解析力学の基礎 ラグランジュの運動方程式,正準方...

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ラグランジュ はじめに いろいろ ,運 される.運 がニュートン ある.しかし, をニュートン するこ する があ り, る.こ ため,運 を一 した いるこ が多い.それが ある.位 それぞれ おいて,いろいろ っている. ,位 あるが,これが 角,角 ,角 いう る.一 ,ロボット えて かる おり, って いる.さらに って, している.これら する ために ,ある それがエネルギー ある.こ ため, り扱う を一 して し, 学から, から, 学からす り扱え るようにし,さらにそ らかにするため にエネルギーを して,運 した ラグランジュ ある.す する エネルギー あり,これ によりラグランジュ される.さらに, これ されてハミルトン る. するこ により,ロボット した い.そ ため,まず, して, する についてま める.つい ニュートン いて, ラグランジュ し,一 について る.さらに,一 ある について ,さらに あるハミルトン ヤコ する.また, ロボット 学: 大学 題におけるラグランジュ いくつか る. に, リンク ロボット ,ラグランジュ をマスター してほしい. ベクトル解析基礎 基底ベクトルによる表現と成分表現 ある 対して,各 ベクトルを, 各々 する ベクトルを太 する .これを ベクトル いう. ,右 する させて,右 ある . ベクトル から をおろした をおろした をおろ した する ,ベクトル ,つぎ ように せる. をベクトル ベクトル いい, いう.また,これをつぎ ように する. これを いう.ベクトル 大きさを ように ける. ベクトルの和と差 ベクトル ようにおく.

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解析力学の基礎�ラグランジュの運動方程式,正準方程式�

松尾 孝美 �

��������������������������������������������� �������������������������������������������������

� はじめに

いろいろな現象や装置の力学的な動きは,運動方程

式で記述される.運動方程式のもっとも基本的なもの

がニュートンの運動方程式である.しかし,構造の複

雑なものをニュートンの運動方程式で定式化すること

は,座標系や物理量の取り方などを工夫する必要があ

り,非常に煩雑な作業になる.このため,運動方程式

を一般化した方法を用いることが多い.それが解析力

学である.位置,速度や加速度はそれぞれの座標系に

おいて,いろいろな意味を持っている.直線運動の場

合は,位置,速度,加速度であるが,これが回転運動

になると,回転角,角速度,角加速度という具合であ

る.一般の運動は,ロボットの腕の運動を考えてもわ

かるとおり,直線運動と回転運動が複雑に絡み合って

いる.さらには,人間の場合には,生理学的現象,化

学的現象,電気的現象など多様なものが絡み合って,

力学的運動を形成している.これらの現象を記述する

ためには,ある統一的な概念 �それがエネルギー��が

必要である.このため,取り扱う座標を一般化して記

述し,力学から,電気から,化学からすべて取り扱え

るようにし,さらにその相互関係を明らかにするため

にエネルギーを基本量として,運動を記述したものが

ラグランジュの運動方程式である.すべての現象に共

通する原理はエネルギー最小原理であり,これは変分

法によりラグランジュの方程式に帰着される.さらに,

これは一般化されてハミルトン形式の解析力学となる.

本資料は,解析力学の基本的考え方を理解すること

により,ロボットの運動方程式の定式化の助けとした

い.そのため,まず,力学の基礎として,直線と回転

運動を数学的記述する方法についてまとめる.ついで,

ニュートンの運動方程式と仮想仕事の原理を用いて,

ラグランジュの運動方程式を導出し,一般化座標と一

般化力の意味について述べる.さらに,一般的概念で

ある最小原理について述べ,さらに解析力学の一般論

であるハミルトン�ヤコビ理論を紹介する.また,力

�福祉ロボット工学:動力学関係資料�大分大学工学部福祉環境工学科

学問題におけるラグランジュの運動方程式の適用例を

いくつか述べる.特に,�リンク関節型ロボットの例

題で,ラグランジュの運動方程式の使い方をマスター

してほしい.

� ベクトル解析基礎

��� 基底ベクトルによる表現と成分表現

現実世界である�次元空間の直交座標系��� �に

対して,各軸� �� ��の正の方向に長さ�のベクトルを,

各々�� ���とする �ベクトルを太字の小文字で記述する

�.これを直交座標系��� �の基底ベクトルという.

�� �軸の順番は,右手系とする ���平面を��の方

向に回転させて,右ねじの方向が�軸の方向である�.

ベクトル�の先端の点から�軸に垂線をおろした交点

を�� �軸に垂線をおろした交点を���軸に垂線をおろ

した交点を �とすると,ベクトル�は,つぎのように表

せる.

� �� �� �� ���

上式をベクトルの基底ベクトル表現といい,��� �� ��

を�の座標という.また,これをつぎのようにも表現

する.

���

��� ���

これを�の成分表現という.ベクトル�の大きさを����は次式のように書ける.

��� ��� �� �� ���

��� ベクトルの和と差

�つのベクトル��� ��を次式のようにおく.

�� ��� ��� ���

�� ��� ��� ���

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和と差は次のように定義される.

�� �� ��� ���� ��� ���� ��� ����

�� � �� ��� � ���� ��� � ���� ��� � ����

�つのベクトル��� ��� ��の和,差は次のようになる.

�� �� �� ��� ��� ��

�� ��� ���

��� �� ���� ��� �� ����

��� �� ����

ただし,�� ��� ��� ���としている.

��� ベクトルの積�スカラー倍

ベクトル�を方向はそのままで,大きさを変える操

作がスカラー倍で,ある.実数�スカラーという�に

対して,ベクトル�とスカラーのスカラー積を,�

と書き,つぎのように定義する.

� ��� �� ���

�� �� ��

���

���

���

���

��� ベクトルの積�内積

�つのベクトル��� ��の内積��� ����あるいは ���� ���とかく��をつぎのように定義する.

�� � �� ���� ���� ���� ���

内積はスカラーであり,つぎのような性質をもつ.

���� ��� � ��

�� � �� �� � ���� � ��� ��� �� � �� �� � ����� ��� � �� �� � �� �� � ������ � �� ��� � ����� � ���� ��� � ���

基底ベクトルの内積はつぎのようになる.

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �

また,ベクトル��と��のなす角をとすると,内積は

つぎのようにも表すことができる.

�� � �� �������� �� ���

これはつぎのようにして導出できる.余弦定理より次

式が成り立つ.

��� � ���� ����� ����� � ��������� ��

また,内積を用いると, ���� ���� はつぎのように書ける.

��� � ���� ��� � ��� � ��� � ��� ����� ����� � ��� � ��

この�つの式からわかる.

��� ベクトルの積�外積

�つのベクトル��� ��の外積��� � �� をつぎのよう

に定義する.

�� � ��

����� �� ��

�� ��

����� ������� �� ��

�� ��

����� �

����� �� ��

�� ��

������ ���

ここで,� � �は行列式を意味し,例えば,つぎのようになる. ����� �� ��

�� ��

����� ���� � ����

上の外積の定義は,�� �行列の行列式の演算を用いて,次のように書くことが多い.

�� � ��

�������� � �

�� �� ��

�� �� ��

������� ���

外積はベクトルであり,つぎのような性質をもつ.

�� � �� ��� � ���� � ��� ��� �� � �� �� � ����� ���� �� �� � �� �� � ������� �� ��� � ����� � ���� ��� � ���

�� � �� �

基底ベクトルの外積はつぎのようになる.

�� � � � � � � � �

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�� � �

� � � �

� � � �

また,ベクトル��と��のなす角をとすると,外積は

つぎのようにも表すことができる.

��� � ��� �������� ��� ���

これは次式が成り立つことからわかる.

���������� ���� ������������� ��� � ���������� � ��������� �� ��

���������� � ��� � ����

���� ��� �������� ��� ����

������ ���� ������

����� �� ��

�� ��

������

����� �� ��

�� ��

������

����� �� ��

�� ��

������

また,定義より次式が成り立つこともすぐわかる.

�� � ��� � ��� �

�� � ��� � ��� �

さらに,次式が成り立つ �ベクトルの�重積という�.

�� � �� � �� ��� � ���� �� �� � ��� � ��� ��� � ����� � ��� � �����

これは,つぎのようにして導出できる.��� �������は,��と��のつくる平面内にあり,かつ,��に直交す

るベクトルである.この平面内のすべてのベクトル

は��と��のスカラー倍の和 �線形結合という�である

������で表すことができる.ただし,�� �は任意の

実数である.この平面内のベクトルは,また,��に直

交するベクトルであるので,次式が成り立つ.

�� � �� � ��� � ��� ��� � �� ��� � �� �

したがって,�� �は�つの実数 を用いて,次式のよう

に書けることがわかる.

� �� � ��� �� � ��

したがって,次式が成り立つ.

�� � �� � �� ���� � ����� � ��� � ������

ここで, は,具体的に

�� �� �� �� �� �

とおき,計算すると, �となる.

��� ベクトル空間の一般論

ベクトル全体のなす空間の一般的な議論を展開して

おく.�を実数全体の集合,�を複素数全体の集合と

する.

定義 � 集合�が,�上のベクトル空間 �線形空間�で

あるとは,集合の要素��� � �に対して,和と呼ばれる

演算が�の要素として定義され,つまり,� � � �

であり,実数 � �と� � �に対して,スカラー倍

と呼ばれる演算が�の要素として定義され,つまり,

� � �であり,これらが次の演算則をみたすとき,�

を実ベクトル空間という.また,�の要素を実ベクト

ルという.また,�を�に換えたものが複素ベクトル

空間である.

� � � � �

� �� �� � � �� ��

� すべての�に対して,� � � を成り立たせる

ようなベクトル�がただ一つ存在する.この�を

零ベクトルという.

� すべての�に対して,��� � を成り立たせるようなベクトル��がただ一つ存在する.このよう

な��を��と書く.

� �� �

� � � � �に対して,���� ����

� �� �� � �

� � ��� � ��

ここで,ベクトル空間は必ず,原点�を含むことに注

意する.

例 � 先に定義した�次元空間のベクトルの全体の集

合 ���

���

��� �すべての�� �� � � �

��

はベクトル空間となる.これは要素が�つあり,�次

元実ベクトル空間と呼ばれ,��とかく.

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定義 � 実数 �複素数��� � � � � �と実ベクトル �複素

ベクトル� ��� � � � ���に対して,��� � � � ���

を��� � � � ���の線形結合といい,�������� � � � ���と書く.

例 � つぎのような例がある.

� �������はベクトル��を通る直線上にある原点を始点とするベクトルのすべてを表す.

� ����������はベクトル�����を通る�本直線を

とおる�次元平面内の原点を始点とするベクトル

のすべてを表す.

� �������������はベクトル��������を通る空間内の原点を始点とするベクトルのすべてを表す.

このような例から,例えば,�������������をベクトル��������で張られる空間という.

定義 � ベクトル��� � � � ���が�次独立であるとは,

そのベクトルの線形結合がゼロとなる,つまり,

��� � � � ��� � ���

となるのは,すべてのスカラー係数がゼロ,つまり,

� �� � � � � � �のときに限る場合をいう.�次独

立でない場合を,�次従属という.

例 � つぎのような例がある.

� �つのベクトルベクトル

��

��

��

�は�次独立

である.

� �つのベクトルベクトル

��

��

�����

�は�次従

属である.

� �つのベクトル

��

��

��

��

��

��

�は�次従属

である.

実ベクトル空間

��

��

��

��すべての�� � � �

では,�次独立なベクトルは�つしか存在しない ��つ

のベクトルの組は必ず�次従属になる�.この�次独立

なベクトルの本数をベクトル空間の次元という.

�� ベクトルの時間に関する微積分

ベクトル�が時間 �で変化するとき,����とかく.

����の微分は,各成分の微分により定義する.同様

に積分も各成分の積分として定義する.つまり,つぎ

のようになる.

����

���

����

����

����

���

������

���

���������������������

���

�������

������������������������

���

また,ベクトルが別のベクトルの関数である場合に,

このベクトルによる微分も定義できるが,詳細は省略

する.さらに,ベクトルのある方向に関する積分であ

る線積分なども定義できるが詳細は省略する.

� 力学基礎

質点と剛体の運動をベクトルを使ってニュートンの

運動方程式により表す方法について,説明する.ここ

で,述べることは力学の最も基本的な事項である.

��� 質点の運動

����� 質点とは

質量はあるが,大きさのない点のような物体を質点

という.バネはかりで測った重さは重量といい,質量

に重力加速度 � �����������をかけたものである.

����� 位置,速度,加速度

質点の位置は,�次元実ベクトル空間において,原

点から質点の位置まで引いたベクトルとして表すこと

ができる.質点が時間とともに移動するとき,�は時

間関数となるので,�時刻における質点の位置を�����

����

���

�����

�����

�����

���

と書くことにする.速度�と加速度�は,次式のよう

に表される.

� �����

��

���

�����

�����

�����

���

���

��������

��������

��������

���

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�����

��

������

���

���

�����

�����

�����

���

���

��������

��������

��������

���

����

����������

����������

����������

����

����� ����の法則

������の運動の�法則とは,つぎのようなもので

ある ���.

� 慣性の法則 すべての物体は,外から力を受

けない限り,静止または直線状の一様な運動を続

ける.

� 運動の法則 物体の運動量の変化は,作用して

いる力に比例し,その力が作用する直線の方向の

行われる.

� 作用反作用の法則 �つの物体の間に働く力は,

おのおのの大きさは等しく,方向は逆向きである.

定義 � 質点の質量を��スカラー���時刻での速度を

�����ベクトル�とすると,�時刻での運動量����ベク

トル� は,次式で定義される.

��� ����� ����

力を� ����ベクトル�とすると,������の運動の法

則は次式のように書ける.

����

�� �

�����

�� �

������

��� ���� � ��� ����

ただし,�時刻で質点の位置を ����,加速度を����とし

ている.上式を,������の運動方程式という.上式

のベクトル表現を成分表現してみよう.各ベクトルを

����

���

�����

�����

�����

��� ����

���

�����

�����

�����

��� �� ���

���

�����

�����

�����

���

とおくと,������の運動方程式は次式のようになる.

������

�� �

�������

�� �����

������

�� �

�������

�� �����

������

�� �

�������

�� �����

慣性の法則を������の運動方程式から解釈すると,

つぎのようになる.外からの力をゼロ,つまり,� ���

�とすると,運動方程式はつぎのようになる.

����

�� �

�����

�� �

この式を解くと,つぎのようになる.

��� ���� ��������

これは,外から力が加わらなければ,運動量は一定,

さらに,速度は一定 �静止も含む�であることを意味し

ている.

また,時刻 ��と ��の間の時間 � �� � ��での運動

量の増分を

����� ����

とおくと,これは運動方程式を積分することにより,

つぎのように求まる.

� ��

��

� �����

ここで,上式の右辺を力積という.さらに,非常に短

い時間 �の間に働く力� を撃力といい,運動量の増

分と時間との比で表される.

����� 例題 バネ質点系の運動方程式

図のように水平方向にバネにつながれた台車があ

る.これをバネ台車系という.この系に外力が働く場

合の運動方程式を定式化する.バネでは,フックの法

壁 バネ

����

図 �� バネ台車系

則(変形があまり大きくない範囲内では,復元力の大

きさは変形の大きさに比例する)が成り立つ.フック

の法則の比例定数をバネ定数という.図のようにバネ

の伸びがゼロのときを原点とし,�時刻におけるバネ

の変位を����とし,バネ定数を ,バネに発生する力

を!���とおくと,フックの法則は次式のようになる.

!��� � ����

バネの伸びる方向に働く外力を!���とすると,次式の

ような運動方程式が導出される.

�������

��� !���� ����

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上式のラプラス変換を考える.変位と外力のラプラス

変換を各々,�������!���とおき,入力を外力,出力を変位とすると,次式の伝達関数"����が得られる.

"���� ������!���

���

さらに,速度 ���� ������� と加速度���� ������

��� のラ

プラス変換を各々,�����������とおくと,

����� ����������� �������

であることから,入力を外力,出力を速度とする伝達

関数"����,入力を外力,出力を加速度とする伝達関

数" ���は次式のようになる.

"���� �

���

" ��� ��

���

入力が角周波数#で振動する信号である場合の,増幅率

と位相遅れは,伝達関数の変数 �を $#に置換えた周波

数伝達関数により表すことができる.特に,"��$#�を

コンプライアンス � �!�"��� ��,"��$#�をモビリテ

ィ�!�#�"��$�," �$#�をアクセレランス �� �"�%�� ��

という.

バネ台車が運動するときに,外界から動きを妨げる

抵抗を受ける.発生する抵抗力は複雑であるが,この

抵抗力を摩擦力といい,つぎのようなものがある.

� 静止摩擦 � 台車が静止状態から動き出すまでの

移動面との摩擦で,速度には無関係で,垂直抗力

に比例した量になる.

� クーロン摩擦 �滑動摩擦� � 固体面を滑るときに発生する摩擦は,速度には無関係で,垂直抗力に

比例した量になる.静止摩擦の方がクーロン摩擦

より大きい.

� 粘性摩擦 � 台車と移動面の間に潤滑油などがま

かれている場合には,流体による抵抗力を受ける

が,これは速度に比例しており,この抵抗力を粘

性摩擦力という.また,このような摩擦力を発生

する装置をダンパ �&�!��%�という.

ダンパによる粘性摩擦がある場合,粘性摩擦係数を �

とすると,粘性摩擦力は��������� であることから,運

動方程式は次式となる.

�������

��� !���� ����� �

�����

��

����� 仕事とエネルギー

まず,直線状に動く質点の仕事を定義する.直線状に

一定の力� �% �を加えて,質点がその力の方向に����

だけ移動したときの仕事& �%� ' �は,次式で定義

される �参考のため,それぞれの物理量の'()単位も

書いてある�.

& ��

力�が位置の関数である場合には,質点が微小距離��

を移動する場合の仕事�&は,

�& ���

と書けることから,� ��から � ��までを移動する

場合の仕事&は,次式のように積分で書くことがで

きる.

&

� �

���

力の方向と移動する方向が一致していなく,角度をな

す場合には,力の移動方向成分は� �� であるので,

仕事&は,次式のように積分で書くことができる.

