函數的定義 :設 x,y 兩組變量 ,若對於每個 x值 ,必僅有一個 y值與其 對應 ,此關係稱為 y是 x的函數

豬 yx

68 狗

8 8 8 8 8 6 6 6 6狗 狗 狗 狗 狗 豬 豬 豬 豬x x x x x y y y yx自變數應變數

x y x y

12 b

c

12 b3

a a

一對多 一對無

x y

123

abc

一對一

函數 x y

多對一

12

abc3

函數 非函數 非函數

由上表得知 體重為年齡的函數年齡(歲 ) 12 14 16 18 20

體重 (kg) 26 37 48 49 48

溫度 (Oc) 25 30 34 32 30時間 6 10 13 15 17

多對一

由上表得知 溫度為時間的函數 多對一月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12天數 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

由上表得知天數為月的函數 多對一

y 比 x 的 3 倍多 5 , 求 y 是否為 x 的函數 ? x 是否為 y的函數 ? y = 3x + 5 ∴ y 為 x的函數∴ y為 x的函數3

1)5( yx

面積 20 的長方形其長為 x, 寬為 y, 求 y 是否為 x 的函數 ? x 是否為 y 的函數 ? xy = 20

yx 20 ∴ x 為 y 的函數

∴ y 為 x 的函數x

y 20

討論 , y 是否為 x 的函數 ? x 是否為 y 的函數 ?

∴ y 為 x 的函數

2xy

x 1 -1 y 1 1 但 x 非 y 的函數

x y

多對一

1-1

1

函數 xy

一對多

1-1

1

函數

543y210x

y = x+3

543f(x)210x

f(x) = x+3

∴ y = f(x)

f(x)=-2x+3 求 f(2)= ? f(0)=? f(-3)=? 又若 f(k)=25 則 k=?f(2) = -2 × 2 + 3 = -1f(0) = -2 × 0 + 3 = 3f(-3) = -2 × ( -3 )+ 3 = 9f(k) = -2 × ( k )+ 3 = 25

∴ k = -11

f(x)= 3 求 f(2)= ? f(0)=? f(-3)=?

f(2) = 3 + 0 × ( 2 ) = 3f(x) = 3 + 0×x

f(0) = 3 + 0 × ( 0 ) = 3

f(-3) = 3 + 0 × ( -3 ) = 3

當 x=a 時 ,無對應的函數 求 a= ?

分母為 0 時 , 就無對應的函數

xxf

62)(

∴ x = a = -6

有一個計算流程如下 :

f(x) = (x+2)2×3 + 5

如果輸入的數為 x, 輸出的數為 f(x)輸入 x 加 2 平方 乘以3 加 5 輸出

求 f(x)=? f(-3)=?

f(-3) = (-3+2)2×3 + 5 = 8

長方形的長為 x,寬為 y, 周長為 20, 設 y=f(x) 求 f(6)= ? f(-2)=?

x + y = 10

周長 = 2(x+y) = 20

f(6) = 10 - 6 = 4

f(-2) 為無意義

y = 10 -x

f(x) = 10 -x

f(x)= 3x2-ax+1 , 且 f(-1) = f(2) , 求 a=?

3×(-1)2-a×(-1)+1 = 3×(2)2-a×(2)+1

f(-1) = f(2)

3a = 9

a = 3

f(x)= x-3 , g(x)=-2x+9 , 當 x = k 時 , f(x)=g(x) , 求 k=?

g(k) = -2×k + 9f(k) = k - 3

當 x = k 時

∴ k – 3 = -2k + 9

f(x)=g(x)

k = 4

f(x)= ax+b , 若 f(2)=4, f(-1)=1 , 求 f(x)= ? f(4)=?

f(-1) = -1×a + b = 1 ……(2)f(2) = 2×a + b = 4………(1)

(1)-(2) a = 1 ,b = 2∴ f(x) = 1x + 2 f(4) = 4 + 2 =6

若 f(x)= 2x+1 , g(x)=3x-2, 求 f(g(2))= ? g(f(2))=?g(2) = 3×2 - 2 = 4

f(2) = 2×2 + 1 = 5

f(g(2)) = f(4) = 2×4 + 1 = 9

g(f(2)) = g(5) = 3×5 - 2 = 13

若 f(2-x)= 3x+4 , 求 f(4)=? f(x)=?

f(4) = f(2-(-2)) = 3×(-2) + 4 = -2令 2- x = 4

f(y) = 3 × (2-y) + 4

x = -2

一樣

令 2- x = y x = 2- y

f(y) = 10 - 3y f(x) = 10 – 3x

若 f( )= -4x+3 , 求 f( )=? xx

12

21

x = 1

一樣令 x

x

12

21

f( ) = -4×(1) + 3 = -121

若 f( x )= -4x + 3 當 -3 ≦ x < 4 求 f(2)=? f(-5)=?2x – 1 當 x ≧ 42x 當 x < -3

當 x =2 符合 f(x)=-4x+3 的條件∴ f(2) = -4×2+3=-5

∴ f(-5) = 2×(-5)=-10當 x =-5 符合 f(x)=2x 的條件

f(x+10)=f(x)+4 , 若 f(1)=6, f(2)=8 求 f(52)= ? f(52) = f(42+10) = f(42)+4

∴ f(52) = f(2) + 5×4

f(42) = f(32+10) = f(32)+4f(32) = f(22+10) = f(22)+4f(22) = f(12+10) = f(12)+4f(12) = f( 2+10) = f( 2)+4

∴ f(52) = 8 + 5×4 = 28

線型函數 : y=f( x )= ax + bb≠0 時 ,為過三個象限的一次函數

當 a≠ 0 且例 : y=x1+2 y

x

b ＝ 0 時 ,為過原點的一次函數例 : y=x1 y

x

b≠0 時 ,為平行 x 軸的零次函數當 a ＝ 0 且

例 : y=2y

x

b ＝ 0 時 ,為過 x 軸的零函數例 : y=0 y

x

x0 常數函數

函數圖形判斷 :只與垂直 x軸的檢查線交於一點者即為函數圖形

線型函數 (一次 )

y

x

二次函數

非函數y

x

y

x

線型函數 (常數 )

y

x

非函數y

x

交於無限多點

交於 2點

通話費與通話時間的關係如下圖 ,300 秒以內需付基本費 ,超過部分為線型函數 ,求基本費 ?設此線型函數為 y=ax＋ b , 基本費為 k 元

y

x300 秒60

0800

元120

150

k則此線型函數通過 (600,120) , (800,150) ,(300,k) ∴ 120=600a+b…..(1)

150=800a+b…..(2)

a = 0.15 b = 30y = 0.15x + 30

k = 0.15×300 + 30 = 75

數學測驗成績太難看 ,故老師透過一個線型函數將成績 40 分的同學改成 65 分 ,將 70 分的同學改成 95 分 ,請問原成績 60 分 ,應改為幾分 ?設此線型函數為 y=ax＋ b , 60 分改為 k 分 則此線型函數通過 (40,65) , (70,95) ,(60,k) ∴ 65=40a+b…..(1)

95=70a+b…..(2)

a = 1 b = 25

y = x + 25

k = 1×60 + 25 = 85