แคลคูลัส บทที่ 3 อนุพันธ์

ผูชวยศาสตราจารยสุชีพ งามเจริญ

อนุพันธ

3.1 อนุพันธของฟงกชนั

ความชันของเสนโคง คือลิมิตของอัตราการเปล่ียนคาของฟงกชันเทียบกับการเปล่ียนแปลง

ของตัวแปรคา เม่ือการเปล่ียนแปลงของตวัแปรคาเขาใกลศูนยนัน่เอง

กําหนด )(xfy = เปนฟงกชัน ),( yxP เปนจุดใดๆ บนเสนโคง )(xfy =

),( yyxxQ Δ+Δ+ เปนจุดหนึ่งอยูบนเสนโคงใกลกับจดุ P

เสนโคง อาจอยูทางซายหรือทางขวาของ P

รูปท่ี 3-1

เม่ือคา x เปล่ียนไปเปน xx Δ+ จะมีคาเปล่ียนไปเปน yy Δ+

xΔ เรียกวา สวนเปล่ียนแปลงของตัวแปร x )()( xfxxfy −Δ+=Δ เรียกวา สวนเปล่ียนแปลงของฟงกชัน

ถาลิมิตของอัตราสวน xy

ΔΔ

เม่ือ xΔ เขาใกล 0 หาคาได เราจะเรียกคาลิมิตนี้วา

อนุพันธ ของฟงกชัน )(xfy = เทียบกับ x

บทนิยาม ให f เปนฟงกชัน และ )(xfy =

เราจะเรียกx

xfxxfxy

xx Δ−Δ+

=ΔΔ

→Δ→Δ

)()(00

limlim เม่ือลิมิตมีคาวา อนุพันธของ f เทียบ

กับ x และจะกลาววา f มีอนุพันธท่ี x เขียนแทนสัญลักษณ )(xf ′ หรือ )(xfdxd

หรือ

)(xfDx หรือ y′ หรือ dxdy

อนุพันธของ f ท่ีจุด ax = เขียนแทนดวย )(af ′ หรือ

axdxdy

=

. y

. x

. ),( yxP

. ),( yyxxQ Δ+Δ+

0 . x . xx Δ+

. yΔ

. xΔ

บทที่

3

อนุพันธอนุพันธ 3.1 อนุพันธของฟงกชัน


73บทท่ี บทท่ี

33

หมายเหตุ ถาให xax Δ+= เม่ือ 0→Δx จะไดวา ax → ดังนั้น เราอาจเขียนไดวา

ax

afxfafax −

−=′

→

)()()( lim เม่ือลิมิตมีคา

ตัวอยางที่ 3.1 กําหนดให 12)( 3 −+= xxxf จงพิจารณาวา f มีอนุพันธท่ีจุด

2=x หรือไม ถามีจงหาคา )2(f ′

วิธีทํา

[ ] [ ]x

xxx

fxfΔ

−+−−Δ++Δ+=

Δ−Δ+ 1)2(221)2(2)2()2()2( 33

2

2

32

)()(614

2)()(612

)(2)()(6)(12

xx

xx

xxxxx

Δ+Δ+=

+Δ+Δ+=

ΔΔ+Δ+Δ+Δ

=

[ ]2

00)()(614)2()2( limlim xx

xfxf

xxΔ+Δ+=

Δ−Δ+

→Δ→Δ

14=

ดังนั้น f มีอนุพันธ 2=x และไดวา 14)2( =′f

บทนิยาม ถา x

xfxxfx Δ

−Δ+−→Δ

)()(0

lim มีคา เราเรียกลิมิตนี้วา อนุพันธทางซายของ

ฟงกชัน f ท่ีจุด x

และถา x

xfxxfx Δ

−Δ++→Δ

)()(0

lim มีคา เราเรียกลิมิตนี้วา อนุพันธทางขวาของฟงกชัน

f ท่ีจุด x

เราจะใชสัญลักษณ )( −′ xf และ )( +′ xf แทนอนุพันธทางซาย และอนุพันธทางขวา

ตามลาํดบั

)(xf ′ จะหาคาไดก็ตอเม่ือ )()( +− ′=′ xfxf และ )()()( +− ′=′=′ xfxfxf

บทนิยาม เรากลาววา f มีอนุพันธบนชวงเปด ),( ba ก็ตอเม่ือ f มีอนุพันธท่ีทุกๆ

จุดท่ี ),( bax∈

เรากลาววา f มีอนุพันธบนชวงปด [ ]ba, ก็ตอเม่ือ f มีอนพัุนธบนชวงเปด

),( ba f มีอนุพันธทางขวาที่ ax = และ f มีอนุพันธทางซายท่ี bx =

ทฤษฎีบท ถา f มีอนุพันธท่ี cx = แลว f จะมีความตอเนื่อง ท่ี cx =




33

พิสูจน เนื่องจาก cx

cfxfcfcx −

−=′

→

)()()( lim และ )(cf ′ มีคา

ดังนั้น cx

cfxfcx −

−→

)()(lim มีคา

จาก [ ] )()()()()( limlim cxcx

cfxfcfxfcxcx

−⋅−−

=−→→

00)(

)()()( limlim

=⋅′=

−⋅−−

=→→

cf

cxcx

cfxfcxcx

ดังนั้น )()()(( limlim cfcfxfcxcx

==→→

นั่นคือ f ตอเนื่องท่ี cx =

ตัวอยางที่ 3.2 กําหนดให ⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥=

112

1)(

2

xx

xxxf

เม่ือเม่ือ

จงพิจารณาวา f มีอนุพันธท่ี 1 หรือไม ถามี จงหา )1(f ′

วิธีทํา จากบทนิยาม 1

)1()()1(1

lim−−

=′→ x

fxffx

เราจะหา 1

)1()(1

lim−−

→ xfxf

x โดยพิจารณาจากลิมิตทางซายและลิมิตทางขวา

1

1)12(1

)1()(11

limlim−

−−=

−−

−− →→ xx

xfxf

xx

1

)1(21

lim−−

=−→ x

xx

2=

11

1)1()( 2

11limlim

−−

=−−

++ →→ xx

xfxf

xx

)1(1

lim +=+→

xx

2=

ตัวอยางที่ 3.3 กําหนดให xxf sin)( = จงหา )(xf ′

วิธีทํา x

xxxx

xfxxfxx Δ

−Δ+=

Δ−Δ+

→Δ→Δ

sin)(sin)()(00

limlim

2

2sin

)2

(cos

2

2sin

21)

2(cos2

2sin)

2(cos2

00

00

0

2

2

limlim

limlim

lim

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

x

x

x

x

Δ

Δ

⋅Δ

+=

Δ

Δ

⋅Δ

+=

Δ

Δ−

Δ+

=

→→Δ

→→Δ

→Δ

Δ

Δ




33

แต 1

2

2sin

02

lim =Δ

Δ

→Δ x

x

x

ดังนั้น xx

xxxx

cossin)(sin0

lim =Δ

−Δ+→Δ

เพราะฉะนัน้ จะได xxdxd cos)(sin =

3.2 สูตรของอนุพันธ

กําหนดฟงกชัน )(xfu = และ )(xgv = c เปนคาคงตัวใดๆ และ n เปนจํานวนจริง

ถา u และ v มีอนุพันธท่ีจดุ x แลวจะไดสูตรของอนุพันธตอไปนี ้

1. 0=dxdc

2. 1=dxdx

3. dxdv

dxduvu

dxd

+=+ )(

4. dxduv

dxdvuvu

dxd

+=⋅ )(

5. dxdvccv

dxd

=)(

6. 0,)( 2 ≠−

= vv

dxdvu

dxduv

vu

dxd

7. dxdvnv

dxdv n

n1−=

การพิสูจนขางตนทําไดโดยใชบทนิยามของอนุพันธ ซึ่งจะขอใหเปนแบบฝกหัด ในหัวขอนี้

เพียงแตจะนาํสูตรของอนุพันธมาใช

3.2.1 อนุพันธของฟงกชันพีชคณิต

การหาอนุพันธของฟงกชันพีชคณิตสามารถทําไดโดยใชสูตรตางๆ ท่ีกลาวมาแลว ดัง

ตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางที่ 3.4 จงหาอนุพันธของฟงกชันตอไปนี ้

