì ñ V ïðîñòðàíñòâîì), à íà ìîðôèçìàõ

φ : V → W ôîðìóëîé φ 7→ φ∗, ãäå φ∗ : W ∗ → V ∗ äâîéñòâåííîå ê φ

îòîáðàæåíèå (íàïîìíèì, äâîéñòâåííîå ê φ îòîáðàæåíèå ïðîèçâîëüíîìó

f ∈ W ∗ ñîïîñòàâëÿåò ôóíêöèîíàë φ∗(f) ∈ V ∗, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿå-

ìûé ôîðìóëîé φ∗(f)(v) = f(φ(v)) ∀v ∈ V ).Çàäà÷à. Ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò ôóíêòîð

Vectk → Vectk.

76

d) Ïóñòü LCAb êàòåãîðèÿ, îáúåêòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíî-

êîìïàêòíûå (òîïîëîãè÷åñêèå) àáåëåâû ãðóïïû, à ìîðôèçìàìè

íåïðåðûâíûå ãîìîìîðôèçìû òàêèõ ãðóïï. Õàðàêòåðîì ãðóïïû G ∈Ob(LCAb) íàçûâàþò å¼ ìîðôèçì (=íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì) â ãðóï-

ïó U(1).13 Ìíîæåñòâî âñåõ õàðàêòåðîâ ãðóïïû G òðàäèöèîííî îáîçíà-

÷àåòñÿ G è ñàìî ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé îòíîñèòåëüíî ïîòî÷å÷íîãî

óìíîæåíèÿ. Íàäåëèì G óæå ðàññìîòðåííîé ðàíåå êîìïàêòíî-îòêðûòîé

òîïîëîãèåé, êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå èìååò ñëåäóþùåå ïðîñòîå îïèñà-

íèå. ż ïðåäáàçó îáðàçóþò ìíîæåñòâà âèäà

M(K; t, ε) := χ ∈ G | |χ(g)− t| < ε

äëÿ âñåâîçìîæíûõ íàáîðîâ, ñîñòîÿùèõ èç êîìïàêòíîãî ïîäìíîæåñòâà

K ⊂ G, òî÷êè t ∈ U(1) è ÷èñëà ε > 0. Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

ãðóïïà G òàêæå ëîêàëüíî êîìïàêòíà, è ñîïîñòàâëåíèå G 7→ G ïðîäîë-

æàåòñÿ äî êîíòðàâàðèàíòíîãî ôóíêòîðà èç êàòåãîðèè LCAb â ñåáÿ. Íà

ìîðôèçìàõ îí îïðåäåë¼í î÷åâèäíûì îáðàçîì: íåïðåðûâíîìó ãîìîìîð-

ôèçìó f : G→ H îí ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåïðåðûâíûé ãîìîìîðôèçì

ãðóïï õàðàêòåðîâ f : H → G, ãäå f(χ)(g) = χ(f(g)) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ

χ ∈ H è g ∈ G.e) Îïðåäåëèì íåêîòîðûé àíàëîã T op(T ) êàòåãîðèè P(S), ðàññìàòðèâà-åìîé â ïðèìåðå m) íà ñòð. 19 â ñëó÷àå, êîãäà S = T òîïîëîãè÷åñêîå

ïðîñòðàíñòâî. À èìåííî, îáúåêòû T op(T ) ïðîèçâîëüíûå îòêðûòûå

ïîäìíîæåñòâà U ⊂ T , à ìîðôèçìû âëîæåíèÿ îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâ

V ⊂ U. Òîãäà êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð F : T op(T )→ Ab (èëè Ringèëè Gr , . . .) íàçûâàåòñÿ ïðåäïó÷êîì àáåëåâûõ ãðóïï íà T (èëè êîëåö, èëè

ãðóïï, . . .). Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêòîðà ñëåäóåò, ÷òî äàííîìó âëîæåíèþ

V ⊂ U (ò.å. ìîðôèçìó â T op(T )) ïðåäïó÷îê F ñîïîñòàâëÿåò ãîìîìîð-

ôèçì F (V ⊂ U) : F (U) → F (V ), êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì

îãðàíè÷åíèÿ. Îí ÷àñòî îáîçíà÷àåòñÿ ρFU, V . Çàìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ

ôóíêòîðà ñëåäóåò, ÷òî òîæäåñòâåííîìó ìîðôèçìó U ⊂ U â êàòåãîðèè

T op(T ) îòâå÷àåò òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì ρFU,U = idF (U) â êàòåãîðèè

Ab, à äëÿ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ W ⊂ V ⊂ U èìååì: ρFU,W = ρFV,W ρFU, V .13íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåç U(1) îáîçíà÷àåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïî ìî-

äóëþ ðàâíûõ åäèíèöå.

