Многострукост

Многострукост На сфери, зಯир уīлова ಫроуīла није јеವнак 180°. Сфера није еуклиವски ӣросಫор, али локално су закони еуклиವске īеоме- ಫрије ವоಯра аӣроксимација. Коವ малоī ಫроуīла на ӣоврши- ни Земље, зಯир уīлова ಫроуīла је врло ಯлизу 180°. Сфера се може ӣреವсಫавиಫи као скуӣ ವвоವимензионих маӣа, ӣа је сಫоīа сфера мноīосಫрукосಫ. Многострукост је апстрактан математички простор у коме свака тачка има околину која подсећа на еуклидски простор, али чија гло⛏ална структура мо- же ⛏ити компликованија. Када се проучавају мно- гострукости, појам димензије је важан. На пример, праве су једнодимензионе, а равни су дводимензио- не. У једнодимензионој многострукости (један- многострукост), свака тачка има околину која изгледа као сегмент праве. Примери један- многострукости су права, круг, и два одвојена круга. Код два-многострукости, свака тачка има околину која подсећа на диск. Као примери се могу узети раван, површина сфере, и површина торуса. Многострукости су важни о⛏јекти у математици и физици, јер омогућавају да се компликованије струк- туре изразе и схвате у оквирима релативно до⛏ро ра- зумљивих својстава једноставнијих простора. Често се на многострукостима дефинишу додатне структуре. Примери многострукости са додатним структурама су диференција⛏илне многострукости, на којима можемо да вршимо математичку анали- зу, Риманове многострукости, на којима могу да се дефинишу раздаљине и углови, симплектичке многострукости које служе као фазни простор у класичној механици, и четвородимензионе псеудо- Риманове многострукости, које моделују простор- време у општој релативности. Да ⛏и се у потпуности разумела математика која ле- жи у основи многострукости, неопходно је позна- вати елементарне концепте који се тичу скупова и функција, а од користи је имати и радно знање из анализе и топологије. 1 Примери 1.1 Кружница Слика 1: Чеಫири карಫе оವ којих свака ӣресликава ವео кру- жнице у оಫворени инಫервал, зајеವно ӣокривају целу кру- жницу. Узима се ವа је ӣочеಫак у среವишಫу кружнице. Кружница је најједноставнији пример тополошке многострукости после праве. Топологија игнорише савијања, тако да мали одељак је кружнице једнак малом делу линије. Посматрајмо на пример, гор- њу половину јединичне кружнице (кружнице са по- лупречником 1), -{x 2 + y 2 = 1}-, где су -{y}- коорди- нате позитивне (означено жутом на слици 1). Свака тачка ове полукружнице се на јединствен начин мо- же описати својом -{x}- координатом. Тако се про- јектовањем на прву координату до⛏ија непрекидно пресликавање из полукруга и отвореног интервала (−1, 1): χ gore (x, y)= x 1

Многострукост

Documents