ก. 1)( += xxf

ข. 2

63

7)3()(

xxxxg

−

+−=

ค. 2)()( xxxh +=




33

วิธีทํา ก. 21)1()( +=′ x

dxdxf

121

)1()1(21 21

+=

++= −

x

xdxdx

ข. 2

63

7)3()(

xxx

dxdxg

−

+−=′

22

632532

22

263632

)7()3(2)31()3()7(6

)7(

)7()3()3()7(

xxxxxxxx

x

xdxdxxxx

dxdx

−

+−++−+−−=

−

−+−−+−−=

ค. 2)()( xxdxdxh +=′

)2

11()(2

)()(2

xxx

xxdxdxx

++=

++=

ตัวอยางที่ 3.5 กําหนดให ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−−

−≤=

212

31

)(

3

xx

xxxf

เมื่อ

เมื่อ

จงหาอนุพันธของ f

วิธีทํา ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−−

−−<

=′21

)2(3

13)(

2

2

xx

xxxf เม่ือ

เม่ือ

เนื่องจาก f ตอเนื่องท่ี 1−=x

เพราะ )1(1)(1

lim −=−=−→

fxfx

ฉะนั้น f จึงอาจจะมีอนุพันธท่ี 1−=x

พิจารณาอนุพันธทางซายและอนุพันธทางขวาของ f ท่ี 1−=x

1

)1(1

)1()( 3

11limlim

+−−

=+

−−−− −→−→ x

xx

fxfxx

3

)1( 2

1lim

=

+−=−−→

xxx

ดังนั้นอนุพันธทางซายของ f ท่ี 1−=x มีคาเทากับ 3 หรือ

3)1( =−′ −f




33

1

)1(2

3

1)1()(

11limlim

+

−−−=

+−−

++ −→−→ xx

xfxf

xx

31

21

)2()1(1

1

1

lim

lim

−=−

=

−++

=

+

+

−→

−→

x

xxx

x

x

ดังนั้น f ไมมีอนุพันธท่ี 1−=x

เพราะฉะนัน้

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−−

−−<

=′21

)2(3

13)(

2

2

xx

xxxf เมื่อ

เม่ือ

3.3 กฎลูกโซ

กําหนดให )(ufy = และ )(xgu = เปนฟงกชัน จะได

)())(( xgfxgfy o==

เราอาจหาอนพัุนธของ )(xgfy o= ไดดังตัวอยาง

ตัวอยางที่ 3.6 กําหนดให )1(2)( −== uuufy และ 16)( +== xxgu

จงหา gf o และอนุพันธของ gf o

วิธีทํา ))(()( xgfxgfy == o

)16(12

)116()16(2

)1)(()(2

+=

−++=

−=

xx

xx

xgxg

ดังนั้น gf o เปนฟงกชันซึ่งกําหนดโดย

xxxxxgf 1272)16(12)( 2 +=+=o

จะได 12144)1272()()( 2 +=+=′ xxxdxdxgf o

ตัวอยางขางตนแสดงวิธีหาอนุพันธของ gf o โดยการหาสูตรของ gf o โดยตรง

ยังมีอีกวิธีหนึ่งซึ่งทําไดโดยไมจําเปนตองหาสูตรของ gf o แตทําโดยใชกฎลูกโซ

กฎลกูโซ

กําหนดให )(ufy = เปนฟงกชันทีมี่อนุพันธท่ี u และ )(xgu = เปน

ฟงกชันที่มีอนุพันธท่ี x จะไดวา )()( xhxgfy == o เปนฟงกชันที่มีอนุพันธท่ี x และ




33

)())(()( xgxgfxh ′⋅′=′

หรือ dxdu

dudy

dxdy

⋅=

จากตัวอยางท่ี 3.6 )1(2)( −== uuufy และ 16)( +== xxgu

6)16(

24)22())1(2( 2

=+=

−=−=−=

xdxd

dxdu

uuududuu

dud

dudy

โดยกฎลูกโซ dxdu

dudy

dxdy

⋅=

12144

12)16(24

1224

)6()24(

+=

−+=

−=

−=

x

x

u

u

ตัวอยางที่ 3.7 กําหนดให 3)( 2 +== uufy และ 12)( −== xxgu จงใชกฎ

ลูกโซหา )()( xgfdxd

o

วิธีทํา เนื่องจาก dxduuf

dudxgf

dxd

⋅= )()()( o

uududuf

dud 2)3()( 2 =+=

2)12()( =−== xdxdxg

dxd

dxdu

จะได )2()2()()( uxgfdxd

=o

48

)12(4

4

−=

−=

=

x

x

u

หมายเหตุ ในกรณีท่ีมีฟงกชันหลายฟงกชันซึ่งสามารถหาฟงกชันประกอบได เชน

)(,)( vguufy == และ )(xhv = จะได

)()()( xhvgufdxdy ′⋅′⋅′=

หรือ dxdv

dvdu

dudy

dxdy

⋅⋅=




33

ตัวอยางที่ 3.8 ให f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และมีอนพัุนธท่ี x กําหนดให h เปน

ฟงกชันผกผันของ f (นั่นคือ ))()( 1 xfxh −= จงหา )(xh′

วิธีทํา เนื่องจาก ))(()()( xhfxhf =o

))(( 1 xff −= x=

เพราะฉะนัน้ dxdxxhf =′ )()( o 1=

จากกฎลูกโซ )())(()()( xhxhfxhf ′⋅′=′o

เพราะฉะนัน้ ))((

1)(xhf

xh′

=′ ถา 0))(( ≠′ xhf

ดังนั้น ถา )(xfy = เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

จะได )()(1 yhyfx == −

เพราะฉะนัน้ )(

1))((

1)(xfyhf

yh′

=′

=′

หรือ

)(

1))((xf

dxd

yhdyd

=

หรือ

dxdydy

dx 1=

3.4 อนุพันธอันดับสูง

จากหัวขอ 3.2 ไดกลาวถึงวา ถา )(xfy = เปนฟงกชันที่มีอนุพันธท่ี x จะได

อนุพันธคือ x

xfxxfxfdxdy

x Δ−Δ+

=′=→Δ

)()()(0

lim เม่ือลิมิตมีคา เรียก )(xf ′ วา

อนุพันธอันดบัท่ีหนึ่งของ )(xf

ถา )(xf ′ มีอนุพันธท่ี x จะเรียกอนุพันธของ )(xf ′ วาอนุพันธอันดบัท่ีสองของ

)(xf และเขียนแทนดวย 2

2

dxyd

หรือ )(xf ′′ หรือ y ′′

x

xfxxfxfdx

ydx Δ

′−Δ+′=′′=

→Δ

)()()(02

2lim เม่ือลิมิตมีคา

โดยทั่วไป n

n

dxyd

ก็คืออนุพันธของ 1

1

−

−

n

n

dxyd

โดย

x

xfxxfdx

yd nn

xn

n

Δ−Δ+

=−−

→Δ

)()( )1()1(

0lim เม่ือลิมิตมีคา

และ n เปนจํานวนเต็มบวก

นั่นคือ ถา




33

อนุพันธอันอับท่ีหนึ่ง x

xfxxfxfdxdy

x Δ−Δ+

=′=→Δ

)()()(0

lim เม่ือลิมิตมีคา

อนุพันธอันดบัท่ีสอง )()(2

2xf

dxdxf

dxyd ′=′′=

อนุพันธอันดบัท่ีสาม )()(3

3xf

dxdxf

dxyd ′′=′′′=

ตัวอยางที่ 3.9 จงหาอนุพันธอันดบัท่ี n ของฟงกชัน 324 23 −+−= xxxy เม่ือ

n เปนจาํนวนเต็มบวก

วิธีทํา จาก 324 23 −+−= xxxy

อนุพันธอันดบัท่ีหนึ่ง คือ 283 2 +−= xxdxdy

อนุพันธอันดบัท่ีสอง คือ 862

2−= x

dxyd

อนุพันธอันดบัท่ีสาม คือ 63

3=

dxyd

อนุพันธอันดบัท่ีส่ี คือ 04

4=

dxyd

อนุพันธอันดบัท่ี n คือ 0=n

n

dxyd

ทุกคา 4≥n

ตัวอยางที่ 3.10 จงหา )(xf ′ และ )(xf ′′ เม่ือกําหนดให

xxxf

+

−=

22)(

วิธีทํา 2)2(

)2()2()2()2()(

x

xdxdxx

dxdx

xf+

+−−−+=′

2)2(

)2

1()2()2

1)(2(

xx

xx

x

+

−−−+=

2

2

)2(

2)2(

211

211

xx

xxx

+

−=

+

+−−−=

4

22

)2(

)2()2()2()2()(

x

xdxd

xxdxdx

xf+

+−−−+=′′




33

423

423

4

232

4

232

)2(384

)2(2444

)2()2(2)2(

)2(

)1()2()2()1()2(

xxxx

xxxxxx

xxxxx

xx

xxx

x

+

++=

+

++++=

+

+++=

+

++−+=

ตัวอยางที่ 3.11 กําหนด 1,

11)( ≠−

= xx

xf จงหาอนุพันธอันดับท่ี 49 ของฟงกชัน

วิธีทํา จาก 1,1

1)( ≠−

= xx

xf

จะได 21

)1(1)1()(x

xdxdxf

−=−=′ −

32

)1(21)1()(x

xdxdxf

−

⋅=−=′′ −

[ ]4

3

)1(321)1(21)(

xx

dxdxf

−

⋅⋅=−⋅=′′′ −

สรุปไดวา 1)(

)1(321)(

+−

⋅⋅⋅⋅= n

n

xnxf K

และจะได 5050)49(

)1(!49

)1(49321)(

xxxf

−=

−

⋅⋅⋅⋅=

K

3.5 การพิสูจน 1sin0

lim =→ θ

θθ

พิสูจน กําหนดให 122 =+ yx เปนสมการของวงกลมรัศมี 1 หนวยบนระนาบ XY

มีจุด )0,1(R เปนจดุตัดแกน X ดังรูปท่ี 3-2

รูป 3-2

. y

. x

.Q

. P

. R 0




33

ให ),( yxP เปนจุดบนเสนรอบวง ซึ่งมุม θ=POR เรเดียน

พิจารณา 2

0 πθ <<

ลากเสนตรงตัง้ฉากกับแกน X ท่ี R ไปตัดสวนตอของ OP ท่ี Q จะไดพิกัดของ

จุด P คือ )sin,(cos θθ และพิกัดของจุด Q คือ )cossin,1(

θθ

ลากเสนตรง PR แลวเปรียบเทียบพ้ืนท่ีของสามเหล่ียม OPR พ้ืนท่ีเซกเตอร OPR

และพ้ืนท่ีสามเหล่ียม OQR

จะได พ้ืนที่สามเหล่ียม ≤OPR พ้ืนที่เซกเตอร ≤OPR พ้ืนทีส่ามเหล่ียม OQR

พ้ืนที่สามเหล่ียม 1sin21

××= θOPR ตารางหนวย

พ้ืนที่เซกเตอร 2θ

=OPR ตารางหนวย

พ้ืนที่สามเหล่ียม 1cossin

21

××=θθOQR ตารางหนวย

ดังนั้น 1cossin

21

21sin

21

××≤≤××θθθθ

จะได θθ

θcos

1sin

1 ≤≤

และจะได 1sincos ≤≤θθθ -----------

ดังนั้น 1cos1sin−≤− θ

θθ

เนื่องจาก 1cos0

lim =+→

θθ

จาก จะได 1sin0

lim =+→ θ

θθ

-----------

พิจารณา 02

<<− θπ จะได

20 πθ <−<

จาก 1sincos ≤≤θθθ เม่ือ

20 πθ <<

จะได 1)(sin)(cos ≤−−

≤−θθ

θ เม่ือ 02

<<− θπ

1sincos ≤≤θθθ

ดังนั้น 1cos1sin−≤− θ

θθ

เนื่องจาก 1cos0

lim =−→

θθ

จะได 1sin0

lim =−→ θ

θθ

-----------




33

จาก และ จะได

1sin0

lim =−→ θ

θθ

θθ

θ

sin0

lim+→

=

ดังนั้น 1sin0

lim =→ θ

θθ

ตัวอยางที่ 3.12 จงหาคาของ xx

x 2sin6sin

0lim→

วิธีทํา 26

2sin2

66sin

2sin6sin

⋅⋅=x

xx

xxx

xxx

x

22sin

16

6sin3 ⋅⋅=

เม่ือ 0→x จะได 02 →x และ 06 →x

จะได

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅=→→

xxx

xxx

xx

22sin

16

6sin32sin6sin

00limlim

32

2sin1

66sin3

0206limlim

=

⋅=→→

xxx

xxx

ตัวอยางที่ 3.13 จงแสดงวา 0cos10

lim =−

→ xx

x

วิธีทํา xx

xx

xx

cos1cos1cos1cos1

++

⋅−

=−

xx

xcos11cos1 2

+⋅

−=

x

xx

xx

xxx cos1

sinsincos100

limlim+

⋅=−

→→

0

)0()1(

cos1sinsin

00limlim

=

⋅=

+⋅=

→→ xx

xx

xx




33

3.6 อนุพันธของฟงกชนัตรีโกณมิติ

อนุพันธของฟงกชันตรีโกณมิติท่ีเขียนอยูในรูปของ sin , cos , tan , csc , sec ,u u u u u

