2点吊り振子による振動学教材中道義之∗ 望月孔二† 後藤怜† 宮内太積‡ 田邊翼‡ 大庭勝久§ 川上誠§ 舟田敏雄§

∗沼津工業高等専門学校総合情報センター †沼津工業高等専門学校電気電子工学科‡沼津工業高等専門学校機械工学科 §沼津工業高等専門学校電子制御工学科

身近な題材から問題設定・解決型の学習教育課程を構築し，情報処理機器を効果的に活用することが技術者教育課題となっている．ここでは「2点吊り振子」と呼ばれる力学教材を紹介する．長さ Lの 2本の紐を水平壁面に間隔 2cで 2点に繋ぎ，紐の他端に一定密度で長さ 2bの棒を結び目間隔 2aで取り付ける．この棒の運動には，鉛直面内での 2つの振動 mode (遊動円木 modeとブランコmode)と鉛直軸周りの捩れmodeがあり，a, b , c , Lと棒の質量と慣性momentJ によって振動特性が変化する．一つの装置で 3つの振動 modeを実験できるので，教材としても優れており，PSD (Position Sensitive Detector)による簡易計測システムを構築し，LabVIEWを併用して振動周期の data処理を行った．本講演では，理論解析，実験，Mathematicaによる simulationの教材開発例を示す．

Keywords:2点吊り振子，出前授業の教材，振子の小・中・高専課程の学習内容

1 はじめに

2009年 4月より小学校の「新しい学習指導要領の先行実施」が始まっており，理科教材を調査研究し，出前授業への適合性と理科教育支援と高専の専門基礎教育課程の整備を図ることを計画している．特に，振子の力学モデル解析と数値 simulationと実験・計測システムの調和的構成に向けて，PSD (Position Sensitive

Detector)を用いた簡易計測システムが，学生実験や出前授業で有効であることが確認されて来た[1]–[5]．本講演では，2点吊り振子の 3つの振動modeを計測するための PSDシステムの試作[6] と評価，線形/非線形振動解析と数値 simulationについて報告する．2 2点吊り振子の実験と理論解析の対応

2点吊り振子の PSDによる簡易計測システム試作 II

号機 (Fig.1)と 2点吊り振子の 3つの振動modeの模式図 (Fig.2)が示されている[7]–[9]．

Fig.1 Measurement system II with PSD (Position

Sensitive Detector) for a bifilar suspension pendulum.

2a

2c

θ2

θ1z

x(x0,z0)

OC1 C2

BA(a) mode 1.

2a

2c

θ2

θ1z

x(x0,z0)

OC1 C2

BA(b) mode 2.

LG

mg

F1T1

a

ccO′ C

B

Aθ1

θ2

ϕ

ϕ

(c) mode 3.

Fig.2 Three oscillation modes of bifilar suspension

pendulum.[7]–[9]

2点吊り振子の左右の糸の長さ L1, L2 が等しい対称な場合に実験装置で設定できる条件は，糸の支持点間の間隔 2c = 0 ∼ 0.5 m，糸の結び目の間隔2a = 0.3 m，円木 (金属棒) の全長 2b = 0.5 m であるので，静止平衡状態での糸の傾き角 αについて

sin(α) = (c − a)/L (L = L1 = L2 = 0.3 ∼ 0.5 m)が成り立つ．この静止平衡状態の回りでの振動を記述するデカルト座標系 (x, y, z)と角度変数の取り方がFig.2に示されている．水平方向に x軸，鉛直下方にz 軸として，支持点の位置 (x0, z0) は，ここでは一定値とする．糸の結び目の A, B 点の座標を表現し，一様密度の円木であるから，重心の位置 (xG, zG)が求められる．それを用いて，静止平衡状態の回りで，Fig.2(a)の振動mode 1 (遊動円木mode)，(b) mode 2

(ブランコ mode)，(c) mode 3 (捩れ mode)が記述される．それぞれの振動 modeの固有角振動数は次の各小節に示される．2.1 mode 1 (遊動円木 mode)[7], [8]

Fig.2(a)に示されている質量m1，慣性 momentJ =m1b

2/3の円木の重心の座標値の近似表現は，x座標は角変位 θ11 の 1次の項まで，z 座標は 2次の項まで取り，次のようになる:xG = x0 + aβ + hθ11,

zG = z0 + h − 12(h − aθ222β1)θ2

11

(2.1)