77

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð ïðåäïó÷êà êîëåö. Ôèêñèðóåì òîïî-

ëîãè÷åñêîå ïîëå k (íàïðèìåð, k = R èëè C) è îïðåäåëèì ïðåäïó-

÷îê F ñëåäóþùèì îáðàçîì: F (U) åñòü êîëüöî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé

f : U → k, ãäå ãîìîìîðôèçìû îãðàíè÷åíèÿ ρFU, V íàñòîÿùèå îãðàíè÷å-

íèÿ ôóíêöèé ñ U íà V.

Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð ïðåäïó÷êà îáëàäàåò ðÿäîì äîïîëíèòåëü-

íûõ õîðîøèõ ñâîéñòâ, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò ò.í. ïó÷êè.

f) Îäíèì èç âàæíåéøèõ ãîìîòîïè÷åñêè-èíâàðèàíòíûõ êîíòðàâàðèàíò-

íûõ ôóíêòîðîâ, èçó÷àåìûõ â àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè, ÿâëÿåòñÿ ôóíê-

òîð ñèíãóëÿðíûõ êîãîìîëîãèé, î êîòîðîì ìîæíî ïðî÷èòàòü â ðåêîìåí-

äóåìûõ êíèãàõ ïî òîïîëîãèè.

g) Íàïîìíèì, ÷òî âûøå â ïðèìåðå o) íà ñòð. 64 ìû îïðåäåëèëè ôóíêòîð

h′X : C → Set êàê ôóíêöèþ Y 7→ HomC(X, Y ) îò âòîðîãî àðãóìåíòà.

Àíàëîãè÷íî, HomC(Y, X) êàê ôóíêöèÿ îò ïåðâîãî àðãóìåíòà åñòü êîí-

òðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð hX : C → Set , êîòîðûé îáúåêòó Y ∈ Ob(C)ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâî hX(Y ) = HomC(Y, X), è ìîðôèçìó

f : Y ′ → Y â C ìîðôèçì

hX(f) : HomC(Y, X)→ HomC(Y′, X)

â êàòåãîðèè Set , îòîáðàæàþùèé ïðîèçâîëüíûé ìîðôèçì φ ∈HomC(Y, X) â êîìïîçèöèþ hX(f)(φ) = φ f ∈ HomC(Y

′, X).

h) Ôóíêòîð HomC åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê çàâèñÿùèé îäíîâðå-

ìåííî îò äâóõ àðãóìåíòîâ (òàêèå ôóíêòîðû íàçûâàþòñÿ áèôóíêòîðà-

ìè). Åãî òàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáû÷íûé ôóíêòîð íà ïðîèç-

âåäåíèè êàòåãîðèé (ñì. §1.5): HomC : C × C → Set .

78

Ãëàâà 3

Äîáàâëåíèÿ

3.1 Äîáàâëåíèå 1. Ñâîéñòâà êîìïàêòíî-

îòêðûòîé òîïîëîãèè

Òåîðåìà 18. Åñëè ïðîñòðàíñòâî Y ëîêàëüíî êîìïàêòíî, òî

a) îòîáðàæåíèå âû÷èñëåíèÿ1 e : XY × Y → X, çàäàâàåìîå ôîðìóëîé

e(f, y) = f(y), íåïðåðûâíî;

b) íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèÿ f : Y × Z → X ðàâíîñèëüíà

íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ f : Z → XY , çàäàííîãî ôîðìóëîé

f(z)(y) = f(y, z).

