Captulo 5: Clculo en rgimen transitorio de potenciales en sistemas de puesta a tierra5.1 Introduccin En este captulo se presenta un mtodo sistemtico, que permite analizar el comportamiento transitorio de la red de puesta a tierra en terrenos uniformes y multiestratificados horizontalmente. En los captulos precedentes se han descrito los fundamentos de este captulo, que es donde se incluyen las principales contribuciones de este trabajo. Si bien en la actualidad el diseo de la red de puesta a tierra se fundamenta en criterios de proteccin a personas y animales [2], y estos criterios consideran nicamente el comportamiento de la red de puesta a tierra en rgimen permanente, cada da se hace ms notoria la necesidad de evaluar la respuesta de estos sistemas ante perturbaciones transitorias de alta frecuencia. Aun cuando las energas involucradas en los perodos transitorios no afectasen a los seres humanos o a los animales que se encuentran en las cercanas de una red de puesta a tierra, su consideracin es importante, ya que los efectos de estas excitaciones pueden repercutir desfavorablemente en la proteccin de los equipos de la subestacin y en los sistemas de comunicaciones, proteccin y control [70]. Uno de los primeros modelos de representacin del comportamiento transitorio de la red de puesta a tierra lo plantea Rdemberg [101]. En este modelo, ilustrado en la Fig. 5.1, se representa a la red de tierra en parmetros concentrados mediante una conductancia G y una capacitancia C en paralelo, en serie con una inductancia L. Para representar la rigidez dielctrica finita del terreno se coloca en paralelo con la conductancia a tierra un descargador.

L

G

C

Fig. 5.1 Modelo transitorio concentrado de puesta a tierra

-1-

Bewley[8], Sunde[107], Bellaschi[6] y otros [31,63,73,117,118,119] desarrollaron expresiones analticas que permiten evaluar el comportamiento transitorio de redes elementales de puesta a tierra. En estos trabajos se representa la red de puesta a tierra a travs de parmetros distribuidos mediante el modelo de la lnea de transmisin en un medio con prdidas. En la figura 5.2 se muestra el modelo bsico utilizado en estos trabajos. El principal inconveniente de este mtodo es que solamente se puede aplicar a sistemas de puesta a tierra elementales ya que no contempla los acoplamientos existentes entre electrodos cercanos de una red compleja de puesta a tierra.

I

L h O Jx A r, L L r, L C G r, L C G r, L CG O

, , A

Ix

G O

C

Fig. 5.2 Modelo de la lnea de transmisin con prdidas

Gupta y Thapar [39] desarrollaron frmulas empricas que permiten evaluar el comportamiento de mallas rectangulares de puesta a tierra introduciendo el concepto de rea efectiva o rea de influencia. Ramamoorty [97] utiliz un modelo en parmetros concentrados para analizar sistemas de puesta a tierra complejos. En este modelo se consideran los acoplamientos inductivos mutuos entre conductores paralelos adyacentes. El modelo no contempla ni las resistencias, ni las capacitancias mutuas entre electrodos, tampoco tiene en cuenta impedancias mutuas de elementos que no se encuentren en la propia malla rectangular. El anlisis de este circuito equivalente mediante variables de estado, permite determinar intensidades y tensiones en los elementos del modelo, pero no permite calcular potenciales en un punto determinado del terreno ni obtener la distribucin de corriente en el subsuelo. Este modelo representa a la red de tierra para frecuencias relativamente bajas.