これらにより，円木の運動は θ11 で記述される．円木の線形化運動を記述する Lagrange関数 L11

は次のように表される:

L11 =m1

2x2

G +J

2ϕ2 + m1gzG (2.2)

この重心の座標 (xG, zG)に (2.1)を代入し，ϕは θ11,

θ21 ≡ θ21(θ11) で表されるので θ11 の 1次の項まで取って回転運動の energyを表し，静止平衡解回りの攪乱 θ11, θ21(θ11), ϕ2 に対する Lagrange関数が導かれる:

L11 =m1

2h2θ2

11 +J

2β2

1 θ211 + m1g(h + z0)

+12m1g (aθ222β1 − h) θ2

11 (2.3)

これにより，Lagrangeの運動方程式が導かれる:(m1h

2 + Jβ21

)θ11 = −m1g(h − aθ222β1)θ11 (2.4)

静止壁面の場合，円木は自由振動し，その複素固有角振動数 ωは次式で与えられる:

ω2 =m1g(h − aθ222β1)

m1h2 + Jβ21

(2.5)

この ω2 ≥ 0は，h, θ222 が β の関数であるので，β

を横軸に取り，慣性 momentJ を parameterとして，

Fig.3に図示される．並進振子 (β = 1)のときの固有角振動数は ω2 = m1gL1/(m1L

21) = g/L1 ≡ ω2

0 となるので，これを基準に ω2/ω2

0 と無次元表示されている．J = 1, 2 (無次元では J/(m1L

21))では β と共

に ω2 は単調に増加する．J < 1 の場合，β < 1 では ω2 の極大値，β ≥ 1では ω2 の極小値が現れる．J = 1/3は，一様な密度の円木の場合である．しかし，J = 10では β = 1で極大値 ω2/ω2

0 = 1を取る．なお，本実験装置 (Fig.1)では J = m1/48である．

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

5

Fig.3 ω2/ω20 versusβ for J = 1 (solid), 1/3 (dashed

1), 0.1 (dashed 2), 0 (dashed 3), 2 (dashed 4), 10

(dotted), withm1 = 1.[8]

2.2 mode 2 (ブランコ mode)

Fig.2(b)に示される系について，h = L cos(α)と表し，Lagrangeの運動方程式が導かれる:

m1h2θ11 = −m1ghθ11 (2.6)

静止壁面の場合，円木は自由振動し，その複素固有角振動数 ωは次式で与えられる:

ω2 =g

h=

g

L cos(α)(2.7)

この mode 2は単振子の振動と同じであり，単振子の振動に関しては先に理論的実験的に検討した[4], [6]

ので，それらの文献を参照されたい．

2.3 mode 3 (捩れmode)[9]

Fig.2(c)に示される静止平衡状態から棒が捩れ振動する．鉛直面内の平面極座標系と共に，重心を含む水平面内に取った平面極座標系 (r, ϕ) (重心を通る鉛直軸を中心軸とする円柱座標 (r, ϕ, z)) を用いる．この場合は棒の重心の並進運動は，水平面内には生じず，高さ方向 (z 方向) に zG = L cos(θ) と表され，重心の位置 (xG, yG, zG) は次式で表される:

(xG, yG, zG) = (c, 0, L cos(θ))．棒の重心を通る鉛直軸回りの回転運動 (捩れ運動) は水平面内で起こり，角度 ϕ ≡ ϕ(t) で記述される．重心回りの棒の慣性 momentJ は J = 2ρb3/3 = mb2/3 と求められるので，回転の運動 energyは Jϕ2/2となる．ここで，重心回りに捩れた棒を上から観ると (Fig.2(c))，

線分 O′A, AG, GO が成す三角形に対する余弦定理が次式で表され，θは ϕの関数で表される:

L sin(θ) =√

c2 + a2 − 2ca cos(ϕ) (2.8)

これは，θ (0 ≤ θ ≤ π/2)と ϕ (−π/2 ≤ ϕ ≤ π/2)の間の関係を与える．−π/2 ≤ θ ≤ 0の場合，根号の前に負号を付ける．(2.8)式を考慮して，重心回りの棒の捩れ運動を記述する Lagrange関数 L1は，運動energyK1，重力 potential energyU を用いて，次のように表される:L1 = K1 − U, E1 = K1 + U, K1 =

J

2ϕ2,

U = −mgzG = −mgL cos(θ)

= −mg√

L2 − (c2 + a2 − 2ca cos(ϕ))

