3．いろいろな数値シミュレーション3．1�分類例（1）古典力学的アプローチ

�◇決定論的方法

�＊物質のシミュレーション（粒子系シミュレーション）

��①分子動力学（Molecular Dynamics）型シミュレーション

��②運動論（Kinetics）シミュレーション

��③流体（Fluid）シミュレーション

�＊場のシミュレーション

��④電磁場シミュレーション

�◇確率論的方法

��⑤ハイブリッド法（決定論＋確率論）

��⑥モンテカルロ法

（2）非古典力学的アプローチ

�◇量子力学

�◇相対性理論

（3）ソフトコンピューティング

◇離散システム

�⑦セルオートマトン

�⑧パーコレーション

◇ニューロ・ファジーシステム

�⑨ニューラルネットワーク

�⑩ファジーシステム

◇数値シミュレーションの目的

�＊微視的力学に基づく多粒子系の振る舞いの解析

��（①、②）

�＊多粒子系の振る舞いを現象論的に平均化して得た

��巨視的振る舞いの解析（③）

�⇒�これらを結びつけること（構成関係）

�＊場のシミュレーション（④）

3．2�古典的・決定論的方法

＊分子動力学型シミュレーション

�微視的系のシミュレーション（古典力学方程式）

��⇒シミュレーション結果の統計処理⇒巨視的系挙動

＊運動論シミュレーション

�微視的系の統計処理（粒子の離散性の平滑化：

��ボルツマン方程式）

��⇒シミュレーション、統計処理⇒巨視的系挙動

＊流体（連続体）シミュレーション

�微視的系の統計処理（速度分布関数の積分：

��連続体方程式）

��⇒シミュレーション⇒巨視的系挙動

◇巨視的振る舞いと「構成関係」

系の状態

系内部の応力

系各部の変形

及び速度

巨視的システムでは、応力⇔変形・速度の関係は統計的（経験的）に与えられている。

この関係を「構成関係」（Constructive Relation）と呼ぶ。

＊構成関係の例（1）：状態方程式

�固体�フックの法則

����応力テンソル�⇔�歪テンソル

!

" = (#u +#ut ) u : 変形流体

���粘性応力テンソル�⇔�流速テンソル

!

" = (#u +#ut ) u : 流速

＊構成関係の例（2）：エネルギー流

�フーリエの熱伝導法則

!

Q = "#$T

◇粒子系・連続体系シミュレーション法の比較

方法 目的 対象 方程式 力 可逆性

分子動力学 ・平衡・非平衡の構成関係

粒子系 ・力学方程式

・電磁気方程式

原子間力 可逆

運動論 ・平衡・非平衡の構成関係

・未来の予測

気体

プラズマ

・ボルツマン方程式

・電磁気方程式

原子間力 可逆

流体力学 ・未来の予測

流体

固体

・流体方程式 構成関係 非可逆

3．3�ミクロからマクロへ�ミクロな系とマクロな系の関係を示す典型的な例として、荷電粒子多体系（プラズマ）について多粒子方程式系から運動論方程式、流体方程式を導く。

◇流体方程式の階層構造

���力学方程式（ニュートン運動方程式）

����⇩

���リウビユ方程式、クリモントビッチ方程式

����⇩

���ボルツマン方程式

����⇩

���流体方程式

◇力学方程式から流体方程式へ（1）クリモントヴィッチ方程式（Klimontovich Eq.）���1個の粒子の位相空間密度�����

���N0個の粒子の位相空間密度

�����

����ここで、個々の粒子の軌道は次式に従う。������

������

���マックスエル方程式（�����は点電荷場＋外場、但し自己場は含まず）

N(! x , ! v ,t) = !( ! x "

! X 1(t))! (

! v "!

V 1(t))

Ns (! x , ! v ,t) = !( ! x "

! X i(t))! (

! v "! V i (t))

i=1

N0

#

! ˙ X i (t) =

! V i(t)

ms

! ˙ V i(t) = qs

! E m(! X i (t), t) + qs

! V i(t) !

! B m(! X i(t), t)

!

Em ,Bm

%:6>/?"-,��h��oh!fR�����������

�������j��

!! t

Ns (! x , ! v ,t) =

!! t

" (! x #! X i (t))"(

! v #! V i(t))

i=1

N 0

$% & '

( ) *

r.h.s = !

! ˙ X ii=1

N0

" #$x%( ! x !! X i(t))%( ! v !

! V i(t )) !

! ˙ V ii=1

N0

" #$v%( ! x !! X i(t))% (! v !

! V i( t))

!Ns (! x , ! v ,t)!t

= "!

V ii =1

N0

# $%x&(! x "! X i( t))&(

! v "! V i(t))

"qs

ms

! E m(! X i (t),t ) +

qs

ms

! V i '

! B m (! X i( t),t)

( ) *

+ , - i =1

N0

# $%v& (! x "! X i( t))&(

! v "!

V i(t))

関係�����������を使えば、

�����

このようにして次のクリモントヴィッチ方程式が得られる。�����

※クリモントヴィッチ方程式とマックスウェル方程式を使うことで、�プラズマの厳密な記述が出来る。しかし、通常この方程式を直接解くことはしない。

a! (a " b) = b!(a " b)

!Ns (! x , ! v ,t)!t

= "! v #$ x %( ! x "

! X i(t))% (

! v "! V i( t))

i =1

N0

&

"qs

ms

! E m (! x ,t ) +

qs

ms

! v '! B m( ! x ,t)(

) *

+ , - # $v $v%(

! x "! X i(t))% (

! v "! V i (t))

i =1

N 0

&

!Ns (! x , ! v ,t)!t

+! v "# xNs (

! x , ! v ,t) + qs

ms

! E m( ! x ,t) + ! v $

! B m (! x ,t){ } " #vNs (

! x , ! v ,t ) = 0

（2）プラズマ運動論方程式・巨視的状態の時間変化を、物理量の揺らぎまで含め�て記述�する方程式。力学方程式と巨視的方程式の�中間に位置する。・点電荷ではなく、密度の振る舞いを扱う。

①�平均量＜f(x)＞：温度が等しいプラズマのアンサンブル平均 ,������xの周りの箱（����������）での������平均を考える。���※��������であるプラズマを考える。���※�������：デバイ長

②�展開

n0!1/ 3 << d << "D

!D >> n0"1/ 3

!

