التقاء نقطة عند دائرة قطر نصف على العمود . الدائرة لتلك مماسا يكون الدائرة مع القطر نصف

المستقيم كان في Gوالدائرة Lإذا واقعين

عن فيقال واحد للدائرة Lمستو مماس كان Gأنه إذا ،

النقطة Gيقطع تلك على يطلق فقط، واحدة نقطة في

. التماس نقطه

عالقة الدائرة :2-5 البند هذا في نتناولبالزوايا األقواس وعالقة بدائرة مستقيم

. نتائجها وبعضتعري

ف:

نظرية 2-

5-1:

القطر نصف على عموديا يكون المماسالتماس نقطة عند

نظرية 2- 5-2:

من لدائرة فقط مماسين رسم يمكنعنها خارجة نقطة

-5-2نظرية 3 :

: , فإن عنها خارجة نقطة من لدائرة مماسان رسم إذا ) الخارجة) النقطة بين المحصورتين منهما، القطعتين أ

. متطابقتان التماس ونقطتي ) الدائرة) ومركز الخارجة النقطة بين الواصلة القطعة ب

. المماسين بين الزاوية تنصف

نظرية 2-

5-4

البرهان :

الدائرة Bلتكن عن خارجة نقطةG مركزها وليكن, Cالتي

من إذا, CBنصل. Gللدائرة Bمماسينلكن

نظرية ) إذا(, 1-5-2حسبنظرية ) التطابق(, 22-2-2حسب ومنأن .ABC CBD , ينتج

ABDB,

BCDABC ABCADBCD ,

DBAB

CDACCBCB ,

العمود على نصف قطر دائرة عند نقطة (: 1-5-2نظرية )التقاء نصف القطر مع الدائرة يكون مماسا لتلك الدائرة.

دائرة داخل مستقيم قطع مجموعة) إذاالتي النقاط

من اقل الدائرة مركز عن بعدها يكونقطر نصف

) ، في الدائرة الدائرة تلك يقطع فإنه. فقط نقطتين

نظرية

2-

5-5

األقواس بين العالقة دراسة إلى واآلن: اآلتي, والتعريف والزاوية

:2-5-2تعريف مركزها Gلتكن .ABو , Cدائرة لها قطرا ليس

( ) صغير) قوس انه عن يقال ( Minor arcأالدائرة كان’ Gفي إذا

الزاوية , داخل يمثل . ACBحيث( ) كبير ) قوس انه عن يقال ( Macro Arcب

الدائرة كان, Gفي إذاالزاوية , خارج يمثل . ACBحيث

AB

GACBIntPPBAAB

, ACBInt

AB GACBExtPPBAAB

, ACBExt

كان القوس Dإذا على تختلف ABنقطةمن كل بالشكل A,Bعن القوس عن عبر

AB

ADB

3-5-2تعريف

ظة مالح

الدرجة من Degree Measureقياس لقوسلهذا المقابلة المركزية الزاوية قياس هو دائرة

القوس.

مركزها دائرة في Rقوسا كان إذا :Cوعليه فإن

) . أ) R صغيرا القوس كان إذا

) . ب) دائرة نصف القوس كان إذا

) . ج) R كبيرا القوس كان إذا

AB

AB

AB

AB

ACBmABm

)(

180)(

ABm

ACBmABm

360)(

المحيطية الزاوية ضعف تساوي المركزية الزاوية

: . أخرى بعبارة أو القوس لنفس المقابلة

القوس قياس نصف تساوي المحيطية الزاوية قياس

. لها المقابل

مركزها دائرة في قوسين كان . Cإذا

النقطة في فقط فإن , Bيشتركان

ABBD,

)()()( BDmABmABDm

نظرية 2-5-

6

نظرية 2-5- 7

3 إلى المبرهنة التي تربط العالقة بطول وأخيراقوس والزاوية المحيطية المقابلة له، وبعضها

نتائجها.

:1نتيجة

تكون دائرة نصف في المرسومة الزاوية

قائمة.

:2نتيجة

الرباعي الشكل في المتقابلتان الزاويتان

إلى) تنتمي األربعة رؤوسه كل رباعي شكل الدائري

. متكاملتان ( نفسها البرهان :الدائرة

أن دائري، ABCDنفرض رباعي :شكل أن نثبت ولكي

: DE, BEنصل أن فنجد

نظرية .(7-5-2)حسب

فإن وعليه

فإن وعليه ، أن ينتج A, Cومنه

بأن نثبت أن يمكن وبالمثل B, Dمتكاملتان،

. R أيضا متكاملتان

180 CmAm

AmmCmm 21,22

CmAmMmm 21360

180 CmAm

الفصل الثالث:

في تقع التي األشكال بدراسة المجسمة الهندسة تهتمبيت العالقات وتستنتج األبعاد، ثالثي الفضاءمساحات لقياس والمستويات،إضافة المستقيمات

. األشكال وحجومإلى نضيف جديدة ومفاهيم تعاريف والستحداثالفصل من الثاني البند في الواردة هلبرت مسلمات

اهتمامنا نركز ثم بالمستوى، خاصة مسلمات ثالث الثانيأو مستويين وبين ومستو، مستقيم بين العالقة علىومستو، مستقيم بين والزاوية العمودي فاإلسقاط أكثر،

. مستويين بين والزاوية

: المستوي ومسلماته:3-1

تحديد في تساعدنا مسلمات أربعة البند هذا في نورد

مستقيم بين التقاطع عالقة وتحدد مستو تعيين طـرق

األولى )وومستو،وهي: :3المسلمة النقاط ( من مجموعة المستوى

استقامة على ليست نقاط ثالث األقل على ويحوي

واحدة .

