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§5. 8 小结

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• 证明一个问题是 NP 完全问题的方法变化多端，• 这是因为要证明的问题本身相互间的差异很大• 启示 : 如何着手开始证明过程。• 在下面的叙述中我们略去问题 Π属于 NP 的证明

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1. 限制法• 最简单又最常用的方法。为证明问题

Π 是 NP 完全问题。• 选定一已知 NP 完全问题 Π′ ，• 只要证明 Π′ 是 Π 的特例即可，• 即只要对 Π 的实例的叙述作限制就得到了问题 Π′ 的实例的叙述。• 就得到了 Π′ ∝ Π

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• Π′ 是 Π 的特例，• 则 Π′ 的实例就是 Π 的实例• 很容易构成从 Π′ 到 Π 的多项式转换。

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• 例 有向哈密尔顿回路问题 ( 简称 DHC)• 实例：有向图 D ＝ (V ， A) ，其中 V 是节点集合，• A 是有向弧、即有序对 (u ， v) 的集合 (u ， v∈

V) ．• 问：图 D 是否有一条有向哈密尔顿回路• v1 ， v2,…vn ， (n = IVl)• 即• (vi ， vi+1) ∈ A (i ＝ 1 ， 2 ，…， n – 1)• (vn ， v1) ∈ A

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• 图论知识告诉我们无向图是有向图的特例• 对有向图作下述限制，有向图就变成无向图：• 有向图 D ＝ (V ， A) 任两个节点 u ，

v 之间，• 如果有有向弧存在，• 则两条相反方向的弧同时存在，• 即 (u ， v) ∈ A, 且 (v ， u) ∈A

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• 不难证明 HC∝DHC ．• 由 HC 问题的实例图 G ＝ (V ， E)构造 DHC 问题的实例 D=(V ， A) ，• 即 G 和 D 有相同的节点集合；• (u ， v) ∈ A, (v ， u) ∈ A 当且仅当 (u ， V) ∈ E ．• 显然 G 有哈密尔顿回路的充分必要条件为 D 有有向哈密尔顿回路。

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• 例 打中集合问题 (HS)• 实例：集合 S 及其子集的蒐集 C ，• 正整数 K• 问：是否有元素个数不大于 K 的子集• S′⊂S (|S′|≤K) ，• 使蒐集 C 中每一个 c ∈ C 至少有一个元素属于 S′.• 注意 : c 是 S 的子集

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• 顶点覆盖问题 (VC) 是打中集合问题HS 的特殊情况，

• 只要令 C 中每一个子集 c 只含两个元素 (|c|=2) 即可。• 由 VC 实例图 G=(V ， E) 及正整数 K,• 构造 HS 实例如下：• 令 S=V, 蒐集 C =E, 同样的正整数 K.• VC 问题实例有 K 覆盖的充分必要条件为 HS 问题实例有 K 打中集合。

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• 显然 VC 问题实例有解的充分必要条件为 HS 问题实例有解。• 构成的蒐集 C = E, C 中元素 c 为

E 之元素 , 即为 G 之边 .• 要求 E 的边的两端必有一端在打中集合 J 中 .• 因此 , 构成的 HS 的实例和源像 V

C 问题实例一模一样 .

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• 例 子图同构问题 ( 简称 SI ，见本章第 2 节 )• 集团问题 CL 是 SI 问题的特殊情况 ,• 只要令 SI 实例中的图 G2 为完全图即可。• 不难证明• CL∝ S1

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• 一个图称为完全图是指图的任意两个节点之间都有边存在。• CL 问题实例为图 G ＝ (V ， E) 及正整数

J. • 由此构造 SI 问题的实例• G1 ＝ (V ， E) 、 G2 ＝ (V2 ， E2), 即 G1与 G 相同；• | V2 | ＝ J ，即 G2 为有 J 个节点的完全图• 容易证明 CL 问题实例及由此构造的 S1问题的实例必然• 同时有解或者同时无解。

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• 例 有界支撑树问题 ( 简称 BST)• 实例：图 G ＝ (V ， E)• 正整数 K≤|V| - 1• 问： G 是否含有支撑树，且树中每一个节点的度数小于或等于 K ，• 如令 K ＝ 2 ，则 BST 问题变成所谓的• 哈密尔顿路径问题 ( 简称 HP)

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• 实例：图 G ＝ (V ， E)• 问： G 是否有一条哈密尔顿路径，即一个包含所有节点的序列• vi ， vi+1,…vn ， (n ＝ IVl) • (vi ， vi+1) ∈ E (i ＝ 1 ， 2 ，… ， n -

1)• 易证 HP 问题是 NP 完全问题。• 现在只要证明• HP ∝ BST • 就证明了 BST 问题是 NP 完全问题 .