"D =#0Tn0e

!

Ns (! x ,! v ,t) = f s (

! x ,! v ,t) +"Ns (

! x ,! v ,t)

! E m (! x ,! v ,t) =

! E (! x ,! v ,t) +"

! E (! x ,! v ,t)

! B m (! x ,! v ,t) =

! B (! x ,! v ,t) +"

! B (! x ,! v ,t)

< "Ns >=< "! E >=< "

! B >= 0

③�プラズマ運動論方程式の厳密な形�

�左辺：(x,v)空間でなめらかに変化する項�右辺：spikyな量の積のアンサンブル平均（衝突効果）④�衝突効果の重要度パラメータ：L���

※通常、L>>1、（核融合装置トカマクで、106程度）

! f s (! x , ! v ,t)! t

+! v " #x f s (

! x , ! v ,t) + qs

ms

! E (! x ,t ) + ! v $

! B (! x ,t){ } " #v f s (

! x , ! v ,t)

= %qs

ms

< (&! E +! v $ &

! B ) " #v&Ns >

!

Collisonal EffectCollective Effect

"1#

= g =4$3ND

1#

=1

n0%D3 =

(n0e2)3 / 2

n0 (&0T)3 / 2 =

e 3

&03 / 2

n0T 3 / 2

（3）リウビユ方程式（Liouville Equation）�＊Klimontovich Eq.：個々の粒子の挙動から出発�＊Liouville Eq.:���システムの挙動から出発①�N0粒子のシステム

�����

�ところで、

�従って、����

N(! x 1,

! v 1, .. ...

! x N0, ! v N0

) = !! x i "! X i( t)[ ]

i=1

N0

# !! v i "! V i(t)[ ]

!! t"! x i #

! X i(t)[ ] = # !

! X i!t

$ %Xi"! x i #! X i(t )[ ]

!N!t

+! V i(t) "

i=1

N 0

# $Xi%! x j &

! X j(t )[ ]% ! v j &

! V j(t)[ ]

j=1

N0

'

+! ˙ V i( t) "

i=1

N0

# $Vi%! x j &

! X j(t )[ ]% ! v j &

! V j(t)[ ]

j=1

N0

' = 0

（4）流体方程式（2流体方程式）���①�ボルツマン方程式����

���②�巨視的粒子密度nと巨視的速度vの定義����

����

���③�一般の量 iの平均値

! f! t

+ wii" ! f

!xi+

Fimi

" ! f!wi

=! f! t

# $

% & coll

n(! r ,t) ! f ( ! r , ! w ,t)dwx""" dwydwz

! v ( ! r ,t) ! 1

n(! r ,t )! w f (! r , ! w ,t)dwx""" dwydwz

Q (t) ! 1

n(! r ,t)Q( ! w ) f (! r , ! w ,t)dwx""" dwydwz

!N!t

+! v i(t) "

i=1

N 0

# $ XiN +

! ˙ v i(t) "i=1

N0

# $ViN = 0

②�リウビユ方程式

④�巨視的な量の間の関係式���� �������������������������������： ��の任意関数

����

����

����

�従って、

Q(! w )

! w

!! t(nQ ) +

!!xii

" (nwiQ) #nmi

" !!wi

(FiQ) =!f! t$ %

& ' (((

collQdwxdwydwz

!

Q(! w ) "f

"t### dwxdwydwz =""t

Q(! w ) fdwxdwydwz### =

""t(nQ )

Q(! w )wi

"f"xi

### dwxdwydwz =""xi

Q(! w )wi fdwxdwydwz### =

""xi

(nwiQ)

Q(! w )Fi (

! r ,! w ) "f

"wi### dwxdwydwz

= Q(! w )Fi (

! r ,! w ) f (

! r ,! w ,t)[ ]## w i =$

w i =%$ f "

"wi### Fi (

! r ,! w )Q(

! w )[ ]dwxdwydwz

= $ f ""wi

### Fi (! r ,! w )Q(

! w )[ ]dwxdwydwz = $n "

"wi(FiQ)

⑤�モーメント方程式�＜連続の式（0次モーメント）＞���� �����

����

�＜運動方程式・運動量輸送方程式（1次モーメント）＞

!

Q = 1, "Fi

"wi= 0, "f

"t#

$ %

&

' ( )))coll

dwxdwydwz = 0

*"n"t

++, (nv ) = 0

!

Q = m! w , Q = m

! v

""t(nm! v ) +#$ (nm

! w ! w ) % nF = m

! w "f"t&

' (

)

* + ,,,

colldwxdwydwz

F���h��Y��_���������_��������������X|������m|������

��������������G¦.>*;���_���������������k¦2.>(7;��j������

������

!! t(nm! v ) = nm !

! v !t

+! v !(nm)

!t ! w = ! v + ! u ! v = ! w

! u

!" (nm ! w ! w ) = nm! v " !! v + ! v !" (nm! v ) +!"" #

! ! " nm" u " u

! F = q

! E + q ! w !

! B " m#$

!

nm !

