3장에너지와 보존 법칙

3.1 보존 법칙

3.2 선운동량

3.3 일: 에너지의 원천

3.4 에너지

3.5 에너지의 보존

3.6 충돌: 에너지로 설명하기

3.7 일률

3.8 회전과 각운동량(내용추가)

3.1 보존 법칙

- 보존 법칙(conservation laws) : 어떤 계에서의 “이전과 이후”를 관찰하는 방법

( 뉴턴의 운동법칙)

의미 : 계에 존재하는 어떤 물리량의 총량이 일정하게 유지(보존)

“고립된 계”란?

계에 들어오거나 나오는 물질이 없다

예) 공중 급유를 하는 경우(질량 보존의 법칙)

급유기가 내보낸 연료의 총량은 다른 비행기들

이 받은 연료의 총량과 같다.

급유 전과 급유 후의 총량을 비교하여

정량적인 관계를 알아낼 수 있다.

계환경

계+환경=우주

3.2 선운동량 : 운동량(momentum)

- 벡터량

- SI 단위: kg·m/s

제2법칙에 관한 식의 양변에 Δt를 곱하면

테니스공을 서브할 때 공에 작용하는 평균 힘을 대략 구하라.

(공의 질량은 0.06 kg이고, 라켓을 떠날 때의 속력이 40m/s이다.

고속 촬영으로 확인한 접촉 시간은 5ms(0.005 s)이다.)

충격량(impulse)

(풀이)

고립계: 계 내의 물체의 운동량 변화에 영향

을 줄 수 있는 외부의 힘이 없다

선운동량 보존 법칙의 가장 중요한 용도

: 충돌 해석

- 두 당구공의 충돌

- 교통사고

- 서로 달려오는 두 스케이트 선수 등

충돌 전 두 공의 전체 운동량 = 충돌 후의 전체 운동량

선운동량 보존의 법칙

고립계의 전체 선운동량은 일정하다.

0)( 2211 vv mmdt

d

충격

1 2

자동차의 충돌 문제를 해석하기 위해 선운동량 보존 법칙을 사용해 보자.1,000 kg의 자동차(차 1)가 정지해 있는 1,500 kg의 자동차(차 2)의 뒤를 들이받았다. 충돌 직후 두차는 한 덩어리가 되어 약 4 m/s의 속력으로 움직였다(그림 3.3). 충돌 전의 자동차 1의 속력을 구하라.

보존 법칙에 의하면그 계의 전체 선운동량은 일정하다.

충돌 전, 자동차 1만이 움직이고 있었다. 충돌 전의 전체 선운동량

충돌 후, 두 차는 하나로 움직인다. 따라서 충돌 후의 전체 선운동량

이들 두 선운동량이 같으므로

1 2

(풀이)

탄동진자에서 나무토막 속력 측정(충돌의 형태-3.6에서)

수레 충돌

선운동량보존과 역학적에너지보존법칙 이용

선운동량 보존 법칙에 의해,

3.3 일: 에너지의 원천

1. 일(work)

(왼쪽에 작용하는 힘 F )(왼쪽이 움직이는 거리 d )=(오른쪽에 작용하는 힘 F )(오른쪽이 움직이는 거리 d )

■ 지렛대

전환되는 에너지의 양을 정량화

일(W)=힘(F) 변위(s)

■ 경사면

여기서, θ는 힘과 변위 벡터가 이루는 각도이다.

단위: 2/11 2 smkgmNJ

힘은 벡터량이기 때문에, 방향이 있다. 따라서 일은 움직인 거리에 그

운동에 평행한 힘의 성분을 곱한 것과 같다.

어떤 계에 일정한 크기의 힘을 가하는 주체가 계에한 일(work) W ?

cosrFW

마찰이 있는 면에서 어떤 상자를 밀어 내는 데 100 N의 일정한 힘이 필요하다. 상자가 3 m 움직일 때 한 일을 구하라.

앞의 그림(경사면) 에서 통의 질량이 30 kg이고, 들어올릴 높이가 1.2 m라고 하자. 그 통을 들어 올리기 위해 얼마의 일을 해 주어야 하겠는가?

(풀이)

(J)

(풀이)

(a) 방에서 상자를 운반할 때, 상자에 작용하는 힘은 상

자의 운동 방향과 수직이다. 상자를 들고 있는 것만

으로는 상자에 한 일은 없다.

(b) 줄이 공에 힘을 작용하지만 공의 운동 방향에 수직

하므로 이 힘이 한 일은 없다.

