3.4 多值依赖 3.4.1多值依赖( multivalued dependency，mvd)

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3.4 多值依赖3.4.1 多值依赖 (Multivalued Dependency，MVD)

例： COURSE TEACHER CLASS 知识工程王一平硕士刘晓利博士离散数学赵静硕士孟山峰本科大专

2下下

例： COURSE TEACHER

CLASS 知识工程王一平硕士知识工程王一平博士知识工程刘晓利硕士知识工程刘晓利博士

t1

t3

t4

t2

COURSE →→ TEACHER

COURSE →→ CLASS 下页

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定义 (MVD) 设关系模式 R， X、 Y R 且 Z=R-

(XY) 。若对 r(R) 中任意元组 t1、 t2有 t1[X]=t2[X] ，则在 r

中存在元组 t3 且满足： t3[X]=t1[X]， t3[Y]=t1[Y] ，且 t3[Z]=t2[Z]

关系 r(R) 满足多值依赖 (MVD) X→→Y ，称 X 多值决定Y或 Y 多值依赖于 X。

定义（ MVD ）设关系模式 R， X、 Y R 且 Z=R-

(XY) 。若关系模式 R 满足多值依赖 (MVD) X→→Y ，当且仅当对 R 上的任一关系 r ，给定一对（ x, z ）的值，有一组 y 的值，这组值仅仅决定于 x 值而与 z 的值无关。

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引理设关系模式 R 和 R 上的关系 r ， X 、 YR 且Z=R-(XY) 。若 r 满足多值依赖 X→→Y ，则 r 满足多值依赖 X→→Z。说明： (1) MVD 中： X∩Y=φ或 X∩Y≠φ 都可以。若 X∩Y≠φ ，则有 r 满足 X→→Y,(Y=Y-X) 。因为 YY ，则 t3(Y)=

t1(Y) ，而 Z=R-(XY)=R-(XY) ，有 t3(Z)=t2(Z)。

(2)若 X∩Y=φ且 XX ，则 r(R) 满足 X→→Y 也满足 X→→YX。 (3)若 Z=φ ，即 R=XY ，即 X→→Y， X→→φ 为平凡的MVD 。 (4)若 R(XYZ)中 X=φ ，即MVDφ→→Y， Z=R-Y。则 r 是投影 Y(r) 和 Z(r) 的笛卡尔积。

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例：若 r 满足 MVD

AB→→BC， AB∩BC=B ，因此 r 也满足MVD AB→→C 。又 A AB ，则 r也满足 MVD AB→→AC。

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3.4.2 多值依赖的性质定理 12 设关系 r(R)， X、 Y和 Z是 R 的子集且 Z=R-

(XY) ，当且仅当关系 r 无损地分解成关系模式 R1 =XY和

R2 =XZ ，则 r 满足 X→→Y。

设 t1、 t2∈r ，且 t1[X]=t2[X] 。又设t1∈r1， t2∈r 2 , t1=t1[XY]且 t2=t2[XZ] 。由于r=r1 r2 ，因此有 t∈r ，使 t[XY]=t1[XY]和

t[XZ]=t2 [XZ] ，即元组 t是 t1 和 t2 的连接结果。因t、 t1 和 t2 在 r 中，所以 r 满足 X→→Y。

证明： (1)设 r 是模式 R(XYZ) 上的关系，假定 r 无损分解成 r1 (XY)和 r2(XZ) ，即 r1 =XY(r), r2=XZ (r)。

r = XY (r) XZ (r)

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(2)设 X→→Y 在 r 上成立， r1和 r2 如上所述。设 t r∈ 1

r2 则一定有 t r∈ 。

因 t r∈ 1 r2 , 必有元组 t1 r∈ 1和 t2 r∈ 2 ，且满足：

t[X]=t1[X]=t2[X], t[Y]=t1[Y]和 t[Z]=t2[Z] 。因 r1和 r2是

r 的投影，则在 r 中必有元组 t1、 t2和 t3 ，使得

t1[XY]=t1[XY], t2[XZ]=t2[XZ], 且 t3[X]=t1[X]= t2[X],

t3[Y]=t1[Y]和 t3[Z]=t2[Z] 。可以看出， t3 就是 t, 即

t r∈ 。所以有r1 r2 r, 而 rr1 r2 是显然的 , 因此 r= r1 r2 成立.