! v ! t

+! v " #! v $

% & '

= nq(! E + ! v (

! B ) ) #"

" * ) nm#+ +

! R

! R = n

! w

!f!t

" #

$ % &&&

colldwxdwydwz

＜応力テンソルの式（2次モーメント）＞���

応力テンソルの式を得るが、モーメントの次数が高くなるにつれてだんだん式が複雑になり、巨視的な式を扱う意味がなくなって行く。

Q =m ! w ! w

（5）MHD方程式（1流体方程式）��①�定義�����

�����

�������②�密度保存の式

! " maa# na = mini + mene $mini

! V ! 1

"mana! v a

a# $

! v i

! J ! Zaena

! v aa" = #ene

! v e + eni! v i

!na

!t+"# (na

! v a ) = 0

!! t( mana

a" ) +# $( ma

a" na

! v a) = 0

!"!t

+# $("!

V ) = 0

③�運動方程式

!na

!t+"# (na

! v a ) = 0

!! t( mana

a" ) +# $( ma

a" na

! v a) = 0

!"!t

+# $("!

V ) = 0

�ここで次の仮定を置く。仮定1）電子質量無視：2）準中性条件（�������������）：��3）衝突時の運動量保存：��� 全圧力：�

�まとめると、����仮定：等方的圧力（衝突大）

�� ��のもとに、

mana

d! v adt

! "d! V

dt

ne = Zini

eaa! na

! E = (Zieni " ene)

! E = 0

! R a

a! =

! R e +

! R i = 0

P = pe + pi = paa!

!

d!

V dt

"! J #! B +$p = "$%

" & i +

" & e[ ]

! "! # a$ = 0

!"!

V "t

+! V #$

! V

%

& ' (

) * = +$p +

! J ,! B

!

! E + ! v "

! B = 1

en! J "! B # $pe # $

" % e +

! R e( )

1en! R e ~ &

! J

1en! R e ~ &

! J

!

"#"t

+$% (#!

V ) = 0

#"!

V "t

+!

V % $!

V &

' (

)

* + = ,$p +

! J -! B

! E +!

V -! B = .

! J , d

dtp#/0

1 2

3

4 5 = 0

"! B "t

= ,$-! E , µ0

! J = $-

! B , $%

! B = 0

④�オームの法則

⑤�MHD方程式系のまとめ

多体粒子系方程式クリモントビッチ方程式

＜位相空間平均＞

プラズマ運動論方程式

＜簡約化：無衝突＞

ヴラゾフ方程式

有限サイズ超粒子モデル

流体方程式ＭＨＤ方程式

モンテカルロシミュレーション

フォッカープランクシミュレーション

ドリフト運動論方程式

ジャイロ運動論方程式

簡約化ＭＨＤ方程式

＜簡約化：速度モーメント方程式群＞

＜単一粒子近似＞

＜簡約化：二体　小角度衝突＞

⑥�プラズマモデルと

��基礎方程式のまとめ

◇ラグランジモデルとオイラーモデル

�＊ラグランジモデル

��x(t), t：独立変数

�＊オイラーモデル

��x, t ：独立変数

��f(x,t)：物理量の関数

◇発展方程式の種類

�＊ラグランジモデル

時間(t) 空間(x(t)) モデル

R Rn ODEN Rn DE, MapN Nn LM (Lattice

Model)R Nn Catastrophy?

3．4�発展方程式の分類と����離散シミュレーション★E.A. Jackson, Perspectives of nonlinear dynamics (Cambridge Univ. Press, 1991)

＊オイラーモデル

時間(t) 空間(x) 物理量の関数

f(x,t)モデル

R Rn Rm PDE

R Nn Rm CDE(Cell Differential

Equation)N Nn Rm CM

(Cell Mapping, Connection Mapping)

N Nn Rm CA(Cellular Automata)

3．5�分子動力学シミュレーション

�物理系を曖昧さを含まないように微視的立場に立って記述するための数値シミュレーション方法である。初期に行われた計算が気体・液体の分子を対象に行われたために「分子動力学（Molecular Dynamics: MD）シミュレーション」と呼ばれているが、現在では、対象は分子だけでなく一般の粒子が対象であると考えてよい。例えば、星を粒子として考えて行う天体力学シミュレーションは分子動力学シミュレーションの範疇に入る。

�MDを一般的に定義すれば、「古典的物理法則に従って運動する粒子の集合体が位相空間中に描く軌跡を計算する方法」ということができる（D.W.�ヘールマン、シミュレーション物理学（シュプリンガー、東京、1990））。

①特徴

�もともとは決定論的な系のみを扱ったが、確率論的な系にも拡張されている。

②支配方程式（古典力学）

�ニュートン、ラグランジアン、ハミルトニアン形式

③粒子間力

・確率的要素を含まず、初期条件がはっきりわかっている。

・確率的要素を含まず、初期条件はランダム。

・ランダムな力の関数を含む。

・ランダムな係数を含む。

④拘束条件

�初期には、ミクロカノニカルアンサンブルがよく対象とされたが現在では広い範囲の拘束条件が対象とされる。（例）熱力学変数の計算

・ミクロカノニカルアンサンブル

��エネルギーが運動の定数（H=E）

��粒子数一定（N=一定）

��ゼロ全運動量（P=0）

・カノニカルアンサンブル：系の温度一定（熱浴に接触）

・等温、等圧アンサンブル

⑤MDの発展

・1950年代：剛体球系（アルダー転移）

・1960年代：アルゴン、ナトリウムのシミュレーション

・1970年代：物理学以外の分野にも普及

・1980年代：境界条件、拘束条件の新技術

⑥応用分野の例

・材料物質シミュレーション（ガラス、液晶他）

・天体現象

3．5．1�MD概要

◇アンサンブル平均と時間平均�シミュレーションの目的は、明確に定義された物理系の数理モデルにより粒子集団の相空間挙動を計算してサンプル空間における物理量Aの平均値を求めることである。このとき、平均はサンプル空間における粒子分布のアンサンブル平均である。

!

A =1Z

A(x) f (H(x))dx"#

Z = f (H(x))dx"#

x = (x1,x2,...xn )H"

f

：系の状態

：ハミルトニアン

：相空間

：分布関数

�通常コンピュータ・シミュレーションでアンサンブル平均を求めるのは困難であるからエルゴード性の要請に基づいて時間平均を持って代用する。

!