(2.9)

ここで，重力 potential energyU を静止平衡状態の回りで展開して 2次まで取ると，線形理論の運動方程式が導かれる:

Jϕ = − mgca

L cos(α)ϕ → ϕ = − 3gca

b2L cos(α)ϕ (2.10)

(2.10)式により捩れ振動の固有角振動数は ω203 =

mgca/(JL cos(α)) = 3gca/(b2L cos(α))である．3 実験結果の分析

2点吊り振子の実験を行い，目視と data loggerにより mode 1, 2の振動について，20 sec間の振動回数を測定した (Table 1, 2)．これらより，周期等が算出できる．

Table 1Data of oscillation times per 20 sec for mode 1

with 2a = 0.3 m, L = 0.3 m(i) 2c = 0.15 m 18.9 19 18.8

(ii) 2c = 0.30 m 18.7 19 19

(iii) 2c = 0.45 m 20 20 19.6

Table 2Data of oscillation times per 20 sec for mode 1

and 2 with2a = 0.3 m, L = 0.4 m.

(i) 2c = 0.15 m

(1) 16 16.3 16.3 16.5 16.4

(2) 16.1 16 16.2(ii) 2c = 0.30 m

(1) 16.5 16 16.3 16.2 16.4

(2) 16 16.2 16.2(iii) 2c = 0.45 m

(1) 16.7 17 16.5 16.8 17

(2) 16 16 16.3

円木の静止平衡状態に mode 1の攪乱を加え，左側の糸の傾きの角度攪乱を θ11 と表すと，右側の糸の傾き角度攪乱 θ22は静止平衡解の回りで展開して，各場合ごとに次のように表わされ，θ2

11 の係数が前出の角変位 θ222 である:

Table1(i) : α = −0.25268, θ22 = θ11 + 0.129099θ211,

Table1(ii) : α = 0, θ22 = θ11,

Table1(iii) : α = 0.25268, θ22 = θ11 − 0.387298θ211,

Table2(i) : α = −0.188616, θ22 = θ11 + 0.0954427θ211,

Table2(ii) : α = 0, θ22 = θ11,

Table2(iii) : α = 0.188616, θ22 = θ11 − 0.286328θ211

Table 1(i)-(iii), 2(i)-(iii) の dataを用い，mode 1, 2, 3

の固有角振動数，周期，振動数 (ω, T, 1/T )を計算できる:

Table1(i) : (1) 5.73219, 1.09612, 0.912306,

(2) 5.81041, 1.08137, 0.924756,

(3) 4.26976, 1.47155, 0.679554,

Table1(ii) : (1) 5.71741, 1.09896, 0.909955,

(2) 5.71741, 1.09896, 0.909955,

(3) 5.94171, 1.05747, 0.945653,

Table1(iii) : (1) 5.91421, 1.06239, 0.941275,

(2) 5.81041, 1.08137, 0.924756,

(3) 7.39545, 0.849602, 1.17702,

Table2(i) : (1) 4.95828, 1.26721, 0.789135,

(2) 4.99593, 1.25766, 0.795126,

(3) 3.67124, 1.71146, 0.584296,

Table2(ii) : (1) 4.95143, 1.26896, 0.788044,

(2) 4.95143, 1.26896, 0.788044,

(3) 5.14567, 1.22106, 0.818959,

Table2(iii) : (1) 5.04622, 1.24513, 0.803131,

(2) 4.99593, 1.25766, 0.795126,

(3) 6.35878, 0.988112, 1.01203

L = 0.3 m, 0.4 mによる mode 1, 2の振動数の値は，ここに示した線形理論値でも実験値 (Table 1, 2) でも有意な差異 (条件が異なる場合に実験 dataに差異が現れること)が確認できている．しかし，Table 1内での cの値の変化による振動数の変化は実験値では明確には確認できず，上掲の理論値でも差異が小さいことが分かる．従って，測定の有効性に期待が

持てるが，正確な評価のためには実験条件の工夫と再実験が望まれる．

4 取組のまとめと実験装置の改良

試作 II 号機では，実験装置の規模の見積もりを行い出前授業に適した大きさとし，その実験値と理論値が一致することが示された．この2点吊り振子は，ブランコ modeを除き，棒の質量や慣性 momentが固有角振動数に影響するので，小・中・高校の理科教材あるいは高専の力学教材としても非常に優れていると評価される．引き続き線形振動から非線形振動までの理論解析並びに数値解析が進んでおり，これらの教程は高専の高学年から専攻科の技術者教育課程の整備・高度化の一環と位置付けられる．制振・免振等の工学課題の学習教材とし利用でき，最近の防災・減災の工学的学習課題にも位置付けられる．更に，2点吊り振子と小振子を組み合わせて，様々な振動modeを理論的実験的に扱える．

