实验中的数学

物理系 王引书yswang@bnu.edu.cn

58806921

内容• 纳米结构电子能态的调制

• 纳米结构超晶格的自组装模式

对于低维材料，通常按晶体的各个方向尺寸与电子德布罗意波长的比较，将低维晶体通常分为：

• 量子阱 纳米片 / 带• 量子线 纳米线 / 纳米棒• 量子点 纳米颗粒

低维结构

各向异性的生长控制纳米结构的形态

复合结构

低维结构的量子效应

E

CdSe 纳米颗粒 ΔΕ (ΔΕ=E-Eg) 随纳米颗粒尺寸的变化法关系

• CdSe 尺寸增大

核 / 壳 (Core/shell) 结构

多壳层结构的能带

电子学器件遇到尺寸限制的难题，器件单元不能太小

人们将焦点放在纳米结构规则排成阵列，制备集成器件

我们工作实验室工作• 核 / 壳结构的生长和性能的调制• 多壳层核 / 壳颗粒的生长及性能调制

ZnMgO

ZnO

ZnMgO/ZnO/ZnMgO 结构的合成及其电子复合模式

ZnMgO

ZnO

r1

r2

r3

r

ZnMgO/ZnO/ZnMgO 三层结构没有观察到受限电子的荧光，需要理论计算来解释

纳米薄膜：没有排成纳米颗粒规则分布的薄膜需要理论计算说明原因和找到实验理想的条件

纳米颗粒激子能态的调制

m* 电子有效质量 )()()(*

1

2

2

rErrVm

),()(),,( lmnl YrRr

为径向波函数)(rRnl

为球谐函数),( lmY

n 为量子数， l ， m 为角量子数 , 只关注基态 n=1,l=m=0

Rnl 为径向波函数

当电子的本正能量 E>Vq 时，径向波函数：

当电子的本正能量 E< V0 时，径向波函数：

为贝塞尔函数为诺依曼函数nl

jl

为汉克尔函数

为汉克尔函数

l

l

h

h

q 层标号

满足的边界条件：

0, qRnlr

由边界条件可以得到关于 Anl,1 、 Anl,2 Anl,2 …和 Bnl,1 、 Bnl,2 、 Bnl,2… 等的 2N-2 个线性方程组 , 等式系数行列式 的值等于 0 ，得到 E 的Rnlq复杂的 Vq, 采用数值求解

)()()(*

1

2

2

rErrVm

),()(),,( lmnl YrRr

以上计算对于电子和空穴是相互独立的，分别得电

子和空穴的受限能级 Ee,1s ,Eh,1s 。库伦相互作用势

下标 e和 h分别代表电子和空穴， ε 是高频介电常数。

对于空穴：

对于我们的体系， 电子：

r R

Rr R

Rr R 0

Rr 0

)(

3

32

21

1

Vo

Vo

rV

r R

Rr R

Rr R 0

Rr 0

)(

3

32

21

1

Vh

Vh

rV

Vh=ΔEv

Vo=ΔEC

Eg(ZnO)=3.37 eV

Eg(Zn1-xMgxO)=3.37+2x eV

2

3C

VE

E

ohoe mmmm 78.0,24.0

0.4)(,1.8)(0 ZnOZnO

3.3)(,9.9)(0 MgOMgO

47.0)1(43.3)1(

,1.88.1)1(1.89.9)1(0

xxxxMgxOZn

xxxxMgxOZn

Zn1-xMgx O/ZnO/Zn1-xMgxO 系统

用分子动力学模拟纳米粒子自组装过程

1 、分析纳米粒子运动方程：

假设每个纳米粒子为标准的球形，则每个粒子( 第 i 个粒子 ) 的平移运动方程用郎之万方程表示：

（ 1a ）

（ 1b ）

第 i 个粒子的旋转遵循角动量守恒：

（ 2 ）

各个分力的具体表达：

第一、根据离散单元法：两个粒子的接触力和力矩为

（ 3）

（ 4）

第二、毛细作用力，分为横向毛细作用力和垂直毛细作用力

（ 5）

（ 6）

横向毛细作用力大小：

垂直毛细作用力大小： （ 7）

第三、在 DLVO 理论中，第 i 个粒子与第 j 个粒子的静电作用力与范德瓦尔斯力联系在一起

（ 8）

由 Derjaguin’s 近似得 :

静电排斥力为：

（ 9）

范德瓦尔斯力为： （ 10 ）

2 求解：

每个粒子下一步的运动速度和旋转角度通过下列各式可以获得：

（ 11 ）（ 12 ）

三维的计算区域被分成大量的立方单元

表达式中各个量的物理含义：

结果如下：

(a) coverage ratio = 1.0 (b) coverage ratio = 2.0

(b) coverage ratio = 2.0 (a) coverage ratio = 1.0