물체에 작용하는 힘의 방향이 그 물체의 운동 방향

과 수직일 때, 힘이 물체에 한 일이 없는 경우

예제 2.2에서, 1,000 kg의 자동차를 10초 동안에 0에서 27 m/s로 가속시키기 위해 필요한 힘을 계산하기 위해 뉴턴의 제2법칙을 사용하였다. 그때의 답은 F = 2,700 N이었다. 한 일을 구하라.

(풀이)

일이 행해지는 경우

(a) 중력에 대항에서 어떤 것을 움직이기 위해 힘을 작용할 때

(b) 마찰력에 대항해서 어떤 것을 움직이고자 힘이 작용할 때

(c) 힘이 어떤 물체를 가속시킬 때 일이 행해진다는 것이다.

그 외에도 일이 행해지는 방법 → 힘이 어떤 것을 변형시킬 때

예) - 스프링을 늘이거나 압축하기 위해서는 스프링에 힘이 작용할 때

- 어떤 물체의 속력을 느리게 하는 힘이 작용할 때(사람이 공을 손으로 잡을 때)

- 어떤 물체가 자유 낙하할 때

3.4 에너지물체를 들어 올릴 때 중력에 대해 물체에 한 일 = 그 물체가 낙하할 때 중력이 한 일

즉, 에너지는 어떤 계가 일을 할 수 있는 척도, 일이 행해질 때 전달되는 것(E).

에너지의 단위는 일의 단위와 같다. 일과 같이 에너지도 스칼라량이다.

- 에너지의 형태 : 화학, 전기, 핵, 중력, 열, 소리, 빛 및 복사

■ 역학적 에너지- 운동 에너지(kinetic energy): 운동이라는 형태의 에너지

- 위치 에너지(potential energy): 위치나 배열에 의해서 갖게 되는 에너지

물체가 갖는 운동 에너지는 그 물체를 정지 상태에서 그 속도까지 가속시킬 때 한 일과 같다. 일-에너지 정리

• 운동 에너지

예제 3.5에서 1,000 kg의 자동차가 0에서 27 m/s로 가속될 때 한 일을 계산하였다. 그차의 속력이 27 m/s 일 때의 운동 에너지는?

이것은 자동차가 가속될 때 자동차에 행해진 일과 같다. 이 자동차는 그 운동 때문에 364,500 J의 일을 할 수 있다.

(풀이)

- 중력 위치 에너지(gravitational potential energy)

3 kg짜리 나무토막을 테이블 위에서 0.5 m 들어 올렸다. 그 토막의 테이블에 대한 위치에너지는?

• 위치 에너지

물체의 위치나 방향 때문에 갖거나 계가 구성 입자들의 배열 때문에 갖는 에너지.저장된 에너지, 보존력에서만 존재.

(풀이)

■ 탄성 위치 에너지(elastic potential energy) 용수철, 고무줄

- 위치 에너지의 기준과 음과 양의 위치에너지

응용한 장치들: 장난감 화살총,

활(궁수가 활을 당기기 위해 한 일은 탄성위치 에너지로 저장)

■ 내부 에너지(internal energy)

물질의 내부 에너지는 그 물질 내의 모든 원자와 분자들이 가지고 있는 전체 에너지이다.

- 물체의 온도를 높이거나, 고체를 녹이거나, 액체를 끓이는 것: 내부 에너지는 증가

- 물질의 온도가 감소하거나, 액체가 얼거나,기체가 응결할 때: 내부 에너지는 감소

- 운동 마찰이 있을 때 내부 에너지가 개입: 브레이크 작동, 별똥별(유성)

- 물체가 변형될 때 내부 마찰에 의해 생김 내부 에너지는 운동 에너지나 위치 에너지와는 달리 다시 복원되지 않는 마찰에서 생김.

양

영

음

3.5 에너지의 보존

■ 에너지 변환 장치들 어떤 계를 고립시키면 그 계를 통해 에너지가

빠져 나가거나 들어오지 않는다.

고립된 역학계의 경우,

외부 힘에 의해 그 계에 일이 행해질 수 없으며

또한 그 계가 외부에 일을 할 수도 없다.

에너지는 생성되거나 소멸되지 않으며다만 한 형태에서 다른 형태로 변환된다.고립계의 전체 에너지는 일정하다.

• 역학적 에너지 보존법칙

보존력에서 운동에너지와 위치에너지만을 갖는다.

