3 2cho hàm số - hoc24h.vn filecho hàm số y f x có đạo hàm tại x0. gọi x là số gia...

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

1

Ta không được chọn nơi mình sinh ra. Nhưng ta được chọn cách mình sẽ sống!

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. VI PHÂN

Cho hàm số y f x có đạo hàm tại 0x . Gọi x là số gia của biến số tại 0x .

Ta gọi tích 0f ' x . x là vi phân của hàm số f(x) tại điểm 0x ứng với số gia x . Kí hiệu 0 0df(x ) f '(x ). x .

Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x. Ta gọi tích f ' x . x là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số

gia x (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x).

Kí hiệu df(x) f '(x). x .

Nếu chọn hàm số y x thì ta có dy dx 1. x x . Vì vậy ta thường kí hiệu x dx và dy f ' x dx .

Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: 0 0 0f x x f x f ' x . x

2. ĐAO HAM CÂP CAO

Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x . Hàm số f ' x còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f x .

Đạo hàm cấp 2 của hàm số f x , kí hiệu là y’’ hay f '' x .

Đạo hàm cấp 3 của hàm số f x , kí hiệu là y’’’ hay f’’’ x

Đạo hàm cấp n của hàm số f x , kí hiệu là ny hay n

f x , tức là ta có:

n n 1y y ' n N,n 1

.

Chu y: Đạo hàm cấp 2 của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm t.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 1 : Tìm vi phân của hàm số

PHƯƠNG PHÁP

a). Tính vi phân của hàm số f(x) tại 0x cho trước:

Tính đạo hàm của hàm số tại 0x .

Suy ra vi phân của hàm số tại 0x ứng với số gia x là 0 0df(x ) f '(x ). x .

b). Tính vi phân của hàm số f(x).

Tính đạo hàm của hàm số .

Suy ra vi phân của hàm số: dy df(x) f ' x dx

VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO

Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt


2


Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2y x 4x 2 . Tính vi phân của hàm số tại điểm 0x 1 , ứng với số gia x 0,02 .

A. -0.02. B. 0.12.

C. 0.03. D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải:

Ta có 2y' f '(x) 3x 4x . Do đó vi phân của hàm số tại điểm 0x 1 , ứng với số gia x 0,02 là:

2df(1) f '(1). x 3.1 4.1 .0,02 0,02 .

Ví dụ 2 : Cho hàm số 2

1y f x x . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f x ?

A. d 2 1 dy x x . B. 2

d 1 dy x x . C. d 2 1y x . D. d 2 1 dy x x .

Lời giải

Chọn A.

Ta có d d 2 1 dy f x x x x .

Ví dụ 3 : Xét hàm số 21 cos 2y f x x . Chọn câu đúng:

A. 2

sin 4d ( ) d

2 1 cos 2

xf x x

x

. B.

2

sin 4d ( ) d

1 cos 2

xf x x

x

.

C. 2

cos 2d ( ) d

1 cos 2

xf x x

x

. D.

2

sin 2d ( ) d

2 1 cos 2

xf x x

x

.

Lời giải

Chọn B.

Ta có : d dy f x x 2

2

1 cos 2d

2 1 cos 2

xx

x

2

4cos 2 .sin 2d

2 1 cos 2

x xx

x

2

sin 4d

1 cos 2

xx

x

.

DẠNG 2: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số.

PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng trực tiếp định nghĩa: n n 1y y '

để tính đạo hàm đến cấp mà đề bài yêu cầu.

Ví dụ 1 : Hàm số 2

xy

x

có đạo hàm cấp hai là:


3


A. 0y . B.

2

1

2y

x

. C.

2

4

2y

x

. D.

3

4

2y

x

.

Lời giải

Chọn D.

Ta có

2

2

2 2

xy

x x

;

2 4 3

2 22 42.

2 2 2

xy

x x x

Ví dụ 2: Hàm số 32 1y x có đạo hàm cấp ba là:

A. 2 12 1y x . B. 2 24 1y x .

C. 2 24 5 3y x . D. 2 –12 1y x .

Lời giải

Chọn C.

Ta có 6 4 23 3 1y x x x ; 5 36 12 6y x x x

4 230 36 6y x x ; 3 2120 72 24 5 3y x x x .

Ví dụ 3: Hàm số 2 5y x có đạo hàm cấp hai bằng:

A. 1

(2 5) 2 5y

x x

. B.

1

2 5y

x

.

C. 1

(2 5) 2 5y

x x

. D.

1

2 5y

x

.

Lời giải

Chọn C.

