121 TITRANJE

FIZIKA

II SEMESTAR

2012/13

2

TITRANJE je periodino gibanje oko poloaja ravnotee. Periodino gibanje je gibanje koje se ponavlja nakon odreenog vremenskog intervala; period, T.

PRIMJERI: njihalo, elastina opruga, molekule u vrstom tijelu, valovi zvuka, svjetlost, ....

Na gornjoj slici prikazani su pomaci tijela od poloaja ravnotee, 0. x1 i x2 su bilo koji pomaci od poloaja ravnotee; ti pomaci se nazivaju

ELONGACIJE. Maksimalna elongacija je AMPLITUDA, A.

x2x1

0

xmax = A

0 0 0 0

xmin = - Ax = 0x = 0

3KAKO NASTAJE TITRANJE?

Promatramo sustav koji se sastoji od opruge, konstante elastinosti (opiranja)k, na koju je objeeno tijelo mase m. Na tijelo djelujemo vanjskom silom, Fv , izvlaei ga iz poloaja ravnotee za neki pomak x. Zatim tijelo pustimo.

Na tijelo djeluje sila koja ga nastoji vratiti u poloaj ravnotee; ta sila djeluje linearno sa pomakom (na istom pravcu) a u smjeru suprotnom od pomaka. Ako su pomaci (x) mali, sila se naziva HARMONIJSKA SILA, koja u skladu s navedenim svojstvima zadovoljava relaciju: F = - kx

+

-

x

0

+A

-A

Fv

k

m

4

Vanost i karakteristike HARMONIJSKE SILE (HS)

HS vraa sistem u poloaj ravnotee te je nazivamo i povratnom silom i moemo ju oznaavati sa FP ili FH .

Pod utjecajem HS sistem vri gibanje oko ravnotenog poloaja koje je periodino. Gibanje se odvija prema potpuno odreenim pravilima (jednadbama, funkcijama) i naziva se TITRANJEM.

Jednadba HS ima oblik: F = - k xHS je proporcionalna (linearna) s pomakom (x) od poloaja ravnotee,

0, te se radi tog svojstva sila naziva linearna ili harmonijska (pri tom su linearnost i harmoninost sinonimi). Linearnost vrijedi za male pomake, x.

HS djeluje u smjeru suprotnom od smjera pomaka (x) od ravnotee; harmonijska sila nastoji vratiti tijelo u poloaj ravnotee.

Konstanta proporcionalnosti izmeu sile i pomaka, k, posjeduje svojstva sistema koji titra; ova konstanta se izvodi iz jednadbe gibanja za titranje.

5NEKI PRIMJERI PERIODINIH GIBANJA

Atom, openito (1) Atom, element bor, B (2) Molekula, metan, CH4 (3)

1

2

3

6

NEKI PRIMJERI PERIODINIH GIBANJA

ZATO SE TIJELO NE ZAUSTAVI KADA SE VRATI U POLOAJ RAVNOTEE (x = 0) ?

Odgovor: U poloaju ravnotee elastina sila jednaka je nuli (x = 0), ali u tom poloaju je brzina tijela najvea. Tijelo se nastavlja gibati radi tromosti (inercije) u smjeru brzine ; Newtonovi zakoni.

4. ura njihalica

pomak, elongacija (x)

5. opruga

7DJELOVANJE HARMONIJSKE SILE (elastine sile) NA GIBANJE OPRUGE

Obratite panju: navedena dva smjera uvijek su suprotna !

tijelapomakasmjerx rsileelesticnedjelovanjasmjerFel

U gornjem prikazu harmonijska sila naziva se i elastina sila, s oznakom Fel , budui da konstanta proporcionalnosti, k, oznaava elastina svojstva opruge.

8

Kakvo gibanje vri tijelo pod djelovanjem harmonijske sile u procesu titranja ?

SILA F = - kx konstanta GIBANJE JE NEJEDNOLIKO, II NZ (Newtonov zakon)JEDNADBA GIBANJA glasi:

xkamxkF

R

R

==

2

2

dtxd

dtdvaR ==02

2

=+ xkdtxdm

akceleraciju moemo prikazatikao prvu derivaciju brzine ili drugu derivaciju puta po vremenu.

dobili smo diferencijalnu jednadbu drugog reda, ije rjeenje moemo pretpostaviti u obliku trigonometrijske funkcije (kosinus ili sinus)

9PRETPOSTAVLJAMO RJEENJE JEDNADBE x(t) kao trigonometrijsku funkciju; kosinus ili sinus, ovisno o tome gdje poinjemo mjeriti vrijeme. Ako odaberemo sinus funkciju za jednadbu gibanja, to znai da smo za poetak gibanja odabrali ravnoteni poloaj: za = 0, a to znai za t = 0 x(0) = 0, dakle x(t) je:

)(,sin)( tfjegdjeAtx == pomak je funkcija vremena preko funkcije kuta.