&

� �

� �� ��

つぎに�次元空間を運動する質点の仕事を定義する.

質点の位置をベクトル�とする.質点に働く力をベク

トル�とする.質点が位置��から��まで,力�をうけ

て移動するとする.移動した軌跡は微小の場合には,

軌跡は,位置ベクトルの差 � �� � ��として表す

ことができる.この移動距離を無限に小さくした微小

移動軌跡ベクトルを�� と表す.このとき,この移動

になす微小仕事�&は内積を用いて,次式のように表

せる.

�& � � ��したがって,位置��から��までになす仕事は次式のよ

うに表せる �これを�の線積分という�.

&

� �

� � ��

微小ベクトルの成分表示を

��

���

��

��

��

���

とし,位置�

���

��� における力の成分表示を

� ���

���

����� �� ��

����� �� ��

����� �� ��

���

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とすると,仕事を成分で表すと,つぎのようになる.

&

� �

����� ���� �����

エネルギーは物体がもっている仕事を行う能力を表

しており,単位は仕事と同じであるが,物体内部に蓄

えているものであり,色々な形がある.たとえば,機

械エネルギー,電気エネルギー,化学エネルギーなど

である.物体が仕事をすると,その分エネルギーが減

少する.したがって,物体のエネルギーの変化量が仕

事である.ここでは,力学で登場する�つのエネルギ

ーの形態である,運動エネルギー�ポテンシャル(位

置)エネルギー�消費エネルギーについて説明する.

� 運動エネルギー運動している物体の仕事の能力を運動エネルギー

という.これは,つぎのようにして計算される.

時刻 ��において,位置���速度�����であった質量

�の質点が時刻 ��において,位置���速度�����に

なったとする.さらに,その移動軌跡は����� �� �� � �� で表されるとすると,そのときの速度ベク

トルは,���� ������� である.微小移動ベクトル

を��とする.これらの成分表示をつぎのように

おく.

���

���

��

���

��

��

��

���

���

��

��

��

���

このとき,位置と速度の関係は次式のように書

ける.

�� � ��

� ��

��

���

���� ����

����� ����

����� ����

����

���

微小時間での表現は次式のようになる.

�� ���

���

����

����

����

���

このとき,時刻 ��での質点のエネルギーを(�,��でのエネルギーを(�とおくと,(� � (�が時刻 ��

から ��までになされた仕事に等しいことから,次

式が成り立つ.

(� � (�

� ��

��

� � ��

� ��

��

������

� ��

��

������

� ��

��

������

ここで,運動方程式

�� �������

��

�� �������

��

�� �������

��

を代入すると,次式のようになる.

(� � (�

� ��

��

�������

������

� ��

��

�������

������

� ��

��

�������

������

� ��

��

����

�����������

� ��

��

����

�����������

� ��

��

����

�����������

��������������������

��������������������

��������������������

���������� � �

����������

したがって,一般に運動エネルギー(を次式で定

義できることがわかる.

( �

��������� ����

� ポテンシャル �位置�エネルギー重力のある地上におかれた物体が移動することに

より仕事が行われる.高い位置にある物体の方が

より大きい仕事を行うことができる.このような

仕事を行うことのできる能力を表すのが,位置エ

ネルギーである.また,電界中の電荷や磁界中の

導体などもこの位置エネルギーと同様に,位置に

依存したエネルギーをもっている.これらをまと

めて,ポテンシャルエネルギーという.重力によ

る位置エネルギーがどのように計算されるか見て

みよう.地上の垂直方向に座標 �をとり,原点を

地表とし,上空方向を正とする.質量�の質点の

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位置 ��での位置エネルギーを)�,��での位置エ

ネルギーを)� とすると,位置 ��から��までにな

す仕事が位置エネルギーの差)��)� であり,質

点に働く重力が��であることから,次式のよう

に計算できる.

)� � )�

� ��

��

����

� ��

��

����

���� �����

したがって,一般に位置エネルギー)を次式で定

義できることがわかる.

) ��� ����

伸縮しているバネは元に戻ろうとする復元力が働

くことから仕事をする能力(エネルギー)を蓄え

ている.バネの蓄えているエネルギーも伸縮の変

位量に依存することから,ポテンシャルエネルギ

ーである.バネの変位が��から��になったときに

バネがする仕事&��は次式のように計算できる.

&��

� ��

��

� ���

���� ��

�����

� ���� � ����

このことから,蓄えられるエネルギーは仕事のマ

イナスであるから,バネの変位が��から��になっ

たときのポテンシャルエネルギー)� �)�は次式

のようになる.

)� � )�

� ��

��

���

��

� ��

�����

� ���� � ����

これより一般に変位�のバネのポテンシャルエネ

ルギー)は,次式のようになる.

) �

� ��

� 損失エネルギー物体が移動することにより起きる摩擦により失う

エネルギーを損失エネルギーという.これは熱と

なって失われるエネルギーである.移動の際に発

生する摩擦力� �は,粘性摩擦力と呼ばれ,速度

に比例し,方向は反対方向となる.これは次式の

ように表せる.

� � ����� ������

��

これより,速度����で移動する質点の時刻 ��から

�� までの損失エネルギー*は次式のようになる.

*

� �

� � � ��

� �

������

��� ��

� ��

��

������

��� ����

��

� ��

��

���������

����

� ��

��

�������

����� パワー,仕事率

パワー(仕事率)+は,仕事&を行う時間的割合で

あり,単位は �& '�����であり,次式で与えられる.

+ �&

��

����� 質点の曲線運動を表す運動方程式(直交座標

系)

�次元平面内の位置,速度,力,運動量の基底ベク

トル表現をつぎのようにおく.

� ��� ���

� ��� ���

� ��� ���

��

質点の移動方向とそれに働く力の方向が異なる場合に

は,質点は運動する方向を変えていき,曲った運動を

することになる.このような曲った運動を記述するた

めに,モーメントという概念がある.モーメントとは

位置ベクトル�の回転方向の物理量であり,�物理量の

モーメント� �位置ベクトルの長さ� � �物理量の位置ベクトルに垂直な物理量の成分�である.正負は左

回りをプラスとする.速度のモーメント ��,運動量

のモーメント��,力のモーメント��はつぎのよう

になる.

�� ���� � ����

�� ����� ������

�� ���� � ����

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速度のモーメントの定義式 ��は,つぎのように解釈

できる.図のように,横軸 ��軸�と位置ベクトルのな

,

図 �� 速度モーメントの意味

す角度を,とし,位置ベクトルと速度ベクトルのなす

角度をとする.角度は左回り方向を正にとる.この

とき次式が成り立つことがわかる.

�� ��� ��,�� ��� ���,�� ��� ���, �

���� �� ��, � ��� ���,��� ��� ����, �

������� ��, �� ���,�

この式から,モーメントは次式のようになることがわ

かる.

�� ���������� ��� , ���, ��, �� � ���, �� ��, ��� ���� ,�

������ ���

したがって,��のおおきさは,位置ベクトルと速度

ベクトルがつくる平行四辺形の面積 �位置ベクトルの

長さと速度ベクトルの位置ベクトルに対する垂直成分

を掛けたもの�で, - �のとき,�� - �となること

がわかる.

�次元平面での運動方程式

�������

�� ��

�������

�� ��

を用いると,運動量のモーメント(角運動量という)

と力のモーメントに関して次式が成り立つことがわ

かる.

�����

��

�次元空間内の質点が原点回りを回転する運動を考

えることにする.位置,速度,力,運動量の基底ベク

トル表現をつぎのようにおく.

� ��� ��� ���

� ��� ��� ���

� ��� ��� ���

モーメントは,��平面,��平面,��平面内のものが考

えられる.ただし,外積演算を利用できるように,��

平面のモーメントは �軸方向(右手系),��平面のモ

ーメントは�軸方向(右手系),��平面のモーメント

は�軸方向(右手系)にとり,ベクトル化すると,運

動量のモーメント ,力のモーメント�はつぎのよう

に一般化できる.

.�� .�� .��

.� ������ � �����

.� ������ � �����

.� ������ � �����

� %��%�� %��

%� ������ � �����

%� ������ � �����

%� ������ � �����

運動量のモーメント ,力のモーメント�は外積を用

いて,つぎのように書くことができる.

�� � �� � � �

運動方程式は,つぎのようになる.

���

この式は,つぎのようにしても導出できる.

�� �

���� � ��

���

��� � �� � ��

��

�� � � �� � ��

��

� ����

�� � � � �

ここで,外積の時間微分でも通常の微分則 ��� �����

���� � � � � ��

��が成り立つことに注意する.

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����� 質点の曲線運動を表す運動方程式(極座標系)

�次元平面内の曲線運動を表す運動方程式を極座標

により表現してみよう.直交座標における基底ベクト

ル�� �と極座標における基底ベクトル��� ��を図に示す.

��は位置を表すベクトル����方向に大きさ �のベクト

���

��

図 �� 直交座標と極座標の基底ベクトル

ル,��は��を��回転したベクトルである.ここで注意

することは,ベクトル����は時間とともに変化するこ

とから基底ベクトル��� ��も時間とともに,その方向

が変化することになる.このような座標を動座標とい

う.これに対して,基底ベクトル�� �は時間とともに

変化しない静止座標である.静止座標と動座標の基底

ベクトルの関係は,次式で表される.

�� �� � ��� �

�� � ��� � �� �

ただし,�と��とのなす角をとしている.�が時間と

ともに動く場合,も時間関数となる.動座標の基底

ベクトルの速度は,�� �は一定であることから,つぎ

のようになる.

�����

� ��� ���� ��

���

����

�����

� �� ����� ��� �

���

��

����

静止座標と動座標の両方でベクトル�を書くと,次式

のようになる.

� ��� ���

������

ただし,���� ������としている.����の速度と加速度は,動座標ではつぎのように計算できる.

�����

��

��

���� �

�����

��

���� �

����

������

���

���

�����

��

��

�����

��

��

���� �

��

����� �

��

�����

����

���� �

��

��

�����

����

��

�� �

��

���

���

力ベクトルを動座標で表したものを次式とする.

� ���� ����

これらの式を

������

��� �

を代入することにより,動座標系での運動方程式は,

つぎのようになる.

����

���� �

��

��

��� ��

����

��

�� �

��

���

� ��

����� 質点の円運動を表す運動方程式(極座標)

糸につけた質点が,質点を取り付けた糸の先端と反

対側の糸の根元を中心に水平方向に回転する場合の運

動方程式を導出する.各物理定数と物理量をつぎのよ

うにおく.糸の質量は無視する.

��(*� 質点の質量

/�!� 糸の長さ(一定)

���� ����!� 糸の根元の回転中心を原点にとった

水平面�次元座標系での質点の位置

����%�&� 時刻 �での糸の回転角

#����%�&+�� � 時刻 �での糸の回転角速度

��!� 糸の根元から先端までの位置を表す

ベクトル ���� /�

� ��� 質点に働く力

,�%�&� ベクトル�と�のなす角度

水平方向運動は,糸の長さが一定であることから円運

動する.力ベクトル�のベクトル�方向成分を��,進

行方向成分を��とする.この関係を図に書いたもの

が,次図である.

つぎの式が成り立つ.

�� �� � ��,�� �� � ���,

��

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��

��

,

図 �� 円運動

速度ベクトル�のベクトル�方向成分を ��,進行方向

成分を ��とする.糸の長さは一定であるので,�� �

であり,��は糸の張力と釣り合うことになる.進行方

向の運動方程式は,次式のようになる.

������ ��

ここで,速度を回転角を用いて書くと,次式のように

なる.

�� /�

�� /#

上の�つの式から,次式が成り立つ.

�/���

��� /�� /�� � ���, �� � � �

ここで,慣性モーメント 0とトルク(を次式のように

定義する.

0 �/�

( �� � � �

この�つを用いて,回転運動を表す運動方程式は,次

式のようになる.

0��

��� (

������ �次元空間における質点系の運動方程式(直

交座標)

力学的な直線運動を表す基本的な物理量は,位置と

速度である.�時刻における位置を����とすると,速

度はその微分値 ,����で与えられる.なぜ,この�つが

基本量かというと,この�つで運動の場所 �位置に対

応�と方向 �速度に対応�を表すことができるからであ

る.運動の経路 �時間的な軌跡�の接線方向が速度の方

向に,移動速さが速度の大きさに対応している.また,

運動に影響を与える物理量が力である.�次元空間上

で�つの質点 �質量��に力�が働くときの運動はニュ

ートンの運動方程式により,次のように記述される.

�-����� �� ����

�-����� �� ����

�-����� �� ����

ただし,�

���

��

��

��

���は,質点の位置を表すベクトルで

あり,その直交座標 ��� �� ��成分が,それぞれ ��������

ということである.また,-����� ���������� とする.%

個の質点からなる運動方程式は,上式が%個集まった

ものであるので,次のようにかける.このような系は

質点系と呼ばれる.

�-������ � �� . �� � � � � % ����

�-������ � �� . �� � � � � % ����

�-��� ��� � �� . �� � � � � % ����

ただし,上付き添字 が質点の番号を表している.上

式の�� �� �成分をまとめて添字をつけ直すと,上式は

つぎのように書ける.

�-����� ��. �� � � � � �% ����

この �%を系の運動の自由度という.ここでは,これ

を簡単に!と書くことにする.このようなニュートン

の運動方程式は,質量×速度の変化分 �加速度�=力を

表しているが,運動量�� �� ,�����で表すと, ,�� ������

�� ��-�����であることから,つぎのようになる.

,����� ��. �� � � � � ! ����

上式は,運動量の変化分=力を意味しているので,質

量が変化するような場合にも用いることができる.そ

ういう意味で,速度の代りに運動量を運動の物理量の

基本量とする.

��� 相対運動

移動する座標系上での運動を相対運動という.ま

た,固定された座標系あるいは等速度で移動する座標

系を慣性系という.ここでは,この意味を考えること

にする.

����� みかけの力と慣性系

まず,�次元座標系の例をとおして,みかけの力の

発生を見てみよう.直線上に静止座標系��と原点が

その直線上を移動する動座標系���を考える.力�が

��

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� ��

����質点

図 �� 静止座標と動座標

加えられて運動している質量�の質点の座標を静止

座標系��でみたものを����とし,動座標系からみた

ものを�����とする.動座標系の原点��の静止座標系

からみた座標を ����とする(時間関数になっているの

は,��が時間とともに移動するからである).����と

�����には,つぎのような関係がある.

���� ����� ����

静止座標系での運動方程式は次式のようになる.

�������

�� �

この �つの式から,動座標で表した運動方程式は次式

のようになる.

��������� �����

��� �

��������

��� � ��

������

���

��������

�� � � � �

ただし,� � ���������� であり,これは静止座標系には

存在しない力で,動座標系におけるみかけの力であり,

慣性力と呼ばれる.動座標系の原点��が加速している

場合には,慣性力は進行方向と逆方向に働き,減速し

ている場合には,進行方向に働くことがわかる.ちょ

うど,電車に乗っているときに,発車時と停車時にか

かる力を考えればよい.

みかけの力がなく,静止座標系と同じ運動方程式が

成り立つ動座標系は,静止座標系とまったく同じにな

り,このような系をまとめて慣性系という.慣性系に

なるための条件は,結局,������� �となり,座標系が

静止か等速運動している場合を意味する.

����� 回転座標系上での運動

次図のように静止座標系��� �と原点が共通でベ

クトル�を軸として回転する動座標����を考える.静

止座標系��� �と動座標����の基底ベクトルを,各

々��� �����と�� ���とする.ここで,�は回転軸と回転

方向と回転角速度をまとめて表すものである.つまり,

このベクトルを法線ベクトルとする面が右ねじ回りに

回転し,その角速度が ���である.このようなベクトルを角速度ベクトルという.

図 �� 静止座標系と回転座標系と角速度ベクトル

質点の位置ベクトルを�とすると,その成分表現は

静止座標系と動座標系では異なることから,次式のよ

うにおくことができる.

� ��� � �� ���

�� �� ��

上式の右辺は同じベクトルを異なる基底ベクトルを

使って表したもので,まったく同じベクトルを表して

いる.ただ,これをつぎのように成分表示した場合は,

全く意味が違ってくる.

����

���

����

����

���

����

ただし,右辺のベクトル成分表記は基底ベクトルが異

なることを陽に表すために,添字 ��� をつけている.

����は静止座標系の原点に立った観測者がベクトル�

の先端を見たときの値であり,一方,���� は回転す

る動座標系の原点に立った観測者がベクトル�の先端

を見たときの相対的値を表している.このことから,

それぞれの座標系の原点に立った観測者からみた(各

座標系を基準にした)�つの速度があることがわかる.

これをベクトルの成分を使って書くと,つぎのように

なる.

����

��

���

��

��

����

��

����

��

����

��

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���

������������

����

����

��

���

��

��

���

��

���

��

���

���

������������

����

速度を求めるには,位置ベクトルを微分すればよいが,

どちらの座標系を基準に取るかで,微分の値が異なっ

てくる.そこで,微分演算子�

���

��を静止座標系の基

底ベクトルを一定とした微分,微分演算子�

���

��を動

座標系の基底ベクトルを一定とした微分と考えること

にすると,上式はつぎのように書ける.

����

��

��

��

����

��

��

��

加速度 ���� ���についても同様に考えることができ

るので,次式のようにかくことができる.

���

���

���

��

���

���

���

��

つぎに ����と ����の関係を求める.静止座標系を基

準にすると,静止座標の基底ベクトルは一定で,動座

標の基底ベクトルは時間に依存することから,静止座

標系を基準にした質点の速度ベクトル ����は次式のよ

う変形できる.

����

��

��

��

��

����

��

����

��

����

��

���

��

���

��

���

���

�� �

��

�� �

��

��

基底ベクトル�� ���の先端は,ベクトル�を法線ベクト

ルとする平面内を右回りの方向に回転している.また,

�� ���の回転半径は各々��� � ��� � � ��� �である.た

だし,� � � �は,�と�� ���とのなす角度である.特

に,基底ベクトル�について考えてみよう(残りは,こ

の場合と全く同じようにして導出できる).����の方向

はベクトル�を法線ベクトルとする平面内の半径 ���

の円周を右回りであり,大きさは# ��� である.これ

を外積を使って表すと次式のようになる.��

��

��

� � � ���

��

��

� � � ���

��

��

� � � �

したがって,ベクトル�の静止座標系を基準とした速

度 ����は次式のように表される.