Äîêàçàòåëüñòâî. a) Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè (f, y) ∈ XY × Y ïóñòü

U ⊂ X ïðîèçâîëüíàÿ îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè f(y). Òàê êàê

f : Y → X íåïðåðûâíî, à Y ëîêàëüíî êîìïàêòíî, òî ó òî÷êè y ∈ Yíàéäåòñÿ òàêàÿ êîìïàêòíàÿ îêðåñòíîñòü K ⊂ Y , ÷òî f(K) ⊂ U. Íà-

ïîìíèì, ÷òî ÷åðåç M(K, U) := g ∈ XY | g(K) ⊂ U ìû îáîçíà÷àåì

ìíîæåñòâà, îáðàçóþùèå ïðåäáàçó êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèè â XY .

Òîãäà M(K, U)×K îêðåñòíîñòü òî÷êè (f, y), îáðàç êîòîðîé îòíîñè-

òåëüíî îòîáðàæåíèÿ e ñîäåðæèòñÿ â U , îòêóäà ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü e

â (f, y). Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè (f, y) îòîáðàæåíèå e íåïðåðûâíî.

b) Âî-ïåðâûõ, ïóñòü f íåïðåðûâíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïðåðûâ-

íîñòè f äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ìíîæåñòâî f−1(M(K, U)) =

1íàçûâàåìîå ïî-àíãëèéñêè evaluation map.

79

z ∈ Z | f(K × z) ⊂ U îòêðûòî â Z. Äëÿ ýòîãî äëÿ ïðîèçâîëü-

íîé òî÷êè z ∈ f−1(M(K, U)) íóæíî íàéòè îòêðûòóþ îêðåñòíîñòü, ñî-

äåðæàùóþñÿ â f−1(M(K, U)). Èç âêëþ÷åíèÿ K × z ⊂ f−1(U), îïðå-

äåëåíèÿ òîïîëîãèè ïðîèçâåäåíèÿ è êîìïàêòíîñòè K × z ëåãêî ñëå-

äóåò ñóùåñòâîâàíèå îòêðûòûõ ìíîæåñòâ V ⊂ Y, W ⊂ Z òàêèõ ÷òî

K × z ⊂ V ×W ⊂ f−1(U). Òîãäà W èñêîìàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè z

â f−1(M(K, U)).

Îáðàòíî, ïðåäïîëîæèì ÷òî íåïðåðûâíî f . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êîì-

ïîçèöèÿ

Y × Z idY ×f−→ Y ×XY e→ X

ñîâïàäàåò ñ f . Òîãäà f íåïðåðûâíî êàê êîìïîçèöèÿ íåïðåðûâíûõ îòîá-

ðàæåíèé (ïåðâîå èç êîòîðûõ íåïðåðûâíî ïî ïðåäïîëîæåíèþ, à âòîðîå

ïî äîêàçàííîìó â ïóíêòå a).

Òåîðåìà 19. (Ýêñïîíåíöèàëüíûé çàêîí) Åñëè ïðîñòðàíñòâî Y ëî-

êàëüíî êîìïàêòíî è õàóñäîðôîâî, à Z õàóñäîðôîâî, òî îòîáðàæåíèå

XY×Z → (XY )Z , f 7→ f , ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì.

Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåé òåîðåìû çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû

äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà âèäà M(A×B, U), ãäå A è B ïðîáåãàþò êîì-

ïàêòíûå ïîäìíîæåñòâà â Y è Z ñîîòâåòñòâåííî, à U îòêðûòûå âX, îá-

ðàçóþò ïðåäáàçó êîìïàêòíî-îòêðûòîé òîïîëîãèè â XY×Z , à ìíîæåñòâà

âèäà M(B, M(A, U)) â (XY )Z . Òàê êàê ïðè áèåêöèè XY×Z → (XY )Z

ìíîæåñòâà M(A×B, U) ïåðåõîäÿò â M(B, M(A, U)), òî îòñþäà áóäåò

âûòåêàòü òðåáóåìîå. Ïîäðîáíîñòè ñì., íàïðèìåð, â [17].

3.2 Äîáàâëåíèå 2. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà

Ñëåäóÿ [12], ïîñòðîèì åùå îäèí ãîìîòîïè÷åñêè-èíâàðèàíòíûé ôóíêòîð

π1 : PT op → Gr , íàçûâàåìûé ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïîé.

Ïóñòü X òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Äâà ïóòè f, g : I → X èç x

â y (x, y ∈ X) íàçîâ¼ì ýêâèâàëåíòíûìè (îáîçíà÷åíèå: f ≃ g), åñëè îíè

ãîìîòîïíû êàê ïóòè èç x â y. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ

h : I × I → X òàêàÿ, ÷òî

h(s, 0) = f(s), h(s, 1) = g(s), h(0, t) = x è h(1, t) = y

80

äëÿ âñåõ s, t ∈ I.2 Êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ïóòè f îáîçíà÷èì ÷åðåç [f ].