-2-

Meliopoulos, Moharam y Papalexopoulos [76,94,93] desarrollaron un mtodo de anlisis de la respuesta transitoria de los sistemas de puesta a tierra basado en la tcnica de los elementos finitos. Este mtodo permite analizar sistemas complejos de puesta a tierra compuestos por elementos rectilneos. Cada uno de estos segmentos se modela mediante un segmento de lnea de transmisin con prdidas representada por parmetros distribuidos. Los parmetros de cada uno de los segmentos se obtienen a partir de la solucin cuasi-esttica de las ecuaciones de Maxwell. El modelo tiene en cuenta la variacin de los parmetros con la frecuencia. En este mtodo se resuelven las ecuaciones diferenciales para un medio infinito y uniforme, pero corrige el rgimen permanente realizando un reescalamiento de la solucin a partir del clculo de los potenciales para un terreno biestratificado con excitacin constante en el tiempo. El modelo desarrollado en estos trabajos es rpido y eficiente pero est limitado a frecuencias inferiores de 1.0 MHz debido a la aproximacin cuasi-esttica utilizada al resolver las ecuaciones de Maxwell. El modelo puede ser incorporado en algoritmos de clculo de transitorios electromagnticos tales como el EMTP Electro Magnetic Transient Program [32,103]. Grcev [40,41,42] desarroll un mtodo de anlisis de la respuesta transitoria de redes de puesta a tierra para una configuracin cualquiera de los electrodos, vlido para toda frecuencia y fundamentado en el mtodo de los momentos [45,47], la solucin numrica de las integrales de Sommerfeld [90,91,118] y la aplicacin de la transformada rpida de Fourier - FFT- [15,19]. El mtodo desarrollado por Grcev resuelve de forma completa las ecuaciones de Maxwell utilizando las funciones de Green. Se obtiene la respuesta en frecuencia del sistema de puesta a tierra excitando la red con un impulso unitario. Una vez obtenida esta respuesta se determina la solucin para cualquier otra excitacin mediante la transformada inversa de Fourier. El mtodo no incluye estratificacin del terreno, asume que el subsuelo est constituido por un semiespacio conductivo semi-infinito con un plano que lo separa del aire. Este mtodo permite gran exactitud cuando el sistema se excita con frecuencias muy altas, sin embargo requiere gran cantidad de tiempo de procesamiento para evaluar las integrales de Sommerfeld. Liew[63], Loboda[64,65], Kosztaluk[59] y Kameyama [56] han desarrollado modelos que permiten analizar el comportamiento de los sistemas de puesta a tierra ante excitaciones transitorias que producen ionizacin del subsuelo. Estos trabajos permiten analizar electrodos sencillos. Velzquez [117] vara el radio de los electrodos para tener en cuenta el fenmeno de la ionizacin. Para que una inyeccin transitoria aplicada en el sistema de puesta a tierra produzca ionizacin del

-3-

medio conductivo, se requieren grandes energas. No es comn incorporar la ionizacin del medio en los clculo de transitorios en redes complejas de puesta a tierra ya que este es un fenmeno poco frecuente y difcil de analizar porque no es lineal. Adems, su efecto fundamental consiste en reducir los gradientes de potencial presentes en el medio [39,41]. En este captulo se presenta un mtodo general que permite analizar el comportamiento de un sistema de puesta a tierra inmerso en terrenos uniformes o multiestratificados, excitados por una inyeccin de corriente transitoria. Se utiliza el mtodo de los momentos [45], la solucin en funcin de la frecuencia de las ecuaciones de Maxwell en un medio conductivo multiestratificado y la transformacin discreta rpida de Fourier [15,19] para determinar la distribucin temporal de las corrientes en la red de puesta a tierra. Una vez conocida la distribucin de las corrientes en los electrodos de la red se calcula el campo elctrico E, la densidad de corriente J, o la fuerza electromotriz en cualquier regin del espacio. En todo momento se supone que el sistema es lineal debido a que no se considera la posible ionizacin del terreno. En el desarrollo de este tema se introduce en primer lugar, el clculo del campo elctrico producido por un dipolo diferencial de corriente, orientado horizontal o verticalmente, en un medio conductivo uniforme. Se plantean las soluciones de la ecuacin de Helmholtz considerando la simetra del medio y las condiciones de contorno en la superficie de separacin. De esta forma se obtienen las funciones indeterminadas que definen el potencial magntico vectorial. El procedimiento anterior se repite para subsuelos con varias capas horizontales, definiendo la solucin en cada medio y las condiciones de contorno en cada frontera. Se desarrolla un mtodo original para evaluar las funciones indeterminadas, semejante al propuesto en los captulos precedentes. Conocido el campo en terrenos uniformes y multiestratificados, se plantea un mtodo que permite obtener la distribucin de las corrientes por un conjunto de electrodos, mediante la evaluacin de las impedancias propias y mutuas de circuito abierto de cada elemento. Estas impedancias se calculan por integracin del campo elctrico en la superficie donde se encuentran los conductores. Se discute el anlisis en el tiempo de las respuestas y la determinacin de campos, potenciales, impedancias y densidad de corriente. Finalmente se plantea un algoritmo de clculo de transitorios en redes de tierra que ser evaluado en los captulos siguientes.