����

��

��

��

��

���

��

���

��

���

��

��

��

� �

��

��

��

� �

��

��

��

�� ��� � �� ��� � �� ��� � ��

��

��

��

� � � �

したがって,各々の座標系での微分演算は,つぎのよ

うな関係をもつ.��

��

��

��

��

��

��

この式から加速度の関係を求めると,つぎのように

なる.���

���

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

���

��

��

� � � ��

��

��

��

���

��

��

� � � ��

� ���

��

��

� � � ��

����

���

��

���

��

��

� � � ����

��

��

� ����

��

��

� � �� � ��

����

���

��

�� ����

��

��

� � �� � ��

ただし,最後の式では,�����

�� �を用いている.こ

れは,回転座標系が等速度で回転している場合に有効

である.

加速度が導出できたことから,静止座標系と動座標

系での運動方程式の相違点を説明することができる.

まず,質量�の質点に力�が加わったときの静止座標

系の運動方程式は,つぎのようになる.

���

���

��

� �

��

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この式と加速度の式から,動座標系における運動方程

式は,次式のようになる.

���

���

��

� � � � � �

ただし,� �はコリオリ力,� �は遠心力と呼ばれ,次

式のように定義されるものである.

� � ���� ����

��

��

� � ��� � �� � ��

コリオリ力は質点の移動方向と直角に働く力で,また

遠心力は回転軸の中心から外側に働く力である(定義

を用いて外積の方向を考えれば出てくる).したがっ

て,動座標系での運動方程式は,静止座標系と異なり,

力の補正項が必要となるわけである.地球上でおきる

コリオリ力には,つぎのようなものがある(理由をコ

リオリ力の式から考えよ).

� 塔の上から物体を落とすと,地球の自転から地表に到達した際には,塔の真下ではなく,わずかす

こし東側に落下する.

� 偏西風もコリオリ力による.北半球では,南から北に吹く風は東向きに偏向し,北から南に吹く風

は西向きに偏向する.

��� 剛体の運動

ボールを投げると回転しながら前方へ移動していく

が,これは直線運動と回転運動の�つからなっている.

このような運動方程式を立てるのが,ここでの目的で

ある.

����� 剛体とは

いくつかの質点が集まって運動している場合,質点

系という.各質点間の位置が全く変わらない場合を,

剛体系という.たとえば,ボール,ブーメラン,車,

飛行機などは剛体系と考えられる.

����� バトンの回転運動

剛体の運動を理解するための手始めとして,両端に

質量の集中したバトンの回転運動を定式化してみよう.

バトンは,次図のように質量を持たない半径1(一定)

の棒の先に質量�の質点がついており,棒の中心を右

回りに角速度#で回転するものとし,回転面を��平面

とする.�軸を��平面と垂直に右手系としてとる.こ

のとき,角速度ベクトルは,�軸方向で,これを�と

おく.

���

11

図 �� バトンの回転運動

まず,このバトンの角運動量を計算する.質点�の

円周方向の速度は,1#であり,回転半径は1であるこ

とから,�つの質点の角運動量の大きさは��1�#であ

り,これがバトンの角運動量の大きさになる.角運動

量の方向は�であることから,バトンの角運動量ベク

トルは次式のようになる.

��1��

上式において,��1�は慣性モーメントと呼ばれる量

である.剛体の慣性モーメントはつぎのように定義さ

れる.

� 剛体が�個の質点系の場合

各々の質点の質量を�,回転軸からの距離を �

とすると,慣性モーメント 0は次式になる.

0

����

���

� 剛体が連続体の場合連続体の場合には,微小部分に分割したものを

質点とみなして,慣性モーメントを計算して,そ

れを積分すればよい.回転軸からの距離 �のとき

の剛体の微小部分の慣性モーメント�0は次式に

なる.

�0 ����

ただし,��は微小部分の微小質量とする.これよ

り,全体の慣性モーメント 0は次式のようになる.

0

�����

��

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バトンの場合,�つの質点からなる剛体であることか

ら,慣性モーメント 0は��1�になる.慣性モーメント

0を用いると,角運動量ベクトルは次式のようになる.

0�

バトンに働くモーメントを�とすると,運動方程式は

次式のようになる.

�� �

ここで,�の大きさ%がトルクであり,剛体に働く力

の運動方向成分と回転半径1を掛けたものである.そ

こで,運動方程式を回転方向のみの運動方程式になる

ことから,大きさのみで表現すると次式のようになる.

0�

��# %

����� 質点系で表される剛体の運動

次図のように,剛体が並進運動しながら回転して

いる場合を考える.静止座標系を���� �とし,剛体

内に固定された動座標系を����とする.�を剛体内

の任意の点の静止座標系原点��からの位置ベクトル,

��を動座標系原点�の静止座標系原点��からの位置

ベクトル,�を剛体内の任意の点の動座標系原点� か

らの位置ベクトルとする.位置ベクトルの関係は,つ

��

�回転軸�

��

��

図 �� 剛体の静止座標と動座標

ぎのようになる.

� �� �

つぎに,剛体内の任意の点における速度を導出する.

ベクトル�に静止座標系での時間微分�

���

��を施すと,

静止座標系でのその点の速度�が求まる.

���

��

��

����

��

��

���

��

��

ここで,����

��

�は,剛体内に固定された動座標系の

静止座標系から見た移動速度,つまり,剛体の移動速

度を表している.これを� �とおく.また,�����

��は動

座標系の時間微分を用いて書きなおすと,次式のよう

になる. ���

��

��

���

��

��

� � �

ここで,剛体の点の位置は動座標の原点�に対して一

定(剛体は形を変えない)であることから,�����

�� �

となる.したがって,���

��

��

� � �

となることから,静止座標系における速度は,次式の

ように書けることになる.

� � � � � �

上式の右辺第�項が剛体の並進運動,第�項が回転運

動を表している.

この剛体を,�個の質点系で近似する.質点

�� �� � � � � �に対する質量を������ � � � ���,各質点の

動座標原点からの位置ベクトルを��� ��� � � � � ��,各質点に働く外力を� ��� �� � � � �� �,静止座標を基準にし

た各質点の速度を� ��� �� � � � �� �とする.質点 2と $

との間に働く内力を� �とする.また,剛体は各速度

ベクトル�で回転しているとし,剛体全体を代表する

量を,つぎのように定義する.

� !�

��� 剛体の全質量

�� ��

!����� 質量中心の位置ベクトル

� !�

�� � 外力の総和

この質点系の運動を定式化してみよう.

� � �の場合

まず,質点が�つの場合の運動方程式を考える.質

点�の運動方程式は静止座標系を基準にとると,

次式となる.ここで,内力は互いの作用反作用で

あるので,逆方向に同じ大きさの力になることに

注意する.��

������ ��

��

� � � ���

��

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質点�の運動方程式は次式となる.��

������ ��

��

� � ���

ここで,� ��� �は,つぎのように書ける.

� � � � � � ��� � � � � � ��

これを運動方程式に代入してまとめると,次式の

ようになる.��

������� � � � ��� ���� � � � ���

��

��

������ ���� � � � ����� �����

��

� � � �

つぎに,各質点の動座標まわりのモーメントに関

して,先に求めた運動方程式から次式が成立する.

�� ��

������ ��

��

�� � � � � �� � ���

�� ��

������ ��

��

�� � � � �� � ���

ここで,�����と内力���は平行であるので,互いの外積がゼロであることを用いて,次式が導出

できる.

�� ��

������ ��

��

�� ���

������ ��

��

�� � � � �� � � �

ここで,

� � � � � � ��� � � � � � ��

を代入すると,次式のようになる.

����� �������

����

��

���� ���

���� � ���

��

���� ���

���� � ���

��

�� � � � �� � � �

� �が一般の場合

一般の�については,次式のようになることは容

易に予想できる.ただし,静止座標系を基準とし

ているが,区別するための � ��は省略している.

��

��� � �

���� � ��� �

��� � �

��� �

����

�� � �

���� � ��

����

� � �

動座標の原点を質量中心に取ると,�� �とな

るので,上式はつぎのようになる.

��

��� � �

����

�� � �

���� � ��

����

� � �

動座標を質量中心に取った場合,剛体の運動は,

並進運動(上側の式)と回転運動(下側の式)に

分離できることがわかる.

また,剛体が動座標の原点が静止座標系に対して

静止しているとき,つまり,� � �のとき,各

質点の速度は次式のようになることがわかる.

� � � �

各質点の角運動量を加えたものを,剛体の角運動

量として定義すると,次式のようになる.

����

�� � �

��

��

�� � �� � ��

このとき,�の時間微分(静止座標系基準)は次

式のようになる.

���

��

���

��

�� � �

��

��

��

���

�� �

����

�� � �

���

����

�� � �

����

�� � �

���

��

��

�� � �

���

����

�� � �

���� � ��

����

�� � ��

����

����

�� � �

ただし,� !�

������ は外力のモーメン

トの和である.

��

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� 慣性モーメントの導出剛体が連続量である場合,質量は連続的に分布し

ていることから,剛体全体の角運動量は,つぎの

ようになる.まず,�での微小質量を��とする

と,微小角運動量��は

�� � � �� � ����

となることから,全体の角運動量は,次式のよう

に積分で表すことができる.

�� � �� � ����

ここで,剛体の任意の場所を表す位置ベクトル�

と回転軸の角速度ベクトル�を回転座標系の基底

ベクトルを用いて,次式のようにおく.

� �� �� ��

� #�� #�� #��

内積はスカラーであるので,ベクトルの�重積は,

� � �� � �� �� � ��� � �� � ��� ��� � ��� ��� � ��

であることから,全体の角運動量は次式のように

変形できる.

�� � �� � ����

��� � �����

���� �����

�#�� #�� #���

���� �� �����

����� �� ����#�� #�� #�����

3��3�� 3��

ただし,3�� 3��3�は次式のようの定義している.

3� 0��#� � 0��#� � 0��#�

3� �0��#� 0��#� � 0��#�

3� �0��#� � 0��#� 0��#�

0��

���� �����

0��

���� �����

0��

���� �����

0��

�����

0��

�����

0��

�����

こ こ で ,0��� 0��� 0��を 慣 性 モ ー メ ン ト,

0�� � 0��� 0��を慣性乗積という.ここで,�を回

転座標系の成分表示すると,次式のようになる.

3 /�

/

���

0�� �0�� �0���0�� 0�� �0���0�� �0�� 0��

���

���

#�

#�

#�

���

ここで,/を慣性テンソルという.動座標の原点

を固定して,座標系���� を回転させたとき,慣

性乗積 0��� 0��� 0��がゼロとなる場合がある.こ

のような場合の座標軸を慣性主軸という.この場

合,慣性テンソルは次式のように対角行列となる.

/

���

0�� � �

� 0�� �

� � 0��

���

図のような長方形の板(厚さはないとする)の

慣性モーメントを求めてみよう.�� �軸を図のよ

うに,�軸を紙面に垂直にとる.単位面積当たり

の密度を1とする.斜線部の微小部分の質量は,

��

��

���

4

�4図 �� 長方形の慣性モーメント

�� 1����,全体の質量は,5 1�4である.

慣性モーメントと慣性乗積を計算すると,つぎの

ようになる.

0��

���� �����

�����

���1���� 1

��

� �

��

����

1

�4�

���

�1�4�

�4�5

0��

���� �����

�����

��

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���1���� 1

� �

��

��

����

1

� �

��

���

���

�1�4�

�4�5

0��

���� �����

�����

�����

0�� 0�� �

���� 4��5

0��

�����

� �

��

��1����

� �

��

�1�

��

� �

�� �

0��

�����

� �

��

��1���� �

0��

�����

� �

��

��1���� �

ここで,上の計算では,つぎの点に注意しよう.

0��の重積分計算は,積分領域が長方形であるの

で,����

���の各々の定積分になるが,形状が異

なる場合には,一方の積分範囲がもう一方の積分

変数の関数となるので,これらの重積分について

は,多変数の積分ののった数学本を参考にするこ

と.また,0���0��については,�方向の厚さがな

いので,ゼロになる.

� 解析力学基礎

前述したように剛体の並進や回転などの運動があり,

運動方程式の取り扱いが複雑になる.運動方程式をエ

ネルギーの概念から導出するのが解析力学である.エ

ネルギーで表した運動方程式はラグランジュの運動方

程式と呼ばれる.ここでは,簡単な������の運動方

程式からラグランジュの運動方程式を仮想仕事の原理

や変分法と呼ばれる手法を用いて導出してみよう.

��� 微分と微分係数の違い

解析力学では微分操作を駆使するため,微分の意味

について復習しておこう.ひとことでいうと,微分係

数は接線の傾きであり,微分は接線の長さである.

まず,�変数関数関数� !���について考える.�

変数関数が� ��で微分可能であるとは,� ��に

おける微分係数が存在するときをいう.� ��におけ

る微分係数���� ����は次式で定義される.

�!

������ "�!

����

!��� � !����

�� ��

�� ��が微小のとき,!���� !����は次式のように近

似できる.

!���� !���� � �!

�������� � ���

�� ��が微小のとき,微小量

�� �� ��

�! !���� !����

を定義すると,次式のように書ける.

�! �!

��������

この �!を!の微分という.このことから,微係数は接

線の傾きで,微分は接線の微小長さを表していること

がわかる.

つぎに,�変数関数の場合を考える.�変数関数

!��� ��が ���� ���において微分可能であるとは,曲面

� !��� ��が ���� ���において接平面をもつときをい

う.つまり,ある平面 � �� 4� �について,点

��� ��と ���� ���の距離が微小であるならば,

!��� �� � �� 4� �

が成り立つとき,!��� ��は ���� ���で微分可能といい,

平面 � �� 4� �を曲面 � !��� ��の ���� ���で

の接平面という.接平面は点 ���� ���を通ることから,

!���� ��� ��� 4�� �

が成り立つことから,点 ��� ��と ���� ���の距離が微

小であるならば,

!��� ��� !���� ��� � ���� ��� 4�� � ���

となる.これを�変数関数の場合の類似から,つぎの

ような記号

�! ��� 4��

で表し,�!を!の点 ���� ���での微分という.特に,点

���� ���を明示したい場合には,��!����� ���と書く.

ここで,�は� ��と固定し,!��� ���を�の�変数関

数と考えた場合の� ��での微分係数であることか

ら,これは偏微係数になる.4についても同様に考え

られることから,�� 4は次式のように表されることが

わかる.

� 6!

6����� ���

4 6!

6����� ���

��

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ただし,偏微分係数は,次式で定義されるものである.

6!

6����� ��� "�!

���

!��� 7� ���� !���� ���

76!

6����� ��� "�!

���

!���� �� 7�� !���� ���

7

このことをまとめると,!の点 ���� ���での微分は,

�! 6!

6����� �����

6!

6����� �����

と書け,� !��� ��の点 ���� ���での接平面は,

� � �� 6!

6����� ������ ���

6!

6����� ����� � ���

�� !���� ���

と書けることになる.�変数関数の場合,平面上での点

��� ��と ���� ���の近づき方は,直線� ��や� ��

に添ったもの以外にもいろいろと考えられる.�つの

スカラーパラメータ �(時間変数とみなしてよい)に

対して,��� ��平面内に曲線軌道を描き,これが � �

で ���� ���に収束するような場合を,次式のように表

現することができる.

� �� ����

� �� ����

ただし,�Æ�� Æ��は,��� ��平面内の軌道の方向を表し

ている.この軌道に沿った微分係数を方向微分といい,

次式で定義する.

*�����!���� ���

"�!����

!��� ����� �� ������ !���� ���

これは,偏微係数を用いて,次式のようにも表すこと

ができる.

*�����!���� ��� 6!

6����� ����

6!

6����� ����

このことから,

�! 6!

6����� �����

6!

6����� �����

は,すべての方向からの方向微分を表していると考え

てよい.固定された方向からの方向微分を求めるには,

スカラー変数 �に対する軌道を

� ����� �� �����

� ����� �� �����

と設定し,� ��についての微分を求めることにより,

方向微分が次式のように計算される.

*�����!���� ��� 6!

6����� ���

��

��

6!

6����� ���

��

��

この方向微分を*�Æ��Æ��!���� ��� ���������

�� と書くこ

とにすれば,次式のような微分連鎖則が成立すること

がわかる.

�!���� ���

��

6!

6����� ���

��

��

6!

6����� ���

��

��

多変数関数! !���� � � � � �� �に拡張すると,つぎのようになる.!の微分�!は,次式で定義される.

�!

����

6!

6��� ����

��の定義は,数学的には双対接空間の基底として

定義されるが,理論的なベースをある程度必要とする

ので,ここでは割愛するが,興味のある人は参考文献

���������を参照してほしい.ここでは,力学的意味か

らだけ感覚的に微分について考えてみよう.�を質点

系の位置座標と考えると,質点系は運動しているので,

�は時間の関数となるので,� ����と書くことに

する.質点系の運動の時間的な動きは,軌道という形

で表現できる �ちょうど飛行機雲のようなもの�.そこ

で,短い時間 �微小時間という���を基本量として導入

する.時刻 �での質点系の位置は����で,時刻 � ��

での質点系の位置は��� ���で表現できる.����の

�に関する微分係数は次式で定義される.

�����

�� "�!

���

��� 7�� ����

7����

これは,質点系の軌道の接線の傾きを表している.つ

まり,�時刻における����の変化率 �速度�を表してい

る.これに対して,�����は前述の微分の定義から,

次のように表すことができる.

����� 6����

6��� ����

�����

���� ����

上式で,�は �だけの関数であるので,偏微分係数が

普通の微分係数に置きかえられていることに注意す

る.微分係数 �速度�に微小時間をかけたものが微分で

あることから,�����は微小時間に質点系が����の

軌道の接線方向に移動する距離 �微小時間の移動距離

なので,微小距離とよぶことにする�と考えることが

できる.このように考えると,微分は微小移動距離で

あり,微分係数は速度になるわけである.微小時間��

においての移動距離は �������� の急激な変化がなければ,

��� ���� ����に等しいと考えられる.そこで,つ

ぎの関係が成り立つとみなす.