Kako moemo u jednadbi x(t) = A sin kut prikazati kao funkciju vremena; = f (t) ? sjetimo se definicije kutne brzine:

tt

ilit

===

10

kutnu brzinu (ili krunu frekvenciju) , , moemo prikazati za puni titraj, T, koji odgovara punom kutu, 2, na nain:

T

x = sin (t)

, t

-A

+A

ff

TradiT

=== 212 slijedi: tft == 2

tT

Atx

tfAtxtAtx

==

=

2sin)(

2sin)(sin)(

Pretpostavljeno rjeenje moemo sada izraziti kao funkciju vremena:

11

( )+= tAtx sin)(

U pretpostavljeno rjeenje moramo staviti POETNE UVJETE:

00 )0()0(,0 vvxxtza ===

( )( ) =+=

=+=cos0cos

sin0sin

0

0

AAvAAx

(1)

(2)

Podijelimo li gornje jednadbe, (1)/(2), slijedi izraz za fazni kut:

0

0

vxtg =

Kvadriramo li jednadbe (1) i (2) te ih zbrojimo, dobivamo izraz za amplitudu:

202

02

+= vxA

Poetni poloaj x0 izraava se kutom koji se naziva fazni pomak,pomou kojeg je definiran opi oblik rjeenja gibanja:

Poetni uvjeti izraeni su pomou :

ovo je ope rjeenje jednadbe titranja

12

x-t DIJAGRAMI TITRANJA promjene poloaja tijela prikazujemo tokom vremena

x - elongacija,

A - amplituda

T - period

x

t

A

T

Na slikama 1., 2. i 3. prikazane su matematike funkcije koje prikazuju periodino ponavljanje neke fizikalne pojave; prikazani segmenti vremenskih funkcija ponavljaju se nizom perioda, T.

x

t

x

t

TT

13

RJEENJE JEDNADBE TITRANJA, x(t), i njeni uvjeti dobiveni iz jednadbe gibanja

Harmonijska sila: xkFH =

u jednadbu gibanja uvrtavamo rjeenje x(t) i drugu derivaciju a(t) kut je fazni pomak koji opisuje poloaj tijela na poetku gibanja;

u t = 0 x(0) = x0 = Asin , v(0) = v0 = Acos , ve pokazano

( )+= tAtx sin)(

2

2

dtxdmamF ==Sila, 2 Newtonov zakon:

jednadba gibanja, F = FH :

( ) )(sin)( 2222

txtAdt

txd =+=

x

trenje pomaci mali

0)()(22

=+ txkdt

txdm

u gornjoj jednadbi pojedini lanovi su:

14

RJEENJE JEDNADBE TITRANJA, x(t), i njeni uvjeti dobiveni iz jednadbe gibanja..nastavak

2= mk

mk=

kmT = 2

Sada moemo potvrditi da je pretpostavljeno rjeenje jednadbe titranja HARMONIJSKOG OSCILATORA ispravno, uz uvjet koji mora zadovoljavati vrijednost za krunu frekvenciju, , i period titranja, T:

Vana napomena: PERIOD TITRANJA (i frekvencija) ovisan je o karakteristikama sistema koji titra (k, m); ne ovisi o amplitudi, koja je uzrokovana vanjskom pobudom, Fv.

0)()(2 =+ txktxm Nakon uvrtavanja dobivamo jednadbu:

( )+= tAtx sin)(

15

Prikaz svih jednadbi, x(t), v(t), a(t) HARMONIJSKOG TITRANJA:

Ako je rjeenje za promjenu poloaja x(t) sinusna funkcija oblika:

( )+= tAtx sin)( brzina v(t) jednaka je prvoj derivaciji promjene poloaja po

vremenu:

akceleracija a(t) jednaka je prvoj derivaciji promjene brzine po vremenu ili drugoj derivaciji promjene poloaja po vremenu:

( ) )(sin)( 2222

txtAdtxdta =+==

( ) ( )+=+== tvtAdttdxtv coscos)()( max

16

DIJAGRAMI GIBANJA, x(t), v(t) i a(t), u jednom primjeru

- funkcije promjene poloaja, brzine i akceleracije ovisne o vremenu:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

40

20

20

4032

31.998

x t( )v t( )a t( )

50 t

t

( )ttx = 4sin2)(( )ttv = 4cos8)(( ) )(164sin32)( txtta ==

zadano je:

0/4

2

===

sradcmA

T = 2/4 = 1,57 s; ista vrijednost periode za sve funkcije; x(t), v(t), a(t)

170 1 2 3 4 5 6 7 8

-30

-20

-10

0

10

20

30

x(t),

v(t

), a(

t)

vrijeme, t (s)

x(t) v(t) a(t)

Dijagram s prethodnog crtea; detaljnije prikazan:

( )ttx = 4sin2)( ( )ttv = 4cos8)(( ) )(164sin32)( txtta ==

18

FIZIKALNE VELIINE KOJE OPISUJU TITRANJE:

ELONGACIJA, (x) pomak u odnosu na ravnoteni poloaj u bilo kojem trenutku

AMPLITUDA, (A) maksimalni pomak od ravnotenog poloaja PERIOD, (T) vrijeme potrebno za jedan titraj FREKVENCIJA, (f ) broj titraja (okretaja, ophoda) u jedinici

vremena, f = 1/T

KRUNA FREKVENCIJA (kutna brzina), () = 2f, broj (vrijednost) radijana u jedinici vremena, ili: prevaljen kut u jedinici vremena, izraen u radijanima

FAZA, () poetni pomak, poloaj (mjeren kao kut)

19

PRIMJERI ZA TITRANJE

Jednoliko kruno gibanjeMatematiko njihalo

20

JEDNOLIKO KRUNO GIBANJEI HARMONIJSKO TITRANJE Obodna brzina:

y

xvob

TIT

RA

NJE

iznos obodne brzine, vob (m/s) je konstantan smjer obodne brzine se mijenja vrijeme ophoda (T) je period

krunog gibanja

Kutna brzina (kruna frekvencija):

fTt

=== 22

Tr

txvv obob

2, ==rr

kutna brzina, (s-1) , je kut (izraen u radijanima) preen u jedinici vremena

kutna brzina je proporcionalna frekvenciji prikazanom relacijom

21

JEDNOLIKO KRUNO GIBANJE I HARMONIJSKO TITRANJE nastavak

Kruno gibanje moe se promatrati u vremenu kao promjena projekcije poloaja toke M na jednu od osi.Odabrana je os x, oznaena na slici. Promjena te projekcije je prikazana vremenskom ovisnou:

tRAtx == sinsin)(

( ) ( ) ( )2

22

2

,

),(

sinsin

sin

mktxk

tRmtRRmRvmF XCP

====

=

y

x vo

TIT

RA

NJE

M

A= R FCP, X x

RFCP

FCP, x (centripetalna sila) ima svojstva (harmonijske) elastine sile; taj dio centripetalne sile moe se prikazati izrazom:FCP,x = - kx(t)

22

Titrajni sustav sastoji se od tanke niti duljine l i na nit objeenog malog tijela mase m (zanemarive mase). Pomak tokom titranja je mali, x 0.

SILE, koje djeluju na tijelo u sustavu njihala:

G. teina tijela

G1. komponenta teine tijela koja je uravnoteena silom napetosti niti, FNG2. komponenta teine tijela kojom se tijelo vraa u poloaj ravnotee i nastavlja periodiko gibanje. Pokazat emo da ova sila ima svojstvo HARMONIJSKE SILE; tj da je proporcionalna s pomakom, - x.

lFN

G=mg

G1=Gcos

G2=Gsin

MATEMATIKO NJIHALO I HARMONIJSKO TITRANJE

23

FN

G1

G2

G

lx

MATEMATIKO NJIHALO I HARMONIJSKO TITRANJE .

