振动的能量 受迫振动与共振

要点·疑点·考点

课 前 热 身

能力·思维·方法

延伸·拓展

要点 · 疑点 · 考点

1. 振动的能量

(1) 对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能与势能之和 .

(2) 振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大 . 若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，为等幅振动 .

要点 · 疑点 · 考点

2. 阻尼振动与无阻尼振动

振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动 .

振幅不变的振动为等幅振动，也叫无阻尼振动 .

【注意】等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用 .

要点 · 疑点 · 考点

3. 受迫振动

振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动 .

受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关 .

要点 · 疑点 · 考点

4. 共振

当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动物体的振幅最大的现象叫做共振 .

共振曲线如图 7-3-1 所示

图 7-3-1

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1. 关于振幅，以下说法中正确的是 (AB)

A. 物体振动的振幅越大，振动越强烈

B. 一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大

C. 振幅越大，物体振动的位移越大

D. 振幅越大，物体振动的加速度越大

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2. 弹簧振子在振动过程中， 动 ( 势 ) 能和 势 ( 动 ) 能相互转化；在平衡位置 动 能最大；在最大位移处 势 能最大；振幅越小则振动能量越 小 .

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3. 下列说法中正确的是 (ABC)

A. 物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关

B. 物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关

C. 物体发生共振时的频率就是其自由振动的频率

D. 物体发生共振时的振动就是无阻尼振动

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4. 关于共振的防止和利用，应做到 (AD)

A. 利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率

B. 利用共振时，应使驱动力的频率大于或小于振动物体的固有频率

C. 防止共振危害时，应尽量使驱动力频率接近或等于振动物体的固有频率

D. 防止共振危害时，应使驱动力频率远离振动物体的固有频率

能力 · 思维 · 方法

【例 1 】在图 7-3-2 中，当 A 振动起来后，通过水平绳迫使 B 、 C 振动，下列说法中，正确的是 (C)

A. 只有 A 、 C 的振动周期相等

B.A 的振幅比 B 小

C. 振动的振幅比 B 大

D.A 、 B 、 C 的振动周期相等

图 7-3-2

能力 · 思维 · 方法

【解析】 A 振动后迫使水平绳振动，水平绳再迫使B 、 C 振动，所以 B 、 C 做受迫振动，其振动周期等于策动力周期即 A 自由振动周期， TB=TC=TA 固 = ，而 TC 固 = ， TB 固 = ，所以 C 发生共振，B 不发生共振， C 的振幅比 B 大，因此正确答案为C.

gL /2gL /2 gL /2

能力 · 思维 · 方法

【解题回顾】这种装置中若让 B 或 C 先振动起来呢 ? 同样，也是谁先振动谁就提供其他球振动的策动力，其他球作受迫振动 .

能力 · 思维 · 方法

【例 2 】如图 7-3-3 所示，在光滑的水平面上，有一个绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中，当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后 (A)

图 7-3-3

能力 · 思维 · 方法

A. 振子的振幅将增大

B. 振子的振幅将减小

C. 振子的振幅将不变

D. 因不知电场强度的大小，所以不能确定振幅的变化

能力 · 思维 · 方法

【解析】弹簧振子在加电场前平衡位置在弹簧原长处，设振幅为 A ，当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此位置仍为振动振幅处，而且振子的振动是简谐运动，只是振动的平衡位置改在弹簧原长右边，设此时弹簧伸长量 x0 ，满足 kx0=qE ，即振子振动的振幅 A′=A+x0 ，所以振子的振幅增大，正确答案为选项 A.

能力 · 思维 · 方法

【解题回顾】振幅是振动系统获得总机械能大小的标志，此题中振幅增大，是通过什么力做功而使系统的机械能增大的呢 ?

能力 · 思维 · 方法

【例 4 】在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 k ，振子质量为M，振子的最大速度 v0 ，如图7-3-6所示，当振子运动到最大位移为 A 的时刻把质量为m的物体轻放其上，

图 7-3-6

能力 · 思维 · 方法

则 :

(1) 要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少为多大 ?

(2) 一起振动时，二者过平衡位置的速度多大 ? 振幅又是多大 ?

能力 · 思维 · 方法

【解析】放物体前其最大回复力大小 F=kA ，振动的机械能为 :E=1/2Mv2

0.

(1)放上物体m后，一起振动的最大加速度大小为 :a=kA/(M+m).

对物体m而言，所需要的回复力是M施加的静摩擦力，则放上时加速度最大，所需的静摩擦力亦最大，设最大静摩擦力大小为mg ，则满足mg≥ma时，两者可一起振动，即 :

≥a/g=kA/[(M+m)g].

能力 · 思维 · 方法

(2) 当两者一起振动时，机械能守恒，过平衡位置时，弹簧恢复原长，弹性势能为 0 ，则 :

1/2(M+m)v2=1/2Mv02 ，

物体和振子在最大位移处，动能为 0 ，势能最大，这个势能与没有放物体前相同，所以弹簧的最大形变是不变的，即振幅仍为 A.

0vmMM

v

能力 · 思维 · 方法

【解题回顾】如果物体m在M通过平衡位置时放到M上并黏到一块一起振动，系统的机械能是否发生了变化 ? 振幅是否发生了变化 ?如果变化，怎样变化 ?

延伸 · 拓展【例 5】在光滑的水平面上停放着一辆质量为m1 的小车，质量为m2 的物体与一轻弹簧固定相连，弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩后用细线将m2拴住，m2静止在小车上的 A 点，如图 7-3-7所示，设m2 与m1间的动摩擦因数为 μ， O点为弹簧原长状态时m2 相对于小车的位置，将细线烧断后m2 、m1开始运动 .

图 7-3-7

延伸 · 拓展

(1) 当m2 位于 O点左侧还是右侧时，物体m2 的速度最大 ? 简要说明理由 .

(2) 若物体m2达到最大速度 v2 时，物体m2已相对小车移动了距离 s，求此时m1 的速度 v1 和这一过程中弹簧释放的弹性势能 Ep.

(3)判断m2 与m1 的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复运动 ?并简要说明理由 .

延伸 · 拓展

【解析】 (1)m2 速度最大的位置应在 O左侧 . 因为细线烧断后，m2 在弹簧弹力和滑动摩擦力的合力作用下向右做加速运动，当弹力与摩擦力的合力为 0 时，m2 的速度达到最大，此时弹簧必处于压缩状态 . 此后，系统的机械能不断减小，不能再达到这一最大速度 .

延伸 · 拓展

(2) 选m2 、m1 为一系统，由动量守恒定律得：m2

v2=m1v1 ；系统克服摩擦力做的总功W 克 =m2gs；设这一过程中弹簧释放的弹性势能为 Ep ，则有 Ep=m1v1

2/2+m2v22/2+W 克 . 由以上各式解得：

v1=m2v2/m1 ,

(3)m2 与m1 最终将静止，因为系统动量守恒，且总动量为 0 ，只要m2 与m1间有相对运动，就要克服摩擦力做功，不断消耗能量，所以m2 与m1 最终必定都静止 .

)212

21(2 2 gsv

mmm

mEp

延伸 · 拓展

【解题回顾】 (1)问中有的同学会直接判断为就在 O点；(2)问中也容易忽略摩擦力做功而损失的机械能；要纠正这些错误，就要养成冷静而全面地分析受力情况和运动过程 . 用做功和能量转化的观点去分析问题等良好的习惯，而不能想当然地套用现成的一些结论 .