كانت المسلمة الثانية: المستوى A,Bإذا في ، Eنقطتين

المستوى في يقع بهما المار المستقيم .Eفان

تقع المسلمة الخامسة: ال نقاط أربع األقل على توجد

. واحد مستو في جميعهــا

مسلمة ) من على( 1نستنتج يـــــحوي مستوي أي أن

عدد يحوي مستوى أي فإن وعليه مستقيمات، ثالثة األقل

نظرية ) نتيجة حسب النقاط من نهائي (.8-2-2ال

استقامة المسلمة الثالثة: على ليست نقاط ثالث كل

. واحدا مستويا تعين واحـــــدة

تقاطعهما المسلمة الرابعة: فان مستويان، تقاطع إذا

مستقيم.

كل مستقيم يحوي عدد ال نتيجة النظرية:نهائي من النقاط.

.: 2نتيجة وحيدا مستويا يعينان متوازيين مستقيمين كل

أن البرهان: . K,Lنفرض توجد إذا متوازيان مستقيمان

مثل فإن Kعلى Aنقطة وعليه يعينان K,Lبينما،

نتيجة ) حسب Rوحيدا R1مستويا.)

LA

مستويا : 1نتيجة يعينان عنه خارجة ونقطة مستقيم كل

وحيدا.

مثل . L ليكنالبرهان: نقطة أي من Rإذا Bمستقيما،

المستقيم ABنــصل Lعلى على يقطع Kفنحصل الذي

L فيB .وعليهK,L نظرية حسب Rوحيدا Rمستويا يعينان

(3-1-1.)

LA

R : 1-1-3نظرية مستويا يعينان متقاطعين مستقيمين أي

.R واحدا

أن البرهان: في K,Lنفرض متقاطعان إذا. Aمستقيمان

نقطتان عن B,Cتوجد أن Aمختلفتان بحيث

( و مسلمة فإن( 3حسب ليست A,B,Cوعلــيه نقاط ثالث

مستويا تعين فإنـها وبالتالي واحدة، استقامة علـــى

( مسلمة حسب ولكن( 3وحيدا ،K ,L ذلك في يقعان

مسلمة ) حسب . L,K إذا(.2المستوى R وحيدا Rمستويا يعينان

KBLC ,

ال :2-1-3نظرية مستو مع مستقيم تقاطع إذا. واحدة نقطة في يتقاطعان يحتويه،فإنهما

تعامد مستقيم ومستو:3-2

المستوي Lليكن في . E مستقيما يوجد Rإذا ،ولتكنفي فقط واحد على Eمستقيم نظرية )Lعموديا -2حسب

األعمدة( . 2-15 من نهائي ال عدد فيوجد كان إذا أماالتي Aعند Lعلى المستويات من نهائي ال عدد لوجود ،على L تحوي عمود يوجد منها كل وعليه Aعند Lوفي

: كاآلتي ومستـوي مستقيم تعامد تعريف يمكن

LA

المستقيم البرهان: أن المستوي Lنفرض يقطع

E( . و مسلمة حسب Rإذا أن ( 1،ولنفرض

في. محتوى مسلمة )E لكن R(. 2حسب وهذا إذا

. R إذا الفرض فقط .E يقطع L يناقض واحدة نقطة في

ELBA ,

ABL AB

EL

يمكن (:15-2-2النظرية)

اقامة عمود على

مستقيم معلوم من

نقطة مفروضة..

3RLA

مستقيم :1-2-3تعريف عن يقالكان إذا مستو، على عمودي أنه

المستقيمات جـميع على Rعمودياذلك في أثره من المرسومة

المستوي.وكان ، كانت إذا RإذاL مستقيم كــل على عموديا

بالنقطة Eفي فإن Aيمر ،L على وعندئذ Eعمودي ،نكتب .

LE ELA

المستقيم : 1-2-3نظرية كان على Lإذا Rعمودياعلى E فإن. A عند Eالمستوي عمودي مستقيم كل يحوي

Lعند A.:عند البرهان أن عمودي K ،والمستقيمA نفرض

. A عند L على لــيكن. أن نثبت المستوي Dلكي

بالمستقيمين المستقيم Eيـقطع D إذا. K,Lالمعين في

M بنقطة )A المار مسلمة فإن( 4حسب وعليه ،

R ،إذا في لكن يوجد وعليه ،D

على K,Mمستقيمين Aعنــد Lعموديان

إذا إال ممكن غير K=M .Rكان وهذا إذا

فإن مستقيم يحوي Eوعليه كل

علــى .Aعند Lعمودي

EM EK

EL

ML

EK

EL

واآلن إلى دراسة بعض خواص التعامد.

مستقيمين :2-2-3نظرية على Rعموديا مستقيم كان إذا

على عمودي فإنه تقاطعهما نقطة عند متقاطعين

. يعينانه الذي المستوي

كانت :3-2-3نظرية المستقيم Aإذا على واقعة . Lنقطة

يحوي فقط Rواحدا Rمستويا على Aفيوجد عموديا .Lويكونفي نتيجة: تقع عليه نقطة عند مستقيم على األعمدة كل

. المستقيم ذلك على عمودي واحد مستوكانت : 4-2-3نظرية المستوي Aإذا في واقعة نقطة

E فقط Rواحدا Rمستقيما على A ،فيوجد Rعموديا . Eويكون

واحد :5-2-3نظرية مستو على العمودان المستقيمانمتوازيان .