변환 전의 전체 에너지 = 변환 후의 전체 에너지

예) 자유낙하하는 물체의 운동

에너지 보존은 그 물체의 운동 에너지와 위치 에너

지의 합은 항상 같다는 것을 의미한다.

E = KE + PE = 일정

예) 물체가 바닥에 닿을 때의 속력? (역학적에너지보존법칙이용)

물체의 에너지는 형태만 변하고 크기는 변하지 않았기 때문에 이들 두 양은 같다. 즉 물체가 놓여질 때 가지고있던 위치 에너지는 바닥에 닿기 직전의 운동 에너지와 같다.

2003년에 어떤 사람이 나이아가라 폭포의 캐나다 쪽 폭포에서 뛰어내려서 살아남았다. 그는 아무런 안전장치의 도움 없이 뛰어내린 최초의 사람으로 알려져 있다. 낙하 높이는약 50 m이다. 그가 떨어질 때의 속력을 구하라.

자유 낙하하는 물체의 속력은 질량과는 무관하며 단지 얼마나 높은 곳(d )에서 떨어지는가와 중력 가속도에만 의존한다.

→

에너지 보존의 원리는 이전에 풀 수 없었던 문제들을 쉽게 풀 수 있게 해 준다.

(풀이)

- 물체를 연직 위로 던져 올릴 때 높이?

v

v

3.6 충돌: 에너지로 설명하기

a) 질량과 속력이 같은 두 수레가 정면충돌을 한 후 튕겨

나간다. 충돌 전과 후의 수레의 전체 운동 에너지는 같다.

b) 충돌 후 두 수레가 붙어 버린다. 이 경우 충돌 후의 두

수레의 운동 에너지는 영이다. → 비탄성 충돌

운동량보존, 운동에너지 보존

운동량보존, 역학적 에너지 보존

예제 3.2에 있는 자동차 충돌 문제를 다시 분석해 보기 위해 충돌 전과 후의 운동 에너지의 양을 비교하자.

30,000 J(60%)의 운동 에너지가 다른 형태의 에너지로 변환(내부 에너지: 소리)

(풀이)

1 2

3.7 일률

땅에 있는 1톤의 벽돌을 트럭의 짐칸에 싣는다고 해 보자.

- 한 사람이 벽돌을 한 번에 하나씩 들어서 트럭에 올려놓는 것

- 지게차를 사용하여 한 번에 몽땅 올려버리는 것

→ 두 경우에, 일의 양은 같다. 일률(power)은 다르다.

SI 단위로 벽돌 1톤의 무게는 8,900 N이다.

트럭 짐칸의 높이가 1.2 m라면,

지게차가 이 일을 10초 만에 한다면,

t

WP

단위 시간당 일의 능력

일률과 일(또는 에너지)의 관계는 속력과 거리의 관계와 같다.

- 일률은 일(에너지)의 시간 변화율이다.

- 속력은 거리의 시간 변화율이다.

예제 2.2와 3.5에서, 1,000 kg의 자동차가 10초 동안에 0에서27 m/s로 가속시키는 데 필요한 가속도, 힘, 일을 계산하였다. 이제 그에 해당하는 자동차 엔진의 출력을 계산하라. 364,500 J 의 일이 10초 동안에 행해진다.

Whp 7461 vFr

F dt

dP

(풀이)

3.8 회전과 각운동량

알짜 외력은 물체의 선운동량을 변화시키며, 알짜 외부 토크는 물체의 각운동량을 변화시킨다.

어떤 축이 고정된 강체에 힘을 작용하면, 물체는 그 축에 대하여 회전하려한다. 어떤 축에 대하여 물체를 회전시키고자 하는 힘은 토크(또는 돌림힘, torque) ?

FdrF sin

단위: Nm (but not Joule)

■ 토크(torque)

토크(트위스트-twist) – 중심을 통한 회전 힘

외력(F)에 중심에서의 작용점까지의 거리을 곱한 것.

■ 각운동량(angular momentum)

예) 원운동하는 물체

팽이

피겨스케이트 선수

알짜 외부 토크에 의해 물체의 각운동량을 변화

외선운동량(P)에 중심에서의 작용점까지의 거리를 곱한 것.

0 dt

dpF 0 dt

dL

- 각운동량보존법칙

회전 운동에 관한 각운동량을 생각하자.

dt

dpF

dt

dprτFr

dt

d

dt

d

dt

d )( prp

rprτ

(p=mv이므로 v와 같은방향이고 p x v=0이다)이므로0p

r

dt

d

dt

dLτ prL