2.2 　最大值、最小值问题

工具工具第四章导数应用栏目导引栏目导引

2.2 　最大值、最小值问题


1. 理解函数最值的概念．

2. 掌握利用导数求函数最值的方法．

3. 掌握利用导数求最值的步骤 .


1. 求函数在 [a， b] 上的最值． ( 重点 )

2. 函数的极值与最值的区别与联系． ( 易混点 )

3. 利用函数的单调性，图象等综合考查． ( 难点 )


1 ．函数极值的判定

解方程 f′(x) ＝ 0 ，当 f′(x0) ＝ 0 时，

(1) 如果在 x0 附近的左侧，右侧

，那么 f(x0) 是极大值；

(2) 如果在 x0 附近的左侧，右侧

，那么 f(x0) 是极小值．

2 ．函数 y ＝ x2 ＋ 4x ＋ 4 在 [ － 3,4] 上的最大值为，最小值为 .

f′(x)＞ 0 f′(x) ＜ 0

f′(x)＜ 0 f′(x) ＞ 0

36

0


1 ．函数 f(x) 在闭区间 [a， b] 上的最值

如果在区间 [a ， b] 上函数 y ＝ f(x) 的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在 [a， b] 上一定能够取得和并且函数的最值必在或取得．

2 ．求函数 y＝ f(x) 在 [a， b] 上最值的步骤

(1) 求函数 y＝ f(x) 的；

(2) 将函数 y ＝ f(x) 的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

最大值最小值极值端点处

极值

各极值端点值


1 ．函数 f(x) ＝ x3 － 3x ＋ 1 的闭区间 [ － 3,0] 上的最大值、最小值分别是 ( 　　 )

A ．－ 1 、－ 1 　　　　　　B ． 1 、－ 17

C ． 3 、－ 17 D ． 9 、－ 19

解析：　 f(x)＝ 3x2－ 3，令 f(x)＝ 3x2－ 3＝ 0，∴ x2＝ 1，∴ x＝ ±1

f(－ 3)＝－ 17， f(－ 1)＝ 3， f(0)＝ 1，∴最大值 3.最小值－ 17.

答案：　 C


2．函数 f(x)＝x＋2cosx 在

0，

π2 上取得最大值时 x 为

( )

A．0 B.π6

C.π3 D.

π2

解析： f(x)＝1－2sin x，令 f(x)＝1－2sin x＝0

∴ sin x＝12，∵ x∈

0，

π2，∴ x＝

π6

答案：　 B


3 ．函数 f(x) ＝ lnx－ x在 (0 ， e] 上的最大值为 ________ ．

答案：　－ 1

解析： f(x)＝1x－1＝

1－xx ，令 f′ (x)＝

1－xx ＝0，∴ x＝1

当 0<x<1时，f′ (x)>0

当 1<x<e时，f′ (x)<0

∴ f(x)max＝f(1)＝－1


4 ．已知函数 f(x) ＝ 2x3 － 12x. 求函数 f(x) 的单调递增区间，并求函数 f(x) 在 [ － 1,3] 上的最大值和最小值．

解析： f(x)＝2x3－12x，

f′ (x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)．

令 f′ (x)＝0，得 x＝－ 2或 x＝ 2.

当 x变化时，f′ (x)与 f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－ ) － (－， ) (，＋∞ )

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋f(x) 极大极小


所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋

∞ )．

因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，

所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值为－8 2；

当 x＝3时，f(x)取得最大值为 18.


求下列各函数的最值．

(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈ [－3,2]；

(2)f(x)＝sin x－x，x∈

－

π2，

π2 .


求函数最值的步骤：


[ 解题过程 ] 　 (1)f′(x)＝－ 4x3＋ 4x，

令 f′(x)＝－ 4x(x＋ 1)(x－ 1)＝ 0，得

x＝－ 1， x＝ 0， x＝ 1.

当 x变化时， f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：

x － 3( － 3 ，－ 1)

－ 1( － 1,

0)0 (0,1) 1 (1,2) 2

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 －

f(x)－ 6

0

极大值 4

极小值 3

极大值 4

－5


∴ 当 x＝－3时，f(x)取最小值－60；

当 x＝－1或 x＝1时，f(x)取最大值 4.

(2)f′ (x)＝cos x－1≤ 0，

∴ f(x)＝sin x－x在

－

π2，

π2上是减函数．

∴ f(x)max＝f

－

π2＝

π2－1，

f(x)min＝f

π

2＝1－π2.