Sila koja vraa njihalo u poloaj ravnotee:G2 = - mg sin (slika)Za male kutove, sin x / l, sila G2 je elastina i ima oblik koji zadovoljava uvjet za harmoniko titranje: a) suprotna je smjeru pomaka iz ravnoteeb) proporcionalna je pomaku:G2 = - mg x/l = - (mg/l) x, G2= FH = -kx k = mg/lBudui da je k = m2 , moemo dobiti izraz za period njihala, T:

glT

Tradi

lgm

lgm ==== 2)2(;2

24

ENERGIJE TITRANJAHARMONIKOG OSCILATORA (HO)

x

uloeni rad jednak je promjeni potencijalne energije (slika i graf):

POTENCIJALNA ENERGIJA:

KINETIKA ENERGIJA:

tAktxktEP == 222

sin22

)()(

tAmtvmtEK == 2222

cos22

)()(

tAktEK = 22

cos2

)(radi: m2 =k

F

x

xkFH =

W

PH ExkxFW ==

22

2

25

UKUPNA ENERGIJA TITRANJA

( )2

cossin2

)(2

222 AkttAktEUK

=+=

konstAmtEUK == 22

2)(

tAktAktEtEtE KPUK +=+= 22

22

cos2

sin2

)()()(

= 1

Ukupna energija harmonijskog oscilatora, EUK, je konstantna; pri tom su konstantne amplituda, A, i kutna frekvencija, :

26

Q(x) DIJAGRAMI: prikazi fizikalnih veliina Q (y-os);

Q moe biti: FHO, EK, EP

2)()(

2 txkxEP=

b) Energije u E(x) dijagramu suparabole smjetene oko 0 poloaja:

EP(x) raste do poloaja x = A EK(x) pada do poloaja x = A:

( )2

)(sin12

cos22

)()(

22

2

2222

txkEtAk

tAmtvmtE

UK

K

==

==

EkEp

Euk

x

FHO

Q

a) harmonijske sile FHO u intervalu x-osi (-A , +A) du koje se dogaa titranje; pravac, .. F = -kx

-A +A

27

KOD REALNIH TITRANJA ( titranja u prirodi) mogua su:

PRIGUENA TITRANJA . nastaju radi trenja izmeu sistema koji titra i njegove okoline

PRISILNA TITRANJA . tijelu koje titra nametnuta je vanjska sila sa svojom frekvencijom

AKO NEMA TRENJA ILI VANJSKE POBUDE, UKUPNA ENERGIJAHARMONIJSKOG OSCILATORA JE KONSTANTNA ; TIJELO TITRA S KONSTANTNOM AMPLITUDOM I FREKVENCIJOM. 2

,2

22

22

AmE

mkAkE

UK

UK

=

==

28

PRIGUENO TITRANJE

KOD REALNOG TITRANJA POSTOJI TRENJE I AMPLITUDA SE SMANJUJU; PERIOD TITRANJA, T, (i frekvencija, ) ostaju isti.

JEDNADBA GIBANJA

( je faktor priguenja):

RJEENJE

jednadbe gibanja:

amplituda se smanjuju

tmeAtAjegdjettAtx== 20)(,sin)()(

dtdxxk

dtxdm = 2

2

29

PRIGUENO TITRANJE nastavak

neprigueno titranje

Amplituda se smanjuje na nain, da je omjer susjednih amplituda konstantan broj:

konstAA

n

n =1

k

m

prigueno titranje

30

JEDNADBA PRISILNOG GIBANJA (uz priguenje, ) u opem sluaju je:

Prisjetimo se: kod harmonijskog titranja (bez trenja i bez vanjske sile) period ,T0, vlastita frekvencija, f0 , i kruna frekvencija0 , zadani su relacijama (pri tom smo ove veliine oznaili indeksom, 0 , :

PRISILNO TITRANJE

. NASTAJE KADA SE TIJELU NAMETNE VANJSKA PERIODINA SILA, Fv = F0sin(t), ija kruna frekvencija je .

000

00 2,1,2 fT

fkmT ===

tFdtdxkx

dtxdm sin02

2

+=

31

PRISILNO TITRANJE nastavakHarmonijski oscilator vri istodobno vie gibanja uz prisustvo vanjske prisilne sile i uz faktor priguenja. Ako zanemarimo faktor priguenja, ( = 0), nakon nekog vremena harmonijski oscilator titrat e frekvencijom vanjske pobude, Fv, (prisilne sile, periodike sile) u stacionarnom (vremenski stabilnom) stanju.

Rjeenje za gibanje tada je dano jednadbom:

Frekvencija prisilnog titranja jednaka je frekvenciji periodine sile, a amplituda ovisi o a) vlastitoj frekvenciji harmonijskog oscilatora, 0, i b) o frekvenciji periodike sile, .

amplituda:

220

0

0 ),( ==mF

fAtmF

tx sin)(0 220

0

==

32

REZONANCIJA !

