12.3.2 等边三角形①

开县中学：初二数学组

学习 目标

1. 探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程 。 2. 运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，发展抽象思维能力 。

预习 探路

A

B C

1 、在△ ABC 中，

若 AB=AC ，则 ；

若∠ B= C∠ ，则 。

2 、在△ ABC 中，若 AB=AC ，AD 是 BC 边上的高，则有∠ ____= _____;____=____∠

∠B= C∠

AB=AC

BAD CAD BD CD

D

创设情境

等腰三角形 等边三角形

一般三角形

一般三角形

等腰三角形 等边三角形

底≠腰

底＝腰

有二条边相等

｛特殊的等腰三角形特殊的等腰三角形

对于等边三角形，你们已经了解了哪些方面的知识？

B C

A

三条边 都相等

定义：三条边 都相等的三角形叫做等边三角形。(( 正三角形正三角形 ))

特殊的等腰三角形特殊的等腰三角形

三个角 都相等等边三角形

等边三角形的三个内角都相等并且每一个内角都等于 60

。A

B

C

已知： AB=AC=BC

求证：∠ A= B= C= 60∠ ∠ 。

∵AB=AC B= C∴ ∠ ∠∵AC=BC

∴ ∠A= B∠ ∴ ∠A= B= C∠ ∠

∵∠A+ B+ C=180 ∠ ∠ 。

∴∠A= B= C= 60∠ ∠ 。

证明：

数学格式：∵AB=AC=BC

∴∠A= B= C= 60∠ ∠ 。

性质 1 、

为什么等边三角形的内角都为什么等边三角形的内角都相等呢相等呢 ??探究一探究一

因此 , 它具有等腰三角形的性质吗等腰三角形的性质吗 ??

22 、等边三角形有“三线合一”的性质吗、等边三角形有“三线合一”的性质吗 ?? 为什为什么么 ??

结论结论 :: 等边三角形等边三角形每条边上的中线每条边上的中线 ,, 高和所对高和所对角的平分线角的平分线都三线合一。都三线合一。

A

B C

探究性质二探究性质二

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33 、等边三角形是轴对称图形吗、等边三角形是轴对称图形吗 ?? 有几条对称轴有几条对称轴 ?

探究性质三探究性质三

A

B C

小结归纳11

等边三角形的性质

2. 等边三角形的内角都相等 , 且等于 60 °

3. 等边三角形各边上中线 , 高和所对角的平分线都三线合一 .4. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 .

1 . 三条边相等

一个三角形满足什么条件就是等边三角形 ?

思考

A

B C

三个角都相等的三角形是等边三角形。

已知： ∠ A= B= C∠ ∠

求证： AB=AC=BC

∵∠A= B∠

∴ AC=BC

∵∠ B= C∠

∴ AB=AC

∴AB=AC=BC

证明：

推理过程：∵ ∠A= B= C∠ ∠

∴ AB=AC=BC

判定 1 ：

有一个角是 60。的等腰三角形是等边三角形

A

B C

已知： AB=AC A= 60∠ 。

求证： AB=AC=BC

已知： AB=AC B= 60∠ 。

求证： AB=AC=BC

证明： ∵AB=AC A= 60 ∠ 。 ∴∠B ＝∠ C ＝ (180

。

－∠ A)= 60。

∴∠A= B= C∠ ∠∴AB=AC=BC

数学格式 :

∵AB=AC A= 60∠ 。

∴ AB=AC=BC

12

证明： ∵AB=AC B= 60∠ 。

∴∠B= C= 60∠ 。

∴∠A=180。－∠ B

－ ∠ C= 60。

∴∠A= B= C∠ ∠ ∴ AB=AC=BC

判定 2 ：

一般三角形 等边三角形

⒈ 三个角都相等的三角形是等边三角形 .

⒉ 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边 三角形 .

等边三角形等腰三角形

随堂练习

如图，等边三角形ＡＢＣ中， ＡＤ是ＢＣ上的高， ∠ ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ＝６０ ° ， 图中有哪些与 BD 相等的线段？

A

B CD

E F

随堂练习

如图，△ ABD 、△ AEC 都是等边三角形，

求证： BE=DC

DA

B

E

C

∴ 　 PQ=RP

同理 PQ=QR

∴PQ=RP=QR

∴△PQR 是等边三角形

证明：

已知：等边△ ABC 中，点 P 、 Q 、 R 分别在 AB 、 BC 、 CA 上且 AP=BQ=CR

求证：△ PQR 是等边三角形。

A

B C

P

Q

R∵△ABC 是等边三角形

∴ AB=AC=BC ∠A= B= C∠ ∠∵AP=BQ=CR∴PB=RA=QC在△ PBQ 和△ RAP 中 PB=RA ∠A= B ∠ BQ=AP

∴△PBQ RAP≌△

随堂练习

(2010 ．綦江 ) 如图，在□ ABCD 中，分别以 AB 、AD 为边向外作等边△ ABE 、△ ADF ，延长 CB 交AE 于点 G ，点 G 在点 A ， E 之间，连结 CE 、 CF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF EBC CDF= EAF ≌△ ②∠ ∠③△ECF 是等边△ ④ CG AE⊥A ．只有①② B ．只有①②③ C ．只有③④ D ．①②③④

B

中考链接11

当堂测试

1. 点M（－ 2 ， 1 ）关于 x轴对称点 N的坐标是 _____________ ． 2. 在△ ABC中， AB=AC=10cm，∠ A=60° ，则 BC=________ ． 3. 等腰三角形的周长为 30cm，一边长是 12cm，则另两边的长分别是 _________________ ． 4. 如图，在△ ABC中， AB=AC=14cm，边 AB的中垂线交 AC于 D，且△ BCD的周长为 24cm，则 BC=__________ ．

E

D

CB

A

第 4 题图

(-2,-1)

10cm

12cm,6cm 或 9cm,9c

m

10cm

小结归纳22

通过本节课的学习，你有哪些收获？ 定义 性质 判定

等 腰三 角 形

等 边三 角 形

有二条边相等

1 、两个底角相等2 、三线合一3 、对称轴一条

1 、三个角都相等2 、三线合一3 、对称轴三条

有三条边相等

1 、定义2 、等角对等边

1 、定义2 、三个角都相等3 、等腰三角形有一个角是 600

独立作业

教材 P57 11,13 题

拓展探究