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5.2 Anlisis transitorio en terrenos uniformes Para analizar el comportamiento de las redes de puesta a tierra en rgimen transitorio, es necesario utilizar las ecuaciones que definen el campo elctrico y magntico de un dipolo elemental de corriente, as como las condiciones de contorno para los campos en la frontera de separacin entre los medios. En general se demuestra a partir de 2.51, que:2 Ay 2 A 1 ( . A ) - A ] = j [ 1 ( Ax + z Ex = j [ + ) - Ax ] x x 2 2 2 xy xz x 2 Ax 2 A Az 1 ( . A ) - A ] = j [ 1 ( y Ey = j [ + + ) - Ay ] y y 2 yz 2 2 yx y 2 Ay 2 A 1 ( . A ) - A ] = j [ 1 ( Ax + z Ez = j [ + ) - Az ] z z 2 2 zx zy 2 z 2 2 2

5.1

5.2

y a partir de 2.8 y 2.37:

5.3

A Ay Hx = 1 ( x A )x = 1 ( z ) o o y z1 1 Ax Az Hy = ( x A )y = ( ) x o o z

5.4

5.6 Las condiciones de contorno que tienen que satisfacer el campo elctrico E y la intensidad de campo magntico H en la superficie del terreno -z=0-, de acuerdo con las ecuaciones de continuidad 2.9 y 2.12 para los campos tangenciales a la superficie del terreno, son:Eox (r, 0, ) = E1x

A 1 1 H z = ( x A)z = ( - x) z y o o

Ay

5.5

(r, 0, ) ; Eoy (r, 0, ) = E (r, 0, ) 1y

5.7

5.8 A partir de las expresiones anteriores, se puede determinar el potencial magntico vectorial para dipolos de corriente ubicados horizontal o verticalmente.

Hox (r, 0, ) = H

1x

(r, 0, ) ; Hoy (r, 0, ) = H (r, 0, )1y

-5-

5.2.1 Excitacin mediante un dipolo diferencial de corriente en la direccin horizontal de un terreno uniforme En la figura 5.3 se muestra un dipolo elemental de corriente I, orientado segn la direccin horizontal (eje x), a una profundidad s de la superficie de un terreno de conductividad 1, permeabilidad o y permitividad 1 constantes. En este caso, el potencial magntico vectorial A es dependiente del ngulo azimutal , pero la componente del vector A segn la direccin del eje y es nula [107].z Ao

o , o , o= 0 r, x o 1

A1

s I

, ,o 1 1

Fig. 5.3 Dipolo elemental orientado segn la direccin horizontal, en un terreno uniforme

Particularizando las expresiones 5.1 a 5. 6, en este caso: Ax Az Ex = j [ + - 2 Ax ] 2 2 xz x Ax Az + ] Ey = j [ 2 yx yz2 2 2 2

5.9

5.10

Ax Az 2 Ez = j [ + - Az ] 2 zx z2

2

5.11

1 Az Hx = o yAx Az 1 Hy = ( ) z x o 1 Ax Hz = - o y

5.12

5.13

5.14

-6-

De las ecuaciones 5.8 y 5.12 se obtiene la relacin:Azo (r,0,) = A (r,0,)z1

5.15

Las ecuaciones 5.8 y 5.13 implican que:A (r,0,) A (r,0,) Axo (r,0,) Azo (r,0,) x1 z1 = z x z x Mediante las ecuaciones 5.7 y 5.10 se obtiene:

5.16

A (r,0,) A (r,0,) 1 [ Axo (r,0,) + Azo (r,0,) ] = 1 [ x1 + z1 ] x z x z 2 2 o 1

5.17

Y de las ecuaciones 5.7, 5.9 y 5.17 se deduce:Axo (r,0,) = A (r,0,)x1

5.18

Para satisfacer las condiciones de contorno 5.16 y 5.17 es necesario escoger las siguientes funciones como solucin de las coordenadas del vector potencial magntico: Axo (r,z) = o I 4

0

fo (m) e

- oz

Jo (mr) dm z1

; z

0 5.19

Ax1 (r,z) =

o I m 4

0

[

e

- | z+s |1

+ g (m) e1

1

] Jo (mr) dm ; z 0 5.20

I Azo (r,z,) = o cos 4

0

po (m) e

- oz

J (mr) dm ; z1

0 5.21

I A (r,z,) = o cos z1 4 donde:

0

q (m) e1

z1

J (mr) dm ; z 01

5.22

o = y: 1 =

m2 + 2 o2 m2 + 1

;

2 = - 2 + j o o = - 2 o o o 2 1 = - 2 1 + j o 1

5.23

;

5.24

Para aplicar las condiciones de contorno 5.15 a 5.18, en las soluciones 5.19 a 5.22, para cada coordenada, y en cada uno de los medios del potencial magntico vectorial A, es conveniente recordar la conversin entre coordenadas cartesianas y cilndricas:

-7-

x = r cos cos = x r

5.25

y la derivacin parcial de la funcin de Bessel de grado cero de primera especie Jo(mr) con respecto a x :Jo (mr) x = - J (mr) . m . r = - J (mr) . m . cos 1 x 1

5.26 La expresin 5.16 se puede dividir en dos ecuaciones independientes debido a que los trminos en Ax/z no son asociables con los trminos en Az/x: Axo (r,0) z Az o (r,0) x = A (r,0)x1

z (r,0)

5.27

=

A

z1

x

5.28

De las condiciones de contorno 5.18 y 5.27 aplicadas a las soluciones 5.19 y 5.20 se obtienen las dos relaciones siguientes:- s fo (m) = m e 1 + g (m) 1 1

5.29- s1

5.30 Con las condiciones de contorno 5.15 y 5.17 aplicadas en las soluciones 5.19 a 5.22, se obtienen las siguientes ecuaciones: po (m) = q (m)1

- o fo (m) = - m e

+ g (m)1 1

5.31

1 [ - m f (m) - p (m) ] = 1 [ - ( m e- 1s+ g (m) ) m + q (m) ] o o o 1 1 1 2 2 1 o1

5.32- s 1 ]e 1 + o 1

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 5.29 a 5.32 se obtiene: fo (m) = 2 m [

5.33

- o - s g (m) = m [ 1 ]e 1 1 + o 1 1 5.34

-8-

po (m) = q (m) = 21

2 - 2 o 2 + o1 1 2 1

5.35 Sustituyendo el resultado de la ecuacin 5.34 en la solucin 5.20 del campo magntico vectorial para la coordenada x en el medio conductivo, e integrando analticamente mediante el auxilio de la expresin 2.65, se obtiene:

o

[

1 2 - s ] m e 1 + o1

A (r,z) =x1

o I 4

[

e

- R+1

R+

-e

- R1

R-

+2

o

m e o+ 1

- (s-z)1

Jo (mr) dm

]5.36

donde:R+ = R- = r2 + (z+s) r2 + (s-z)2 2

5.37

5.38 Si se sustituye la solucin obtenida en la ecuacin 5.35, en la ecuacin 5.22, se determina la componente del vector potencial magntico A en la direccin z del medio conductivo:

2 - 2 - (s-z) 1 o I o 1 ]m e 1 2 [ Jo (mr) dm A (r,z) =z1 4 x 2 o + 2 1 + o o 1 0 1

5.39 Mediante las expresiones 5.9, 5.10 y 5.11 se obtienen las contribuciones diferenciales del campo elctrico en cada una de las direcciones coordenadas:

Ex(r,z) = j 21

[ x [

A

x

x1

+

A

z

z1

] - 2 A1

x1

]5.40

Ey(r,z) = j

A A x1 z1 [ + ] 2 y x z 1

5.41

Ez(r,z) = j

2 1

[ z [

A

x

x1

+

A

z

z1

] - 2 A1

z1

]5.42

donde:

-9-

A

x

x1

+

A

z

z1

I = o 4 x

[

e

- R+1

R+

-e

- R1

R-

+ 2

- (s-z) m e 1 Jo (mr) dm] 1 2 + 2 o 1 o o 12

5.43 Las ecuaciones 5.40, 5.41 y 5.42 permiten evaluar las diferencias de potencial producidas por un dipolo diferencial de corriente en la direccin x sobre electrodos orientados segn los ejes x, y, y z respectivamente. Mediante estas expresiones es posible determinar los coeficientes de potencial entre los electrodos de una red compleja de puesta a tierra, inmersa en un terreno con permeabilidad, permitividad y conductividad uniforme. Se ha utilizado el smbolo E, en las expresiones anteriores, para enfatizar que se trata de la contribucin debida a un dipolo diferencial de intensidad I. Si el dipolo se encuentra orientado segn el eje y, los resultados obtenidos en esta seccin se extienden inmediatamente. Es necesario tan slo hacer una transformacin del sistema de coordenadas. En esta transformacin el eje z queda invariante, mientras que los ejes x e y son intercambiados. Es importante destacar, que la transformacin del sistema de coordenadas debe afectar tanto al dipolo excitador como al conductor sobre el cual se calcula el campo. Las integrales que aparecen en las ecuaciones 5.36, 5.39 y 5.43 pueden evaluarse utilizando la tcnica analizada en la seccin 3.2.3 para integrar ecuaciones semejantes a la 3.29 que involucran funciones de Bessel. Existen diversos mtodos para resolver estas integrales. Algunos autores que han estudiado el problema [53,69,81,82,83] plantean el uso de simplificaciones en casos lmite, coeficientes de reflexin, equivalentes circuitales, integraciones adaptativas o integracin en el plano complejo. En este trabajo, debido a que la conductividad del medio acelera la convergencia de las integrales a la solucin, se ha utilizado una integracin por el eje real, dividiendo el integrando entre races consecutivas de las funciones de Bessel. Sin embargo, en casos ms generales esta tcnica presenta problemas importantes de convergencia, y es necesario recurrir a herramientas ms poderosas [69].

5.2.2 Excitacin mediante un dipolo diferencial de corriente en la direccin vertical, en un terreno uniforme. - 10 -

En la figura 5.4 se muestra un dipolo elemental de corriente I, orientado segn la direccin vertical, a una profundidad s de la superficie de un terreno cuya conductividad 1, permeabilidad o y permitividad 1 son constantes.

z Ao

o , o , o= 0 r, x o 1

A1

s I

, ,o 1 1

Fig. 5.4 Dipolo elemental orientado segn la direccin vertical, en un terreno uniforme

Cuando el dipolo elemental de corriente I est orientado en la direccin perpendicular al plano de separacin aire-tierra, el potencial magntico vectorial A es independiente del ngulo azimutal, y debido a la simetra cilndrica del problema, las componentes del vector A segn las direcciones x e y son nulas [107], por lo que las componentes de los campos elctrico E y magntico H, tangentes a la superficie del terreno se pueden simplificar a partir de las ecuaciones 5.1a 5.6 quedando expresadas de la forma siguiente: Az Ex (r, z) = j 2 xz 5.44 Az Ey (r, z) = j 2 yz 5.45 Az Ez (r, z) = j [ - 2 Az ] 2 2 zAz Hx (r, z) = 1 o y 5.472 22

5.46

- 11 -

1 Az Hy (r, z) = - o x Hz (r, z) = 0

5.48

5.49 Utilizando las condiciones de contorno 5.7 y 5.8 en las ecuaciones 5.44 a 5.49 se obtienen las siguientes relaciones:2 A (r,0) 1 Azo (r,0) 1 z1 = xz xz 2 2 o 12 A (r,0) 1 Azo (r,0) = 1 z1 2 yz yz 2 o 1 2

