2525 从力做功到向量的数量从力做功到向量的数量

积　　　积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

内乡职专

李海品

2011 年 5 月

如果一个物体在力 F作用下产生位移 S那么F所做的功为

θ表示力 F 的方向与位移 S 的方向的夹角

位移 SO A

θF

F

θS

W=FSCOSθ

一 力做功的计算

二 两个向量的夹角

b

a

OA OB已知两个非零向量 a b =a = b

则ang AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角

记作 lta bgt

并规定 0le lta bgt leπ B

O A

（ 1 ）求两向量的夹角应保证两个向量有公共起点若没有须平移使它们有公共起点 b

a

B

O AO AaBb

B b aO A

Aa

O

B

b

（ 2 ）〈 a b 〉 = 〈 b a 〉（ 3 ）范围 0le 〈 a b le〉 π

（ 4 ）〈 a b 〉 =0 时 a b 同向

〈 a b 〉 =π 时 a b 反向

〈 a b 〉 = 90deg 时 a perpb

（ 5 ）规定在讨论垂直问题时零向量与任意向量垂直

几点说明

三 向量的数量积（内积） 定义 叫做向量 a 和 b 的数量积（或内积）记作 amiddotb

即 amiddotb =

cos a b a b

cos a b a b

a

b

B

AO

cos baba

cos|| b

1 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上射影的数量 |b|cos 的乘积

数量积 的几何意义

2 两个向量的数量积是一个实数符号由cos 〈 a b 〉的符号所决定而数乘向量是一个向量

O A

B

a

b

1BO A

B

a

b

)( 1B

θ 为锐角时| b | cosθ ＞ 0

θ 为钝角时| b | cosθ ＜ 0

θ 为直角时| b | cosθ=0

B

O Aa

b

1B

量的数量积为 03 规定零向量与任意向 00 a4 a middot b 不能写成 atimesb atimesb 表示向量的另一种运算

两个向量的数量积的性质

设 a b 为两个非零向量 e 是与 b 的单位向量 1 ea = ae =|a|cos

2 ab ab = 0

3 aa = |a|2 或 aaa ||

4 cos = |||| ba

ba

5|ab| le |a||b|

内积为零是判定两向量垂直的条件

用于计算向量的模

用于计算向量的夹角 以及判断三角形的形状

数量积的物理意义

两个向量的数量积就是功即力与其方

向上的位移的数量积 FmiddotS

自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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如果一个物体在力 F作用下产生位移 S那么F所做的功为

θ表示力 F 的方向与位移 S 的方向的夹角

位移 SO A

θF

F

θS

W=FSCOSθ

一 力做功的计算

二 两个向量的夹角

b

a

OA OB已知两个非零向量 a b =a = b

则ang AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角

记作 lta bgt

并规定 0le lta bgt leπ B

O A

（ 1 ）求两向量的夹角应保证两个向量有公共起点若没有须平移使它们有公共起点 b

a

B

O AO AaBb

B b aO A

Aa

O

B

b

（ 2 ）〈 a b 〉 = 〈 b a 〉（ 3 ）范围 0le 〈 a b le〉 π

（ 4 ）〈 a b 〉 =0 时 a b 同向

〈 a b 〉 =π 时 a b 反向

〈 a b 〉 = 90deg 时 a perpb

（ 5 ）规定在讨论垂直问题时零向量与任意向量垂直

几点说明

三 向量的数量积（内积） 定义 叫做向量 a 和 b 的数量积（或内积）记作 amiddotb

即 amiddotb =

cos a b a b

cos a b a b

a

b

B

AO

cos baba

cos|| b

1 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上射影的数量 |b|cos 的乘积

数量积 的几何意义

2 两个向量的数量积是一个实数符号由cos 〈 a b 〉的符号所决定而数乘向量是一个向量

O A

B

a

b

1BO A

B

a

b

)( 1B

θ 为锐角时| b | cosθ ＞ 0

θ 为钝角时| b | cosθ ＜ 0

θ 为直角时| b | cosθ=0

B

O Aa

b

1B

量的数量积为 03 规定零向量与任意向 00 a4 a middot b 不能写成 atimesb atimesb 表示向量的另一种运算

两个向量的数量积的性质

设 a b 为两个非零向量 e 是与 b 的单位向量 1 ea = ae =|a|cos

2 ab ab = 0

3 aa = |a|2 或 aaa ||

4 cos = |||| ba

ba

5|ab| le |a||b|

内积为零是判定两向量垂直的条件

用于计算向量的模

用于计算向量的夹角 以及判断三角形的形状

数量积的物理意义

两个向量的数量积就是功即力与其方

向上的位移的数量积 FmiddotS

自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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二 两个向量的夹角