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• 2 ．局部替换法• 这种证明方法中的多项式转换不象限制法那样简单。• 局部替换法先选定一已知的 NP 完全问题 Π′ ，• 在 Π′ 的实例中确定一些组成部分 ( 称为基本单元 ) ，• 然后将这些基本单元用统一的方法进行转化，• 这样就得到了待证问题 Π 的实例。

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• 证明三可满足问题时使用的就是局部替换法，• 在 SAT 问题实例中确定的基本单元是 “项”，• 再将 SAT 实例中的每一项转化成项集合• 这些新的项都只含三个因子。其间的转化是统一的。• 要指出的是转化是局部的，• 即一个项的转化不受其它项的影响，• 也不影响其它项的转化。

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• 例 三角形分割问题 (PT)• 实例：图 G ＝ (V ， E) ， • |V| ＝ 3q (q 为正整数 )• 问：是否能将 G 作三角形分割 ?• 三角形分割是指，将 V 划分成 q 个互不相交的子集，每个子集 vi 含三个节点即 • vi ＝ {al ， a2, a3}• 且(al ， a2) ∈ E ， (a2, a3) ∈ E ， (a3 ， al) ∈

E

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• 证 选择三覆盖问题为已知的 NP 完全问题 ( 其证明略 ) 。• 三覆盖问题 ( 简称 X3C)• 实例：有限集合 X, • 且 IXI ＝ 3q (q 为正整数 ) ；• 集合 C ＝ {c} ，• 其中 c 是含三个元素的 X 的子集• 问：是否存在 C 的子集 C′ ， C′ ⊂ C ，• 且使 X 的每一个元素出现并只出现在

C′ 的一个元素 ci 中。

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• 用局部替换法证明 PT 是 NP 完全问题，• 确定 X3C 问题的基本单元为 X 的子集

ci

• 即 C 中的元素。将• ci ＝ {xi ， yi ， zi}• 转化为子图• Gi ＝ (Vi ， Ei) ， | Vi | ＝ 12 ， | Ei |＝ 18

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xi yi zi

ai3 ai9

ai3

ai1 ai2 ai4 ai5 ai7 ai8

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• 在三角形分割问题 (PT) 的像实例定义为• G ＝ (V ， E)• 其中• V ＝ X U U {ail, ai2, ai3, ai4, ai5, ai6}• i

• E ＝ U Ei• i

• 上述将 X3C 问题的实例转化为 PT问题实例的映射是多项式转换

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• 这个转换把 X3C 实例的的元• ci ＝ {xi ， yi ， zi}• 转换为一个含有 12 个结点、 18 条边的子图 .• 转换一个元所需时间为一常数 .• 整个转换需要时间为 p 的多项式• p = |C|• 现在证明 X3C ∝ PT

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• X3C 的实例存在 C 的子集 C′ ， • C′ ⊂ C ，• 且使 X 的每一个元素出现并只出现在 C′ 的一个元素 ci 中• 的充分必要条件为• 该实例在 PT 问题的像实例• G 能作三角形分割

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• 设 X3C 的实例存在 C 的子集 C′ ， C′ ⊂ C ，• 且使 X 的每一个元素出现并只出现在 C′ 的一个元素 ci 中• 现将 G 作三角形分割如下• 分两种情况• ci ＝ {xi ， yi ， zi}

•① ci 属于 C′ ② ci 不属于 C′

25•情况① , 按红线分割 , 该子图被分割了xi yi zi

ai3 ai9

ai3

ai1 ai2 ai4 ai5 ai7 ai8

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• 情况② , 按红线划分

• xi,yi,zi 没有被分割 , 但是它们必定属于某 ci

• 所以必定在其它元中被分割了xi yi zi

ai3 ai9

ai3

ai1 ai2 ai4 ai5 ai7 ai8

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• 可以看到 , 图 G 确实被三角形分割了• 三角形分割是指，将 V 划分成 q个互不相交的子集，• 按红线分成子集 vi

• 每个子集 vi 含三个节点• 并且这三个结点之间有三条边• 充分性证毕

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• 现在证明必要性 .•设 PT问题的像实例• G 能作三角形分割•即能将图的所有结点分成子集 vi

• 每个子集 vi 含三个节点• 并且这三个结点之间有三条边• 现考虑结点 ai3

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• ai3 必定在某子集 vi 中•① ai3 和 ai6 在同一子集中•② ai3 和 ail 在同一子集中

