九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 )

　　　　小结与复习

一、各种四边形间的关系

二、特殊四边形的性质

三、特殊四边形的判定 四、 几个重要的定理 五、 基础知识巩固 六、知识巩固加深

两组对边

分别平行

有一个角

是直角

邻边相等

邻边相等

有一个角

是直角

一组对边平行

另一组对边不平行

两腰相等

有一个角 是直角

四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形

梯形

等腰梯形

直角梯形

有一个角是直角且邻边相等

一、各种四边形间的关系

各种四边形间的关系

平行四边形

矩形 菱形正方形

四　边　形

梯形

等腰梯形

直角梯形

二、几种特殊四边形的性质

平行四边形

矩 形

菱 形

正方形

等腰梯形

边对边平行 且相等

对边平行 且相等

对边平行，四 条边都相等

对边平行， 四条边 都相等

两底平行，两腰相等

角对角相等

四个角都是直角

对角相等

四个角都是直角

同一底上的两个角相等

对 角 线两条对角线互相平分

两条对角线互相平分且相等

两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角

两条对角线相等

对称性

中心对称

轴对称中心对称

轴对称中心对称

轴对称中心对称

轴对称

注意：１、从“边”、“角”、“对角线”三个方面理解和记忆性质。

　　　２、从“各种四边形间的关系”理解和记忆性质。

对角

线互

相平

分

对角线相等

对角线垂直

对角线垂直

对角线相等

四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形对角线垂直且相等

１、利用“对角线间的关系”判定

对角

线垂

直平

分且

相等

对角

线垂

直平

分

对角

线互

相平

分且

相等

三、特殊四边形的常用判定方法

２、利用“基本四边形＋特殊条件”形式的定理进行判定

平行 四边形

（ 1 ）两组对边分别平行；（ 2 ）两组对边分别相等；

（ 5 ）一组对边平行且相等。（ 4 ）两条对角线互相平分；

（ 3 ）两组对角

矩 形（有三个角是直角）（１）是平行四边形，并且有一个角是直角；

（２）是平行四边形，并且两条对角线相等。

菱 形（四条边都相等）（１）是平行四边形，并且有一组邻边相等；

（２）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。

正方形 （ 1 ）是矩形，并且有一组邻边相等；（ 2 ）是菱形，并且有一个角是直角。

等 腰梯 形

（ 1 ）是梯形，并且同一底上的两个角相等；

（ 2 ）是梯形，并且两条对角线相等。

分别相等；

1. 三角形的中位线定理：A

B C

D E 如图，三角形 ABC 中， AD=DB ， AE=EC ，则有 ； 。DE // BC DE = BC

12

四、其他几个重要的定理

2. 在直角三角形 ABC 中 ,CD 是斜边ＡＢ边上的中线，则有＿＿＿＿＿＿ＣＤ = ＡＢ1

2

Ａ

ＢＣ

Ｄ

3. 菱形的面积等于底乘以高，也可等于对角线乘积的一半．

五、基础知识巩固练习

（一）判断题：

1. 平行四边形的对角线相等； （ ）2. 矩形的四个角都相等； （ ）3. 菱形的对角线互相垂直平分； （ ）4. 有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形； （ ）5. 一组对边平行的四边形是梯形； （ ）

6. 有两个角相等的梯形是等腰梯形； （ ）7. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （ ）

8. 对角线相等的四边形是矩形； （ ）

9. 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。（ ）

（二）选择题：

(A) 一组对边平行，另一组对边也平行； (B) 一组对角相等，另一组对角也相等；1. 下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ ）。

(C ) 一组对边平行，一组对角相等； (D) 一组对边平行，另一组对边相等

D

2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）。 (A) 对角线互相平分。 (B) 对角线相等。

（ C ）对角线平分一组对角。 (D) 对角线互相垂直。

B

3. 顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）(A) 矩形。 (B) 正方形。 (C ) 菱形。 (D) 平行四边形

D

4. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）(A) 对角相等。 (B) 邻角互补。 (C ) 对角互补。 (D) 内角和是 360° 。

C

5. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）(A) 一组对角相等。 (B) 两条对角线互相平分。(C ) 两条对角线互相垂直。 (D) 一对邻角的和为 180° 。

B

6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）(A) 等边三角形。 (B) 平行四边形。 (C ) 菱形。 (D) 等腰梯形。

C

D7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

(A)(B) (C ) (D)

三、填空题1. 对角线 的四边形是平行四边形。

2. 　　　　　　　的平行四边形是矩形。

3. 对角线 的四边形是菱形。 4. 正方形的对角线为 4，它的面积为 。 5. 菱形的对角线长为 6和 8，则其周长为 ，面积为 。

Ａ

Ｂ

Ｃ

ＤＡ

Ｂ Ｃ

Ｄ

互相平分

有一个角是直角或对角线相等

互相垂直

８

２０ ２４

分析： OC 与 OD 的双重角色

四、证明题：如图，矩形 ABCD 中， AC 与 BD 交于 O ，CP∥DB, DP∥AC, CP 与 DP 相交于 P 点，求证：四边形 CODP 是菱形。

A B

D CO

P

证明 : ∵ CP∥DB, DP∥AC

∴ 四边形 CODP 是平行四边形

又∵ 在矩形 ABCD 中

∴ CO=DO

∴ 四边形 COPD 是菱形

,2

1CACO ,

2

1DBDO CA=DB

六、基础知识加深巩固

本题既用到平行四边形和菱形的判定，又用到了矩形的性质 ,有一定的综合性。

如果题目中的矩形变为正方形 ( 图二 ) ，结论又应变为什么？

如果题目中的矩形变为菱形( 图一 ) ，结论应变为什么？

矩形 正方形

Ａ

图一

Ｂ

ＣＤ

Ｏ

Ｐ 图二

Ｄ

Ａ Ｂ

Ｃ

Ｏ

Ｐ

结束寄语

“条理清晰，因果相应,言必有据”

是初学证明者谨记和遵循的原则.

下课了 !

思考题 已知： AD 是△ ABC 的中线， E是 AD 的中点， F是 BE 的延长线与 AC 的交点。求证： AF＝1/2 FC 。 A

B CD

EF

G

证明 :过点 D作 DG∥AC 交 BF 于点 G。∴∠ GDE ＝∠ FAE 。∵E是 AD 的中点。∴DE ＝ AE 。又∵∠ GED ＝∠ FEA 。∴△DEG≌△AEF ∴DG ＝ AF 。 ∵DG∥AC ， BD ＝ DC 。∴BG ＝ GF 。∴DG 是△ BCF 的中线。∴DG ＝ 1/2 FC 。∴AF ＝ 1/2 FC 。

H

证明：过点 D作 DH∥BF 交 AC 于点 H。 ∵AD 是△ ABC 的中线。 ∴D是 BC 的中点。 ∴CH ＝ HF ＝ 1/2 CF 。 ∵E是 AD 的中点， EF∥DH 。 ∴AF ＝ FH 。 ∴AF ＝ 1/2 FC 。 方法 1

方法 2