Ïóòü f íàçûâàåòñÿ ïåòë¼é, åñëè f(0) = f(1) (òî åñòü x = y). Ïóñòü

π1(X, x) ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïåòåëü ñ íà÷àëîì è êîí-

öîì â x ∈ X.

Êîìïîçèöèÿ g · f ïóòåé f : x → y è g : y → z ïóòü, ïîëó÷åííûé

ïðîõîæäåíèåì ñíà÷àëà f , à çàòåì g ñ óäâîåííîé ñêîðîñòüþ:

(g · f)(s) =

f(2s), åñëè 0 ≤ s ≤ 1/2;

g(2s− 1), åñëè 1/2 ≤ s ≤ 1.

Îïðåäåëèì ïóòü f−1, îáðàòíûé ê f , êàê f−1(s) = f(1− s). Ïóñòü cx îáî-çíà÷àåò ïîñòîÿííóþ ïåòëþ â x: cx(s) = x∀s ∈ I. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü,

÷òî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ïóòÿõ ñîãëàñîâàíî ñ èõ êîìïîçèöè-

åé, ÷òî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü îïåðàöèþ íà êëàññàõ: ïðîèçâåäåíèå [g][f ]

êëàññîâ [g] è [f ] ïî îïðåäåëåíèþ åñòü êëàññ [g · f ]. Áîëåå òîãî, îïåðà-öèÿ ïðîèçâåäåíèÿ íà êëàññàõ îêàçûâàåòñÿ àññîöèàòèâíîé è óíèòàëüíîé

(ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ó íå¼ åñòü åäèíè÷íûé ýëåìåíò).

Áîëåå ïîäðîáíî, ïóñòü íàì äàíû ïóòè

f : x→ y, g : y → z è h : z → w.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî àññîöèàòèâíîñòü [h]([g][f ]) = ([h][g])[f ] îçíà÷àåò, ÷òî

h · (g · f) ≃ (h · g) · f . Ýòè äâå ïåòëè ñîâïàäàþò êàê ïîäìíîæåñòâà

òî÷åê â X, íî îòëè÷àþòñÿ ïàðàìåòðèçàöèÿìè: â ñëó÷àå h · (g · f) ïåòëÿf ïðîáåãàåòñÿ çà 1/4, çàòåì g çà 1/4 è íàêîíåö h çà 1/2 îñòàâøåãîñÿ

âðåìåíè, â òî âðåìÿ êàê äëÿ (h · g) · f ïåòëÿ f ïðîáåãàåòñÿ çà 1/2,

çàòåì g çà 1/4 è íàêîíåö h çà 1/4 âðåìåíè. Ãîìîòîïèþ H : I × I → X

ìåæäó óêàçàííûìè ïóòÿìè ìîæíî âûïèñàòü ÿâíî, ïîëüçóÿñü ñëåäóþùåé

êàðòèíêîé:

f g h

f g h

cx cw

(3.1)

2Ïðîâåðüòå, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ïóòÿõ èç x â y.

81

Íà íåé íèæíÿÿ ñòîðîíà êâàäðàòà îòâå÷àåò ïóòè h · (g · f), à âåðõíÿÿ

(h·g)·f è, òàêèì îáðàçîì, ãîìîòîïèÿ ïðîèñõîäèò ñíèçó ââåðõ. Íàêëîííûå

îòðåçêè îòâå÷àþò ïîñòîÿííûì ïóòÿì cy è cz. Òåïåðü ÿñíî êàê âûïèñàòü

ãîìîòîïèþ:

H(s, t) =

f( 4s

t+1), åñëè 0 ≤ s ≤ t+14 ;

g(4s− t− 1)), åñëè t+14 ≤ s ≤ t+2

4 ;

h(4s−t−22−t ), åñëè t+24 ≤ s ≤ 1.