A t =1

t " t0A(x(t))dt

t 0

t#

A = A $A t % A $ = A

◇周期的境界条件

�相互作用：重ね合わせ可能な2体中心力

������（これに限る訳ではない）

!

H =12

pi2

mii" + u(rij

i< j" )

U = u(rij )i< j"

V = L3

：内部エネルギー

粒子数、密度一定の条件⇨体積一定⇨MDセル

※実際的な物理系は大規模（�������）で、境界周辺の粒子数は少なく境界の影響は小さいが、シミュレーションでは粒子数が少なく（������）、境界の効果が大きい。

!

N " 1023 ~ 1025

!

N " 103 ~ 105

境界の影響をなくすために周期的境界条件を付ける

!

A(x) = A(x + nL)n = (n1,n2,n3) MDセル

ポテンシャルエネルギー

!

U(r1,r2,...rN ) = u(rij )i< j" + u(ri # rj + nL

i< j"

n" )

無限和をさける工夫が必要である

最小鏡像（MinimumImage）モデル

（最小虚像、最近接虚像）

短距離力の場合

最小鏡像モデル

!

rij = Min ri " rj + nL( )MDセルの中の粒子はセル中の粒子と隣接セルの最小鏡像になっている粒子、あわせてN-1個の粒子とだけ相互作用する。ポテンシャルを次のようにカットオフすることに近い。

!

r < rc =L2

1次元で考えると、

0�1�2�3�4 0

1

2

3

2体力N(N-1)/2対

◇分子間ポテンシャル既に述べたように、MDは広い範囲の対称に適用できるが、ここでは、本来の「分子」動力学について考える。

仮定：球形分子、化学的に不活性、2体中心力

!

U = u(rij )j = i +1

N

"i=1

N#1

"

u(r) = 4$ %r&

' (

)

* + 12

#%r&

' (

)

* + 6,

- . .

/

0 1 1

Lennard-Jonesポテンシャル：よく使われる、現象論的

（短距離力） 1.5 2 2.5 3

0.25

0.5

0.75

1

1.25

!

" = 1

!

" = 0.2

Lennard-Jonesポテンシャル

!

u(" ) = 0

u( 26 " ) = umin = #$

u(r > 3" ) : very small

液体アルゴンの場合：

!

" = 1.65#10$21 J, % = 3.4A!

◇数値積分法シミュレーションを適用する時間にわたってエネルギーが保存されることが必要なので、少なくとも2次の時間積分法を採用する。

!

d2ri (t)dt 2

=1m

Fi (rij )i< j"

d2ri (t)dt 2

=1h2

ri (t + h) # 2ri (t) + ri (t # h)[ ] =1m

Fi (t)

ri (t + h) = 2ri (t) # ri (t # h) +h2

mFi (t)

tn = nh, rin = ri (tn ), Fi

n = Fi (tn )

rin +1 = 2ri

n # rin#1 +

h2

mFi

n

vin =

rin +1 # ri

n#1

2h

この式は次式と同一である。

!

rin +1 = ri

n + hvin +

12m

h2Fin

vin +1 = vi

n +12m

hFin

これは、Verlet（ベルレ）アルゴリズムと呼ばれ、MDの計算によく用いられる。

◇熱力学的諸量の計算�MDの計算を行ったり、結果を評価する際には、巨視的な諸量が質点系の相空間内軌跡についての平均物理量とどのような関係にあるかを明らかにしておくことが必要である。①�系の温度

��等分配則：温度Tで熱平行にある古典系のエ

�������ネルギーの2次の項の平均値は

�������1自由度あたり(kT／2)に等しい。

!

kT (t) =2d

K (t)N

=1

dNmivi (t) "vi (t)

i=1

N

#K (t), d,N ：系の全運動エネルギー，次元，粒子数

②�系の平均圧力

!

P(t) =NV

kT (t) +1

dVrij

i< j" #Fij (t)

P = P(t)____

PVNkT

$1=1

dNkTrij #Fij_______

i< j"

分子動力学法による計算

���⇩

有限時間にわたる位相空間内の様々な時間平均量

＜この時間は準エルゴード性を満たすに十分長いか？＞

3．5．2�MD計算対象・計算例

◇材料研究

��物性値計算：新材料開発等

��腐食、破壊解析

◇生体分子、薬剤等

��DNA

��生体分子反応：薬剤開発等

◇宇宙、天体

��宇宙の形成、宇宙の安定性

◇その他：色々

3．6�電磁場関連シミュレーション

3．6．1�支配方程式と数値解法

◇支配方程式

��マックスウエル方程式

���ポアソン方程式

��オームの法則

��物性方程式

��ニュートン方程式とローレンツ力

◇数値解法

��有限差分法（FDM）

��有限要素法（FEM）

��境界要素法（BEM）

��スペクトル法

��選点法※特にポアソン方程式の解析プログラムはポアソンソルバーと呼ばれて精力的に研究されている。

��FDM、FEM、BEM、

��CRM（CyclicReduction Method, FFT利用）他

◇ポアソン方程式、ラプラス方程式

!

E(r) = K qir " rii=1

N

# (r " ri )

K =1

4$%0& 9.0'109N (m2C"1

qi , ri

!

V (r2) "V (r1) = " E #drr1

r2$E(r) = "%V (r)

3．6．2�静電場

!

"#E(r) = 0

"2V (x, y,z) =$ 2V$x2

+$ 2V$y 2

+$ 2V$z2

= 0

以下、簡単のため2次元で考える。

◇差分法による定式化

!

V (x + "x,y) = V (x,y) + "x#V (x,y)

#x+12("x)2 #

2V (x,y)#x2

+!

V (x$ "x,y) = V (x,y) $ "x #V (x,y)#x

+12("x)2 #

2V (x,y)#x2

+!

