三角形的中位线 定理三烈中学 蔡网红　

A

B

。

。

如图， A 、 B 两棵树被池塘隔开，现在要测量出A 、 B 两树间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？

在△ ABC 中， 如果 D ， E 分别是 AB 、 AC 的中点， 那么我们就把 DE 叫做△ ABC 的中位线。 反之，如果， DE 是△ ABC 的中位线 那么 D ， E 分别是 AB 、 AC 的中点。

下列图形中，哪个图画出了三角形的中位线？

三角形的中位线 DE 与三角形的第三条边 BC有怎样的位置关系和数量关系？猜想

位置关系： DE BC∥数量关系：DE ＝ BC

12

已知：点 D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点求证：DE BC∥ 且DE ＝ BC12

中位线 DE DE BC∥ 且 DE ＝ BC

12

A

B

。

。C

。D。

E。

如图， A 、 B 两棵树被池塘隔开，现在要测量出A 、 B 两树间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？只要测量 DE 的长度，就知道 A ， B 两树间的距离

求证：四边形 DEFG 是平行四边形。例 1 ：如图，点 O 是 ΔABC 内任意一点， D 、E 、 F 、 G 分别是 OA 、 OB 、 BC 、 AC 的中点。

证明 延长 DE 到 F ，使 EF=DE ，连接 CF 。

∵CF//DB

∴ 四边形 BCFD 是平行四边形∴DF//BC, DF=BC 即 DE//BC , DE=—BC .

1 2

AE=CE

DE=EF∠AED= CEF∠

∴△ADE CFE (S.A.S)≌△

在△ ADE 和△ CFE 中

∴AD=CF ，∠ A= ACF∠∴AD//CF∵AD=DB∴CF=DB

证法三：延长 DE 到 F ，使 EF=DE ， 连结 AF 、 DC∵AE=EC DE=EF∴∴ 四边形 ADCF 是平行四边形∴AD FC∥ ， AD=FC∵D 为 AB 中点，∴DB FC∥ ， DB=FC∴ 四边形 BCFD 是平行四边形∴DF=BC ， DF//BC即 DE= BC ， DE//BC

12

证法二：过点 C 作 AB 的平行线交 DE 的延长线于 F∵CF AB∥∴∠A= ECF∠在△ ADE 和△ CFE 中∠AED= CEF∠ AE=EC∠A= ECF∠∴AD=FC ， DE=FE∵DB=AD ，∴DB=FC又∵ DB//FC∴ 四边形 BCFD 是平行四边形∴DF=BC ， DF//BC即 DE= BC ， DE//BC

B

∴△ADE CFE (S.A.S)≌△

12

A

B

。

。C

。D。

E。

如图， A 、 B 两棵树被池塘隔开，现在要测量出A 、 B 两树间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？有人提出，在地面上任取一点 C ，连接 CA ， CB ，并分别取 CA ， CB 的中点 D ， E ，只要测量 DE 的长度，就知道 A ， B 两树间的距离

例 2 ：如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点。（ 1 ）四边形 EFGH 是平行四边形吗？为什么？（ 2 ）当四边形 ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？

A

B

。

。C

。D。

E。

如果测得 DE= 20m ，那么 A 、 B 两点的距离是多少？

有人提出只要测量 DE 的长度，就知道 A ， B 两树间的距离 ，这种方法是否可行？为什么？

40m

20m

A 、 B 两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？

M

N

在 AB 外选一点 C ，连结 AC和 BC ，并分别找出 AC 和 BC的中点 M 、 N ，如果测得 MN = 20m ，那么 A 、 B 两点的距离是多少？为什么？

CC BB

AA

2020

4400

如图 1 ：在△ ABC 中， DE 是中位线 （ 1 ）若∠ ADE=60° ， 则∠ B= 度，为什么？ （ 2 ）若 BC=8cm ， 则 DE= cm ，为什么？

如图 2 ：在△ ABC 中， D 、 E 、 F分别 是各边中点 AB=6cm ， AC=8cm ， BC=10cm ， 则△ DEF 的周长 = cm

图1

图2

60

4

12

A

B C

D E

B

A C

D

E

F54

3

问题问题

12

12

例 1. 在四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点，四边形 EFGH 是平行四边形吗？为什么？ AA

CCBBEE

DDHH

FF

GG解：四边形 EFGH 是平行四边形

∵E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点（三角形的中位线平行于第三边 , 并且等于它的一半）同理 :GH∥AC GH= AC∴EF∥GH 且 EF=GH∴ 四边形 EFGH 是平行四边形

连结 AC

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴ EF∥AC EF= AC

活动二活动二

AA

CCBBEE

DDHH

FF

GG

如果如果 ACAC==BDBD ，猜想四，猜想四边形边形 EFGHEFGH 是什么图形？是什么图形？如果如果 AC⊥BDAC⊥BD 呢？呢？

AA

CC

BBEE

DDHH

FF GG

你能说明其中的道理吗？你能说明其中的道理吗？

④顺次连结对角线相等且互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是—————

②顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是————③顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是————

①顺次连结四边形四边中点所得的四边形是——————平行四边形 .

矩形 .菱形 .

正方形 .

① 顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是————————② 顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是——————③ 顺次连结矩形四边中点所得的四边形是——————④ 顺次连结菱形四边中点所得的四边形是——————⑤ 顺次连结正方形四边中点所得的四边形是—————

平行四边形

菱形

菱形

矩形

正方形

GH

FOE

D

CB

A

例 3 ：已知 ABCD 中， AC 、 BD 相交于点 O ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 OB 、CD 、 OD 的中点。求 证：∠ HEF ＝ ∠ FGH 。