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第第 11 章函数、极限与连续章函数、极限与连续• 本章介绍函数、极限与连续的主要知识，它不仅是微积分本章介绍函数、极限与连续的主要知识，它不仅是微积分

知识体系的基础和理论，而且是学习微积分知识和应用的知识体系的基础和理论，而且是学习微积分知识和应用的基本理念、工具和方法，同时为微积分学的扩展和其在相基本理念、工具和方法，同时为微积分学的扩展和其在相关领域的运用奠定坚实的理论基础关领域的运用奠定坚实的理论基础 ..

第 1 章函数、极限与连续

D f

D x f

y f D

)(xfy Dx x y

D DxxfZ |)(

定义 1.1 对给定的非空实数集和一个对应规则

，如果对中的每一个实数 ,按照规则

的实数与之对应，则称规则是

并记为， .其中 ,称为自变量，为因变量，

为函数的定义域，为函数的值域 .

都能指出一

个确定上的一个函数，

• 1.1.1 1.1.1 函数的概念与基本性质函数的概念与基本性质

1. 函数的定义

D F

f

D F

f

D F

f

函数关系示意图


D F

f

D F

f

D F

f

非函数关系示意图


O x

y

O x

y

O x

y

判断下列图形是否可认为是函数的曲线


O x

y

O x

y

O x

y

判断下列曲线是否为函数曲线


2xy

22 xy

判断下列关系式是否为函数关系式，为什么？

（ 1）

（ 2） x∈R

x∈R


函数定义包含两个要素，即定义域和对应规则 .

如果要区分两个函数是否相同，就看其定义域和对应规则是否都相同，否则视其为不相同 .

2ln xy tu ln

与为不同函数

2xy || tu

与为相同函数

(1)

(2)

例：下列函数是否相同，为什么？

xxgxxf2

)(,)()1(

xxgxf x lg2)(,lg)()2(2

解：（ 1 ）不相同，因为 f(x)=x, 而，两个函数的对应法则不同，所以 f(x)与 g(x) 不相同。

||)(2

xxg x

（ 2 ）不相同，因为，这两个函数的定义域不同，所以 f(x)与 g(x) 不相同

),0(),,0()0,( gf DD


函数 f (x) = lnx2 与 g(x) = 2lnx 是否相同 ?

),,0()0,(D)( fxf 的定义域为

),0(D)( gxg 的定义域为

.)()( 不相同与 xgxf

练习

解 :


函数值的计算函数值的计算

• 例例设，求与设，求与 ..22)2( 2 xxxf )(xf

因为，

))2(( ff

2xu 1062)2(2)2()( 22 uuuuuf

106)( 2 xxxf

2)2( f 2)2())2(( fff

解解 : : 令令则即：

所以：


例已知函数 , 求 . 2

11

11

xxf

xf

21

121

121

11

11

122

2

xxxxxxf解

222 xxxf

记号 f(x) 的意义表示变量 x 的函数值，而函数值的计算则依赖于规则 f 的具体模式

• 例例某电信公司在其服务区内对每户每座电话机的使用收某电信公司在其服务区内对每户每座电话机的使用收费标准规定为：每月所打电话的次数不超过费标准规定为：每月所打电话的次数不超过 5050 次的，只次的，只收月租费收月租费 2525 元；超过元；超过 5050 次的则每次加收次的则每次加收 0.20.2元元 .. 那么每那么每户每月电话费用户每月电话费用 yy 和用户当月实际所打电话次数和用户当月实际所打电话次数 xx 的变化的变化规律可表示为：规律可表示为：

.50)50(2.025

5025)(

xx

xxfy

，，，

这种函数表示，即所谓的分段函数 .


f(60)=? f(30)=?思考：


)(xfy )(xfy

例设有分段函数

201

011)(

xx

xxxf

求函数 f(x)的定义域及 f( － 0.5)和 f(1)的值 .