และ cot u โดยที่ u = g x( ) จะไดวาอนุพันธของฟงกชัน สรุปไดดังตารางตอไปน้ี

ddx

u ududx

ddx

u u ududx

ddx

u ududx

sin cos

sec sec tan

tan sec

=

=

=

•

2

ddx

u ududx

ddx

u u ududx

ddx

u ududx

cos sin

csc csc cot

cot csc

= −

= −

= −

•

2

ตัวอยางที่ 3.14 จงหา dydx

เม่ือกําหนดให y = f x( ) ดังขอตอไปนี้

ก) y x= sin 2 ข) y x= sin 5

ค) y x= sin5 ง) y x= cos 3

วิธีทํา ก) y x= sin 2 ให u x= 2 ได

ddx

u ududx

sin cos= •

=

=

•cos

cos

22

2 2

xd xdx

x

ข) y x= sin 5 ให u x= 5

จะได

( )d

dxu u

d x

dxsin cos= •

5

( ) ( )= cos x x5 45

= 5 4 5x xcos

ค) y x= sin5 ให u x n= =sin , 5 ได

ddx

xddx

u ududx

sin5 5 45= =

( )( ) ( )

=

=

5

5

4

4

sin sin

sin cos

xddx

x

x x

= 5 4cos sinx x

ง) y x= cos 3 ให u x= 3

ddx

u ud x

dxcos sin

( )= − •

3

= −( sin ) ( )3 3x

= −3 3cos x




33

ตัวอยางที่ 3.15 จงหา ′f x( ) ของฟงกชันตอไปนี ้

ก) f x x x( ) sin= 2 2 ข) ( )f x x x( ) tan= − 2

วิธีทํา ก) ฟงกชัน f อยูในรูปผลคูณ ดังนั้น

′ = +f x x x x x( ) (sin ) ( cos )2 2 2 22

= +2 2 2x x x x(sin cos )

ข) ฟงกชัน f อยูในรูป un โดยที่ u x x= −(tan ) และ n = 2 ดังนั้น

′ = − −•f x x x x( ) (tan ) (sec )2 12

= −2 2(tan ) (tan )x x x

โดยใชเอกลักษณ 1 2 2+ =tan secx x

เราสามารถหาอนุพันธของฟงกชันตรีโกณ 4 ฟงกชันหลังในรูปอนุพันธของ

ฟงกชัน sin u และ cosu ดังตัวอยางท่ี 3.16


เม่ือกําหนดให y x x= = −sec (cos )2 25 5

วิธีทํา 1. y x= sec2 5

ให u x= sec5 และ n = 2 จะได

ddx

x xddx

xsec (sec ) (sec )2 5 2 5 5=

=

=

2 5 5 5 5

10 5 52

(sec ) (sec ) (tan ) ( )

sec tan

x x xddx

x

x x

2. y x= −(cos )5 2

ให u x= cos5 และ n = −2 จะได

2)5(cos −= x

dxd

dxd

)5(cos)5(cos2 3 xdxdx −−=

= − −

=

2 5 5 5

10 5 5

3

3

sec ( sin ) ( )

sec sin

x xddx

x

x x

จะเห็นอนุพันธของฟงกชัน 1 และ 2 มีคาเทากัน




33


ของฟงกชันตอไปนี ้

ก) y t= +3 secπ ข) [ ]y x x= − +2342

วิธีทํา ก) ( )dydx

ddx

t= +312secπ

[ ]=+

+

=+

=+

•

• •

•

12 3

3

12 3

2 3

secsec

secsec tan

sec tansec

ππ

ππ π π

ππ π

π

tddx

t

tt t

ddt

t

t tt

ข) [ ]dydx

ddx

x x= − +2342

[ ] [ ]

[ ]

= − + − +

= − + −

−

−

34

2 2

34

2 2 1

214 2

214

x xddx

x x

x x x( )

3.7 การหาอนุพันธโดยปริยาย (Implicit differentiation)

ในหัวขอท่ีแลว เราไดศึกษาการหาอนุพันธของฟงกชันที่เขียนอยูในรูปของ y = f x( )

หรือเรียกวาฟงกชันโดยชัดแจง (Explicit function) คือ ตัวแปร x และ y แยกออกจากกัน

ชัดเจน แตในบางคร้ังฟงกชันอาจเขียนความสัมพันธของ x และ y ในรูป F x y C( , ) = เม่ือ

C เปนคาคงที ่ เชน สมการ

x y2 2 25+ = -----------

เม่ือเขียนในรูปฟงกชันโดยชัดแจง

y x= −25 2 หรือ y x= − −25 2

-----------

ซึ่งฟงกชันทั้งสองสอดคลองกับสมการ เราเรียกสมการ วาเปน ฟงกชันโดย

ปริยาย ซึ่งเขียนอยูในรูปท่ัวไป คือ

F x y C( , ) = -----------

ในหัวขอนี้ เราจะศึกษาการหาอนุพันธของฟงกชันโดยปริยาย โดยไมจําเปนตองเขียน

แยกใหอยูในรูปฟงกชันโดยชัดแจง y = f x( ) วิธีการหาอนุพันธฟงกชันโดยปริยาย ในสมการ เราจะหาอนุพันธเทียบกับตวัแปร x

ท้ังสองขาง โดยตองระลึกเสมอวา y เปนฟงกชันของ x และกฎของอนุพันธ ท่ีเราพบใชอยู

เสมอ ไดแก

ddx

y n ydydx

n n= −1




33


เม่ือกําหนดให y x2 =

วิธีทํา จากสมการ y x2 = สามารถเขียนใหอยูในรูปของฟงกชันโดยชัดเจน

y = f x( ) ไดคือ y x= หรือ y x= − ดังรูป 3-3 แลวจึงหา dydx

ตามตองการ แตถาเราตองการหา dydx

จากฟงกชันโดยปริยาย y x2 = เรา

จะหาอนุพันธ ท้ังสองขางเทียบกับ x โดยถือวา y = f x( ) จะได

dydx

dxdx

y dydxdydx y

2

21

12

=

=

=

ซึ่งเปรียบเทียบการหาอนุพันธจาก y x=

และ y x= −

สําหรับ y x= และ y x= −

dydx x

=1

2

dydx x

= −1

2

=1

2y ( )x−

=2

1

y2

1=

จะเห็นไดวา ไมวาจะหาอนพัุนธในรูปของฟงกชันโดยปริยาย หรือฟงกชันโดยชัดแจง จะได

คาอนุพันธเหมือนกัน แตการหาอนุพันธโดยปริยาย จะสะดวกกวาการหาในรูป y = f x( ) เพราะ

ในบางคร้ังเราไมสามารถเขียนฟงกชันโดยปริยายในรูปฟงกชันโดยชัดแจงได เชนตัวอยางตอไปนี้


เม่ือ x xy y5 3 54 2+ − =

วิธีทํา จากโจทยจะเห็นวา เราไมสามารถเขียนสมการใหอยูในรูปของ y = f x( ) ได

ดังนั้นในการหาคา dydx

เราจะใชวิธีการหาอนุพันธโดยปริยาย

หาอนุพันธท้ังสองขางเทียบกับ x โดยถือวา y = f x( ) จะได

( )

05)(

45

)2(4

433

4

53

5

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=−+

dxdy

ydxdxy

dxyd

xx

dxd

dxdy

xydxd

dxdx

. y

x .

. y x=

. y x= −

0

. xxf 21)( =′

. xxf 21)( −=′

รูป 3-3




33

05345 4324 =−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++dxdy

yydxdy

xyx

( ) ( )

24

34

3442

125

45

45512

xyy

yx

dx

dy

yxdx

dyyxy

−

+=

+−=−

ตัวอยางที่ 3.20 จงหาคาความชันของเสนสัมผัส ณ จดุ (2, −1) บนเสนโคง

y x2 1 0− + = ดังรูป 3-4

วิธีทํา วิธีที่ 1 ใชวิธีการหาอนุพันธโดยปริยาย

dydx

dxdx

ddx

ydydx

dydx y

2 10

2 1 0

12

− + =

− =

=

ณ ท่ีจุด (2, −1), y = −1 คาความ

ชันของเสนสัมผัส คือ −12

รูปท่ี 3-4

วิธีที่ 2 หา dydx

จาก y = f x( )

จากโจทย y x2 1 0− + = เขียนใหมโดยให y อยูในเทอมของ x

คือ

y x= − 1 และ y x= − − 1

แตเนื่องจากจดุ (2, −1) อยูชวงท่ีคา y < 0 ดังนัน้ เราจะหา dydx

จาก y x= − − 1 นั่นคอื

( ) ( )dydx

ddx

xx

ddx

xx

= − − = −−

− = −−

11

2 11

12 1

211 −==∴ x

dxdy

นั่นคือความชันของเสนสัมผัส ณ จดุ (2, −1) มีคาเทากับ −12

. y

x .