����� ��� ���� ���� ����

��

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この関係から時間区間 ���� ���の定積分をつぎのように

定義できる.

� ��

��

�����

���������

���� ���� ���� ����

これより,次式が成立する.� ��

��

�����

� ��

��

�����

����

���������

���� ���� ����

������ �����

つぎに,多変数関数の微分と微分係数について,ポ

テンシャルエネルギーを例に述べる.質点系のポテン

シャルエネルギー �位置エネルギーと考えてよい�は

位置������ � � � � �� ���の関数であるので,これを)

)������� � � � � �� ����とおくことにする.)の微分係数

は�種類考えられる.�つは,)を単なる時間 �の関数

と見た場合の変化率であり,����で与えられる.もう�

つは,位置��� � � � � ��に関する変化率であり,それぞれの方向の変化率は偏微分係数 ��

���� 2 �� � � � � !とし

て与えられる.)の時間的変化率である ����は位置の時

間的変化率����� を用いて,つぎのように書くことがで

きる.

�)

��

����

6)

6�

����

����

上式の右辺の各項は)の各位置方向成分�に関する時

間的変化率を表しており,この和が全体の時間的変化

率になっているわけである.)の微分�)は,定義よ

り,�) ���� ��であるので,これを変形するとつぎの

ようになる.

�) �)

���� ����

����

6)

6�

����

�� ����

����

6)

6��� ����

上式は,なにもポテンシャル関数でなくても,一般の

関数で成立する.上式の最終式は,次の節の計算によ

く用いられるので,よく覚えておくこと.

��� 仮想変位と仮想仕事

つぎに,仮想変位Æ�と仮想仕事Æ&について述べる.

この場合の仮想変位は位置の微小変化を意味するが,

時間を基準にした変化ではなく,微小変化でもずいぶ

んと時間がかかる場合も含めて考えている.そこで,

通常の時間を基準にした微小変化と区別するために,

�の代わりに,Æを用いる.仮想変位に対する仕事を仮

想仕事といい,Æ&で書くと,次式が成り立つ.

Æ&

����

�� ����

仮想仕事の原理とは,運動のない静力学的 �動いてい

ない釣り合いの力学のこと�な系の釣り合いの条件を

与えるものである.����を静力学における釣り合いの

式と考えると,次式のように書ける.

,����� � �. 2 �� � � � � ! ����

上式第�項は運動を静力学的な力に換算したもので,

それと外力が釣り合っていると考える.左辺全体が力

の総計を表すと考えるのである.この釣り合っている

状態で,仮想変位Æ�. 2 �� � � � � !が生じたとすると,そのときの仮想仕事はゼロになるというのが,仮想仕

事の原理である.式に書くと,つぎのようになる.

Æ&

����

� ,����� ��� � ����

仮想仕事を導入した理由は,以下のとおりである.運

動方程式を記述する場合,位置,速度,加速度の表現

を簡単にするために,いろいろな座標系をとる.たと

えば,回転運動の場合には運動方程式を極座標系で表

した方が簡単になる.この場合,直交座標系と極座標

系では,つぎのような対応関係がある.

物理量 直交座標系 極座標系

慣性 質量� 慣性モーメント 0

座標 変位���� 角度���

速度 速度 � ������� 角速度# �����

��

力 力� ��� トルク8

弾性 バネ定数 ねじりバネ定数 �

抵抗 粘性摩擦係数 � 粘性摩擦係数 ��

運動エネルギー ����� �

�0#�

位置エネルギー �� �

� �� �

損失エネルギー ����

� ����#

座標変換を行うと,座標や力などは別の量を使わなけ

れば,運動方程式が導出できないが,エネルギーをみ

ると,基本的形は同じで,なかに入る物理量が座標系

に対応したものに置き換わっただけの形になっている.

このことから,エネルギーを用いることにより,座標

に依存しない一般的な式表現があることが期待できる.

このため,運動方程式を変形して,仕事(エネルギー)

の式に置き換えたのである.

��

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とくに,ポテンシャルエネルギーの仮想変位に対す

る微小変化分をÆ)とおくと,次式が成立する.

Æ)

����

6)���� � � � � �� �6�

� ����

この式が成立する理由を方向微分を使って説明する.

仮想変位は方向微分の一種であることを,次の説明す

る.前に定義した方向微分におけるスカラーパラメー

タ �を時間変数に関係しない単にゼロに近づいた度合

いを表すパラメータ9で置換える.このとき,)の方向

微分は次式のようになる.

*���������� �)����� � � � � ���� "�!

����

9�)���� 9����� � � � � ��� 9��� ��

�)����� � � � � ����これは,前述したように偏微係数を用いて,次式のよ

うにも表すことができる.

*���������� �)����� � � � � ����

6)

6������� � � � � ������

� � � 6)

6������ � � � � ������

このことから,基準位置とその仮想変位は,つぎのよ

うにみなされる.

基準位置 ��� � � � ���

仮想変位後の位置 ��� 9�Æ��� � � � ��� 9�Æ�� �

仮想変位 9�Æ��� � � � 9�Æ�� �

したがって,Æ)は,次式のように表すことができるこ

とからわかる.

Æ) *�Æ�������Æ�� �)����� � � � � ����9

��� 一般化座標と一般化力とは

すべての座標を一般的に表す一般化座標をいれる

ことにより,基本的な運動方程式を導出するのが解

析力学である.直交座標系による質点系の位置座標

��� � � � � ��の代りに,それを次の式で表される一般化座標 :�� � � � � :�を考える.

:� :����� � � � � �� �000

:� :� ���� � � � � �� �また,その逆変換をつぎのようにおく.

�� ���:�� � � � � :� �000

�� �� �:�� � � � � :� �

座標変換を用いると,系の運動方程式を簡単にする効

果がある.たとえば,�次元直交座標 ��� �� ��と�次元

極座標 ��� � ;�の関係はつぎのようになる.

� � ��� ��;

� � ��� ���;

� � ��

つぎに座標変換によって,力がどのようにかわるか

を見ることにする.そのために,仮想仕事Æ&を考え

る.これは,直交座標を基準に,力�� 2 �� � � � � !が働いているとき,系が仮想的にÆ�� 2 �� � � � � !だけ動いたとすると,仮想仕事は次式のようになる.

Æ&

�����

���� ����

ここで,Æ�は微小分なので,逆変換の式から,つぎ

のようにして,Æ:に変数変換することができる.

��

�����

6��6:�

Æ:� ����

したがって,仮想仕事を一般化座標で表すと,つぎの

ようになる.

Æ&

�����

�����

��6��6:�

Æ:� ����

�����

<�Æ:� ����

ただし,<�は,

<�

�����

��6��6:�

����

であり,Æ:�に対する力を表し,これを一般化力とい

う.�

��� ポテンシャルエネルギーにより発生する力の一般化力表現

ポテンシャルエネルギーとそれによる力の一般化力

による表現との関係を述べる.ポテンシャルエネルギ

ーは,力学の場合には位置エネルギーとも呼ばれ,場

所の関数として表され,ポテンシャルエネルギーの変

化率が発生する力となる.例えば,地球上の高さ�で

の位置エネルギーは) ���であり,発生する力は

�一般化力は,実際の力のほかに,加速座標を取った場合に現れる力である,遠心力やコリオリ力などの含んでいる.詳細は参考文献 �������を参照のこと.

��

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重力であり, 1� ���で与えられる.力にマイナス

がついているのは,位置エネルギーが減少する向きに

力が働くからである.位置エネルギーと重力の関係を

式にして書くと,次式のようになる.

1� �6)���

6�����

自由度!の質点系の場合には,ポテンシャルエネルギ

ーによる力は,次式のように表せる.

1�� �6)���� � � � � �� �6��

. �� � � � � ! ����

ポテンシャルエネルギーによる力がなす仮想仕事は次

式のように変形できる.

Æ&

�����

1���� ����

���

���

6)���� � � � � �� �6��

�� ����

�Æ)���� � � � � �� � ����

したがって,ポテンシャルエネルギーの仮想変化分が

ポテンシャルエネルギーによる力がなす仮想仕事に相

当することがわかる.また,ポテンシャルエネルギー

を一般化座標で表した関数形を,) )�:�� � � � � :� �とおくと,ポテンシャルエネルギーの仮想変化分は次

のように表すことができる.

Æ)

�����

6)�:�� � � � � :� �6:�

Æ:� ����

これを ����に代入すると,

Æ&

�����

�6)�:�� � � � � :� �6:�

Æ:� ����

となるので,����より,ポテンシャルエネルギーによ

り生ずる一般化力 1<�とポテンシャルエネルギーとの

関係が次のように与えられることがわかる.

1<� �6)�:�� � � � � :� �6:�

. �� � � � � ! ����

全体の力��をポテンシャルエネルギーにより発生

する力 1��とそれ以外の力 2��に分けて,次のように書

くことにする.

�� 1�� 2�� ����

このとき ����より,一般化力<�は次式のように書く

ことができる.

<�

�����

� 1�� 2���6��6:�

�����

1��6��6:�

�����

2��6��6:�

�����

�6)���� � � � � �� �6��

6��6:�

�����

2��6��6:�

�6)�:�� � � � � :� �6:�

�����

2��6��6:�

����

1<� 2<� . $ �� � � � � ! ����

ただし,2<�はポテンシャルエネルギーにより発生する

力以外の一般化力であり,次式とする.

2<�

�����

2��6��6:�

����

��� 損失エネルギーと粘性摩擦力

前節では,力をポテンシャルエネルギーにより発生す

る力 1�� . �� � � � � !とそれ以外の力 2��. �� � � � � !に分けて表現したが,ここでは,それに加えて粘性摩

擦力 3��. �� � � � � !を考慮に入れて力を表すことにする.つまり,全体の力を

�� 1�� 3�� 2�� ����

と表す.ここで, 2��は,ポテンシャルエネルギーによ

り生ずる力や粘性摩擦力などを除いた外力 �モータの

発生力など�などからなっているものである.粘性摩

擦力 3�� . �� � � � � !は速度に比例し,次式のように与えられる.

3�� ��� ,��. �� � � � � ! ����

ただし,��は粘性摩擦係数である.粘性摩擦力による

仕事は摩擦熱となって失われる.そこで,損失エネル

ギー関数*を,

* *� ,��� � � � � ,�� � ��

�����

�� ,��� ����

と定義すると,粘性摩擦力は損失エネルギーを用いて,

次のように表される.

3�� �6*� ,��� � � � � ,�� �6 ,��

����

ポテンシャルエネルギーの場合と同様に仮想変化分を

考えることにより,粘性摩擦の一般化力は次式で与え

られることが容易に示せる.

3<� �6*� ,:�� � � � � ,:� �6 ,:�

����

��

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したがって,全体の一般化力は次式のようになる.

< �6)�:�� � � � � :� �6:

� 6*� ,:�� � � � � ,:� �6 ,:

�����

2��6��6:. 2 �� � � � � ! ����

��� 運動エネルギーと一般化運動量の関係

力学的エネルギーには,前述したポテンシャルエネ

ルギーの他に,運動エネルギーがある.

まず,�次元空間内の�つの質点の運動エネルギー

は,次式で与えられる.

( �

��� ,�� ,�� ,��� ����

ただし, ,�� ,�� ,�は,質点のそれぞれ�方向,�方向,�方

向の速度である.運動量との関係は次のようになる.

�� 6(

6 ,�����

�� 6(

6 ,�����

�� 6(

6 ,�����

一般化座標として,極座標系をとり,運動エネルギー

を一般化座標で表現することにする.

:� �� :� � :� ; ����

直交座標と極座標の変換式は次式で与えられる.

� � ��� ��;

� � ��� ���;

� � ��

これより,直交座標での速度を一般化座標を用いて書

くと,つぎのようになる.

,� ,� ��� ��; � �� ��; , � � ��� ���; ,;

,� ,� ��� ���; � �� ���; , � ��� ��; ,;

,� ,� �� � � ��� ,

これを用いて,運動エネルギーを極座標 �一般化座標

の一例�で表すと,次のようになる.

( �

��� ,�� �� ,� �� ,;� ���� � ����

このことは,運動エネルギーを一般化座標で表すと,

速度 �運動量�だけでなく,位置も必要なことを意味し

ている.

次に,自由度!の質点系の運動エネルギーの直交座

標による表現は,

( �

����

� ,�� ����

となることから,運動量 ��と運動エネルギー(の関係

は次のようになる.

�� �� ,�� 6(

6 ,��. �� � � � � ! ����

一般化座標では,運動エネルギーはつぎのような関

数形となっている.

( ( � ,:�� � � � � ,:� � :�� � � � � :� � ����

直交座標系の場合のアナロジーから一般化運動量�を

次式で定義する.

� 6(

6 ,:. 2 �� � � � � ! ����

�� ニュートンの運動方程式からラグランジュの運動方程式を導く

自由度!の質点系のニュートンの運動方程式は次の

ようになる.

�� -�� �� ����

����� ,��� �� . $ �� � � � � ! ����

また,速度と一般化速度の関係は,

,��

����

6��6:

�:��

����

6��6:

,: ����

であることから,これを両辺, ,:で偏微分することに

より,次式が得られる.

6 ,��6 ,:

6��6:

����

この式を用いると,一般化運動量は次のように変形で

きる.

� 6(

6 ,:

�����

6(

6 ,��

6 ,��6 ,:

�����

6(

6 ,��

6��6:

�����

�� ,��6��6:

����

����の両辺を時間で微分すると,次のようになる.

,�

�����

�� -��6��6:

�����

�� ,���

���6��6:� ����

��

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上式の右辺第�項は次のように変形できる.

�����

�� -��6��6:

�����

��6��6:

1< 3< 2<

�6)�:�� � � � � :� �6:

�6*� ,:�� � � � � ,:� �6 ,:

2< ����

また,����の両辺を :で偏微分すると,

6 ,��6:

�����

6���6:�6:

�:���

�����

6

6:��6��6:��:���

���6��6:� ����

が成り立つことから �:と ,:は独立の変数なので,偏微

分は��のみに効いてくることに注意せよ�,右辺第�

項は次のように変形できる.

�����

�� ,���

���6��6:�

�����

�� ,��6 ,��6:

�����

6(

6 ,��

6 ,��6:

6(

6:����

����に ���������を代入すると次式のようになる.

,� �6)�:�� � � � � :� �6:

� 6*� ,:�� � � � � ,:� �6 ,:

2< 6(

6:. 2 �� � � � � ! ����

� ��� �であるので,上式を変形していくと,次のよ

うになる.

���6(

6 ,:�� 6(

6:

6)

6:

6*

6 ,: 2<

���6�( � )�

6 ,:�� 6�( � )�

6:

6*

6 ,: 2<

. 2 �� � � � � !

上式において,)は ,:の関数ではないので,��� � �を

用いていることに注意する.ここで,新変数. (�)

とおき,ラグランジュ関数と呼ぶ.上式は,ラグラン

ジュ関数を用いて書くと,次式のようになる.

���6.

6 ,:�� 6.

6:

6*

6 ,: 2<. 2 �� � � � � ! ����

この式をラグランジュの運動方程式という.

簡単な例として,重力で自由落下する質点の運動方

程式をラグランジュの運動方程式から逆にニュートン

の運動方程式を求めてみよう.ただし,摩擦は無視す

るとする.ラグランジュ関数は次式のようになる.

. ( � ) �

�� ,:� ���:

このとき,次式のようになる.

6.

6:

6

6:

��

�� ,:� ���:

� ��

��

6.

6 ,:

��

6

6 ,:

��

�� ,:� ���:

���� ,:� �-:

これをラグランジュの運動方程式に代入すると,次式

のようになる.

��

6.

6 ,:� 6.

6: �-: ��� �

�� ニュートンの運動方程式からラグランジュの運動方程式の導出するスマートな方法

簡単のため,損失エネルギーがない場合の質量�の

�つの質点の運動を考える.ニュートンの運動方程式

をベクトル表記したものが次式である.

����

��� �

ただし,各ベクトルは次式のようにおかれている.

���

��� � �

���

!�

!�

!�

���

ここで,簡単のため,�はポテンシャル関数� ���に起

因するものだけを考えると,力は

� ��� ��� �

���

�!���!���!��

���

とかけるので,運動方程式は次式のようになる.

����

��� ��� ��� ����

質点の運動エネルギー(と全エネルギー=は次式で与

えられる.

( �

���

��

����

��

= ( �

上式において � は転置を意味しており,次式が成り

立つ.���

��

����

��

���

��

��

���

��

��

���

��

��

��

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全エネルギーの時間微分は次式のようになる.

�=

��

�6(

6 ,�

��� ,�

��

�6�

6�

����

��

����

���

��

���

��

���

��

��

�� ���

���

��

�� �����

����� ���

� �

ただし上式は,スカラー関数のベクトルによる微分が

6�

6�

���

�!���!���!��

���

と定義されていることから,次式が成り立つことを用

いて導出されている.

��

��

6�

6�

��

��

6�

6�

��

��

6�

6�

��

��

"

�!��

�!��

�!��

#���������������

���

6�

6�

� ��

��

上式から,全エネルギーは時間によらず,保存される

ことがわかる.また,ラグランジュ関数. ( ��か

ら次式が成り立つ.

6.

6� ��� ���

6.

6 ,� � ,�

したがって,ニュートンの運動方程式をラグランジュ

関数を用いて書くと,次式のようになる.

��

�6.

6 ,�

�� 6.

6� �-��� ��� �

また,この問題設定の場合には,

6=

6 ,�

6(

6 ,��

6=

6�

6�

6�6.

6 ,�

6(

6 ,��

6.

6� �6�

6� �6=

6�

であるので,次式も成り立つ.

��

�6=

6 ,�

6=

6� �

��� ラグランジュの運動方程式の利点

ラグランジュの運動方程式の利点は,一般化座標の

取り方によらず,運動方程式が同じ形をしていること

である.これを示そう.