解 : 函数 f(x) 的定义域即是自变量 x 各个不同取值范围的并集 .因此 , 此函数的定义域为区间 [－ 1,2].

f(－ 0.5)=－ 0.5+1=0.5

f(1)=1－ 1=0

练习已知函数 , 求 . 1)2( xxf )1

(x

f

解： 321)2( xxxf

31

)1

( xx

f

3)( xxf

2.2. 函数的几种基本性质函数的几种基本性质• 1)1) 函数的有界性函数的有界性


)(xfy )(xfy

定义 1.2 设 y= f(x)函数， . 如果存在一个正实数 M ，对任意的 x∈D，总有 | f(x) | ≤M成立，则称函数 f在 D 上有界 . 否则，称函数 f 在 D 上无界 .

一个函数在其定义区间上有界是指其所有的函数值都能夹在两个常数之间 . 函数的有界性是一个整体性的概念，它强调的是函数在其整个定义区间上所具有的一种性质 .

例 y=sin2x, y=cosx在（ -∞,+∞)上均为有界函数 ,

y=x, y=x2 在 (-∞,+∞)上无界 .

判断下列函数是否为有界函数图像？


• 2)2) 函数的单调性函数的单调性


)(xfy )(xfy

定义 1.3 设函数 y=f(x)， x∈(a,b). 如果对任意两个实数x1， x2 ∈(a,b).且 x1<x2 ，有 f(x1) < f(x2) （或f(x1) > f(x2) ）成立，则称函数在 (a,b) 内单调递增（或单调递减） .

函数的单调性与其定义区间的范围密切相关，它具有相对性和局部性，并非函数在整个定义域上所具有的一种性质 .

)(xfy

)( 1xf

)( 2xf

x

y

o1x 2x

)(xfy )( 1xf

)( 2xf

o1x 2x x

y

单调递增函数图像单调递减函数图像


例证明函数 y = x3 在其定义域内单调增加 .

y = x3 的定义域为 (, ),

0))(( 2121

2212

31

3212 xxxxxxxxyy

证 :

x1, x2 (, ), 不妨设 x2 >x1, 则

所以函数 y = x3 在其定义域内单调增加 .


• 3)3) 函数的奇偶性函数的奇偶性


)(xfy

定义 1.4 设函数 y=f(x)， x∈D. 对任意的 x∈ D（且 - x∈ D ），若 f(-x) = f(x) （或 f(-x) =- f(x) ）成立，则称函数 f 为偶函数（或称奇函数） .

函数的奇偶性是函数在整个定义区间内具有的一种性质 . 在几何上，它表现出对称性 . 即奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于轴对称 .

既不是偶函也不是奇函数的函数称为非奇非偶函数。

y

x

)( xf

)(xfy

o x-x

)(xf

偶函数)( xf

y

x

)(xf

o x-x

)(xfy

奇函数


偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

指出下列函数在其定义域内哪些是奇函

数 , 哪些是偶函数 :

1) y = sinx 2) y = cosx 3) y = x

4) y = x + x4 5) y = | x | 6) y = 5

7) y = sgnx )1ln( )8 2xx

例


0

0

0

,1

,0

,1

sgn

x

x

x

xy

该函数称为符号函数 .

1x

y

0

1

y = sgn x


1)、 3)、 7)、 8) 为奇函数 ,

解 :

4) 既不是奇函数又不是偶函数 .

2)、 5)、 6) 为偶函数 ,


例判断函数的奇偶性 .)1ln()( 2xxxfy

解： ))(1ln()( 2xxxf

)()1ln( 2 xfxx

∴ f(x)是奇函数 .


• 4)4) 函数的周期性函数的周期性


)(xfy )(xfy

定义 1.5 设函数 y=f(x) ， x∈D. 如果存在常数 T≠0 ，对任意 x∈D ，都有 f(x+T)=f(x) 成立，则称函数 f为 D上的周期函数，称常数 T 为函数的一个周期 .

（通常说周期函数的周期是指其最小正周期） .

【注】周期函数不一定存在最小正周期 .

【例如】常量函数

Cxf )(

o2

y

2 周期为

3.3. 反函数概念与性质反函数概念与性质• 定义定义 1.6 1.6 设函数，，设函数，， .. 如果对任如果对任

意，且，都有成立意，且，都有成立 .. 于于是，对任意的，一定存在对应规则，按照是，对任意的，一定存在对应规则，按照这个规则都能指出一个确定的实数与之对应这个规则都能指出一个确定的实数与之对应 .. 则规则则规则是上的一个函数，称为函数的反函数是上的一个函数，称为函数的反函数 ,, 记作记作 .. 习惯上，把函数的反函数改写为，习惯上，把函数的反函数改写为，，， ..