. 012 =+− xy

(2, -1)

0 1




33

ตัวอยางที่ 3.21 จงใชวิธีหาอนพัุนธโดยปริยาย d ydx

2

2 เม่ือกําหนดให

4 2 92 2x y− =

วิธีทํา หาอนุพันธอันดับท่ี 1 ( )d x

dx

d y

dx4 2

02 2

− =

8 4 0x ydydx

− =

dydx

xy

=2

หาอนุพันธอันดับท่ี 2 d ydx

y xdydx

y

2

2 2

2 2=

− ⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟( ) ( ) ( )

แทนคา dydx

xy

=2

ใน (2)

จะได ( )d y

dx

y x xy

y

2

2 2

2 2 2=

− 3

22 42y

xy −=

( )

3

22 24y

yx −−= 3

9y−

=

3.8 การประมาณคาเชิงเสน และผลตางอนุพัทธ

(Linear approximations and Differentials)

3.8.1 การประมาณคาเชิงเสน (Linear approximation)

ในบางคร้ังในการประมาณคาของฟงกชันที่ยุงยาก มีความจําเปนสําหรับวิชาวิทยาศาสตร

และวิศวกรรมศาสตร ดังนั้นเราจึงมีวิธีการที่ประมาณคาฟงกชันที่ยุงยากดวยวิธีการงาย ๆ แลวได

คาคาํตอบท่ีใกลเคียงกับความเปนจริง โดยการใชวิธีการประมาณเชิงเสน

รูป 3-5 รูปแสดงภาพขยายระหวางเสนโคงกับเสนสัมผสับริเวณจุด P

. y

. P . P . P

. x




33

จากรูป 3-5 เปนรูปแสดงใหเห็นถึงภาพขยายของจุด P ท่ีอยูบนเสนโคง y = f x( ) จะ

พบวาย่ิงขยายบริเวณจุด P ใหใหญข้ึนมากเทาใด จะพบวาเสนสัมผัสท่ีจุด P จะประชิดกับ

เสนโคง y = f x( ) มากข้ึนเทานัน้ เสมือนกับวาท่ีจุดใกล ๆ จดุ P มาก ๆ เราสามารถประมาณ

คา y บนโคงไดดวยคา y ของสมการเสนสัมผสั

y = f x( )

ความชัน = ′f a( )

))(,( afaP

Δx

x

รูป 3-6 สมการเสนสัมผัส คือ y f a f a x a= + ′ −( ) ( ) ( )

จากรูป 3-6 ใหจุด P a f a( , ( )) อยูบนเสนโคง y = f x( ) และเสนสัมผสัโคง ณ จดุ

P มีคาความชนัท่ี x = a เทากับ ′f a( ) ดังนั้น

สมการเสนตรงท่ีลากจากจดุ P ไปยังจุด ( , )x y ท่ีใกลๆ จุด P บนเสนโคง y = f x( ) คอื

f x f a f a x a( ) ( ) ( ) ( )− = ′ −

หรือ f x f a f a x a( ) ( ) ( ) ( )= + ′ − -----------

และสมการเสนสัมผัสคือ

y f a f a x a= + ′ −( ) ( ) ( ) -----------

ถาให y ในสมการ เขียนอยูในรูปของฟงกชันโดยใชสัญลักษณ L (ยอมาจาก

Linear) จะไดวาสมการ เขียนใหมไดเปน

L x f a f a x a( ) ( ) ( ) ( )= + ′ − ----------- ซึ่งจะเห็นวา ณ ท่ี (x , f x( )) มีคาใกล ๆ จดุ ( , ( ))a f a จะไดวา f x( ) ในสมการ

สามารถประมาณคาไดดวย L x( ) ในสมการ นั่นคือ

f x L x( ) ( )≈ ----------- และเรียกสมการ วาเปน ลิเนียไรเซชัน (linearization) ของ f x( ) ท่ี a และเรียก

สมการ วาเปน การประมาณคาเชิงเสน ของ f x( ) ท่ี a

ถาใหคา x ท่ีใกล a คือ x a x= + Δ จะไดสมการ เขียนใหมไดเปน

f a x L x( ) ( )+ ≈Δ

≈ + ′ −f a f a x a( ) ( ) ( ) -----------

. xa Δ+ 0 . xa =

. y




33

บทนิยาม ถา y = f x( ) และสามารถหาอนพัุนธไดท่ี x = a แลว

L x f a f a x a( ) ( ) ( ) ( )= + ′ −

เปน ลิเนียไรเซชัน (linearzation) ของ f x( ) ท่ี a และ

f x L x( ) ( )≈

เปน การประมาณคาเชิงเสนของ f x( ) ท่ี a

ตัวอยางที่ 3.22 จงหาฟงกชัน L x( ) ท่ี x = 0 เม่ือกําหนดให f x( ) = 1 + x

และ จงประมาณคา 12 105. , . และ 1005.

วิธีทํา

จาก f x x( ) = +1

′ =+

f xx

( )1

2 1

′ =f ( )012

รูป 3-7 กราฟ y x= +1

∴ ลิเนียไรเซชัน ของ f x( ) คือ L x f x f a x a( ) ( ) ( ) ( )= + ′ −

L x x

x

( ) ( )= + −

= +

112

0

12

การประมาณคา f x L x( ) ( )≈ นั้นคือ

1 12

+ ≈ +xx

สําหรับ x = 0.2 จะได 12 10 22

110..

.≈ + =

สําหรับ x = 0.05 จะได 105 10 05

21025.

..≈ + =

สําหรับ x = 0.005 จะได 1005 10 005

210025.

..≈ + =

ตัวอยาง 3.23 จงหา ลิเนียไรเซชัน ของ f x( ) เม่ือ f x x( ) = +1 ณ x = 3

และ ใชประมาณคา 4 2.

วิธีทํา จาก f x x f xx

( ) , ( )= + ′ =+

11

2 1

และ f f( ) , ( )3 3 31

2 1 314

= ′ =+

=

. y

y x= +1 2 .

1 y x= +1 .

0 x .




33

∴ ลิเนียไรเซชัน ของ f x( ) คือ

L x x( ) ( )= + −214

3 43

42 −+=

x

445 x+=

ดังนั้น คาประมาณ f x L x( ) ( )≈ จะไดวา

154 4

+ ≈ +xx

สําหรับ x = 3.2

จะได 4 2 1 3 254

3 24

125 0 8. ..

. .= + ≈ + = + = 2.05

เปรียบเทียบคาท่ีไดจากการประมาณคา 4 2 2 05. .≈ กับคาจริงท่ีไดจากการคํานวณ

จากเคร่ืองคํานวณ จะได 4 2 2 04939. .= ซึ่งจะเห็นวาการประมาณคาดวย L x( ) ของ f x( )

มีคาใกลเคียงกับคาจริงมาก

ตัวอยางที่ 3.24 ให f x x( ) = +1

ก) จงหา ลีเนียไรเซชัน ของ f x( ) ท่ี x = 0 และใชประมาณคา

11 101. , . และ 1001.

ข) จงหา ลิเนียไรเซชัน ของ f x( ) ท่ี x = 8 และ ใชประมาณคา

8 9 9 1. , . และ 10

วิธีทํา จากตัวอยางท่ี 3.23 ได

′ =+

f xx

( )1

2 1

ก) ท่ี x = 0 ได ′ =f ( )012

และ f ( )0 1=

ดังนัน้ ลิเนียไรเซชัน ของ f x( ) คือ

L x xx

( ) ( )= + − = +112

0 12

สําหรับคา x ท่ีใกล ๆ 0 จะได

f x L x( ) ( )≈

นั่นคือ f xx

( ) ≈ +12


จะได 11 1012

105..

.≈ + =


จะได 101 10 01

21005.

..≈ + =


จะได 1001 10 001

210005.

..≈ + =




33

ข) ท่ี x = 8 ได ′ =f ( )816

และ f (8) = 3

ดังนั้น ลิเนียไรเซชัน ของ f x( ) คือ

L x xx

( ) ( )= + − = +316

853 6

ท่ีคา x ใกล ๆ 8 จะได

f x L x( ) ( )≈

นั่นคือ f xx

( ) ≈ +53 6


จะได 8 953

7 96

2 98333..

.≈ + =


จะได 9 153

9 16

3 01666..

.≈ + =

สําหรับ x = 9

จะได 1053

106

316666≈ + = .