证毕。

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测试关系 r 是否满足 MVD ： (1). 根据多值依赖的性质；(2). r 是否满足： |πY ( X=x(r))| = |πY ( XZ=xz(r))|

其中， R=XYZ, Z=R -(XY)

推论设 r 是模式 R 上的一个关系，并设 X和 Y是 R 的子集。如果 r 满足 FD X→Y ，则 r 满足 MVD X→→Y。

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3.4.3 多值依赖的推理公理多值依赖的推理公理 M1~M9M1 ：自反性若 Y X 则 X→→Y。M2 ：增广性若 X→→Y，W Z ，则 XZ→→YW。M3 ：相加性若 X→→Y、 X→→Z ，则 X→→YZ。M4 ：投影性若 X→→Y、 X→→Z ，则 X→→Y－ Z 、 X→→Y∩Z 。M5 ：传递性若 X→→Y、 Y→→Z ，则 X→→Z－ Y。M6 ：伪传递性若 X→→Y、 YW→→Z ，则 XW→→Z－ (YW)。M7 ：互补性若 X→→Y、 Z＝ R－ (XY) ，则 X→→Z。M8 ：重复性若 X→Y ，则 X→→Y。M9 ：结合性若 X→→Y， Z→W ，其中 W Y 和 Y∩Z＝Φ ，则 X→W。

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证明：公理 M4 先证 X→→Y－ Z 成立。若 X→→Y、 X→→Z ，有 X→→YZ ，求补得： X→→V ，其中 V=R － (XYZ)。由 X→→Z 、 X→→V ，有 X→→VZ，求补得： X→→R－ (XVZ) 。化简 R－ (XVZ) ： R－ (XVZ) = R－ (X（ R－ (XYZ)） Z) = R－ (X（ R－ Y） Z) = Y－ (XZ) = (Y－ Z)－ X 因此， r 满足 X→→(Y－ Z)－ X ，又 X→→X ，则： X→→Y－ Z因 X→→Y， X→→Y－ Z ，有： X→→Y－ (Y－ Z) =Y∩Z ，即有 X→→Y∩Z 成立。证毕。

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证明（公理 M9 ）：

设 t1和 t2是 r 中的元组。有 t1[X]=t2[X]。

因 r 满足 X→→Y ，则必有元组 t 在 r 中且满足条件： t[X]=t1[X] =t2[X] ， t[Y]=t1[Y]， t[V]=t2[V] 。

其中 V = R－ [XY]

因 Y∩Z＝Φ， Z XV ，因此 t[Z] = t2[Z]。

由 FD Z→W 可知：因 t[Z] = t2[Z] ，有 t[W]=t2[W]。

因W Y ，而 t[Y]=t1[Y] ，则 t1[W]=t[W]=t2[W]，

而 t1[X]=t[X]=t2[X] ，因此 r 满足 X→W 。

证毕。

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例：设R=ABCDE， F={A→→BC， DE→→C}

求证： F |= AD→→BE证明：由 A→→BC ，由M7 得： A→→DE，已知 DE→→C ，由M5 得： A→→C，由M2 得： AD→→C ，由M7 得： AD→→BE。

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定义 ( 依赖基 ) 设 F 是关系模式 R 上的多值依赖集， X R 。定义 X 关于 F 的依赖基是 R 的一个划分{ Y1,Y2,...,Ym} ，其满足如下条件：

(1) F|= X→→Yi， 1 i m；

(2) { Y1,Y2,...,Ym} 中没有任何 Yi (1 i m) 使得 Yi

Yi 而满足 F|= X→→Yi。

X 的依赖基记为 DEP(X， F)： X→→Y1 |Y2 |…|

Ym。 ** X 的依赖基是唯一的。

3.4.4 依赖基

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最小不相交基 (minimal disjoint set basic, mdsb)