)(xfy )(xfy

21 xx fZy

)(xfy fDx fZy

fDxx 21， )()( 21 xfxf

1f x1f fZ

f)(1 yfx )(1 xfy ff

ZDx 1ff

DZy 1

f

• 关于反函数，有以下结论：关于反函数，有以下结论：


)(xfy )(xfy

(1) 在一个区间上单调的函数一定有反函数，其反函数的单调性与已知函数一致 .

(2) 原函数与其反函数的图形关于直线 y=x 对称 .


)(xfy )(xfy

)(xfy fDx fZy ff DyZxxfy ,)(1 ，(3) 若， , 则

从定义可知，求反函数的过程可以分为两步：

)(xfy )(1 yfx x y 1( )y f x第一步从中解出；第二步交换字母和，得 .

例求 y=2sin3x 的反函数 .

解由函数 y=2sin3x, 得

23sin

yx

2arcsin3

yx

2arcsin

3

1 yx

∴ y=2sin3x 的反函数为 . 2arcsin

3

1 xy

1

x

x

ey

e

例　求函数　　　　　　的反函数。

解：由　　　　　　可解得　　　　　　　，交

换 x、 y 的位置，得所求函数的反函数

为　　　　　　　　，其定义域为（ 0 ， 1 ）。

1

x

x

ey

e

ln

1

yx

y

ln1

xy

x

)(xfy 直接函数

x

y

o

),( abQ

),( baP

)(xy 反函数

直接函数与反函数的图形关于直线对称 .xy


4.4. 邻域邻域


)(xfy )(xfy

0 )( 00 xx ， || 0xx

0x

0x

0x

)()( 0000 xxxx ，，

||0 0xx 0x

设，开区间或称为点的邻域，它表示这一范围的实数的集合；点的邻域去掉后的区间或称为点去心邻域，它表示这一范围的实数的集合 .

)( 00 xx ， 0x )( 00 xx，0x

类似的，称为点的左邻域，而称为点的右邻域 .

邻域常用于局部性细微变化问题的讨论 .

xaa a

U(x0, ) = { x | |x x0|< , x R, > 0}

= (x0 , x0+)

点 x0 的邻域


xaa a

点 x0 的去心邻域

Û (x0, ) = { x | 0 < |x x0|< , x R, > 0}

= (x0 , x0) (∪ x0, x0+)


1.1.2 1.1.2 初等函数初等函数• 1.1. 基本初等函数基本初等函数


)(xfy )(xfy

基本初等函数是研究和认知复杂函数的基础，它由下列六大类函数组成 .

1) 常数函数 y=C( 常数）

图形为一条水平直线 , 如图 1-1 所示 .

• 2)2) 幂函数（为常数）幂函数（为常数）


)(xfy )(xfy

xy

对给定指数所规定的幂函数，其定义域可根据这个指数对底数的约束条件加以判定 .幂函数的单调性，则由其指数或所确定 .

0 0

在第一象限内 , 当时 , 单调递增 ; 当时 , 单调递减 .0 0


)(xfy

)10( aaay x 且 Rx 0y1a 10 a

3) 指数函数 ,其中， .指数函数的单调性，则由其底数或所确定 ,

)10(log aaxy a 且 Ryx ,01a 10 a

4) 对数函数 ,其 .对数函数的单调性，则由其底数或所确定

2

5) 三角函数三角函数包括以下六个函数 . 这里，主要给出它们的定义和有关性质 .正弦函数，其中 .有界，奇函数，周期为（最小正周期，以下雷同），

单调增区间为 ,

单调减区间为 ,

xy sin 1, yRx

)2

22

2( kk ，

)2

32,

22( kk Zk

Zk

余弦函数，其中 .有界，偶函数，周期为，

单调增区间为 ,

单调减区间为 ,

xy cos 1, yRx2

)22( kk ，

)2,2( kk

Zk

Zk

正切函数，其中， .

无界，奇函数，周期为，

在区间内 ( ) 单调增加 .

xy tan2

kx Ry

)22

( kk ， Zk

余切函数，其中 .

