AB

C

DE

剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片 .

（ 1 ）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？（ 2 ）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？

连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线

三角形有三条中位线

因为 D 、 E 分别为 AB 、 AC 的中点

所以 DE 为 △ ABC 的中位线

三角形的中位线和三角形的中线不同注意

同理 DF 、 EF 也为△ ABC 的中位线

ED

F

A

CB

　　三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 .　　三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 .

已知：如图， D 、 E 分别是△ABC 的边 AB 、 AC 的中点 .

求证： DE BC∥ ， BCDE2

1

方法二 方法三方法一C

ED

B

A

方法四

　　三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 .　　三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 .

几何语言：

∵DE 是△ ABC 的中位线（或 AD=BD,AE=CE)∴DE∥BC, 且 DE=1/2BC( 三角形的中位线平行于第三边 , 并且等于它的一半 )

C

ED

B

A

方法点拨：在处理问题时 , 要求同时出现三角形及中位线

① 有中点连线而无三角形 , 要作辅助线产生三角形

② 有三角形而无中位线 , 要连结两边中点得中位线

定 理 应 用：⑴ 定理为证明平行关系提供了新的工具

⑵ 定理为证明一条线段是另一条线段的 2 倍或 1/2提供了一个新的途径

若 DE 分别是 AB,AC 的中点，则测出DE 的长，就可以求出池塘的宽 BC. 你知道为什么吗？

画出△ ABC 中所有的中位位线

B

D

A

E

CF

三条中位线围成一个新的三角形，它与原来的三角形有无关系 ? 哪方面有关系 ?

(1) DEF△ 的周长与 △ ABC 的周长有什么关系 ?

(2) DEF△ 的面积与 △ ABC 的面积有什么关系 ?

例 已知：如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点 .

求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .

A

B C

D

E

F

G

H

从例题中你能得到什么结论？从例题中你能得到什么结论？

顺次连接顺次连接四边形各边中点四边形各边中点的的线段组成一个线段组成一个 平行四边形平行四边形

A

B C

D

E

F

G

H

如图，在四边形 ABCD 中， AB=CD ， M 、N 、 P 分别是 AD ， BC ， BD 的中点，求证：∠ PNM= PMN∠

A

B C

DM

N

P

1 、相应的作业本上的题

2、分层作业：教材课后习题

由因导果顺藤摸瓜

执果索因逆推破案

得心应手

C

ED F

B

A

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证明：如图，以点 E 为旋转中心，把⊿ ADE 绕点 E ，按顺时针方向旋转 180 ゜，得到⊿ CFE ，则 D ， E ， F 同在一直线上 DE=EF ，且⊿ ADE≌⊿CFE 。

∴∠ADE=∠F ， AD=CF ，

∴AB∥CF 。

又∵ BD=AD=CF ，

∴ 四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∴DF∥BC （根据什么？），

∴DE 1/2BC

C

ED F

B

A证法二：过点 C 作 AB 的平

行线交 DE 的延长线于 F∵CF AB∥ ，∴∠A= ECF∠又 AE=EC ，∠ AED= CEF∠ ∴△ADE CFE ≌△ ∴ AD=FC又 DB=AD ，∴DB FC∴ 四边形 BCFD 是平行四边

形∴DE// BC 且 DE=EF=1/2BC返回

A

B C

EDF

证法三：如图，延长 DE 至 F,

使 EF=DE ，连接 CD 、 AF 、 CF

∵AE=EC

∴DE=EF

∴ 四边形 ADCF 是平行四边形∴ AD FC

又 D 为 AB 中点，∴DB FC

∴ 四边形 BCFD 是平行四边形

∴DE// BC 且 DE=EF=1/2BC返回

A

C

ED

F

G

B

证法四：如图，过 E 作 AB 的平行线交 BC 于 F ，自 A 作 BC 的平行线交 F

E 于 G

∵AG BC EAG= ECF∥ ∴∠ ∠

又∵ AE=EC, AEG= CEF∠ ∠

∴△AEG CEF AG=FC≌△ ∴ ， GE=EF

又 AB GF∥ ， AG BF∥ ∴四边形 ABFG 是平行四边形

∴BF=AG=FC ， AB=GF

又 D 为 AB 中点， E 为 GF 中点，

∴DB EF

∴ 四边形 DBFE 是平行四边形

∴DE BF∥ ，即 DE BC∥ ， DE=BF=FC

即 DE=1/2BC

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