متوازيين :1نتيجة مستقيمين أحد على العمودي المستوى

. اآلخر على Rعموديا يكون

أن البرهان: عند K,Lنفرض وأن متوازيان، مستقيمان

A والمستقيم ،L المستوي إما Bفي E يقطع Rإذا،L عمودي

أن Eعلى على Lأو Rعموديا كان. E ليس L Rفإذا عموديا ليس

على E على Rعموديــا Rمستقيما فليكن ، E عند B R . ،إذا

للمستقيم لكن موازيان مستقيمان يوجد من Kوعليه

للتوازي، نقطة هلبرت مسلمة يناقض وهذا

فإن . ،وعليه Rإذا

EK

1LKL //1

KL //

LL 1EL

Eأ( يقال عن مستقيم ومستوي L ∩ E =Φأنهما متوازيان إذا كان

E2 ،1Eب( يقال عن مستويين∩ Φ =E2 E1أنهما متوازيان إذا كان

مستقيماR واقعاR خارج L1إذا كان مستقيما واقعاR في L2 وكان Eالمستوي . إذاR توجد E ال يوازي L1نفرض أن . L1// E فإن L1 // L2 وكان Eالمستوي

هو D وعليه إذا كان A L1 ∩ Eنقطة A , فإن L1 L2المستوي المعين بالمستقيمين

D ∩ E لكن , E D = L2 حسب مسلمه (4 Rإذا . )A L2 وهذا غير ممكن ألن L1 L2

= Φ Rإذا . L1 // E

لمستقيم : 2نتيجة الموازيان المستقيمان. متوازيان يكونان للمستقيم البرهان: ثالث موازيان مستقيمان أن نفرض

أن ولنفـرض ،E . R إذا على عمودي مستوينتيجة ) حسب(. 1حسب فإن ( .5-2-3نظرية )وعليه

21,LL3L

3LELEL 12 ,

21 // LL

إذا قطع مستوي أحد مستقيمين متوازيين في نقطة واحدة , فإنه يقطع اآلخر في نقطة

. Rواحدة أيضا

المستوي المعين بالمستقيمين E ليكن

D ولنفرض أن المستوي L1 , L2المتوازيين

. A عند النقطة L1يقطع المستقيم

في نقطة واحدة E يقطع L2ولكي نثبت أن يجب أن نثبت أن :

ال L2 . ب( D ال يقع في المستوي L2أ( . Dيوازي

رض أن ات )أ( نـف ع في المسـتوي L2وإلثـب يـقD Rإذا , D يشـــــترك مـــــعE بالمـستقيم L2

ــة ــإن Aوالنقطـ ــه فـ ــذا D=E , وعليـ , وهـ في نقطــة D يشــترك مــع L1ينــاقض كــون

Rواحدة فقط . إذاL2 ال يقع في D . ال L2 . إذاL2 // D Rوإلثبــات )ب( نفــرض أن

ــع ــد في L D ألن Lيقطـ ــه يوجـ D وعليـ يـمران بالنقـطة L , L1مـستقيمين مختلفين

A وكــل منهمــا يــوازي L2 وهــذا ينــاقض Rمســلمة هلــبرت للتــوازي . إذاL2 ال يــوازي

D .

D

L1

L2

E

A

L

إذا قطع مستوي مستويين متوازيين , فإنه يقطعهما في مستقيمين متوازيين .

*

D , B يقطع المستويين Eنفرض أن المستوي

. ولكي نثبت أنL2 , L1بالمستقيمين

L2 // L1 الحظ أن , L2 , L1 zيقعان في مستو

فإنA L1 ∩ L2واحد ، وإذا كانت

A B D وهذا يناقض كون B // D Rإذا. L1 ∩

L2 = Φ وعليه فإن , L1 // L2.

*************************************

العمود على أحد مستويين Rمتوازيين يكون عموديا

على اآلخر .

إذا قطع مستقيم أحد مستويين متوازيين , فإنه يقطع اآلخر .

متوازيان 5-3-3نظرية واحد مستقيم على العموديان المستويان

وعمودي Aعند النقطة E1عامودي على المستوىLنفرض البرهان :

النقطة .E2على Bعند إذا أن هما ABCولنفرض قائمتين زاويتين فيه ، Aمثلث B

. فإن وعليه Rإذا مستحيل . E1 E2وهذا

المـستويان الموازـيان لمـستوz ـثالث متوازيان .نتيـجة: المستقيم E1 E3،E2 E3نفرض أن البرهان: أن ولنفرض ،L عمودي

. E3على R ، E1 Lإذا L E2( نظرية فإن( 4-3-3حسب وعليه ،E1 E2 حسب(.5-3-3نظرية )

21 EEC 21 EE

2-3-3تعريف

نقطة بين المسافة أو طول Eومستوى Aالبعد هومن العمودية القطعة

A إلىE.

.:6-3-3نظرية يتغير ال ثابت متوازيين مستويين بين البعد

، E2ليكن البرهان : E1 ولتكن ، متوازيين Bمستويين ، A في نقطتين ، AC،وليكن E1أي BD عامودين

أن. E2على A ،Bمن نثبت ولكي

( نظرية حسب أن أن(, 5-2-3الحظ على A,B,C,Dكما واقعة ألنها واحد zمستو في تقع

نظرية ) حسب وأن متوازيين R( 3-3-3مستقيمين فإن .ABCDإذا وعليه أضالع متوازي

مستويين , , بين الزاوية البند هذا في وسنعرف مستقيمين بين الزاوية الثاني الفصل في عرفنا لقد

, خواصهما وندرس zومستو مستقيم بين والزاوية

على , النقاط من مجموعة مسقط ونعرف منهما Rكال قياس وكيفية

يكون , zمستو على عامودي غير مستقيم مسقط بأن ونثبت zمستو

. R أيضا Rمستقيما

DBCA

BDAC

AB CDDBCA و 3-4 الزوجية الزاويةالمساقط:

:1-4-3تعريف

: , كان إذا أنه الحظ مستويين بين الزاوية L Rولتعريف واقعا Rمستقيماالمستوى , Eفي R كال على يطلق منفصلين نصفين إلى يجزئه فإنه

( نظرية حسب مستوى نصف مستويان( 4-2-2منهما تقاطع وإذا ،)D،Eمختلفان . شكل انظر أشكال أربعة ذلك عن منهما( 8-3نتج كل أ

شكل ويشبه مشترك مستقيم في يلتقيان مستويين نصف من مكون(3-8)، ب

نورد وعليه زوجية زاوية يسمى الشكل هذا ومثلاآلتي : التعريف

أ( 8-3شكل ) الزاوية هي متقاطعين مستويين بين الزوجية الزاوية

. المشترك وحدهما مستويين نصفي اتحاد من الناتجة ، الزوجية الزاوية وجه المستوي نصفي من كل يسمى