一般化座標を

������

:�

:�000

:�

������

とすると,ラグランジュ関数は,次式のように,この

一般化座標とその微分値

,�

������,:�

,:�000

,:�

������

の関数として与えられる.

. .��� ,��

このとき,摩擦などの束縛項のないラグランジュの運

動方程式は次式のようになる.

��

�6.

6 ,�

�� 6.

6� �

これに対して,別の一般化座標を次式のようにおく.

������

<�

<�

000

<�

������

ただし,�つの一般化座標にはつぎのような座標変換

が成り立つとする.��

:� :��<�� � � � � <� �000

:� :� �<�� � � � � <� �

このとき次式が成り立つ.����,:�000

,:�

����

����

� ���000

� ���

����

����

� ��"�

� � � � ��"�

000000

� ��"�

� � � � ��"�

��������

�"�

��000

�"�

��

����

����

� ��"�

� � � � ��"�

000000

� ��"�

� � � � ��"�

��������,<�

000

,<�

���� ����

��

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上式を ,<�で偏微分すると,次式が得られる.

6 ,:

6 ,<�

6:6<�

����

上式を �で微分すると,右辺は<�� � � � � <�のみの関数

であることから,つぎのような展開が可能である.

��

�6 ,:

6 ,<�

�����

6�:6<�6<�

�<�

��

�����

6�:6<�6<�

,<� ����

また,����において,6:�6<�は<�� � � � � <�のみの関

数であり, ,<�� � � � � ,<�は<�� � � � � <�と独立としている

ことから,次式が成り立つ.

6 ,:6<�

�����

6�:6<�6<�

,<� ����

����の両辺を �で微分し,����と ����を用いると,次

式が成り立つことがわかる.

��

�6:6<�

��

�6 ,:

6 ,<�

�����

�����

6

6<�

6:6<�

,<� ����

6 ,:6<�

����

ラグランジュ関数.は :�� � � � � :� � ,:�� � � � � ,:�の関数であるが,�

:� :��<�� � � � � <� �000

:� :� �<�� � � � � <� �

,:� ,:��<�� � � � � <� � ,<�� � � � � ,<� �000

,:� ,:� �<�� � � � � <� � ,<�� � � � � ,<� �

であるので,これは間接的に<�� � � � � <� � ,<�� � � � � ,<�

の関数でもある..を<�で偏微分すると,次式のよ

うになる.

6.

6<�

����

�6.

6:

6:6<�

6.

6 ,:

6 ,:6<�

�����

また,.を ,<�で偏微分すると,����と6:�6 ,<� �で

あることから次式のようになる.

6.

6 ,<�

����

�6.

6:

6:

6 ,<�

6.

6 ,:

6 ,:

6 ,<�

����

6.

6 ,:

6 ,:

6 ,<�

����

6.

6 ,:

6:6<�

これを時間微分して,����を代入すると,次式のよう

になる.

��

�6.

6 ,<�

����

��

��

�6.

6 ,:

�6:6<�

6.

6 ,:

��

�6:6<�

��

����

��

��

�6.

6 ,:

�6:6<�

6.

6 ,:

6 ,:6<�

この式と ����から次式が成立することがわかる.

��

�6.

6 ,<�

�� 6.

6<�

����

��

��

�6.

6 ,:

�� 6.

6:

�6:6<�

����

ここで,変数変換では逆変換が成立するので,行列����

� ��"�

� � � � ��"�

000000

� ��"�

� � � � ��"�

����

が正則であるので,結局,次式の�つの式は等価にな

ることがわかる.

��

�6.

6 ,<�

�� 6.

6<� �� �� � � � � !

��

�6.

6 ,:�

�� 6.

6:� �� �� � � � � !

� ラグランジュの運動方程式を用いた例題

��� 適用例��バネ質点系の振動方程式

質量�����の質点にバネ定数 �� �� �の�本のバ

ネを図のように水平につないだ場合の運動方程式を求

めよう.�つの質点の変位を��� ��とおくと,運動エ

バネ バネ バネ�� ��

図 ��� �自由度振動系

ネルギー(とポテンシャルエネルギー)は次式のよう

になる.

( �

��� ,�

��

��� ,�

��

) �

� ��

��

� ���� � ���

� �

� ��

��

��

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これをラグランジュの運動方程式に代入すると,次式

が得られる.

��-�� � � ���� � ��� �

��-�� � ��� � � ���� �

��� 適用例��単振り子の振動方程式

/

図 ��� 単振り子(垂直下方向に重力)

振り子の糸の長さを /とすると,真下から測った円

弧の長さは � /であり,質点の円弧に添った速度は

� / ,となる.これより運動エネルギーは( �� �

� �� /

� ,� となる.ポテンシャルエネルギーは,糸の上端

をゼロとすると,糸が鉛直方向からだけ振れている

ときのポテンシャルエネルギーは) ���/ �� と

なる.

これらを,直交座標と一般化座標の関係から求めて

みよう.振り子の糸の付け根部分を原点とし,右側水

平方向に�軸,上方向に�軸とする直交座標 ��� ��をと

る.これと極座標系として,糸の先端方向を /軸,回

転方向角度をとる �反時計回りを正にとる�と,次の

関係が成り立つ.

� / ��� � � �/ ��

微分係数について,次の関係が成り立つ.

,� / �� ,� ,� / ��� ,

6�

6/ ��� �

6�

6/ � ��

6�

6 / �� �

6�

6 / ���

外力は重力のみであり,��方向の力であり,外力の��� ��成分を 2��� 2��とすると,次式で与えられる.

2�� �� 2�� ���

/� を一般化座標 :�� :�と考えると,一般化力は次のよ

うになる.

<# 2��6�

6/ 2��

6�

6/ �� �� ����

<� 2��6�

6 2��

6�

6 ���/ ��� ����

ここで,糸の長さが一定の場合には,糸の張力と<#が

釣り合い,<�が回転方向のトルクになる.ポテンシャ

ルエネルギー,損失エネルギー,運動エネルギーを直

交座標と極座標で表すと,次のようになる.

) ���� ���/ ��

* �

���� ,�

� �� ,��� ���/

� ,� �

�*�,�

( �

��� ,�� ,���

��/� ,�

�0 ,�

ただし,損失エネルギーの計算において,粘性摩擦係

数に方向性はなく,�� �� ���とし,改めて一般

化座標の粘性摩擦係数を*� ����/�とおき,運動エ

ネルギーの計算において,慣性モーメント 0 �/�と

した.

ラグランジュ関数は. ��0,� ��/ �� となる.

また,ポテンシャルエネルギーにより生ずる力と粘性

摩擦係数以外にはないので,2< �となる.また,/方

向は拘束されているので,ラグランジュの運動方程式

において,方向のみを計算すると,次式が得られる.

0 - *�, ��/ ��� �

��� 適用例�� �次元極座標による運動方程式の導出例

図のような�次元極座標 ��� � ;�を考える.座標変

;

図 ��� �次元極座標

換は次式で与えられる.

� � ��� ��;

� � ��� ���;

� � ��

��

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また,その微分は次式のようになる.

,� ,� ��� ��; � , �� ��;� � ,; ��� ���;

,� ,� ��� ���; � , �� ���;� � ,; ��� ��;

,� ,� �� � � , ���

このとき,ポテンシャル関数を� ��� � ;�とすると,ラ

グランジュ関数は次式のようになる.

. �

�� ,�� �� ,� �� ,;� ���� �� � ��� � ;�

また,ラグランジュの運動方程式は次式のようになる.

��

�6.

6 ,�

�� 6.

6� �

��

�6.

6 ,

�� 6.

6 �

��

�6.

6 ,;

�� 6.

6; �

ラグランジュ関数を代入して計算すると,次式のよう

になる.

�-� ��� ,� ��� ,;� ���� 6�

6� �

������ ,����� ,;� ��� ��

6�

6 �

������ ,; ���� �

6�

6; �

��� 適用例��関節型ロボットの運動方程式

次の図で表される平面内�リンクロボットの運動方

程式を導く ����.同様の問題はテキスト ����の例題�0�

に見られるが,それをもうすこし簡単化したもので

ある.

:�

:�

�:�

*�

*�

8�

8�

図 ��� �リンクロボットアーム

図において,各量は次のように定義されている.

8�� 8� モータの出力トルク

�� � モータ出力軸の角度

����� リンクの質量

�/�� �/� リンクの長さ

/�� /� リンクの重心までの距離

0�� 0� 各リンクの重心まわりの慣性モーメント

*�� *� 関節間の粘性摩擦係数

鉛直軸から時計回りに計った各リンクの角度 :�� :�

を一般化座標とすると,第�リンクの重心の位置と重

心回りの慣性モーメントは次のようになる.

�� /� ��� :�� �� /� �� :�� 0� �

���/

��

第�リンクの重心の位置と重心回りの慣性モーメント

は次のようになる.

�� �/� ��� :� /� ��� :�� �� �/� �� :� /� �� :�

0� �

���/

��

ポテンシャルエネルギー,運動エネルギーはつぎの

ように与えられる.

) ����� �����

��� ����/�� �� :� ��/�� �� :�

( ��

�� ,��� ,�

���

�0� ,:

��

��

�� ,��� ,�

���

�0� ,:

��

�'� ,:

��

�'� ,:

�� � ,:� ,:� ���:� � :��

ただし,'� 0� ��� ����/���'� 0� ��/

���

� ���/�/�とする.運動エネルギーの式の右辺第 �

項,第�項は重心の運動エネルギー,第�項,第�項

は重心周りの回転エネルギーであることに注意する.

粘性摩擦力は各関節の相対角速度に比例するので,

損失エネルギーは次のようになる.

* �

��*� ,:

�� *�� ,:� � ,:����

この例は前の例と違い,モータの発生トルクが外力と

して与えられている.これと一般化力との関係につい

て考えてみよう.モータの発生トルクに対応する一般

化座標は,�つの関節間の時計回りに計った相対的な

角度である�� �である �前例から類推できる�.これ

と現在とっている一般化座標 :�� :�の関係は,つぎの

ようになる.

� :�� � :� � :�

このとき,次式が成り立つ.

6�6:�

� �6�6:�

��6�6:�

� �6�6:�

��

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したがって,前に述べたように,:�� :�に対する一般化

力 2< �� 2< �はと�� �に対する一般化力8�� 8�との関係

は,次式のようになる.

2< � 8�6�6:�

8�6�6:�

8� � 8�

2< � 8�6�6:�

8�6�6:�

8�

以上の式をラグランジュの運動方程式に代入して,行

列形式で表現すると,次のようになる.�'� � ���:� � :��

� ���:� � :�� '�

��-:�

-:�

�� � ����:� � :��

� ����:� � :�� �

� �,:��

,:��

�*� *� �*�

�*� *�

��,:�

,:�

����� ����/�� ��� :�

��/�� ��� :�

�8� � 8�

8�

�����

さらに,上式を関節角�� �に対する運動方程式に変

形すると,次式となる.�'� '� �� �� � '� � �� �

'� � �� � '�

��-�-�

����� ,� ,� ,��� ��� �

� ,����� �

�*� �

� *�

� �,�,�

����� ����/�� ��� � ��/�� ����� ��

��/�� ����� ��

�8�

8�

�����

� 変分法とハミルトンの原理

解析力学の基礎となる変分法について説明し,変

分法からハミルトンの原理を説明し,さらにラグラン

ジュの運動方程式を導出する.ここで,述べる方法が

解析力学の基本的な理論展開の基礎となっている.

��� 極大極小条件

変分法は積分汎関数の極値を求める手法であるが,

ここではその基礎として,一般の関数の極大極小を求

める方法について説明する.

����� �変数関数の極小

�を閉区間> �� � � � � � 4内の実変数とし,!���を� � >で定義された実関数とする.

� >内のすべての�に対して,�� � !���� � !���

が成り立つような>の点��があるとき,��を>内

での!���の大域的極小といい,!��� !����と

なるような�の集合を極小集合という.

� � ��以外の�� � Æ ? � ? �� Æであるす

べての�に対して,�� !���� ? !���が成り

立つような>の内部の点があるとする.ただし,

� � �� � Æ� �� Æ � 4� Æ - �とする.このとき,

��を局所的極小という.

つぎのような結果が成り立つ.

� !���は>において�回微分可能とする.このとき,

! ����� � �である内部点��では極小にならない.

�証明� 平均値定理から,次式が成り立つ.

!��� 7� !���� 7! ����� 7�

��! ����� 7�

ただし,� � � �とする.�回微分可能であることから,次式が成り立つ.

�! ����� 7�� �5

そこで,� ? 7 ? ��� ������� の範囲で7を選ぶと,

! ����� - �ならば,!��� 7� - !����となり,

! ����� ? �ならば,!��� � 7� - !����となるの

で,極小にならない.したがって,�回微分可能

な関数が� ��で局所的極小になるための必要

条件は,! ����� �であることがわかる.

� !���は>において�回微分可能であるとする.点

��で局所的極小であるための十分条件は,

! ����� � かつ ! ������ - �

である.

����� �変数関数の極小

� "��� � � � � ��

#�とし,*は>�の閉領域とする.

!���の定義域*とする実数値関数で,!��� � >とす

る.ベクトル�の大きさ �ノルム�は次式で与えられる.

��� ����

����

��

極小の定義は次式のように拡張される.

��

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� すべての� � *に対して,1� !�1�� � !���であ

れば,点1�は!の大域的極小である.

� ��� 1�� ? Æに対して,1� !�1�� � !���であれば,

1�は*の内部の点についての局所的極小である.

!�1��の局所的極小に対する十分条件はつぎの�条件

が成り立つことである.

�0 !�1��は各変数について�回微分可能である.

�0 ������1�� � � � ��

����1�� �

�0 次式の�次形式��

��

�����

6�!

6�6���1��@@�

が正定値であることである.

����� 制約条件付の極値問題

制約条件

���� �� 2 �� � � � �� ? �

のもとで,!���の極小を求める方法として,ラグラン

ジュ乗数法がある.これは,つぎのようになる.

��変数��� � � � � ��.��� � � � � ��の関数として次式を考える.

7����� !���

����

�����

7�����の局所的極小を1�� 1�とすると,次式が成り立た

なければならない.

67

6���1�� 1�� � � � 67

6���1�� 1�� �

上式は次式と等価であり,これは制約条件を意味する.

��1�� �� 2 �� � � � ��

�1�� 1��の近傍 ����� において,7�1�� 1�� ? 7����� が

成り立つ.さらに,次式が成り立つ.

!�1�� 7�1�� 1�� 7�1���� ? 7�����

したがって,7�����の極小1�� 1�を求めることにより,

制約条件付の!���の極小1�を求めることができる.

��� 変分法

��世紀後半に入って,新たな視点から数学の中で重

要な位置を占めるようになる変分法の歴史は古く,微

積分学が確立された頃には産声をあげ,��世紀にはオ

イラー,ラグランジュらにより,解析力学その他多く

の諸問題に適用された.ここでは,古典的な変分問題

の紹介を通して,変分とはなにかを明らかにする ���.

����� �未知関数の変分問題

変分問題とは,汎関数に極値(停留値)を与えるよ

うな関数の形と汎関数の値を求めるものである.ここ

で,汎関数とは,ある関数����の関数のことであるが,

特に変分問題での汎関数は次式のような積分汎関数で

ある.

0���

� ��

��

��� �����

�����

��

���

この汎関数 0���が極値をとるような軌道����. �� � � ��� を求めるのが変分問題である.ただし,軌道の初期

値と最終値はつぎのように固定されているものとして

いる.

����� ��� ����� ��

このような問題を軌道をわずかに変化させた変形変動

モデルから極値条件を導出することにより解く方法が

変分法である.具体的には,次のような問題が出発点

となっている ���.

� ���������(ベルヌイ)の最速降下問題4斜面上の�点A�Bを結ぶ曲線に沿って質点が初

速�で降下するとき,どんな曲線に添う場合に降

下時間が最短となるか.4

この問題を定式化してみよう.�次元平面の直交座

標系 ��� ��に対して,�点の座標をA ���� ���,

B ���� ���とし,曲線の式を� ����とする.

時間変数をパラメータとした曲線の表現を次式の

ようにおく.

� ����

� ����

前述したように,�の微小変化��に対する�の微

小変化��は,微分係数 ����を用いて,�� ��

����

と書ける.さらに,�の微小変化��に対する曲線

の微小長さを��とすると,次式のような関係が

成り立つ.

����� ����� �����

����� ���

������

�� �

��

����������

��

$� �

��

������

曲線状の速度�とすると,微小時間��の間の曲線

の微小長さ��は次式のようにかける.

�� ���� あるいは,�� �

���

��

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上の�つの式から,微小時間��は次式のように表

せる.

��

%� � �����

���

したがって,� ��から� ��までに移動する所

要時間(は次式のように積分で表すことができる.

(

� ��

��

%� � �����

���

変分問題は,(を最小にする軌道 ����を求めるの

が,最速降下問題である.ただし,速度について

は,運動方程式から計算したものを用いる.

� 最短距離問題4与えられた曲面上の�点A�Bを結ぶ曲線で最短

のものを求めよ.4

これは,つぎのような積分汎関数を最小にする問

題である.

/

� ��

��

$� �

��

������

つぎに,変分問題の解を表すオイラー・ラグランジュ

の方程式を導出する.次の問題を考える.

変分問題

与えられた初期値���� ��と最終値����

��である軌道����. � � � � � で次式の積分

汎関数 0が最小となる軌道����の満足する条

件を求めよ.

0

���

��

��� �

���

基本的な極値条件による解法

積分汎関数 0が最小を与える軌道����からずれた軌道

�$���を次式のように置き,この軌道に対する積分汎

関数を求め,極値条件を導出する.

�$��� ���� C���

ただし,C���は,軌道������ � � � � �が初期値と終端条件を満足するように次式を満たす他は任意の関数

とする.

C��� C��� �

これは図��のように表現される.さらに,�$���によ

る積分汎関数を次式のようにおく.

0��

��$����

��$���

��� �

���

����

�$���

��

��

図 ��� 解軌道とその変分

仮定より,0��は, �で極値をとることから,次

式が成立する.