ซึ่งคาท่ีไดจากการคิดดวยเคร่ืองคํานวณ จะได 8 9 2 98329. .= , 9 1 3 01662. .=

และ 10 31623= . ซึ่งเราจะสังเกตเห็นวาสําหรับ 8 9. และ 9 1. มีคาใกลเคยีงกัน ตางกัน

ท่ีจุดทศนิยมตาํแหนงท่ี 4 แตสําหรับ 10 มีคาตางกันมากกวา นัน้เปนเพราะวา x = 9 อยู

หางจาก x = 8 มากกวา x = 7.9 หรือ x = 8.1

ตัวอยางที่ 3.25 จงหาคาประมาณของ 653 ดวยวิธีการประมาณคาเชิงเสนและตรวจสอบ

คําตอบจากเครื่องคํานวณ

วิธีทํา ให f x x( ) = 3 และคา x อยูใกล 65 และเราทราบคาของ f x( ) คือ 64

เนื่องจาก

64 43 = ดังนั้นท่ี a = 64 และ Δx = 1 และจาก ′ = −f x x( ) /13

2 3

แลว ′ = =−f ( ) ( ) /6413

641

482 3

แทนในสมการ 2.43 จะได

f a x f f( ) ( ) ( )+ = + = =Δ 64 1 65 653

65 64 64 65 643 ≈ + ′ −f f( ) ( ) ( )

)1(4814 +≈ 0208.4≈

ถาใชเคร่ืองคํานวณจะได 65 4 020733 = . ซึ่งมีคาใกลเคยีงกัน




33

3.8.2 ผลตางอนุพัทธ (Differentials)

ถา y = f x( ) และสามารถหาอนุพันธไดท่ี x x= 0 และ ถาเราตองการประมาณคา

การเปล่ียนแปลงของ y เม่ือจุดเคล่ือนท่ีไปยัง x x0 + Δ เม่ือ Δx มีคานอย ๆ เราจะพบวาสําหรับ

f x( ) และ ลิเนียไรเซชันของ f x( ) คือ L x( ) ท่ี x x= 0 มีการเปล่ียนแปลงดวยปริมาณที่

ใกลเคียงกัน ดังนั้น เราสามารถคาํนวณหา การเปลี่ยนแปลงของ L x( ) เพ่ือประมาณคาการ

เปล่ียนแปลงของ f x( ) ได

รูป 3-8 ถา Δx มีคานอย ๆ และการเปล่ียนแปลง Δf ≈ ΔL

จากรูป 3-8 ให Δf = สวนเปล่ียนแปลงของ f x( )

( )= + −f x x f x0 0Δ ( ) ----------- และ ΔL = สวนเปล่ียนแปลงของ L x( )

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

= + −

= + ′ + − −

L x x f x

f x f x x x x f x

0 0

0 0 0 0 0

Δ

Δ

ΔL ( )= ′ •f x x0 Δ -----------

ในการหาคา Δf บางคร้ังอาจจะอยูในรูปท่ียุงยาก ดังนั้นเราจะใช ΔL ประมาณคา Δf ได

เม่ือ Δx มีคานอย ๆ

ถาให ΔL แทนดวย df และ Δx แทนดวย dx สมการ 2.49 เขียนใหมไดเปน

( )df f x dx= ′ 0 -----------

ซึ่งเรียก df วาผลตางอนุพัทธของ f x( ) และ dx วาเปนผลตางอนพัุทธของ x

และถา Δx มีคานอยๆ จะไดวา สมการ × สามารถประมาณคาไดดวยสมการ

นั่นคือ

Δf df≈

หรือ Δy dy≈ -----------

x0 . x x0 + Δ . 0

y = f x( )

. Δ Δf f x x f x= + −( ) ( )0 0

. Δ ΔL f x x= ′( )0

. y

. ( , ( ))x f x0 0

. x

11

11

12




33

ตัวอยางที่ 3.26 ให y x x= + −2 3 12 เม่ือ x = 3 และ Δx = 0.1

จงหา Δy และ dy

วิธีทํา จากโจทย f x x x( ) = + −2 3 12

ให dx = Δx = 0.1 จะได

Δ Δy f x x f x= + −( ) ( )

[ ] [ ]= −

= + − − + −

= − =

f f( . ) ( )

( . ) ( . ) ( ) ( )

. .

31 3

2 31 3 31 1 2 3 3 3 1

27 52 26 152

2 2

และเนื่องจาก ′ = +f x x( ) 4 3

จะได ′ = + =f ( ) ( )3 4 3 3 15

ดังนั้น dy f dx= ′ = =( ) ( ) ( . ) .3 15 01 15

เราจะเห็นวา Δy ≈ dy เม่ือ Δx = dx และ Δx มีคานอย ๆ

ตัวอยางที่ 3.27 วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี r0 10= และรัศมีเพ่ิมข้ึนจากเดิม dr = 01.

จงคํานวณหา การเปล่ียนแปลงของพื้นท่ีของวงกลม A r= π 2

วิธีทํา การคํานวณดวยวิธีตรง ซึ่งไดคาจริง

การเปล่ียนแปลงของพื้นท่ีของวงกลม ( ) ( )Δ A = −π π101 102 2.

( )= −

= +

102 01 1002 0 01

..

π

π π

การคํานวณดวยการใชผลตางอนุพัทธ ซึ่งไดคาประมาณ

จาก ( )dA A r dr= ′ 0

( ) ( )

=

= =

2

2 10 01 20π

π π

r dr

.

∴ เราพบวา คาความแตกตางระหวางคาจริงและคาประมาณ คอื

0.01π ซึ่งเม่ือคิดเปนเปอรเซ็นตความผดิพลาด (percentage error)

แลว มีคาเทากับ

100100

01.0100 ×=×ππ

= 0.01 %

ซึ่งถือวามีคานอยมาก

ในการศึกษาการเปล่ียนแปลงของฟงกชัน f x( ) จากจดุ x x= 0 ไปยัง

คาท่ีใกล ๆ x0 เราสามารถอธบิายการเปล่ียนแปลง f x( ) ไดใน 3 รูปแบบ

ไดแก

ความผดิพลาด

พ้ืนท่ีวงกลมเดิม




33

คาจริง (True) คาประมาณ (Estimate)

ความผดิพลาดสัมบูรณ Δf df

อัตราความผิดพลาด Δff

dff

เปอรเซ็นตความผิดพลาด Δff×100

dff×100

ซึ่งโดยท่ัวไปเรามักจะบอกความผิดพลาดในรูปของเปอรเซ็นตความผดิพลาด ในตวัอยาง

ท่ี 3.27 เปอรเซ็นตความผดิพลาดของพ้ืนท่ีวงกลมโดยประมาณ

( )

%2

100100

2

1000

=

×=

×=

ππ

rAdA

ตัวอยางที่ 3.28 ส่ีเหล่ียมลูกบาศกลูกหนึ่งมีดานยาวดานละ 6 นิ้ว แตละดานมีคาความ

ผิดพลาดจากการ วัด ± 0.05 นิ้ว จงคํานวณหา ปริมาตรของลูกบาศกท่ี

ไดจากการวดั และประมาณคาเปอรเซ็นตความผิดพลาดของปริมาตร ถาคา

ความผดิพลาดท่ีไดจากการวัดมีคาไมเกิน 0.05 นิ้ว

วิธีทํา เม่ือให x แทนดานของรูปสี่เหล่ียมลูกบาศก

V แทนปริมาตรของสี่เหล่ียมลูกบาศก

V x= 3

dV x dx dx dx= = =3 3 6 1082 2( )

ท่ี x = 6 นิ้ว และ dx ≤ 0 05. นิ้ว

ดังนั้น dV dx= ≤ =108 108 0 05 5 4( ) ( . ) .

หมายความวาปริมาตรท่ีคลาดเคล่ือนไป มีคาไมเกิน 5.4 ลูกบาศกนิ้ว

∴ ปริมาตรท่ีไดจากการวัด = ±V VΔ

4.5)6( 3 ±=

4.5216 ±=

และเปอรเซ็นตความผิดพลาดของปริมาตร = ×dVV

100

%5.2

100216

4.5

=

×=




33

ตัวอยางที่ 3.29 จงคํานวณหาคาความผดิพลาดของรัศมี r ของวงกลมเม่ือพ้ืนที่ผิวของ

ทรงกลม S r= 4 2π มีเปอรเซ็นตความผิดพลาด 1% จากคาจริง

วิธีทํา ให ΔS เปนคาความผดิพลาดของพ้ืนผิวของทรงกลม ดังนั้น

ΔS Sr

≤ =1

1004100

2π

จากการประมาณคา ΔS dS≈ และ

dSdSdr

dr=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 8πr dr

dSr

≤4100

2π

84100

2

ππ

r drr

≤

84100

2

ππ

r drr

≤

drr

rr r

≤ = =• •4100

18

12 100 200

2ππ

∴ เปอรเซ็นตความผิดพลาดของ r คือ drr× = =100

12

0 5%.

3.8.3 สูตรอนุพันธในสัญลักษณผลตางอนุพัทธ

ถาให y = f x( ) แลวผลตางอนพัุทธของ f x( ) คอื

dy f x dx= ′( ) -----------

เราสามารถเขียนการหาอนพัุทธของฟงกชัน f x( ) ในรูปของผลตางอนพัุทธไดดังตาราง

ขางลาง ซึ่งแสดงใหเห็นวาสูตรผลตางอนุพันธทางขวามือไดจากการคูณอนุพันธของฟงกชันทาง

ซายมือดวย dx

สูตรอนุพันธ สูตรผลตางอนุพัทธ

1 0.dcdx

= dc = 0

2.( )d cudx

cdudx

= d cu c du( ) =

3.( )d u vdx

dudx

dvdx

+= + d u v du dv( )+ = +

4.( )d uvdx

udvdx

vdudx

= + d uv u dv v du( ) = +

( )

5 2.d u

vdx

v dudx u dv

dxv

=−

duv

v du u dvv

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−2

13




33

สูตรอนุพันธ สูตรผลตางอนุพัทธ

6 1.dudx

nududx

nn= −

( )d u nu dun n= −1

6 1adcxdx

cnxn

n. = − ( )d cx cnx dxn n= −1

7.sin

cosd u

dxu

dudx

= ( )d u u dusin cos=

8.cos

sind u

dxu

dudx

= − ( )d u u ducos sin= −

9 2.tan

secd u

dxu

dudx

= ( )d u u dutan sec= 2

10 2.cot

cscd u

dxu

dudx

= − ( )d u u ducot csc= − 2

11.sec

sec tand u

dxu u

dudx

= ( )d u u u dusec sec tan=

12.csc

csc cotd u

dxu u

dudx

= − ( )d u u u ducsc csc cot= −

ตัวอยางที่ 3.30 จงหา dy เม่ือกําหนดให y = f x( )

ก) y x= −3 62

ข) y x= cos3

ค) yx

x=

+ 1

วิธีทํา ก)dydx

x= 6

∴ =dy x dx6

ข)dydx

xd xdx

x= − = −•sin sin33

3 3

∴ = −dy x dx3 3sin

ค)dydx

x xx x

=+ −

+=

+

( )( ) ( )

11

112 2

∴ =+

dyx

dx11 2( )




