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8/16/2019 40537_13150_02-sistemas_fisicos

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN

CONTROL I 1 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZx.

Sistemas Físicos


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Modelos de sistemas

Para analizar los sistemas de control se necesitan modelos matemáticos. Estos modelosson ecuaciones que representan la dinámica del sistema. La dinámica de los sistemas se describeen términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir deleyes físicas que gobiernan un sistema determinado.

Sistemas eléctricos

Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de Kirchhoff. Ley de nodos, la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero. Ley de voltajes, en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor decualquier malla es cero.

Un circuito está formado por inductancias L (henry), resistencias R (ohm) y capacitancias C (farad).

La caída de tensión en una inductancias es proporcional a la variación de corrientedt

di Lel =

La caída de tensión en una resistencia es proporcional a la corriente i Rer = La caída de tensión en un capacitor es proporcional a la cantidad de corriente que pasa a través

de el ∫= idt C ec1 .

Ejemplo 1

Ecuación de la mallaor i eee +=

ecuaciones de cada uno de los elementos.

∫== dt iC e Rie or 1

,

Transformando en Laplace

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s I sC

s E s RI E s E s E s E R Ri1

,, 00 ==+=

Sustituyendo

)(1

)()( s I sC s RI s E i += agrupando y despejando )(s I

)()1(

)( s E RCs

sC s I i

+=

como

)(1

)( s I sC

s E o =

salidadevariablee

entradadevariablee

0

i

=

=

)1(

1

)(

)(

+=

RCss E

s E

i

o


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salidadevariablee

entradadevariablee

R

i

=

=

)1()(

)(

+=

RCs

RCs

s E

s E

i

R

salidadevariablei

entradadevariableei

=

= )1()(

)(

+=

RCs

Cs

s E

s I

i

Ejemplo 2

Ecuación de la mallaor li eeee ++=

ecuaciones de cada uno de los elementos

∫=== dt iC

e Rie

dt

di Le cr l

1,,

Transformando en Laplace( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s I sC

s E s RI s E s LsI s E

s E s E s E s E

c R L

R Li

1,,

0

===

++=

sustituyendo

)(1

)()()( s I sC

s RI s LsI s E i ++=

agrupando y despejando )(s I

)(1

)(2

s E RCs LCs

sC s I i

++=

salidadevariablei

entradadevariableei

=

=

1)(

)(2 ++

= RCs LCs

sC

s E

s I

i

Como

)(1

)( s I sC

s E o =

salidadevariablee

entradadevariableei

=

=

0

11

)()(

2 ++=

RCs LCss E s E

i

o


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Ejemplo 3

Ecuaciones de las mallas11 cr i eee +=

or c eee += 21 ecuaciones de cada uno de los elementos

( )dt iiC

ei Rei Re cr r ∫ −=== 211

12221111

,,

∫= dt iC eo 221

Transformando en Laplace( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )s I sC

s E

s I s I sC

s E s I Rs E s I Rs E

s E s E s E

s E s E s E

C R R

RC

C Ri

22

0

211

1222111

021

11

1

1,,

=

−===

+=

+=

sustituyendo

( ) ( )( ) ( ) ( )s E s I Rs I s I sC

o+=− 22211

1

Despejando ( )s I 1 y sustituyendo ( )s I 2 ( ) ( )s E sC s I o22 =

( ) ( ) ( ) ( )ssE C s E sC RC ssE C s I ooo 12

22121 ++= Como

)()()()( 21 s E s E s E s E o R Ri ++= )()()()( 2211 s E s I Rs I Rs E oi ++=

Sustituyendo )(),( 21 s I s I en esta última ec.

)()()()()()( 22112

221121 s E ssE C RssE C Rs E sC RC RssE C Rs E oooooi ++++=

( ) ) )(1)( 21221122211 s E sC RC RC RsC RC Rs E oi ++++=

salidadevariablee

entradadevariableei

=

=

0

( ) 11

)(

)(

2122112

2211 ++++= sC RC RC RsC RC Rs E

s E

i

o


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Sistemas mecánicos

Las formas básicas de bloque funcionales de sistemas mecánicos son resortes,amortiguadores y masas.La ley fundamental que controla los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton.En el caso de un resorte donde el estiramiento o compresión es proporcional a las fuerzas

aplicadas. xk F =

Donde k es una constante

En el caso de un amortiguador, La fuerza del amortiguador F es proporcional a lavelocidad v del pistón. La velocidad es la razón de cambio del desplazamiento x

cvF = dt

dxcF =

donde c es una constante.

En el caso de la masa, la relación entre la fuerza F y la aceleración a está relacionada conla segunda ley de Newton.

maF = Donde a es la aceleración que es la razón de cambio de la velocidad. Es decir dt dv .

2

2

dt

xd m

dt

dvmmaF ===


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Ejemplo 1

dt

dx

ckxF cvkxF ma −−=−−=

dt

dxckxF

dt

xd m −−=

2

2

F kxdt

dxc

dt

xd m =++

2

2

Transformando en Laplace y considerando las condiciones iniciales iguales a cero.)()()()(2 sF skX scsX s X ms =++

) )()(2 sF s X k csms =++

k csmssF s X

++=

21

)()( Función de Transferencia

Ejemplo 2

( ) ( ) 00 0 =−−−−= ioi x xk vvbma

( ) 0020

2=−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+ io

i x xk

t d

xd

t d

xd b

t d

xd m

ii kx

t d

xd bkx

t d

xd b

t d

xd m +=++ 0

020

2

Transformando en Laplace) ( ) )()(2 s X k bss X k bsms io +=++

k bsms

k bs

s X

s X

i

o

++

+=

2)(

)(


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Sistemas de nivel de líquido