1. 已知函数 f(x) ＝ 2x3 － 6x2 ＋ a 在 [ － 2,2] 上有最小值－ 3

7.

(1) 求实数 a的值；

(2) 求 f(x) 在 [ － 2,2] 上的最大值．

解析：　 (1)∵f′(x)＝ 6x2－ 12x＝ 6x(x－ 2)．

令 f′(x)＝ 0得 x＝ 0或 x＝ 2.

∵f(－ 2)＝ a－ 40， f(0)＝ a， f(2)＝ a－ 8，

比较知 f(x)的最小值是 f(－ 2)，

由已知 f(－ 2)＝ a－ 40＝－ 37，

∴a＝ 3.


(2)由 a＝ 3知 f(0)＝ 3， f(2)＝－ 5

∴f(0)＝ 3是 f(x)在 [－ 2,2]上的最大值．


(2011·江西卷，20)设 f(x)＝13x

3＋mx2＋nx.

(1)如果 g(x)＝f′ (x)－2x－3 在 x＝－2 处取得最小值－

5，求 f(x)的解析式．

(2)如果 m＋n<10(m，n∈N＋)，f(x)的单调递减区间的长

度是正整数，试求 m和 n的值．(注：区间(a，b)的长度为 b

－a)


解析： (1)由题意得 g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋

m－1)2＋(n－3)－(m－1)2，

已知 g(x)在 x＝－2处取得最小值－5，

所以 m－1＝2，n－3－m－12＝－5，

解得 m＝3，n＝2.

故所要求的解析式为 f(x)＝13x

3＋3x2＋2x.


(2)因为 f′ (x)＝x2＋2mx＋n，且 f(x)的单调递减区间的长

度为正整数，故 f′ (x)＝0一定有两个不同的根，从而 Δ＝4m2

－4n>0，即 m2>n.

不妨设这两个不同的根为 x1，x2，则|x2－x1|＝2 m2－n为

正整数．


故 m≥2时才可能有符合条件的 m， n.

当 m＝ 2时，只有 n＝ 3符合要求．

当 m＝ 3时，只有 n＝ 5符合要求．

当 m≥4时，没有符合要求的 n.

综上所述，只有 m＝ 2， n＝ 3或 m＝ 3， n＝ 5满足上述要求．


已知函数 f(x) ＝ x3 － ax2 ＋ bx＋ c(a， b， c∈R) ．

(1) 若函数 f(x) 在 x＝－ 1 和 x＝ 3 处取得极值，试求 a，b的值；

(2) 在 (1) 的条件下，当 x∈[ － 2,6] 时， f(x) ＜ 2c恒成立，求 c的取值范围．


(1)由函数 f(x)在 x＝－1和 x＝3处取得极值，知导函数

有两根，利用韦达定理可求出 a，b.

(2)等价于求 f(x)在[－2,6]上的最大值．


[解题过程] (1)f′ (x)＝3x2－2ax＋b，

∵ 函数 f(x)在 x＝－1和 x＝3处取得极值，

∴ －1,3是方程 3x2－2ax＋b＝0的两根，

∴

－1＋3＝23a，

－1× 3＝b3，

∴ a＝3，b＝－9.


(2)由 (1)知 f(x)＝ x3－ 3x2－ 9x＋ c， f′(x)＝ 3x2－ 6x－ 9，当 x变化时，有下表：

x( －∞，

－ 1)－ 1 ( － 1,3) 3

(3 ，＋∞ )

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 极大值 c

＋ 5

极小值 c－ 27


而 f(－ 2)＝ c－ 2， f(6)＝ c＋ 54，

∴x∈[－ 2,6]时， f(x)的最大值为 c＋ 54.

要使 f(x)＜ 2c恒成立，只要 c＋ 54＜ 2c即可．

∴c＞ 54.

∴c的取值范围为 (54，＋∞ )．


2.设 f(x)＝x3－12x

2－2x＋5.

(1)求函数 f(x)的单调递增、递减区间；

(2)当 x∈ [－1,2]时，f(x)＜m恒成立，求实数 m的取值范

围．


解析： (1)由已知得 f′ (x)＝3x2－x－2，

令 f′ (x)＝0，即 3x2－x－2＝0，解得 x＝1或 x＝－23，

∴ 当 x∈

－∞，－

23时，f′ (x)＞0，f(x)为增函数，

当 x∈

－

23，1时，f′ (x)＜0，f(x)为减函数，

当 x∈ (1，＋∞ )时，f′ (x)＞0，f(x)为增函数，

∴ f(x)的递增区间为

－∞，－

23 和(1，＋∞ )，递减区间

为

－

23，1 .