Ta có 2 12 5

2 2 5 2 5y x

x x

22 5 12 2 52 5 2 5 2 5 2 5

x xyx x x x

.

Ví dụ 4: Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau 4 3 2y x 4x 3x 1 ?

A. 2. B. 24x 24 .

C. 12x 2 . D. 0.



4


4 3 2y x 4x 3x 1

3 2 2y ' 4x 12x 6x y'' 12x 24x 6 y''' 24x 24

(4) (5) (n)y 24 y 0 ... y 0 .

Ví dụ 5: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số *y sin x n N :

A.

ny sin x .2

B.

ny cos x n .2

C.

ny sin x n .2

D.

ny cos x .2


Bước 1: Ta có: y' cosx sin x 1. ; y'' sin x sin x 22 2

Dự đoán: n *y sin x n 1 , n N2

Bước 2: Chứng minh 1 bằng quy nạp:

n 1 : 1 hiển nhiên đúng.

Giả sử 1 đúng với n k 1 nghĩa là ta có: ky sin x k2

ta phải chứng minh 1 cúng đúng với

n k 1 nghĩa là ta phải chứng minh

k 1y sin x k 1 2

2

Thật vậy : vế trái /

/k 1 k2 y y sin x k cos x k sin x k 1

2 2 2

=vế phải 2 2

đúng, nghĩa là 1 đúng với n k 1.

Bước 3: theo nguyên lí quy nạp suy ra n *y sin x n , n N .2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hàm số 2

1y f x x . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f x ?

A. d 2 1 dy x x . B. 2

d 1 dy x x . C. d 2 1y x . D. d 2 1 dy x x .

Lời giải

Ta có d d 2 1 dy f x x x x .


5


Câu 2. Xét hàm số 21 cos 2y f x x . Chọn câu đúng:

A. 2

sin 4d ( ) d

2 1 cos 2

xf x x

x

. B.

2

sin 4d ( ) d

1 cos 2

xf x x

x

.

C. 2

cos 2d ( ) d

1 cos 2

xf x x

x

. D.

2

sin 2d ( ) d

2 1 cos 2

xf x x

x

.

Lời giải

Ta có : d dy f x x 2

2

1 cos 2d

2 1 cos 2

xx

x

2

4cos 2 .sin 2d

2 1 cos 2

x xx

x

2

sin 4d

1 cos 2

xx

x

.

Câu 3. Cho hàm số 3 5 6y x x . Vi phân của hàm số là:

A. 2d 3 5 dy x x . B. 2d 3 5 dy x x . C. 2d 3 5 dy x x . D. 2d 3 5 dy x x .

Lời giải

Ta có 3 2d 5 6 d 3 5 dy x x x x x .


1

3y

x . Vi phân của hàm số là:

A. 1

d d4

y x . B. 4

1d dy x

x . C.

4

1d dy x

x . D. 4d dy x x .

Lời giải

Ta có

2

23 43

1 1 3 1d d . d

3 3

xy x x

x xx

.


1

xy

x

. Vi phân của hàm số là:

A.

2

dd

1

xy

x

. B.

2

3dd

1

xy

x

. C.

2

3dd

1

xy

x

. D.

2

dd

1

xy

x

.

Lời giải

Ta có

2

2 3d d d

1 1

xy x x

x x

.

Câu 6. Cho hàm số 2 1

1

x xy

x

. Vi phân của hàm số là:

A. 2

2

2 2d d

( 1)

x xy x

x

.B.

2

2 1d d

( 1)

xy x

x

.C.

2

2 1d d

( 1)

xy x

x

. D.

2

2

2 2d d

( 1)

x xy x

x

.


6


Lời giải

Ta có 2 1

d d1

x xy x

x

2

2

2 1 1 1d

1

x x x xx

x

2

2

2 2d

1

x xx

x

.

Câu 7. Cho hàm số 3 29 12 5y x x x . Vi phân của hàm số là:

A. 2d 3 18 12 dy x x x . B. 2d 3 18 12 dy x x x .

C. 2d 3 18 12 dy x x x . D. 2d 3 18 12 dy x x x .

Lời giải

Ta có 3 2 2d 9 12 5 d 3 18 12 dy x x x x x x x .

Câu 8. Cho hàm số sin 3cosy x x . Vi phân của hàm số là:

A. d cos 3sin dy x x x . B. d cos 3sin dy x x x .

C. d cos 3sin dy x x x . D. d cos 3sin dy x x x .

Lời giải

Ta có d sin 3cos d cos 3sin dy x x x x x x .