V (x + "x,y) +V (x$ "x, y) = 2V (x,y) + ("x)2 #2V (x,y)#x2

+!

V (x,y + "y) +V (x,y $ "y) = 2V (x,y) + ("y)2 #2V (x,y)#y 2

+!

"x = "y = h

# 2V (x, y)#x2

+# 2V (x,y)#y 2

=1h2

V (x + "x,y) +V (x$ "x,y) +V (x,y + "y) +V (x,y $ "y) $ 4V (x,y)( )

◇数値シミュレーションのためのアルゴリズム

解析スキーム（差分法、有限要素法、他）を決めて離散化

�⇨�連立一次方程式�

�⇨（数値解析アルゴリズム）⇨�解

数値解析アルゴリズム

・ガウス法，LU分解

・ガウスザイデル法

・共役傾斜法

・ICCG法�多数

◇静電磁場解析の応用例

電極・磁極・コイル設計（粒子加速器、電子管）

比抵抗トモグラフィ、他

例1：静電閉じ込め核融合装置

K.Yoshikawa, et al., J. Plasma Fusion Res. 83 (2007) 795.

例2：比抵抗トモグラフィ

地下の資源や遺跡・遺物を探索するために、地表に電極を多数設置して、電流電圧特性を測定して地下の比抵抗分布を推定する方法を比抵抗トモグラフィという。地下の資源、遺跡・遺物のところで比抵抗が周りと異なるためにこれらを見つけることができる。

例3：2次元非一様抵抗板上の電位分布・基礎方程式 ・境界条件

高電圧 金属箔

Ｘ線管

Ｘ線フィルム

錫箔：爆発前25mmx40mm0.006mm

錫箔：爆発中7.5kV放電

130マイクロ秒遅延

アルミ箔15mmX40mm0.008mm9.7kV放電

20マイクロ秒遅延Ｘ線エネルギー：45kV

低抵抗部

（錫箔）

高抵抗部

（不純物）

高熱発生

電流

by Masayuki Kunimitsu （國光正行）

3．6．3�磁場と渦電流�磁場が時間変化するとマックスウエルの方程式にしたがって電場が発生し、それが物質中ならば電流が流れる。これを渦電流という（＊レンツの法則）。

・マックスウエル方程式

!

"# B(x,t) = µ0 j+1c2$E$t

"# E(x,t) = %$B$t

"&E(x,t) =1'0(

" &B(x,t) = 0

・オームの法則

!

E+ u" B = #J

※レンツの法則：

　誘導起電力・誘導電流はそれを生ずる原因をさまたげる向きに生じるという法則で、１８３４年にドイツのハインリッヒ・レンツが発見した。導線と磁場とが相対運動をしている場合，導線に生じる誘導起電力は磁界の時間的変化に等しい。その向きはつねにこの運動をさまたげるように生じる。

◇渦電流解析の役立つ分野

（1）電気抵抗存在のための誘導電流による加熱

��・高周波調理器、溶接機

（2）誘導電場の直接利用

��・発電機、電磁ブレーキ

（3）レンツの法則の直接利用

��・磁気遮蔽

��・核融合装置におけるプラズマ安定壁

これらの現象の解析には数値シミュレーションが不可欠である。

3．7�磁気流体力学�既に述べたように、磁気流体力学は電荷を持つ粒子集合体の運動を統計処理して得た、連続体系の運動方程式システムである。特に興味のある磁気流体は、密度が比較的高いプラズマであって、この分野の研究は20世紀半ばに核融合研究が始まると同時に著しく発展した。核融合プラズマ（特に、現在主流であるトカマク装置の中のプラズマ）の解析には、まず、プラズマの磁気流体力学的特性を知ることが不可欠であるので、このための、色々なシミュレーション手法、シミュレーション・コードが開発されており、実際に使われている。また、磁気流体力学は、太陽風・磁気圏の解析にも良く用いられている。

★田中、西川、高温プラズマの物理学（丸善、東京、1991）

3．7．1�核融合とプラズマ

◇核融合エネルギー

・原子核は複数の（陽子、中性子）で構成されている。

・陽子の数（原子番号）で元素の性質が決まる。

・ある元素においては、中性子の数で安定性が異なる。

・元素同士の安定性について言えば、一般的に、原子番号が中程度の元素（鉄）がもっとも安定で原子番号の大きな元素も小さな元素も反応を起こして鉄の方に近づこうとする。反応に際して放出されるエネルギーを利用するのが「原子核エネルギー利用」である。

・原子番号が小から大へ向かうのが核融合反応である。

・研究が進められているのは水素のある。核融合反応で

◇核融合反応

・核融合反応を起こすには原子核同士が衝突しなければならない。しかし、原子核同士は正の電荷を持っているので反発する。無理に衝突させるためには、膨大なエネルギーを与えなければならない。

・粒子加速器を使って燃料原子核を加速することも考えられるが、こうすると、加速に必要なエネルギーが核融合反応の出力エネルギーより大きくなってしまうことがわかっている。

・そこで、燃料原子全体の温度を高めてそれぞれの原子核が十分大きなエネルギーを持つようにすることが考えられた。こうすれば、出力エネルギーが入力エネルギーよりも大きい状態を作り出せることがわかっている。

・どのくらいの温度が必要かというと、10億度くらいであって、このように高い温度では、原子は負電荷の電子と正電荷の原子核に完全に分かれたプラズマ状態になっている。

◇プラズマの閉じ込め

・エネルギーバランスを維持するために、プラズマは、何にも触れないように、真空中に閉じ込めておかなければならない。

・強い磁場の中に荷電粒子を入れれば、荷電粒子は磁力線に巻き付いて運動するので、荷電粒子の集合体であるプラズマは強い磁場によって閉じ込めることができそうである。

・直線状の磁力線では荷電粒子は両端から逃げる。

・コイルを円形に並べることで端のない磁力線を持つ磁場（トロイダル磁場）を作ることができるが、これだけでは荷電粒子は遠心力で外に逃げてしまう。

・トロイダル磁場の方向に、プラズマ中に電流（プラズマ電流）を流すと、この周りにポロイダル磁場ができて、全体としてトーラスを巡る螺旋状の磁力線配置が構成される。この磁場配位が「トカマク」の特徴で、良いプラズマ閉じ込めを実現する。