b

a

OA OB已知两个非零向量 a b =a = b

则ang AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角

记作 lta bgt

并规定 0le lta bgt leπ B

O A

（ 1 ）求两向量的夹角应保证两个向量有公共起点若没有须平移使它们有公共起点 b

a

B

O AO AaBb

B b aO A

Aa

O

B

b

（ 2 ）〈 a b 〉 = 〈 b a 〉（ 3 ）范围 0le 〈 a b le〉 π

（ 4 ）〈 a b 〉 =0 时 a b 同向

〈 a b 〉 =π 时 a b 反向

〈 a b 〉 = 90deg 时 a perpb

（ 5 ）规定在讨论垂直问题时零向量与任意向量垂直

几点说明

三 向量的数量积（内积） 定义 叫做向量 a 和 b 的数量积（或内积）记作 amiddotb

即 amiddotb =

cos a b a b

cos a b a b

a

b

B

AO

cos baba

cos|| b

1 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上射影的数量 |b|cos 的乘积

数量积 的几何意义

2 两个向量的数量积是一个实数符号由cos 〈 a b 〉的符号所决定而数乘向量是一个向量

O A

B

a

b

1BO A

B

a

b

)( 1B

θ 为锐角时| b | cosθ ＞ 0

θ 为钝角时| b | cosθ ＜ 0

θ 为直角时| b | cosθ=0

B

O Aa

b

1B

量的数量积为 03 规定零向量与任意向 00 a4 a middot b 不能写成 atimesb atimesb 表示向量的另一种运算

两个向量的数量积的性质

设 a b 为两个非零向量 e 是与 b 的单位向量 1 ea = ae =|a|cos

2 ab ab = 0

3 aa = |a|2 或 aaa ||

4 cos = |||| ba

ba

5|ab| le |a||b|

内积为零是判定两向量垂直的条件

用于计算向量的模

用于计算向量的夹角 以及判断三角形的形状

数量积的物理意义

两个向量的数量积就是功即力与其方

向上的位移的数量积 FmiddotS

自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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（ 1 ）求两向量的夹角应保证两个向量有公共起点若没有须平移使它们有公共起点 b

a

B

O AO AaBb

B b aO A

Aa

O

B

b

（ 2 ）〈 a b 〉 = 〈 b a 〉（ 3 ）范围 0le 〈 a b le〉 π

（ 4 ）〈 a b 〉 =0 时 a b 同向

〈 a b 〉 =π 时 a b 反向

〈 a b 〉 = 90deg 时 a perpb

（ 5 ）规定在讨论垂直问题时零向量与任意向量垂直

几点说明

三 向量的数量积（内积） 定义 叫做向量 a 和 b 的数量积（或内积）记作 amiddotb

即 amiddotb =

cos a b a b

cos a b a b

a

b

B

AO

cos baba

cos|| b

1 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上射影的数量 |b|cos 的乘积

数量积 的几何意义

2 两个向量的数量积是一个实数符号由cos 〈 a b 〉的符号所决定而数乘向量是一个向量

O A

B

a

b

1BO A

B

a

b

)( 1B

θ 为锐角时| b | cosθ ＞ 0

θ 为钝角时| b | cosθ ＜ 0

θ 为直角时| b | cosθ=0

B

O Aa

b

1B

量的数量积为 03 规定零向量与任意向 00 a4 a middot b 不能写成 atimesb atimesb 表示向量的另一种运算

两个向量的数量积的性质

设 a b 为两个非零向量 e 是与 b 的单位向量 1 ea = ae =|a|cos

2 ab ab = 0

3 aa = |a|2 或 aaa ||

4 cos = |||| ba

ba

5|ab| le |a||b|

内积为零是判定两向量垂直的条件

用于计算向量的模

用于计算向量的夹角 以及判断三角形的形状

数量积的物理意义

两个向量的数量积就是功即力与其方

向上的位移的数量积 FmiddotS

自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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三 向量的数量积（内积） 定义 叫做向量 a 和 b 的数量积（或内积）记作 amiddotb

即 amiddotb =

cos a b a b

cos a b a b

a

b

B

AO

cos baba

cos|| b

1 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上射影的数量 |b|cos 的乘积

数量积 的几何意义

2 两个向量的数量积是一个实数符号由cos 〈 a b 〉的符号所决定而数乘向量是一个向量

O A

B

a

b

1BO A

B

a

b

)( 1B

θ 为锐角时| b | cosθ ＞ 0

θ 为钝角时| b | cosθ ＜ 0

θ 为直角时| b | cosθ=0

B

O Aa

b

1B

量的数量积为 03 规定零向量与任意向 00 a4 a middot b 不能写成 atimesb atimesb 表示向量的另一种运算

两个向量的数量积的性质

设 a b 为两个非零向量 e 是与 b 的单位向量 1 ea = ae =|a|cos

2 ab ab = 0

3 aa = |a|2 或 aaa ||

4 cos = |||| ba

ba

5|ab| le |a||b|

内积为零是判定两向量垂直的条件

用于计算向量的模

用于计算向量的夹角 以及判断三角形的形状

数量积的物理意义

两个向量的数量积就是功即力与其方

向上的位移的数量积 FmiddotS

自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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a