(2)当 x∈ [－1,2]时，f(x)＜m恒成立，

只需使 f(x)在[－1,2]上的最大值小于 m即可．

由(1)知 f(x)极大值＝f

－

23＝5＋

2227，f(x)极小值＝f(1)＝

72，

又∵ f(－1)＝112，f(2)＝7，

∴ f(x)在[－1,2]上的最大值为 f(2)＝7，

∴ m＞7，即 m的取值范围为(7，＋∞ )．


某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，

余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个

桥墩的工程费用为 256万元．距离为 x米的相邻两墩之间的

桥面工程费用为(2＋ x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有

桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y

万元．

(1)试写出 y关于 x的函数关系式；

(2)当 m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使 y最小？


解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际

问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利

用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模

型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回

到实际问题，其思路如下：


[解题过程] (1)设需新建 n个桥墩，则(n＋1)x＝m，

即 n＝mx－1.

所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x

＝256

m

x－1＋mx (2＋ x)x

＝256mx ＋m x＋2m－256.


(2)由(1)知，

f′ (x)＝－256mx2 ＋

12mx－

12＝

m2x2(x

32－512)．

令 f′ (x)＝0，得 x32＝512，

所以 x＝64.

当 0＜x＜64时，


f′ (x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；

当 64＜x＜640时，

f′ (x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，

所以 f(x)在 x＝64处取得最小值．

此时 n＝mx－1＝

64064－1＝9.

故需新建 9个桥墩才能使 y最小．


3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)

与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p＝24 200－15x

2，

且生产 x吨的成本为 R＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产

多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？


解析：依题意，每月生产 x吨时的利润为

f(x)＝

24 200－

15x

2 x－(50 000＋200x)＝－15x

3＋24 000x

－50 000(x≥ 0)．

由 f′ (x)＝－35x

2＋24 000，令 f′ (x)＝0，

解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)．


因为 f(x)在[0，＋∞ )内有意义，则有且只有当 x＝200时

f′ (x)＝0，且它就是最大值点，最大值为 f(200)＝－15× 2003

＋24 000× 200－50 000＝3 150 000.

故每月生产 200吨产品时，利润达到最大，最大利润为

315万元．


1 ．函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．

2 ．函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．


3 ．如果连续函数在区间 (a ， b) 内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．

4 ．可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数 y＝ x3 在 x＝ 0 处导数为零，但 x＝ 0

不是极值点．


(1) 抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式 y＝ f(x) ；

(2) 求出函数的导数 f′(x) ，解方程 f′(x) ＝ 0 ；

(3) 比较函数在区间端点和使 f′(x) ＝ 0 的点的取值大小，最大者为最大值、最小者为最小值．


◎ 已知 a∈R ， f(x) ＝ (x2 － 4)(x－ a) ．

(1) 求 f′(x) ；

(2) 若 f′( － 1) ＝ 0 ，求函数 f(x) 在 [ － 2,4] 上的最大值和最小值．


【错解】 (1)由原式可得 f(x)＝x3－ax2－4x＋4a

∴ f′ (x)＝3x2－2ax－4.

(2)由 f′ (－1)＝0，得 a＝12，

此时 f(x)＝x3－12x

2－4x＋2，

f′ (x)＝3x2－x－4.


令 f′ (x)＝0得 x＝－1或 x＝43，

f(－1)＝92，f(

43)＝－

5027，

∴ 函数 f(x)在[－2,4]上的最大值为92，最小值为－

5027.


【错因】　第 (2)问，求函数 f(x)在 [－ 2,4]上的最大值和最小值时，误将 f(x)在 [－ 2,4]上的极值当作了最值，再就是没有将区间端点的函数值与极值进行大小比较，从而导致出现错误．


【正解】 (1)由原式可得 f(x)＝x3－ax2－4x＋4a.

所以，f′ (x)＝3x2－2ax－4.

(2)由 f′ (－1)＝0得 a＝12，

此时 f(x)＝(x2－4)(x－12)，

f′ (x)＝3x2－x－4.


令 f′ (x)＝0，得 x＝－1或 x＝43

又 f(－1)＝92，f(

43)＝－

5027，

f(－2)＝0，f(4)＝42，

所以函数 f(x)在[－2,4]上的最大值为 42，最小值为－5027.


练考题、验能力、轻巧夺冠

2.2 最大值、最小值问题

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