2, 3節に示した数式の導出過程では，(1)力学系の平衡状態を求め，そこに攪乱を加え，(2)系の運動を記述する攪乱の energyをデカルト座標系で定義して Lagrange関数を求め，(3)極座標系を用い La-

grange関数を書き換え，Lagrangeの運動方程式を導出し，(4) Lagrangeの運動方程式の初期値問題を設定し，(5)数値解析して，位相面図，時系列図，スペクトル図を描く，といった一連の手続きをMathematica

により行う．これらの過程を詳細に理解することは将来の課題として，「一連の手続きで，運動方程式が導け，数値解析できる」ことを先ず理解して貰うことが，従来の教程を改革し Mathematicaを学習研究の toolとして活用する上で重要である．

5 おわりに

今回の「出前授業のための「振子」教材の調査と整備」は，各卒業研究で取組み，実験，計測，理論解析，simulationを分担して，言わば「共同技術者教育」を目指した取組であることは特に意義深い．2

点吊り振子の実験と simulationにより卒業研究の進捗状況に応じて，異分野の学問交流，共同作業・資源利用や研究情報・成果の共有あるいは共著論文作成等を進め，多彩で内容豊富な教授空間を提供できるので，将来的な「共同技術者教育」の在り方を探り積み上げて行きたい．本研究遂行にあたり，本校の校長リーダーシップ

経費による支援を受けたことをここに記して，柳下福蔵校長に厚くお礼申し上げます．

参考文献

[1] 舟田敏雄，岩本大，清水啓介，船津佑介，石本拓也，中道義之，大庭勝久，宮内太積，川上 誠，望月 孔二: “出前授業のための「振子」教材の整備” 沼津高専研究報告第 44号 (2010),

pp.221-226.

[2] 望月孔二，舟田敏雄，岩本大，清水啓介，船津佑介，中道義之，大庭勝久，宮内太積，川上誠: “PSDによる簡易計測システム試作のための振子運動の基礎解析 (5): 2点吊り振子の捩れ振動” 沼津高専研究報告第 44号 (2010), pp.67-72.

[3] 川上誠，舟田敏雄，岩本大，清水啓介，船津佑介，石本拓也，中道義之，大庭勝久，宮内太積，望月孔二: “出前授業のための「振子」教材の整備: 工学的拡張と応用” 沼津高専研究報告第 44号 (2010), pp.173-178.

[4] 望月 孔二，舟田 敏雄，石本 拓也，鈴木 健宏，鈴木寛里: “PSDによる簡易計測システム試作のための振子運動の基礎解析” 沼津高専研究報告第 42号 (2008), pp.57-66．

[5] 中道義之，舟田敏雄，岩本大，清水啓介，船津佑介，大庭勝久，宮内太積，川上誠，望月孔二: “出前授業のための「振子」教材の調査と整備” 第 29回高専情報処理教育研究発表会論文集第 29号 (2009)，pp.12-15.

[6] 望月 孔二，舟田 敏雄，石本 拓也，鈴木 健宏，小代田和己，鈴木寛里，川上誠: “PSDによる簡易計測システム試作のための振子運動の基礎解析 (2): 数値解析” 沼津高専研究報告第 43号(2009), pp.55-62.

[7] 望月孔二，宮内太積，舟田敏雄，佐々木隆吾，マズニアルイルファン，川船雄一郎，川上誠，中道義之: “2 点吊り振子の基礎運動解析” 沼津高専研究報告第 44号 (2010), pp.49-54.

[8] 望月孔二，宮内太積，舟田敏雄，佐々木隆吾，マズニアルイルファン，川船雄一郎，川上誠，中道義之: “2 点吊り振子の線形運動解析” 沼津高専研究報告第 44号 (2010), pp.55-60.

[9] 大庭勝久，舟田敏雄，岩本大，清水啓介，船津 佑介，中道 義之:“2 点吊り振子の捩り振動の基礎解析” 沼津高専研究報告第 44号 (2010),

pp.83-88.