. حرفها بينهما المشترك الحد ويسمى

ب(8-3شكل )

B E

DC

C

EB

كان وكانت BCوإذا الزوجية الزاوية نقطتين A,Bحرف

, بالشكل الزوجية الزاوية عن ع~بر مختلفين وجهين في

A-BC-D- أوD BC A . -كان H Rوإذا عموديا Rمستويا

تقاطع, BCعلى من الناتجة الزاوية وجهي Hفتسمى مع

الزوجية الزوجية . A-BC-Dالزاوية للزاوية المستوية بالزاوية xyz الزوجية لزاوية مستوية .A-BC-Dزاوية

X

Z

B A

C D

xy

z

زوجية لزاوية المستوية الزوايا جميع. متطابقة تكون

F

P

E

GQ

R

-4-3نظرية :2-4-3تعريف :1

) زواياها) من أي قياس هو الزوجية الزاوية قياس أالمستوية.

بحسب , منفرجة أو حادة الزوجية الزاوية وتسمى. المستوية زاويتها

, ) كانت) إذا متعامدان أنهما مستويين عن يقال ب. قائمة بينهما الزوجية الزاوية

~ خواصها~ بعض ودراسة العمودية المساقط تعريف

:3-4-3تعريف

المستوى A)أ(إذا كانت خارج على, Eنقطه مسقطها هو Eفإن

من النازل العمود فإن , EعلىAموقع كانت وإذا

على .Aهو Eمسقطها

EA

) على) الفضاء في النقاط من لمجموعة العمودي المسقط ب

, ذلك على النقاط تلك مساقط جميع مجموعة هو مستو]

جميع. مجموعة هو مستو] على مستقيم مسقط 3 إذا المستوى

على المستقيم ذلك نقاط مساقط هي التي المستوى في النقاط

, المستوى. على 3 عموديا المستقيم كان إذا أنه الحظ المستوى

. واحدة نقطة هو المستوى ذلك على مسقطه أن الواضح فمن

, مسقطه فإن المستوى على عمودي غير المستقيم كان إذا أما

: , اآلتية النظرية تثبته ما وهذا 3 مستقيما يكون

:2-4-3نظرية .3 مسقط مستقيم غير عمودي على مستو] يكون مستقيما

والنقطة , , مسقط Dلتكن E .3على Bهي إذا

أن نثبت من, BAD< ∡BAC∡ولكي عند Bننزل على 3 عمودا

C , 3 إذا إن لكن , وحيث فإن وعليه

Sin(∡BAD)=, Sin(∡BAC) =

3 هاتين. Sin(∡BAD) < Sin(∡BAC)إذا لكن

. 3 إذا حادتان .BAD < ∡BAC∡ الزاويتين

2LEBD 2LC LB1LD

DCBDBCBD

BA

BDBA

BC

المستوى Lنفرض أن البرهان: يالقي هو, Aفي Eمستقيم وأن

المستوى , Eعلى Lمسقط في مستقيم أن نفرض يمر Eو

.Aبالنقطة

2L1L

زاوية : 3-4-3نظرية أصغر هي ومستوى مستقيم بين الزاوية.Lيكونها المستوى ذلك في محتوى مستقيم أي مع

مستو] : 4-4-3تعريف على عمودي غير مستقيم بين الزاويةذلك على ومسقطه المستقيم ذلك ين الزاوية هي والمستوى

المستوى.

ABC فيه (mمثلث A( = 30° ∡ ، = 8cm | |AB

المستوي BDرسم على RعمودياABC| وكانBD| = 4cm على BEورسم RعمودياAC عندE ...∡ - D – A Cأحسبي

B

أن مسقط BEبما المستوي DEهو ، ABCعلى BE AC R نظرية DE ACإذا حسب(3 – 4 – 4 )∡ فإن مستوية DEBوعليه زاوية

الزوجية D – AC – Bللزاوية، BE| = |AB| sin)30°( = 4cmلكن |

tan DEB= |DB|/|BE| = 4/4 = 1∡ R (mإذا DEB( = 45°∡ فإن (mوعليه D – AC – B( = 45°∡

E

D

C

AB

مثال

الحل

كان على£ £ 1إذا المستقيم مسقط

في Eالمستوى مستقيم أي أحد Eفإن على عمودي

اآلخر£ 1المستقيمين£ , على عمودي يكون

– 4- 3نظرية 4

ذكر وقد الخامسة المسلمة إلثبات تمت التي المحاوالت جميع تنجح لمعام كوننجن جامعة من الدكتوراه لنيل رسالتة في كلونج م 1763األلماني

تلك إثبات يمكن ال أنه ورأى الخامسة المسلمة إلثبات محاولة وعشرين ثمانلم لكنة منها المشتقة والمبرهنات األخرى األربعة المسلمات من المسلمةولم Rمنطقيا ممكن الحامسة المسلمة تناقض جديدة هندسة وجود بأن يبينلطبيعة Rتصورا أكثر جاوس األلماني كان وقد قرن نصف بعد إال ذلك يتم

عام توصل من أول وهو إقليدس بعد جديدة 1813الهندسة هندسة بناء إلى معلى تعتمد إقليدية ال هندسة عايها أطلق الخامسة المسلمة تناقض متسقةانة على تنص التي التوازي مسلمة ونقيض اإلقليدية الهندسى مسلمات كلوفي عنه حاجة نقطة من معلوم لمستقيم واحد مواز من أكثر رسم يمكن

اكتشافة 1856 – 1818عام تؤكد رسالة شوايكارت األلماني من جاوس استلم منتائجة ينشر لم وشويكارت جاوس من كل لكن الهندسة من النوع لنفس