Câu 9. Cho hàm số 2siny x . Vi phân của hàm số là:

A. d – sin 2 dy x x . B. d sin 2 dy x x . C. d sin dy x x . D. d 2cos dy x x .

Lời giải

Ta có 2 2d d sin sin d cos .2sin d sin 2 dy x x x x x x x x .

Câu 10. Vi phân của hàm số tan x

yx

là:

A. 2

2d d

4 cos

xy x

x x x . B.

2

sin(2 )d d

4 cos

xy x

x x x .

C. 2

2 sin(2 )d d

4 cos

x xy x

x x x

. D.

2

2 sin(2 )d d

4 cos

x xy x

x x x

.

Lời giải

Ta có 2

1 1 1. . tan .

tan 2 cos 2dy dx = dx

x xx x x x

xx


7


2 2

1 1 sin 1 1 sin cos= . . dx = .

2 cos cos 2 2 .cos

x x x xdx

xx x x x x x

2

2 sin 2= .

4 .cos

x xdx

x x x

Câu 11. Hàm số sin cosy x x x có vi phân là:

A. d cos – sin dy x x x x . B. d cos dy x x x .

C. d cos – sin dy x x x .. D. d sin dy x x x .

Lời giải

Ta có sin cos d sin cos sin d cos ddy x x x x x x x x x x x x .

Câu 12. Hàm số 2

1

yx

x

. Có vi phân là:

A. 2

2 2

1

( 1)

xdy dx

x

B.

2

2

( 1)

xdy dx

x

C.

2

2

1

( 1)

xdy dx

x

D.

2 2

1

( 1)dy dx

x

Ta có 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1dy dx

1 ( 1) ( 1)

x x x xdx

x x x

.


xy

x

có đạo hàm cấp hai là:

A. 0y . B.

2

1

2y

x

. C.

2

4

2y

x

. D.

3

4

2y

x

.

Lời giải

Ta có

2

2

2 2

xy

x x

;

2 4 3

2 22 42.

2 2 2

xy

x x x

Câu 14. Hàm số 32 1y x có đạo hàm cấp ba là:

A. 2 12 1y x . B. 2 24 1y x .

C. 2 24 5 3y x . D. 2 –12 1y x .

Ta có 6 4 23 3 1y x x x ; 5 36 12 6y x x x

4 230 36 6y x x ; 3 2120 72 24 5 3y x x x .

Câu 15. Hàm số 2 5y x có đạo hàm cấp hai bằng:

A. 1

(2 5) 2 5y

x x

. B.

1

2 5y

x

.


8


C. 1

(2 5) 2 5y

x x

. D.

1

2 5y

x

.

Lời giải

Ta có 2 12 5

2 2 5 2 5y x

x x

;

22 5 12 2 52 5 2 5 2 5 2 5

x xyx x x x

.

Câu 16. Hàm số 2 1

1

x xy

x

có đạo hàm cấp 5 bằng:

A. (5)

6

120

( 1)y

x

. B. (5)

6

120

( 1)y

x

. C. (5)

6

1

( 1)y

x

. D. (5)

6

1

( 1)y

x

.

Ta có 1

1y x

x

2

11

1y

x

.

3

2

1y

x

3

4

6

1y

x

4

5

24

1y

x

(5)

6

120

( 1)y

x

.


1

x xy

x

có đạo hàm cấp 5 bằng :

A.

5

6

120

1y

x

. B.

5

5

120

1y

x

. C.

5

5

1

1y

x

. D.

5

5

1

1y

x

.

Ta có: 2 1 1

1 1

x xy x

x x

.

2

11

1y

x

;

3

2

1y

x

;

4

6

1y

x

;

4

5

24

1y

x

;

5

6

120

1y

x

.

Câu 18. Hàm số 2 1y x x có đạo hàm cấp 2 bằng :

A.

3

2 2

2 3

1 1

x xy

x x

. B.

2

2

2 1

1

xy

x

.

C.

3

2 2

2 3

1 1

x xy

x x

. D.

2

2

2 1

1

xy

x

.

Ta có: 2

2

2 2

2 11

1 1

x xy x x

x x

;

2 2

32

2 2 2

4 1 2 12 31

1 1 1

xx x x

x xxyx x x


2 5y x có đạo hàm cấp 3 bằng :


9


A. 3

80 2 5y x . B. 2

480 2 5y x .

C. 2

480 2 5y x . D. 3

80 2 5y x .

Ta có: 4

5 2 5 2y x 4

10 2 5x ; 3

80 2 5y x ; 2

480 2 5y x .