◇核融合炉

・核融合炉を実現するには、ただ単にプラズマを閉じ込めれば良い訳ではなくて、必要な密度のプラズマを必要な温度まで加熱しなければならない。さらに、強い磁場を発生するための装置、このプラズマからエネルギーを取り出す仕組みや安全な運転を実現するメンテナンスシステム等等といろいろなことが必要である。

・しかし、プラズマ閉じ込めの部分に限って言えば、プラズマを磁気流体として行うシミュレーションが非常に大きな役割を果たしている。また、磁気流体力学は、核融合プラズマに限らず、他の分野でも重要である。特にその非線形性に基づく現象はいろいろとケンキュされている。

3．7．2�磁気流体力学シミュレーション

◇磁気流体力学（MHD）方程式系

＊質量・電荷の連続の式

＊運動方程式

＊一般化オームの法則

＊マックスウェル方程式閉じた方程式系

MHD近似：ゆっくりした時間変化

!

Q = e(ni " ne ) = 0, #$J = 0, %E%t

= 0

!

"#"t

+$% (#!

V ) = 0

#"!

V "t

+!

V % $!

V &

' (

)

* + = ,$p +

! J -! B

! E +!

V -! B = .

! J

ddt

p#/0

1 2

3

4 5 = 0

"! B "t

= ,$-! E

µ0! J = $-

! B

$%! B = 0

質量連続の式

運動方程式

一般化オームの法則

圧力の式の例（断熱不変の式）

マックスウェル方程式

!

" =d + 2

dd：比熱比�：自由度

◇プラズマの条件とMHDモデルの適用条件

�MHDモデルの適用条件は磁気流体的時間スケールで分布関数がボルツマン分布に近いこと。ボルツマン分布に緩和する原因が、必ずしもクーロン衝突である必要はない。

!

q" (r) =q

4#$01r

q" (r) =q

4#$01rexp % r

&D

'

( )

*

+ ,

&D =$0kT2nee 2

- = ne&D3

- >>1

：真空中の静電ポテンシャル

：プラズマ中の静電ポテンシャル

：デバイ長

：プラズマ・パラメータ

：プラズマらしい条件

!

104 108 1012 1016 1020 1024 1028 1032!

106

104

102

100

10"2

10"4

地球軌道付近

電離圏

（F2）

コロナ

炎

ネオンサイン

磁気核融合

太陽表面

慣性核融合

太陽中心

金属半導体

!

" = 1!

" > 1

!

" < 1

電子密度

電子温度(eV)

!

(m"3)

!

1 eV " 11600 K

◇理想MHD方程式

!

"! B "t

= #$%! E = #$% (#

! V %! B +&

! J ) = $% (

! V %! B ) #&$% J

&$% J =&µ0

$% ($%! B ) =

&µ0

$($'! B ) # $2

! B [ ] = #

&µ0

$2! B

("! B "t

= $% (!

V %! B ) +

&µ0

$2! B

Rm =$% (

! V %! B )

&µ0

$2! B

=)R)A

＝磁場の対流項／磁場の拡散項

＝抵抗性表皮時間／アルフベン時間

地球プラズマや核融合プラズマに対しては次式が成り立つ。

!

Rm >>1 "! E +!

V #! B = 0

⇨�理想磁気流体方程式

!

"#"t

+$% (#!

V ) = 0

#"!

V "t

+!

V % $!

V &

' (

)

* + = ,$p +

! J -! B

"! B "t

= $- (!

V -! B )

µ0! J = $-

! B

◇磁場の凍り付き

!

"! B "t

= #$ (!

V $! B )

S(t)

S(t+dt)Vdt

!

d!

!

! B "

：磁束密度

：磁束

!

d" #! B (t + dt) $d

! S

S(t +dt )% &

! B (t) $d

! S

S(t )%

= dt '! B 't

$ d! S

S(t )% &

! B (t) $ (d

! " (!

V dt)%

= dt '! B 't

$ d! S

S(t )% & dt d

! " $ (!

V (! B )

C%

= dt '! B 't

$ d! S

S(t )% & dt )( (

! V (! B ) $d

! S

S(t )%

d"dt

='! B 't

& )( (!

V (! B )

*

+ ,

-

. / $d! S

S(t )%

!

d"dt

= 0

◇磁気流体力学平衡

!

"p =! J #! B

"#! B = µ0

! J

"! B = 0

"! J = 0

! B $ "p = 0! J $ "p = 0

：平衡の式

定常状態なので、

圧力一定の面（等圧面）に磁力線はある

圧力一定の面上を電流は流れる

磁力線と磁気面

!

! r dxBx

=dyBy

=dzBz

=d"B

"(! r )

(#"(! r )) $! B = 0

：磁力線の方程式

：磁束関数

：磁束関数の満たすべき方程式

磁気面とは磁束関数が一定の面を言う。磁力線は磁気面上にある。

!

! B = "#

! A

Br =1r$Az$%

&$A%

$z,B% =

$Ar$z

&$Az$r

,Bz =1r$$r(rA% ) &

1r$Ar$%

：ベクトルポテンシャルで表した磁場

円柱座標系で表すと、

並進対称性��⇨

軸対称性���⇨

ヘリカル対称性⇨

�に独立�⇨

�に独立�⇨

�と������������のみの関数��⇨

!

z"

r " #$z

!

Az (r," ) = constrA" (r,z) = const

Az (r," #$z) +$rA" (r," #$z) = constしたがって、これらの量は磁束関数になり得る。

平衡の式とアンペールの法則から、

!