33

โจทยฝกหัดทักษะทายบท

1. จงหาคา dxdy

จากสมการ 57875 256 +−+−= xxxxy

วิธีทํา 57875 256 +−+−= xxxxy

)57875( 256 +−+−= xxxxdxd

dxdy

7163530

7285756

07875

57875

45

121516

256

256

−+−=

−×+×−×=

+−+−=

+−+−=

−−−

xxxdxdxx

dxdxx

dxdxx

dxdx

dxdx

dxdx

dxdx

dxdx

dxdx

dxdx

dxdx

dxd

2. จงหาคา

dxdy

จากสมการ 5

3

2

53x

xy +=


3

2

53x

xy +=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

5

3

2

53x

xdxd

dxdy

1123

23

25

25

25

25

233

253

−− −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+⋅=

xx

xxdxd

27

21

2225

29 xx −=

922

252

9

x

x−=


dxdy


5

bxay

−=


)(55 2

2

−−=

−= bxa

bxay

)()(521 212 2

1

bxadxdbxay −−⋅−=′

−−

)20()(25 2

32 bxbxa −−−=

−

23

)(

52bxa

bx

−=




33


จากสมการ )95()45( 372 xxxxy −−=


)95()45( 372 xxxxy −−=

723372 )45()95()95()45( 2

121

xxdxdxxxx

dxdxxy −−+−−=′

)410()45()95(795

)275()45(21

)45()95(

7)95()95()95(21)45(

623

3

272

2173

33372 21

21

−−−+−

−−=

−⋅−

⋅⋅−+−−⋅⋅−=

−

−

xxxxxxx

xxx

xxdxdxx

xxxxdxdxxxx


dxdy

จากสมการ 3 22 )946( +−= xxy

วิธีทํา [ ]32946)946( 23 22 +−=+−= xxxxy

)946()946(32 212 3

2+−+−=′

−xxdxxy

)412()946(32 3

12 −+−=

−

xxx


dxdy

จากสมการ 763 24 +−= xxxy

วิธีทํา 763 24 +−= xxxy

4224 2

121

)763()763( xdxdxxxx

dxdx

dxdy

+−++−=

dxdxxxxxx

dxdxxx 1422124 4)763()763()763(

21 2

121

−−⋅+−++−+−⋅⋅=

7634))763(2

)66(

)763(4)66()763(2

23

2

4

2324

21

21

+−++−

−=

+−+−+−=−

xxxxx

xx

xxxxxxx


dxdy

จากสมการ )45()63( 23 xxxxy +−=

วิธีทํา )45()63( 23 xxxxy +−=

)63()45()45()63( 3223 xxdxdxxxx

dxdxxy −+++−=′

)69()45()410()63( 223 −++−= xxxxxx




33


จากสมการ )53()43( 226 xxxxy +−=


)53()43()53()43( 226226 xxxxxxxxy +−=+−=

)43()53()53()43( 262226 21

21

xxdxdxxxx

dxdxxy −+++−=′

)818()53()53(

)56()43(

)818()53()56()53()43(21

52

2

26

52226

21

21

21

21

xxxxxx

xxx

xxxxxxxxx

−+++

+−=

−++++−=−



22

xaxay

+

−=


22

xaxay

+

−=

21

21

)()( 2222 −+⋅−= xaxa

21

21

21

21

)()()()( 22222222 xadxdxaxa

dxdxay −+++−=′

−−

21

21

23

21

21

21

23

21

)()()()(

)2()(21)()2()(

21)(

22222222

22222222

−−−

−−−

−+−+−−=

−−⋅⋅+++⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−=

xaxaxxaxax

xxaxaxxaxa


dxdy

จากสมการ xxy

2323

+−

=

วิธีทํา xxy

2323

+−

=

2)23(

)23()23()23()23(

x

xdxdxx

dxdx

dxdy

+

+−−−+=

22

2

)23(12

)23(4646

)23()2()23()2()23(

xxxx

xxx

+

−=

+

+−−−=

+

−−−+=


dxdy

จากสมการ 5,, 34

243 +=−== xybxaxyxy

วิธีทํา 3xy =

2133 33 xxx

dxdy ===′ −

24 bxaxy −=




33

)( 24 bxaxdxdy −=′

bxax 24 3 −=

534+= xy

)5( 34+=′ x

dxdy

31

34

34

34 1

xx ==−


dxdy

จากสมการ 22 51)23( xxy ++=

วิธีทํา 22 51)23( xxy ++=

)23()51()51()23( 2222 21

21

+++++=′ xdxdxx

dxdxy

21

21

21

21

21

)51(

)6()51(1015

)6()51()51(

)23(5

)6()51()10()51(21)23(

2

23

2

2

2

222

x

xxxx

xxx

xx

xxxxx

+

+++=

++

+

+=

+++⋅⋅+=

−

−

21

)51(

30)6(10152

33

x

xxxx

+

+++=

2

3

51

1645

x

xx

+

+=


dxdy

จากสมการ 7 3

3 45 2

3873 x

x

x

x

xy +−=

วิธีทํา 7 3

3 45 2

3873 x

x

x

x

xy +−=

74

34

58

73

31

513

73

34

52

724

37

539

873

873 3

−−

−

−−

++=′

+−=

+⋅−⋅=

xxxy

xxxy

xxxxxy

7 43 4

5 8

7

24

3

75

39

xxx ++=




33


จากสมการ )823( 24 +−= xxy , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

32xx

y , )32( 32

34

tty −=

วิธีทํา xxxxdxd 412)823( 324 −=+−

)32(32 212

−− −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− xx

dxd

xxdxd

32

32

6262

xx

xx

+−=

+−= −−

31

31

32

34

238)32(

−−=− tttt

dtd


dxdy

จากสมการ x

xy 22

−=


1

22

22

−

−=−= xxx

xy

232

1

212

221 −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−=′ xxy

xxx

xx

14

1

14

13

+=

+=

16. กําหนดให θ21−=r จงพิสูจนวา

θθ 211−

−=ddr


)21(21 θθ −=−=r

)2()21(21 2

1

−−=−

θθd

dr

θ

θ

211

)21( 21

−−=

−−=−

17. กําหนดให

32 )32()( ttf −= จงพิสูจนวา 22 )32(18)( tttf −−=′

วิธีทํา 32 )32()( ttf −=

)6()32(3)( 22 tttf −−=′

22 )32(18 tt −−=




33

18. กําหนดให 22

1

xay

−= จงพิสูจนวา

23

)( 22 xa

xdxdy

−=


1

xay

−=

21

)( 22−

−= xa

)2()(21 2

322 xxay −−−=′

−

23

23

)(

)(

22

22

xa

xxax

−=

−=−


dxdy

ท่ีจุด 21

=x ของ )12(

25+−

=x

xy

วิธีทํา )12(

25+−

=x

xy

2)12(

)12()25()25()12( 21

21

+

+−−−+=′

x

xdxdxx

dxdx

y

45

1212

21252

21251

212

)12()25(2)25()12(

)12(

)2()25()2()25(21)12(

2

2

2

21

21

21

21

21

21

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=

+

−−−+=

+

−−−−⋅⋅+=

−

−

−

xxxx

x

xxx

20. กําหนดให 22

22

xaxay

−

+= จงหาคาของ

dxdy


22

xaxay

−

+=

21

21

)()( 2222−

−+= xaxay

)2()(21)()2()(

21)( 2

121

23

21

22222222 xxaxaxxaxay−−−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=′




33

[ ]

4422

2

4422

222222

222222

22222222

222222

22

)(

2

)(

)()()(

)()()(

)()()()(

)()()(

)(

23

21

21

21

23

23

21

21

21

21

21

23

21

xaxa

xa

xaxa

xaxaxax

xaxaxa

xaxxaxaxax

xaxa

x

xa

xax

−−=

−−

−++−=

+−−

−++−+=

+−+

−

+=

21. กําหนดให 33 )3( −= xy จงหาคาของ

dxdy

เม่ือ 3,3 −=x

วิธีทํา 33 )3( −= xy

)3()3(3 223 xxdxdy

−=

232 )3(9 −= xx

เม่ือ 3=x

232 )33()3(9 −⋅=

dxdy

46656=

เม่ือ 3−=x

[ ]222 3)3()3(9 −−−=dxdy

72900=

22. จงคํานวณหา

dxdy

เม่ือกําหนดให 2212

xxy

+

−=


xxy

+

−=

22

22

)21()21()2()2()21(

xxdxxdx

dxdy

+

+−−−+=

144182

)21(4821

)21()4()2()1()21(

24

2

22

22

22

2

++

−−=

+

+−−−=

+

−−−+=

xxxx

xxxx

xxxx




33

23. จงคํานวณหา dxdy

จากสมการ 3322 )12()4( −+= xxy

วิธีทํา 3322 )12()4( −+= xxy

22333322 )4()12()12()4( +−+−+= x

dxdxx

dxdx

dxdy

)23613()12()4(2

)2()4(()12(2)6()12()4(3

)4()4()12(2)12()12(3)4(

3232

23322322

223332322

−+−+=

+−+−+=

++−⋅+−−⋅⋅+=

xxxxx

xxxxxx

xdxdxxx

dxdxx

24. จงหาคา y′ จากสมการ

2

2

4 x

xy−

=


)4( 2

2

x

xy−

=

)4(

)4()()4(

2

2222 21

21

x

xdxdxx

dxdx

y−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=′

21

21

21

21

21

21

)4(

)4(4

)4()4(2

)4(

)2()4(21)2()4(

2

2

2

232

2

222

x

xx

xxxx

x

xxxxx

−

−×

−

−+−=

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⋅⋅−−

=

−

−

23

)4(

)4(22

32

x

xxx

−

+−=

23

)4(

82

3

x

xx

−

−=


dxdy

จากสมการ )1()4( 32 ++= xxy

วิธีทํา )1()4( 32 ++= xxy

)4()1()1()4( 2332 +++++= xdxdxx

dxdx

dxdy

xxx

xxxx

xxxx

2125

22123

)2()1()3()4(

24

424

322

++=

+++=

+++=




33

26. กําหนดให bxaxy += จงหาคาของ dxdy

วิธีทํา bxaxy +=

21

)( bxaxy +=

dxdxbxabxa

dxdxy 2

121

)()( +++=′

21

21

21

21

)()(2

)()()(21

bxabxa

bx

bxabbxax

+++

=

+++=−

21

)(2

)(2

bxa

bxabx

+

++=

21

)(2

23

bxa

abx

+

+=


dxdy

จากสมการ uuuuy

732

4

2

−

+= , xxu 43 2 −=

วิธีทํา uuuuy

732

4

2

−

+=

24

4224

)7()7()32()32()7(

uuuuduuuuduu

dudy

−

−+−+−=

24

324

)7()74()32()34()7(

uuuuuuuu

−

−+−+−=

21

)43( 2 xxu −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+−+−=

−−=

−

−

)46()43(21

)7()74()32()34()7(

)46()43(21

21

21

224

324

2

xxxuu

uuuuuudxdy

xxxdxdu


dxdy

จากสมการ uuy 35 2 −= , vvu 34 3 += , 56xv =

วิธีทํา uuy 35 2 −= ; 310 −= ududy

vvu 34 3 += ; 312 2 += vdvdu

56xv = ;

