5.5 行四边形 的判定（ 2 ）

判定一个四边形是平行四边形已学过哪些方法 ?

定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

定理 1 一组对边平行并且相等的四边形 是平行四边形。

定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

ABCD P2

P1

D

CB

A如图，在 中 P1,P2 是对角线 BD 的三等分点，求证：四边形AP1CP2 是平行四边形。

判定一个四边形是平行四边形，还有以下定理：

定理 3 ：对角线互相平分的四边形是平行四边形 .

你能证明吗 ?

上面的练习能用定理 3 证明吗 ?

如图，在 中 P1,P2 是对角线 BD 的三等分点，求证：四边形AP1CP2 是平行四边形。

P2

P1

D

CB

A

O

ABCD

例例 22 ：：已知：如图，已知：如图， EE ，， FF 是 是 ABCDABCD 的对角的对角线线 BDBD 上的两点，且上的两点，且∠∠ BAE=BAE=∠∠DCFDCF求证：四边形求证：四边形 AECFAECF 是平行四边形。是平行四边形。

AA

BB CC

DD

EE FF

如图：在 ABCD 中， E,F 是对角线 AC 上的两个点； G,H 是对角线 B,D 上的两点 . 已知 AE=CF,DG=BH,求证：四边形 EHFG 是平行四边形 .

O

H

G F

E

D C

BA

证明：　 　在 ＡＢＣＤ中，

　　　　　ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ∴四边形 EHFG是平行四边形

练习 2: 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， E 、 F 分别是BO 、 OD 的中点，且四边形 AECF 是平行四边形，试判断四边形 ABCD 是不是平行四边形，并说明理由．

O FE

D

CB

A

探究活动探究活动 任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么 ? 再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗 ? 试证明你的发现。

发现：三角形一条边上的中线的 2 倍小于另两条边的和。

E

已知：如图， AD 是⊿ ABC 的中线，求证： 2AD<AB+AC

证明：如图，延长 AD 至 E, 使 ED=AD.连结 BE,EC.∵BD=CD,

∴ 四边形 ABEC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

∴AB=CE( 平行四边形的两组对边分别相等 ) 。∵AC+CE>AE, ∴AB+AC>2AD, 即 2AD<AB+AC.

D CB

A见中线延长一倍

练习练习 33 ：：如图，在如图，在△△ABCABC 中，中， AB=14AB=14 ，， BC=BC=1818 ，， BOBO 是是 ACAC 边上的中线，求边上的中线，求 BOBO 的取值范的取值范围。围。

OO

AA

BB CC

试一试：

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

4 ．已知：ＡＢ＝ＣＤ，且∠ＤＣＡ＝∠ＢＡＣ，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形吗？你有几种判别方法？

判断一个四边形是平行四边形的方法有哪几种 ? 说说看 ?

从边看 :　

平行四边形的五个判定方法

两组对边分别平行

两组对边分别相等

一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形

从角看 :　 两组对角分别相等

从对角线看 :　 两组对角线互相平分

再见

作业：

1. 课后作业题

2. 作业本