عام عن 1829وفي متكامال Rعمال لوباتشفسكي نيكوالي الروسي قدم معام وفي الجديدة لكتاب 1832الهندسة كملحق بوليا جون المجري نشر م

R قائال علي فرد جاوس صديقة إلى منه بنسخة بعث الذي بوليا ولفجانج والده **R تماما تنطبق إليها توصل التي والنتائج ابنك استخدمة الذي األسلوب إنأثناء نتشر أال قررت فقد ألعمالي بالنسبة أما إليها توصلت التي النتائج مع R جدا سعيد وإنني النتائج تلك لفهم العمق لديهم ليس الناس أكثر ألن حياتي

...** العظيمة النتائج تلك على حصل قد لي صديق ابن بأن

الزائدية الهندسة

عام جاوس وفاة بعد إال ولوباتشفسكي بوليا أعمال تنشر ونشر 1855لم موالفلكي شويكارت من كل إلى رسائله وخاصة المجال هذا في أعماله

عام اولبرس عام 1817األلماني تورينوس واأللماني بسل 1824م واأللماني معام 1829عام بوليا ولفجانج رسالة على ورده إهتمام 1832م إلى أدت والتي م

إلى بليرامي اإليطالي مثل الهندسة من النوع هذا بدراسة الرياضيات علماءعام عام 1868أثبت أطلق الذي كالتين واأللماني الهندسة تلك اتساق م 1871م

والفرنسي اقليدية الال الهندسة من النوع هذا على الزائدية الهندسة اسمالرياضيات فروع على وطبقوها طوروها اللذين ريمان واأللماني بونكارية

... المركبة الدوال نظريات وخاصة المخلفة

بما الهندسة الزائدية هي إحدى الهندسات الال اقليدية التي تعتمد على كل مسلمات الهندسة األقليديه ما عدا

مسلمة التوازي التي تستبدل بالمسلمة التالية...

مسلمة التوازي الزائدية... بحيث A∌يوجد مستقيم £ ونقطة £

يمكن رسم مستقيمين مختلفين على يوازيان £...Aاألقل من

إذاR جميع النظريات التي ال تعتمد على مسلمة التوازي األقليديه تكون صحيحة

في الهندسة الزائدية وعلية فإن البرهنة ...Rاآلتية تكون صحيحة أيضا

مسلمة التوازي الزائدية وبعض مكافآتها

كان فيه ABCDإذا Rرباعيا Rشكالm )∡B( =

m) C(=90°∡ ∡ ∡D < A ⇔ AB < DCفإن

- 1 – 4نظرية 1

متكافئة : اآلتية العبارات

الزائدية . أ) (• التوازي يوجـد) ( •مسلمة ال جمستطيل .

من) ( • أقل زواياه قياسات مجموع مثلث يوجد 1800sب.

أقل) ( • الزاوية قائم مثلث أي زوايا قياسات مجموع د .1800sمن

من) ( • أقل مثلث أي زوايا قياسات مجموع .1800sهـ

:2- 1 - 4نظريـة

من) ( • أقل محدب رباعي شكل أي زوايا قياسات مجموع . 3600sو

أن) ( – • كما ، حادة المبرت الهيثم ابن رباعي في الرابعة الزاوية ز

األخرى . للزاوية المقابل الضلع من أقصر لها المقابل الضلع

الواصل) ( – • والخط ، حادة سكاري الخيام رباعي في القمة زوايا ح

الجانبين . من أقصر والقاعدة القمة منتصفي بين

) ( ) الزاوية) قائم مثلث يوجد 3 إذا مستطيل وجود نفرض ج بيساوي زواياه قياسات قياسات 180مجموع مجموع فإن عليه و

يساوي مثلث أي 180زواياالنظرية ) ( 37-2-2حسب ب ( ) يناقض هذا و

) قياسات) ( ) مجموع الزاوية قائم مثلث وجود نفرض د جيساوي النظرية )180زواياه حسب مستطيل يوجد 3 ( 37-2-2إذا

) ج ) يناقض هذا و

البرهـان

) ( ) ليكن) هـ من , ABCد ننزل على ADالعمود Aمثلثا

BC في D 3فيالقيه ( +900s( > ∡B)mإذا 1∡ (m,

900s( > ∡C)m + ) 2∡ ( ) فإن ) وعليه د حسب

1800s(>∡C)m+) 2∡ (+) B∡ (m+) 1∡ فإن , : ) وبالتالي

1800s(> ∡C(+ )∡B(+)∡A )m

12

CB D

A

, ) نصل( ) 3 محدبا 3 رباعيا ليكن و المثلثين Acهـ على فنحصل

ABC , ACD: فإن (+m(B∡<)180وعليه 1∡ (m+) 2∡ (m

<180( ∡D)m+) 4∡ (m+ ) 3∡ (m

360(>∡D(m+( 4∡ )m+( 2∡ )m+( B∡ )m+( 3∡ )m+ ( 1∡ )m

: فإن D(m+)∡ > (360وعليه C∡ (m+) B∡ (m+) A∡ (m

( ) ( ليكن( ز المبرت –ABCDو الهيثم ابن رباعي

A

B

C

D

1

2

3

4

B

A D

C

3 (+m(D∡< )360إذا C∡ (m+) B∡ (m+) A∡ ( m ,) و) حسب(=m(C∡=)90لكن B∡ (m=) A∡ ( m 3 ,m(D∡ < )90إذا

فإن فإن D∡وعليه وبالتالي النظرية )CD < ABو AD<BCحادة -4حسب1-1 )

واآلن إلى بعض نتائج م~سلمة التوازي

ومكافآتها......

ولكل Lلكل مستقيم :/ 3-1-4نظرية

، يوجد على األقل مستقيمين ∌L Aنقطة

ما Aمختلفين يمران بالنقطة ك~ل منه~

Lيوازي .