Resistencia y capacitancia de sistemas de nivel de líquidoSea el flujo a través de una tubería corta que conecta dos tanques. En este caso la resistencia alflujo del líquido se define como la variación de diferencia de nivel (diferencia de niveles delíquido entre dos tanques) necesaria para producir una variación unitaria en el gasto.

gastoelencambio

nivelesdediferencialaencambio= R

Capacitancia C de un tanque se define como la variación en la cantidad de líquido acumulado,necesaria para producir una variación unitaria en el potencial ( presión hidrostática). (El potenciales la magnitud que indica el nivel de energía del sistema).

nivelelencambio

almacenadolíquidodelcantidadlaencambio=C

Ejemplo 1

Considere el sistema que aparece en la figura.

El flujo de entrada menos el flujo de salida durante el pequeño intervalo de tiempo dt es igual ala cantidad adicional almacenada en el tanque.

dt qqdhC oi )( −= La relación entre oq y h

R

hqo =

La ecuación diferencial quedaría.

iq Rhdt

dh RC =+

donde h es la salida y iq es la entrada.Transformando en Laplace

)()()1( s RQs H RCs i=+

1)(

)(

+=

RCs

R

sQ

s H

i


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Ejemplo 2

Sistema de nivel con interacción.

Considere el siguiente sistema.Las ecuaciones serían.

11

21 q R

hh=

−

11

1 qqdt

dhC −=

22

2 q R

h=

212

2 qqdt

dhC −=

Obteniendo la transformada de Laplace.

11

21 )()( Q R

s H s H =

−

)()()( 111 sQsQssH C −=

)()(

22

2 sQ R

s H =

)()()( 2122 sQsQssH C −=

)()()( 21222 sQsQssQ RC −=

( )1122

1

1 )()( Q RsQ RsC

sQsQ =−− ( ) ( ) 111212 1)( QsC RssQC RsQ +=−

( )( ) 111

212

1

)(Q

sC R

ssQC RsQ=

+

− ( )( )

)()(1

)(2222

11

212 sQssQC RsC R

ssQC RsQ+=

+

−

( ) )()()()()( 221221122222

2211 sQssQC RssQC RssQC RsQsC RC RsQ ++++=

( ) ( ) ) )(1 212221122211 sQsC RC RC RsC RC RsQ ++++=

Si se considera a q como entrada y a 2q como salida.

1)(

1

)(

)(

12221122211

2

++++=

sC RC RC RsC RC RsQ

sQ


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Ejemplo 3

Sistema de nivel con interacción.

Considere el siguiente sistema.Las ecuaciones serían.

11

21 q R

hh=

−

11

1 qqdt

dhC −=

22

2 q R

h=

212

2 qqdt

dhC −=

Obteniendo la transformada de Laplace.

11

21 )()( Q R

s H s H =

−

)()()( 111 sQsQssH C −=

)()(

22

2 sQ R

s H =

)()()( 2122 sQsQssH C −=


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Motor de cd controlado por armadura:

Flujo en el entrehierro f f iK =Ψ

El par desarrollado por el motor

a f f iK iK T 1=

Si la corriente de campo es constante,

aKiT =

Para un flujo constante la tensión inducida en la armadura (fuerza contra electromotriz)

dt

d K e bb

θ =

La ecuación diferencial del circuito de armadura es.

abaaa

a eei Rdt

di L =++

La corriente de armadura produce el par que se aplica a la inercia y fricción de la carga

aKiT dt

d b

dt

d J ==+

θ θ

2

2

Tomando la transformada de Laplace inversa

)()( s E ssK bb =θ ( ) )()()( s E s E s I Rs L abaaa =++ ( ) )()()(2 sKI sT sbs Js a==+ θ

Si consideramos la inductancia de armadura a L despreciable, nos queda

( )1)()(

+=

sT s

K

s E

s

m

m

a

θ

donde. ( )aam KK b RK K += ( )baam KK b R J RT +=


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Sistema de servo posición.

r = señal de entradac = señal de salida

Para el potenciómetro detector de error:

[ ])()()( 1 sC s RK s E −= Amplificador:

)()( s E K s E pa =

Motor controlado por armadura:

( )1)()(

+=

θ

sT s

K

s E

s

m

m

a

donde. ( )aam KK b RK K += ( )baam KK b R J RT +=

Momento de inercia equivalente J y el coeficiente de fricción viscosa equivalente b referido aleje del motor

Lm J n J J 2+=

Lm bnbb2+=

Relación de engranes

)(10

1)()(

2

1 ss N

N sC θ=θ=

La función de transferencia del servo posición sería:

nK K K ssT

nK K K

s R

sC

pm

p

12

1

)(

)(

++=


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sC RsC RsC R

sC RsC R

s E

s E

i

o

122211

2211

)1)(1(

)1)(1(

)(

)(

+++

++=

Ejemplo:

( ) 0122111 =+−+••

xk x xk xm

( ) 012121 =−+•

x xk xb Transformando en Laplace

0)())()(()( 1221112 =+−+ s X k s X s X k s X ms

0)()( 12121 =−+

X X k ssX b sustituyendo0)()()( 1221

2 =++ s X k sbsX s X ms

bs

k ms

s X

s X )(

)(

)( 22

1

2 +−=

0)()()( 211 =−+−+−••••

y xb x xk x xb oioio

0)( 22 =+−••

yk x yb o

b

k 1

k 2

m

x2

x1

b1 k 1

k 2

x0

y

b2

xi

ei eo

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