430xdxdv

=

)30()312()310( 42 xvudxdv

dvdu

dudy

+−=⋅⋅

)312()310(30 24 +−= vuxdxdy




33



2

2

+

−=

uuy ,

3 2 2+= xu


2

2

+

−=

uuy

2222

22

)1(4

)1()2()1()2()1(

+=

+

−−+=

uu

uuuuu

dudy

31

)2( 2 += xu

32

32

)2(3

2)2()2(31

2

2

+=+=

−

x

xxxdxdu

23

2ux

=

∴ 222 32

)1(4

ux

uu

dxdu

dudy

⋅+

=⋅

22 )1(38+

=uu

xdxdy


dtdy

จากสมการ 533 +−= xxy , 32+=

tx

วิธีทํา 533 +−= xxy

33 2 −= xdxdy

32+=

tx

t

tdtdx

41

221 2

1

=⋅⋅

=−

∴ t

xdtdx

dxdy

41)33( 2 ⋅−=⋅

t

xdtdy

4)1(3 2 −

=


dxdy

จากสมการ ttx 22 += , tty 62 3 −= เม่ือ 0=t

วิธีทํา tty 62 3 −=

66 2 −= tdtdy

ttx 22 +=

22

1,22+

=+=tdx

dttdtdx

)1(2

)1()1(62266 2

++−

=+−

=⋅t

ttt

tdxdt

dtdy




33

)1(3 −= tdxdy

เม่ือ 0=t

3)10(3 −=−=dxdy


dtdy

จากสมการ xxy 42 −= , 12 2 += tx เม่ือ 2=t , 5=x

วิธีทํา xxy 42 −=

)2(242 −=−= xxdxdy

21

)12( 2 += tx

)4()12(21 2

12 tt

dtdx −

+=

21

)12(

22 +

=t

t

21

)12(

2)2(22 +

⋅−=⋅t

txdtdx

dxdy

21

)12(

)2(42 +

−=

t

xtdtdy

เม่ือ 2=t , 5=x

[ ]21)1)2(2

)25(242 +

−=

dtdy

5

)25(24 −=


dxdy

จากสมการ 43 += uy , xxu 22 +=

วิธีทํา 43 += uy

23u

dudy

=

xxu 22 +=

[ ])1(2)3( 2 +=⋅ xudxdu

dudy

)1()2(6 22 ++= xxxdxdy

)1()2(6 22 ++= xxx




33



1u

y = , xu −= 2


uy =

33 22

uu

dudy −

=−= −

xu −= 2

1−=dxdu

)1(23 −⋅

−=⋅

udxdu

dudy

3)2(2xdx

dy−

=


จากสมการ uy 2= , v

u 1= และ

231 xv −=

วิธีทํา uy 2= , 2=dudy

v

u 1= , 2

1vdv

du−=

231 xv −= , x

dxdv 6−=

)6(12 2 xvdx

dvdvdu

dudy

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=⋅⋅

222 )31(1212

xx

vx

dxdy

−==

36. จงหาคา dtdy

จากสมการ 3)65( += xy ,

42 )1( += tx เม่ือ 0=t

วิธีทํา 3)65( += xy

22 )65(15)5()65(3 +=+= xx

dxdy

42 )1( += tx

3232 )1(8)2()1(4 +=+= tttt

dtdx

[ ]322 )1(8)65(15 ++=⋅ ttxdtdx

dxdy

เม่ือ 0=t

0=dtdy




33

37. จงหาคา dtdw

จากสมการ 2uw = ,

11

−+

=ttu เม่ือ 3=t

วิธีทํา 2uw = , u

dudw 2=

11

−+

=ttu , 22 )1(

2)1(

)1()1(−

−=−

+−−=

tttt

dtdu

2)1(4−

−=⋅t

udtdu

dudw

)1()1(

)1(4

2 −+

⋅−

−=tt

tdtdw

เม่ือ 3=t , 2)13()13(

)13(4

2 −=−+

⋅−

−=dtdw


dtdy

จากสมการ wy = , )23( xxw −= , 2tx = เม่ือ 1−=t

วิธีทํา wy = , wdw

dy2

1=

)23( xxw −= , xdxdw 43 −=

2tx = , t

dtdx 2=

)2()43(2

1 txwdt

dxdxdw

dwdy

⋅−⋅=⋅⋅

)23(2

)43(222

2

tt

ttdtdy

−

−=

2

2

23

43

t

t

−

−=

เม่ือ 1−=t , 1)1(23

)1(432

2−=

−−

−−=

dtdy

39. จงหา

dxdy

จากสมการ xyx 763 32 =−

วิธีทํา xyx 763 32 =−

dxdx

dxdyy

dxdxx 7186 2 =−

7186 2 =−dxdyyx

21867yx

dxdy

−

−=




33

40. จงหา dxdy

จากสมการ 3 yyx +=

วิธีทํา 3 yyx +=

31

21

yyx +=

dxdyy

dxdyy

dxdx 3

221

31

21 −−

+=

dxdy

yy ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

3 23

12

11

3 232 yydxdy

+=


จากสมการ 222 byxyax =++

วิธีทํา 222 byxyax =++

222 2

1)( byxyax =++

0221

212 2

121

21

21

=+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅+⋅⋅+

−−

dxdyyxy

dxdyyxax

02

22

221

21

21

21

=+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++

−−

yaxdxdyyyaxx

yyax

x

ayx

dxdy

22

22

21

21

21

21

+

−−

=−

42. จงหา

dxdy

จากสมการ 03 323 =+− yxyx

วิธีทํา 03 323 =+− yxyx

03233 223 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

dxdyyy

dxdyxyx

03363 223 =+−−dxdyyy

dxdyxyx

222 33)63( xy

dxdyxyx −=−

xyy

xydxdy

22

22

−

−=




33

43. จงหา dxdy

ของฟงกชัน 222222 bayaxb =+

วิธีทํา 222222 bayaxb =+

022 22 =+dxdyya

dxdxxb

xbdxdyya 22 22 −=

yaxb

dxdy

2

2

22−

=

yaxb

dxdy

2

2−=

44. 222 ayx =+ จงหาคา

dxdy

วิธีทํา 222 ayx =+

022 =+dxdyy

dxdxx

yx

dxdy

22

−=

yx

dxdy

−=


dxdy

ของฟงกชัน 6=+yx

xy

วิธีทํา 6=+yx

xy

621

21

21

21

=+−−

yxxy

021

21

21

21 2

121

23

21

21

21

23

21

=⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

−−−−−−

xydxdyyx

dxdyyxxy

02

1

22

1

2 21

21

23

21

21

21

23

21

=+−⋅−

yxdxdy

y

xdxdy

yxx

y

yxx

ydxdy

y

xyx 2

1

2221

33−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

3

3

221

21

2

y

xyx

yxx

y

dxdy

−

−

=




33


ของฟงกชัน 13 323 =++ cyxybax

วิธีทํา 13 323 =++ cyxybax

03333 2222 =+++dxdycyyb

dxdyxbax

ybxadxdycyxb 2222 33)33( −−=+

)(

(22

22

cyxbybxa

dxdy

+

+−=


dxdy

ของฟงกชัน 233 =+ xyyx

วิธีทํา 233 =+ xyyx

033 3223 =+++ ydxdyxyyx

dxdyx

yxydxdyxyx 2323 3)3( −−=+

23

23

33xyx

yxydxdy

+

−−−=


dxdy

ของฟงกชัน 322 =+− yxyx

วิธีทํา 322 =+− yxyx

022 =+−−dxdyyy

dxdyxx

xydxdyxy 2)2( −=−

xyxy

dxdy

−−

=2

2


dxdy

ของฟงกชัน 025 23 =−+− yxyxy

วิธีทํา 025 23 =−+− yxyxy

02325 22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+− xy

dxdyx

dxdyy

dxdy

xydxdyxy 22)35( 22 +=−+


dxdy

ของฟงกชัน 1052 234 =−++ yxxxy

วิธีทํา 1052 234 =−++ yxxxy




33

032452 2233 =−−++ xydxdyyxx

dxdy

543)22( 3223 −−=− xyxdxdyyx

yx

xyxdxdy

3

322

22543

−

−−=


dxdy

ของฟงกชัน 232 xxy −=

วิธีทํา 232 xxy −=

)6()32(21 2

12 xxy

dxdyx −−=+

−

xdx

dy

y 21

3

1132 =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

3 23

112

1

yx

dxdy


dxdy

ของฟงกชัน 3 yxy +=

วิธีทํา 3 yxy +=

dxdyyx

dxdy 3

221

31

21 −−

+=

xdx

dy

y 22

3

1132 =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

3 23

112

1

yx

dxdy


dxdy

ของฟงกชัน 0333 =−+ axyyx

วิธีทํา 0333 =−+ axyyx

0333 22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+ y

dxdyxa

dxdyyx

22 33)33( xay

dxdyaxy −=−

axyxay

dxdy

−

−= 2

2




33

แบบฝกหัด

แบบฝกหัดที่ 3.1

กําหนด )(xf จงพิจารณาวา f มีอนุพันธหรือไมท่ี cx =

1. 1;122

14)(

2=

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

<= c

xx

xxxf


2. 2,1;1)1(

11)(

2−−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−>+

−≤+= c

xx

xxxf


3. 2;)1(

1)( =+

= cx

xf


จงหาอนุพันธของฟงกชันตอไปนี ้

1. )1(2)( += xxf 2. cbxaxxf ++= 2)(

3. 211)(xx

xxf −+= 4. 321)(

2

+−

=x

xxf

5. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2

1111)(xx

xf 6. 5)21()( xxf +=

7. 1024 )()( xxxxf ++= 8. ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−≤≤=2,2

