判定

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定义

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

∵AB CD,AD∥ ∥BC

∴… 是平行四边形

定理１

两组对边分别相等的四边形是平等四边形

∵AB=CD,AD= BC …∴ 是平行四边形

定理２

对角线互相平分的四边形是平行四边形

∵OA=OC,OB=

OD …∴ 是平行四边形

推论

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

∵∠A= C, B=∠ ∠D∠

∴… 是平行四边形

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ａ Ｂ

ＣＤO

将一根木棒从 AB 平移到 DC ， AB 与DC 之间的位置关系、数量关系？

A B

CD

四边形 ABCD 是什么样的图形？

猜测：一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形

A B

CD

猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形已知： AB∥CD ， AB ＝CD求证：四边形 ABCD 是平行

四边形证明：连接 BD∵ AB∥CD

∴∠ABD ＝ ∠ CDB又 AB ＝ CD ， BD ＝ DB

∴△ABD ≌△CDB∴AD ＝ CB∴ 四边形 ABCD 是平行四边形

你还有其他证明方法吗

判定方法（ 4 ）一组对边平行且相等

（记作：“ ”）

的四边形是平行四边形

∥==

两组对边分别相等

两组对角分别相等

对角线互相平分

两组对边分别平行

一组对边平行且相等四边形是平行四边形

边

角

对角线：

平行四边形的判定方法共有几种？

• 1 、下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）

• A 、∠ A= C∠ ，∠ B= D∠• B 、 ∠ A= B= C=90∠ ∠• C 、 ∠ A+ B=180 ∠ ，∠ B+ C=180∠• D 、 ∠ A+ B=180 ∠ ，∠ C+ D=180∠

A

B C

D

D

• 下列条件中能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）

• ① 一组对边相等，且一组对角相等，②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，③一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分，④一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角线平分这组对角。

• A 、①和② B 、②和③• C 、②和④ D 、只有④

D

A

B C

D

例题：如图，点 D 、 E 分别是△ ABC 的边 AB 、 AC 的中点，求证 DE∥BC 且 DE= BC

2

1A

B C

D E

B C

A

D EF

证明：延长 DE 到 F, 使 EF=DE, 连接 FC 、 DC 、AF

∴ 四边形 ADCF 是平行四边形

∴ 四边形 DBCF 是平行四边形

∵AE=EC

CF∥DA ， CF=DA

∴CF∥BD ， CF=BD

DF∥BC ， DF=BC

又 DE= DF2

1

∴DE∥BC 且 DE= BC2

1

定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半

中位线定理

巩固练习

1. 如图，点 D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的边AB 、

BC 、 CA 的中点，以这些点为顶点，你能 在图中画出多少个平行四边形？

B

A

F

E

D

C

2. 如图， A 、 B 两点被池塘隔开，在 AB外选一点 C ，连接 AC 和 BC ，怎样测出 A 、B 两点的实际距离？根据是什么？

A

BC

3. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O ，下列判断若正确，请在括号里打上“√”号，若错误打上“ ×” 号．

⑴ 如果 AB//DC ， AD//BC ，则四边形 ABCD 是平行四边形（ ）

⑵ 如果∠ BAD= BCD∠ ，∠ ABC= ADC∠ ，则四边形 ABCD 是平行四边形（ ）

⑶ 如果 OA=OC ， OB=OD ，则四边形 ABCD 是平行四边形（ ）

⑷ 如果∠ ABC 与∠ BAD 互补，∠ ABC 与∠ BCD 互补，则四边形 ABCD 是平行四边形（ ）

⑸ 如果∠ ABD= BDC∠ ，∠ ADB= DBC∠ ，则四边形 ABCD 是平行四边形（ ）

√

√

√

√

√

B

A

C

DO

O

4. 已知在四边形 ABCD 中， AD BC∥ ，要使这个四边形为平行四边形，则需添加一个你认为正确的条件为 ( ) AB DC∥ ，或∠ A = C∠ 或 AD=BC

5. 能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）A 、一组对角相等 B 、一组对边平行且相等C 、一对邻角互补 D 、两条对角线互相垂直

B

6. 四边形 ABCD 中，若∠ A = C∠ ，∠ B = D∠ ，则下列结论中错误的是（ ）C

A 、 AB = CD B 、 AD BC∥

C 、∠ A = B∠ D 、对角线互相平分

7. 已知，如图在 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 DC 上两点，且 AE=CF ，

F CD

E BA

求证 :DE // BF ．=

8. 已知如图，在 ABCD 中， E 、 F 分别为AD 、 BC 边的中点，求证： EB = DF

D

B

A

C

E

F

第 2 题图

9 ．（ 2004 ，常州）已知，四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，给出下列 5 个条件：① AB CD∥ ；② OA=OC ；③ AB=CD ；④∠ BAD= DCB∠ ；⑤ AD BC∥ ．

⑵⑵ 对由以上对由以上 55 个条件中任意选取个条件中任意选取 22 个条件，不能个条件，不能推出四边形推出四边形 ABCDABCD 是平行四边形的，请选取一种是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明．情形举出反例说明．

⑴⑴ 从以上从以上 55 个条件中任意选取个条件中任意选取 22 个条件，能个条件，能推出四边形推出四边形 ABCDABCD 是平行四边形的有（用序是平行四边形的有（用序号表示）；号表示）；（能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有①与⑤ ,①

与②，①与③，①与④，①与⑤，②与⑤，④与⑤，

不能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有②与③，②与④，③与④）

小结1 、今天我们学习了平行四边形的又一个

判定定理

2 、三角形中位线的定义

3 、三角形中位线定理

作业： 习题 19.1 第 4 、10 题