Óñëîâèÿ ïðàâîé è ëåâîé åäèíèöû [f ][cx] = [f ], [cy][f ] = [f ] ñëåäóþò

èç ãîìîòîïèé f ·cx ≃ f, cy ·f ≃ f . Óêàçàííûå ãîìîòîïèè ëåãêî âûïèñàòü

ïî ñëåäóþùèì êàðòèíêàì:

AAAAA

f

cx f

cx cy

f

f cy

cx cy

(3.2)

Âòîðàÿ ãîìîòîïèÿ íàïðèìåð âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

H(s, t) =

f( 2st+1), åñëè 0 ≤ s ≤ t+1

2 ;

y, åñëè t+12 ≤ s ≤ 1.

Áîëåå òîãî, [f−1 · f ] = [cx] è [f · f−1] = [cy]. Äëÿ ïåðâîé ìû èìååì

ñëåäóþùóþ êàðòèíêó:

······························ft cf(t) f−1t

AA

AAAAAAA

f f−1

cx

cx cx

(3.3)

Íà íåé ft = f |[0, t] è f−1t = f−1|[1−t, 1]. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÿâíàÿ ôîðìóëà

òàêàÿ:

H(s, t) =

f(2s), åñëè 0 ≤ s ≤ t/2;

f(t), åñëè t/2 ≤ s ≤ 1− t/2;f(2− 2s), åñëè 1− t/2 ≤ s ≤ 1.

82

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî π1(X, x) ãðóïïà ñ åäèíè÷íûì

ýëåìåíòîì e = [cx] è îáðàòíûì [f ]−1 = [f−1]. Îíà è íàçûâàåòñÿ ôóíäà-

ìåíòàëüíîé ãðóïïîé ïðîñòðàíñòâà X.

Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ìîðôèçì φ : (X, x0) → (Y, y0) â êàòåãîðèè

PT op èíäóöèðóåò ãîìîìîðôèçì ãðóïï π1(φ) : π1(X, x0) → π1(Y, y0),

îòêóäà íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî π1 äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ôóíêòîðîì

PT op → Gr .Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå f : I → X, f(0) = x0 = f(1) ïî-

ñóùåñòâó, òî æå ñàìîå ÷òî è îòîáðàæåíèå f : (S1, s0)→ (X, x0), ïîýòîìó

ýêâèâàëåíòíûì îáðàçîì ôóíäàìåíòàëüíóþ ãðóïïó ìîæíî áûëî áû îïðå-

äåëèòü ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèé îêðóæíîñòè ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé.

Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî π1(X × Y, (x0, y0)) ∼= π1(X, x0) × π1(Y, y0),

òî åñòü, äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêòîð π1 ïåðåâîäèò ïðîèçâåäåíèå â êà-

òåãîðèè PT op â ïðîèçâåäåíèå â êàòåãîðèè Gr .Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ìíîãîîáðàçèé X è Y èìååò ìåñòî èçî-

ìîðôèçì

π1((X, x0) ∨ (Y, y0)) ∼= π1(X, x0) ∗ π1(Y, y0),

òî åñòü, äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêòîð π1 ïåðåâîäèò ñóììó â êàòåãîðèè

ïóíêòèðîâàííûõ ìíîãîîáðàçèé â ñóììó â êàòåãîðèè Gr .3

3Çàìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå ýòîé çàäà÷è ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû Çåéôåðòà-âàí Êàìïåíà

(äëÿ òîãî, ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ïîñëåäíþþ â êàòåãîðèíûõ òåðìèíàõ, íóæíî îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ

êàòåãîðíîé ñóììû ïîíÿòèå êîïðåäåëà). Äëÿ îáùèõ ïðîñòðàíñòâ èç PT op îíî íåâåðíî íóæíî

óñëîâèå ëîêàëüíîé ñòÿãèâàåìîñòè.

83

Ëèòåðàòóðà

[1] John C. Baez, Mike Stay Physics, Topology,

Logic and Computation: A Rosetta Stone.

http://math.ucr.edu/home/baez/rosetta.pdf

[2] È. Áóêóð, À. Äåëÿíó Ââåäåíèå â òåîðèþ êàòåãîðèé è ôóíêòîðîâ.

Ì.: Ìèð, 1972.

[3] Ñ.È. Ãåëüôàíä, Þ.È. Ìàíèí Ìåòîäû ãîìîëîãè÷åñêîé àëãåáðû.

Ââåäåíèå â òåîðèþ êîãîìîëîãèé è ïðîèçâîäíûå êàòåãîðèè. Ì.:

Íàóêà, 1988.