�0��

����$��

上式の微分は前述した方向微分であることは,�$の

定義からわかる. �%�$��$

���$��を 0の変分といい,Æ0とか

く.ここで,��� ��$� C�を �に関する�階の時間微分であ

るとすると,次式が成り立つ.

��$��� ��$���

��

�����

��

�C���

�� ����� C����

��$�

C

���$�

C�

であることに注意すると,�%�$��$ は次式のように変形

できる.

�0��

� ��$���� ��$���� �� ��

��

��$����

��$���

��� �

���

�6�

6�$

��$�

6�

6��$

���$�

6�

6�

��

����

�6�

6�$

��$�

6�

6��$

���$����

�6�

6�$C

6�

6��$C����

ただし上式では,�とは無関係であることから,���$

� であることを用いている.さらに, �とし,部

分積分を用いると,次式が導出できる.

�0��

����$��

�6�

6�C

6�

6��C����

6�

6�C��

6�

6��C���

��

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6�

6�C��

�C6�

6��

� �

��

��

�6�

6��

�C��

�6�

6�� �

��

�6�

6��

��C��

C���は任意であることから,極値を与える解軌道は,

次式を満たさなければならない.

6�

6�� �

��

�6�

6��

� �

この式をオイラー・ラグランジュ�56"�%�7�*%��*��方

程式という.

変分による解法

この計算を変分作用素Æを導入することにより,簡易

計算する.��は時間に依存した �の微小変化であるが,

Æ�は軌道�からの時間を考えないずれ(摂動)を表し

ている.Æ�を�つのパラメータに関する方向微分とし

て,次式のように定義する.

� "�!$��

��$���� �

��� C�� �

C

したがって,摂動軌道は�$ � Æ�と書いてよい

ことがわかる.これを図に書くと図��となる.Æ�は図

の縦方向の摂動であるわけである.ただ,摂動した点

をつないだ軌道 �$���は時間に依存したもの(図で点

線)になる.速度の変分も方向微分であり,次式のよ

� � � ��

� � ��

��

�

�� ���

�$

図 ��� 変分と微分

うに計算できる.

�� "�!$��

���$���� ��

���� C��� ��

C�

これを書きなおすと,

��

����

����� ����

となることから,微分演算と変分演算が交換可能であ

ることを示している.

関数� ��� ��� ��の変分Æ�も方向微分から計算でき,

次式のように表せる.

� 6�

6��

6�

6����

6�

6��

6�

6���

�����

積分汎関数の変分はつぎのように計算できる.

Æ0 Æ

��

� ��� ��� ����

� ��� ��� ����

6�

6��

6�

6���

�������

6�

6�� � �

��

�6�

6��

����

�6�

6�� �

��

�6�

6��

�����

例題 最短距離問題の解法�

問題��次元空間 ��� ��において,平面内の�つの定点

A ��� �� B �4� ��を結ぶ曲線の長さが最小のも

のを求めよ.

解法�この問題は時間変数はないものであるが,この

ようなものでも解くことが可能である.曲線の長さを

計算する積分汎関数は次式のようになる.

0

� &

'

��

� �

�� �������

ただし,この例題のみ,�� ����としている.ここで,

��� ��

��

��

&�

���

��

��

とおいて,オイラー・ラグランジュ方程式を求めると,

次式のようになる.

6�

6�� �

��

�6�

6��

� �

ここで,�(�� �であることから,上式は次式のよう

になる.

��

'���� ���

( �

��

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これを順番に解いていくと,次式のようになる.

���� ���

��

��� ����� ����

��� ���

�� ���

�� �

� �� �

ただし,�� ��� �は積分定数であり,初期値条件と終端

条件を代入した式

�� �

� �4 �

から決定できる.結局,最短距離は直線であるという

ことになる.

例題 最短距離問題の解法�

問題�曲面上を通る曲線で固定された�点を通り,最

短距離をなす経路を測地線という.ここでは,単

位球の表面を経度�と緯度で表し,始点と終点を

���� ������� ��とする.前述と同様に,曲線を表す

式を ���と考えることができる.微分�� ��によ

る長さの微分��は次式で与えられる.

��� ��� ��� ���

積分汎関数は次式のようになる.

0

� )�

)�

��� �

��

���

��

��� �

&� ��� �

��

��

��

オイラーラグランジュ方程式は次式のようになる.た

だし,� ���)としている.

6�

6� �

��

�6�

6�

� �

��

� ��� ���

� ��� �����

� �

��� ���� ��� �����

����� �

� ��� ����� �� �� �����

��

&�

��� ���� ��� �� ���

��

�� � ���� � �� � �

��

�������������� � ��� ���� �

�����

�������� � �

� �����

����� 高階微分を含む変分問題

次式のように被積分関数に�の�について�階以上

の導関数を含む場合の積分汎関数の変分問題を考える.

0

� ��

��

� ��� ��� � � � � ����� ����

次式のような摂動を考える.

� ��� ���� C���

C���� C����� � � � C��������� �

C���� C����� � � � C��������� �

0��を摂動に関する積分汎関数を次式のようにおく.

0��

� ��

��

� ��� � �� � � � � � ���� ����

0��をで微分すると,次式のようになる.

�0��

� ��

��

�6�

6�

6�

6

6�

6� �

6�

6 � � �

6�

6� ���

6� ���

6

6�

6�

6�

6

���

ここで,

6�

6 C���

6� �

6 C����

000

6� ���

6 C������

6�

6 �

であることから,0の変分は次式のようになる.

�0���

� ��

��

���C ���C� � � � �����C

��� �� �

ここで,部分積分を用いると次式が導出できる.

�0���

� ��

��

��� � �

�����

��

������� � � � �

����� ��

��������

�C�� �

これより,次式のようなオイラー・ラグランジュ方程

式が得られる.

�� � �

�����

��

������� � � � � ����� ��

�������� �

例題 高階導関数を含む変分問題

端点� �� � �で固定されて,わずかに曲った梁

� ����に対して,弾性エネルギー密度は曲率の�乗

��

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に比例し,= �

�������

���である.この極値条

件を求めてみよう.ただし,境界条件は次式であると

する.

���� �� ����� �� ���� �� ����� �

このとき,� �

������

�であることから,オイラー・ラ

グランジュ方程式は次式となる.

�� � �

�����

��

������� �

したがって,これは次式となる.

��

�� �

����� �未知関数の変分問題 ��次元の変分問題�

�次元空間 ��� �� ��内の曲線 /が�をパラメータとし

て,始点を� ��,終点を� ��とし,形状が次式

の積分汎関数を最小化する � ����� � ����として

与えられる場合を考える.

0

� ��

��

� ��� ��� �� ��� ����

ただし,�� ���� � �

� ����とする.�未知関数の場合と

同様に導出を行う.����� ����の摂動をつぎのように

考える.

� ��� ���� �C����

���� ���� �C����

ただし,始点と終点を固定しているので,次式が成り

立つ

C����� C����� �

C����� C����� �

� ���� ����を積分汎関数に代入し, �%�$�� �%

�$�を計算

し,� � �とおいて,部分積分を用いると,次

式が導出できる.

6�

6�� �

��

�6�

6��

� �

6�

6�� �

��

�6�

6��

� �

����� �未知関数の変分問題

前節を一般化して次式のような積分汎関数を考える.

0

� ��

��

� ���� � � � � ��. ���� � � � � ���.����

������ � � � � �����の摂動をつぎのように考える.

����� ����� �C����

000

����� ����� �C����

このとき,0の極値条件は次式のようになる.

�0���

�� � � � �0���

�� �

0の変分から次式が導出される.

�0���

��

� ��

��

�C�

6�

6�� C��

6�

6���

��� �

�� � � � � �

これを部分積分することにより,次式のようなオイラ

ー・ラグランジュ方程式が得られる.

6�

6��� �

��

6�

6��� �

�� � � � � �

����� 条件付変分問題

積分汎関数

0

� ��

��

� ��� ��� �� ��� ����

に極値を与え,制約条件

"��� �� �� �

と境界条件

����� ��� ����� ��

����� ��� ����� ��

を満たす関数����� ����を求める.ただし,境界条件

は制約条件を満たすものとする.

"��� �� �� �� 2 �� �

これは,制約条件を表す曲面上で積分汎関数の極値を

与える軌道 �停留曲線という�を求めることを意味して

いる.制約条件は次式のように表せると仮定する.

� ;��� ��

このとき,次式が成り立つ.

�� ;� ;���

6�

6� �� ��;� ����;�� ;���

��

6�

6�� ��� ���;�

��

6�

6��

����� ;�

����� ����;�� ;���

��

��

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積分汎関数は次式のように書ける.

0

� ��

��

� ��� ��� ;� ;� ;���� ����

この積分汎関数に対するオイラー・ラグランジュ方程

式は次式のようになる.

6�

6�� �

��

6�

6�� �

�� ;���� � �

������� �

����� �

ここで,制約条件から次式が成り立つ.

"� "�;� �

オイラー・ラグランジュ方程式において,;�を消去す

ると次式のようになる.��

����� � ��

��"�

��

����� � ��

��"� ����とおく

これから次式が導かれる.

����� � ��� ����"�� �

����� � ��� ����"�� �

ここで,

3 � ����"

とおくと,上式は次式となる.

3� � �

��3�� �

3� � �

��3�� �

これは,制約条件なしで次式の積分汎関数を最小化す

るオイラー・ラグランジュ方程式に相当している.

'

� ��

��

3��� ��� �� ��� ����

例題 ���� �の条件のもとで,� �

�,�� ,�� ���

を極小にせよ.

ラグランジュ乗数����を含む次式の�による積分汎関

数の極値問題を解けば良い.

� �,�� ,�� � ������� �� � ��

極値条件を表すオイラー・ラグランジュ方程式は次式

のようになる.

��

�,��

,�� ,�� �

�� ������ �

��

�,��

,�� ,�� �

�� ������ �

ここで,制約条件から,次のような変数変換を用いる.

� �� � � ���

このとき,次式が成り立つ.

,�� ,�� ,�

オイラー・ラグランジュ方程式は次式のようになる.

��

��, ��� �,� �

�� � �� ���� �

��

��, �� �,� �

�� � ��� ���� �

この�つをまとめると,次式のようになる.

��� �

��

�, ��� �,� �

� ��

��

��, �� �,� �

� �

これは,つぎのように変形できる.

��

�, ��� �,� �

��� , �� �,� �

��

� �

��

�,�,� �

� �

したがって, , �������となることから,極値を与

える軌道は次式のようになる.

� ���A�B�� � ����A�B�

ただし,A�Bは定数である.

����� �変数の変分問題 �重積分の極値問題�

�変数�� �の関数D��� ��を含む次式の重積分の極値

問題を考える.

0

� �*

� �D� D�� D�� �� ������

*は��平面内の領域で,その境界曲線E上のすべての

点でD��� ��は定義されているとする.D��� ��の摂動

を考える.

)��� �� D��� �� C��� ��

ただし,C��� ��はE上でゼロ,

D��� �� �� ��� �� � E

を満たす任意関数とする.0��を次式のようにおく.

0��

� �*

� �)�)�� )�� �� ������

��

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0 ���を計算すると,

0 ���

� �*

���

6)

6 ���

6)�

6 ���

6)�

6

�����

� �*

���C ���C� ���C������

極値条件は次式のようになる.

0 ����

� �*

��+C �+�C� �+�C������

重積分の場合には,部分積分計算の代りに,上式の右

辺第�項と第�項において,つぎのグリーンの定理を

用いる.� �*

�6<

6�

6+

6�

�����

�,

�<�� � +���

ただし,Eは*の境界を意味する.上式において,+

C��< C!とすると,次式のようになる.� �*

�!6C

6� �

6C

6�

�����

�� �

*

C

�6!

6�

6�

6�

�����

�,

C�!�� � ����

このとき,0 ����は次式のように変形できる.

0 ����

� �*

C

��+ � 6

6��+� �

6

6��+�

�����

�,

C��+��� � �+����

� �*

C

��+ � 6

6��+� �

6

6��+�

����� �

Cは任意にとれるので,結局次式が成り立つ.

�+ � 6

6��+� �

6

6��+� �

����� 横断線条件

ここまでの変分問題は,始点と終点が指定されたも

のであるが,一方の端点がある代数的条件 �ある領域

に到達するような条件�として与えられる場合がある.

これを横断線条件という.

次のような問題である.始点が����� ��であり,

終点が超曲面+上の�点であるような軌道で,積分汎

関数

0

� -

��

� ���� � � � � ��. ,��� � � � � ,��. ����

が極値となるようなものを求めよ.ここでは,簡単の

ため,次の例のみについて説明する.

例題 ユークリッド平面内で,点� � ��� �� ��� ��か

ら曲線� ����までの最短距離を求める問題

� !���

+

+ �� ��� ��

図 ��� 横断線条件

最短曲線は直線であり,これを�+とする.曲線の長

さは次式で与えられる.� ��

!������

� ��

�� �������

上式で,終点��は未知で,上式の積分汎関数を最小化

することになる.1����を,始点を� �とし点� 1�

で曲線� ����に到達する最短曲線とする.また,

� 1� 9C���を,始点を� �とし� 1� 9Dで曲

線� ����に到達する曲線 ��+ ��とする.積分汎関

数が終点1����で極値をとるための条件は次式となる.��

�9

�� ����+

!�1�� 9C����

�����

これから次式が出てくる.

D!�1������ � ��

6!

61��C��� �

部分積分すると,次式のようになる.

D!�1������ C�1��

�6!

61��

����

�� ��

��

�6!

61��

�C�� �

この場合のオイラー・ラグランジュ方程式は次式のよ

うになる.

��

�6!

61��

� �

この式を部分積分から出た式に代入し,C��� �を代

入すると,次式のようになる.

D!�1������ C�1��6!

61��

������

上式が終端条件になる.ここで,+� + �ともに� !���

上にあるので,次式が成り立つ.

1��1�� ��1��� 1��1� 9D� 9C�1� 9D� ��1� 9D�

この�つの式の差をとり,9でわり,9 �とすると,

次式が成り立つ.

D1���1�� C�1�� D���1��

D��� � 1��� C

��

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したがって,終端条件は次式のように変形できる.

6!

61����� � 1��� !�1���

������

1����� � 1������ �1������.� ��� �1�����.������ �

1������� � ��������� �1��� �

これは,最短直線�+が曲線� ����と垂直であるこ

とを示している.

��� 仮想仕事の原理からのハミルトンの原理の導出

仮想変位や仮想仕事はすべて変分を意味する.�個

の質点系の仮想仕事からハミルトンの原理を導いてみ

よう.質点 2の座標を ��� �� ��,質量を�とする.質

点 2に働く外力を

���

���

とし,時刻 �での質点 2の仮想変位を,つぎのように

おく. ���

�

�

�

���

運動方程式から次式が成立する.

����

��� ��-���

�� ��-��� �� ��-��� �

仮想仕事Æ& �&の変分�は次式となる.

Æ& ��

��

��� �� ��

運動エネルギー(は次式となる.

( ��

��

����� ��� ����

ただし,つぎのようにおいている.

�� ����

� �� ����

� �� ����

運動エネルギーの変分Æ(は,Æ� �����

����Æ�� を用い

ると,次式のように変形できる.

Æ( Æ���

��

����� ��� ����

����

������ ���� �����

����

�����

��� ��

��� ��

����

そこで,運動エネルギーの時間積分の変分を計算する

と,上式と部分積分を用いて,さらに変分は初期値と

終端値でゼロであることに注意すると,次式のように

計算できる.

Æ

� ��

��

(��

� ��

��

Æ(��

����

����� ��� ����������

�� ��

��

����

�������

� �����

� �����

����

運動方程式から導出した式を代入すると,次式となる.

Æ

� ��

��

(�� �� ��

��

Æ&��

Æ

� ��

��

(�� �� ��

��

&��

Æ

� ��

��

�( & ��� �

質点に働く力がポテンシャルだけで作られるときには,

ポテンシャルエネルギー)の減少分が仕事となるので,

次の関係が成り立つ.

Æ& �Æ)

したがって,次式が成り立つ.

Æ

� ��

��

�( � )��� �

ここで,ラグランジュ関数. ( �)を導入し,この

ことをまとめると,つぎのハミルトンの原理となる.

ハミルトンの原理

質点系の時刻 ��から ��までの運動は,次式の積分汎

関数

0

� ��

��

.�:� ,:��� ����

の極値をとる軌跡となる.この 0を作用積分という.極

値条件を変分で記述すると,

Æ

� ��

��

.�:� ,:��� �

となるので,上式が運動軌跡の満たすべき式となる.

したがって,軌跡はオイラー・ラグランジュ方程式を

満足しなければならないことから次式のようなラグラ

��

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ンジュの運動方程式 �外力と損失エネルギーのない形

� が導出できる.

��

�6.

6 ,:

�� 6.

6: � ����

��� 最小作用の原理とフェルマーの原理

運動エネルギーを(,ポテンシャルエネルギーを)

とすると,全エネルギー=とラグランジュ関数.は次

式のようになる.

= ( ) ����

. ( � ) ����

.を(を用いて表すと,次式のようになる.

. ( � ) �( �= ����

=は一定値であることから,ハミルトンの原理は,次

式のように変形できる.

Æ

� ��

��

�(�� � あるいは Æ

� ��

��

(�� �

これを最小作用の原理という.

フェルマーの原理は光の最小原理であり,8点から

9点に向かう光は最短時間のルートを選ぶことをいっ

ている ���.真空中の光速は一定であるが,空気その他

の物質がある空間では,異なり,たとえば,空気中で

は,その密度が濃いほど,光速はわずかではあるが,

低下する.このため,大気の下層と上層で密度が違え

ば光は曲り,蜃気楼を生むことになる.レンズもフェ

ルマーの原理を利用したものである.凸レンズの軸上

の�点8からでた光は,ガラス内で光速が �� �ただし,

�:真空中の光速,��屈折率�と低下するので,ガラス

の中の経路を短くするように通ることになる �図 ���.

これを式を使って説明しよう.光のレンズ中の速さを

8

図 ��� レンズ

� ��とすると,レンズ中の微小距離��を光がよぎ

る時間��は

�� �

���

���

となることから,所用時間は� &

'�� ��となる.この積

分値を最小にするための条件は変分�,つまり,次式

のようになる.