2

5.50

5.51

A (r,0) Azo (r,0) z1 = y y Azo (r,0) = x A (r,0) xz1

5.52

5.53 Las ecuaciones 5.50 y 5.51 son linealmente dependientes debido a la simetra existente entre los ejes x e y. De igual forma las ecuaciones 5.52 y 5.53 tambin son linealmente dependientes. La coordenada z del vector potencial magntico A es independiente del ngulo azimutal, y por esta razn la ecuacin 2.63 permite encontrar la solucin homognea. En el medio conductivo es necesario superponer la respuesta particular a la excitacin, mediante la relacin 2.65. De esta forma, la solucin para la coordenada z del potencial magntico vectorial A se puede calcular para los dos medios mediante las expresiones: I Azo (r, z) = 4

fo(m) e 0

- oz

Jo (mr) dm

;

z>0 5.54

I A (r, z) = z1 4

5.55 Sustituyendo las ecuaciones 5.54 y 5.55 en las condiciones de contorno 5.50 y 5.52, se obtiene:

0

|z+s| [ m e- 1 + g (m) e1z ] Jo (mr) dm ; z 0 1 1

- 12 -

fo (m) =

2 2 o 2 + 2 o o1 1

me

- s1

5.56

g (m) =1

2 - 2 o o

1 1 m e- 1s 2 2 o + o 1 1 1

5.57

Reemplazando las funciones 5.56 y 5.57 en las ecuaciones 5.54 y 5.55, e integrando analticamente los trminos que son semejantes a la integral de la ecuacin 2.65, se obtienen las siguientes componentes del potencial magntico vectorial A:- ( oz+ s) I m 1 Azo (r,z) = 22 o Jo (mr)dm ; z e o 4 2 2 o + o o 1 1

0 5.58

A

z1

=

o I 4

[

e

- R+1

5.59 La ecuacin 5.59 permite calcular la componente en el eje z del potencial magntico vectorial en el medio conductivo de la Fig. 5.4 mediante la superposicin en un medio homogneo del efecto de un dipolo elemental de corriente, su imagen especular con respecto a la superficie y un trmino adicional de correccin que puede ser integrado numricamente. Mediante las ecuaciones 5.44 y 5.45 se pueden determinar las componentes del campo elctrico E en las direcciones x e y a partir de la coordenada z del campo magntico vectorial obtenida a partir de la ecuacin 5.59. Estas expresiones son de gran utilidad para calcular posteriormente el acoplamiento entre conductores horizontales. Para el clculo de los acoplamientos propios y mutuos entre electrodos verticales se utiliza la componente segn la direccin z del campo elctrico E, dada por la expresin 5.46.

R+

-e

- R1

R-

+ 22 o

m e 2 + 2 o o 1 1 o

- (s-z)1

Jo (mr)dm

]

; z0

5.3 Anlisis transitorio en terrenos multiestratificados

- 13 -

5.3.1 Excitacin mediante un dipolo diferencial de corriente segn la direccin horizontal en la primera capa de un terreno multiestratificado. En la figura 5.5 se muestra el esquema de un terreno multiestratificado en p capas horizontales, excitado en la primera capa mediante un dipolo elemental de corriente I en la direccin paralela a la estratificacin del terreno. La capa j posee permeabilidad magntica del vaco o, conductividad j y permitividad dielctrica j. Cada una de las capas posee una frontera, de tal manera que la longitud hj corresponde a la profundidad medida perpendicularmente desde la superficie del terreno, a un punto situado en la unin entre la capa j y la capa j+1. En el aire o capa cero se asume siempre que la conductividad del medio es nula o=0 y la permitividad es la del vaco o.A

z=0

r I

s1

A1 A2 A3 Aj Ap

2

-h 1 -h 2 -h 3 -h j -hp-1

3 j

p

-z

Fig. 5.5 Dipolo elemental orientado segn la direccin horizontal, en un terreno multiestratificado

Las soluciones del potencial magntico vectorial para la coordenada x en cada una de las p capas son de la forma general:

- 14 -

A (r, z) =xk

o I 4

o

[ f (m) ek

- zk

+ g (m) ek

zk

] Jo (mr) dm

;

k1 y, -h