" p +B2

2µ0

#

$ %

&

' ( = (B ) ")

! B µ0

p +B2

2µ0*

B02

2µ0

磁力線に沿っての磁場の変化が垂直方向の磁場変化より小さいときは右辺は~0なので

!

B2

2µ0は、磁場圧力なので、この式は圧力平衡の式である。

!

" =p

B02

2µ0

#

$ %

&

' ( ：ベータ値

核融合装置としては、大きなベータ値を持つものが有利である。

軸対称装置における平衡：グラド・シャフラノフ方程式

!

! B " #$ = 0

#! B = 0

Br%$%r

+ Bz%$%z

= 0

1r%rBr%r

+%Bz%z

= 0

rBr = &%$%z, rBz =

%$%r

#p "! B = 0 ' &

%p%r

%$%z

+%p%z

%$%r

= 0

( p = p($)

とおくことができる。

!

"p # J = 0, µ0! J = "$

! B % &

'p'r

'rB('z

+'p'z

'rB('r

= 0

% rB( =µ02)

I (*)! J $! B = "p r %の��成分

!

L(") + µ0r 2#p(")#"

+µ02

8$ 2#I 2 (")#"

= 0

L(") % r ##r1r##r

+# 2

#z2&

' (

)

* + "

Jr = ,12$r

#I (")#z

, Jz =12$r

#I (")#r

J- = ,1

µ0r ##r1r#"#r

+# 2"

#z2&

' (

)

* + = ,

L(")µ0r

=1

µ0rµ0r 2

#p(")#"

+µ02

8$ 2#I 2 (")#"

&

' (

)

* +

軸対称系における平衡の式：グラド・シャフラノフ方程式

!

p("), I 2 (") "は��の任意関数：非線形固有値問題

◇線形理想的磁気流体不安定性

理想的磁気流体方程式（電気抵抗が0のプラズマ）を線形化してプラズマの安定領域を求める。

運動方程式、質量保存の式、オームの法則、圧力決定の式、マックスウェル方程式を線形化する。

!

"p0 =! J 0 #! B 0

"#! B 0 = µ0

! J 0

"$! B 0 = 0

! % (! r 0,t) =

! r & ! r 0!

V = d! %

dt'(! % (t

(! B 1(t

= "#(! % (t

#! B 0

)

* +

,

- .

!

µ0! J 1 = "#

! B 1

$m1 = %"($m0! & )

p1 = %! & ' "p0 % (p0"

! &

これらを線形化した運動方程式

に代入すると、次のような線形化された運動方程式が得られる。

!

"m0#!

V #t

+$p1 =! J 0 %! B 1 +! J 1 %! B 0

!

"m0# 2! $

#t 2= %(! $ & %p0 + 'p0%

! $ ) +

1µ0(%(

! B 0) (

! B 1 +

1µ0(%(

! B 1) (

! B 0

= )% p1 +

! B 0 &! B 1

µ0

*

+ ,

-

. / +

1µ0((! B 0 & %)

! B 1 + (

! B 1 & %)

! B 0)

この方程式を、適切な境界条件の下に解けば良い。

!

! " (! r ,t) =

! " (! r ) exp(#i$t)

%m0$2 ! " = F(

! " )

方程式の解を

とすれば、固有値問題

に帰着する。

エネルギー原理�上記のように運動方程式から求められた固有値方程式を直接解くよりも、摂動項に関するエネルギーの正負を調べて安定性を議論するエネルギー原理の方法の方がよく用いられる。

!

"m0# 2! $

#t 2= F(! $ ) = %

" K &! $

12

"m0#! $ #t

'

( )

*

+ , -2

d! r +

12

! $ - &" K ! $ d! r = const.

T .12

"m0#! $ #t

'

( )

*

+ , -2

d! r

W .12

! $ - &" K ! $ d! r = % 1

2

! $ - &F(

! $ )d! r ：エネルギー積分

可能なあらゆる変位について�����ならば系は安定

（エネルギー原理による安定性解析）

!

W > 0

エネルギー原理に基づいて振動の振動数を求めることもできる

!

" 2 =

! # $ %" K ! # d! r

&m0! # 2d! r $

実際に数値計算で振動数の自乗を求めて安定性解析を行うときには、有限要素法により積分を評価して行列の固有値問題に帰着させて数値的に解くのが便利である。

（1）複雑なものを複雑なままに．．．高レベルのモデル化

�（例）ニュートン力学モデル⇔boid （個体ベースモデル）

������統計力学����⇔�熱力学

（2）細分された自然（分割スキーム）

�（例）粒子モデル：セル・オートマトン

（3）階層化された自然（多重尺度モデル）

�（例）多時間スケール、多空間スケール

�＊例題としての環境システム

���宇宙⇨地球（大気、海洋、固体地球）⇨生態系

������⇨�バイオ�⇨�統計物理

（4）自己組織化する自然

3．8�計算科学における新傾向

3．8．1�個体ベースモデル

◇個体ベースモデル（エージェントベースモデル）

�＊集団を構成する個体それぞれを独立した存在として扱う。

�＊各個体の動作原理は経験的知識に基づいて与える。

��第一原理との間にはギャップがある。

�＊応用分野の例は次の通り、

��・生態系中の植物および動物の時間発展

��・交通における自動車の振る舞い

��・人込みの中の人の動き

�＊マルチエージェントシステムの一種と考えてよい

�＊CAと関係ある

◇個体ベースモデルの例

�個体ベースモデルシミュレーションは、次の3種に分類できる。

�1）連続個体ベースシミュレーション

�2）離散個体ベースシミュレーション

�3）セルオートマトン（CA, Cellular Automata）

�ここでは、連続個体ベースシミュレーションの一例としてboidについて述べる。

◇Boid（birdoid：鳥もどき）

�★Craig Reynolds, 1986

�多数のboidsを3次元仮想空間の中に置きその挙動を見る。

�boidsの動きは3つの規則（Steering Behaviour）に従う。

1）Separation（分離）：環境内のほかのエージェントや障害

��物に一定の距離より近くに行かない

2）Alignment（整列）：近傍エージェントと速度を合わす。

3）Cohesion（凝集）：近傍のエージェントの重心と思われる

��方に動く。

3．8．2�ネットワーク型計算◇課題�1）高速性�2）シミュレーション対象との構造的類似性�3）モデルの階層構造（多時間・多空間スケール）�4）モデルの多重性（多相、多成分、多物理）�5）非平衡、非線形

