3.2.2 函数模型的应用实例（一）

北京市第八十中学 贾应红

我们学习过一次函数 , 二次函数 , 指数函数 , 对数函数以及幂函数 . 它们都与现实世界有着紧密的联系 , 有着广泛的应用 .

下面我们通过两个实例 , 来感受它们的应用 , 体会解决实际问题建立函数模型的过程 .

例 3: 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示 .

思考 1 ： 从上图 1 中，你能得到什么信息？

v

0102030405060708090100

0～１ １～２ ２～３ ３～４ ４～５

v

t

v

1 2 3 4 5

图 1

问题 1 ：(1) 求图中阴影部分的面积 , 并说明所求面积的实际意义 ;

v

0102030405060708090100

0～１ １～２ ２～３ ３～４ ４～５

v

t

v

1 2 3 4 5

解： (1) 阴影部分的面积为 :

50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.

阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内得驶的路程为 360km.

图 2

v

0102030405060708090100

0～１ １～２ ２～３ ３～４ ４～５

v

t

v

1 2 3 4 5

图 2

问题 2 ：(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km, 试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s(km) 与时间 t (h)的函数解析式 , 并作出相应的图象 .

思考 2 ：你能根据图2

作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗 ?

路程关于时间的函数解析式为 :

50t,

80(t-1)+50,

90(t-2)+130,

75(t-3)+220,

65(t-4)+295,

0≤t<1,

1≤t<2,

2≤t<3,

3≤t<4,

4≤t≤5.

S1=

它的图象为 :

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6

t

s

图 3

(2) 函数的解析式为 : 50t+2004,

80(t-1)+2054,

90(t-2)+2134,

75(t-3)+2224,

65(t-4)+2299,

0≤t<1,

1≤t<2,

2≤t<3,

3≤t<4,

4≤t≤5.

s=

函数的图象为 :

1950

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

2400

0 2 4 6t

s

点评 :

分段函数是刻画现实问题的重要模型 .

图 4

s

t

思考 3 ： 如果已知汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数图象 ( 如图4) ，你能得到汽车在这段路程中的行驶速度与时间的函数关系吗？

1950

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

2400

0 2 4 6

图 4

思考 4 ： 如果图 4 变成下图 5 ，你还能得出上述结论吗？

1950

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

2400

0 1 2 3 4 5 6

图 5

例 6. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表 :

身高(cm)

60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

体重(kg)

6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

(1) 根据表中提供的数据 , 能否建立恰当的函数模型 ,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 ykg与身高 xcm 的函数关系 ? 试写出这个函数模型的解析式 .

(2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖 , 低于 0.8 倍为偏瘦 , 那么这个地区一名身高为 175cm, 体重为 78kg 的在校男生的体重是否正常 ?

阅读课本 P105-106 ，并思考下列问题：

思考 1 ：例 6 中如何求 b 的值 ?

思考 2 ：这里共有 12 组数据，任取两组数据，是否得到 a ， b 的值都会相同？如果不同如何选择？

思考 3 ： 你觉得由散点图，应该用哪类函数来刻画这个地区未成年男性体重 y 与身高 x 的函数关系？

思考 4 ： 例 3 与例 6 有何区别？

解 (1) 以身高为横坐标 , 体重为纵坐标 , 画出散点图 , 根据点的分布特征 , 可考虑以 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型 .

xy a b

由表可知 : 当 x=70 时 ,y=7.07; 当 x=160 时 ,y=47.25.70

160

7.9

47.25 ,

a b

a b

解得 a≈2,b≈1.02

, : 2 1.02xy 这样 得到的函数模型为

将已知数据代入上述函数解析式 , 或作出上述函数的图象 , 可以发现 , 这个函数模型与已知数据的拟合程度较好 , 这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系 .

(2) 175 ,x x将 代入y=2 1. 02 得1752 1.02 63.98.y

由于 78÷63.98≈1.22>1.2

所以这个男生偏胖 .

上述两个例子各有特点 , 例 3 是一类变量间具有确定关系的问题 , 根据这个关系就可以建立函数模型解决问题 . 与例 3 不同的是 , 例 6 是需要数据特点选择函数模型，较完整的反映了建立函数模型解决实际问题的过程 .

函数建模的基本过程

收集数据

画散点图

选择函数模型

求函数模型

检验

用函数模型解释实际问题符合实际

不符合实际