Kada je frekvencija vanjske sile, ,jednaka vlastitoj frekvenciji, 0 , amplituda, A, tei prema beskonano velikoj vrijednosti (dijagram); rezonancija.

== 00

20

20

0

mF

mF

A

2

0=Q

220 2 =r

ampl

ituda

za 0A

faktor priguenja:

PRISILNO TITRANJE nastavak

33

TITRANJE zadaci

34

1. Napiite izraz za elongaciju harmonijskog titranja ako je amplituda 2 cm i period titranja 2 s. U poetnom trenutku je elongacija je 1cm, a poetna brzina je pozitivna.

zadano:A = 2 cm, T = 2 sx0 = 1 cmv0 > 0-------x(t) = A sin(t+) = ?

= 2f = 2 /T = 2 /2 = rad s-1

)2()1(

:.?

202

02

0

0

+==

=

vxAvxtg

jedniz

Iz (2) scmv /30 =Iz (1)

6,30

31

)(3)(1)(

0

1

1

0

0

==

===

scmcms

vxtg

Rj: x(t) = 2 (cm) sin(t+/6) ili: x(t) = 2 (cm) sin(t+1/6)

35

2. Kako glasi jednadba gibanja estice (izraz za elongaciju ovisnu o vremenu; x(t)) koja harmonijski titra sa amplitudom 7 cm i u jednoj minuti uini 120 titraja? Poetni fazni kut je 900. Prikaite grafiki.

zadano:A = 7 cmf = 120 o/min =120/60 = 2 o/s = 900 = /2-------x(t) = A sin(t+) = ?

= 2f = 2 2 = 4 rad s-1

Rj: x(t) = 7 (cm) sin(4t+/2)= 7 (cm) cos(4t)

(radi: sin (+/2) = cos() )

36

3. Tijelo titra sa amplitudom 10 cm i u 12 s uini potpuni titraj. Za koje e vrijeme tijelo postii elongaciju od 5 cm ako je u poetnom trenutku (t = 0) elongacija nula x(0) = x0 = 0?

4. Amplituda titranja je 5 cm, vrijeme titraja 4 s, a poetna faza je /4. Napii jednadbu titranja i nai elongacije za t = 0 i t = 1,5 s.

zadano:A = 10 cmf = 1/12 s-1x(t) = 5 cmx0 = 0-------t = ?

000

0 ===vxtg radi u t = 0 i x0 = 0

x(t) = A sin(t+) 5 = 10 sin (t) sin(t) = kut t = 300 = /6 rad 2f t = /6 2(1/12)t = /6 t = 1 s

zadano:A = 4 cmT = 4 s, =2f = /2= /4x(t) = ?x(0) =?, x(1,5 s) = ?

x(t) = 5 sin((/2)t + /4) = 5 sin /2(t + )x(0) = 5 sin /4 = 5 sin 450 =x(1,5) = 5 sin /2(3/2 + ) = 5 sin = 0 cm

25,2225 =

37

5. Materijalna toka harmonijski titra prema jednadbi:

x(t)=3sin(0,5 (s-1) t). Za koje e vrijeme toka prijei put od poloaja ravnotee do maksimalne elongacije.

6. Koliki put prevali estica u jednoj sekundi ako titra frekvencijom 300 Hz sa amplitudom 0,5 mm?

U izrazu x(t) = 3sin(0,5 t) maksimalna elongacija (put), x(t) = xmax = A postie se za = t = /2; tj maksimum sinus funkcije je za 900 ili /2,a to znai: 0,5 t = /2 t = 1 s. Ili: izraunamo period, T=4 s; maksimum sinus funkcije se postie za T/4=1s

zadano:t = 1 sf = 300 HzA = 0,5 mmsuk = ?

1 titraj..estica prevali 4A to znai: s1 = 40,5 mm = 2 mm

300 titraja (u jednoj sekundi) to znai: s300 = 300 s1 = 600 mm = 0,6 m

38

7. Uteg mase 1 kg visi na elastinoj opruzi i titra gore-dolje po stazi dugoj 20 cm. Period titranja je 4 sekunde. Odredite:a) brzinu i akceleraciju utega u trenutku kada prolazi poloajem ravnotee, b) maksimalnu elastinu silu koja djeluje na uteg i c) maksimalnu kinetiku energiju utega

zadano: m = 1kg2 A = 0,2 m A = 0,1 mT = 4 s-------=2/T=2/4= /2k=m2=2,467 N/m

a) v = ? a = ? za tR = ? vrijeme ravnotenog poloaja, tR , odabiremo iz uvjeta: x(tR) = A sin tR = 0 za kutove tR = 0, , 2, 3. odabiremo tR = /2 tR = tR = 2 sUvrtavanjem u izraz za brzinu slijedi: v(tR) = A cos = - 0,157 m/sna analogni nain dobivamo iz izraza za akceleracijua(tR)=-A2sin = 0

b) Fel, max = -kxmax = -kA = - 0,25 N ( k dobijemo iz izraza k = m2 2,5 N/m)c) Ek, max = kA2 = 0,0123 J