L 3ليكن د مسـتقيمان B L مسـتقيما 3 يوـج . إذاK , m يـمران بالنقـطةB ويوازـيان L حـسب

ة ) يجـزءان K, m(. وعليـه فـإن 3-1-4نظرـيا هي المـستوى إلى أربـعة مـناطق ـكل واـحدة منـه

داخل زاوية . L فإذا كانت ,

فإن D وعليه فإن

تقع داخل الزاوية . 3 إذا

L. يقع داخل

:4-1-4 نظرية كل مستقيم يقع بأكمله داخل زاوية ما .

. :البرهان

متـشابهان، لكنهـما ـغير متـطابقين , نـفرض أن المثـلثين ان على األقـل من أضـالع 3 اثـن نين إذا ف عن اـث تختـل

ــان , ولنفــرضمن اضــالع ــد نقطت 3 توج . إذاــه فـــان المثلـــثين بحيث أن ، وعليـ

( ، ومن التـطابق ينتج أن 6متطابـقان حـسب )ت.

3 لكن المثلـــثين ، متشـــابهان بـــالفرض، إذا , و بالتـالي فــإن ، وعليـه فــإن

وعلـيه ـفإن رـباعي مـحدب، كـما أن )

360وعليه فان مجموع قياسات زوايا يساوي( 2-1-4 وهذا يناقض نظرية )

إذا تشابه مثلثان :5-1-4نظرية فإنهما متطابقان. :البرهان

فان AE تحوي قطر الدائرة A أ. إذا كانت :

متساوي الساقين , ألنلكن 3 . , وعليه فإن إذا

:6-1-4 نظرية الزاوية المحيطية أقل من نصف الزاوية المركزية المقابلة لنفس

القوس .البرهان :

واقـعتين في جـهتين مختلـفتين B , Dإذا ـكانت النقـطتين 3 من المثـلثين A الـمار بالنقـطة AEمن القـطر , ـفإن كالABC,ACD∡ ــإن ــه ف ≅ 3 متســاوي الســاقين ,وعلي

∡4 لكن 2≅∡1, ∡3 إذا

وعليه فإنوبالتالي فإن

واقعــتين B,D ج . إذا كــانت النقطــتين AEفي جهة واحدة من القطر

إن > BAE < ∡BCE , 2∡DAE∡2 ـف∡DCE. )حسب )أ لكن∡ BCE = ∡BCD + ∡DCE , ∡BAE =

∡BAD + ∡DAE R2 إذا∡BAD + 2∡DAE < ∡BCD + ∡DCE. BAD < ∡BCD∡2 إذاDAE < ∡DCE R∡2لكن

BAD < )1/2( ∡BCDوعليه فإن ∡

الزاوية المرسومة في نتيجة : نصف دائرة حادة , وليس لها قيمة

ثابتة . 7-1-4نظرية

اد د بأبـع تي تبـع اط اـل ة من النـق وي مجموـع تـحمتـساوية عن مـستقيمين مختلفين ومـتوازيين

نقطتين على األكثر( تنص على وجــود 7-1-4 إن نظريــة )

يتـساوى بـعدهما عن Lنقـطتين على المـستقيم وـهذا يـعني L الـموازي للمـستقيم mالمـستقيم

(,…A,B(,)C,D)إمكانـية وـجود أزواج من النـقاط ــتقيم ــد L على المسـ ــل زوج يبعـ بحيث أن كـ

mبأبعاد متساوية عن m على ' A' ,B' , C' , D وعليه إذا كانت

≠ 'AAلكن' AA' = BB‘ , CC' = DD ـفإن CC'

مالحظة:

والمساحة 4-2 المثلثي االنحراف :1-2-4تعريف

( هو Triangle defect)االنحراف المثلثي مقدار نقص مجموع قياسات زوايا المثلث

°180عن . إذاd Rيرمز عادةR لالنحراف المثلثي بالرمز

d = 180°- S حيث , S مجموع قياسات زوايا المثلث

إذا كان مجموع قياسات زوايا مثلث d = 180° - 179°° , فإن 179يساوي

= 1°. إذا كان مجموع قياسات زوايا مثلث

.d = 0°° , فإن 180يساوي إذا كان مجموع قياسات زوايا المثلث

.d = 45°°, فإن 135يساوي

1-2-4مثال :

1-2-4نظرية , T1 , T2 إلى مثلثين Tإذا جزأ المثلث

وذلك بوصل أحد = )d)T رؤوسه مع الضلع المقابل له فإن

d)T1( + d)T2(.

, والـذي جـزئ إلى ABCهـو المثلث T ليكن , T1 , T2المثلثين

R )d)T1( = 180° - [m)∡1( + m)∡Bإذا+ m)∡3( ],

+ )d)T2( = 180° - [m)∡5( + m)∡Cو m)∡4( ].

البرهان :

وعليه فإن

d)T1(+d)T2( =360°-[m)∡1(+m)∡5(+m)∡B(

+m)∡3(+m)∡4(+m)∡C(].

∡ ∡1لكن + 5∡ = A , m)∡3( + m)∡4( = 180°

Rإذاd)T1( + d)T2( = 360° - [m)∡A( + m)∡B( + 180° + m)∡C( ] = 180 - [ m)∡A( + m)∡B(

+ m)∡C( ]= d)T(

نتيجة :إذا جزئ مثلث إلى عدة مثلثات بأي طريقة

كانت , فإن انحراف ذلك المثلث يساوي مجموع انحرافات المثلثات التي

جزئ لها .

نظرية 4-2-2:

إذا جزئ مثلث إلى مثلثين فإن مساحة المثلث تساوي مجموع مساحتي

مثلثاR جزئ إلى ABCليكن البرهان: المثلثين اللذين جزئ المثلث لهما . . ABD , ACDالمثلثين

R )d)ABC( = d)ABD إذا+ d)ACD( = )k.d)ABC وعليه فإن

k.d)ABD( + k.d)ACD( = )a)⊿ABC ومنــــه ينتج أن

a)⊿ABD( + a)⊿ACD(

مساحة مثلث تساوي مجموع نتيجة:مساحات المثلثات المجزئة

ــثين له . ــا أن ألي مثل بمنفس المسـاحة إذا وإذا فقـط ــراف ــا نفس االنحـ ــان لهمـ كـالمثلــــثي . إذاR ألي مثلــــثين نفس المسـاحة إذا وإذا فقـط ــوع ــ ــا نفس مجم ــ ــان لهم ــ ك

0قياسات الزوايا .