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xi yi zi

ai3 ai9

ai3

ai1 ai2 ai4 ai5 ai7 ai8

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• 只有与 ai3 有边连接的结点才有可能和 ai3

• 在同一个子集中 vi• 所以考虑以上两情况•① ai3 和 ai6 在同一子集中•那么在同一个子集中的第三结点必然是 ai9

•因为只有 ai9 和 ai3 、 ai6 都有边相连接• ai3 、 ai6 、 ai9 组成 vi

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• 与此同时 xi 必定和 ai1 、 ai2 组成子集vi

• 同理• yi 必定和 ai4 、 ai5 组成子集 vi

• zi 必定和 ai7 、 ai8 组成子集 vi

• 情况和前面的分割相同 (P25)

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•② ai3 和 ail 在同一子集中 ,•那么在同一个子集中的第三结点必然是 ai2

• ai1 、 ai2 、 ai3 组成子集 vi

• 同理• ai4 、 ai5 、 ai6 组成子集 vi•

ai7 、 ai8 、 ai9 组成子集 vi• 情况和前面的划分相同 (P26)• 而 xi ， yi ， zi 没有在这个元参与分割• 但是必定在其它元参与分割

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• 构造 X3C 实例的解如下• 考虑前述情况①的元 , • 由这些元的三个结点

xi ， yi ， zi

• 组成 ci ＝ {xi ， yi ， zi}• 情况①的诸 ci 构成的集合就是 C′

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• 显然 , 诸 ci 是 C 的元素 . 且只含三个元素• 所以C′ ⊂ C• 下面证明 X 的每一个元素出现并只出现在

C′ 的一个元素 ci 中• 设 x 为 X 的任意一个元素• 按照转换 , x 必定属于某些元 ( 可能多个 )• 并必定在分割中属于某三角形• 它只能属于情况①的分割 (P25)

• 因此 , x 属于前页构造的 ci ＝ {xi ， yi ， zi}

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• 但是它属于情况①的分割 (P25)• 只此一次 , 因为三角形分割的定义• 诸 vi 是互不相交的• 所以 x 只出现在 C′ 的一个元素 ci 中• 证毕

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• 例 串行流程问题 (SWI) • 实例： T ＝ {t} 为任务集合• 三个映射• r ： T→ Z (Z 为非负整数集合 ) • d ： T→ Z+ (Z+为正整数集合 )• l ： T→ Z+• r(t)表示任务 t 最早可以开始的时间，• d(t)表示任务最迟必须完成的时间，•l(t)表示任务 t 完成所需之时间。

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• 问：是否存在时间表，即映射• σ ： T→ Z • 表示任务 t安排在 σ(t) 时开始。

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• 且要求每个任务 t∈T 及 t′≠t, 满足三条件• σ(t) ≥r(t)• σ(t)+l(t)≤d(t)• σ(t′)+l(t′) ≤σ(t)• 或 σ(t)+l(t) ≤σ(t′)• 其中第三个条件是指任意两个不同任务的工作不重叠。

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• 3. 合成法• 合成法比前两种方法复杂。• 顶点覆盖问题及• 哈密尔顿回路问题的• 证明使用的就是合成法。

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• 合成法的思路是这样的• 由已知的 NP 问题 Π′ 的实例的几种成份• 构造待证问题 Π 的实例的成份，再将这些成份拼装成 Π 的一个实例，• 拼装过程中还要加一些结构• 才能将那些孤立无关的成份组成一个实例

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• 在局部替换法中• 将 Π′ 实例的基本单元统一转化，无须拼装• 而在合成法中成份的构造不是统一的• 且还需要拼装才能得到问题 Π 的实例

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• 顶点覆盖问题的证明中曾给出映射• f ： 3SAT→VC• 映射 f 将 3SAT 实例中的成份逻辑变量 ui ∈U• 转化为一条边，• 将另一个成份 Ci ∈ F 转化为• 一个三角形，• 然后再连接边和三角形，• 从而得到 VC 的实例。

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• 哈密尔顿回路问题的证明使用了映射• t ： VC → HC• 映射 t 将 VC 问题实例的每条边构造成元 ( 有十二个节点、十四条边 ) ，• 由此再对 VC 实例的每个节点构造链，• 对正整数 K 构造 K 个节点，• 映射 t 最后将这 K 个节点与 n 条链连接• ( 设 VC 实例有 n 个节点 ) ，• 从而构造起 Hc 问题的实例。

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• 由于 NP 完全问题至今还没有高效的算法，• 因此一部分计算机科学家将精力用于•寻找 NP 完全问题的近似解算法