设 S={S1,S2, … ,Sp}是 U 上的属性集且 U= S1 S∪ 2 … S∪ ∪ p，

S 的最小不相交基是 U 的划分 , 表示为： {Y1,Y2,…,Yk} 。

该划分满足： (1) S 中的每个 Si 是某些 Yi 的并集；

(2) {Y1, Y2,…,Yk} 是满足 (1) 的每个 Yi 具有最少属性数的U 的划分。例：已知 S={ABCD, CDE, AE}， U=ABCDE 计算： mdsb(S) mdsb(S) 为： {A, B, CD , E}。

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算法 3.4.1 计算最小不相交基 MDSB(G)

for each Yi Yj in G do

if Yi∩Yj φ then

Y： ={(G－ Yi－ Yj)} {Y∪ i∩Yj} {Y∪ i－ Yj } {Y∪ j－

Yi };

G:=Y

return(G).

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计算 X 的依赖基 DEP(X) ：(1). 将 F 中的所有 FD 变为右部为单属性的 MVD；

(2). DEP(X) 的初值为 X 的单属性集合和除 X 以外的其它属性集的并集；(3). 利用 MVD 的传递性不断改进 DEP(X)。

若有 W→→ZF 且W 包含在 DEP(X) 的某些属性集的并Y 中，而 ZY 不为空或不是 DEP(X) 中某些属性集的并，则 DEP(X)=DEP(X)∪{ZY}, 计算 mdsb(DEP(X)).

反复执行 (3), 直到不能改进为止。

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算法 3.4.2 计算 X 的依赖基输入：模式 R， R 的多值依赖基 F及 X R

输出： DEP(X， F)

BASIS(R， F， X)

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Begin for each FD U→V in F do F:= (F{U→V }) {U→→B∪ i | V=B1…Bp,1≤i≤p};

G: = { {Ai} | X=A1…Ak, 1≤i≤k } { R∪ X };

T: =Ф; While T G do begin T: = G; For each MVD W→→Z in F do begin Y= {Y∪ i | Yi T且 Yi∩Wφ};

If WY then If ZYΦ and ZYT and ZY { Y∪ i | Yi T }

then G: = mdsb ( G { Z∪ Y } ) End; End; Return(G) End.

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例：设 R=ABCDEG, F={AB→C, B→DE, DE→→G}。计算： DEP(AB, F)解： (1). 将 FD 变为右部为单属性的 MVD： F={AB→→C, B→→D, B→→E, DE→→G}

(2). DEP(AB)＝ {A, B, CDEG}。 (3). 检查 AB→→C, 有 AB∩Aφ和 AB∩B φ, 且 ABA B∪ ，加 C到 DEP(AB) 。 DEP(AB)={ mdsb (A, B, C, CDEG)}={A, B, C, DEG}。

(4). 依次检查 B→→D和 B→→E, DEP(AB) = {mdsb (A, B, C, DEG, D, E)={A, B, C, D, E, G}

结果： DEP(AB)= {A, B, C, D, E, G}。

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定理 13 推理公理 A1～ A3，M1～M9 对于函数依赖集和多值依赖集是完备的。

证明 : 构造一个关系 r使 r 满足 F 但不满足X→→Y,即 X→→Y在 r 上不成立，若能证明以下二点则定理得证。 (1). 凡是 F 蕴涵的 MVD在 r 中都成立； (2). X→→Y 不能用公理从 F 中推出，则X→→Y在 r 中不成立 .

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A1 A2 …Am W1 W2 … Wn

1 1 … 1 0…0 0 … 0 … 0…0 1 1 … 1 0…0 0 … 0 … 1…1 1 1 … 1 0…0 1 … 1 … 0…0 1 1 … 1 1…1 0 … 0 … 0…0 … … … … … … … 1 1 … 1 1…1 1 … 1 … 0…0 1 1 … 1 1…1 1 … 1 … 1…1

X＋X→→Wi

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3.4.5 嵌入多值依赖定义 ( 嵌入 MVD) 设关系模式 R 和其上的关系 r， S R ， XY S ， Z=S－ XY ，如果