b

B

AO

cos baba

cos|| b

1 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上射影的数量 |b|cos 的乘积

数量积 的几何意义

2 两个向量的数量积是一个实数符号由cos 〈 a b 〉的符号所决定而数乘向量是一个向量

O A

B

a

b

1BO A

B

a

b

)( 1B

θ 为锐角时| b | cosθ ＞ 0

θ 为钝角时| b | cosθ ＜ 0

θ 为直角时| b | cosθ=0

B

O Aa

b

1B

量的数量积为 03 规定零向量与任意向 00 a4 a middot b 不能写成 atimesb atimesb 表示向量的另一种运算

两个向量的数量积的性质

设 a b 为两个非零向量 e 是与 b 的单位向量 1 ea = ae =|a|cos

2 ab ab = 0

3 aa = |a|2 或 aaa ||

4 cos = |||| ba

ba

5|ab| le |a||b|

内积为零是判定两向量垂直的条件

用于计算向量的模

用于计算向量的夹角 以及判断三角形的形状

数量积的物理意义

两个向量的数量积就是功即力与其方

向上的位移的数量积 FmiddotS

自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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2 两个向量的数量积是一个实数符号由cos 〈 a b 〉的符号所决定而数乘向量是一个向量

O A

B

a

b

1BO A

B

a

b

)( 1B

θ 为锐角时| b | cosθ ＞ 0

θ 为钝角时| b | cosθ ＜ 0

θ 为直角时| b | cosθ=0

B

O Aa

b

1B

量的数量积为 03 规定零向量与任意向 00 a4 a middot b 不能写成 atimesb atimesb 表示向量的另一种运算

两个向量的数量积的性质

设 a b 为两个非零向量 e 是与 b 的单位向量 1 ea = ae =|a|cos

2 ab ab = 0

3 aa = |a|2 或 aaa ||

4 cos = |||| ba

ba

5|ab| le |a||b|

内积为零是判定两向量垂直的条件

用于计算向量的模

用于计算向量的夹角 以及判断三角形的形状

数量积的物理意义

两个向量的数量积就是功即力与其方

向上的位移的数量积 FmiddotS

自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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两个向量的数量积的性质

设 a b 为两个非零向量 e 是与 b 的单位向量 1 ea = ae =|a|cos

2 ab ab = 0

3 aa = |a|2 或 aaa ||

4 cos = |||| ba

ba

5|ab| le |a||b|

内积为零是判定两向量垂直的条件

用于计算向量的模

用于计算向量的夹角 以及判断三角形的形状

数量积的物理意义

两个向量的数量积就是功即力与其方

向上的位移的数量积 FmiddotS

自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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数量积的物理意义

两个向量的数量积就是功即力与其方

向上的位移的数量积 FmiddotS

自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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自我检测已知 |a|=3 |b|=5 且 ab= － 12 求 a 在 b

方向上的射影的数量及 b 在 a 方向上的射影的数量分析因为 4

cos| | | | 5

a b

a b

12| | cos

| | 5

a ba

b

| | cos 4| |

a bb

a

所以 a 在 b 方向上的射影的数量是

b 在 a 方向上的射影的数量是

(1)

如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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如图边长为 2 的等边三角形中求 （ 1 ） AB 与 AC 的夹角 （ 2 ） AB 与 BC 的夹角

A B

C 通过平移

变成共起点120 60

C

自我检测 2

下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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下列命题正确的是__________

1 若 a=0 则对任意向量 b 有 a middotb=0

2 若 ane0 则对任意非零向量 b 有 a middotbne0

3 若 ane0 且 a middot b=0 则 b=0

4 若 amiddotb=0 则 a=0 或 b=0

5 对任意的向量 a 有 a2=a2

6 若 ane0 且 a middot b=a middot c 则 b=c

探究 1

探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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探究 2

已知 |a| ＝３ |b| ＝６当① a∥b ② aperpb ③ a 与 b 的夹角是 60deg 时分别求 amiddotb

①a∥b 时 amiddotb =plusmn18

②aperpb 时 amiddotb=0

③ a 与 b 的夹角是 60deg 时 amiddotb=9

答案

探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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探究 3 2 ) ( 3 )a b a b

求（ | | | | 4a b a b

已知 ３ 与

60 o 的夹角为

变式１求

|a+2b| |a- b|

变式２当且仅当 k 为何值时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　垂直

2ka b a b

与

课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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课堂小结1 两个向量的夹角

2 向量 a 在 b 方向上的射影是 |a |cos 〈 a b 〉向量 b 在 a 方向上的射影是 |b |cos 〈 a b 〉3 向量的数量积（内积） cos a b a bamiddotb=

4 两个向量的数量积的性质

(1) ab ab = 0

(2) aa = |a|2 或 aaa ||

(3) cos =|||| ba

ba

范围 0le 〈 a b le〉 π

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