+10

-10

39

8. estica mase 20 g titra harmonijski sa amplitudom 150 cm. Koliki je period titranja ako je energija titranja 0,5 J.

zadano:

m = 0,02 kgA = 1,5 mEuk = 0,5 J----------T = ?

sTTAm

E

AmE

mkAkE

UK

UK

UK

33,1,2,22

,2

2

22

22

===

=

==

40

9. Elongacija harmonijskog oscilatora odreena je sa jednadbom: x(t) = A cos( (s-1) t + /8) . Nakon kojeg vremena potencijalna i kinetika energija titranja prvi puta postaju meusobno jednake?

Iz jednadbe oscilatora x(t) vidimo da kutu t+ odgovara vrijednost: t+ = t +/8 /4 = t +/8 t = 1/8 s

Energije e biti iste za vrijednosti kutova:

4451)(

)(cos)(sin

02

22

==+=++=+

tttg

tt

)(cos2

)( 22

+= tAktEP

)(sin2

)( 22

+= tAktEK

41

sin2 cos2

sin2

cos2

/4

uz zadatak 9.

42

10. Titranje estice mase 20 g opisano je jednadbom x(t) = 2,5 cm cos(10 s-1 t). Odredite energiju estice.

Rj: Euk = 0, 625 mJ

m = 0,020 kg

= 10 s-1 k = m 2 = 2 kg s-2

Euk = kA2= 2(2,510-2 )2= 6,2510-4 J = 0,625 mJ

43

11. Energija estice koja harmonijski titra je 0,03 J. Koliki je maksimalni pomak estice iz poloaja ravnotee (amplituda, A) ako je maksimalni iznos sile na esticu 1,5 N.

Rj: A = 4 cm

?5,103,0

max

===

ANFJEUK

cmmA

AAA

k

AkAkF

AkkAEUK

404,05,103,02

5,12103,05,1

5,1......2103,0.....

21

2

max

22

===

==

====

2 je

dnad

be

sa2

nepo

znan

ice

44

12. Ako se uteg mase 5 kg objesi na oprugu ona se produi za 49 cm. Odredite: a) konstantu opruge i b) ako se uteg izvue 10 cm iz ravnotenog poloaja odredite:

poloaj, brzinu i akceleraciju za t = 0,35 s kolikom silom djeluje opruga u tom trenutku period i frekvenciju titranja

?,?)35;0(?)35,0(?)35,0(?)35,0(

35,0)?)

10505

=====

==

===

fTFavx

sttrenutkuubka

cmAcmxkgm

( )

( )sTsof

NxkFsmAradAta

raduzsmradv

raduzmradradx

mk

tAtxstmAbmN

xmgkkxmgGFa

4,1,/71,052

101,0100)35,0(35,0/2565,1sin)(

0565,1cos....../0565,1cos1,0)35,0(

1565,1sin.....1,0565,1sin1,035,052sin1,0)35,0(

52205

100

sin)(,35,0,1,0)

1005,0105)

222

======

====

===

=======

=========

45

13. Neka se elastina opruga produlji za 30 cm kada na nju objesimo uteg odreene mase. Koliko je vrijeme titranja tog utega ako ga povuemo malo dolje i pustimo ga titrati?

zadano:

x = 30 cm = 0,3 mFel = G = mg T = ?---Rj: T = 1,09 s

sgxT

T

xg

mxmg

mkmkb

xmg

xGka

09,110

3,02222

)

)

2

=====

====

==

46

14. Kolika je duljina sekundnog njihala? Napomena: U ovom zadatku moramo upotrijebiti slijedee podatke: a) perioda sekundnog njihala je T = 2 s (tj. tom njihalu je vrijeme od 1 s

jednako jednom titraju, to je pola periode i b) g = 9,81 m/s2.

zadano: T = 2 s, g = 9,81 m/s2 mT

glglT 993,0

42 22 ===