نظرية 4-2-3 :

يكون لمثلثين نفس المساحة إذا وإذا فقط كان لهما نفس مجموع قياسات

الزوايا البر

هـان :

التوازي 4-3 ــة , أن بعمود مشترك ــاء دراســتنا للهندســة اإلقليدي ــا أثن الحظن

العمودين على مستقيم واحد متوازيان , كمـا أن العمـود على أحـد مسـتقيمين متـوازيين يكــون عموديــاR على األخــر ,وعليــه يوجــد عــدد ال

نهائي ــتقيمين ــ ــ ــتركة بين مس ــ ــ ــدة المش ــ ــ من األعم

ــوازيين , ــإن متـ ــة فـ ــة الزائديـ ــا في الهندسـ أمـان لكن ذـلك العـمودين على مـستقيم واـحد متوازـيالعـمود وحـيداR , ألن وـجود عـمود مـشترك آـخر على كال المســتقيمين يعــني وجــود مســتطيل , وهــذا

ة ) اقض نظرـي ذا 2-1-4يـن ق عـادة على ـه ( , ويطـلالنوع من التوازي ) توازي بعمود مشترك (

-3-4نظرية 1

ــتقيم ــان للمس ــاط L إذا ك زوج من النقالمــوازي mالمتســاوية البعــد عن المســتقيم

أقصـر L , m فـإن للمسـتقيمين L للمسـتقيمقطعة مستقيمة عمودية على كل منهما

البرهان:

ــد عن L على A , B لتكن متســاويتي البعm ولتكن , C , D ــقطيهما على . إذاm R مس

AC≅BD, من Rكمــا أن كالAC , BD عمــودي ربـاعي الخيـام–ABCD , وعليـه فـإن mعلى

AB , CD منتـصفي E , Fـسكاري. واآلن لتكن RإذاEF

أقـصر EF,كـما أن L , mعـمودي على ـكل من ,ACمن كل من

BD( 2-1-4 حسب نظرية. )

2-3-4 نظريةللمستقيمين كان فإنهما L،Mإذا ، Rمشتركا Rعمودا

. وحيد العمود ذلك وإن ، متوازيانكانت إذا أنه العمود F،Eكما تقاطع نقطتي

مع ، L،Mالمشترك التوالي علىإن L ABوكانت القطعة Eبحيث ،ABمنتصف

Aفإن ، B عن البعد . Mمتساويتي

3-3-4نظرية مشترك بعمود متوازيين مستقيمين عن البعد

المشترك، العمود عند يمكن ما أقل يكونالعمود عن بعدنا كلما بينهما البعد ويزداد

الجهتين من .المشترك

التوازي بدون عمود مشترك ..

تتناول في هذا البند نوعاR من التوازي يطلق عليه التوازي الحدي ويختلف عن

سابقه بأنه إذا توازى مستقيمان حديا~ فال عمود

مشترك بينهما، كما أنه إذا توازى مستقيمان

باتجاه معين فقد ال يكونا متوازيين في االتجاه اآلخر.

والزاويتين المتبادلتان)المتناظرتان( اللتان يكونهما قاطع المستقيمين

متوازيين حدياR ال تتساويان. كما أنه يسمح لنا بدراسة نوع معين من ثالثيات األضالع يطلق عليها

المثلثات التقاربية .

-4 تعريف4-1

كان (أ) عن A L ،AB LمستقيماL ،Rإذا ،فيقال

للمستقيم ACالشعاع أيمن حدي موازي ،إذا Lأنه

بين شعاع كل Lيقطع ABو ACكان

األيسر الحدي الشعاع نعرف الطريقة بنفس و

Lللمستقيم

شعاعين( ) عن يقال ABب ، CD R حديا متوازيان أنهما

النقطة كان Aمن المستقيم ABإذا من CDيوازي

من B ،Dوكانت Aالنقطة واحد جانب من

ACالمستقيم

مالحظة : AB L AB L بينما AB L L AB

ووحدانية اآلنو وجود تتضمن التي اآلتية المبرهنة إلى. معلوم لمستقيم الحدية الموازيات

نظرية 4-4-1:

مستقيم نقطة L لكل كانت , Aولكل إذاB العمود مسقط

من :Lعلى Aالنازل فإن

-) وحيدان أ) شعاعان جهتين AD,ACيوجد فيمن يوازي ABمختلفتين منهما Lكل

-) بالنقطة ب) مار شعاع فقط Lيقطع Aأي وإذا إذابين Rواقعا .AD,ACكان

-) .CAB = ∡ DAB∡ ج)

كان نتيجة : للمستقيم AD , ACإذا حديين موازيينL النقطة , Aمن L Rعلى Aمسقط Bوكانت كال فإن

DABمن , CAB∡. حادة ∡

: الزاويتين مالحظة من أي على يطلقالنقطة CAB , DABالمتطابقتين عند التوازي Aزاوية

للمستقيم أن Lنسبة كما بالرمز لقياسها ويرمزنظرية ) نتيجة ( .1 – 4 – 4حسب

و اآلن إلى بعض خواص الموازيات الحدية والمبرهنات اآلتية:

نقاطه : 2-4-4نظرية أحد عند مستقيم وازى إذايوازي فإنه معين اتجاه وفي معلوم مستقيم

وفي نقاطه من نقطة كل عند المعلوم المستقيم. االتجاه نفس

كان :3-4-4نظرية للمستقيم mإذا Rحديا RموازياL للمستقيم Lفإن حدي .mموازي

حديا : 4-4-4نظرية موازيا ، من كل كان إذافإن ، للشعاع للشعاع حدي موازي

فإن : 5-4-4نظرية ، حديا مستقيمان توازى إذامع قاطع يكونهما اللتان المتناظرتين الزاويتين

تتساويان ال المستقيمين

ABEF CDABCD

( : 1نتيجة يكونهما) اللتان المتبادلتان الزاويتان أ. تتساويان ال حديا متوازيين لمستقيمين قاطع

) الواقعتين) الداخليتين الزاويتين قياسات مجموع بجهة على

من أقل متوازيين لمستقيمين قاطع من 180واحدة

كان : 2نتيجة m Rإذا حديا موازياللمستقيمين Lللمستقيم مشترك عمود يوجد ،فال

L , m. خواصها ودراسة التقاربية المثلثان تعريف إلى واآلن

كان : 2-4-4تعريف ذا مستقيمين AB , CDإ

الشعاعين , اتحاد فيسمى حديا AB,CDمتوازيين

المستقيمة تقاربي ACوالقطعة مثلث أو أضالع ثالثي

) أ)بالرمز التقاربي للمثلث عادة ( CD,ABأو)ABCDيرمز

المثلث A,Cويسمى رأسي

, وتسمى,AB,CD,ACالتقاربي زوايا CAB ACDأضالعه

. التقاربي المثلث

∡∡

A A

CB

D

ي

خلدا

عضل

خارجي ضلع

المستقيمين التقاء نقطة تسمية على اصطلح وإذا

. بالرمز لها ورمزنا المثالية بالنقطة Rحديا Ωالمتوازيين

أن أو ACΩقلنا مثالية نقطة رؤوسه أحد أضالع ثالثي

أضالع ثالثي حوى إذا أما مثلث أو أحادي تقاربي مثلث

ثنائي تقاربي مثلث سمي مثاليتين ( نقطتين ( وإذا ب

مثلث سمي مثالية نقاط ثالثة أضالع ثالثي حوى

) ( األول النوع على اهتمامنا وسنذكر ج ثالثي تقاربي

. التقاربية المثلثات كان 6-: 4-4نظريةمن وكانت AbΩإذا Rتقاربيا RمثلثاP داخل نقطة

AbΩفإن

) و) رأسيه أحد بين الواصل المستقيم .Pأ األخر الضلع يقطع

) بالنقطة) المار المستقيم من Pب لكل ABيقطع AΩ,BΩموازيا

( البرهان : ان) بما الزاوية Pأ داخل تقعBAΩ ,الزاوية أن, ABΩوداخل AΩ,BΩوبما

, إذا حديا يقطع BPو BΩيقطع APمتوازيانAΩ.

p L

A

B C

Ω

) أن) نفرض بالنقطة Lوليكن Cفي BΩيقطع AP ب مارا مستقيما

P من لكل RموازياAΩ,BΩ , R (. ABيقطع Lإذا باش ) نظرية حسب

تقاربي : 7-4-4نظرية مثلث أضالع احد مستقيم قطع ABΩإذا

, الضلعين من أحد يقطع فانه الثالثة رؤوسه من بأي يمر ولم

الخارجية األضالع ألحد Rحديا Rموازيا يكون ال أن على .AΩ, BΩ اآلخرين

( البرهان: ليكن) للضلع Lأ قاطعا Cفي AΩمستقيماR جزئ , 2أو 1يجزئ Lإذا فإذا

يقطع 1 ( ABفإنه ياش) نظرية حسب

جزئ المثلث BΩيقطعL،فإن 2وإذا حسب BCΩمن

أ(6-4-4نظرية)

) كان) إذا للضلع L ب Rقاطعا RمستقيماAB نقطة في

لـ DΩفليكن, Dمثل حدي AΩ R موازي حدي DΩإذا موازي

أن, BΩللضلع يختلفLوحيث

,DΩعن إذن جزي, 2أو 1يجزيLبالفرض فإنه 1فإذا

جزي,, AΩيقطع يقطع 2وإذا فإنه ،BΩ( نظرية -4-4حسب

أ( 6

A

B

∡∡∡

C

Ω

1 2

L

A

B

L

D1

2Ω

∡

∡∡

مثلث : 8 – 4 – 4نظرية في الخارجية الزاوية

المقابلة الداخلية الزاوية من أكبر تقاربي

لمجاورتها.

أن البرهان: م ABΩنفرض تقاربي ضلعه ~دمثلث

AB مثل نقطة أن Cإلى نثبت الحظ 3 >1ولكي

m+)1 ( m ( 2 < ) 180أن

نظرية ) نتيجة أن( 4–4–4حسب كما180( = 2 ) m + ) 3 ( m

:R فإن 1 + 2 < 2 + 3إذا 3 > 1وعليه

∡∡∡∡

∡∡

∡∡ ∡∡∡∡C

التقاربية المثلثات تطابق إلى واآلن-: اآلتي والتعريف

مثلثين :3 – 3 – 4تعريف عن يقال

تقاربين

AB Ω ، CDΩ كان إذا متطابقان أنهما

ABCD ، DCΩ BA Ω , CD Ω

AB Ω

∡∡ ∡ ∡

:9 – 4 – 4نظرية

المثلثا والضلع نالتقاربيا نيتطابق زاوية طابقت إذا

. اآلخر في نظيريهما أحدهما في الداخلي

:10 – 4 – 4نظرية

تطابق تقاربين مثلثين في الداخلية الزوايا تطابقت إذا

المثلثان

نوعين وجود على تؤكد التي اآلتية المبرهنة إلى 3 وأخيرا

المتوازية المستقيمات من فقط

:11 – 4 – 4نظرية

كان أن L mإذا حدي mبحيث موازي شعاع يحوي ال

للمستقيم Lللمستقيم مشترك عمود .L,mفيوجد