S ( r) 满足 X→→Y ，则称关系 r ( R ) 满足嵌入多值依赖 EMVD X→→Y|Z。

例 : 设模式 R(C, T, S, M, G) ，其中 C、 T、 S、M、 G

分别表示课程、教师、学生、上课时间、成绩。r 不满足 MVD CT→→S ，但满足 EMVD CT→→S | M。 ( 下页图 )

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C T S M G c1 t1 s1 m1 g1

c1 t1 s2 m1 g2

c1 t2 s3 m1 g3

c1 t1 s1 m2 g1

c1 t1 s2 m2 g4

c1 t2 s3 m2 g5

c2 t3 s2 m2 g2

c2 t3 s2 m3 g6

r 不满足 MVD CT→→S ，但满足 EMVD CT→→S | M。

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3.5 连接依赖r ( A B C ) r1 ( A B ) r2 ( A C ) r3 ( B C ) a1 b1 c1 a1 b1 a1 c1 b1 c1 a1 b2 c2 a1 b2 a1 c2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 a3 c3 b3 c3 a4 b3 c4 a4 b3 a4 c4 b3 c4 a5 b5 c5 a5 b5 a5 c5 b5 c5 a6 b6 c5 a6 b6 a6 c5 b6 c5 关系 r 及 r 在 AB， BC， CA 上的投影分别为关系r1、 r2,、 r3 。若将 r1、 r2,、 r3 两两连接，连接后的关系不等于 r, 但若将 r1、 r2,、 r3 三个关系连接，则连接后的关系与 r 相同。

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JD 定义 2 ：若 r 满足 JD*[R1,R2, …, Rp] ，如果 r 含有元组 t1,t2, … , tp 且对所有的 i 和 j 等式 ti [Ri∩Rj]=tj [Ri∩Rj] 成立，其中 tiRi, tjRj， 1≤i,

j≤p ，则 r 必含有元组 t ，且 t[Ri]=ti[Ri]。

定义 ( 连接依赖 ) 设 R＝ {R1,R2, …,Rp} 是属性集U 上的关系模式集。若 r(U) 无损地分解成 R1 ，R2，

…， Rp ，那么，关系 r(U) 满足连接依赖，即： r = R1 (r) R2 (r) … Rp (r)。记为： (JD)*[R1, R2 …，， Rp] ，或 *[R1,R2 …，， Rp]。

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例：设关系 r(ABCDE) 满足JD*[ABC,BD,CDE]。 r ( A B C D E ) t1 a b c d e

t2 a b c d e t3 a b c d e t1[ABC∩BD]=t2[ABC∩BD]= b

t2[BD∩CDE]= t3[BD∩CDE]= d, t1[ABC∩CDE] = t3[ABC∩CDE]= c,

则 r 也必含元组 t： t[ABC]=t1[ABC]={abc},

t[BD] = t2[BD] = {bd}， t[CDE]=t3[CDE]={cde} 。元组 t = {abcde}。

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定义（嵌入连接依赖）

设关系 r(R)， S R 且 S＝ R1R2…Rp ，若 S(r)

满足 JD*[R1,R2,……， Rp] ，则称关系 r(R) 满足嵌入连

接依赖： (EJD)*[R1， R2 …，， Rp]。

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连接依赖推理规则 JD1—JD5

JD1 对任一 X U ，有 (EJD)*[X]。

JD2 设 YR1 R2 …Rk，

(JD)*[R1 ,R2 ……, Rk] |= (JD)*[R1 ,R2 ……, Rk, Y]。

JD3 (JD)*[R1 ,R2 …, Rk] |= (JD)*[R1,R2 …, Rk-2 , Rk-1 Rk]

JD4 {(JD)*[R1 ,R2 …, Rk, Y], (EJD)*[S1 ,S2 …, Sq]}

|= (JD)*[R1,R2 …, Rp, S1 ,S2 …, Sq]， Y=S1S2 …Sq

JD5 设 A R1 R2 …Rk，

(JD)*[R1 ,R2 …, Rk,YA] |= (JD)*[R1 ,R2 …, Rk, Y]

3.4 多值依赖 3.4.1多值依赖( multivalued dependency，mvd)

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