[4] Ï. Êàðòüå Êîìáèíàòîðèêà äåðåâüåâ. ×òî òàêîå îïå-

ðàäà? (Ëåêöèè íà ñòóäåí÷åñêèõ ÷òåíèÿõ â ÍÌÓ).

http://www.mccme.ru/ium/stcht.html

[5] Ì. Êàðóáè K-òåîðèÿ. Ââåäåíèå. Ì.: Ìèð, 1981.

[6] Ê. Êàññåëü Êâàíòîâûå ãðóïïû. Ì.: Ôàçèñ, 1999.

[7] À.È. Êîñòðèêèí Ââåäåíèå â àëãåáðó. ×àñòü III. Îñíîâíûå ñòðóê-

òóðû àëãåáðû. Ì.: Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëèòåðàòóðà, 2000.

[8] À.È. Êîñòðèêèí, Þ.È. Ìàíèí Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ.

Ì.: Íàóêà, 1986.

[9] Ì.Â. Ëîñèê Òîïîëîãèÿ. Èçä-âî Ñàðàòîâñêîãî óíèâåðñèòåòà,

1986.

[10] Ñ. Ìàêëåéí Êàòåãîðèè äëÿ ðàáîòàþùåãî ìàòåìàòèêà. Ì.: ÔÈÇ-

ÌÀÒËÈÒ, 2004.

84

[11] Þ.È. Ìàíèí Ëåêöèè ïî àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. ×àñòü 1. Àô-

ôèííûå ñõåìû. Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1970.

[12] J.P. May A Concise Course in Algebraic Topology.

www.math.uchicago.edu/ may/CONCISE/ConciseRevised.pdf

[13] Ì.Ì. Ïîñòíèêîâ Ëåêöèè ïî ãåîìåòðèè. Ñåìåñòð 5. Ãðóïïû è àë-

ãåáðû Ëè. Ì.: Íàóêà, 1982.

[14] Urs Schreiber The Baby Version of Freed-Hopkins-Teleman.

http://golem.ph.utexas.edu/category/2006/11/the_baby_version_of_

freedhopki.html

[15] Ð.Ì. Ñâèòöåð Àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ ãîìîòîïèè è ãîìîëî-

ãèè. Ì.: Íàóêà, 1985.

[16] À.ß. Õåëåìñêèé Ëåêöèè ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. Ì.:

ÌÖÍÌÎ, 2004.

[17] À. Õàò÷åð Àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2011

(â èíòåðíåòå êíèãà íà àíãëèéñêîì ÿçûêå äîñòóïíà ïî àäðåñó:

http://www.math.cornell.edu/ hatcher/AT/ATpage.html)

[18] È.Ð. Øàôàðåâè÷ Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ àëãåáðû. Èæåâñê: Èæåâ-

ñêàÿ ðåñïóáëèêàíñêàÿ òèïîãðàôèÿ, 1999 (Ïåðâîå èçäàíèå: Îñíîâ-

íûå ïîíÿòèÿ àëãåáðû, Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäà-

ìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. Ò.11. (Èòîãè íàóêè è òåõíèêè, ÂÈÍÈÒÈ),

1986).

85

Ó÷åáíîå èçäàíèå

Åðøîâ Àíäðåé Âëàäèìèðîâè÷

ÊÀÒÅÃÎÐÈÈ È ÔÓÍÊÒÎÐÛ

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

äëÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 30.03.2012. Ôîðìàò 60×84 1/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ.Ãàðíèòóðà Times New Roman. Ïå÷àòü RISO. Îáú¼ì 5,5 ïå÷. ë.

Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç 135.

ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Öåíòð Íàóêà410600, ã. Ñàðàòîâ, óë. Ïóãà÷¼âñêàÿ, 117, îô. 50

Îòïå÷àòàíî ñ ãîòîâîãî îðèãèíàë-ìàêåòàÖåíòð ïîëèãðàôè÷åñêèõ è êîïèðîâàëüíûõ óñëóã

Ïðåäïðèíèìàòåëü Ñåðìàí Þ.Á. Ñâèäåòåëüñòâî 3117410600, Ñàðàòîâ, óë. Ìîñêîâñêàÿ, ä. 152, îôèñ 19, òåë. 26-18-19, 51-16-28