Æ

� &

'

��� �

また,全体のエネルギーを=とすると,次式が成り

立つ.

���

��

��

) =

これから,次式が得られる.

��

$��= � )�

���

一方,最小作用原理から,次式が導出される.

Æ

� ��

��

�(�� ÆÆ

� ��

��

��= � )��� �

これから,次式が出てくる.

Æ

� &

'

���= � )��� �

��� 一般化運動量のラグランジュ関数を用いた定義と座標変換

前述したように,一般化運動量�は次式のように定

義されていた.

� 6(

6 ,:

. ( �)であるので,)が ,:に無関係の場合には,こ

れは次式のようになる.

� 6.

6 ,:

そこで,解析力学では,あらためて上式で一般化運動

量を定義しなおす.ここで,)が ,:に依存するような場

合には,力学的イメージの運動量の項に付加項がつい

たものが,一般化運動量になることがわかる.次の変

数変換が通常行われる.

,: � � 6.

6 ,:�� ���:�� � � � � :� � ,:�� � � � � ,:� � ��� � ��� �� �:�� � � � � :� � ,:�� � � � � ,:� � ��

��

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��� ハミルトン関数と正準方程式

前述した�とラグランジュ関数を用いて,ハミルト

ン関数3を次式で定義する.

3

����

� ,: � .�:�� � � � � :�� ,:�� � � � � ,:� � �� �����

ただし,.は ,:�� � � � � ,:�の関数であるが,これらはすべて�に変数変換し,できた関数3

3���� � � � � �� � :�� � � � � :�� ��

をハミルトン関数という.たとえば,太陽の周囲を惑

星が回っており,両者の間に万有引力! /���� が働

いている場合のハミルトン関数はつぎのようになる.

座標系を�次元極座標系 ��� � ,�とすると,ポテンシャ

ルエネルギーは �のみの関数になるので,ラグランジュ

関数と一般化運動量は次式のようになる.

. �

�� ,�� �� ,� �� ,,� ���� � )���

�� 6.

6 ,� � ,�

�� 6.

6 , ��� ,

�0 6.

6 ,, ��� ,, ����

これから(は一般化運動量を用いて次式のように書く

ことができる.

( �

��

����

�����

�� ���� ��0

ハミルトン関数の定義において,

�� ��� ,:� ,�

�� ��� ,:� ,

�� �0� ,:� ,,

とすると,次式のようになる.

3 � ,�� ��� ,� ��� ,,� ����

��

�� ,�� �� ,� �� ,,� ���� � )����

�� ,�� �� ,� �� ���� �� "�5

��

��

����

�����

�� ���� ��0

�� "�5

��

上式の右辺の第�項は運動エネルギー,第�項は位置

エネルギーになっていることから,この場合には,ハ

ミルトン関数は全エネルギーに相当している.これは,

つぎのようにしても導出できる.)には ,:が含まれな

いことから,一般化運動量に関して次式が成り立つ.

� 6.

6 ,:

6�( � )�

6 ,:

6(

6 ,:

したがって,次式が成り立つ.�

� ,: �

6(

6 ,:,: �(

したがって,ハミルトン関数は次式のように求めら

れる.

3 �( � �( � )� ( ) =

ハミルトンの原理をハミルトン関数を用いて表すと,

次式のようになる.

Æ

� ��

��

.�� �

Æ

� ��

��

��

� ,: �3��� �

� ��

��

��

� ,:Æ� �Æ ,:�� Æ3��� �

� ��

��

�,:Æ� �Æ ,: � 63

6:Æ: � 63

6��

��� �

ここで,上式の右辺第�項において,����から

Æ

��:��

���Æ:�

であること,Æ:���� Æ:���� �であることと部分

積分を用いると,第�項は次式のように変形できる.� ��

��

��

���Æ:��� ��Æ:�

������ ��

��

,�Æ:��

�� ��

��

,�Æ:��

したがって,ハミルトンの原理はハミルトン関数を用

いて,次式のように書きなおすことができる.

Æ

� ��

��

.�� �

� ��

��

��,: � 63

6�

�� �

�,�

63

6:

�Æ:

��� �

Æ�� Æ:は任意の微小量であるので,上式が成り立つた

めには,次式が成り立たなければならない.

,: 63

6�� ,� �63

6:� 2 �� � � � � ! �����

これをハミルトンの正準方程式という.また,正準方

程式に現れる :� �. 2 �� � � � � !を正準変数という.�次元のバネの振動 �調和振動子�

バネ定数を とすると,ハミルトン関数と正準方程式

は次式のようになる.

3 ��

���

� ��

��

��

��

��

�� � �

��

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高さ

横変位�

��

図 ��� 重力場での質点の運動

�次元内の重力場における質点の運動

図のような重力場における運動を考える.

:� �� :� �とすると,ラグランジュ関数は次式

のようになる.

. ( � ) �

�� ,�� ,�������

ラグランジュの運動方程式は次式のようになる.

��

�6.

6 ,�

�� 6.

6�

���� ,�� �

��

�6.

6 ,�

�� 6.

6�

���� ,����� �

一般化運動量は次式となる.

�� 6.

6 ,� � ,�� ��

6.

6 ,� � ,�

ハミルトン関数は次式のようになる.

3 �� ,� �� ,� � . �

������ ���� ���

これを正準方程式に代入すると,次式のようになる.

��

��

63

6��

���

��

��

63

6��

���

����� �63

6� �

����� �63

6� ���

これは,ラグランジュの運動方程式に一致する.

�� ラグランジュ関数とハミルトン関数の関係

�次元の場合のラグランジュ関数と一般化運動量を

�.� ,:�平面上に書くと,図��になる.図中の接線の方

程式は,

.� .� 6.

6 ,:� ,: � ,:��

であるので,接線の�切片7は次式のようになる.

7� .� �6.

6 ,:,:�

7 .� � 6.

6 ,:,:�

7 .� � �� ,:�

これから,7はハミルトン関数をマイナスにしたもの

になることがわかる.

.

,:

,:�

傾き�� �1�

.�:� ,:� ��

7

.�

図 ��� ラグランジュ関数と一般化運動量

�� 作用積分におけるラグランジュ関数の自由度

ラグランジュ関数の作用積分の極値により運動方程

式が誘導されたが,与えられた運動方程式を極値と

するラグランジュ関数は�つとは限らない.�つのラ

グランジュ関数が与えられたとき,それに一般化座標

:�� � � � � :�の任意の関数& �:�� � � � � :� �を用いて,新しいラグランジュ関数.�を次式で与えることができる.

.� .�&

��

これは,たとえば,! �の場合には,次式のように

なることから,全く同じラグランジュの運動方程式を

与えることがわかる.

�& �:�

��

�& �:�

�:,:

��

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6

6:

��&

��

�� �

��

�6

6 ,:

��&

��

��

��&

�:�,: � �

��

��& �:�

�:

� �

さらに,自由度が一般に!の場合に,�2�� がラグラン

ジュの運動方程式をゼロにすることを示す.

�& �:�

��

�����

�& �:�

�:�,:�

6

6:

��&

��

�����

6�&

6:6:�,:�

��

�6

6 ,:

��&

��

��

��

��& �:�

�:�

�����

6�&

6::�,:�

��

�6

6 ,:

��&

��

��� 6

6:

��&

��

� �

��� ハミルトン系とエネルギー保存則

正準方程式を満足する系はハミルトン系と呼ばれる.

変数を� � >� : � >としたとき,ハミルトン系は次式

のようになる.

�:

��

63

6�

��

�� �63

6:

ハミルトン関数が時間変数を陽に含まない場合,

3 3�:� ��となり,これは次の性質を持っている.

�3�:� ��

��

63

6:

�:

��

63

6�

��

�� �

これから,ハミルトン関数3 3�:� ��は時不変であ

ることがわかる.これはエネルギー保存則に対応して

いる.このようなハミルトン関数をもつ系を保存系と

いう.

ハミルトン関数が時間変数を陽に含んでいる場合,

3 3�:� �� ��となり,これは次の性質を持っている.

�3�:� ��

��

63

6:

�:

��

63

6�

��

��

63

6�

63

6�

このときには,ハミルトン関数は時間とともに変化し,

このような系を非保存系という.

���� 安定性とハミルトン系

� � >�上の連続微分可能な関数����に対して,次

式のような微分方程式を考える.

��

�� ����

�� � >�が����の平衡点とは,� ��3�が成り立つこと

である.つまり,微分方程式の解が平衡点に達すると,

そこから移動しないことを意味する.

平衡点の安定性はつぎのように定義される.

� ��が安定な平衡点であるとは任意の9 - �に対し

てあるÆ - �が存在してつぎのことが成り立つこ

とである � ������ ��� ? Æを満たす���� � ���の

解�は大域的に存在し ��������� ? 9を � � �でみたす.

� ��が漸近安定な平衡点であるとは��が安定な平衡点であり,さらにあるÆ� - �が存在して ����� ���� ? Æ�をみたす

���� ����の解����は����

���� ��となることである.

� 安定でない平衡点を不安定な平衡点という.直線上の質点 �変位 : � >�がポテンシャル� �:�に

よる力で運動する場合を考える.ハミルトン関数は次

式のようになる.

3�:� �� ��

�� � �:�

正準方程式は次式となる.

�:

��

63

6�

��

�� �63

6: �� ��:�

この正準方程式の平衡点 �:�� ���は次式をみたす.

� ��:�� �� �� �

ここで,ポテンシャル関数を次式のようにテイラー展

開する.

� ��: � :�� � ���:���: � :�� ���: � :����

ここで,上式の右辺第�項は : � :�の�次以上の高次

項を表している.�:�の十分小さな領域では正準方程式は次式で近似できる.

��: � :��

��

���

�� �� ���:���: � :��

これを�階の微分方程式に直すと,次式のようになる.

���

��� �� ���:��

��

したがって,つぎのことがいえる.

� � ���:�� - �のとき �平衡点がポテンシャル関数の

極小値のとき�,平衡点は安定である.

� � ���:�� ? �のとき �平衡点がポテンシャル関数の

極大値のとき�,平衡点は不安定である.

��

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���� ハミルトン ヤコビ理論

������ 位相空間と循環座標

ハミルトンの正準方程式

,: 63

6�� ,� �63

6:� 2 �� � � � � ! �����

は,座標空間だけでなく,運動量空間も考え,�次

元空間の�個の質点について�個の自由度 :�� :�� :��

��� ��� ��を考えていることになり,このような空間を

位相空間という.正準方程式は位相空間内の各点が次

の瞬間にどちらに動くかを定義している.座標空間だ

けの表現では,可能ないろいろな軌道が交差するが,

位相空間内では,解の一意性から軌道が交差すること

はない.

ハミルトン関数3�:�� � � � � :� � ��� � � � � �� . ��が座標 :�

の中の�つ,たとえば,:�を含んでいないとき,:�を

循環座標という.この場合,

63

6:� �

であることと,正準方程式から,

����� �

となり,�� �������となる.

������ 正準変換と母関数

正準方程式は,座標と運動量を独立変数として同

等に扱うので,もともとの意味の座標,運動量にと

らわれずに,物理量を選んで変数とすることができ,

理論の抽象化が可能となる.そこで,一般化座標�

�:�� � � � � :� �と一般化運動量 ���� � � � � �� �を新しい変数� �<�� � � � � <� �と� �+�� � � � � +� �に変数変

換することを考える.この変数変換を次式のように定

義する.

<� <����� ��

+� +����� ��

また,この逆変換を次式により定義する.

:� :����� � ��

�� ������ � ��

このとき,変数変換によって変換されたハミルトン

関数F���� . ��に対して,次式の正準方程式が成り立

てば,���は正準変数になる.このような変数変換を

正準変換という.

,<� 6F

6+�

,+� � 6F

6<�

正準方程式は,ラグランジュ関数の作用積分が極値

をとる条件であることから,つぎの �つの式も両立し

なければならない.

Æ

� ��

��

.��� Æ

� ��

��

���

���

+�,<� �F���� � ���� �

Æ

� ��

��

.��� Æ

� ��

��

���

���

�� ,:� �3���� ���� �

ただし,�つのラグランジュ関数は次式のように定義

されている.

.�

�����

+�,<� �F���� � ��

.�

�����

�� ,:� �3���� ��

極値をとるとき,ラグランジュ関数はラグランジュの

運動方程式を満足するが,これは�0�節に述べたよう

に任意関数�の時間微分だけの自由度をもっているこ

とから,次式が成り立つはずである.

.� .� ��

��

これから,次式のように書きなおせる.

��

��

�����

�� ,:� ���

���

+�,<� � �3���� ���F���� � ���

上式の�を�組みの正準変数 ����と ���� �をつなぐ

母関数という.母関数�の独立変数には,つぎのよう

な�通りの取り方が可能である.

� ������� ��

� ������ � ��

� ������ ��

� ����� � ��

そこで,� ������� ��と取ると,次式が全微分の式

より成り立つ.

���

��

�����

6��

6:�

�:���

�����

6��

6<�

�<�

��

6��

6�

この式と母関数の式の係数を比較すると,次式が得ら

れる.

�� 6������� ��

6:�

+� �6������� ��

6<�

3���� ���F���� � �� �6������� ��

6�

��

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したがって,母関数��がわかっていれば,上式から変

数変換を逆に導出できることがわかる.

また,� ������ � ��と見なす場合には,

+�,<�

���+�<���<�

,+�

を用いて,母関数の式をつぎのように変形する.

����

�����

+�<��

�����

�� ,:�

�����

<�,+�

� �3���� ���F���� � ���

そこで,新しい母関数� を

� �

�����

+�<�

とすると,上式の右辺を� の変数 :� +� �に対する全微

分であると考えられるので,� ������ � ��と見な

せる.

���

��

�����

6��

6:�

�:���

�����

6��

6+�

�+�

��

6��

6�

であることから,��に関する次式が得られる.

�� 6������ � ��

6:�

<� 6������ � ��

6+�

3���� ���F���� � �� �6������ � ��

6�

また,� ������ ��と見なす場合には,

�� ,:� �

�����:��� :� ,��

を用いて,母関数の式を前述と同様に変形できる.母

関数を�� ��!���� ��:�とすると,次式が得られる.

:� 6������ ��

6��

+� �6������ ��

6<�

3���� ���F���� � �� �6������ ��

6�

また,� � !�

����+�<� � ��:��とすると,次式

が得られる.

:� �6����� � ��

6��

<� 6����� � ��

6+�

3���� ���F���� � �� �6����� � ��

6�

例題

母関数が� ������ � �� !�

��� :�+�のとき,変数

変換を求めてみよう.次式が成り立つ.

�� 6������ � ��

6:� +�

<� 6������ � ��

6+� :�

3 �F �

これは,変数変換前と変換後の変数が等しいことを意

味し,これを恒等変換という

例題

�次元直交座標を変数変換前の変数 :� �� :�

�� �� �� � ,�� �� �� � ,�とし,変換後の変

数を極座標<� ��<� � +� �� � ,�� +� ��

��� ,とすると,この間の関係と母関数を見つけてみ

よう.

ここで,ラグランジュ関数.は次式のようになるこ

とから,次式が誘導されることに注意しよう.

. �

�� ,�� �� ,��� )��� �

�� 6.

6 ,� � ,�

�� 6.

6 , ��� ,

一般に直交座標と極座標では次の関係が成り立つ.

� � �� � � � ���

�� � ,� � ,� �� ��� , ���

�� �� � ���� ���

�� � ,� � ,� ��� �� , ��

�� ��� �

��� ��

そこで,変数 :�� :�� ��� ��と変数<�� <�� +�� +�の変数

変換式は次式のようになる.

:� <� ��<�� :� <� ���<�

�� +� ��<� � +�

<����<�

�� +� ���<� +�

<� ��<�

一方,母関数を

�� ���<� �� � � ��<� ���<�

とすると,次のような変換式が導出できる.

�6��

6�� <� ��<� :�

�6��

6�� <� ���<� :�

��

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� 6��

6<� �� ��<� �� ���<� +�

� 6��

6<� ���<� ���<� ��<� ��<� +�

例題

次式の母関数が与えられているとき,新旧の変数の関

係を求めてみよう.ただし,#は定数とする.

���:�<� �� :� ��#�� �:<<� ��#�

� ���#�

これから,次式のような関係が成り立つ.

� 6��

6:

: ��#��<

���#�

+ �6��

6<

: �< ��#�

���#�

これから次式のようになる.

+ � ��#� : ���#�

< �� ���#� : ��#�

逆に次式が成り立つ.

� + ��#��< ���#�

: + ���#�< ��#�

これは回転座標変換を表しており,次図のような関係

になる.

#��

+

:<

図 ��� 回転位相空間

また,次式が成り立つ.

3�:� �� ���F�<�+� �� �6��

6�

#:� <� � �:< ��#�

� ���� #�

#

��+ � <��

これから,変数変換後の新しいハミルトン関数は次式

となる.

F�<�+� �� 3�:� �� ��� #

��+ � <��

たとえば,�次元調和振動子の場合のハミルトン関

数は次式のようになる.

3 �����

�#�:

これを,

1� ����#

� 1: ��#:

と規格化すると,ハミルトン関数は次式のようになる.

3 #

��1�� 1:��

ここで,1� �� 1: :とあらためておくと,つぎのよ

うになる.

F�<�+� �� #

���� :��� #

��+ � <��

ここで,変数変換式から,結局新しいハミルトン関数

は,つぎのように簡単化される.

F�<�+� �� �

この新しいハミルトン関数にはエネルギーの意味は無

いことがわかる.これに対して正準方程式は次式のよ

うになる.

�<

��

6F

6+ �

�+

�� �6F

6< �

したがって,つぎのような解が得られる.

< �������� + �������

これは運動と同じ方向に座標系が動いており,相対的

に質点の位置が変わらないことを意味している.

������ ハミルトン�ヤコビの偏微分方程式

前述したように,変換後の新しいハミルトン関数F

がゼロになる場合には,正準方程式が簡単になる.そ

こで,新しいハミルトン関数Fがゼロになる母関数の

満たすべき条件を求めてみよう.