20,)(2

xxxxxf

9. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<≤−+

−<+=

3,1331,6

1,4)(

2

xxxx

xxxf

แบบฝกหัดที่ 3.3 ขอ 1-5 จงหา

dxdy

1. 132 −+= uuy และ 12 += xu

2. 2uy = และ 322 ++= xxu

3. 122 −+= uuy และ 12 += xu

4. 1+= uy และ 53 23 −++= xxxu

5. u

uy41

2−

= และ 42 )15( += xu

ขอ 6-7 จงหา dxdy




33

6. 52,1,1

71 22 −=+=

+

−= txxu

uuy

7. 25,1

71,1 22 +=

+

−=+= tx

xxuuy เม่ือ

52

−=t

8. จงแสดงวา xxdxd sincos −= (ใช )

2(sincos xx −=π

)

แบบฝกหัด 3.4

จงหาอนุพันธอันดบัท่ีสองของฟงกชันที่กําหนดใหในขอ 1-5

1. 23 84)( xxxf −= 2. 8 3 52)( −= yyf

3. xxxxF 5)( 2 −= 4. 223

1)(x

xG−

=

5. 1)( 2 += xxf

6. กําหนด 2−= xxy จงหา 3

3

dxyd

7. กําหนด 212527 2 xxxy +−= จงหา

4

4

dxyd

8. จงหา )()( xf n ถากําหนดให

8.1 nxxf =)( เม่ือ n เปนจํานวนเต็มบวก

8.2 nxxf )1()( −= เม่ือ n เปนจํานวนเต็มบวก

8.3 x

xf21

1)(−

=


จงหาคาของลิมิตตอไปนี ้

1. h

xhxh

sin)(sin0

lim −+→

2. x

xx

3sin0

lim→

3. 2

2

0

sinlimx

xx→

4. x

xx 2

3tan0

lim→


ขอ 1 − 32 จงหา dydx

( )1 22 4. y x= + ( )2 1 2 2 5

. y x= −

( )3 3 24 10. y x= − ( )4 3 42 3

. y x x= − +

( )5 3 2 14 2 2. y x x= − +

− ( ) ( )6 2 1 22 2 3

. y x x= + +

( )7

2

12 3. yx

=+

( )

83 4

1

3

. yxx

=−

+




33

( )9

1

1

2

2 2. yx

x=

+

−

3

11.10 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=xxy


11 3. siny x= 12 1 2. cos ( )y x= −

( )13 3 2. tany x= 14 2 3. cscy x=

xy 2sin5.15 = 16 2 32. tan ( )y x= +

17 3 2. tany x= 18 2. (cos sin )y x x= −

19 3 2 3. ( ) cscy x x= + 20. sin (cos )y x=

( )21

1

1

3

2.tan

yx x

x=

+ 22 32 5. siny x x=

231

2 3 5.( )

yx

=+

( )( )

242 13 1

3

4. yxx

=+

+

( )25

1 53 5 3

.cot

yx x

x=

− 26 2. tany x=

271

1 2y

x=

− 28 5 3 2 14. ( )y x= − −

29 5 4 22. tany x= + 301 21 2

.sinsin

yxx

=+

−

3111

2. cosyxx

=−

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 32. y x x= +

ขอ 33 − 36 จงหา ′′y

xxxy 2sin5cos.33 −= ( )42 1.34 += xy

( )22 1

)12(.35+

−=

x

xy xxy 2cos.36 2=

ขอ 37 − 39 จงหาสมการเสนสัมผัสกราฟของ y = f x( ) ณ จุดท่ีกําหนดให

37 3. cosy x x= ท่ี x = π 382

3. secy x= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π ท่ี x = −

π2

( )

( )39

3 4

2 2

2

2 2. yx

x=

−

− ท่ี x = 2


ขอ 1 − 16 จงหา y ′ ดวยวิธีการหาอนุพันธโดยปริยาย

1.1 22 =− yx 32.2 32 =+− yxyx




33

33.3 yxy −= ( ) 32.4 2 =− yxy

5. y x y= + 6 1. sin sinx y y x+ =

( )7 3. sec xy x= 8. sin cosx y x y= −

( ) ( )22222 4.9 yxyx −=+ 8.10 32 =+− yxyx

1732.11 232 +=− xxyy 16.12 44 =+ yx

( )13 2 2 232. xy x y= + 14 12.

yx y

x−

= +

( )15. cos sinx y y x− = ( )16. cotxy xy=

ขอ 17 − 20 จงหา ′′y

1.17 22 =+ yx 8.18 23

23

=− yx

32.19 2 =− yxy yyx =cos.20


ณ จุดท่ีกําหนดให โดยใชวิธีการหาอนุพันธท้ังสองวิธี คือ โดยวิธีแยก y

ออกจาก x และโดยวิธกีารหาอนุพันธโดยปริยาย

)4,2(;8.21 =xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+

21,

21;1.22 22 yx

)2,3(;423.23 22 =+− xxyy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

21,1;311.24

yx

ขอ 25 -26 จงหาความชันของเสนสัมผัสโคง ณ จุดท่ีกําหนดให

25 10 1 23 3. ; ( , )x y y x+ = 26 1 1 123

23. ; ( , )x y y− − =

27. จงใชการหาอนุพันธโดยปริยายแสดงวา เสนสัมผัสโคงวงรี ท่ีมีสมการ

xa

yb

2

2

2

2 1+ = ณ จดุ ( )x y0 0, คือ x xa

y yb

0 0 1+ =

28 จงหาสมการเสนสัมผัสกราฟไฮเพอรโบลา xa

yb

2

2

2

2 1− = ณ จุด ( )x y0 0,

29. จงหา ′y ( )1 และ ′′y ( )1 ถากําหนดให y( )1 0= และ sin y x x= − 3

ขอ 30-32 จงหาเสนสัมผัส และเสนตั้งฉากของเสนโคง ณ จุดท่ีกําหนดให

30 1 2 32 2. ; ( , )x xy y− − = 31 9 1 32 2. ; ( , )x y = −

322

2 3 1. ; ( , )x yx y−

−=

33. จงหาเสนตั้งฉากของเสนโคง xy y y+ − =2 02 ท่ีตั้งฉากกับเสนตรง 2 0x y+ =

34. จงแสดงวาเสนตั้งฉากของวงกลม x y a2 2 2+ = ท่ีจุด ( , )x y ใด ๆ ตองผานจุดกําเนดิ




33


ขอ 1 − 9 จงหา ลิเนียไรเซชัน L x( ) ของฟงกชันที่กําหนดใหท่ี x = a และใช L x( ) ประมาณ

คา f x( ) ท่ีกําหนดให พรอมท้ังคํานวณหาคาจริงเพ่ือเปรียบเทียบกับคาประมาณท่ีคาํนวณได

1 1 1014. ( ) , , ( . )f x x a f= =

6 9 4 4 22. ( ) , , ( . )f x x a f= + = − −

2 2 2 11. ( ) , , ( . )f x x a f= =− 7

42390

. ( ) tan , ,f x x a f= =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π

3 1 113. ( ) , , ( . )f x x x a f= − = 8 4 4 13/2. ( ) , , ( . )f x x a f= =

4 2 3 2 193. ( ) , , ( . )f x x x a f= − + =

93 2

2 1 2 2 23 2

. ( ) , , ( )f xx x

x a f= + − − = •

5 4 4 1. ( ) , , ( . )f x x a f= =

ขอ 10 − 17 จงใชการประมาณเชิงเสนประมาณคาตอไปน้ี

10. 4)02.3( 11. 65

12. 9.80 13. 06.8

14. 3 5.7 15. 1021

16. Ο31cos 17.

Ο44sin

ขอ 18-27 จงหา dy

18. 322 −+= xxy 19. 24 xy −=

20. x

xy−

=1

21. xy sin=

22. xxy tansec += 23. ( ) 3/26 1+= xy

24. x

xy tan= 25.

22sin xy =

26. 1

13 −

=x

y 27. xxy cos=

ขอ 28 − 30 กําหนดให y = f x( ) และ Δx เปนสวนเปล่ียนแปลงของ x จาก x = a ไปยัง

x = a + Δx จงหา

ก) การเปล่ียนแปลงของ ( )Δy f a x f a= + − ( )

ข) คาประมาณของ dy y≈ Δ

ค) คาคาความคาดเคล่ือน Δy − dy

28. 1.0,0,2)( 2 =Δ=+= xaxxxf

29. 1.0,1,)( 3 =Δ=−= xaxxxf

30. 1.0,5.0,)( 1 =Δ== − xaxxf




33

31. กําหนดรัศมีของวงกลมเพ่ิมข้ึนจาก 2.00 ไปยัง 2.02 เมตร

ก) จงประมาณคาการเปล่ียนแปลงของพ้ืนที่วงกลม

ข) จงหาเปอรเซนตคาความความผิดพลาดของพ้ืนท่ีท่ีเปล่ียนไปเทยีบกับพ้ืนท่ีเดมิ

32. ส่ีเหล่ียมลูกบาศกมีดานยาว ดานละ 10 เซนติเมิตร และมีคาความผดิพลาดจากการวัด 1%

จงหาปริมาตรของส่ีเหล่ียมลูกบาศกท่ีไดจากการวัดและหาเปอรเซนตความผิดพลาดของ

ปริมาตรท่ีเปล่ียนไป

33. จงประมาณคาเปอรเซนตคาความผิดพลาดในการวัดเสนผาศูนยกลางของทรงกลม ถามีคาความผิดพลาด

แคลคูลัส บทที่ 3 อนุพันธ์

Documents