���⇩

�＊粒子的モデルの導入

���⇩

�＊ネットワーク型計算

◇粒子方程式の抽象化��分子������⇨分子の集合��分子の速さ、方向⇨空間格子によって離散的に制限��粒子間相互作用�⇨粒子を確率的に選定��マクロな散逸過程⇨粒子運動そのものに散逸項導入���その他

◇具体的方法��並列計算機システム、計算機クラスター��直接シミュレーションモンテカルロ��散逸粒子動力学��ニューラルネットワーク��セルオートマトン����格子ガスオートマトン����格子ボルツマン

3．8．3�ソフトコンピューティング

�＊ニューラルネットワーク�＊ファジーシステム�＊遺伝アルゴリズム�＊人工生命

3．8．4�計算科学における課題

（1）解析手法（流体解析を例として）

◇課題

��[i�¤ ���`���c

����A

��p� �¤�(48<�(9>

¤ ���

��¤ �Py]z

���c¤ ����~g����wY$-0:>&

����^[n�@�SxLQ

◇従来の解析方法�＊質量、運動量、エネルギー保存則�����⇩��運動方程式（微分方程式）�����⇩�����⇩�時空間離散化�����⇩��数値解��．．．．簡単な問題ではこの手法で良い。�＊改良すべき点���高次精度、数値安定アルゴリズムの開発

◇従来の問題意識�＊米国の航空機開発技術の一環（空気単相流）�����⇩��＊物体形状の精密な模擬�����⇩�＊空間分解能の高い計算◇今後の課題�＊自然現象、産業プロセス解析への応用�����⇩�＊多成分、界面を含む流れの解析（気液2相流等）�＊応用対象と課題��・環境に関わる熱流動：多成分、複雑境界条件、大��������アスペクト比��・産業に関わる熱流動：多成分、多相、相変化、化学変化、����内部構造（液晶、コロイド、エマルジョン、高分子�����等）、レオロジー特性を含む流体、粉粒体��・生体に関わる流れ：血液流等

◇複雑流の課題のまとめ�＊特徴���非一様性���相変化、形態変化���マルチフィジックス���複数の時間空間スケール���複雑な境界�＊分解能向上が最優先ではない�＊重要課題���物理的気候解明���複雑さの分類���モデル作成、方程式定式化

（2）非線形・非平衡・複雑系

◇非平衡ダイナミックス

�＊熱流動

���圧力差�⇨�質量、運動量、エネルギーの輸送

�＊非平衡系の時間発展

���外力無し：平衡状態の回復

���外力あり（熱流動における圧力差等が駆動外力）：非平衡状態の維持

�Py]z�}b

��4%=)'�;

�����e\\�F�@dE�� KT�F�

���5+)'�;

�����e<1;��{��� $#)�F�

����Vl�^�I��s£

�����X¥��}

���3%=)'�;

����dE��wY

����3%=¥��X¥�

�＊多成分流���複数自由度の相互作用���マクロな非一様性の発現（多相、化学反応で）���⇨�平均場取り扱いの困難性���⇨�数値解析の困難性�＊非平衡性による複雑さ���平衡近傍では、対流項が線形化できる���非平衡状態では非線形性が大きくなる���⇨�時間空間構造を持つ熱流動�＊複数の時間空間スケール���相似法則が適用不可能

◇複雑流れとその解析（a）�ナビエストークス方程式等に基づくシミュレー�����ション�短所���＊分子間相互作用を直接考慮できない��＊非一様現象の記述は不適当���（状態方程式を想定しているため）�長所��＊保存量のマクロな保存は満たされる。��＊普遍性に富む

（b）気液2相流解析�＊モデル��①�均質流モデル：気液がい混合して流れる。��②�ドリフトフラックスモデル：気液速度差をドリフト����速度として考慮する。��③�2流体モデル：気液を別々の流体として考慮する。�＊2流体モデル���気液に対して別々の流体方程式を建てる。���両流体間に働く力学的、熱的相互作用を付加項として���方程式に加える：経験的に与える必要がある。������（気液間摩擦力、熱伝達、界面面積密度等）�＊2相流の特徴���2相の界面におけるミクロなダイナミックス（相分����離、相変化等）、粘性、慣性、表面張力など����⇨�全体のダイナミックスを支配する。����⇨�典型的な多重スケール複合問題����⇨�気泡、液滴スケールの構造の発展を知る必要������．．．．平均場近似モデルでは不可能！！

（3）�界面問題

�Y��O��Nu�M�

��[b�¤�Nu�¤���h�q�Nu�

����D�r�Nu�Z¡��a�

���O���[�a�

��O��[���� U

���C����Y��O�!(7�0������

���O��B��H!�v�����

���O��W¢�!t���J�����

◇界面表現の方法�①�マーカー粒子法���大きな界面変化に不適当���トポロジカル変化に不適当���数値誤差に弱い�②�秩序変数法������例えば、VOF(Volume of Fluid)法：一つの相の体積比

���トポロジー変化に追随可能���高次元化が困難（多数のセルが必要）�③�レベルセット法���レベルセット関数の導入���レベルセット関数の方程式を解く。���レベルセット関数の等高値＝0が界面�④�連続相をオイラー的、分散相を粒子としてラグランジ的取���り扱い