母関数を� � ���� � ��とすると,正準変換は次式

のようになる.

�� 6

6:�� ���� � ��

<� 6

6+�� ���� � ��

F���� � �� �であることから,次式が成り立つ.

3���� �� �6� ���� � ��

6�

��

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正準方程式は

,<� 6F

6+� �

,+� � 6F

6<� �

となることから,この解が次式のように得られる.

+� � �������� <� �� �������

ここで,�を積分定数という.ここで,

� � ��� � � � � � �

6�

6�

�6�

6:�� � � � � 6�

6:�

と表記すると,次式が成り立つ.

6� ����� ��

6�3

���

6�

6�� �

� �

�は定数であるので,上式は!�個の変数 :�� � � � � :� � �に関する偏微分方程式である.これをハミルトン・ヤ

コビの偏微分方程式といい,上式を満たす�をハミル

トンの主関数という.ハミルトン・ヤコビの偏微分方

程式の解の�つをG G����� ��とすると,式の形か

ら,G �も解になる.ただし,�は任意定数である.

Gが求まれば,

�� 6G����� ��

6:�

において,:� � ��の初期条件から,積分定数が計算でき

る.さらに,

<� �� 6G����� ��

6�

となる一定値をとる座標が与えられる.

例題 調和振動子

調和振動子の場合,ハミルトン関数は次式のように

なる.

3�:� �� �� #

���� :�� � =

ただし,=は全エネルギーで一定である.� �4� とし

て,ハミルトン・ヤコビ方程式は次式になる.

6G

6�3

�:�

6G

6:� �

� �

6G

6�

#

��6G

6:

� :�

� �

を積分定数として,Gを

G�:� � �� � �:� �� �

とおくと,ハミルトン・ヤコビ方程式は次式のように

変形できる.

#

��6�

6:

� :�

上式のは=と等しい.なぜならば,次式が成り立つ

からである.

6G

6�3 �

3

したがって,�は変形されたハミルトン・ヤコビ方程

式を積分することにより,次式のように得られる.

$�

#

� $�� #:�

��:

また,�は次式のようになる.

� 6G

6

���#

��:%�� � �

�$

� �

ここで,つぎの不定積分が可能である.���

�� � �� ����� �

�� �� - ��

これから,次式のようになる.

: ��# ���

��#�� ��

また,:は次式のようにして求められる.

� 6G

6:

6�

6:

$�

#� :�

さらに,:を代入して, ��関数としてなる.

���� 減衰振動のハミルトン・ヤコビ方程式

調和振動子に減衰の入った散逸力学系を減衰振動子

という.これは次式で表せる.

�������

��� �

�����

�� ���� �

ただし,� - �� � - �� - �である.ここで,規格化

するために

#

$

�� H

��

とおくと,上式はつぎのようになる.

������

��� �H

�����

�� #����� �

これの解は機械力学や制御工学でよく登場するので省

略する.ところがこの式は,この章述べたハミルトン

��

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原理から導出されるオイラー・ラグランジュ方程式の

枠組みに入っていない �前章では減衰関数を導入して

拡張された形でオイラー・ラグランジュ方程式を導出

していることに注意しよう�.そこで,ハミルトン原

理から導出できるように作用積分を変形する方法を�

つ紹介する.

作用積分に時間的な重みをつける方法

通常の調和振動子の作用積分は次式である.

'

� �

.

������

�����

��

���

� �

��

������

��

��

������

���

このときのオイラー・ラグランジュ方程式は次式で

ある.

��

6.

6 ,�� 6.

6� �

減衰振動子に拡張するために,つぎのように作用積分

を時間重みつきのものに変形する.

'5

� �

.5

������

�����

��

���

� �

��6�

��

������

��

��

������

���

'5を最小にするオイラ・ラグランジュ方程式は

��

6.5

6 ,�� 6.5

6� �

であるので,これから次式が得られる.

��

����

����6�

� ���6� �

����

�����6� ��H

��

����6� ���6� �

これは減衰振動子の微分方程式に一致している.ラグ

ランジュ関数.5から,次式のような一般化運動量が

���� 6.5

6 ,� �

�����

����6�

と定義でき,これを用いてラグランジュ関数を

.5 .5��� ��

���6�

���� �

������6�

���6�

���� �

�����6�

と書き直すと,これからハミルトン関数は次式のよう

になる.

3 ���������

��� .5��� ��

���6�

�� ���6�

����

�����6�

���6�

����

�����6�

3��� �� ��

ハミルトン関数が時間変数 �を陽に含むことから非保

存系であることがわかる.

いま,母関数� ��� +� ��を

� ��� +� �� �+�6�

とおいて,正準変換 ��� �� ���+ �を考えると,前

述したようにして,次式ような関係が得られる.

� 6�

6+ ��6�

� 6�

6� +�6�

これから正準変換後のハミルトン関数が次式のように

得られる.

F���+ � 3��� �� 6� ��� +� ��

6�

��+ �

��� H�+

このハミルトン関数は時間変数を陽に含まないので,

保存系になっていることがわかる.したがって,正準

変数 ���+ �を用いると,減衰振動子は上式のハミルト

ン関数によって調和振動子としてみなすことができる.

作用積分に変数を�つ追加する方法

共役自由度を呼ばれるもうひとつの変数����を導入し

て,次式の作用積分を考える.

'�

� �

.���� �� ��� �����

� �

������������� �������� ������������

ただし,�� ���� � �

� ����である.これは�未知関数の

変分問題であり,これを最小にする条件は,次式のよ

うな�本のオイラー・ラグランジュ方程式になる.

6.�

6�� �

��

�6.�

6��

� �

6.�

6�� �

��

�6.�

6��

� �

これに.�を代入して解くと,次式のようになる.

����

�� �

��

�� � �

����

��� �

��

�� � �

上式の第�式が減衰振動子����の運動方程式であり,

第�式が時間とともに発散する共役自由度����の運動

��

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方程式である.����が失っていくエネルギーを吸収す

る役目を負っているのが����であり,さらに,����

�����とかけることから,時間反転させたものになっていることもわかる.このような変数を共役変数と

いう.

������ ポアソン括弧

:� �� �の関数である力学量� � �:� �� ��の全微分は

次式のようになる.

��

��

6�

6�

�����

�6�

6:�

�:���

6�

6��

�����

上式に正準方程式

,:� 63

6��� ,�� �63

6:�� $ �� � � � � !

を代入すると,次式のようになる.

��

��

6�

6�

�����

�6�

6:�

63

6��� 6�

6��

63

6:�

上式の右辺第�項をポアソン括弧といい,簡単に ���3 �

と表す.

���3 �

�����

�6�

6:�

63

6��� 6�

6��

63

6:�

したがって,次式のように表現できる.

��

��

6�

6� ���3 �

�の中に �が陽に現れない場合,つまり,�(�� �であ

り,かつポアソン括弧において,

���3 � �

が成り立つとき,�は時間に全く依存しない量になる

ことがわかる.ポアソン括弧では,次の性質が成り

立つ.

� ��� �� � �

� �:� :� � �

� ��� :� � ��

� �A�B� ��B�A�

� � �が任意の定数のとき,

�A�B �E� �A�B� ��A�E�

� :� �#�恒等式�A� �B�E�� �B� �E�A�� �E� �A�B�� �

� ��� �A�B�

)�'�� � B

*)A� �&��

*また,ポアソン括弧は正準変換に対して不変である.

���3 �

�����

�6�

6:�

63

6��� 6�

6��

63

6:�

�����

�6�

6<�

63

6+�� 6�

6+�

63

6<�

� 福祉機器への応用をめざして

�� 適用例��競技用車椅子の運動方程式

参考文献 ����に基づいて,競技用車椅子 �%� ��*

�;��" ;��%�の�モデルを紹介する.パラメータなど

は正確に表すために英語表記を用いることにする.

����� ����� ��!"モデル:前進運動モデル

平坦な道路や競技場内での競技用車椅子の前進運動

は,回転運動と並進運動の組合せとしてモデル化でき

るが,そのうちの並進運動である車椅子の前進運動を

モデル化した図を示す.

� � �

� �

��

�7

&�

0 0�

5&5�

図 ��� <��&+=%� >モデル

図において,すべての力の釣り合いを静力学的に求

めると,つぎのような運動方程式が得られる.

�>

��� 5 ,�

0

>,�

0��,� �

5&

� �

5�

� ��

�7 �� & ���?��� �����

ただし,図中の記号はつぎのように定義されている.

��

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� @�% � ���*�����" �� �6�;%��*�

> %�&�6� �@ %��% �;��"�

��� %�&�6� �@ �6�;%��*�

5 !��� �@ ��&�A�&6�" ��& �;��" ;��%

� A�"� ��$ �@ ��&�A��6�"+�;��" ;��% �$���!

0 ���%��� �@ %��% �;��"�

0� ���%��� �@ @%��� �;��"�

� %�&�6� �@ @%��� �;��"�

� ��% %������� � �@ ��&�A��6�"+�;��" ;��% �$���!

5& #��%��* %������ � �@ %��% ;6#�

5� #��%��* %������ � �@ @%��� ;6#�

� � %�&�6� �@ %��% �B"�

� �� %�&�6� �@ @%��� �B"�

�7 %�""��* %������� � �@ %��% �;��"�

�� %�""��* %������� � �@ @%��� �;��"�

& ���*;� �@ &�A��6�"+�;��" ;��% �$���!

?��� ��*"� �@ �� "�������

��0�0 ;��*�� �� �"�A������

� &����� � �%�A�%��&

ここで,空気抵抗 ���% %������� ��は次式で近似するこ

とができる.

� E��

ただし,E � &%�* ��Æ ����とする.さらに回転抵抗

�%�""��* %������ ��は次のように書ける.

�7 &747>

��?���� �� &�4�� ��?���

さらに,ベアリング抵抗は速度に比例すると仮定し,

次式のようにまとめて書くことにする.

5&

� �

5�

� �� F��

これらをまとめると,次式のような運動方程式になる.

�>

��� �5

0

>

0��� ,� E�� F��

�&747>

&�4��� ��?��� & ���?���

上式は移動距離�に関する�階の非線形微分方程式で

あり,定数を適当にまとめてかくと,次のようになる.

� F�-�F� ,�� F� ,�F ��?��� F� ���?���

さらに,平地で,空気抵抗を無視すると,?��� �,

F� �であるので,次のような線形微分方程式になる.

� F�-�F� ,�F

����� #������ ������モデル:車輪の回転運動モ

デル

後輪の回転運動モデルを図のように考える.このモ

デルでは,後輪が駆動用ローラの上に乗って回転して

いると考えている.前述の記号に加えて,図中の記号

5&

0

0�

�7(

I

I�

(

図 ��� C��%���" <�""�%モデル

はつぎのように定義されている.

0� ���%��� �@ %�""�% ��& �"" �@ ��� �!�������

I %��������" A�"� ��$ �@ %��% �;��"�

I� %��������" A�"� ��$ �@ %�""�%

( ��% %������� � �@ %��% �;��"�

( �I� �� �� A�%��#"� �B��%��" %������� �

� &����� � �%�A�""�& �� �;� %�""�%

� ��!� ����� �6�;��* �� �;� %�""�%

回転体の運動方程式を用いると,次式を得る.

���� 0 ,I 0� ,I� ( 5& �7 ( �I� �� ��

ここで,����が後輪のトルクになる.また,空気抵抗

( は次のように近似される.

( �I�

回転抵抗のモーメント �トルク��7>は,後輪の重量

&7と後輪の回転抵抗係数 47を用いて,次式のように

書くことができる.

�7> &747

まとめると,次のような運動方程式が得られる.

���� �0 0�>

��� ,I �I� 5& &747 ( �I� �� ��

係数を適当におくと,つぎのようにまとめられる.

� 1 � ,I 1 �I� 1 �I 1 ( �I� �� ��

��

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ここで,ローラと後輪にスリップがないと仮定すると,

I �

>,�

>� � �

が成り立つことから,上の運動方程式は,次のような

�に関する運動方程式に変形できる.

� �-� � ,�� � ,� ( � ,�� �� ��

これは,前節のモデルに一致するように,係数などを

決めてやる必要がある.

����� 動力学モデル

人の腕の動きまで入れて,�リンクもでるが立てら

れており,これにラグランジュの運動方程式を適用し

て,��� 5�8に対してそれぞれ�階の微分方程式が

得られる.詳細については省略する.

�� 適用例���輪車両の運動学モデル

運動学モデル �>���!��� !�&�"�幾何モデルともい

う�は,速度の幾何的関係のみから導出される単純な

ものである.これに対して,運動方程式に基づくモデ

ルと動力学モデル �&$��!� !�&�"�という.本節の内

容は,7�� 9%� >��などの微分幾何のことばが多少でて

くるが,それらを無視してもある程度の意味は通じる

ものと思うので,ここに上げた.詳しくは,文献 ����

を参照されたい.

図��のように車軸中心点座標を ��� ��,�軸から図っ

た車体軸角度を,車体軸方向速度を �とする.車軸中

心点の速度の ��� ��座標表示は,� ,�� ,��となる.一般化

座標�を

���

���

とする.

横滑りがない条件は次式のようになる.

,� ��� � ,� �� � �����

この拘束式は次式のように書くことができる.

*����� �

*��� "��� � �� �

#

��

���

��

��

���

�,�

,� �

��� ��

図 ��� �輪車両モデル

ここで,"���は次式のようのおくことができる.

"��� "����� �����

#

��� �� �

��� �

� �

���

このとき,7�� #%� >��は次式のようになる.

���� ��� 6��6�

�� �6��6�

��

���� � �

� � �

� � �

������ ��

���

���

���� � � ��� � � ��

� � �

�������

���

���� ��� ��

���

したがって,���� ���は��� ��と線形独立であることか

ら,ノンホロノミック制約であることがわかる.

また,車体軸方向の速度は次式のようになる.

,� �� ,� ��� � �����

ここで,このシステムの入力を,推進力D�と操舵角速

度D�,つまり,

D� �� D� ,

とすると,�����������から次式が導出される.

� �� ,� ��� ,� ��� ��

,���� ���� � ,� ��� �� ,�� ��� ,� ���� ,� ��� ��

,���� ��� � ,� ��� �� ,�

��

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これから,次式の対称アファイン系が得られる.

,� "���

�D�

D�

������

上式は,当然ながら拘束*��� ,�を満たしていることに

注意しよう.

この車両において,両車輪が駆動車輪で,その�つ

の回転速度#�� #�が独立に制御できる場合には,推進

力と操舵角速度は次式のように書くことができる.

��#� #�� �

�>�#� � #�� ,

ただし,�は車輪の半径,>は車輪の中点から車輪まで

の距離である.これから入力変換が次式のように得ら

れる. �D�

D�

���

��

��7 � �

�7

� �#�

#�

>�

図 ��� 独立駆動車輪

� おわりに

勉強とは本に書かれていることを丸暗記することで

はなく,自分で考察する頭を造ることです.そういう

観点から,どうしてそうなるのかとか,自分だけの新

しい定義や仮定を入れて色々な考察を行うことにより,

勉強を楽しんでほしいと思います.今回の内容は,ち

ょっと難しい解析力学のはなしですが,基礎から書い

たので,ある程度理解できると思いますが,いかがで

しょうか.これだけの内容を知っていれば,解析力学

の�+�はカバーできると思われます.あとは,ここで

の変分原理では極値のみの条件しか出ていないが,極

小値を与える第�変分や強変分原理や微分形式という

ものを使って電磁力学系なども含んだハミルトン系の

解析を行うなどが上級編としてありますが,ここでは

述べていません.これについては,参考文献 ��� ��� ���

が定評のある本ですので,興味のある人は読んでみて

ください.ただ,この資料だけの内容を学部卒業レベ

ル理解していれば(変分法と正準方程式は大学院レベ

ル),メカトロニクスの技術者として胸をはっていい

と思っています.最後に,ロボット工学の歴史と展望

などについて,�D(の人間講座で放送がなされてい

ましたが,そのテキストはロボットの全貌を見る上で

ためになると思います ����.

参考文献��� 都筑 卓司� なっとくする解析力学,講談社 ������

�� 鷲尾 洋保� 力と数学のはなし,日科技連 ������.

��� 山崎,亀岡,ロボット力学,パワー社 ������

� � 増渕・川田� システムのモデリングと非線形制御,コロナ社 ������

��� 稲葉三男,微積分の根底をさぐる,現代数学社 ������

��� 高橋陽一郎,微分と積分2(岩波講座現代数学への入門),岩波書店 ������

��� 高橋陽一郎,力学と微分方程式(岩波講座現代数学への入門),岩波書店 ������

��� 深谷賢治,解析力学と微分形式(岩波講座現代数学への入門),岩波書店 ������

��� 高橋 康�量子力学を学ぶための解析力学入門,講談社������

���� 田村二郎,空間と時間の数学,岩波新書 ������

���� 栗田 稔,微分形式とその応用,現代数学社 ������

��� 小沢 哲也,曲線・曲面と接続の幾何,培風館 ������

���� � フランダース,微分形式の理論,岩波書店 ������

�� � 下嶋・佐藤,ロボット工学,森北出版 ������

���� 美多・大須賀,ロボット制御工学入門,コロナ社 ������

���� 安田仁彦,モード解析と動的設計,コロナ社 ������

���� �� ������� � ������� �������� �� ��� �� �!"#$�% ���"#$ &���!���"� ����'!�"�#� (�'�#�! �% ����)"!"*���"�# �������� �# +�,�!����#�� ,�!�*� �����*�� ������

���� 岡崎 誠,べんりな変分原理,共立出版 ������

���� (-.��$$�著,後藤憲一訳,変分法,共立出版 ������

��� 野沢 秀文,図解・解析力学入門,創英社/三省堂書店�����

��� 磯崎 洋,数理物理学における微分方程式,日本評論社�����

�� 保江邦夫,数理物理学における微分方程式,日本評論社 ����

��� 美多 勉,非線形制御入門,昭晃堂 �����

� � 0�1人間講座�ロボットから人間を読み解く� ����年��月から�月期�0�1 ������

��