Câu 20. Hàm số tany x có đạo hàm cấp 2 bằng :

A. 3

2sin

cos

xy

x . B.

2

1

cosy

x . C.

2

1

cosy

x . D.

3

2sin

cos

xy

x .

Ta có: 2

1

cosy

x .

4 3

2cos sin 2sin

cos cos

x x xy

x x

Câu 21. Cho hàm số siny x . Chọn câu sai.

A. sin2

y x

. B. siny x . C. 3

sin2

y x

. D. 4sin 2y x .

Ta có: cos sin2

y x x

; cos sin2

y x x

.

3

cos sin2

y x x

; 4 3cos sin 2

2y x x

.


1

x xy

x

có đạo hàm cấp 2 bằng :

A.

2

12

1y

x

. B.

3

2

1y

x

. C.

3

2

1y

x

. D.

4

2

1y

x

.

Ta có: 1

2 11

y xx

2

12

1y

x

;

3

2

(1 )y

x

.

Câu 23. Hàm số cos 23

y f x x

. Phương trình 48f x có nghiệm 0;

2x

là:

A. 2

x

. B. 0x và 6

x

. C. 0x và 3

x

. D. 0x và 2

x

.

Ta có: 2sin 23

y x

. 4cos 23

y x

. 8sin 23

y x

. 4 16cos 23

y x

Khi đó : 48f x 16cos 2 8

3x

1cos 2

3 2x


10


22 2

3 3

22 2

3 3

x k

x k

2

6

x k

x k

0;

2

2

x

x

.

Câu 24. Cho hàm số sin2y x . Chọn khẳng định đúng

A. 4 0y y . B. 4 0y y . C. tan 2y y x . D. 22 4y y .

Lời giải.

Ta có: 2cos2y x ; 4sin2y x . 4 0y y .


y f xx

. Xét hai mệnh đề :

3

2:I y f x

x . 4

6:II y f x

x .

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Lời giải.

Ta có: 2

1y

x ;

3

2y

x ;

4

6y

x .

Câu 26. Nếu 3

2sin

cos

xf x

x thì f x bằng

A. 1

cos x. B.

1

cos x . C. cot x . D. tan x .

Vì: 2

1tan

cosx

x

4

2cos sin

cos

x x

x

3

2sin

cos

x

x .

Câu 27. Cho hàm số 2 2

1

x xy f x

x

. Xét hai mệnh đề :

:I y f x 2

21 0, 1

( 1)x

x

. :II y f x

2

40, 1

( 1)x

x

.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Lời giải.

Ta có: y f x2 2

1

x x

x

2

1xx

2

21

1y

x

;

3

4

1y

x

.


11



1f x x . Giá trị 0f bằng

A. 3 . B. 6 . C. 12 . D. 24 .

Lời giải.

Vì: 2

3 1f x x ; 6 1f x x 0 6f .

Câu 29. Cho hàm số 3 2sinf x x x . Giá trị 2

f

bằng

A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 5 .

Lời giải.

Vì: 23sin cos 2f x x x x ; 2 36sin cos 3sin 2f x x x x 12

f

.


5 1 4 1f x x x . Tập nghiệm của phương trình 0f x là

A. 1;2 . B. ;0 . C. 1 . D. .

Lời giải.

Vì: 2

15 1 4f x x ; 30 1f x x 0 1f x x .


12


NHẤT ĐỊNH PHẢI ĐỖ ĐẠI HỌC ĐÓ NHÉ!! Các em chỉ cần chăm thôi, tài liệu và Phương pháp cứ để thầy lo.

➤Các tài liệu hay và các phương pháp đều được giảng trong các bài học của thầy. ●Facebook thầy: Đạt Nguyễn Tiến | https://www.facebook.com/thaydat.toan Để tham gia học offline cùng thầy Đạt: Các em đến đăng ký tại Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu, Q.Hai Bà Trưng, Hà Nội Để học online các em tham gia các khóa sau trên HOC24H.VN

✔ Khóa luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán 2018: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-hoc.79.html

✔ Khóa luyện thi nâng cao lớp 12: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-luyen-thi-nang-cao-2018-mon-toan.138.html

✔ Khóa luyện đề thi thử THPT Quốc gia 2018: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-luyen-de-thi-thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan.149.html

✔ Khóa tổng ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2018: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-tong-on-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan.147.html

✔ Chinh phục kiến thức lớp 11: https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-chinh-phuc-kien-thuc-toan-11.97.html

3 2cho hàm số - hoc24h.vn filecho hàm số y f x có đạo hàm tại x0. gọi x là số gia...

Documents