无界，奇函数，周期为，

在区间内为 ( ) 单调减少

xy cot Rykx ,

)( kk ， Zk

正割函数，余割函数 .xy sec xy csc

6) 反三角函数反三角函数包括以下四个函数 . 这里，主要给出它们的定义和有关性质 .反正弦函数，其中 .有界，奇函数，单调递增 .

xy arcsin22

,11

yx

反余弦函数 ,其中 .有界，非奇偶函数，单调递减 .

xy arccos yx 0,11

反正切函数，其中 .有界，奇函数，单调递增 , 如图 1-11 所示 .

xy arctan22

,

yRx

反余切函数，其中 .有界，非奇偶函数，单调递减 , 如图 1-12 所示 .

xarcy cot yRx 0,

2. 复合函数设 y = f(u),u = φ(x),通过 u 的联系 , 如果 y是 x 的函数 ,y = f[φ(x)], 则这个函数叫做由 y = f(u)和 u = φ(x)复合而成的函数 ,简称复合函数 , 其中 u叫做中间变量 .

例：指出下列函数是由哪些基本初等函数或简单函数复合而成的？

13 xy(1) xey2sin(2)

)12(cos3 xy(3) )11ln( 2 xy(4)

y 1, 3 xuuy解 (1) 由复合而成 .

y xvvuey u sin,, 2 (2) 由复合而成 .12,cos,3 xvvuuyy(3) 由复合而成 .

1,,1,ln 2 xttvvuuyy(4) 由复合而成 .

指出下列函数是由哪些基本初等函数或简单函数复合而成的？

2sin.1 xy

1. 解 uy sin是由2sin xy 2xu 和 .复合而成的

xy 2sin.2

2. 解2uy 是由xy 2sin xu sin和 .复合而成的

？xy：的是由哪些函数复合而成思考

2cot

,y u cot ,u v解：由复合而成 .

1. 复合函数分解为常数与基本初等函数的简单四则运算式（称为简单函数）时，不用再分解了 ,

复合函数分解到何时才结束呢 ?

应该注意 :

2. 简单函数与复合函数之间并没有明确的划分界限 .

xy ln例如，是复合函数 .ln2

1 是简单函数但 xy

;22 xxw 如

练习题

2 、复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成 .

1 、不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 ;

3 、函数 u = φ(x) 的值域与 y = f(u) 定义域交集为非空集。

例

解

uy MD 且

),,2[]1,1[ uy MD

判断下列两个函数能否复合成一个复合函数

22,arcsin.1 xuuy

例

解

]1,0(uy MD 且],1,(),0( uMDy

判断下列两个函数能否复合成一个复合函数

21,ln.2 xuuy

小结：基本初等函数

将以下六种最简单函数称为基本初等函数 :

1. 常值函数 y = C (C 为常数 ).

2. 幂函数 y = x ( R 为常数 ).

3. 指数函数 y = ax (a > 0, a 1).

4. 对数函数 y =logax (a > 0, a 1).

5. 三角函数 y = sinx, y = cosx, y = tanx,

y = cotx, y = secx, y = cscx.

6. 反三角函数 y = arcsinx, y = arccosx,

y = arctanx, y = arccotx,

y = arcsecx, y = arccscx.

3.初等函数

基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的函数复合所产生的函数都统称为初等函数 .初等函数是非常广泛的一大类函数，也是微积分学的研究对象 .

例如 ,

, ,3 ,

,1

1 ,15

2

223

xyeey

xxx

yxxy

xx

都是初等函数 .

• 这里我们要注意：求定义域

定义域分为两种情况：

1 、实际问题中得到的函数，定义域由实际意义决定。

2、研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集 .

具体分为以下几种：1 、多项式函数，定义域为全体实数；2 、分式函数中，分母不能为零；3 、偶次根式中，被开方式大于等于零；4 、对数函数中，真数大于零；5 、反三角函数、中，

xy arcsin xy arccos 1,1x

解因为，所以，于是 .

1|12|

03

x

x

01

3

x

x]01[ ，D

)12arcsin(3 xxy D例求函数的定义域 .

1

12

x

y 13lg13 xxy

练习：求下列函数的定义域 .

（ 1 ）（ 2 ）

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